Tema 10: Espacio euclídeo tridimensional.

TEMA 10: Espacio euclídeo tridimensional.

DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD:

 Determina ángulos, distancias, áreas y volúmenes utilizando los productos escalar, vectorial y mixto, aplicándolos en cada caso a la resolución de problemas geométricos: distancias entre puntos y rectas y planos, simetrías axiales, ángulos entre rectas y planos, vectores normales a un plano, perpendicular común a dos rectas, vector perpendicular a otros dos, áreas de triángulos y paralelogramos y volúmenes de tetraedros y paralelepípedos

ÍNDICE:

1.

Distancia en

ℝ

. Espacio euclídeo (métrico) tridimensional.

2.

Medidas de ángulos entre rectas y planos.

1.- Distancia en

ℝ

. Espacio euclídeo (métrico) trideimendsional.

DEFINICIÓN:

Dados dos puntos en el espacio afín, = , , ; = , , .

Se define la DISTANCIA EUCLIDEA (Métrica) del punto al punto , como sigue:

: ℝ ℝ ⟶ ℝ,

,

=

⃗

En la base canónica (ortonormal) su expresión analítica es:

,

=

−

+

−

+

−

Se puede demostrar que la definición anterior satisface las condiciones que debe cumplir una distancia (métrica):

1) , ≥ 0 ∀ , ∈ ℝ

2) , = 0 ⟺ = ∀ , ∈ ℝ

3) , = , ∀ , ∈ ℝ

4) , ≤ , + , ∀ , , ∈ ℝ !"#$ % &'" (#$% '

El Espacio Afín construido en el tema anterior, junto con la distancia (métrica) que acabamos de definir forma el

ESPACIO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL, ℝ ,

EJEMPLO:

Dados los puntos: = 1, 2, 1 ; = 5, 2, 7

, = 4 + 0 + 6 = √52 = 2√13 $

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA:

Proyección ortogonal de un punto sobre una recta:

Se llama proyección ortogonal del punto 1 sobre la recta ' al punto 1′ que se obtiene de la intersección de la

recta ' con el plano que contiene al punto 1 y es perpendicular a ella.

También se puede obtener: 1′ ∈ ' / 11′⃗ ⊥ ' 411′⃗ · 6⃗ = 07

DEFINICIÓN:

Dados un punto 1 = 8 , 8 , 8 y una recta '.

Se define la DISTANCIA de 1 a ', como la mínima distancia entre 1 y los puntos de '.

1, ' = 9í(; 1, < & % =$ : < ∈ '>

1, ' = 1, 1′ con: 1′ la proyección de 1 sobre '

 También se puede obtener con la fórmula que sigue:

1, ' =Á' _{! =} $@⃗ 1⃗_|$ @⃗| Con: un punto de la recta ' y $_@⃗ un vector director de '.

Se obtiene como la altura del paralelogramo determinado por los vectores $_@⃗ y 1⃗.

EJEMPLO:

Disstancia entre el punto 1 = −3, 1, −1 y la recta ' ≡ CE = −3 + 2D= −2 − 3D F = 1 − D G , D ∈ ℝ

Punto de la recta: = −2, −3, 1 . Vector deirector de ': $⃗ = −3, 2, −1 ; 1⃗ = −1, 4, −2

$⃗ 1⃗ = H_{−3 2 1}I⃗ J⃗ K⃗

−1 4 −2H = 0, −5, 10

1, ' = $⃗ 1⃗_{|$⃗| =}√125 √14 =

5√5 √14=

5√70 14 $

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO:

Proyección ortogonal de un punto sobre un plano:

Se llama proyección ortogonal del punto 1 sobre el plano L al punto 1′ que se obtiene como intersección del

plano L con la recta que contiene al punto 1 y es perpendicular a L.

La recta se obtendrá considerendo como un vector director de la recta,

un vector normal del plano y como punto, el dado.

DEFINICIÓN:

Dados un punto 1 = 8 , 8 , 8 y un plano L ≡ + E + F = 0.

Se define la DISTANCIA de 1 a L, como la mínima distancia entre 1 y los puntos de L.

1, L = 9í(; 1, < & % =$ : < ∈ L>

Se puede calcular a partir de la proyección del punto sobre la plano:

1, L = 1, 1′ con: 1′ la proyección de 1 sobre L Es fácil demostrar la fórmula que sigue:

1, L =| 8 + 8 + 8 + M|

√ + +

NOTA: Es evidente que si el punto pertenece al plano la distancia es nula.

EJEMPLO:

Distancia entre el punto 1 = 1, −2, 3 y el plano L ≡ 2 + 3E − 2F + 1 = 0

1, L =|2 − 6 − 6 + 1| √4 + 9 + 4 =

9 √17=

9√17 17 $

DISTANCIA DE UNA RECTA A UN PLANO:

DEFINICIÓN:

Dados una recta ' y un plano L.

Se define la DISTANCIA de r a L, como la mínima distancia entre los puntos de la recta ' y los puntos de L.

', L = 9í(; 1, < & % =$ : 1 ∈ ', < ∈ L>

Es evidente que si la recta está incluida en el plano o se corta con éste, la distancia es nula. Si la recta es paralela

DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS:

DEFINICIÓN:

Dados dos planos, L y L

Se define la DISTANCIA entre L y L , como la mínima distancia entre los puntos L y L .

L , L = 9í(; 1, < & % =$ : 1 ∈ L , < ∈ L >

Es evidente que si los planos son secantes o coincidentes la distancia es nula. En el caso que sean paralelos, se

tomará un punto de uno de los planos y se calcula la distancia del tal punto al otro plano.

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS:

DEFINICIÓN:

Dados dos rectas, ' y !.

Se define la DISTANCIA entre ' y !, como la mínima distancia entre los puntos ' y !.

', ! = 9í(; 1, < & % =$ : 1 ∈ ', < ∈ !>

Es evidente que si las rectas son coincidentes o secantes, la distancia es nula. Si son paralelas, se toma un punto de una de

Veamos cómo calcular la distancia cuando las RECTAS SE CRUCEN:

Sean ∈ ', ∈ ! y $⃗, 6⃗ vectores directores de ' y !, respectivamente

 Podemos determinar el plano O que contiene a ' y es paralelo a !. Entonces la distancia entre las rectas será igual a la distancia entre la recta ! y el plano O.

', ! = !, O

 Podemos buscar dos puntos de cada recta de modo que el vector que determinan se ortogonal a las rectas. La distancia entre las rectas se calcula como la distancia entre los dos puntos calculados.

', ! = 1@, 1P

 Por, último, también se puede obtener con la fórmula que sigue:

', ! = ℎ =_{Á' % !} RS%$T ( = U ⃗, $⃗, 6⃗V_{|$⃗ 6⃗|}

Se calcula como la altura del paralelepípedo determinado por los vectores ⃗, $⃗, 6⃗.

EJEMPLO:

Distancia entre las rectas:

' ≡ − 2_{3 =}E + 1_{2 =}F_{4 , ! ≡ C}E = −2 + 3D= 1 − 2D

F = 3 + D G , D ∈ ℝ = 2, −1, 0 ; = 1, − 2, 3 ; $⃗ = 3, 2, 4 ; 6⃗ = −2, 3, 1

U ⃗, $⃗, 6⃗V = W−1 −1 33 2 4

−2 3 1W = 60, $⃗ 6⃗ = H

I⃗ J⃗ K⃗ 3 2 4

−2 3 1H = −10, 11, 13

', ! = |60|

√100 + 121 + 169= 2√390

2.- Medidas de ángulos entre rectas y planos.

Partimos de la definición del producto escalar para determinar el ángulo entre dos vectores no orientado, es

decir, el menor de los ángulos que forman,, establecida en el Tema 8:

Dado O = ∡ $⃗, 6⃗ ; 0° ≤ O ≤ 180°

[S!O =_|$⃗||6⃗|$⃗ · 6⃗

En una base ortonormal:

[S!O = $ 6 + $ 6 + $ 6

$ + $ + $ 6 + 6 + 6 , $⃗ = $ , $ , $ ; 6⃗ = 6 , 6 , 6

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS:

DEFINICIÓN:

Se define el ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS como el menor de los ángulos determinado por dos vectores directores

de cada una de ellas. Si la rectas son paralelas no existe el ángulo y si son coincidentes es nulo.

Dadas dos rectas no paralelas, ' y !, con vectores directores, respectivamente, $⃗ y 6⃗.

[S!O =

|$⃗ · 6⃗|

_{|$⃗||6⃗| , O = ∡ ', ! = ∡ $⃗, 6⃗ ,}

0° ≤ O ≤ 90°

Se toma el valor absoluto del producto escalar para considerar el menor de los dos

ángulos que determinan las rectas-

ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS SECANTES:

DEFINICIÓN:

Se define el ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS SECANTES como el menor de los ángulos determinados por dos

vectores normales de cada uno de ellos. Si los planos son paralelos el ángulo no existe y si son son coincidentes es

nulo.

Sean L y L dos planos secantes con vectores normales, respectivamente, (⃗ y (⃗.

ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO SECANTES:

DEFINICIÓN:

Se define el ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UNA PLANO como el menor de los ángulos determinado por la recta y

la proyección de ésta sobre el plano, es decir, el ángulo complementario de un vector director de la recta con un

vector normal del plano. Si la recta es paralela al plano el ángulo no existe y si la recta está contenida en el plano

el ángulo es nulo.

Sea una recta ' con vector director $⃗ y un plano L con vector normal (⃗, secantes.

! (O = [S! 90° − O = [S!\ =

|(⃗ · $⃗|

_{|(⃗||$⃗| ,}

O = ∡ L, ' ,

∡ (⃗, $⃗ = \ = 90° − O

EJEMPLO 1:

Sean las rectas:

' ≡ − 3_{5 =}E + 1_{3 =−1 , ! ≡ ]}F 2 + 3E − 5F + 4 = 0_{− 2E + 5 = 0} G

Vectores directores: $⃗ = 5, 3, −1 , $′⃗ = 2, 3, −5 1, −2, 0 = −10, −5, −7

Se puede comprobar que las rectas no son paralelas.

O = ∡ ', ! = ∡ 4$⃗, $′⃗7

[S!O =^$⃗ · $′⃗^_{|$⃗||$⃗| =}|−50 − 15 + 7| √35√174 =

58

√6090≈ 0,74322 ⟹ O ≈ 41°59′37′′ EJEMPLO 2:

Sean los planos:

L ≡ − 2E + 4F = 0, La_{≡ 2 − E + 3 = 0}

Es evidente que no son paralelos.

Vectores normales: (⃗ = 1, −2, 4 ; (′⃗ = 2, −1, 0

O = ∡ L, La _{= ∡b(⃗, (}⃗ca

[S!O = (⃗ · (⃗a |(⃗| ^(′⃗^=

|2 + 2|

EJEMPLO 3:

Sea la recta y el plano:

' ≡ − 3_{2 =}E + 1_{5 =}F − 1_{−1 , L ≡ 2 − 5E + 7F − 11 = 0} Vector director de la recta: $⃗ = 2, 5, −1 ; vector normal del plano: (⃗ = 2, −5, 7

O = ∡ ', L = 90° − ∡ $⃗, (⃗

! (O = [S! 90° − O =|$⃗ · (⃗|_{|$⃗||(⃗| =}|4 − 25 − 7|