Campos tensoriales
Torsten Fließ bachAbstract
Los campos tensoriales pueden ser representados por sus componentes en coordenadas cartesianas.
Su propiedad tensorial se define formalmente por el comportamiento de dichas componentes bajo
transformaciones ortogonales. La diferenciación de campos tensoriales juega un papel importante
en electrodinámica. Con ayuda de una serie de ejemplos, a continuación se muestra cómo utilizar
I. TRANSFORMACIONES ORTOGONALES
En el espacio tridimensional ordinario introducimos un sistema de coordenadas carte-sianas S con ayuda de las coordenadas(x1, x2, x3) = (x, y, z) y de los vectores ortonormales
base (e1,e2,e3) = (ex,ey,ez). En el mismo espacio podemos considerar otro sistema de
coordenadas cartesianas S’ rotado en relación al primero; ambos con el mismo origen, pero sus ejes se encuentran girados unos respecto a los otros. Las coordenadas en S’ se denotan con (x01, x02, x03) y los vectores base (e01,e02,e03).
Figure 1: Una partícula masiva P tiene las coordenadas xP1, xP2 en el sistema S (representado
aquí en dos dimensiones) y las coordenadas x01P, x02P
en el sistema S’ girado respecto al primero.
El vector de posición de la partícula r puede ser representado, según (1), por ambos conjuntos de
valores de las coordenadas.
Un vector físico es independiente del sistema de coordenadas. Ejemplos de vectores físicos son el campo eléctrico E, el vector de posición r de una partícula P (ver figura 1) o su velocidad v= r·. Semejante vector puede ser escrito en términos de los vectores base ei
de S o de lose0i de S’: r= 3 X i=1 xiei = 3 X i=1 x0ie0i (1)
Al contrario de la figura 1, no nos referimos a una partícula específica P; dejamos fuera el índice P. Si multiplicamos a r por un factor arbitrario, las componentes xi y x0i contendrán
el mismo factor. Por lo mismo, la relación entrexi y x0i debe ser lineal:
x0j =
3
X
i=1
Para ambas expansiones en (1) calculamos el producto escalar r·r =r2 = P ix 2 i P jx 02 j = P j,i,kαjiαjkxixk (3)
Ambas expresiones deben ser iguales para xi arbitrarias. De esto se tiene 3
X
j=1
αjiαjk =δik (ortogonalidad) (4)
El símbolo δik es la delta de Kronecker definida por
δik = 1 si i=k 0 si i6=k (5)
Con los 3×3 númerosαik puede construirse la matriz α= (αij), y con los tres números
xi el vector columna x = (xi). Con esto, la ecuación (2) queda x0 = αx en notación
matricial. La relación (4) resulta en αTα = 1. Semejante matriz se llama ortogonal; las transformaciones correspondientes también se llaman ortogonales. La matriz transpuesta está dada por la matriz inversa,
αT =α−1 (6)
De x0 =αx, (2), se obtiene la transformación inversa x=αTx0 o
xi = 3
X
j=1
αjix0j (7)
A continuación utilizaremos principalmente la notación en componentes.
II. DEFINICIÓN DE TENSOR
Ahora definimos formalmente la propiedad "tensor". Un tensor de rangoN es una canti-dadti1i2···iN indizadaN veces, cuyas componentes se transforman como el vector de posición, es decir, t0i1i2···iN = 3 X j1=1 · · · 3 X jN=1 αi1j1· · ·αiNjNtj1j2···jN (tensor) (8)
En particular, llamamos escalar a un tensor de rango 0 y vector a un tensor de rango 1.
Por tensor se entiende el conjunto completo de las cantidades indizadas; las cantidades
vector r o x = (x1, x2, x3). No obstante, con el afán de simplificar el lenguaje, también se
acostumbra referirse a las componentes como vector o tensor; por supuesto, en las ecuaciones debe distinguirse muy bien entre r, xy xi.
De la definición (8) siguen inmediatamente algunas posibilidades para construir nuevos tensores. Si A y B son tensores, entonces se tiene:
1. Adición: aAi1i2···iN +bBi1i2···iN es un tensor de rango N; a y b son números.
2. Multiplicación: Ai1i2···iNBi1i2···iM es un tensor de rangoN +M.
3. Contracción: P
jAi1···j···j···iN es un tensor de rango N −2. En partícular,
P iAiBi y r2 =P ix 2 i son escalares.
En (5) se define la delta de Kronecker por la asignación de valores numéricos fijos, lo que la hace independiente del sistema de coordenadas S; en cualquier otro sistema S’ se sigue teniendo δik0 =δik. La δik fijada de esta forma satisface la definición (8) de tensor, pues
δ0ik (8)= 3 X n=1 3 X l=1 αinαklδnl = 3 X n=1 αinαkn (4) = δik (9)
El símbolo de Kronecker δik es un tensor; también se le conoce como tensor unidad. La
matriz (δik) es la matriz unidad.
Cuando en la parte derecha de (8) se tiene el factor extra det (α), entonces t es un pseudotensor. A través de la definición
ikl =
+1 si (i, k, l) es una permutación par de (1,2,3) −1si (i, k, l) es una permutación impar de (1,2,3) 0en cualquier otro caso
(10)
introducimos el llamado símbolo de Levi-Cività ikl. Este se define, como δik, por la
asig-nación de valores numéricos fijos, lo que lo hace independiente del sistema de coordenadas S. Es facil mostrar que ikl es un pseudotensor, pues
0i
1i2i3 = det (α) X
i1j2j3
αi1j1αi2j2αi3j3j1j2j3 =i1i2i3 (11)
Debido a la propiedad (10)ikl también es llamadotensor totalmente antisimétrico (o
pseu-dotensor). El producto vectorial(a×b) se define como
(a×b)i = 3 X k=1 3 X l=1 iklakbl (12)
Siaiybison vectores,(a×b)ies un pseudovector. Por lo mismo,iklambnes un pseudotensor
de rango 5; después de contraer dos veces se recupera (12).
III. CAMPOS TENSORIALES Y SU DIFERENCIACIÓN
Para la electrodinámica los campos tensoriales son de gran interés, es decir, los tensores que dependen de la posición. Un campo tensorial se define como una cantidad indizada dependiente de las coordenadasFi1i2···iN que se transforma según
Fi0 1i2···iN(x 0 ) = 3 X j1=1 · · · 3 X jN=1 αi1j1· · ·αiNjNFj1j2···jN(x) (campo tensorial) (13)
Las coordenadas de la posición en el argumento se representan con x = (x1, x2, x3), y el
argumento se transforma simultáneamente según (2). Para un campo escalar y para uno vectorial (13) resulta en Φ0(x0) = Φ(x), A0i(x0) = 3 X j=1 αijAj(x) (14)
Además de las posibilidades conocidas para la construcción de nuevos tensores (adición, mul-tiplicación, contracción), en el caso de campos tensoriales también se tiene la diferenciación. En tal caso, ∂i se comporta como un vector, pues
∂i0 = ∂ ∂x0i = 3 X j=1 ∂xj ∂x0i ∂ ∂xj = 3 X j=1 αij∂j (15)
Con ayuda de la diferenciación, partiendo de un campo escalar Φy de uno vectorial Ai, se
pueden construir los siguientes campos tensoriales:
(∇Φ(r))i =∂iΦ (campo vectorial) (16) ∇ ·A(r) = 3 X i=1 ∂iAi (campo escalar) (17) (∇ ×A(r))i = 3 X k,l=1
ikl∂kAl (campo pseudovectorial) (18)
La propiedad tensorial de las cantidades resultantes se obtiene de las propiedades tensoriales de las cantidades constituyentes (Φ,Ai,∂i,ikl) y de las reglas de cálculo para la construcción
IV. COVARIANCIA
Los tensores se definieron a través de su comportamiento bajo transformaciones ortogo-nales; al hacerlo nos limitamos a sistemas coordenados cartesianos. De la definición sigue que las ecuaciones tensoriales son covariantes bajo transformaciones ortogonales, es decir, que su forma permanece igual (invariancia de forma). Como ejemplo consideremos la ecuación
Ai =
X
j
CijBj (19)
que involucra los tensoresAi,CijyBj; dichas cantidades se refieren a un sistema determinado
de coordenadas S. Escribamos (19) en forma matricial A = CB, multipliquemos por la izquierda con α e incrustemos en la parte derecha ααT = 1. Con esto tenemos αA =
αCB =αCαTαB, es decir, A0 =C0B0 o
A0i =X
j
Cij0 Bj0 (20)
En el sistema rotado S’ la ecuación tiene la misma forma que en el sistema S; las ecuaciones tensoriales son invariantes de forma. Un ejemplo físico es la relación Li =
P
jΘijωj entre el
impulso angular Li, el tensor de inercia Θij y la velocidad angular ωj.
Las leyes fundamentales de la física son formuladas en sistemas inerciales (IS). Uno en-cuentra que las distintas direcciones son equivalentes en un IS; esta simetría se conoce como isotropía del espacio. Debido a la isotropía del espacio las leyes fundamentales no dependen de la orientación del IS. Por lo mismo, las leyes son invariantes (como L = Θb ·ω con la
diada Θb) o invariantes de forma (como Li =PjΘijωj) bajo rotaciones. Esto se conoce de
la mecánica. En electrodinámica, la covariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transfor-maciones de Lorentz es de importancia central.
V. CÁLCULOS CON EL OPERADOR NABLA
Las operaciones vectoriales gradiente, divergencia y rotacional se definen independiente-mente de la elección de las coordenadas. Por lo mismo, ecuaciones vectoriales como
∇ ·(ΦA) = A· ∇Φ + Φ∇ ·A (21)
son invariantes bajo transformaciones de coordenadas. Debido a dicha invariancia, es sufi-ciente demostrar tales relaciones para algún sistema especial de coordenadas. Para tal fin,
las coordenadas cartesianas resultan ser muy útiles. A continuación mostramos, con ayuda de una serie de ejemplos, cómo se pueden demostrar tales relaciones en forma sistemática en coordenadas cartesianas.
Primero expresamos el gradiente, la divergencia y el rotacional con ayuda del operador∇. Sólo se escribirán las componentes (y no los correspondientes vectores unitarios), es decir, ∇i = ∂i. Los productos escalares que eventualmente surjan se realizarán contrayendo los
índices correspondientes. Con esto, (21) puede demostrarse como sigue:
∇ ·(ΦA) = 3 X i=1 ∂i(ΦAi) = 3 X i=1 (∂iΦ)Ai+ 3 X i=1 Φ (∂iAi) =A· ∇Φ + Φ∇ ·A (22) Para ∇ · ∇ ×A= 0 (23)
damos una demostración detallada y ejemplar:
∇ · ∇ ×A=1.X i,j,k ∂iikl∂kAl 2. =X i,k,l ikl∂i∂kAl 3. =X k,i,l kil∂k∂iAl 4. =X k,i,l kil∂i∂kAl 5. =−X k,i,l ikl∂i∂kAl 6. =−X i,k,l ikl∂i∂kAl 7. = 0 (24)
Cada uno de los pasos en esta demostración son:
1. Debido a la invariancia bajo transformaciones de coordenadas basta con demostrarlo para coordenadas cartesianas.
2. La derivada parcial ∂i no actúa sobre ikl, pues dicha cantidad está compuesta por
valores numéricos constantes.
3. El nombre de los índices de suma es arbitrario (índices mudos). Por lo mismo, podemos renombrar a i, k, l como k, i, l.
4. Debido a la, de antemano supuesta, diferenciación deAl(x)se pueden intercambiar las
derivadas parciales. Aquí se asume que el campo tensorial es diferenciable dos veces, por lo menos.
6. Se intercambia la seriación de las sumas,P k P i P l· · ·= P i P k P l· · ·. Esto siempre
es posible para sumas finitas.
7. El resultado se diferencia de la tercera expresión sólo por un signo menos. Por lo mismo, debe ser cero.
El lector puede demostrar de forma análoga que
∇ × ∇Φ = 0 (25)
Otro operador diferencial es el operador de Laplace:
∇2 =∇ · ∇= 3 X i=1 ∂2 ∂x2 i = 3 X i=1 ∂i∂i (26)
La parte derecha se cumple para coordenadas cartesianas. La forma independiente de las coordenadas ∇2 se define para un campo escalar. No obstante, el operador diferencial en
la parte derecha de (26) también puede ser aplicado a un campo vectorial A. La canti-dad ∇2A definida de esta forma puede expresarse en términos de operaciones vectoriales
independientes del sistema de coordenadas,
∇2A=∇(∇ ·A)− ∇ ×(∇ ×A) (27)
Para demostrar esta relación expresamos la parte derecha en coordenadas cartesianas:
(∇(∇ ·A)− ∇ ×(∇ ×A))i =X j ∂i∂jAj− X k,l,m,n ikl∂klmn∂mAn =X j ∂i∂jAj− X k,m,n (δimδkn−δinδkm)∂k∂mAn =X j ∂i∂jAj− X n ∂n∂iAn+ X k ∂k∂kAi =∇2Ai = ∇2A i (28) VI. EJERCICIOS
1: Demuestre que ∇ ·(A×B) = B· ∇ ×A−A · ∇ ×B evaluando las componentes cartesianas. Haga lo mismo con∇ ×(ΦA),∇ ×(A×B)y ∇(A·B).
2: La ecuaciónAi =
P
jCijBj se cumple en cualquier sistema de coordenadas cartesianas.
3: Argumente el último paso en (11).
4: Muestre que ∇ ·(rΦ) =r· ∇Φ + 3Φ.
5: Demuestre que ∇ × ∇Φ = 0 usando el mismo tipo de cálculos de (24).
6: En (28) se utilizó P
likllmn =δimδkn−δinδkm. Demuestre dicha relación.
[1] Tomado del libro "Elektrodynamik" de Torsten Fließ bach (Spektrum, 1997). Traducción de
