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(1)

Matem´aticas I

19/12/08

Tipo A

Apellidos... Nombre:... DNI... Lic. en Econom´ıa 2 Lic. Adm´on. y Dir. Empr. 2 Dipl. CC.Empres. 2

IMPORTANTE

- Duración: 2 horas y 30 minutos. El problema en el aula de ordenadores será a partir de las 11:30 h. - No se permite el uso de teléfonos móviles ni compartir material como calculadoras, etc.

- Es obligatorio realizar el ejercicio con bol´ıgrafo y letra clara.

- Escribir las soluciones del test y del problema en sus plantillas correspondientes. - Un ejemplar del examen resuelto se depositar´a en la p´agina web de la asignatura.

Marque con una

×

su respuesta a las cuestiones tipo test en la tabla siguiente. Cuide que la opción elegida quede clara. Sólo una de las alternativas es correcta. Las respuestas correctas suman 4 puntos, las incorrectas restan 2 puntos, y las que se dejen en blanco no puntúan.

Tipo A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

a

b

c

Problema

Una empresa produce un bien a partir de dos factores productivosx >0,y >0. Si la funci´on de producci´on esQ(x, y) = ln(xy2_),

se pide:

1. Calcular la recta tangente a la curva de nivelQ(x, y) =c en el punto (x, y) = µ

1 2,

1 3

¶

. (3 ptos.)

2. Si (x, y) = µ

1 2,

1 3

¶

, utilizando la diferencial total, calcular cómo variará la producción si se incrementaxen 0,02 unidades ey

disminuye la misma cantidad. (2 ptos.)

3. Si existe una restricci´on de capacidad de la empresa que viene dada porC(x, y) =x2₊_y2_{, plantear el problema de optimizaci´on}

que permita maximizar la producci´on de la empresa si se dispone de una capacidad de 75 unidades. (1 pto.)

4. Obtener la combinación de factores (x, y, λ) que maximiza la producción del problema de optimización del apartado anterior. (6 ptos.)

5. Decidir qué son las curvas de nivel y la restricción. Representarlas gráficamente, indicando dónde se encuentra el óptimo, el vector gradiente y reflejarlos en la gráfica. Justificar razonadamente que el punto obtenido es el óptimo del problema.

(5 ptos.)

6. Comprobar que el valor de la producci´on en el ´optimo es 3 ln 5 + ln 2. (1 pto.)

7. ¿En cuántas unidades variará aproximadamente la producción si se reduce la capacidad en 2 unidades? (2 ptos.)

...Cortar para conservar...

Tipo A: 1. (a) (b) (c) 2. (a) (b) (c) 3. (a) (b) (c) 4. (a) (b) (c) 5. (a) (b) (c) 6. (a) (b) (c) 7. (a) (b) (c) 8. (a) (b) (c)

9. (a) (b) (c) 10. (a) (b) (c) 11. (a) (b) (c) 12. (a) (b) (c) 13. (a) (b) (c) 14. (a) (b) (c) 15. (a) (b) (c)

(2)

Test

1. El dominio de la funci´on

f(x) =

√

x3₋_x2₊_x₋₁

x−2 es:

a) [1,2)∪(2,+∞). b) (1,2)∪(2,+∞). c) IR− {1,2}.

2. La inversa de la funci´ony= 1−e x

1 + 2ex es:

a) x=e µ

1−y

2y+ 1 ¶

.

b) x= ln µ

1−y

2y+ 1 ¶

.

c) x= ln µ

2y+ 1 1−y

¶ .

3. Dadas f(x) = ln µ

x+ 1

x−1 ¶

y g(x) = 1−e x

1 +ex entonces (g◦f)(x) es:

a)−1

x. b)−

1

ex. c)x.

4. La funci´on f(x) =x2_{+ (5}₋_a2₎_x_{+ 3}_{, a >}_{0, cumple las}

hip´otesis del teorema de Bolzano en [0,1] si:

a)a >3. b)a∈(0,3). c)a∈[0,3].

5. El l´ım x→+∞x

³

ea+1x −1 ´

es 1

2 siaes:

a) 1

2. b)−1. c)−

1 2.

6. La funci´onf(x) = −1

x2₊_x tiene:

a) Un m´aximo local enx= 1 2.

b) Un m´aximo local enx=−1

2.

c) Un m´ınimo local en x=−1

2.

7. La ecuaci´on de la recta tangente a la curva f(x) = x2+ 1 2ex en el puntox= 0 es:

a)y=−x

2 + 1

2. b)y=

x

2 + 1

2. c)y=−

x

2 − 1 2.

8. Sean las funciones y = √x2₊_x_{+ 7,} _x ₌ 3u2−10

u . Entonces dy du ¯ ¯ ¯ ¯ u=2

es igual a:

a)−11

4 . b)

4

11. c)

11 4 .

9. Las curvas de nivel c > 1 de la funci´on f(x, y) = e−x2+13y son:

a) Par´abolas c´oncavas.

b) Funciones exponenciales.

c) Par´abolas convexas.

10. La diferencial total de la funci´onf(x, y) = ex−y₋_xy_{en el} punto (1,1) es:

a) df(1,1) = 2dy.

b) df(1,1) =−2dy.

c) df(1,1) = (e+ 1)dx+ (e+ 2)dy.

11. La dirección de máximo crecimiento de la función

f(x, y) =xy2−x2ey−1

en el punto (1,−1) es igual a:

a) µ

1− 2

e2,

1

e2 + 2

¶ .

b) µ

1− 2

e2,2−

1 e2 ¶ . c) µ

1− 2

e2,−

1

e2−2

¶ .

12. Sea el problema

Opt x2₊_y2₊_xy₋₃_,

s.a 2x+y= 2.

Aplicando el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange se obtiene:

a) El punto cr´ıtico (0,2) conλ= 1.

b) El punto cr´ıtico (1,0) conλ= 1.

c) El punto cr´ıtico (1,0) conλ=−1.

13. La funci´onf(x, y) =−x2₋_y2₋₆_y3_{+ 10 tiene:}

a) Un m´aximo local en (0_µ ,0) y un punto de silla en

0,−1

9 ¶

.

b) Un m´ınimo local en (0_µ ,0) y un m´aximo local en

0,−1

9 ¶

.

c) Un m´ınimo local en (0,0) y punto de silla en µ

0,−1

9 ¶

.

14. El conjunto de oportunidades o conjunto factible del problema de optimizaci´on

Opt f(x, y) =e1x+y, s.a x−y= 0,

viene dado por:

a) ©(x, y)∈IR2/x6=yª.

b) ©(x, y)∈IR2− {(0,0)}/x=yª.

c) ©(x, y)∈IR2/x=yª.

15. La integral Z 1

0

(1−x)e−x_dx _{es igual a:}

a) 1

e. b)e. c)−

1

(3)

Matem´aticas I

19/12/08

Tipo B

IMPORTANTE

- Duración: 2 horas y 30 minutos. El problema en el aula de ordenadores será a partir de las 11:30 h. - No se permite el uso de teléfonos móviles ni compartir material como calculadoras, etc.

- Es obligatorio realizar el ejercicio con bol´ıgrafo y letra clara.

- Escribir las soluciones del test y del problema en sus plantillas correspondientes. - Un ejemplar del examen resuelto se depositar´a en la p´agina web de la asignatura.

Marque con una

×

su respuesta a las cuestiones tipo test en la tabla siguiente. Cuide que la opción elegida quede clara. Sólo una de las alternativas es correcta. Las respuestas correctas suman 4 puntos, las incorrectas restan 2 puntos, y las que se dejen en blanco no puntúan.

Tipo A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

a

b

c

Problema

Una empresa produce un bien a partir de dos factores productivosx >0,y >0. Si la funci´on de producci´on esQ(x, y) = ln(xy2_),

se pide:

1. Calcular la recta tangente a la curva de nivelQ(x, y) =c en el punto (x, y) = µ

1 2,

1 3

¶

. (3 ptos.)

2. Si (x, y) = µ

1 2,

1 3

¶

, utilizando la diferencial total, calcular cómo variará la producción si se incrementaxen 0,02 unidades ey

disminuye la misma cantidad. (2 ptos.)

3. Si existe una restricci´on de capacidad de la empresa que viene dada porC(x, y) =x2₊_y2_{, plantear el problema de optimizaci´on}

que permita maximizar la producci´on de la empresa si se dispone de una capacidad de 75 unidades. (1 pto.)

4. Obtener la combinación de factores (x, y, λ) que maximiza la producción del problema de optimización del apartado anterior. (6 ptos.)

5. Decidir qué son las curvas de nivel y la restricción. Representarlas gráficamente, indicando dónde se encuentra el óptimo, el vector gradiente y reflejarlos en la gráfica. Justificar razonadamente que el punto obtenido es el óptimo del problema.

(5 ptos.)

6. Comprobar que el valor de la producci´on en el ´optimo es 3 ln 5 + ln 2. (1 pto.)

7. ¿En cuántas unidades variará aproximadamente la producción si se reduce la capacidad en 2 unidades? (2 ptos.)

...Cortar para conservar...

Tipo B: 1. (a) (b) (c) 2. (a) (b) (c) 3. (a) (b) (c) 4. (a) (b) (c) 5. (a) (b) (c) 6. (a) (b) (c) 7. (a) (b) (c) 8. (a) (b) (c)

9. (a) (b) (c) 10. (a) (b) (c) 11. (a) (b) (c) 12. (a) (b) (c) 13. (a) (b) (c) 14. (a) (b) (c) 15. (a) (b) (c)

(4)

Test

1. La inversa de la funci´ony= 1−ex 1 + 2ex es:

a) x= ln µ

1−y

2y+ 1 ¶

.

b) x=e µ

1−y

2y+ 1 ¶

.

c) x= ln µ

2y+ 1 1−y

¶ .

2. El dominio de la funci´on

f(x) =

√

x3₋_x2₊_x₋₁

x−2

es:

a) (1,2)∪(2,+∞). b) [1,2)∪(2,+∞). c) IR− {1,2}.

3. La funci´on f(x) =x2+ (5−a2)x+ 3, a >0, cumple las hip´otesis del teorema de Bolzano en [0,1] si:

a)a∈[0,3]. b)a∈(0,3). c)a >3.

4. Dadas f(x) = ln µ

x+ 1

x−1 ¶

y g(x) = 1−e x

1 +ex entonces (g◦f)(x) es:

a)−1

ex. b)−

1

x. c)x.

5. La funci´onf(x) = −1

x2₊_x tiene:

a) Un m´ınimo local en x=−1

2.

b) Un m´aximo local enx= 1 2.

c) Un m´aximo local enx=−1

2.

6. El l´ım x→+∞x

³

ea+1x −1 ´

es 1

2 siaes:

a) 1

2. b)−

1

2. c)−1.

7. Sean las funciones y = √x2₊_x_{+ 7,} _x ₌ 3u2−10

u . Entonces dy du ¯ ¯ ¯ ¯ u=2

es igual a:

a) 4

11. b)−

11

4 . c)

11 4 .

8. La ecuaci´on de la recta tangente a la curva f(x) = x

2_{+ 1}

2ex en el puntox= 0 es:

a)y=−x

2 + 1

2. b)y=−

x

2 − 1

2. c)y=

x

2 + 1 2.

9. La diferencial total de la funci´on f(x, y) = ex−y₋_xy_{en el} punto (1,1) es:

a) df(1,1) = 2dy.

b) df(1,1) = (e+ 1)dx+ (e+ 2)dy.

c) df(1,1) =−2dy.

10. Las curvas de nivel c > 1 de la funci´on f(x, y) = e−x2+13y son:

a) Par´abolas c´oncavas.

b) Par´abolas convexas.

c) Funciones exponenciales.

11. Sea el problema

Opt x2₊_y2₊_xy₋₃_,

s.a 2x+y= 2.

Aplicando el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange se obtiene:

a) El punto cr´ıtico (0,2) conλ= 1.

b) El punto cr´ıtico (1,0) conλ=−1.

c) El punto cr´ıtico (1,0) conλ= 1.

12. La dirección de máximo crecimiento de la función

f(x, y) =xy2−x2ey−1

en el punto (1,−1) es igual a:

a) µ

1− 2

e2,−

1

e2−2

¶ .

b) µ

1− 2

e2,2−

1 e2 ¶ . c) µ

1− 2

e2,

1

e2 + 2

¶ .

13. El conjunto de oportunidades o conjunto factible del problema de optimizaci´on

Opt f(x, y) =e1x+y, s.a x−y= 0,

viene dado por:

a) ©(x, y)∈IR2/x=yª.

b) ©(x, y)∈IR2− {(0,0)}/x=yª.

c) ©(x, y)∈IR2/x6=yª.

14. La funci´onf(x, y) =−x2₋_y2₋₆_y3_{+ 10 tiene:}

a) Un m´ınimo local en (0_µ ,0) y un m´aximo local en

0,−1

9 ¶

.

b) Un m´ınimo local en (0,0) y punto de silla en µ

0,−1

9 ¶

.

c) Un m´aximo local en (0_µ ,0) y un punto de silla en 0,−1

9 ¶

.

15. La integral Z 1

0

(1−x)e−x_dx _{es igual a:}

a)−1

e. b)e. c)

1

(5)

Matem´aticas I

19/12/08

Tipo A

Problema con DERIVE

Responder justificadamente, indicando en su caso las instrucciones utilizadas, a las siguientes cuestiones:

1. Sea la funci´onf(x) = 5x2₋_ex−3_{, se pide:}

a) Dibujar la gr´afica y calcular sus ra´ıces. (3 ptos.)

b) Calcular sus puntos cr´ıticos y clasificarlos, justificando si son locales o globales. (3 ptos.)

c) Calcular la ecuaci´on de la recta tangente en el el puntox= 3. (2 ptos.)

d) Hallar el polinomio de Taylor de orden 2 en el puntox= 0. (2 ptos.)

e) Determinar el error absoluto cometido con la aproximaci´on anterior en el puntox= 0·03.

(2 ptos.)

2. Dada la funci´onf(x, y) = 1 3x

2_y₋√₃¡_x2₊_y2₋₉¢_{, se pide:}

a) Hallar los puntos cr´ıticos def(x, y). Dar las soluciones racionales, no aproximaciones. (3 ptos.)

b) Escribir la matriz hessiana. (2 ptos.)

(6)

Matem´aticas I

19/12/08

Tipo B

Problema con DERIVE

Responder justificadamente, indicando en su caso las instrucciones utilizadas, a las siguientes cuestiones:

1. Sea la funci´onf(x) =e2x−5₋₃_x2_{, se pide:}

a) Dibujar la gr´afica y calcular sus ra´ıces. (3 ptos.)

b) Calcular sus puntos cr´ıticos y clasificarlos, justificando si son locales o globales. (3 ptos.)

c) Calcular la ecuaci´on de la recta tangente en el el puntox= 1. (2 ptos.)

d) Hallar el polinomio de Taylor de orden 3 en el puntox= 1. (2 ptos.)

e) Determinar el error absoluto cometido con la aproximaci´on anterior en el puntox= 1·02.

(2 ptos.)

2. Dada la funci´onf(x, y) = 1 3x

2_y₋√₃¡_x2₊_y2₋₉¢_{, se pide:}

a) Hallar los puntos cr´ıticos def(x, y). Dar las soluciones racionales, no aproximaciones. (3 ptos.)

b) Escribir la matriz hessiana. (2 ptos.)

(7)

Matem´aticas I. Soluci´on al examen del 19/12/08

Cuestionario Tipo Test

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Tipo A a b a a c c a c a b c b a b a Tipo B a b c b a b c a c a c a b c c

Soluci´

on al Problema. Tipos A y B

1. La pendiente de la recta tangente pedida es _dxdy =− Qx Qy =−

y

2x ¯ ¯ ¯x=1/2

y=1/3

=−1

3. Luego, la recta pedida esy =−13x+b. Ahora,

para calcularbforzamos a la recta a pasar por el punto (1

2,13), resultando la ecuaci´on 13 =−3112+b, de donde se obtieneb= 12.

Finalmente, la recta tangente resultay=−1 3x+12.

2. Tenemos que dQ(x, y) = ∂Q_∂xdx+∂Q_∂ydy, donde ∂Q_∂x = _xyy22 =_x1

¯ ¯ ¯x=1/2

y=1/3

= 2, ∂Q_∂y =2_xyxy2 =2_y

¯ ¯ ¯x=1/2

y=1/3

= 6. Luego

dQ µ 1 2, 1 3 ¶

= 2·0·02 + 6·(−0·02) =−0·08,

es decir, se reduce aproximadamente en 0·08 unidades.

3. El planteamiento del problema es:  



Max Q(x, y) = ln(xy2₎_,

s.a x2₊_y2_{= 75}_,

x, y >0.

4. La funci´on lagrangiana es L(x, y, λ) = ln(xy2₎₋_λ₍_x2₊_y2₋_{75). Los puntos cr´ıticos se obtienen resolviendo el sistema:}

Lx = _x1−2xλ= 0,

Ly = y2−2yλ= 0,

Lλ = −x2−y2+ 75 = 0.            .

De las dos primeras ecuaciones, despejandoλe igualando, se deducey2_{= 2}_x2_{, que llevado a la tercera ecuaci´on proporciona}

la soluci´on (x∗_{, y}∗_{, λ}∗_{) =}¡₅_,₅√₂_, 1 50

¢ .

5. La restricci´on es una circunferencia de centro (0,0) y radio√75. Las curvas de nivel son tipo hip´erbolas de la formay= q

ec x

en el primer cuadrante. El vector gradiente es ∇Q(x, y) = ³

1

x,y2 ´

, cuyo sentido apunta al primer cuadrante. Por tanto, en el

punto cr´ıtico se tiene que∇Q(5,5√2) =³1 5,5√22

´

. Todo ello aparece representado en la figura 1. Moviéndonos en la dirección del vector gradiente, se observa en la gráfica adjunta que en el punto P(5,5√2) se alcanza el máximo global del problema, ya que es el último punto de contacto de una curva de nivel con la restricción en el sentido del vector gradiente.

6. Resulta inmediato que Q(5,5√2) = ln(5·52_·_{2) = ln 5}3_{+ ln 2 = 3 ln 5 + ln 2.}

7. Puesto que ∆Q∗ _≈_λ∗_∆_b_{, siendo} _b _{el t´ermino independiente de la restricci´on, se deduce que ∆}_Q∗ _{≈ −}2

50, que es la cantidad

en la que aproximadamente se reduce la producci´on.

PH5,5 2L

5 X

5 2 Y

(8)

Solución al problema con Derive. Tipo A

Apartado 1

2 x - 3 #1: f(x) := 5·x - ê

Dibujando la gráfica se observan dos puntos de corte próximos

al origen, pero si nos alejamos más se observa que hay otro

punto de corte próximo a x=10.

2 x - 3 #2: SOLVE(f(x) := 5·x - ê , x, Real)

#3: x = -0.09515061119

Con Solve (icono de aproximar) hemos obtenido una de las tres

raíces, x=-0.095, las otras dos las calcularemos con NSolve:

2 x - 3 #4: NSOLVE(f(x) := 5·x - ê , x, 0, 1)

#5: x = 0.1051747994

2 x - 3 #6: NSOLVE(f(x) := 5·x - ê , x, 5, 10)

#7: x = 9.004997261

Las otras dos son x=0.105 y x=9.005.

b) Cálculo de puntos críticos:

#8: f'(x)

#9: SOLVE(f'(x), x, Real)

#10: x = 7.288943736

(9)

calculamos un punto crítico, x=7.289, el otro que está próximo

al valor x=0 lo obtendremos con NSolve:

#11: NSOLVE(f'(x), x, -1, 1)

#12: x = 0.005003681127

El otro punto crítico es x=0.005

Clasificación de los puntos críticos:

#14: f''(7.288943736)

#15: -62.88943733

El punto crítico x=7.289 es máximo local.

#16: f''(0.005003681127)

#17: 9.949963188

El punto crítico x=0.005 es mínimo local.

A la vista de la gráfica no hay máximos ni mínimos globales.

c) La ecuación de la recta tangente en x=3:

#18: TANGENT(f(x), x, 3)

#19: 29·x - 43

d) Polinomio de Taylor de orden 2 en x=0:

2 x - 3 #20: TAYLOR(f(x) := 5·x - ê , x, 0, 2)

2 -3 3 x ·ê ·(10·ê - 1) -3 -3 #21: ———————————————————— - x·ê - ê 2

2 #22: 4.975106465·x - 0.04978706836·x - 0.04978706836

e) Error absoluto en x=0.03

2 #23: p2(x):= 4.975106465·x - 0.04978706836·x - 0.04978706836

#24: |f(0.03)-p2(0.03)|

-7 #25: 2.257318890·10

Apartado 2

a) Puntos críticos:

1 2 2 2 #26: f(x, y) := ———·x ·y - ‹3·(x + y - 9) 3 #27: f'(x, y)

(10)

„ 2 † ‚ ¦¦ 2·x·(y - 3·‹3) x - 6·‹3·y ¦ ¦ #29: SOLVE¦¦————————————————, —————————————¦, [x, y], Real¦ … 3 3 ‡ ƒ

#30: [x = 0  y = 0, x = 3·‹6  y = 3·‹3, x = - 3·‹6  y = 3·‹3]

Hay tres puntos críticos, para clasificarlos utilizamos la

matriz hessiana.

(b) Matriz hessiana:

#32: f''(x,y)

„ 2·(y - 3·‹3) 2·x † ¦ —————————————— ————— ¦ ¦ 3 3 ¦ #33: ¦ ¦ ¦ 2·x ¦ ¦ ————— - 2·‹3 ¦ … 3 ‡

c) Clasificación de los puntos críticos: #34: f''(0,0)

„ - 2·‹3 0 † #35: ¦ ¦ … 0 - 2·‹3 ‡ „ - 2·‹3 0 †

#36: DET ¦ ¦ … 0 - 2·‹3 ‡

#37: 12

Como det H(0,0)>0 y fxx<0, el punto crítico (0,0) es máximo

local.

#38: f''(3‹6,3‹3)

„ 0 2·‹6 † #39: ¦ ¦ … 2·‹6 - 2·‹3 ‡ „ 0 2·‹6 †

#40: DET ¦ ¦ … 2·‹6 - 2·‹3 ‡

#41: -24

Como det H(3‹6,3‹3)<0, el punto crítico (3‹6,3‹3) es punto de

silla.

#42: f''(

-3‹6,3‹3

)

„ 0 - 2·‹6 † #44: ¦ ¦ … - 2·‹6 - 2·‹3 ‡ „ 0 - 2·‹6 †

#45: DET ¦ ¦ … - 2·‹6 - 2·‹3 ‡

#46: -24

(11)

Solución al problema con Derive. Tipo B

Apartado 1

2·x - 5 2 #1: f(x) := ê - 3·x

Dibujando la gráfica se observan dos puntos de corte próximos

al origen, pero si nos alejamos más se observa que hay otro

punto de corte próximo a x=5.

2·x - 5 2 #2: SOLVE(f(x) := ê - 3·x , x, Real)

#3: x = -0.04529315770

Con Solve (icono de aproximar) hemos obtenido una de las tres

raíces, x=-0.045, las otras dos las calcularemos con NSolve:

2·x - 5 2 #4: NSOLVE(f(x) := ê - 3·x , x, 0, 1)

#5: x = 0.04981227731

2·x - 5 2 #6: NSOLVE(f(x) := ê - 3·x , x, 4, 5)

#7: x = 4.568488564

Las otras dos son x=0.050 y x=4.568.

b) Cálculo de puntos críticos:

#8: f'(x)

#9: SOLVE(f'(x), x, Real)

#10: x = 3.704014800

(12)

al valor x=0 lo obtendremos con NSolve:

#11: NSOLVE(f'(x) , x, -1, 1)

#12: x = 0.002256139732

El otro punto crítico es x=0.002

Clasificación de los puntos críticos:

#15: f''(3.7040148)

#16: 38.44817755

El punto crítico x=3.704 es mínimo local.

#17: f''(0.002256139732)

#18: -5.972926323

El punto crítico x=0.002 es máximo local.

A la vista de la gráfica no hay máximos ni mínimos globales.

c) La ecuación de la recta tangente en x=1:

#19: TANGENT(f(x), x, 1)

#21: 2.950212931·(1 - 2·x)

d) Polinomio de Taylor de orden 3 en x=1:

2·x - 5 2 #22: TAYLOR(f(x) := ê - 3·x , x, 1, 3)

-3 3 2 3 ê ·(4·x - 3·x ·(3·ê + 2) + 6·x - 1) #23: ———————————————————————————————————————— 3

e) Error absoluto en x=1.02

-3 3 2 3 ê ·(4·x - 3·x ·(3·ê + 2) + 6·x - 1) #24: p3(x):= ———————————————————————————————————————— 3

#25: |f(1.02)-p3(1.02)|

-9 #27: 5.363061768·10

Apartado 2

a) Puntos críticos:

1 2 2 2 #26: f(x, y) := ———·x ·y - ‹3·(x + y - 9) 3 #27: f'(x, y)

(13)

#30: [x = 0  y = 0, x = 3·‹6  y = 3·‹3, x = - 3·‹6  y = 3·‹3]

Hay tres puntos críticos, para clasificarlos utilizamos la

matriz hessiana.

(b) Matriz hessiana:

#32: f''(x,y)

„ 2·(y - 3·‹3) 2·x † ¦ —————————————— ————— ¦ ¦ 3 3 ¦ #33: ¦ ¦ ¦ 2·x ¦ ¦ ————— - 2·‹3 ¦ … 3 ‡

c) Clasificación de los puntos críticos: #34: f''(0,0)

„ - 2·‹3 0 † #35: ¦ ¦ … 0 - 2·‹3 ‡ „ - 2·‹3 0 †

#36: DET ¦ ¦ … 0 - 2·‹3 ‡

#37: 12

Como det H(0,0)>0 y fxx<0, el punto crítico (0,0) es máximo

local.

#38: f''(3‹6,3‹3)

„ 0 2·‹6 † #39: ¦ ¦ … 2·‹6 - 2·‹3 ‡ „ 0 2·‹6 †

#40: DET ¦ ¦ … 2·‹6 - 2·‹3 ‡

#41: -24

Como det H(3‹6,3‹3)<0, el punto crítico (3‹6,3‹3) es punto de

silla.

#42: f''(

-3‹6,3‹3

)

„ 0 - 2·‹6 † #44: ¦ ¦ … - 2·‹6 - 2·‹3 ‡ „ 0 - 2·‹6 †

#45: DET ¦ ¦ … - 2·‹6 - 2·‹3 ‡

#46: -24