TEMARIO/GUIA DE APOYO PARA EL EXAMEN SEMESTRAL DE TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICAS (Autor: Diana Macías A.)
Los temas revisados en este semestre son:
Clasificación de números 1.0 concepto de cada número 1.1 esquema
1.2 ejercicios de clasificación
Conjuntos
2.0 simbología de relación de pertenencia y no pertenencia: ejercicios 2.1 expresión de conjuntos: ejercicios
2.2tipos de conjuntos especiales 2.3 relaciones entre conjuntos
Operaciones entre conjuntos
3.0 Unión-intersección-complemento-diferencia
3.1simbología y definiciones
3.2Ejercicios con diagramas de Venn 3.4 Formulas para problemas
3.5 Problemas
Lógica 3.6 Conceptos
3.7 Clases de proposiciones (simples y compuestas) 3.8Ejercicios de formalización de proposiciones
3.9 Circuitos
4.0 Tablas de verdad
4.1 Leyes de Morgan
Razonamiento
4.2 Tipos de razonamiento
Demostraciones
4.3 Métodos de demostración 4.4 Inducción matemática
4.5 Ejercicios de demostración por inducción
Sucesiones numéricas 4.6 Concepto
4.7 Series aritméticas 4.8 Series geométricas 4.9 Series cuadráticas 5.0 Ejercicios
CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS
1.0 Según su orden de descubrimiento o aparición estas son algunas clasificaciones de números:
N NATURALES
Es el conjunto de los números que sirven para contar.
N={ 1,2,3...∞}
Incluyen los números primos y los compuestos.
Primos:aquellos que tienen dos divisores, el uno y el mismo número. El 2 es el único número par que es primo. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31… La expresión de Mercene (2p -1) da algunos números primos.
Z ENTEROS
Es el conjunto de los números positivos, negativos y el cero.
Z={ -∞,...,-3,-2,-1,0,1,2,3...∞}
Enteros No Negativos W : Incluyen a los números Naturales y al cero.
Enteros Negativos W´ : NO incluye al cero.
Enteros Positivos : NO incluye al cero.
Q RACIONALES
Provienen de una división. Es el conjunto de los números que se escriben de la forma siendo b, diferente de cero.
Racionales Fraccionarios Decimales
Tienen lugar cuando se efectúa el cociente (a/b). Se dividen en exactos (puros) y periódicos.
Puros: Tienen división exacta, es decir, residuo cero. 1/2 = .5
Periódicos: No tienen división exacta, y se repiten sus cifras por periodos. 1/3 = .333…
Racionales Fraccionarios Comunes.
Tienen lugar cuando NO se efectúa el cociente. Se dividen en propios, impropios, mixtos y nulos.
Revisar esquema de clasificación.
PROPIEDADES DE LOS RACIONALES
EQUIVALENCIA
REFLEXIVA
SIMÉTRICA
TRANSITIVA
DE ORDEN
DE DENSIDAD
DE COMPLETES
I IRRACIONALES
Es el conjunto de números que no tienen raíz exacta.
Es el conjunto de números cuya representación decimal es aperiódica e infinita.
R REALES
Son todos los que están dentro de la recta numérica.
Es el conjunto de números cuya representación decimal es exacta, periódica o aperiódica.
Conjunto de los números que resulta de la unión de los números racionales y los números irracionales.
i IMAGINARIOS
Generalmente se producen por raíces de números negativos que tienen índice par.
Todos estos números pertenecen a la clasificación más completa y compleja de números, los NÚMEROS COMPLEJOS ¨ C ¨
¡RECORDAR!
1.1 Esquema de los números con base en su clasificación. Rellena los espacios con la clasificación correspondiente y coloca arriba la letra con la que se identifican en caso de tenerla.
1.2 Ejercicios de clasificación de números. Sitúa cada elemento en el lugar correspondiente.
0
—
#
= 0
#
—
0
= ∞
Infinito NO es un
número, es más un
concepto.
0
—
0
=
Indeterminado
Puede ser cualquier cosa.
∞
—
∞
CONJUNTOS
Es la reunión, agrupación o colección de elementos bien definidos que tienen una propiedad en común.
Se escriben entre llaves { }, con letras mayúsculas A, B, C, etc. y sus elementos se separan con coma.
CARDINAL (ó cardinalidad): Es la cantidad de elementos que tiene un conjunto.
RELACIÓN DE PERTENENCIA
Indica que un elemento pertenece a un conjunto:
Indica que un elemento no pertenece al conjunto:
Indica que un conjunto pertenece a otro conjunto (es subconjunto de él):
Indica que un conjunto no pertenece a otro conjunto (no es subconjunto de él):
*CONCEPTO DE INCLUSIÓN
Un conjunto está incluido en otro al tener exactamente los mismos elementos.
FORMAS DE REPRESENTAR UN CONJUNTO Por extensión: por enumeración o por lista
Por comprensión
Por Notación constructiva
Por diagramas de Venn
Por medio de una recta numérica
Por medio de notación de intervalos
CONJUNTOS ESPECIALES
Conjunto Finito:
Conjunto Infinito:
Conjunto Universo:
Conjunto vacío:
Conjunto unitario.
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
Conjuntos disjuntos
Conjunto potencia
Conjuntos iguales
Conjuntos equivalentes
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
3.0 Unión-intersección-complemento-diferencia
UNIÓN = U
Es la unión de los elementos de dos o mas conjuntos, formando un nuevo conjunto, cuyos elementos son los elementos de los conjuntos originales, pero, cuando un elemento se repite, dicho elemento entrará a formar parte del conjunto unión una sola vez;
PROPIEDADES DE LA UNION DE CONJUNTOS
INTERSECCIÓN =
El conjunto “A intersección B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B.
DIFERENCIA/RESTA = ——
El conjunto “A menos B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.
A - B es diferente a B - A
El conjunto “B menos A” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A.
LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS NO ES CONMUTATIVA.
“Lo que comparte A con B”
“Donde se traslapa”
“Lo que está
en A y que también está
en B”
“Quitar de A todo B”
“Lo que queda en A quitándole B”
“Lo que queda del pastel mordiendo con Boca”
“Lo que se ve a través de B de A”
“Donde se traslapa”
COMPLEMENTO = ’ , C
Dado un conjunto universal U y un conjunto A, se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A.
3.2 Ejercicios con diagramas de Venn (REVISAR EJERCICIOS 30 Y 31 DEL LIBRO)
3.4 Formulas para problemas
n ( U ) = n (A U B) + n (A U B)´
Nota:
- Subraya lo que tú calcules
-
Se recomienda poner simbología que tenga que ver con el texto-
El término ”solo” indica que nos están en la intersección-
“y” indica intersección-
“o” indica unión-
Son términos diferentes: al menos una, ninguna, solo una, cuando mucho una, exactamente dos, cuando menos dos, etc.“Todo lo que no es A”
“Lo que falta de A para llegar al U”
“Iluminar de forma inversa”
“Donde se traslapa”
3.5 Problemas (REVISAR PAGINAS 30 A 34)
LÓGICA 3.6 Conceptos
ENUNCIADO
Se llama enunciado a toda frase, oración o expresión matemática: “5–2=3”
PROPOSICIÓN (lógica)
Es todo enunciado cuya propiedad fundamental es la de ser verdadero (V) o falso (F), pero no ambos simultáneamente: “Paris es la capital de Francia”
ENUNCIADO ABIERTO
Llamados también enunciados indefinidos, son aquellos que contienen una variable o variables y que no tienen la propiedad de ser verdadero o falso: “x+2=3”
ENUNCIADO CERRADO
Se considera como enunciado cerrado a todo concepto bien definido: “La historia es una ciencia social que estudia, analiza e interpreta los hechos importantes del pasado a través del tiempo y el espacio.”
3.7 Clases de proposiciones (simples y compuestas)
PROPOSICIONES SIMPLES:
Llamadas también atómicas o singulares, son aquellos enunciados que no llevan conectivos lógicos es decir tienen un solo sujeto y un solo predicado.
1. PREDICATIVAS
2. RELACIONALES
PROPOSICIONES COMPUESTAS:
Llamadas también moleculares, coligativas o complejas, son aquellas expresiones que se obtienen de la combinación de dos o más proposiciones simples enlazadas por conectivos lógicos.
1. Negativa
2. Conjuntiva
Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante la conjunción “Y” : “La UNAM forma profesionales y es un centro de investigación”
3. Disyuntiva
Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante la conjunción disyuntiva “o” su expresión equivalente “u”.
-EXCLUYENTE
“O estas despierto o estas durmiendo”
-INCLUYENTE
“Mónica es poeta o deportista”
4. Condicional
Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante la conjunción condicional “si... entonces...” o sus expresiones equivalentes: “Si práctico deporte entonces tendré buen estado físico”
-DIRECTA
-INVERSA
5. Bicondicional
Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante la conjunción compuesta “si y sólo si” o sus expresiones equivalentes: “La pera es dulce si y sólo si está madura”
3.8Ejercicios de formalización de proposiciones
Analiza los siguientes párrafos o argumentos, descomponlos en sus proposiciones simples e identifica los conectores.
1. Si Lima no es la capital del Perú y Buenos Aires es la capital de Bolivia, entonces ambas no son capitales de Chile.
Formalizar las siguientes proposiciones
Es falso que, voy a la clase y no a la biblioteca _________
Para que un cuerpo se caliente es suficiente que se dilate____________
Es imposible pensar que Martin cometió este crimen a no ser que lo hizo por despecho. Sin embargo nunca tuvo problemas con su esposa, dado que ella fue una mujer inteligente. ______________________
RAZONAMIENTO
4.2 Tipos de razonamiento
1. Razonamiento deductivo: (va de lo general a lo particular)
El pensamiento deductivo parte de categorías generales para hacer afirmaciones sobre casos particulares. En un razonamiento deductivo válido, la conclusión debe derivarse necesariamente de las premisas.
Ejemplo: Si Juan es médico entonces curará a Pedro, Juan no curará a Pedro. Luego, Juan no es médico.
2. Razonamiento Inductivo: (va de lo particular a lo general)
Es una modalidad del razonamiento no deductivo que consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas que contienen datos particulares.
Ejemplo: Llovió ayer, y también anteayer, por lo tanto, hoy también lloverá.
-Completo
-Incompleto
3. Razonamiento Análogo:
Modalidad de razonamiento inductivo (no deductivo) que consiste en obtener una conclusión a partir de premisas en las que se establece una comparación o analogía entre elementos o conjuntos de elementos distintos.
Ejemplo: Te vi y estudie la situación, de ahí cuando descubrí tu talón de Aquiles supe como vencerte.
Demostraciones
4.3 Métodos de demostración
1. Demostración Directa
2. Demostración por Contradicción
3. Demostración por Contraposición
4. Sí y Solamente Si
5. Demostración por Inducción
4.4 Inducción matemática
impares positivos es n2. Ejemplo: Demuestre que la suma de los primeros n enteros
1. 1 + 3 + 5 + …. + (2n - 1) = n2
2. Hipótesis de inducción: supongamos que la formula es verdadera para K: 1 + 3 + 5 + …. + (2k - 1) = k2
3. Caso base: para k = 1:
(2k - 1) = k2
(2(1) - 1) = 12
1=1
4. Por demostrar: caso k + 1:
1 + 3 + 5 + …. + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)2
5. Por hipótesis-Inducción:
1 + 3 + 5 + …. + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) = k2 + 2(k + 1) - 1
= k2 + 2k + 2 - 1
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
4.5 Ejercicios de demostración por inducción
SUCESIONES NUMÉRICAS 4.6 Concepto
Una sucesión es un conjunto ordenado de números.
Ejemplos: ver sucesiones de la página 60 y sus criterios de formación.
Una sucesión de números reales es un conjunto ordenado de números reales: a1, a2, a3, a4, ...
A cada uno de los números que forman la sucesión se le llama término de la sucesión.
Las sucesiones numéricas pueden ser finitas, cuando el número de términos es limitado, o infinitas, si tienen un número ilimitado de términos.
Término general de una sucesión:
an = Es el que representa a todos los términos; término de lugar n.
a1 = Es el primer término de la sucesión.
d = diferencia
r = razón (división)
*
“ (k + 1)2 es laformula a comprobar.
Que es lo que se
quería demostrar,
así queda
A la expresión an = n3 se le denomina término general de la sucesión, nos permite calcular el valor de
cualquier término sabiendo el lugar que ocupa.
4.7 Series aritméticas
Característica: la diferencia entre un término y el siguiente es una constante. Ejemplos
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos. La regla es xn = 3n-2
Fórmulas:
Para el término general (encontrar un término en una posición específica): an = a1 + d(n - 1)
Para encontrar la suma hasta determinada posición: S=((a1 + an) · n) /2
Para encontrar termino intermedios: d= b - a / m + 1
a = término inicio
b = termino final
m = cantidad de términos intermedios
4.8 Series geométricas
Característica: la constante se obtiene por medio de una razón.
Fórmulas:
Para el término general (encontrar un término en una posición específica): an = a1(r)n-1
Para encontrar la suma hasta determinada posición:
Para encontrar los medios geométricos:
Para cuando n tiende a infinito: s= a1 / 1 - r
4.9 Series cuadráticas
Característica: Se hacen dos diferencias. La segunda diferencia da la primera y ésta da el siguiente término de la serie.
Fórmulas:
Para obtener los valores a, b y c de la expresión ax2 + bx + c:
n = x ax2 + bx + c 1a diferencia 2da diferencia
1 a + b + c
3a + b
5a + b
2a
2 4a + 2b + c
Para obtener un numero de la serie según su posición (n): an = n2 + 4n - 5
Para crear una serie cuadrática:
1. Se crea un binomio con termino común, los números que son diferentes son a elección: (x + 1) (x - 3) 2. Se factoriza a su forma cuadrática: x2 - 2x - 3
3. Se sustituyen tres posiciones en cada termino que contenga x, quedando tres números: x = 1 1 -2 -3 -4
x = 2 4 -4 -3 -3 x = 3 9 -6 -3 0
4. Los términos de la serie son: -4, -3, 0 ….
5.0 Ejercicios (Revisar paginas 64, 65, 68 a 70). Resuelve las siguientes sucesiones:
1. Un arquitecto diseña un teatro con 15 butacas en la1a fila, 18 en la 2a y 21 en la 3a. Si el teatro debe tener
870 lugares, ¿cuántas filas debe tener el diseño del arquitecto?
2. Una ciudad tiene 100, 000 habitantes, si la población aumenta 10% cada 5 años, ¿cuál será la población total después de 40 años?
4. El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8o es 384. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8 primeros términos.
5. Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:
6. Calcula el quinto término de la serie -3, -1, 3,…
