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(1)

TEMA: TEORIA DE ECUACIONES

INTRODUCCION: La teoría de ecuaciones se enriquece con los aportes de muchos grandes matemáticos, desde Annes hasta Abel, via Cardano (respecto al álgebra elemental) mientras que en el álgebra moderna aportaron mas Galois y Gauss.

Se debe tener en cuenta que las ecuaciones sean importantes para efectos de resolver problemas de física, química, estadística, etc. De ahí su importancia, pues su aplicación es muy amplia.

CONCEPTOS PREVIOS:

IGUALDAD.- Se llama igualdad a la relación que nos indica que 2 expresiones tienen el mismo valor. Así, si las expresiones P y S tienen el mismo valor, decimos que son iguales y escribimos: P = S

Donde “P” se llama el primer miembro y “S” segundo miembro.

IDENTIDAD.- Es una igualdad incondicional, pues se verifica para cualquier valor numérico de las variables.

Ejemplo: (x + y) (x2 – xy + y2)  x3 + y3 (x + y) 3 x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

DEFINICION DE ECUACIÓN.- Una ecuación es aquella relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas.

A(x ; y ; z ; … ; w) = B(x ; y ; z ; … ; w) 











B

0 A

(x ;y ;z;; w)



(x ;y ;z;; w)



F

₍_x_;_y_;_z_;_..._;_w₎



0

FORMA GENERAL Ejemplo:

x

3



x

2



2

x



0 Senx

3 x

x





SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN:

Es aquel valor, que asignado a la variable de la ecuación hace que la igualdad se cumpla. Ejm.

     

9 2 9

x ₁ _x

2  

Si x = 3 x3 = x

(2)

CONJUNTO SOLUCIÓN (C.S.) DE UNA ECUACIÓN

Es aquel conjunto formado por todas las soluciones de dicha ecuación. si la ecuación no tiene solución, entonces su conjunto solución es el conjunto vació .

Ejemplos:

R y C . S . C ) 2 x ( 2 4 x 2

} { .

S . C 0 x 1

} 1 ; 1 { . S . C 1 x2

    

    

   

Observación: Resolver una ecuación significa hallar su C.S.

CLASIFICACIÓN DE LA ECUACIONES

 CLASIFICACIÓN DE ACUERDO A SU ESTRUCTURA

1) ALGEBRAICAS:

ECUACIÓN

a) x5 + 2x4 – 6x2 + 2x + 1 = 0 ……… POLINOMIAL

b)

x

3 x

0

2 x

1 



2





 _{……… FRACCIONAL}

c)

x



2 

2 

x

13 ………..……… IRRACIONAL

2) NO ALGEBRAICAS O TRASCENDENTES

ECUACIÓN a) 2x + 1 = 0 ………. EXPONENCIAL

b) Log(x + 3) – 1 = 0 ……….. LOGARÍTMICA c) Sen(Cosx) + 2 = 0 ……….. TRIGONOMÉTRICA

d) 1 + x + x2 + x3 + … = 0 …..……… etc.

 CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL GRADO

a) 1er. Grado (ecuación lineal)

b) 2do. Grado (ecuación cuadrática)

c) 3er. Grado (ecuación cúbica), etc.

 CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL NÚMERO DE SOLUCIONES

Podemos clasificarlas de la siguiente forma:

DETERMINADA COMPATIBLES

ECUACIONES INDETERMINADA

INCOMPATIBLES (C.S. = )

1) ECUACIONES COMPATIBLES

(3)

Estas pueden ser:

a. DETERMINADA: Una ecuación es compatible determinada, si es posible determinar la cantidad de sus soluciones (# de soluciones es finito).

Ejemplo: * (x – 1) (x – 2) (x – 3) = 0  C.S. = {1 ; 2 , 3}

* ax = Cot

8

7 

; a  0  C.S. =















a

8

7 Cos

b. INDETERMINADA: Una ecuación es compatible indeterminada si no es posible determinar la cantidad de sus soluciones (# de soluciones es infinito).

Ejemplo: * 0x = 0  C.S. = C * x + y = 2 Tabulando valores:

...

9

5

0

2

1 y

...

7

3

2

0

1 x



 C.S. = {(1 ; 1) , (0 ; 2) , (-3 ; 5) , …}

2) ECUACIONES INCOMPATIBLES, INCONSISTENTES O ABSURDAS

Son aquellas ecuaciones que no poseen soluciones, es decir, su conjunto solución: C.S. = 

Ejemplo: * 0x = 6  C.S. =  * x – 2 +

2 x

1

2 x

1 





 C.S. = 

ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN PARAMETRICA EN “X”

b

ax



Donde: a ; b : PARAMETROS x : VARIABLE

1) COMPATIBLE DETERMINADA

0 a



(4)

Ejemplo: 5x = 0

2) COMPATIBLE INDETERMINADA

)

0 b

0 a

(









Ejemplo: 0x = 0

3) INCOMPATIBLE

)

0 b

0 a

(









Ejemplo: 0x = 5 Ejercicios:

1) Indicar las condiciones para que la siguiente ecuación sea: determinada, indeterminada e incompatible.

(a – 3) (b + 2)x = (a – 3) (b + 4) Ec. Determinada: a  3  b  -2

Ec. Indeterminada: a = 3

Ec. Incompatible: b = -2  a  3

2) Hallar “a” para que la ecuación sea incompatible:

3 a

1 a

)

4 a

2 a

(

)

3 a

2 a

1 a

(

)

4 a

)(

2 a

(

x

)

3 a

)(

2 a

)(

1 a

(

8 a

a

6 x

)

6 a

11 a

6 a

(

0 #

2

0 2 3













































_

_

_

_

_







ECUACIONES EQUIVALENTES

Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene las mismas variables y el mismo conjunto solución:

Ejemplo:

}

12 {

.

S

.

C

X

2

36 X

5 :

E

}

12 {

.

S

.

C

14

3 x

2

2 x

:

E

2 1

















 E1 y E2 son equivalentes.

ECUACIONES POLINOMIALES CON UN INCOGNITA

Forma general de una ecuación polinomial de grado “n”:

N n a / 0 a ... x

a x a x . a ) x (

(5)

RAIZ DE UN POLINOMIO

Sea: P(x)a0xna1xn1a2xn2...an 0 ; a 0 , nN

Diremos que “” es una raíz de un polinomio P(x) si y solo si P() = 0

0 )

x

(

P

)

x

(

P

de

raíz

es

"

α

"





Consecuencia:  es raíz de P(x) si y solo si (x - ) es factor de P(x) Ejemplo: Sea P(x) = x3 – 2x2 – x + 2

Se observa que: P(1) = 0 ; P(-1) = 0 ; P(2) = 0. Luego, -1 ; 1 ; 32 son raíces de dicho polinomio. Por lo tanto: (x + 1) , (x – 1) , (x – 2) son factores de dicho polinomio.

RAÍZ MULTIPLE

“” es raíz de multiplicidad “k” de P(x):

0 q

;

q

)

α

x

(

P

k ₍_x₎ ₍_x₎

) x

(











Ejemplo: P(x) = (x – 2)3

(x + 3)2 (x – 1) Entonces, tenemos que:

* 2 es raíz de multiplicidad 3 * -3 es raíz de multiplicidad * 1 es raíz simple.

Ejemplo: Determinar las raíces de: P(x) = (x + 2)3 (x – 5)2 (x – 8) Solución:

Igualando cada factor a cero.

(6)



8 x

0 )

8 x

(

5 x

0 )

5 x

(

5 x

0 )

5 x

(

2 x

0 )

2 x

(

2 x

0 )

2 x

(

2 x

0 )

2 x

(

6 5 4 3 2 1







































































TEOREMA DE CARDANO

Sea la ecuación polinomial de grado “n”

0 a

;

0 a

...

x

a

x

a

x

a

)

x

(

P

n 2 n 2 1 n 1 n

0









 

+ - + Cuyas raíces son: x1 ; x2 ; x3 ; ….. ; xn

SUMA DE RAÍCES

0 1 n 3 2 1 1

a

x

...

x

S









SUMA DE PRODUCTOS BINARIOS

0 2 n 1 N 3 2 2 1 2

a

x

...

x

S





_





SUMA DE PRODUCTOS TERNARIOS

0 3 4 3 2 3 2 1 3 a a ... x x x x x x

S     

PRODUCTO DE RAÍCES

0 n n n 3 2 1 n

a

)

1 (

x

...

x

S





Ejemplo 1: P(x) = 2x2 – x + 7 (+) (-) (+)

2

7 x

x

*

2

1

2

1 x

x

2 1 2 1

























x = -2 es raíz de multiplicidad tres o raíz triple.

x = 5 es raíz de multiplicidad 2 o raíz doble.

(7)

Ejemplo 2: P(x) = 3x3 + 6x + 8  P(x)= 3x2 + 0x2 + 6x + 8 (+) (-) (+) (-)

3

8 x

x

*

2

3

6 x

x

*

0

3

0 x

x

3 2 1 3 1 3 2 2 1 3 2 1





















Ejemplo: P(x) = 2x7 + 3x6 + x3 – 6

 P(x) = 2x7 + 3x6 +0x5 + 0x4 + x3 + 0x2 + 0x – 6 + - + - + - + -

3

2

6 x

....

...

x

*

0 x

x

....

...

x

*

2

3 x

...

x

7 3 2 1 7 6 3 2 2 1 7 2 1































Ejercicio: Si P(x) = x3 – 2x2 + x + 5 Tiene como raíces:  ,  y  Calcular:

1 γ

1

1 β

1

1 α

1 M





Solución:

Desarrollando se obtiene:

)

αβγ

(

)

βγ

αγ

αβ

)(

γ

β

α

(

1

3 )

γ

β

α

(

2 )

βγ

αγ

αβ

(

M

)

1 γ

)(

1 β

)(

1 α

(

1 β

α

αβ

1 γ

α

αγ

1 γ

β

βγ

M









(8)

















1 βγ

αγ

αβ

*

5 αβγ

*

2 γ

β

α

*

4

5 )

1 (

2

1

3 )

2 (

2

1 M

:

eplazando

Re











TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

Todo polinomio de grado  1 posee al menos una raíz compleja.

Corolario: Todo polinomio de grado “n” posee exactamente “n” raíces entre complejas y reales.

Ejemplo: P(x) = x3 – 5  Tiene 3 raíces P(x) = x20  Tiene 20 raíces Ejemplo: resolver: (x – 2)3

(x + 1)2 (x – 5) = 0

- RAÍCES: x1 = 2 ; x2 = 2 ; x3 = 2 ; x4 = -1 ; x5 = -1 ; x6 = 5 - SOLUCIONES: 2 ; -1 ; 5

 C.S. = 2;-1;5 Se deduce que:

# RAÍCES  # SOLUCIONES

TEOREMA (DE PARIEDAD DE RAÍCES)

Sea P(x) un polinomio de grado “ n ”, n  N , entonces se cumplen los siguientes teoremas:

 

P(x) 2) :

Nota

( 0 

1) Si P(x) es un polinomio de coeficientes reales y una raíz es

a



bi

;

a

,

b



R

,

i





1 ,

entonces la otra raíz es

a



bi

.

Ejemplo: * Si una raíz es 3+2i entonces la otra raíz es 3-2i. * Si una raíz es (-i) entonces la otra es (i).

2) Si P(x) es un polinomio, 0



P

(

x

)





2 ,

de coeficientes racionales y una raíz es

;

I

b

Q

a

;

b

a





entonces, la otra raíz de P(x) es

a



b

Ejemplos:

2 + 5  2 - 5

1 3

  31

3) Si 0



P

(

x

)





4 ,

P(x) es de coeficientes racionales , donde una raíz es

I b ; a ; b

(9)

3

2 

3

2

3

2

3

2 







Ejercicio: Si P(x) = x5 – 3x4 + ax + b. Tiene como raíces a 1 +i y 1 +

2

. Hallar “b”, si a, b  R Solución:

Por Teorema de Pariedad:

?

x

2

1 x

2

1 x

i

1 x

i

1 x

5

4 3

2 1























Por teorema de Cardano:

1 x

3 x

4

3 x

x

5 5

5 4 3 2 1

















 



 



Por T. de Cardano:

2 )

1 (

2 b

b

)

1 )(

2

1 )(

2

1 )(

i

1 )(

i

1 (

b

x

₁ ₂ ₃ ₄ ₅





























ECUACIÓN LINEAL

Son aquellas ecuaciones polinomiales que se reducen a la siguiente forma general:

0 a

/

0 b

ax

P

(x)









Resolución: ax + b = 0

ax + b + (-b) = (-b) + 0 ax + 0 = -b  ax = -b (como a  0  a-1 0)

 a-1 . ax = a-1 . (-b)  1 . x =

(

b

)

a

1 

 x =

a

b



 C.S. = {

a

b



}

Ejemplo: 3x + 9 =  C.S. = {-3}

_

_

_

Raiz 1

3 x











Solucion 1

(10)

# RAÍCES = # SOLUCIONES = 1 Ejemplo:

10

9

90 b

a

x

...

12 b

a

x

6 b

a

x

2 b

a

x



_



_



_



_

10

9

90

1 ...

12

1

6

1

2

1 )

b

a

x

(















_



} 1 b a { . S . C 1 b a x 10 9 10 1 9 1 ... 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 ) b a x ( 10 9               _ _ _ _ _ _ _ _                     

Ejercicio: Al resolver:

15

8 )

5 x

)(

7 x

(

5 )

10 x

)(

2 x

(

)

4 x

)(

6 x

(

3 )

3 x

)(

5 x

(













Señalar:

10 x



10

Solución:



7

10 x

10

59 x

10

35 x

12 x

24 x

2 x

15

8

35 x

12 x

3

5

1

24 x

2 x

3

1

15

8 )

35 x

12 x

(

5

20 x

12 x

)

24 x

2 x

(

3

15 x

2 x

2 2 2 2 2 15 35 2 2 9 24 2













































   ECUACIÓN CUADRÁTICA Forma general:

0 a

;

0 c

bx

ax

2







Ejemplo: 2x2 + x + 1 = 0 ; x2 + 2 = 0

(11)

1) POR FACTORIZACION:

Ejemplo:

 x2 – 4x – 12 = 0 x  -6 x +2 (x – 6) (x + 2) = 0



_{ }

_





 





 



 



solución 2 diferentes

raices 2

2

1

6 ;

x

2 C

.

S

.

6 ;

2 x











 4x2 – 4x + 1 = 0 2x  -1 2x -1

(2x – 1) (2x – 1) = 0









 



 



solución 1 iguales

raices 2

2 1

2

1 .

S

.

C

2

1 x

;

2

1 x



















2) POR FÓRMULA: ax2 + bx + c = ; a  0 Resolución:

Completamente cuadrados:

a

2 ac

4 b

b

x

ac

4 b

b

ax

2 ac

4 b

)

b

ax

2 (

0 ac

4 b

b

)

ax

(

2 )

ax

2 (

0 ac

4 abx

4 x

a

4

0 )

c

bx

ax

(

a

4

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2



















































Ejemplo: x2 + x + 1 = 0













1 c

1 b

(12)











conjugadas complejas

raices 2

2

1

i

2

3

2

1 x

i

2

3

2

1 x

2

4

1

1 x























PROPIEDADES

I) ANÁLISIS DE SUS RAÍCES

Sea: ax2 + bx + c + = ; a  0 Se define el discriminante ():

ac

4 b

2







; a , b , c  R

1er. CASO

)

única

Solución

(

MULTIPLE

RAIZ

o

iguales

e

reales

raíces

2

0 





Ejemplo:























2

1 .

S

.

C

0

1 x

4

2 x

4

 = (-4)2 – 4(4) (1) = 0 Gráficamente:

P(x) = ax2 + bx + c , a  0

2do. CASO

diferentes

y

reales

raíces

2

0 





Ejemplo: x2 – 4x – 12 = 0  C.S. = {6 ; -2} x P (x)

(13)

 = 16 – 4(1) (-12) > 0 Gráficamente:

3er. CASO

conjugadas

y

s

imaginaria

complejas

raíces

2

0 





Si x1 = 2i  x2 = -1

Ejemplo: x2 + x + 1 = 0  C.S. =



















i

2

3

2

1 ;

i

2

3

2

1

 = 12 – 4(1) (1) = -3 < 0

Gráficamente:

II) OPERACIONES BÁSICAS CON LAS RAÍCES

x

P

(x)

x

1

x

2

x

1

x

2

(14)

Sea: ax2 + bx + c = 0 ; a  0 (sus raíces son x1 y x2) * SUMA DE RAÍCES:

a

b

x

₁



₂





* PRODUCTO DE RAÍCES:

a c x . . x₁ ₂ 

* DIFERENCIA DE RAÍCES:

2 1 2 2 1 2 2

1

x

)

(

x

)

4 x

x

(







* RECONSTRUCCION DE LA ECUACIÓN:

0 x

x

)

x

(

x

1 2 1 2

2







Ejemplo:

4 x

2 x

2 1





_

_{ }

_

_{ }

_

raíces sus de partir

a truida cos re ecuación

2

0

8 x

6 x







* Sea: x2 – 4x + 5 = 0. Hallar |x1 – x2|

Solución:

Utilicemos la propiedad de diferencia de raíces:

i

2 |

x

|

4 )

x

(

4 )

x

(

2 1

2 2 1 2

2 1



















Ejercicio: Si: 2x2 + 7x + 9 = 0 ; Sn =

_X

₁n



_X

₁n

Con x1 ; x2 sus raíces. Halle: 2S30 + 7S29 + 9S28

Solución:

(X + x ) (x x ) = 4x x

1 2 1 2 1 2

2 2

Cardano . T Por

16

5

(15)

2

9 x

x

)

Cardano

.

T

Por

(

2

7 x

x

2 1











 















0 x

x

2 x

x

2 x

x

2 x

x

2 x

x

2 x

x

2 x

x

)

x

(

7 x

x

2 x

x

9 x

x

7 x

x

2

29 2 1 2 29 1 30 2 29 1 2 29 2 1 30 1 30 2 30 1

28 2 28 1 2 1 29 2 29 1 2 1 30

2 30 1

28 2 28 1 29 2 29 1 30

2 30 1























TEOREMA:

Sean las ecuaciones: 1) …… ax2

+ bx + c = 0 ; a  0 2) …… mx2

+ nx + p = 0 ; m  0

Si ambas poseen igual conjunto solución (C.S.), se cumple:

p

c

n

b

m

a



(es decir, son equivalentes)

Demostración: Sean X1  X2 las raíces:

De donde:

p

c

n

b

m

a



Ejercicio: Calcular ( n – m ) si las ecuaciones:

D1: X +₁X =₂ - b a

D2: X +₁X =₂ - n m

D1: X₁ X =₂ c_a

D2: X₁ X =₂ _mp - b

a - n

m

= b_n=_ma

a = ma=

c p

(16)

es

Equivalent

Son

0

1 x

)

1 n

2 (

x

)

2 n

(

0

2 x

)

1 m

3 (

x

)

1 m

2 (

2 2



















Solución:

Como son ecuaciones equivalentes, se cumple:

Tenemos:

2

31 m

n

2

13 n

2 n

4

1

27

9 m

6

3 m

2 n

4

1 m

3

2 n

4

1 m

3

8 n

4

2 m

4

4 n

2

1 m

2 























































2 1 n 2

1 m 3 2 n

1 m 2

  

