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TALLER DE Nº 2 CONTROL AVANZADO

“No se educa cuando se imponen caminos, sino cuando se enseña a caminar”

1. La función de transferencia de cierto proceso es:

𝐺𝑝(𝑆) = 1 5𝑆 + 1

El proceso está en serie con un sensor 𝐺_𝑚(𝑆) como se indica en la figura 1. Existe la posibilidad de seleccionar la función de transferencia del sensor así:

𝑎) 𝐺_𝑚(𝑆) = 1.5𝑒−0.2𝑆 _{𝑏) 𝐺}

𝑚(𝑆) = 1

𝑆 + 1

a) Obtenga para el sistema un controlador por asignación de polos (STR) de modo

que el sistema, en lazo cerrado tenga tiempo de establecimiento de 12 𝑠. y coeficiente de amortiguamiento igual a 0.8

Figura 1. Sistema para el problema 3

2. La función de transferencia para el proceso del sistema de control que se muestra en la figura 2 está dada por:

𝐺𝑝(𝑧) =

0.07355𝑧 + 0.05495

𝑧2_{− 1.3141𝑧 + 0.4168} 𝑇 = 0.1 𝑚𝑖𝑛

y tiempo de pico de 0.3min. d) Obtenga la ley de control para el sistema con los datos dadas en los literales b) y c)

Figura 2 Sistema de control para el problemas 4

3. La dinámica de un intercambiador de calor se puede describir mediante un modelo de segundo orden de la forma:

𝐺_𝑝(𝑆) = 𝑎. 𝑏

(𝑎𝑆 + 1)(𝑏𝑆 + 1)

Asumiendo 𝑎 = 50 𝑠, 𝑏 = 20 𝑠, período de muestreo 𝑇 = 10 𝑠, y que el sistema está precedido por un retenedor de orden cero obtener: a) La función de transferencia de pulso del intercambiador b) Una representación del sistema en el espacio de estado discreto en forma canónica observable c) La matriz de ganancia de realimentación 𝐾 incluyendo integrador, de modo que el sistema tenga polos dominantes en 𝑧 = 0.5 y en z = 0.8𝑗0.25. c) Diseñe un estimador (observador) de estados con polos en 𝑧 = 0.3 𝑦 𝑧 = 0.5 e) Obtenga la ley de control para el sistema.

4. Para los sistemas de control discreto que se dan a continuación, se desea que el sistema en lazo cerrado presente respuesta con oscilaciones muertas (Todos los

polos ubicados en el orígen). a) Obtenga la matriz de ganancia de realimentación 𝐾

incluyendo integrador b) Diseñe un observador de orden completo adecuado para el sistema. c) Obtenga la ley de control.

a) (𝑘 + 1) = [

0.5 0 0

0 0.8 0

0 0 1

] 𝑥(𝑘) + [ 1 1 1

b) 𝑥(𝑘 + 1) = [

1.4 −0.72 0.09

1 0 0

1 1 0

] 𝑥(𝑘) + [ 1 0 0

] 𝑢(𝑘) 𝑦(𝑘) = [0 0.25 0.25]𝑥(𝑘)

5. La figura 3 muestra el diagrama de instrumentación para el control digital de la temperatura de un horno. El sistema se muestreó cada 0.2 min. La dinámica de los elementos componentes del sistema se puede modelar así: Horno: sistema de primer orden. Ganancia 0.6, constante de tiempo 1.75 min. Válvula: Sistema de primer orden. Ganancia 1 y constante de tiempo 0.25 min. Medición: sistema con ganancia unitaria. Diseñe para el sistema un controlador digital por asignación de polos (STR) de modo que el sistema en lazo cerrado tenga máximo sobreimpulso igual al 10% y tiempo de establecimiento de 1.5 min.

Figura 3 Sistema para el problema 5

6. La Figura 4 representa un motor de corriente continua controlado por armadura. Si se definen como variables de estado: 𝑥₁ la corriente de armadura y 𝑥₂ la velocidad del rotor y 𝑢 como la corriente de excitación o entrada, el modelo en espacio de estados correspondiente al motor se puede representar mediante el sistema no lineal:

𝑥̇₁ = −𝑎₁𝑥₁ − 𝑎₂𝑥₂𝑢 + 𝑎₃

𝑥̇₂ = −𝑎₄𝑥₂+ 𝑎₅𝑥₁𝑢

Donde 𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃, 𝑎₄, 𝑎₅ son valores constantes positivos con valores nominales 𝑎₁ = 50, 𝑎₂ = 0.8, 𝑎₃ = 20, 𝑎₄ = 5, 𝑎₅ = 2 × 104

Se desea mantener la velocidad del motor en un valor constante 𝑦𝑟

a) Calcular el punto de equilibrio y linealizar el modelo del motor alrededor del punto

𝑦_𝑟 = 100. c) Discretizar el modelo linealizado con 𝑇 = 0.05 𝑠 d) Diseñar, para el

sistema discreto, un control de velocidad STR de modo que el motor en lazo cerrado tenga constante de tiempo igual 0.02s y coeficiente de amortiguamiento de 0.8

M +

-R

VDC

L

u

X1 _X2

Figura 4. Modelo del motor para el problema 9.18

7. Para el sistema no lineal definido por la ecuación de estado:

𝑥̇₁ = −𝑥₁+ 𝑥₂

𝑥̇₂ = −3𝑥₂+ 𝑥₁2 _{+ 2𝑢} 𝑥̇₃ = −𝑥₁− 2𝑥₃ 𝑥̇₄ = −𝑥₄ + 𝑥₃2 𝑦 = 𝑥₁ − 3𝑥₃

Obtenga los puntos de equilibrio y linealice sistema alrededor del punto 𝑢𝑜 = 1

8. En el intercambiador de la figura 5 el objetivo es calentar una corriente de proceso con temperatura de entrada 𝑇_𝑖(𝑡) mediante un flujo de vapor. La temperatura de salida 𝑇𝑜(𝑡), se controla manipulando la válvula FCV que regula el

puede variar, por lo que constituye la entrada de perturbación más importante. Se supone que el resto de entradas se mantiene constante.

Experimentalmente se obtuvo que la función de transferencia correspondiente a la temperatura de salida y el flujo de vapor está dada por:

𝑇𝑜(𝑆) 𝐹_𝑣(𝑆)=

1.5

(0.5𝑆 + 1)(0.2𝑆 + 1) [𝑚𝑖𝑛℃/𝐾𝑔]

Asuma que la temperatura de la corriente de entrada permanece constante (Perturbación igual a cero). a) Discretice la función de transferencia del proceso con

𝑇 = 0.1 𝑚𝑖𝑛 b) Obtenga la matriz de ganancia de realimentación incluyendo

integrador para que el sistema en lazo cerrado tenga coeficiente de amortiguamiento de 0.8 y velocidad de respuesta 20% mayor que la de lazo abierto. c) obtenga la matriz de ganancia L de modo que el observador de orden completo tenga coeficiente de amortiguamiento 0.8 y velocidad de respuesta 30% mayor que la del sistema en lazo abierto. d) Calcule la ley de control para el sistema.

Flujo de Vapor: Fv(t)

Kg/min _{Control: m(t)}Señal de

4-20 mA

Tr(t)

Medición i(t) 4-20 mA

Temperatura De salida: TO(t) ºC

Condensado Temperatura

de entrada: Ti(t)

FCV