TALLER TICS Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA
“EL ARTE DE ENTENDER LAS MATEMÁTICAS”
IMPLEMENTACIÓN DEL PROGRAMA DERIVE5 Y ALGO DE GEOGEBRA
ACTIVIDADES APLICADAS COMO INTRODUCCIÓN AL TRABAJO CON EL CÁLCULO DIFERENCIAL
PRESENTADO POR
MARGARITA FAJARDO ORTEGA ALEXANDRA JIMENEZ JIMÉNEZ DANIEL MANRIQUE AREVALO
PRESENTADO A
PROFESOR IVAN CASTRO CHADID
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA-SEDE BOGOTÁ
PRESENTACIÓN
El aprendizaje y conceptualización de los saberes matemáticos en los niveles de educación básico, medio y vocacional, experimentaron un retroceso considerable durante la última década en nuestro país, situación que fue evidenciada con más profundidad en el sector público.
En las aulas de clase experimentamos, cómo los estudiantes se negaron a la realización de actividades que les permitiera comprender con profundidad y detalle los diferentes conceptos matemáticos necesarios para adquirir habilidades y ser competentes, una de las exigencias que paralelamente las políticas educativas vigentes pide a los estudiantes al finalizar estos ciclos. Una de las causas que condujo a esta situación esta relacionada con la atención de los niños y jóvenes, ya que ellos, en su mayoría, han centrado sus expectativas en diversos agentes externos, dotados de dinamismo e incertidumbre aparente1, cuyo uso excesivo distorsiona su comportamiento y sus formas de aprender, comportamiento que ha sido atribuido a la contemporaneidad de los estudiantes con la era tecnológica y digital, conducta denominada por algunos psicólogos y pedagogos como “nativo digital”. Por otro lado la comunidad educativa en general culpabilizó a las políticas educativas, que por esta época flexibilizaron la promoción de los estudiantes en los diversos niveles y ciclos, ya que se establecieron una serie de leyes y decretos, que al ser mal interpretados, condujeron a la aplicación de la norma bajo ciertos criterios que en ocasiones mostraban actitudes amañadas y favoritismo exagerado, razón que llevó a las Instituciones educativas a una perdida de autonomía y más aún a experimentar situaciones de intervención orientada por agentes a quienes poco les interesaban los procesos de aprendizaje y las implicaciones que este fenómeno pudiera causar en el sector productivo o en los niveles de educación superior. Esta situación condujo a que se popularizara en las aulas una conducta que fue denominada por los profesores como “La ley del mínimo esfuerzo”. De este mínimo esfuerzo resultaron bastantes vacíos en el desarrollo del plan de estudio y fuimos testigos de una serie de dinámicas en las que un estudiante podía llegar a los últimos grados de la educación secundaria, con una cantidad exagerada de vacíos temáticos y conceptuales.
1
La problemática descrita anteriormente nos llevó a plantear una estrategia en la que pudiéramos, en lo posible, subsanar y superar los errores causados en el camino. Ya no podíamos continuar con los largos intervalos de diagnóstico y repaso en los que nos veíamos inmersos año tras año en el grado once. Era necesario inspeccionar el dominio del saber matemático en los estudiantes, sin que esta situación retrasara el plan de estudios programado para el curso de cálculo. Para lograrlo encontramos un apoyo efectivo en las TICS, en el caso específico del trabajo que presentamos en estas páginas, nos apropiamos del apoyo que nos ofrecen los Programas DERIVE5 y GEOGEBRA, así desarrollamos la propuesta que describiremos brevemente, ya que aunque para este año 2010 se ha realizado una enorme reforma en el sistema de evaluación y promoción a nivel nacional (decreto 1290), el problema sigue vigente en las aulas, y tendrán que pasar varios años, hasta que se supere la situación, es decir, se vuelva al proceso estímulo respuesta, en el que el esfuerzo en el estudio, proporcionará buenos resultados cuantitativos y lo que es más importante, la adquisición de habilidades matemáticas que permitirá al estudiante ser competente en el campo.
A lo largo de este módulo desarrollaremos actividades, de contenidos matemáticos que se requieren para lograr una adecuada introducción al cálculo diferencial, donde se utilizaran conceptos y principios matemáticos básicos especialmente del dominio del álgebra, el análisis funcional y del manejo de los números reales. Hemos escogido algunos de los temas en los que la experiencia docente nos ha permitido observar, se presenta mayor dificultad, en cuanto a su manejo, pues se olvidan y confunden con facilidad.
TABLA DE CONTENIDO
ACTIVIDAD #1: “CONOCIENDO EL PROGRAMA DERIVE5” OBJETIVOS
- Desarrollar una dinámica de edición de expresiones aritméticas y algebraicas que conduzca a la interpretación operativa del programa
- Realizar actividades de juego en las que los estudiantes adquieran familiaridad con la “Sintaxis” que especifica y exige el uso de este programa.
Derive5 es un programa creado como herramienta útil en las asignaturas de matemáticas, lo utilizaremos para graficar funciones, solucionar casos de factorización, resolver fracciones, construir tablas de datos entre otras aplicaciones. Para que su utilización se optimice siga al pie de la letra las instrucciones que se dan a continuación.
1. Ponga en marcha el equipo, encendiéndolo con el método correcto.
2. Ubique el icono del programa derive5 en los accesos directos del escritorio del monitor o en la barra de herramientas del escritorio y ejecútelo.
3. Ya abierto el programa realice una observación de los comandos con sus respectivas herramientas, dibuje los principales elementos que ve en la primera pantalla que observo y responda: ¿Qué puede concluir luego de esta inspección?
4. Identifique en la pantalla el programa y sus principales características, para ello, compare la presentación mostrada en su equipo, con la que se da en la figura #1.
5. Ubique la barra de edición y edite cada uno de los siguientes literales, cada que oprima el botón INTRO copie en el cuaderno la información que genera el programa. Tenga en cuenta que ^ es diferente de
A. 9x^2+24x+4+(-3x) ^2 INTRO B. 4x^4-4(4+x^4) INTRO
C. (x-5) ^2 INTRO
D. 6(x^2+4x+5)-5(x^2+5x+1) INTRO E. 10[x(x-8)+6]-2[x(3x-28)+12] INTRO F. 4x+3y+2z+5+x+y+z+1 INTRO
G. 6mn+27n^2+18m^2+9n^2+21+15mn+18m^2 INTRO H. 4x^3+16x^4-36x^5-12x^2-5x^2-10x^3 INTRO
I. -10^2xy-12^2yw -12^2zw-15^2 INTRO J. 12mn+15m-17n^2-37-6mn-10n^2–12 INTRO K. (4x)^2-(-2x)^3-(2x)^5+25 INTRO
L. 2(4mn)+5(3m^2) INTRO M.3(7x^3)-4(-2x^5) INTRO N. (16x^2-144)/(4x-12) INTRO
O. [6x^(2n -1)(6x^(5-2n))]/(36x^3) INTRO
S. 7(3x)+6(-2y)-3(-3z)
T. ½(4wz)+½ (10xy)+½(18yw)
6. ¿Qué concluye a partir de lo realizado en el punto anterior?, ¿Qué hace el Derive5 con las expresiones algebraicas?
7. Seleccione el ejercicio marcado en la pantalla con #1, verifique que quede sombreado, luego busque el icono y haga clic sobre él, seguidamente copie en el cuaderno la expresión algebraica que le genera el programa. Repita este procedimiento con todas las expresiones del punto cinco.
8. Escriba en la barra de edición las siguientes expresiones para que se vean en la pantalla tal y como se ven abajo. Copie en el cuaderno la información que queda en la barra de edición. Ya editadas con efectividad aplíqueles el proceso del punto 7, copie en el cuaderno lo obtenido.
A.
330 19 625 220 9 400 2 10 7 4 2 7 6 5 x x c b a x x c b a
B.
30
C.
255 2 144 17 15 132 2 4 3 2 x x c ab x x c abD.
600 50 474 300 35 363 2 4 2 3 6 5 x x mnx x x x n m
E.
15
15625 225 30 125 2 10 8 2 5 4 x c b a x x c b a
F. 2 3
5) 5 3 ( 8 5 3 4 x c ab x abc
9. Invéntese cinco expresiones similares a las trabajadas hasta el momento y edítelas, escriba en el cuaderno la expresión editada en la pantalla y su correspondiente representación en pantalla
10. Tenga en cuenta la actividad que planteará el profesor, allí se establecerá la habilidad de cada estudiante para editar expresiones matemáticas sobre este programa. Se propone que el docente que realiza la orientación de esta actividad prepare una serie de ejercicios en los que exija al estudiante pasar de la expresión vista en pantalla a la expresión escrita en la barra de edición e inversamente.
ACTIVIDAD #2: “OPERANDO EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON DERIVE5”
OBJETIVOS
- Inducir el uso del programa Derive5 como herramienta que facilita el desarrollo de ejercicios aritméticos y algebraicos en mínimo tiempo.
- Utilizar el programa Derive5 para ayudar a los estudiantes a recordar, familiarizarse y usar de forma adecuada las propiedades de potenciación y radicación de números reales. - Permitir al estudiante la obtención de raíces con índice de radical mayor o igual a dos, por
medio de la aplicación de la sintaxis del programa Derive5
1. Ingrese al programa Derive5, busque el archivo trabajado en la sesión anterior y ábralo. 2. Ahora seleccione una a una las expresiones que tiene en la pantalla y realice lo siguiente.
Vaya a , seleccione allí y observe el resultado que proporciona el programa. Escriba en su cuaderno una conclusión de lo observado. ¿Qué propiedades y operaciones aritméticas y algebraicas se están aplicando, descríbalas brevemente. Justifique sus respuestas.
3. Ubíquese en la barra de edición y digite las siguientes órdenes, oprima la tecla INTRO y copie en el cuaderno lo obtenido en este punto. ¿Qué propiedades y operaciones aritméticas y algebraicas se están aplicando, descríbalas brevemente. Justifique sus respuestas.
A. #11+#19 B. #12+#15+#17 C. #13+#16+#18 D. #14+#20 E. #19-#11 F. #17-#12 G. #20-#14
H. #2+#4+#6+#12 I. #10+#15+#20 J. #3+#6+#9+#18
4. Repita el proceso realizado en el punto 2 con cada una de las expresiones obtenidas en la pantalla al realizar el punto 3 y escriba la conclusión de lo observado en su cuaderno. 5. Ubíquese en la barra de herramientas, digite una a una las siguientes expresiones
algebraicas. A medida que las va editando oprima INTRO y luego vaya a , seleccione allí y observe el resultado que proporciona el programa. Escriba las conclusiones y deducciones que puede sacar de este punto. ¿Qué propiedades y operaciones aritméticas y algebraicas se están aplicando, descríbalas brevemente. Justifique sus respuestas.
A. x^5/x^4
E. (ab^5c^3)/(b^7c^2)
F. (x^9y^13w^8)/(x^5y^5z^5) G. (mn^11x^3)/(m^5n^5y^7) H. (abc)/(b^5x^2y^-3)
I. (a^-6b^-3c^5)/(a^5b^5c^-4)
J. (x^-4y^-6zw^3)/(x^-3y^-10z^5w^5)
6. Ubíquese en la barra de herramientas, digite una a una las siguientes expresiones algebraicas. A medida que las va editando oprima INTRO y luego vaya a , seleccione allí y observe el resultado que proporciona el programa. Escriba las conclusiones y deducciones que puede sacar de este punto. ¿Qué propiedades y operaciones aritméticas y algebraicas se están aplicando, descríbalas brevemente. Justifique sus respuestas.
A. (x^2y^2)(x^3y^4) B. (7mn^3)(5m^5n^7) C. (15ax^2)(bx^6)
D. (5ª^12b^15c^13)(7ª^-7b^-5c^-8) E. (12m^-3n^-4x^-7)(7m^-6n^-5x^-8) F. (3m^-13n^-9)(7m^7n^6)
G. ( ½ a^3b^5c^-15)(2ª^3b^5c^17) H. ((2abxy) ^3)((3abzw) ^2)
I. (x^2y^3z^4) ^3
J. ((x^3y^4)/(4ª^2x^2y^2)) ^3
7. Aplique el proceso empleado en el punto 6 con las siguientes expresiones algebraicas, luego escriba la conclusión de lo observado. ¿Qué propiedades y operaciones aritméticas y algebraicas se están aplicando, descríbalas brevemente. Justifique sus respuestas.
A. (9x^2)^(1/2) B. (27)^(1/3) C. (125) ^(1/2) D. (625) ^(1/4) E. (1000) ^(1/3) F. (343) ^(1/3) G. ((343) ^-1) ^(1/3) H. (1/125)^(1/3) I. (1/729)^(1/6) J. (64/625)^(1/4)
8. Aplique el proceso empleado en el punto 6 con las siguientes expresiones algebraicas, luego escriba la conclusión de lo observado. ¿Qué propiedades y operaciones aritméticas y algebraicas se están aplicando, descríbalas brevemente. Justifique sus respuestas
A. (9x^2)^(-2) B. (27)^(-3) C. (125) ^(-2) D. (625) ^(-4) E. (1000) ^(-3) F. (343) ^(-3)
I. (1/729)^(-6) J. (64/625)^(-4)
9. Aplique el proceso empleado en el punto 6 con las siguientes expresiones algebraicas, luego escriba la conclusión de lo observado. ¿Qué propiedades y operaciones aritméticas y algebraicas se están aplicando, descríbalas brevemente. Justifique sus respuestas
A. (9x^2)^(-1/2) B. (27)^(-1/3) C. (125) ^(-1/2) D. (625) ^(-1/4) E. (1000) ^(-1/3) F. (343) ^(-1/3) G. ((343) ^-1) ^(-1/3) H. (1/125)^(-1/3) I. (1/729)^(-1/6) J. (64/625)^(-1/4)
10. ¿Qué diferencia encuentra entre las operaciones realizadas en los puntos 7, 8 y 9?, ¿Qué propiedades y operaciones están implícitas en estos desarrollos? Justifique su respuesta
11. Redacte una conclusión del trabajo y del aprendizaje aportado en esta actividad
12. PRUEBA DE ADQUISICIÓN DE HABILIDAD OPERATIVA
ACTIVIDAD#3: “SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS FACTORIZABLES”
OBJETIVOS
- Inducir el uso del programa Derive5 como herramienta que facilita el trabajo algebraico en cuanto a la solución de los casos de factorización.
- Ayudar a los estudiantes a repasar sus conceptos básicos relacionados con método de factorizar para descomponer números y expresiones algebraicas.
- Ayudar al estudiante a encontrar relación entre la descomposición factorial y algunas propiedades de potenciación
1. Escriba en al línea de edición los números que se dan: A. 324
B. 2025 C. 1000 D. 1008 E. 5625
F. 4608 G. 625 H. 729 I. 1024 J. 164025
2. Seleccione la opción del menú principal 3. Allí en el menú que se despliega seleccione
4. Haga clic sobre el botón del cuadro de diálogo que se desplegó y seleccione la opción racional, como se ve en la figura. Se obtiene la factorización de estos números en la ventana de álgebra. Escríbalos en el cuaderno. ¿Qué propiedades y operaciones aritméticas y algebraicas se están aplicando, descríbalas brevemente. Justifique sus respuestas.
5. Ubique la posición del cursor en la línea de edición y digite las siguientes expresiones matemáticas tal y como aparecen a continuación. Cuando hayan terminado de digitar cada expresión, pulsen la tecla Intro y observe que pasa en la pantalla de trabajo (espacio de la pantalla al que llamaremos ventana de algebra), luego escriban en sus cuadernos lo que van observando, describiendo y determinando el tipo de expresión algebraica observada, el grado respecto a cada variable y explicando el sentido que tienen algunos caracteres luego de digitados. Las expresiones son:
B. 49c^8+196c^4m^2n^2+196m^4n^4 C. 81ª^4b^8-288ª^2b^4x^8+256x^16 D. m^2-8m-1008
E. n^2+43n+432 F. x^2+15x+56 G. 21x^2-29xy-72y^2 H. 7x^6-33x^3-10 I. 10x^8+29x^4+10 J. 30x^10-91x^5-30
6. Con ayuda del Mouse seleccionen la primer expresión algebraica editada en el punto anterior, manteniéndola seleccionada vaya al Menú principal y seleccionen la opción Simplificar, en el menú que se despliega seleccionen la opción factorizar y sin cambiar nada, seleccionen factorizar en la ventana que se ha desplegado. Repitan este proceso tantas veces como expresiones hayan editado en su pantalla.
7. Analice que sentido tienen cada una de las expresiones que aparecieron en la pantalla luego de haber desarrollado el numeral seis de esta guía.
8. Ubíquese en la línea de edición y digiten los coeficientes numéricos o términos independientes que aparecen en los numerales d, e y f del punto 5 de esta guía, realizando con ellos el proceso realizado en el punto 4.
9. Repita el proceso desarrollado en el numeral 4 de esta guía, pero esta vez con los elementos que aparecieron en la ventana de algebra luego de haber resuelto el numeral 6 de esta guía.
10. Expliquen el sentido matemático que tiene el resultado proporcionado en el numeral 7 y la relación que Ustedes encuentran con los métodos de factorización.
11. Exploren la opción ayuda del menú principal y exploren otros aspectos del programa, describan a continuación lo observado.
12. Ahora veamos como funciona la esta misma aplicación con expresiones algebraicas. Escriba y suba a la pantalla cada una de las expresiones que aparecen en la primera columna de la siguiente tabla, luego utilice el proceso que se observa en las imágenes, hágalo con cada una de las expresiones que están en la primera columna. Utilice el resultado que aquí se obtiene, escríbalo en la columna #2 de la tabla. Las demás columnas se llenan sin el uso del computador, pues dependen de su análisis y de la forma como Usted emplee las formulas resumidas de los diversos casos de factorización, que se han analizado en cursos anteriores.
EXPRESIÓN A SIMPLIFICAR RESULTADO DE DERIVE5
ANÁLISIS DEL RESULTADO DE
DERIVE5 CONCLUSION
13. A partir del trabajo realizado hasta el momento consulte un libro de algebra, ubique el tema de factorización y seleccione 10 ejercicios propuestos sobe trinomio simple (o trinomio de la forma x2 + bx +x y resuélvalos utilizando Derive5. Seguidamente construya un cuadro similar al del punto anterior y complételo mostrando el proceso empleado.
14. Siguiendo la combinación que permite obtener trinomios simples, y ayudándose del programa, construya diez trinomios simples y factorícelos con el programa para verificar el criterio m+n=b y m*n=c
15. Encontró algún trinomio simple que sea cuadrado perfecto?, ¿Cómo lo identifica?. Puede usar el criterio empleado para construir más trinomios de este tipo.
Haga uso de la hoja de “Fórmulas algebraicas para la aplicación de los casos de factorización”, ANEXO UNO de esta cartilla.
16. Ubíquese en la línea de edición y digite uno a uno los siguientes trinomios compuestos (TC).
A. 36x2-241x+100 B. 6x2+19x+15 C. 12x2-45x+42 D. 2m2-5m-12 E. 4x2-7x+3 F. 6x2-11x+4 G. 12x2-23x-24 H. 12x2+25x+12 I. 18x2-29x+3 J. 5x2+8x-4
17 Seleccione una a una las expresiones que acaba de digitar y factorícelas siguiendo el método realizado en el numeral 12. Copie en el cuaderno cada una de los resultados que obtiene en este proceso y verifique en cada trinomio los valores para a, b y c.
18 Ubíquese en la línea de edición y digite uno a uno los siguientes trinomios simples (TS). A. x2+9x+20
E. x2-4x-60 F. x2-4x-21
21 Realice con las expresiones del punto 18 el paso trabajado en el punto 12 de esta guía y analice los resultados a partir de las fórmulas del TS. Es decir verificando los valores de b y c
22 Ubíquese en la línea de edición y digite los siguientes trinomios cuadrados perfectos (TCP).
A. 9x2+12x+4 B. 36x2+48x+16 C. 16y2+16y+4 D. 25m2+10m+1 E. 100n2+160n+64
23 Con los anteriores TCP realicen el proceso trabajado en el punto 12 y verifiquen el siguiente enunciado: “Para comprobar que un trinomio es TCP se le extrae la raíz cuadrada a los términos de los extremos y estos dos valores de las raíces se multiplican entre si y luego se duplican de manera que su producto genera el termino de la mitad de dicho trinomio, si no da igual, no es un TCP”. Esto es 2.(primera raíz).(segunda raíz)=término medio.
24 Edite y factorice las siguientes diferencias de cuadrados. Tenga en cuenta aquí que si el binomio tiene dos o más variables, las debe seleccionar todas en el menú que se despliega para este proceso. Analice la coincidencia con la fórmula dada en la hoja de fórmulas para la factorización.
A. 9x2-4y2 B. 144b2-81c2 C. x2-64y2 D. 81p2-1 E. 36t2-9q2
25 Edite las siguientes expresiones y factorícelas señalando todas las variables que se despliegan en dicho proceso. Copie los resultados de este proceso y luego verifique si efectivamente el programa ha aplicado el caso de factor común FC.
a. 36xy2+48xz2+60xw2 b. 28m2n+42m2a+56m3b c. 15x3+25x4+30x2
d. 12x4+18x5+30x6
26 Consulte en algún libro de algebra elemental 30 ejercicios propuestos sobre otros casos
de factorización, edítelos y simplifíquelos con la ayuda de Derive5, utilice los métodos ya mencionados. Trate de reconstruir el proceso que conduce a su desarrollo
ACTIVIDAD #4: “ANÁLISIS FUNCIONAL A PARTIR DE DERIVE5” OBJETIVOS
- Aprovechar las bondades del programa Derive5 en cuanto al potencial que ofrece en relación con las operaciones mentales de diferenciación y clasificación de funciones, para ayudar al estudiante a adquirir habilidad en el trabajo con el análisis funcional.
- Presentar las herramientas del programa Derive5 que permiten optimizar el trabajo en análisis funcional, en cuanto a la construcción de tablas de datos y gráficas de cualquier clase, en los diversos rangos de los números reales.
Ingrese al programa Derive5 y desarrolle la actividad que se plantea.
1. Con la ayuda del teclado y de la barra de letras escriba las siguientes expresiones matemáticas en la barra de edición, tengan en cuenta que se deben escribir tal como aparece aquí, luego de escribir cada uno se oprime la tecla INTRO y a continuación se escribe la otra, en orden como se han enumerado.
A. y=2x-4 B. y=3x-2 C. y=
2 1
x+1
D. y=-1/4x E. y=1/7-x F. y=2-3x
2. ¿Cómo aparecen estas expresiones en la ventana de trabajo? Explique con sus palabras. 3. ¿Qué tipo de funciones son las dadas en el punto uno? ¿En que se identifican?, justifique
la respuesta.
4. Seleccione una a una las funciones que acaba de editar, en el menú principal seleccione la opción Cálculo, tabla como se muestra en al figura:
Complete la información que solicita, utilice los mismos valores que se muestran en la imagen, seguidamente oprima el botón simplificar.
5. Realice el proceso empleado en el punto anterior con las funciones que tiene en la pantalla, debe proceder una por una. ¿Coincide con las características de los parámetros m y b de las funciones lineales?, ¿Por qué?, describa brevemente sus observaciones. 6. Seleccione simultáneamente las funciones enumeradas en la pantalla desde el #1 hasta
el #8, si se ponen azules ya estarán seleccionadas. Ahora ubique el icono que se llama 2D y que está ubicado en la barra de órdenes. Oprímalo, verá que la pantalla cambia en algunos aspectos. En esa nueva pantalla, vuelva y oprima el icono , y observe lo que se obtiene. Seleccione del menú principal el botón OPCIONES, en la ventana que se despliega seleccione la opción PANTALLA, personalice colores, fondo de pantalla, ejes, cursor y rejilla, de acuerdo con su estilo. Luego oprima el icono , que es el botón que vuelve a activar la ventana de álgebra.
7. En la barra del menú principal seleccione la opción VENTANA, en el menú que se despliega seleccione MOSAICO VERTICAL. Ahora trate de identificar cual ecuación representa cada recta, justifique la respuesta. Haga un bosquejo de lo obtenido hasta el momento en su cuaderno de cálculo. Escriba con sus palabras los resultados observados. Realice un bosquejo de las gráficas observadas, escriba a un lado la expresión matemática que le asoció y compare esta relación con las tablas de datos construidas en el punto 4.
8. Escriba en la barra de edición las siguientes expresiones tal y como se dan a continuación. Recuerde que cada que edita una de las expresiones numeradas, las debe subir a la pantalla de trabajo oprimiendo el botón INTRO.
A. y+3=2(x+1/2)^2 B. y = 2(x – 3)^2 C. y + 4 = -3x^2
D. y = 3x^2 + 4 E. y+3= 2(x+1/2)^2 F. y-1=-2(x-1/2)^2
10. Aplique con estas funciones los numerales 4, 6 y 7 de esta guía. Luego ubique el botón y oprímalo hasta que los valores de los ejes X e Y queden en una escala de 5 en 5, ¿Qué observa al oprimir este botón? ¿Por qué?. Describa brevemente sus observaciones. 11. Escriba en la barra de edición las siguientes expresiones tal y como se dan a
continuación. Recuerde que cada que edita una de las expresiones numeradas, las debe subir a la pantalla de trabajo oprimiendo el botón INTRO.
A. y=1/x B. y=3/(2x) C. y=2/(4x-3)
D. y=(3x+4)/(x^2-4) E. y=(x-1)/(x^2+x+1) F. y=(x+2)/(x^3-x^2+4 12. Desarrolle con estas funciones los numerales 4, 6 y 7.
13. Escriba en la barra de edición las siguientes expresiones tal y como se presentan a continuación. Recuerde que cada que edita una de las expresiones numeradas, las debe subir a la pantalla de trabajo oprimiendo el botón INTRO.
A. y=x^3 B. y=- x^3 C. y= -2x+x^3 D. y= x^4+3x^3-2 E. y= x^5-x^3+x
F. y=4x^6+x G. y=2^x H. y=3^x I. y=4+4^x
J. y=2(x^2+1) ^3
14. Utilice las funciones del punto 13, para resolver los puntos indicados en los numerales 4, 6 y 7. para ello seleccione las funciones de tres en tres en su respectivo orden.
ACTIVIDAD #5: “FAMILIAS DE FUNCIONES Y SUS PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS A PARTIR DE DERIVE5”
OBJETIVOS
- A partir de la orden VECTOR realizar un análisis cuantitativo de las características que presentan algunas familias de funciones, para que los estudiantes puedan elaborar una descripción cualitativa de las mismas y a su vez realicen un análisis del efecto causado al variar algunos parámetros en dichas funciones.
Para evitar que la actividad resulte muy tediosa para un solo estudiante, se propone que se distribuya el trabajo sugerido en esta guía en varios grupos, de esta manera, se puede inducir a los grupos para que realicen algunas exploraciones que aquí no se han tenido en cuenta.
1. Ingrese al programa Derive5 y realice el siguiente proceso
A. Escriba en la barra de edición la expresión VECTOR(kx^2,k,1,6) y súbalo a la pantalla de trabajo.
B. Vaya a simplificar, seleccione la opción normal C. ¿Qué tipo de funciones se generan al simplificar?
D. ¿Cuántas funciones se generan al simplificar la expresión dada?, escríbalas en el cuaderno.
E. Grafique el resultado obtenido en B, utilice el procedimiento desarrollado en los puntos 4, 6 y 7 de la actividad #4.
F. Escriba en forma de intervalo los valores de x para los que la función crece, para los que decrece, para los que la función es continua y para los que la función es discontinua si esto sucede.
G. Determine los puntos máximos y mínimos que se observen en las funciones, ¿De qué depende que el punto sea máximo o mínimo?
2. Realice el proceso efectuado en el punto 1 con VECTOR(-kx^2,k,1,6) 3. Realice el proceso efectuado en el punto 1 con VECTOR(-k(x-3)^2,k,1,6) 4. Realice el proceso efectuado en el punto 1 con VECTOR(k(x^2-2),k,1,6)
5. Prepare una exposición en la que especifique las características observadas en este tipo de funciones.
6. Realice el proceso efectuado en el punto 1 con VECTOR(kx^3,k,1,6) 7. Realice el proceso efectuado en el punto 1 con VECTOR(-kx^3,k,1,6) 8. Realice el proceso efectuado en el punto 1 con VECTOR(-k(x-3)^3,k,1,6) 9. Realice el proceso efectuado en el punto 1 con VECTOR(k(x^3-2),k,1,6)
10. Prepare una exposición en la que especifique las características observadas en este tipo de funciones.
11. Realice el proceso efectuado en el punto 1 con
VECTOR(k((x+3)/(x^2+5x+6)),k,1,6)
12. Realice el proceso efectuado en el punto 1 con VECTOR(-k((x-3)/(x^2-5x+6)),k,1,6)
13. Realice el proceso efectuado en el punto 1 con VECTOR(-k((x-3)/(x^3-27)),k,1, 6 14. Realice el proceso efectuado en el punto 1 con VECTOR(k((x-3)/(x^3+27)), k, 1, 6) 15. Prepare una exposición en la que especifique las características observadas en este tipo
16. Realice el proceso efectuado en el punto 1 con VECTOR(COS(kx),k,1,5) 17. Realice el proceso efectuado en el punto 1 con VECTOR(-Kcos(x),k,1,5) 18. Realice el proceso efectuado en el punto 1 con VECTOR(Kcos(kx)^2,k,1,5) 19. Realice el proceso efectuado en el punto 1 con VECTOR(k(COS(kx)^3-2),k,1,6) 20. Prepare una exposición en la que especifique las características observadas en este tipo
de funciones
21. Escriba en la barra de edición la expresión VECTOR(k2^x,k,1,5) y súbalo a la pantalla de trabajo.
22. Realice el proceso efectuado en el punto 1 con VECTOR(2^(kx),k,1,5) 23. Realice el proceso efectuado en el punto 1con VECTOR(2^(-kx), k, 1, 5) 24. Realice el proceso efectuado en el punto 1con VECTOR(2^(-kx), k, 1, 5)
25. Prepare una exposición en la que especifique las características observadas en este tipo de funciones
26. Escriba en la barra de edición la expresión VECTOR(TAN(kx),k,1,3) y súbalo a la pantalla de trabajo.
27. Realice el proceso efectuado en el punto 1 con VECTOR(-Ktan(x),k,1,3) 28. Realice el proceso efectuado en el punto 1con VECTOR(Ktan(kx)^2,k,1,3) 29. Realice el proceso efectuado en el punto 1con VECTOR(k(TAN(kx)^3-2),k,1,3)
ACTIVIDAD #6: “FUNCIONES DISCONTINUAS VS ACERCAMIENTO AL PUNTO” OBJETIVOS
- Utilizar el apoyo del programa Derive5 para realizar un análisis cuantitativo de algunas funciones discontinuas, que permita a los estudiantes realizar un análisis a partir de sus descripciones cualitativas
- Introducir el trabajo de límites laterales y acercamiento a un número por medio de funciones discontinuas.
1. Ingrese a Derive5 y realice lo siguiente
2. Edite la función 1/(2x-2) y súbala a la pantalla
3. Seleccione la función escrita en el punto 1, vaya a SIMPLIFICAR, seleccione la opción SUSTITUIR VARIABLE, allí seleccione variable X y en NUEVO VALOR escriba 1, seleccione la opción SI
4. Seleccione el resultado obtenido en el punto 3, vaya a SIMPLIFICAR, seleccione la opción =NORMAL.
5. Repita el proceso seguido en los puntos 3 y 4 para los valores de X=0.999, X=0.998, X=1.001 y X=1.002
6. Seleccionando la función del punto 2, vaya a CÁLCULO, seleccione allí TABLA. En el menú que se despliega proceda de la siguiente manera:
A. Variable X
B. Valor inicial: 0.99991 C. Valor final: 1.00001 D. Salto: 0.00001 E. Aproximar
7. Grafique la función del punto 2 y péguela en la pantalla de Algebra1 8. Escriba una conclusión del trabajo aprendido en esta parte de la actividad 9. Edite la función √(x^2-4) y súbala a la pantalla
10. Seleccione la función escrita en el punto 9, vaya a SIMPLIFICAR, seleccione la opción SUSTITUIR VARIABLE, allí seleccione variable X y en NUEVO VALOR escriba -2, seleccione la opción SI
11. Seleccione el resultado obtenido en el punto 10, vaya a SIMPLIFICAR, seleccione la opción =NORMAL.
12. Repita el proceso seguido en los puntos 10 y 11 para los valores de X= 2.009, X= -2.001, X=2.001 y X=2.009
13. Seleccionando la función del punto 9, vaya a CÁLCULO, seleccione allí TABLA. En el menú que se despliega proceda de la siguiente manera:
A. Variable X
B. Valor inicial: -2.99991 C. Valor final: -2.00001 D. Salto: 0.00001 E. Aproximar
14. Vuelva a seleccionar la opción tabla manteniendo seleccionado la función del punto 9, ahora reemplace así.
A. Variable X
C. Valor final: .2.00009 D. Salto: 0.00001 E. Aproximar
15. Grafique la función del punto 9 y péguela en la pantalla de Algebra1 16. Escriba una conclusión del trabajo aprendido en esta parte de la actividad 17. Edite ahora la función 2x-6 y súbala a la pantalla
18. Seleccione la función escrita en el punto 17, vaya a SIMPLIFICAR, seleccione la opción SUSTITUIR VARIABLE, allí seleccione variable X y en NUEVO VALOR escriba -2, seleccione la opción SI
19. Seleccione el resultado obtenido en el punto 18, vaya a SIMPLIFICAR, seleccione la opción =NORMAL.
20. Repita el proceso seguido en los puntos 18 y 19 para los valores de X= 2.009, X= -2.001, X=2.001 y X=2.009
21. Seleccionando la función del punto 17, vaya a CÁLCULO, seleccione allí TABLA. En el menú que se despliega proceda de la siguiente manera:
A. Variable X
B. Valor inicial: -2.99991 C. Valor final: -2.00001 D. Salto: 0.00001 E. Aproximar
22. Grafique la función del punto 17 y péguela en la pantalla de Algebra1 23. Escriba una conclusión del trabajo aprendido en esta parte de la actividad 24. Edite ahora la función 2x^-3 y súbala a la pantalla
25. Seleccione la función escrita en el punto 24, vaya a SIMPLIFICAR, seleccione la opción SUSTITUIR VARIABLE, allí seleccione variable X y en NUEVO VALOR escriba -2, seleccione la opción SI
26. Seleccione el resultado obtenido en el punto 25, vaya a SIMPLIFICAR, seleccione la opción =NORMAL.
27. Repita el proceso seguido en los puntos 25 y 26 para los valores de X= 2.009, X= -2.001, X=2.001 y X=2.009
28. Seleccionando la función del punto 24, vaya a CÁLCULO, seleccione allí TABLA. En el menú que se despliega proceda de la siguiente manera:
A. Variable X
B. Valor inicial: -2.99991 C. Valor final: -2.00001 D. Salto: 0.00001 E. Aproximar
ACTIVIDAD #7
“DEDUCCIÓN DE LAS REGLAS DE DERIVACIÓN A PARTIR DEL USO DE DERIVE5” OBJETIVOS
- Por medio del desarrollo de esta guía se pretende que los estudiantes deduzcan las reglas de derivación, las interpreten y comprendan su origen.
1. Ingrese al programa derive5 y escriba una a una las expresiones que aparecen en la columna 1 de la tabla, Una a una, escriba en la columna 2 la expresión que sube a la pantalla luego de dar INTRO.
2. Seleccionando uno a uno los términos escritos en la columna dos, realice el siguiente proceso: En la barra del menú principal seleccione la opción SIMPLIFICAR, NORMAL y escriba el resultado en la columna 3. En el cuaderno explique brevemente la razón del resultado obtenido.
3. En la barra del menú principal seleccione la opción CÁLCULO, en el menú que se despliega seleccione DERIVADAS, complete el cuadro de diálogo con la información: VARIABLE: x, ORDEN:1, SIMPLIFICAR.
4. Con la información obtenida en el punto anterior complete las columnas que faltan en la tabla. Siga los ejemplos dados
Expresión
para editar Función que se genera en la pantalla
Resultado de la Simplificación Operador dx d Resultado de la derivada ∂
x0
m0
-n0
225/15
√125
-3x0
t0
32/15n0 0
15 32 n 15 32 0 15 32 n dn d 0
3/m0
12/3x0
½+4x0
369+13x0
3m0
5. Observe los resultados obtenidos en las columnas 3 y 5, luego redacte con sus palabras una conclusión que evidencie su interpretación de este punto. ¿Qué hace el operador
dx d ?
6. Complete la tabla siguiendo el mismo proceso empleado con la tabla 1.
Expresión para editar
Función que se genera en la
pantalla
Operador
dx
d Resultado de la
derivada ∂
6x5
-1/8x2
2/3x4
-x6
3x1*4x^5
-1/3x1
5/2x1
-7/16x4
√(16/9)x3
-3/14x3
(1/5x^5)*(3/4x^6)
(3/4x^4)*(2/5x^3)
(√(81/16)x4)*(4x6)
√(16/9)x5/x3
8. Complete la siguiente tabla y construya las conclusiones que puedan observar sobre el proceso implícito que realiza el programa.
9. Escriba las diferencias que se presentan, si las hay, entre los procesos realizados por el
operador
dx d
a las expresiones cuyas celdas se han resaltado con doble línea, respecto
de las expresiones cuya celda esta con una sola línea.
10 ¿Qué nombre le pondría a las operaciones que realizo
dx d
en cada tabla?, ¿Por qué?
11 Escriba una conclusión del trabajo realizado Expresión para editar
Función que se genera en la
pantalla
Operador
dx
d Resultado de
la derivada ∂
3x^2+4x^5
1/2x^3+2/5x^4
3m^5-4/7m^3
-n+3n^5
3ª+5^15
(1/2x)(3/4x^2)
[(x^2)^2(x^3)^3]
[(m^2)(3m^3)(1/7m^5)]
[(1/(2m^2))^2(3m/(5m^4))]
ACTIVIDAD #8 INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE INECUACIÓN” OBJETIVOS
- Con ayuda de Derive5 introducir al estudiante en el uso de las inecuaciones, estableciendo aplicaciones que le permitan diferenciar gráfica y analíticamente la diferencia entre ecuación e inecuación.
1. Construya en su cuaderno una tabla con las siguientes características. Tenga en cuenta que los tamaños de las celdas se debe aumentar considerablemente, ya que debe realizar un trabajo gráfico a partir de los resultados que le arroja el programa Derive5.
Expresión algebraica
Solución de la
expresión en x
tomada de Derive5.
Representación de la solución en la recta
numérica
Grafica tomada de Derive5 de la expresión algebraica
y = 2x + 4 y ≤2x + 4 y ≥ 2x + 4 * 2x + 4 = 0 * 2x + 4 ≤ 0 * 2x + 4 ≥ 0 y = x2 – 9
y ≤ x2 -9
y ≥ x 2 – 9
* 0 = x2 – 9
* 0 ≤ x2 -9
* 0 ≥ x2 - 9
2. Ingresen al programa Derive5 y suban las expresiones de la columna uno.
3. Seleccionen una a una las expresiones ya digitadas que han sido marcadas con el asterisco(*) y realicen con ellas el siguiente proceso: Vayan a la opción RESOLVER y seleccionen EXPRESIÓN, allí seleccionen RESOLVER sin cambiar nada en la ventana que se ha desplegado. Copien en la columna dos la solución que se genera en el extremo derecho de la pantalla.
4. Dibuje una recta numérica y ubique en ella las soluciones numéricas encontradas en la columna dos. Si es necesario utilice colores, pues recuerde que cuando aparecen los signos <, >, ≤ y ≥ en una expresión algebraica, la solución es un conjunto de números reales.
DE LA PANTALLA. Para evitar confusión con las gráficas, antes de seleccionar por segunda vez el icono 2D, verifique que no haya ninguna grafica dibujada sobre el plano cartesiano, si esto ocurre elimínela con el icono BORRAR LA ÚLTIMA GRÁFICA DIBUJADA, y ahora si grafique.
6. Defina de acuerdo a lo observado: Ecuación, Desigualdad e Inecuación
ACTIVIDAD #9 “GEOGEBRA: ARTE Y GEOMETRÍA” OBJETIVOS
- Utilizar las propiedades del plano cartesiano para construir sobre él objetos que puedan ser fraccionados en partes que son figuras geométricas planas y que permita establecer las coordenadas de los diferentes puntos en los números reales.
- Con ayuda del programa libre GEOGEBRA2.6b plantear una actividad que permita utilizar las figuras geométricas planas en la construcción de objetos cotidianos, en los que se ponga en evidencia la habilidad creativa y artística de los estudiantes.
PRIMERA PARTE
1 Recorte la figura y péguela en su cuaderno, seguidamente establezca cada una de las parejas ordenadas que forman los vértices de la estrella, tenga en cuenta que en el eje x cada cuadrito equivale a 2 unidades, mientras que en el eje y cada cuadrito vale media unidad.
2 ¿Qué propiedades del plano cartesiano cumple esta figura?, Descríbalas brevemente. 3 ¿Qué nombre recibe la figura geométrica que forma la estrella?
4 Calcule el área y el perímetro de la estrella
5 Existe una figura patrón, más pequeña que la actual, a partir de la cual se puede obtener la estrella, ¿Cuál es?, ¿Qué características tiene?, ¿Cuáles son las medidas de sus lados? 6 Si en los dos ejes del plano cartesiano establecemos que cada cuadrito de la rejilla mide
7 Recorte la figura de la camioneta y péguela en su cuaderno, seguidamente establezca cada una de las parejas ordenadas que forman sus vértices, tenga en cuenta que en el eje x cada cuadrito equivale a 2½ unidades, mientras que en el eje y cada cuadrito vale 2 unidades.
8 ¿Qué propiedades del plano cartesiano cumple esta figura?, Descríbalas brevemente. 9 ¿Qué nombre reciben las figuras geométricas que forman la camioneta?
10 Calcule el área y el perímetro de la camioneta sin las ruedas
11 Calcule el radio de las ruedas, el de los rines y determine el área del conjunto rueda rin. Si en los dos ejes del plano cartesiano
establecemos que ahora cada cuadrito de la rejilla mide 2
4 3
unidades, ¿Qué propiedades geométricas de la camioneta cambian?, ¿Cuáles se conservan? Justifique su respuesta
12 Recorte la figura del conjunto planta matera y péguela en su cuaderno, seguidamente establezca cada una de las parejas ordenadas que forman sus vértices, tenga en cuenta que en el eje x cada cuadrito equivale a 5
2 5
unidades, mientras que en el eje y cada cuadrito vale 7
4 3
unidades.
13 Con respecto a las figuras anteriores, ¿Qué tipo de figuras forman el conjunto planta matera? 14 ¿Cuál es el área del conjunto matera planta?.
15 Establezca el valor en unidades para la siguiente figura y utilícela para establecer: A. Parejas ordenadas del perímetro del pavo
B. Área del pavo C. Perímetro del pavo
D. Nombre de las diferentes figuras que lo forman
SEGUNDA PARTE
16 Escoja un objeto cotidiano (Casa, silla, carro, árbol, paisaje, etc) el cual pueda descomponer a partir de una o varias figuras geométricas. Es recomendable que tenga claro cual va a construir, para que pueda aprovechar al máximo el tiempo de trabajo con el computador. Esta parte de la actividad debe realizarla con la ayuda del programa Geogebra. Aquí se pretende realizar una actividad en la que se supone su familiaridad con este entorno de trabajo.
pantalla haciendo clic con el botón derecho del Mouse, como se muestra en la figura. Déle color de fondo a la pantalla, a la grilla y a los ejes, de acuerdo con su estilo.
18 Seleccione el ícono RECTA A TRAVÉS DE DOS PUNTOS que está en la barra de órdenes, allí seleccione la opción POLÍGONO como se muestra en la figura. Seguidamente construya el dibujo u objeto que seleccionó previamente.
CONCLUSIONES
Todas las actividades aquí presentadas fueron aplicadas a los estudiantes. De forma general observamos que el trabajo con este material logró causar impacto positivo tanto en los estudiantes, cómo en los profesores.
En los primeros ya que se produjo un cambio de actitud frente a la motivación que se despertó con estas actividades, pues los estudiantes sintieron que pasaron a ser parte activa del proceso de desarrollo de la actividad matemática, vencieron sus miedos, introdujeron nuevos temas y construyeron sus propios conceptos a partir del uso del Derive5. Una de las fortalezas que se consiguió, fue la de lograr que los estudiantes pudieran deducir una serie de procesos implícitos, a partir de su interacción con el programa a través de todos los ejercicios propuestos, los cuales fueron planteados luego de una reflexión detallada de cada uno de los objetivos que se propusieron. Paralelamente se consiguió conducir a los estudiantes por una tarea poco explorada en matemáticas, como lo es, la de poder escribir en lenguaje verbal y cotidiano, los procesos seguidos para aplicar una propiedad o para interpretar una ley. Esto debido a que los estudiantes fueron encaminados a escribir los procesos y las conclusiones del trabajo, con lo que se les llevó a plasmar sus ideas con palabras y no con expresiones matemáticas, esto es, a comunicar su saber matemático. En cuanto a los docentes, hubo varias ganancias, pues se consiguió vencer el paradigma de que la clase de matemáticas sin marcador y tablero no es posible desarrollarla. Además se vio como el docente pasó a ser un guía u orientador, sin necesidad de tener que estar manejando escenarios y disposiciones tradicionalistas de los espacios físicos en los que se desarrollaron las clases. Por otro lado, en una época de crisis como la actual, en la que el esfuerzo brindado por los estudiantes, en las clases de matemáticas es mínimo, pudo evidenciarse que la clase planteada y apoyada a partir de el uso de estos recursos, es recibida con agrado por parte de los estudiantes y el esfuerzo de la preparación y la dedicación en la elaboración del material vale la pena o es bien correspondido.
El ambiente tipo Windows del programa Derive5 permite que el estudiante se familiarice con su entorno, lo cual conduce a identificar con facilidad las herramientas del programa. En la primera actividad se evidencia que el estudiante logra comprender la importancia
que tienen los signos de agrupación, los superíndices y subíndices de una expresión y las líneas principales de las fracciones, pues de ello depende la adecuada edición de los ejercicios a desarrollar. Además el estudiante logra codificar y decodificar las expresiones en el entorno de edición y en el entorno de operación.
En la actividad #2 vemos que el estudiante logra afianzar algunos conceptos que suelen ser problema en los grados superiores (10º y 11º), pues generalmente se olvidan las propiedades de potenciación y radicación, las confunden o no las saben aplicar.
En la actividad #3 el estudiante logra diferenciar los casos de factorización y adquiere habilidad para la descomposición en factores primos.
En la actividad #4 se aprecia cómo el estudiante logra caracterizar los parámetros que identifican las funciones lineales, cuadráticas, cúbicas, polinómicas y exponenciales. Además se verifica la posibilidad de construir tablas de datos y gráficas cambiando el dominio de las variables. Se establece la posibilidad de realizar observaciones detalladas en algunos intervalos, aprovechando las herramientas de acercar y alejar. Con ello los estudiantes comprenden e interpretan el concepto de escala de medidas y aclaran el manejo de estas escalas en los ejes coordenados, además de su independencia o relación a partir de un “zoom”.
En la actividad #5 vemos como se enriquece el concepto gráfico de función y la forma como el estudiante comienza a interpretar el sentido que tienen los distintos parámetros que caracterizan a un determinado grupo o familia de funciones. Por ejemplo, especificar la forma de la curva cuando la pendiente es negativa, a que lado se traslada y en qué eje lo hace dependiendo el signo de la expresión, etc.
tengan cuatro cifras decimales. Generalmente ellos responden -2.0001 y -2.0002, existiendo otro tipo de respuestas que resultan aún más sorprendentes. Con este trabajo los estudiantes aceptan haber corregido su error y comprenden el sentido de orden, así el número sea positivo o negativo. Esta actividad ayuda bastante en el estudio del acercamiento a un número por izquierda y por derecha y además aclara notablemente el concepto de discontinuidad, crecimiento y decrecimiento de las funciones.
Vimos cómo los estudiantes en la actividad #7 pudieron redactar con facilidad las primeras cuatro reglas de derivación, esto es, la derivada de una constante, la derivada de una suma, de un producto y de una potencia. Además ellos pudieron notar cómo es posible reducir o simplificar las expresiones para que la aplicación de la regla de derivación sea más sencilla.
En la actividad #8 se observa la facilidad con la que los estudiantes comprenden la diferencia entre una ecuación y una inecuación. Ellos comprenden en la construcción grafica que la ecuación representa el entorno o frontera de la gráfica, mientras que la inecuación representa el área que está dentro o fuera de la frontera de la curva y que la ubicación de esta área dependen de la relación de orden que se establece, es decir del sentido del signo de la relación.
