1. Escribe una matriz que cumpla las siguientes condiciones:
Su dimensión es3x2
1
11 21
32aa
a
a22a12a3122. Escribe un ejemplo de las siguientes matrices: a) Una matriz fila con cuatro columnas. b) Una matriz columna con cuatro filas. c) Una matriz cuadrada de orden 4. d) Una matriz diagonal de orden 4 cuya
diagonal principal esté formada por -1.
e) Una matriz triangular superior. f) Una matriz triangular inferior. g) Una matriz de orden tres simétrica. h) Una matriz de orden 4x5.
i)
Una matriz unidad de orden 3.3. Se venden listones con dos calidades y de dos longitudes. Los listones grandes de baja calidad cuestan 0,75 euros y 1 euro los de alta, mientras que los listones pequeños de baja calidad cuestan 0,45 euros y 0,60 euros los de alta. Anota estos datos en forma de matriz. 4. Una empresa naviera tiene tres líneas: A, B y C. El lunes salieron 6 barcos en la línea A, 5 en la B y 7 en la C. El martes salieron 2 barcos de la línea A, 3 de la B y 1 de la C. El jueves salieron 5 barcos de la línea A, 3 de la B y 7 de la C. Represéntalo en forma de matriz. 5. Una fábrica elabora dos tipos de productos, X e Y, que vende a tres empresas A, B y C. Inicialmente distribuía 1000 unidades de cada producto a cada una, pero en este mes la empresa A recibió 600 unidades de X y 300 de Y, la empresa B recibió 500 unidades de X y 250 de Y y la empresa C recibió 900 unidades de X y 400 de Y. Representa mediante una matriz las disminuciones porcentuales que se han producido en la distribución de los productos a estas empresas.
6. Halla el valor de cada incógnita para que las dos matrices sean iguales.
5 1
2 1
1 2 5
) yB
y x
z x
A
a
y y
y D
y z
x z
x C b
3 2
0 1 2
1 2 1
0 3 1 )
7. Dadas las matrices
1 0 1
1 2 1 ,
1 8 1
1 2 0 ,
3 0
7 1 ,
0 5
2 9
D C
B A
Calcular: A+B, B-A, C+D, D-C, 2A, -3C, 2A-B 8. Dadas las matrices del ejercicio anterior calcula:
La matriz opuesta de A
La matriz opuesta de C.
t t tC B A, ,
At B
tD C
t t tB A B
A ,
9. Averigua los valores que faltan si A+B = C siendo:
0 1 1
6 7 ,
1 3 2 ,
5
5 4
3 f
C e
d c B b a A
10. Dadas las matrices
2 0
1 1
1 2
, 1 2
3 1 ,
1 0
1 1
1 2
, 2 1
0 1
D C
B A
B D y D B b
A B y B A a
) )
D B A d
C D y D C c
)
)
t t t t tA B B A B A f
D B C y D B C e
, ,
11. Dadas las matrices
1 0 1
0 2 3
1 0 2
,
1 0 1
0 1 2
3 0 1
B
A calcula AByBA.
12. Dadas las matrices
1 1
2 1
1 0
, 0 2 1
3 1 2
B
A De las siguientes operaciones,
algunas no se pueden realizar; razona por qué. Efectúa las que se puedan realizar.
t t
B A y B A
A B B A
( Andalucía 2005)
13. Sea la siguiente matriz
5 1
2 0
A . Calcula AAt yAtA.
( la Rioja 2002 )
14. Con las matrices
1 2
1 2 ,
4 4
4 3 ,
3 5
1 2
C B
A comprobar la propiedad
asociativa del producto de matrices. ( Aragón, 2002 ) 14. Averigua los valores que faltan si A+B = C siendo:
0 1 1
6 7 ,
1 3 2 ,
5
5 4
3 f
C e
d c B b a A
15. Sean las matrices
0 2
2 0
2 1
, 2 2
1 2 ,
1 2 0
0 1 2
C B
A
a) Determine la dimensión de la matriz M para que pueda efectuarse el producto AMC
b) Determine la dimensión de N para que CtNB sea una matriz cuadrada( Andalucía 2004 ) 16. Dadas las matrices
2 2
3 1 ,
0 1
1 2
B A
a) Calcula A22ABB2
b) Calcula
AB
217. Sean A y B dos matrices cuadradas de tamaño 2x2. ¿Es cierta la igualdad
2 2B A B A B
A ? Razona tu respuesta. Pruébalo si es cierto o da un contraejemplo en otro caso. ( La Rioja 2006 )
18. Dadas las matrices
1 1
0 3 ,
1 2
1 3 ,
3 2
1 1
C B
A comprueba si se cumple
que A
BC
BACA.Si no es cierto, aplica correctamente la propiedad.19.Dadas las matrices efectúa la operación BACA, sacando previamente factor común A. ¿Qué propiedad has aplicado?.
20. Sean las matrices
1 1
1 0 ,
1 1
1
B x
x
A .
b) Determina x para que AB I. ( Andalucía 2006 )
21. Sea
y x A
1 1
a) Calcula A2
b) Calcula todos los valores de x e y para los que se verifica que
1 2
2 1
2 x
A .
22. Determina los valores x e y que hacen cierta la igualdad
2 3
1 1
2 3
1 1
y x
y x
(Andalucía 2001 )
23. Sean
z x z x B
y A
3
1 1
, 5 3
1 2 1
dos matrices de orden 2x3, en las que x, y, z son números reales.
a) Determina, razonadamente, los valores de x, y z de manera que A=B. b) ¿Es posible el cálculo de AB? Razona la respuesta.
24. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
A B
C CA CB dA C B A C B A c
A B B A b
A B B A a
) ) ) )
25. Calcula la matriz inversa de las siguientes matrices:
1 5
2 1 )
3 0
2 1 )
B b
A a
4 2
2 1 )
3 0
0 3 )
D d
C
c
3 1
0 2 )E e
26.Dadas las matrices
0 1
1 1 ,
1 1
2 2
0 1
, 1 1 2
3 2 1
C B
A hallar:
AB C
a) 1
1)CAB
b c)
CAB
127.Dadas las matrices
1 0
2 1
4 1
4 2
B y A
a) Comprobar que
AB1B1A1b) Calcula
B2 1 de la manera más rápida posible. 28. Sean las matrices
4 2
2 1
0 2
1 2
B y
A calcula
t
A B A1
29. Dada la matriz
b B
1 0 1
calcula el valor de b para que 2 2
30.Dada la matriz
2 0
2
x x
A
a) Halla los valores de x para los que se verifica A2 2A
b) Para x = -1 calcula la inversa de A. Comprueba el resultado calculando AA1
31.Sean las matrices
2 1
0 1 B y x y
y x A
a) Calcula, si existe, la matriz inversa de B.
b) Si ABBAyAAt3I, calcula x e y. ( Andalucía 2005 )
32. Dadas las matrices
4 2
2 1
0 2
1 2
B y
A resuelve las siguientes ecuaciones
matriciales:
B X A c
B X A b
B X A a
2 )
2 )
2 )
B X A e
B X A d
3 3 )
2 1 )
B X A g
B X B f
5 1 )
3 2 )
33.Resuelve los siguientes sistemas matriciales:
4 5
3 1
1 1
0 1 2
)
Y X
Y X
a
2 12
8 2 3
2 4
4 2
)
Y X
Y X
b
0 0
1 2 3
2 1
4 1 2
)
Y X
Y X
c
34.Determinar las matrices A y B que cumplen:
1 5 3
4 2 3 2 3
0 6
7 1 4
2AB yAB
35.Calcular dos matrices A y B, que cumplan:
2 1
0 3
1 2
5 4 3
2AB yAB
36.Despeja la matriz X de la ecuación AXB y calcúlala siendo
1 1 0
3 2 1
1 0
2 1
B y A
37.Calcula la matriz A que cumple:
3 5
1 2
2 4
3 1
A
38.Halla la matriz A que verifica¨:
28
9
5 1
3 2
A
39.Obtener de forma razonada la matriz X que verifica AX2BC siendo
2 13
7 2 ,
1 1
4 3 ,
0 5
1 2
C B
A .
40.Se Consideran las matrices
5 16
20 4
, 1 3
1 2
B A
a) Despeja X de la ecuación matricial A2XB
41.Sean las matrices
2 1
0 1 ,
0 1
1 2
B A
a)Calcula A1
2B3I
b) Determine la matriz X para que XAAI
42.Encuentra una matriz X que verifique AXBI siendo
4 3
2 1 ,
0 1
1 0
B A
43.Determina una matriz X de dimensión 2x2 tal que
1 3
0 1
1 1
1 0 2 5 2
3 1 X