Modelo de comportamiento de suelos granulares - estudio y determinación de sus parámetros

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(1)Modelo de comportamiento de suelos granulares: Estudio y determinación de sus parámetros.

(2) Modelo de comportamiento de suelos granulares: Estudio y determinación de sus parámetros. Pablo Andrés Arias Garcı́a Asesor: Arcesio Lizcano Peláez. Programa de Magister en Ingenierı́a Civil Facultad de Ingenierı́a Civil y Ambiental Universdad de los Andes Bogotá D.C. - Colombia 8 de agosto de 2006.

(3) Índice General Introducción. viii. 1 El modelo de estudio: Hipoplasticidad. 1. 1.1. Descripción del estado del suelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Suposiciones del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.3. El modelo más simple: 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.4. El modelo hipoplástico de von Wolffersdorff: 3D . . . . . . . . . .. 8. 2 Parámetros y su significado fı́sico. 12. 2.1. Angulo de fricción crı́tico ϕc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.2. Relaciones de vacı́os de referencia : ei0 , ec0 y ed0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.3. Dureza granular hs y exponente n . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 2.4. Exponente α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 2.5. Exponente β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 2.6. Relación entre las propiedades granulométricas y los párametros del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. i.

(4) 3 Encontrando un camino adecuado. 23. 3.1. Encontrando un camino para: ϕc . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 3.2. Encontrando un camino para: hs y n . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 3.3. Encontrando un camino para: α . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 3.4. Encontrando un camino para: β . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 3.5. Comparación con los parámetros originales . . . . . . . . . . . . .. 30. 4 Parámetros de materiales colombianos 4.1. 4.2. 5. 34. Parámetros arena del Guamo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 4.1.1. Determinación : ϕc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 4.1.2. Determinación : ei0 , ec0 y ed0. . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 4.1.3. Determinación : hs y n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 4.1.4. Determinación : α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 4.1.5. Determinación : β. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 4.1.6. Validación de los parámetros encontrados . . . . . . . . . .. 44. Parámetros mezcla grava - arena para base granular de pavimentos. 48. 4.2.1. Determinación : ϕc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 4.2.2. Determinación : ei0 , ec0 y ed0. . . . . . . . . . . . . . . . .. 49. 4.2.3. Determinación : hs y n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49. 4.2.4. Determinación : α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. 4.2.5. Determinación : β. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. 4.2.6. Ajuste final de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 4.2.7. Validación de los parámetros encontrados . . . . . . . . . .. 55. Conclusiones. 57. ii.

(5) Bibliografı́a. 60. iii.

(6) Índice de Figuras 1.1. Mediciones (arriba) contra simulaciones(abajo). Ensayo triaxial drenado arena Karlsruhe. Tomado de [Herle & Gudehus 1999] . .. 2. Influencia de la presión de confinamiento en el comportamiento del suelo, barotropı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. Influencia de la densidad inicial en el comportamiento del suelo, picnotropı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.4. Arriba, deformación homogénea. Abajo, deformación no homogénea.. 6. 1.5. Representación gráfica del tensor de esfuerzo T . . . . . . . . . .. 9. 2.1. Estado estable alcanzado con dos densidades iniciales distintas. Compresión triaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. Relaciones de vacı́os de referencia. Para cada ps , e debe mantenerse dentro del rango ei -ed o el esqueleto deja de existir . . . . . . . . .. 15. Influencia de hs y n en el comportamiento del suelo. hs influencia la pendiente, mientras que n influencia la curvatura. Tomado de [Herle & Gudehus 1999] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. Determinación de n evaluando dos puntos. Pto2 :(ps2 , e2 ). Tomado de [Herle & Gudehus 1999]. Pto1 :(ps1 , e1 ), . . . . . . . .. 18. Significado de α. Entre mayor sea la caı́da desde el estado pico hasta el estado estable, mayor será el valor de α . . . . . . . . . .. 19. Determinación de ϕc de tres triaxiales drenados. Experimento con la arena Karlsruhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 1.2 1.3. 2.2 2.3. 2.4 2.5. 3.1. iv.

(7) 3.2. Equipo para ensayo oedométrico tradicional, carga por escalones. 25. 3.3. Determinación de hs y n de un oedométrico con carga por escalones y de un oedométrico con carga continua. Experimento con la arena Karlsruhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. Determinación de α de un triaxial drenado confinado a 300 kPa y de uno confinado 75 kPa. Experimento con la arena Karlsruhe . .. 28. Determinación de β de dos ensayos isotrópicos. Experimento con la arena Karlsruhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. Determinación de β de dos ensayos isotrópicos vs Determinación de dos oedométricos. Experimento con la arena Karlsruhe . . . .. 31. Comparación de gráficas originales contra las simulaciones con los nuevos parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 4.1. Curva granulométrica arena del Guamo . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 4.2. Angulo de reposo por el método Santamarina . . . . . . . . . . .. 36. 4.3. Determinación ϕc del diagrama p vs q. Arena Guamo . . . . . . .. 36. 4.4. Determinación emin densificando en un molde proctor . . . . . . .. 37. 4.5. Determinación emax método Santamarina . . . . . . . . . . . . . .. 38. 4.6. Montaje para un oedométrico con carga continua . . . . . . . . .. 40. 4.7. El cabezal está unido al pistón de carga mediante una rótula . . .. 41. 4.8. Resultados del oedométrico con carga continua. Arena del Guamo. 42. 4.9. Diagramas para determinación directa de hs y n a partir de las propiedades granulométricas Cu y d50 . [Patiño 2006] . . . . . . . .. 43. 4.10 Tres triaxiales drenados con igual relación de vacı́os inicial. Determinación de α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 4.11 Dos ensayos isotrópicos, uno con muestra suelta y otro con muestra densa. Determinación de β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45. 4.12 Ensayos triaxiales drenados. Mediciones contra simulaciones. Arena del Guamo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 3.4 3.5 3.6 3.7. v.

(8) 4.13 Ensayo oedométrico. Mediciones contra simulaciones. Arena del Guamo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. 4.14 Curva granulométrica mezcla grava-arena para base de pavimentos. 47. 4.15 Determinación ángulo resposo. Mezcla grava-arena . . . . . . . .. 48. 4.16 Determinación emin . Mezcla grava-arena . . . . . . . . . . . . . .. 50. 4.17 Determinación emax método Santamarina. Mezcla grava-arena . .. 51. 4.18 Determinación α, triaxial drenado con muestra densa. Mezcla grava-arena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. 4.19 Esquema para determinación de β matemáticamente. Mezcla grava-arena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. 4.20 Triaxial drenado, mediciones contra simulaciones. Mezcla gravaarena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56. vi.

(9) Índice de Tablas 2.1. Relaciones entre los parámetros y las propiedades granulométricas del suelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 3.1. Parámetros de la arena de Karlsruhe, Alemania . . . . . . . . . .. 24. 4.1. Parámetros de la Arena del Guamo . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 4.2. Parámetros de la mezcla grava-arena para base granular de pavimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. vii.

(10) INTRODUCCIÓN La geotecnia es esencialmente una ciencia del comportamiento de materiales. Los componentes básicos de esta ciencia son: el material suelo, las formas en que es solicitado el material, la respuesta del material ante las solicitaciones y finalmente la descripción matemática de esta respuesta. Esta descripción matemática es llamada modelo constitutivo o ecuación constitutiva . Por constitutivo se entiende de comportamiento o en otras palabras relación esfuerzo-deformación. A través de los llamados ensayos elementales, el investigador estudia el comportamiento del suelo. Aunque entender el comportamiento del suelo es una parte clave en la investigación, los verdaderos desafı́os aparecen cuando se trata de describir tal comportamiento con una ecuación constitutiva. Ninguna ecuación constitutiva es mala sino mal usada. Es cuestión de entender que la misma ecuación no sirve para todo tipo de materiales. El presente trabajo se involucra con una ecuación especialmente diseñada para describir el comportamiento de materiales granulares. El principio de la ecuación es que los materiales granulares son inelásticos y su comportamiento es no lineal. Inelásticos significa que se presentan deformaciones irreversibles desde el inicio de la carga. No lineal significa que la relación esfuerzo-deformación, o rigidez, está cambiando a través del tiempo. El problema se limita al estudio del comportamiento de suelos granulares y su descripción con un modelo inelástico no lineal, ante cargas monotónicas. El alcance del trabajo consiste en establecer una metodologı́a para determinar los parámetros en laboratorio. Son ocho parámetros correspondientes al modelo hipoplástico de von Wolffersdorff. Con la metodologı́a propuesta se determinan los parámetros para la arena Guamo de Tolima Colombia y para una mezcla gravaarena de Bogotá Colombia. La mezcla grava-arena es una base de pavimento BG-2 según las especificaciones INVIAS.. viii.

(11) El trabajo se desarrolla en cuatro etapas. Primero se hace una presentación del modelo. Despues se profundiza en el significado fı́sico de cada uno de los ocho parámetros. Luego se hace un experimento virtual para establecer una metodologı́a para determinar parámetros. Finalmente se determinan los parámetros para la arena de Guamo y para la mezcla grava-arena.. ix.

(12) Capı́tulo 1 El modelo de estudio: Hipoplasticidad La hipoplasticidad es un modelo especialmente desarrollado para describir el comportamiento de materiales granulares no cohesivos. El modelo ha mostrado gran desempeño describiendo el comportamiento varios suelos granulares. Incluyendo arenas y algunas mezclas grava-arena. En la Figura 1.1 se presentan una serie de ensayos realizados en la arena de Karlsruhe. Allı́, se pueden apreciar las bondades del modelo presentado en este trabajo. El modelo se desarrolla con base en el comportamiento no lineal del suelo. Esto significa que la rigidez del suelo, relación esfuerzo-deformación, no es constante. La rigidez está cambiando a través del tiempo. El cambio de la rigidez es atribuido al cambio del estado del suelo durante el tiempo. El estado puede ser descrito de varias formas. Sin embargo, el modelo sólo se compromete con dos, la densidad y el estado de esfuerzos. El modelo consiste en una sola ecuación del tipo incremental que es capaz de reproducir por si sola tanto la carga como la descarga.. 1.1. Descripción del estado del suelo. El estado del suelo puede ser descrito de muchas formas, como por ejemplo:. 1.

(13) CAPÍTULO 1 - El modelo de estudio: Hipoplasticidad. Figura 1.1: Mediciones (arriba) contra simulaciones(abajo). drenado arena Karlsruhe. Tomado de [Herle & Gudehus 1999]. 2. MIC 2006-II-5. Ensayo triaxial.

(14) CAPÍTULO 1 - El modelo de estudio: Hipoplasticidad. MIC 2006-II-5. • Esfuerzo actuante • Densidad • Temperatura • Saturación • Fuerzas electromagnéticas Cuando el suelo es deformado, inmediatamente comienza a cambiar su estado. Cuando el estado cambia, la rigidez del suelo cambia. En la Figura1.2 se observa como el suelo cambia su respuesta al cambiar la presión a la cual se confina. En la Figura 1.3 se observa como el suelo cambia su respuesta al cambiar su densidad inicial. A partir de lo anterior, se puede concluir que la respuesta del suelo esta notablemente influenciada por el estado de esfuerzos y la densidad. A partir de lo anterior, la hipoplasticidad solo describirá el estado del suelo con el esfuerzo actuante y con la densidad (Ecuación 1.1) σ̇ = h(σ, e)ε̇. (1.1). Donde: σ̇ : Esfuerzo actuante ε̇ : Relación vacı́os actual (Densidad) El cambio de la respuesta del suelo cuando cambia la presión de confinamiento es conocido como barotropı́a. El cambio en la respuesta del suelo cuando cambia la densidad inicial es conocido como picnotropı́a.. 1.2. Suposiciones del modelo. Un modelo consiste en una ecuación que relaciona esfuerzo y deformación. El modelo presentado hace las siguientes suposiciones: • Las partı́culas del suelo no cambian debido a fracturamiento o desgaste. La granulometrı́a se mantiene. • Las deformaciones son homogéneas, tal como se muestra en la Figura 1.4.. 3.

(15) CAPÍTULO 1 - El modelo de estudio: Hipoplasticidad. MIC 2006-II-5. Figura 1.2: Influencia de la presión de confinamiento en el comportamiento del suelo, barotropı́a. 4.

(16) CAPÍTULO 1 - El modelo de estudio: Hipoplasticidad. MIC 2006-II-5. Figura 1.3: Influencia de la densidad inicial en el comportamiento del suelo, picnotropı́a. 5.

(17) CAPÍTULO 1 - El modelo de estudio: Hipoplasticidad. MIC 2006-II-5. Figura 1.4: Arriba, deformación homogénea. Abajo, deformación no homogénea. • Se trabaja en esfuerzos efectivos. Sólo para suelos secos o saturados. El modelo no reproduce comportamiento de suelos parcialmente saturados. Nunca se presenta tensión capilar. • El suelo es un esqueleto granular. Los granos están organizados de tal forma que al aplicar un esfuerzo en un borde del elemento, éste se transmite hasta el otro borde. • El modelo no reproduce fenómenos diferentes a los producidos por esfuerzos en los bordes. • Internamente no se producen cementación ni fuerzas electromagnéticas.. 1.3. El modelo más simple: 1D. El modelo logra con una sola ecuación describir por igual la carga y la descarga. Esto se logra al incluir el valor absoluto de la rata de deformación ε̇.El modelo actualiza el estado del suelo durante todo el proceso de carga. Esto se logra haciendo la ecuación del tipo incremental. Los dos principios anteriores llevan la Ecuación 1.1 a convertirse en la Ecuación 1.2 σ̇ = E1(σ, e)ε̇ + E2(σ, e) |ε̇|. 6. (1.2).

(18) CAPÍTULO 1 - El modelo de estudio: Hipoplasticidad. MIC 2006-II-5. ¿Por qué se necesita el valor absoluto? Usando la convención tradicional de mecánica de materiales, los esfuerzos y deformaciones a compresión son negativos, y los esfuerzos y deformaciones a tensión son positivos. Ası́, el valor absoluto hace que a compresión la Ecuación 1.2 se convierta en la Ecuación 1.3. Por otro lado, a tensión la Ecuación 1.2 se convierte en la Ecuación 1.4. Lo anterior cumple con el principio de una sola ecuación para carga y descarga. Se puede observar que la rigidez en descarga es mucho mayor que en carga, lo cual es una caracterı́stica fundamental del comportamiento del suelo. σ̇ = (E2(σ, e) − E1(σ, e)) ε̇ (1.3) σ̇ = (E1(σ, e) + E2(σ, e)) ε̇. (1.4). Ecuación del tipo incremental: Actualización del estado La ecuación funciona por incrementos. Cada incremento es un cálculo completo con la ecuación. Los resultados del incremento actual se convierten en los datos de entrada del incremento siguiente. A continuación se presenta un ejemplo del funcionamiento incremental Estado incial(t = 0) e0 relación de vacı́os inicial σ0 Estado de esfuerzos inicial, en un ensayo triaxial serı́a la presión de cámara Se establece la rata de deformación Esto es cuanto se incrementa la deformación en un incremento de tiempo. Este valor se establece al principio y permanece constante durante todos los incrementos de cálculo •. ε=. ∆ε . ∆t. 7.

(19) CAPÍTULO 1 - El modelo de estudio: Hipoplasticidad. MIC 2006-II-5. Calculo del primer incremento (ti = t0 , tf = t1 ) σ̇t1 = E1(σ0 , e0 )ε̇ + E2(σ0 , e0 ) |ε̇| Al final del incremento los valores iniciales σ0 y e0 son actualizados, lo que significa un cambio en el estado del suelo: σt1 = σ0 + σ̇t1 et1 = e0 + (1 + e0 ) ε̇ Calculo del segundo incremento (ti = t1 , tf = t2 ) σ̇t2 = E1(σ1 , e1 )ε̇ + E2(σ1 , e1 ) |ε̇| Se actualiza el estado del suelo: σt2 = σ1 + σ̇t2 et2 = e1 + (1 + e1 ) ε̇ Calculo del tercer incremento (ti = t2 , tf = t3 ) σ̇t3 = E1(σ2 , e2 )ε̇ + E2(σ2 , e2 ) |ε̇| Se actualiza el estado del suelo: σt3 = σ2 + σ̇t3 et3 = e2 + (1 + e2 ) ε̇ Se continúa calculando hasta llegar a la deformación final deseada. εf =. 1.4. f P n=1. ∆εn. El modelo hipoplástico de von Wolffersdorff: 3D. La ecuación en una dimensión . . . σ̇ = E1(σ, e)ε̇ + E2(σ, e) |ε̇| 8.

(20) CAPÍTULO 1 - El modelo de estudio: Hipoplasticidad. MIC 2006-II-5. Figura 1.5: Representación gráfica del tensor de esfuerzo T es llevada a las tres dimensiones . . . o. T = L (T, e) D + N (T, e) kDk Con las siguientes equivalencias: o. σ̇ →T (Tensor de velocidad de esfuerzo) ε̇ →D (Tensor velocidad de deformación) σ →T (Tensor de esfuerzo) |ε̇|→kDk(Norma del tensor D) En la Figura 1.5se muestra una representación gráfica de los componentes de un tensor, en este caso el tensor de esfuerzo T. A partir de este punto los desarrolladores de la hipoplasticidad han encontrado varias combinaciones de términos para las funciones de rigidez L (T, e) D y N (T, e) kDk. Esto se ha logrado a partir del uso de la función expansión. La función expansión, como se presentada en la Ecuación 1.5, es una combinación infinita de las variables T ,e y D. o. 2 2 2 2 2 T = C1 + C2 T + C3 D + C4 e + C5 T + C6 D + C7 e + C8 T De + C9 TD e +C10 TDe2 + C11 T3 + C10 D3 + . . . (1.5). Dentro de esta combinación existe un grupo de términos que son capases de representar adecuadamente la relación esfuerzo-deformación. La combinación adecuada. 9.

(21) CAPÍTULO 1 - El modelo de estudio: Hipoplasticidad. MIC 2006-II-5. se logra por observación del comportamiento del material y por ensayo y error. Después de varias versiones que ha tenido la ecuación se ha logrado llegar a la propuesta por von Wolffersdorff (Ecuación1.6). 1. o. T = fs. ³. tr T̂2. h i ´ F 2 D + a2 T̂tr(T̂D) + fd aF (T̂ + T̂∗ ) kDk. (1.6). Aquı́ el tensor de esfuerzo T es reemplazado por el tensor de esfuerzo normalizado T̂, donde:. T̂ =. T ; Tensor de esfuerzo normalizado trT. trT = T11 + T22 + T33 ; Traza del tensor T T̂∗ =. T̂ 1 − trT̂ ; Tensor desviador de esfuerzo normalizado trT̂ 3. (1.7) (1.8) (1.9). Los escalares de la Ecuación 1.6 son: a = a (ϕc ) √ 3 (3 − sin (ϕc )) √ a= 2 2 sin (ϕc ). (1.10). F = F (T). v u u1 F = t tan2 (ψ) +. 8. 2 − tan2 (ψ) 1 √ − √ tan(ψ) 2 + 2 tan(ψ) cos(3ϑ) 2 2. Donde. . q . 3trT̂∗2 √ trT̂∗3 cos 3ϑ = − 6 h i3/2 trT̂∗2 tan ψ =. fd = fd (e, α) ; Factor de picnotropı́a 10. (1.11).

(22) CAPÍTULO 1 - El modelo de estudio: Hipoplasticidad µ. fd =. e − ed ec − ed. MIC 2006-II-5. ¶α. (1.12). fs = fs (ϕc , ei0 , ec0 , ed0 , hs , n, α, β, T, e) ; Factor de barotropı́a ¶µ ¶ µ µ ¶β µ √ µ ei0 − ed0 ¶α ¶−1 1 + ei 3ps 1−η hs ei 2 − (1.13) 3 + a − 3a fs = e ei hs η ec0 − ed0 En total son ocho parámetros los que se tienen en las Ecuaciones 1.10-1.13. Se resumen a continuación: ϕc Ángulo de fricción crı́tico ei0 Relación de vacios maxı́ma posible cuando ps = 0 ec0 Relación de vacios crı́tica cuando ps = 0 ed0 Relación de vacios mı́nima posible cuando ps = 0 hs Dureza granular del esqueleto n Exponente, sensivilidad del esqueleto ante la presión α Exponente, picnotropı́a β Exponente, barotropı́a. 11.

(23) Capı́tulo 2 Los parámetros del modelo y su significado fı́sico Es de suma importancia entender que los parámetros son más que un factor de ajuste. Lo ideal es que tengan un respaldo teórico, o significado fı́sico. La importancia de esto radica en que los parámetros deben representar al material, no a la gráfica. Un parámetro sin significado fı́sico hace que un modelo dibuje bien una gráfica. Sin embargo, cuando se cambian las condiciones del ensayo, la gráfica cambia y el parámetro ya no sirve. A continuación se hará una presentación detallada de cada uno de los ocho parámetros y su significado fı́sico. 2.1. Angulo de fricción crı́tico ϕc. Es una relación entre los esfuerzos principales en el estado crı́tico, definida por la Ecuación 2.1. Es importante para el modelo por cuanto define un estado crı́tico o estable inherente a cada material (Figura2.1). µ. sin ϕc =. T11 − T22 T1 + T22. ¶. (2.1) estadoestable. Es correcto suponer que el ángulo de fricción crı́tico es aproximadamente igual al ángulo de reposo. Suposición que ya ha sido validada experimentalmente [Herle & Gudehus 1999].. 12.

(24) CAPÍTULO 2 - Parámetros y su significado fı́sico. MIC 2006-II-5. Figura 2.1: Estado estable alcanzado con dos densidades iniciales distintas. Compresión triaxial. 13.

(25) CAPÍTULO 2 - Parámetros y su significado fı́sico. MIC 2006-II-5. ¿Como se incluye ϕc dentro del modelo? En el estado crı́tico se tiene . . . o. o. T 11 = T 22 = 0 trD = 0 Lo anterior se introduce en la ecuación hipoplástica (Ecuación 1.6) y se obtiene: √ a=. ³. 2 3 · 3 − TT11 −T +T2 √ ³ T −T ´ 2 2 T11 +T22. ´ estadoestable. estadoestable. Teniendo en cuenta la relación de la Ecuación 2.1 se llega a: √ 3(3 − sin ϕc ) √ a= 2 2 sin ϕc Que es la Ecuación 1.10 que se habı́a presentado en la Página 10.. 2.2. Relaciones de vacı́os de referencia : ei0, ec0 y ed0. Para cada presión ps existe una relación de vacı́os máxima posible, una crı́tica y una mı́nima posible. Estas relaciones de vacı́os de referencia son determinadas con la Ecuación 2.2. µ. µ. ei 3ps ec ed = = = exp − ei0 ec0 ed0 hs. ¶n ¶. (2.2). Donde ei0 , ec0 y ed0 son las relaciones de vacı́os de referencia para una presión ps = 0. Estas se constituyen en los puntos de partida para construir las gráficas de la Figura 2.2 usando la Ecuación 2.2. La función de estas tres referencias es mantener es mantener la relación de vacı́os actual dentro de los limites fı́sicamente posibles, ed < e < ei (Figura 2.2).En caso de que e estuviera fuera de los lı́mites, el esqueleto granular dejarı́a de existir. Además, estas relaciones de vacı́os de referencia permiten que el modelo conozca la. 14.

(26) CAPÍTULO 2 - Parámetros y su significado fı́sico. MIC 2006-II-5. Figura 2.2: Relaciones de vacı́os de referencia. Para cada ps , e debe mantenerse dentro del rango ei -ed o el esqueleto deja de existir densidad relativa que tiene el suelo en cada ps y ası́ tener en cuenta la picnotropı́a. Experimentalmente se ha establecido [Herle & Gudehus 1999]. . . ed0 ≈ emin ec0 ≈ emax ei0 ≈ 1.15ec0. (2.3) (2.4) (2.5). En donde emax y emin son determinados en laboratorio mediante ensayos sencillos. Su determinación se explicará adecuadamente en la Seccı́on 4.1.2, Página 35.. 2.3. Dureza granular hs y exponente n. Estos parámetros están relacionados con el cambio volumétrico del suelo a través de la Ecuación 2.6. µ. µ. ep 3ps = exp − ep0 hs 15. ¶n ¶. (2.6).

(27) CAPÍTULO 2 - Parámetros y su significado fı́sico. MIC 2006-II-5. Figura 2.3: Influencia de hs y n en el comportamiento del suelo. hs influencia la pendiente, mientras que n influencia la curvatura. Tomado de [Herle & Gudehus 1999] Donde: hs Es una presión de referencia del esqueleto granular. No debe ser confundido con la dureza de un grano individualmente. n Es la sensibilidad que tiene el esqueleto granular de cambiar su rigidez ante el cambio de presión ps . La influencia que tienen los valores de hs y n en el comportamiento del suelo se ve claramente en el caso de compresión unidimensional u oedométrica. En la Figura 2.3 se observa que hs esta directamente relacionada con la pendiente de la gráfica. Entre mayor sea el valor de hs menor pendiente presenta la gráfica, en otras palabras, el suelo es menos compresible. En la misma Figura se observa que n está directamente relacionado con la curvatura de la gráfica. Entre mayor sea el valor de n mayor curvatura presenta la gráfica, en otras palabras, la rigidez cambia con mayor rapidez ante el cambio de ps . Los valores hs y n se pueden determinar a partir de una compresión oedométrica como se presenta a continuación: Sabiendo que. . . µ. K =. ¶. −∆p ; Módulo volumétrico en un punto ∆εv 16. (2.7).

(28) CAPÍTULO 2 - Parámetros y su significado fı́sico µ. ∆εv =. MIC 2006-II-5. ¶. ∆e ; Cambio en la deformación volumétrica 1+e. (2.8). Incluyendo las Ecuaciones 2.7 y 2.8 dentro de la Ecuación 2.6 se obtiene: 1 hs K= 3n. Ã. ep + 1 ep. !µ. 3ps hs. ¶1−n. (2.9). De la mecánica de suelos tradicional se tiene la Ecuación 2.10 para compresión oedométrica . . . K =. ps (1 + ep ) Cc. (2.10). Donde: Cc =. ∆e ∆ ln. ³. σt2 σt1. ´ ; Coeficiente de compresión en un diagrama ln (σ) vs e. Finalmente la Ecuación 2.9 se iguala con la Ecuación 2.10 y se obtiene una ecuación para determinar hs (Ecuación2.11): µ. hs = 3p. nep Cc. ¶1/n. (2.11). El valor de n se determina evaluando la Ecuación 2.11 en dos puntos diferentes como se ilustra en la Figura 2.4. Se obtiene la Ecuación 2.12 n=. 2.4. ³. ´. e1 Cc2 e Cc ³2 1´ ln pps2 s1. ln. (2.12). Exponente α. Este parámetro determina la caı́da desde el estado pico hasta el estado estable, en muestras densas. Entre mayor sea la caı́da desde el pico hasta el estado estable mayor será el valor de α (Figura 2.5).. 17.

(29) CAPÍTULO 2 - Parámetros y su significado fı́sico. MIC 2006-II-5. Figura 2.4: Determinación de n evaluando dos puntos. Pto2 :(ps2 , e2 ). Tomado de [Herle & Gudehus 1999]. Pto1 :(ps1 , e1 ),. Se reduce la Ecuación 1.6 para la dirección principal 1 y se obtiene: o. T = fs o. T 11. 1. ³. tr T̂2. h i ´ F 2 D + a2 T̂tr(T̂D) + fd aF (T̂ + T̂∗ ) kDk ". #. (T11 + 2T22 )2 a 5T11 − 2T22 q 2 2 T11 D11 + 2T22 D22 2 = fs 2 D + a T + f D11 + 2D22 11 11 d 2 (T11 + 2T22 ) 3 T11 + 2T22 (T11 + 2T22 )2 (2.13) o. En el estado pico el esfuerzo en la dirección 1 (T 11 ) se estabiliza. Esto equivale a igualar al Ecuación 2.13 a cero. Se despeja α y se obtiene la Ecuación 2.14: o. T 11 = 0 ·. ln α=. − a3. ·. trT3 (D1)+a2 trTDtrT(T 11 ) √ trT2 [6T11 −trT] trD2. ln. h. e−ed ec −ed. i. ¸. (2.14). En un ensayo triaxial no drenado se tiene trD = 0. Esto genera un valor indeterminado en la Ecuación 2.14. El parámetro debe ser determinado a partir de un ensayo triaxial drenado donde trD = 0.. 18.

(30) CAPÍTULO 2 - Parámetros y su significado fı́sico. MIC 2006-II-5. Figura 2.5: Significado de α. Entre mayor sea la caı́da desde el estado pico hasta el estado estable, mayor será el valor de α. 2.5. Exponente β. Este parámetro determina que tanto se afecta la rigidez respecto a la densidad actual del suelo. El parámetro β está incluido en el modelo dentro del factor de barotropı́a. Recordando que fs esta definido por: µ. fs =. ei e. ¶β. A. (2.15). Donde... µ ¶µ ¶ µ √ µ ei0 − ed0 ¶α ¶−1 1 + ei 3ps 1−η hs 3 + a2 − 3 a A= (en Ecuación 1.13) ei hs η ec0 − ed0 En la Ecuación 2.15, si e es mayor el cociente tiende a uno. Por el contrario, cuando e es menor el cociente se aleja de uno, haciéndose cada vez mayor. Lo anterior se interpreta como un aumento en la rigidez cuando la densidad aumenta. Reduciendo la ecuación 1.6 para el caso isotópico se obtiene: o. T = fs. 1. ³. tr T̂2. i h ´ F 2 D + a2 T̂tr(T̂D) + fd aF (T̂ + T̂∗ ) kDk. 19.

(31) CAPÍTULO 2 - Parámetros y su significado fı́sico. MIC 2006-II-5. h √ i o 2 T 11 = fs 3 + a − fd a 3 D11. (2.16). Despejando β de la Ecuación 2.16 se obtiene: ·. ln β=. √ 2 −f d a 3 ei n 0 √ E 3+a 3+a2 −fd a 3 1+ei hs. ln. ³ ´. ³. ´ 3p n−1 hs. ¸. (2.17). ei e. Ası́ como n relaciona dos puntos en la misma gráfica, β también relaciona dos puntos. La diferencia es que no lo hace en la misma gráfica. Ubicándose en una determinada presión ps , se relaciona un punto correspondiente a un estado suelto con otro punto en estado denso. Evaluando la Ecuación 2.17 en dos puntos con distintas relaciones de vacı́os pero con la misma presión ps , se obtiene: ³. β=. 2 ln βo E E1. ln. ³. e1 e2. ´. (2.18). ´. Donde. . . √ 3 + a2 − a 3fd1 √ βo = 3 + a2 − a 3fd2. (2.19). En las Ecuaciones 2.18 y 2.19 el subı́ndice 1 hace referencia al punto en estado suelto y el subı́ndice 2 al estado denso. Se puede llegar a una expresión equivalente para un ensayo oedométrico. Reduciendo la Ecuación 1.6 para el caso oedométrico se obtiene: ". #. a2 1 + 2K0 a 1 + 2K + T 11 = fs 0 2 + fd (5 − 2K0 ) D11 2 1 + 2K0 3 (1 + 2K0 ) o. (2.20). Evaluando la Ecuación 2.20 en dos puntos con distintas relaciones de vacı́os pero con la misma presión ps , se obtiene:. 20.

(32) CAPÍTULO 2 - Parámetros y su significado fı́sico. ³. β=. βo =. 2 ln βo E E1. ln. ³. e1 e2. MIC 2006-II-5. ´. ´. Donde. . . 1 + 2K0 + 1 + 2K0 +. a2 1+2K0 a2 1+2K0. K0 ≈ 1 − sin (ϕc ). + a3 5 − 2K0 fd1 + a3 5 − 2K0 fd2. (2.21) (2.22). K0 es el factor de presión de tierras, es una relación σ2 a σ1 . Se supone constante, pero en realidad no lo es. Experimentalmente se ha demostrado [Herle & Gudehus 1999] que para arenas el valor de β esta alrededor de 1.. 2.6. Relación entre las propiedades granulométricas y los párametros del modelo. Para consolidar el significado fı́sico de los parámetros, en la Tabla 2.1 se resumen las relaciones directas que hay entre ellos y las propiedades granulométricas del suelo. Los rangos de validez que se han establecido para los parámetros en la Tabla 2.1 son sustentados claramente en [Herle & Gudehus 1999].. 21.

(33) CAPÍTULO 2 - Parámetros y su significado fı́sico. . . . Su valor aumenta cuando. . . ϕc ei0 ,ec0 y ed0 n β ϕp. d50 . . .. Cu . . .. angularidad .... . . . Su valor aumenta cuando. . . α. ϕc . . .. ϕp . . .. disminuye. aumenta. aumenta no importa aumenta no importa disminuye aumenta aumenta disminuye disminuye Independiente de la granulometrı́a aumenta disminuye. angularidad .... MIC 2006-II-5. Rango de validez. 0 < n < 0.66 0 < β < 2.5 no es un parámetro del modelo Rango de validez. 0.05 < β < 0.3. Tabla 2.1: Relaciones entre los parámetros y las propiedades granulométricas del suelo. 22.

(34) Capı́tulo 3 Encontrando un camido adecuado para determinar los parámetros Para encontrar un camino adecuado para determinar parámetros se desarrolla el siguiente experimento virtual: Primero, Se toma un material de la literatura cuyos parámetros ya estén validados Segundo, Se simulan una serie de ensayos elementales (triaxiales, oedométricos e isotrópicos) suficientes para determinar los parámetros a partir de sus gráficas. Tercero, Se supone que los ensayos en realidad son mediciones de laboratório y que los parámetros son desconocidos. Cuarto, Se buscara un camino adecuado para determinar los parámetros y al final se compararán los obtenidos con los originales. Finalmente, Solo se trabajará con la información que en la practica es posible obtener del laboratorio. Se desprecia toda información que no puede ser medida directamente en laboratorio. El material seleccionado es la arena Karlsruhe de Alemania. Los parámetros de este material son resumidos en la Tabla 3.1. El experimento no se aplica para los parámetros ei 0, ec 0 y ed 0. Se parte del hecho que son conocidos al momento de hacer los ensayos elementales.. 23.

(35) CAPÍTULO 3 - Encontrando un camino adecuado ϕc [o ] ei 0 30 1. ec 0 ed 0 0.84 0.53. hs [mPa] n 5800 0.28. MIC 2006-II-5. α 0.13. β 1. Tabla 3.1: Parámetros de la arena de Karlsruhe, Alemania. Figura 3.1: Determinación de ϕc de tres triaxiales drenados. Experimento con la arena Karlsruhe. 3.1. Encontrando un camino para: ϕc. A partir de tres ensayos triaxiales drenados, se traza la envolvente Mc del estado 2 estable en el diagrama p = σ1 +2σ vs q = σ1 − σ2 (Figura3.1). ϕc es determinado 3 con la Ecuación 3.1. µ. 3Mc ϕc = arcsin 6 + Mc Mc =. ¶. (3.1). qc p0c. El valor ϕc determinado con la Ecuación 3.1 fue 30o , para los ensayos presentados en la Figura 3.1.. 24.

(36) CAPÍTULO 3 - Encontrando un camino adecuado. MIC 2006-II-5. Figura 3.2: Equipo para ensayo oedométrico tradicional, carga por escalones. 3.2. Encontrando un camino para: hs y n. Se tiene un ensayo oedométrico tradicional. Este ensayo no es cargado continuamente. Se aplican escalones de carga con pesas como se muestra en la Figura 3.2. En la práctica solo es posible obtener información discontinua de los escalones de carga siguientes: σ[kPa]. 25 50. 100 200. 400. 800 1600. Por otro lado, se supone que se tiene un ensayo oedométrico no tradicional donde es posible cargar continuamente al tiempo que se registra información. En este caso es posible construir una gráfica continua con rigidez tangente punto a punto. Lo que no es posible con un oedométrico tradicional donde la rigidez no es tangente punto a punto sino lineal por tramos (ej:tramo 25 kPa - 50 kPa). En la Figura 3.3 se comparan los dos tipos de ensayo. De cada gráfica se toman los dos puntos de máxima curvatura para determinar n y un punto intermedio para hs . Claramente se observa que los puntos de máxima curvatura no son los mismos para los dos tipos de ensayo. En la Figura 3.3 se observa que para el ensayo con carga continua, el primer punto de curvatura esta antes de los 25 kPa. No es recomendable obtener los parámetros de un oedométrico con toma de datos por escalones. Las razones se reflejan en los resultados obtenidos.. 25.

(37) CAPÍTULO 3 - Encontrando un camino adecuado. MIC 2006-II-5. Figura 3.3: Determinación de hs y n de un oedométrico con carga por escalones y de un oedométrico con carga continua. Experimento con la arena Karlsruhe Del ensayo con carga por escalones se determina un hs igual a 3000 mPa (Ecuación 2.11, Página 17) y un n igual 0.33 (Ecuación 2.12, Página 17). Esto indica un material más compresible y con rigidez más sensible al aumento de la presión ps . Por otro lado, del ensayo con carga constante se determina un hs igual a 6500 mPa y un n igual a 0.27. Valores que son más parecidos a los originales presentados en la Tabla 3.1. Recomendaciones para seleccionar los puntos: 1. Como n esta asociado con la curvatura de la gráfica, es correcto seleccionar los dos puntos de máxima curvatura: • Se recomienda tomar el primer punto justo cuando la gráfica cambia su tendencia ligeramente lineal y se vuelve mas curvada. • Se recomienda tomar el segundo punto justo cuando la gráfica cambia su tendencia curvada y se vuelve más lineal. 2. Como hs esta asociado con la pendiente se recomienda tomar un punto donde la pendiente tangente sea representativa de la inclinación de toda. 26.

(38) CAPÍTULO 3 - Encontrando un camino adecuado. MIC 2006-II-5. la gráfica. Es correcto seleccionar un punto intermedio cuya pendiente sea aproximadamente paralela a una linea que resulta de unir los puntos ps1 y ps2 . Posibles causas de error: 1. Si los puntos para n se toman muy cercanos el uno del otro, la relación entre sus pendientes es mas pequeña y se puede determinar un valor menor del correcto. 2. Si por el contrario, los puntos para n se toman muy lejanos el uno del otro, la relación entre sus pendientes es más grande y se puede determinar un valor mayor del correcto. 3. Si el ensayo se realiza con una muestra muy densa, la pendiente representativa de la gráfica es más pequeña. Esto se interpreta como un material poco compresible lo que genera un valor de hs mucho mayor del correcto.. 3.3. Encontrando un camino para: α. En el plano ε vs q de un triaxial drenado, se ubica el punto cuando q alcanza su valor máximo. La ubicación de este punto es bastante fácil y no necesita recomendaciones especiales como era el caso de la Sección 3.2. Se toman dos ensayos triaxiales drenados (Figura 3.4). Uno con presión de confinamiento de 300 kPa y el otro con 75 kPa. Para cada uno se determina el valor de α haciendo uso de la Ecuación 2.14, Página 18. Para 300 kPa se determinó un α de 0.14 y para 75 kPa un α de 0.13.. 3.4. Encontrando un camino para: β. Se tienen dos ensayos isotrópicos con distintas relaciones de vacı́os inicial e0 correspondientes a una muestra suelta y a una densa. Para una mejor representación de las condiciones reales en laboratorio, se supone que una muestra no se puede construir más suelta que la correspondiente a una densidad relativa Dr de 0.42. 27.

(39) CAPÍTULO 3 - Encontrando un camino adecuado. MIC 2006-II-5. Figura 3.4: Determinación de α de un triaxial drenado confinado a 300 kPa y de uno confinado 75 kPa. Experimento con la arena Karlsruhe (siendo Dr = 0 lo más suelto). Por otro lado, se supone que una muestra no se puede construir más densa que la correspondiente a una Dr de 0.84 (siendo Dr = 1 lo más denso). En la práctica el ensayo isotrópico se puede realizar en una cámara triaxial. Los incrementos de carga corresponden a incrementos en la presión de cámara. Solo se usa la información que es posible obtener en laboratorio. Se toma información de cada uno de los siguientes escalones de carga: σ[kPa]. 25 50. 100 150. 200. 250 300. Solo se toma información hasta 300 kPa para tener en cuenta las limitaciones de los equipos con los cuales se realizarán los ensayos más adelante. Con los dos ensayos isotópicos presentados en la Figura 3.5 y haciendo uso de las Ecuaciones 2.18 y 2.19, Página 20, se determinan varios β para distintas presiones ps . A continuación se resumen las ps que se evaluaron con sus respectivos β: ps [kPa] β. 50 75 1.04 1.33. 150 0.79. En ps igual a 50 kPa se determinó el β que más se aproxima al valor original de la arena Karlsruhe. En la Figura 3.5 se observa que la lı́nea proyectada verticalmente desde esta presión coincide aproximadamente con los puntos de máxima curvatura de ambos ensayos.. 28.

(40) CAPÍTULO 3 - Encontrando un camino adecuado. MIC 2006-II-5. Figura 3.5: Determinación de β de dos ensayos isotrópicos. Experimento con la arena Karlsruhe. 29.

(41) CAPÍTULO 3 - Encontrando un camino adecuado. MIC 2006-II-5. Tras varios ejercicios se logró establecer que el plano ps vs e es el adecuado para ubicar los puntos de máxima curvatura. Sin embargo, la información para efectuar los cálculos de β no debe tomarse de este plano. La razón, los datos obtenidos son muy sensibles al error, pues una pequeña variación en la relación de vacı́os representa una gran variación en el módulo E. Se recomienda solo usar el plano ps vs e para ubicar los puntos de máxima curvatura. Luego, se proyecta la presión ps correspondiente a un plano σ vs ε y de este último se obtienen los datos para determinar β. Ahora, se repite el proceso para determinar β pero ahora para dos ensayos oedométricos (suelto y denso). Haciendo uso de las Ecuaciones 2.18 y 2.21, Página 21 Se determinan varios β para distintas presiones ps . A continuación se resumen las ps que se evaluaron con sus respectivos β: ps [kPa] β. 50 100 1.23 2.06. 150 2.85. 200 2.30. En donde 150 kPa es la presión ps desde la cual se proyecta la lı́nea vertical que coincide con los puntos de máxima curvatura de ambos ensayos. La comparación entre los dos isotrópicos y los dos oedométricos con los que se determinaron β se presenta en la Figura 3.6. Con toda la evidencia anterior se puede concluir que el ensayo oedométrico no es recomendable para la determinación de β. La principal causa de que el valor β oedométrico sea mucho más grande que el 2 (Ecuación 2.18, Página 20) es mucho mayor β istrópico es que la relación E E1 para los ensayos oedométricos en comparación con la misma relación para los isotrópicos. Una posible razón de esto es que K0 , definido por la Ecuación 2.22, Página 21, no es constante. Este disminuye con el proceso de carga.. 3.5. Comparación con los parámetros originales. A continuación se presentan los parámetros determinados del experimento virtual y se comparan contra los originales. Hay pequeñas variaciones entre unos y otros, pero no son significativas. Esto se puede observar en la Figura 3.7, donde se comparan las gráficas generadas con los nuevos parámetros en comparación con los originales.. 30.

(42) CAPÍTULO 3 - Encontrando un camino adecuado. MIC 2006-II-5. Figura 3.6: Determinación de β de dos ensayos isotrópicos vs Determinación de dos oedométricos. Experimento con la arena Karlsruhe. 31.

(43) CAPÍTULO 3 - Encontrando un camino adecuado. Parámetros originales de arena Karlsruhe. Tabla 3.1 ϕc [o ] ei 0 ec 0 ed 0 hs [mPa] n α β 30 1 0.84 0.53 5800 0.28 0.13 1 Parámetros determinados en el experimento virtual. ϕc [o ] ei 0 ec 0 ed 0 hs [mPa] n α β 30 1 0.84 0.53 6500 0.27 0.14 1. 32. MIC 2006-II-5.

(44) CAPÍTULO 3 - Encontrando un camino adecuado. MIC 2006-II-5. Figura 3.7: Comparación de gráficas originales contra las simulaciones con los nuevos parámetros. 33.

(45) Capı́tulo 4 Determinación de parámetros para materiales colombianos Haciendo uso de los criterios establecidos en el Capı́tulo 3 se determinarán los ocho parámetros del modelo hipoplástico de von Wolffersdorff para dos materiales colombianos. Primero se determinan los de una arena del Guamo Colombia y después los de una mezcla grava-arena para base granular de pavimentos [INVIAS 1996].. 4.1. Parámetros arena del Guamo. Arena de rı́o proveniente del municipio del Guamo, Tolima Colombia. En la Figura 4.1 se puede apreciar su curva granulométrica. Las propiedades granulométricas del material son: Cu 2.04 : Lo que indica un material con poca diferencia entre el tamaño de sus partı́culas d50 0.51 mm. 4.1.1. Determinación : ϕc. Se determinó el ángulo de reposo por el método de Santamarina [Dodds 2003]. Consiste en llenar una probeta con agua y luego agregarle el material. Luego, la. 34.

(46) CAPÍTULO 4 - Parámetros de materiales colombianos. MIC 2006-II-5. Figura 4.1: Curva granulométrica arena del Guamo probeta se inclina 60o y se endereza. Se toma la medida del ángulo. Se repite el proceso inclinando la probeta al lado contrario. Ası́ sucesivamente hasta que se estabilice la medida del ángulo como se muestra en la Figura 4.2. Se obtuvo una ángulo de reposo de 30o Por otro lado, se determinó el ángulo de fricción crı́tico a partir de tres ensayos triaxiales. Se construye el diagrama p vs q, se traza la envolvente Mc y se mide su pendiente. Luego se calcula en ϕc con la Ecuación 2.1, Página 12. Se obtuvo un ángulo de reposo de 39o . En la Figura 4.3 se muestra la envolvente M obtenida de los ensayos realizados. También se muestra la envolvente Mc esperada para el ángulo de reposo de 30o . La diferencia presentada entre las dos envolventes evidencia que los ensayos no están alcanzando el estado estable. La razón principal es que los equipos utilizados son incapaces de generar deformación homogénea, lo cual es importante ya que el estado estable se alcanza en deformaciones del orden del 20%. Se toma el ángulo de reposo (30o ) como el valor de ϕc para la arena del Guamo.. 4.1.2. Determinación : ei0 , ec0 y ed0. Se determinarán las relaciones emax y emin y luego se aplicarán las equivalencias establecidas en las Ecuaciones 2.3 - 2.5, Página 15.. 35.

(47) CAPÍTULO 4 - Parámetros de materiales colombianos. MIC 2006-II-5. Figura 4.2: Angulo de reposo por el método Santamarina. Figura 4.3: Determinación ϕc del diagrama p vs q. Arena Guamo. 36.

(48) CAPÍTULO 4 - Parámetros de materiales colombianos. MIC 2006-II-5. Figura 4.4: Determinación emin densificando en un molde proctor En términos generales, la determinación de la relación de vacı́os e se hace midiendo el peso y el volumen de una determinada cantidad de material seco. Conociendo la gravedad especı́fica de los sólidos Gs la relación de vacı́os puede ser calculada con la siguiente ecuación: e = G s γw. V −1 Ws. (4.1). Donde. . . Ws : Peso de sólidos, material seco V : Volumen γw : Densidad del agua [1gr/cm3 ]. emin. se determinó con un molde para Proctor, de volumen conocido. El volumen es llenado con material seco. Se coloca un peso encima del material y se golpea continuamente a un lado y al otro, con lo que se logra densificar la. 37.

(49) CAPÍTULO 4 - Parámetros de materiales colombianos. MIC 2006-II-5. Figura 4.5: Determinación emax método Santamarina muestra por cortante. Cuando se observa que el peso superior no baja más, se tiene la densidad máxima, o relación de vacı́os mı́nima. Se obtiene el peso para el volumen conocido y se calcula emin con la Ecuación 4.1 (Figura 4.4).. emax. requiere más cuidado. Es muy difı́cil determinarlo en seco, por eso se recomienda el método propuesto por Santamarina [Dodds 2003]. El método consiste en agregar el material, previamente pesado, a una probeta llena de agua. Luego, la probeta se sacude y se deja que el material se asiente lentamente. Este método garantiza un acomodamiento lento de las partı́culas, lo que resulta en un estado muy suelto. Se repitió varias veces el ensayo y se obtuvieron valores más o menos constantes. Se mide el volumen para el peso conocido y se calcula emax con la Ecuación 4.1 (Figura 4.5).. A continuación se resumen los resultados obtenidos: ed0 ≈ emin =0.52 ec0 ≈ emax =1.00 ei0 ≈1.15ec0 =1.15. 38.

(50) CAPÍTULO 4 - Parámetros de materiales colombianos. 4.1.3. MIC 2006-II-5. Determinación : hs y n. Se realiza un montaje para poder tener un ensayo oedométrico con carga continua (Figura 4.6). Se requiere ser muy estricto con la relación de vacı́os inicial. Por esto, el cabezal de carga esta unido con el pistón de carga. Ası́ se evita colocar el cabezal sobre la muestra antes de comenzar el ensayo para no afectarla antes de lo debido, algo que sı́ sucede en un oedométrico tradicional. Ası́ se garantiza comenzar desde un estado de esfuerzos igual a cero y que la relación de vacı́os inicial e0 si es la medida antes de comenzar el ensayo (Figura 4.7). La gráfica resultante del ensayo se presenta en la Figura 4.8. Allı́ se muestran los puntos que se usaron para determinar hs y n haciendo uso de las Ecuaciones 2.11 y 2.12. Los valores obtenidos fueron: hs = 4000mPa y n = 0.27. Existen unos diagramas que relacionan las propiedades granulométricas del material con los valores de hs y n [Patiño 2006]. Estos diagramas, que se presentan en la Figura 4.9, fueron construidos a partir de la información de una serie de materiales a los que se les han determinado y validado los parámetros. 1/3. El valor de n puede ser determinado hallando el valor de la expresión Cu /d50 y luego entrando al diagrama correspondiente en la Figura 4.9. El valor de hs se determina hallando el valor de la expresión d50 /Cu1/2 y luego entrando al diagrama correspondiente. Para la arena del Guamo de tienen los siguientes valores: 1/3. Cu = 2.04. Cu /d50 = 2.55. d50 = 0.51mm. d50 /Cu1/2 = 0.36. Se toman los valores de hs y n que se habı́an hallado en laboratorio y se ubican en los diagramas de la Figura 4.9. Se comprueba que los parámetros determinados en laboratorio coinciden con los que se podrı́an determinar de los diagramas. A partir de aquı́ se puede afirmar que los diagramas quedan validados para determinación directa de los parámetros.. 39.

(51) CAPÍTULO 4 - Parámetros de materiales colombianos. MIC 2006-II-5. Figura 4.6: Montaje para un oedométrico con carga continua. 40.

(52) CAPÍTULO 4 - Parámetros de materiales colombianos. MIC 2006-II-5. Figura 4.7: El cabezal está unido al pistón de carga mediante una rótula. 4.1.4. Determinación : α. Se usan los mismos tres triaxiales presentados en la Página 36. Los triaxiales corresponden a tres muestras densas con la misma relación de vacı́os inicial (e0 = 0.56). Usando la Ecuación 2.14, presentada en la Página 18, se determina α para cada uno de los triaxiales presentados en la Figura 4.10. Los datos usados para los cálculos son tomados de los correspondientes estado pico. Los valores determinados fueron: Punto triaxial [kPa] 300 150 75. α 0.17 0.10 0.18. Se toma el valor de 0.17 para el parámetro α de la arena del Guamo.. 41.

(53) CAPÍTULO 4 - Parámetros de materiales colombianos. MIC 2006-II-5. Figura 4.8: Resultados del oedométrico con carga continua. Arena del Guamo. 42.

(54) CAPÍTULO 4 - Parámetros de materiales colombianos. MIC 2006-II-5. Figura 4.9: Diagramas para determinación directa de hs y n a partir de las propiedades granulométricas Cu y d50 . [Patiño 2006]. Figura 4.10: Tres triaxiales drenados con igual relación de vacı́os inicial. Determinación de α. 43.

(55) CAPÍTULO 4 - Parámetros de materiales colombianos ϕc [o ] ei 0 30 1.15. ec 0 1.00. MIC 2006-II-5. ed 0 hs [mPa] n α 0.52 4000 0.27 0.17. β 1. Tabla 4.1: Parámetros de la Arena del Guamo. 4.1.5. Determinación : β. Se realizaron dos ensayos isotrópicos, uno con muestra suelta y otro con muestra densa. Para los ensayos se usa la cámara triaxial. La carga se hizo por escalones, donde cada escalón representa un incremento en la presión de cámara. Los escalones de carga son los siguientes: Para la muestra suelta σ[kPa] 25 50 100 150. 200. 250 300. 350 400. Para la muestra densa σ[kPa] 25 50 100 150. 200. 250 300. 350 400. 450. 500. El punto donde se evalúa β es hallado siguiendo el procedimiento establecido en la Sección 27. En la Figura 4.11 se muestra los ensayos isotrópicos realizados y el punto en el cual se determino β. Tomando la información de la gráfica σ vs ε y calculando con la Ecuación 2.18, Página 20, se determina un β igual a 1.07. Se toma un valor de 1 para el β de la arena del Guamo.. 4.1.6. Validación de los parámetros encontrados. En la Tabla 4.1 se resumen los parámetros de la arena del Guamo hallados en las Secciones 4.1.1 - 4.1.5. Se simulan una serie de ensayos triaxiales y oedométricos y se comparan contra las mediciones de laboratorio (Figura 4.12 y Figura ??fig:valiOedoGuam).. 44.

(56) CAPÍTULO 4 - Parámetros de materiales colombianos. MIC 2006-II-5. Figura 4.11: Dos ensayos isotrópicos, uno con muestra suelta y otro con muestra densa. Determinación de β. 45.

(57) CAPÍTULO 4 - Parámetros de materiales colombianos. MIC 2006-II-5. Figura 4.12: Ensayos triaxiales drenados. Mediciones contra simulaciones. Arena del Guamo. 46.

(58) CAPÍTULO 4 - Parámetros de materiales colombianos. MIC 2006-II-5. Figura 4.13: Ensayo oedométrico. Mediciones contra simulaciones. Arena del Guamo. Figura 4.14: Curva granulométrica mezcla grava-arena para base de pavimentos. 47.

(59) CAPÍTULO 4 - Parámetros de materiales colombianos. MIC 2006-II-5. Figura 4.15: Determinación ángulo resposo. Mezcla grava-arena. 4.2. Parámetros mezcla grava - arena para base granular de pavimentos. Material triturado proveniente de la cantera Conagre, Bogotá D.C. Colombia. En la Figura 4.14 se puede apreciar su curva granulométrica. Las propiedades granulométricas del material son: Cu 66.67 : Lo que indica un material con gran variación entre el tamaño de sus partı́culas. d50 3.5 mm. 4.2.1. Determinación : ϕc. Se toma el valor de ϕc directamente del ángulo de reposo. Utilizando un molde para el ensayo de asentamiento en el concreto se construye un montı́culo de material (Figura 4.15). Durante la construcción del montı́culo se debe procurar desmoldar a una velocidad constante. Ni muy lento ni muy rápido. Se determina un valor para ϕ igual a 32o para la mezcla grava-arena.. 48.

(60) CAPÍTULO 4 - Parámetros de materiales colombianos. 4.2.2. MIC 2006-II-5. Determinación : ei0 , ec0 y ed0. Se determinarán las relaciones emax y emin y luego se aplicarán las equivalencias establecidas en las Ecuaciones 2.3 - 2.5, Página 15.. emin. Se determina siguiendo la misma metodologı́a que en la arena del Guamo (Sección 4.1.2). Se obtiene un valor de 0.24. Adicionalmente se hace un ensayo Proctor con material pasa tamiz 3/4” y se obtiene un valor de 0.26.. emax. Al igual que con la arena se usa el método Santamarina. Se tamiza el material por el tamiz 3/4 ”. No se puede utilizar tamaños superiores a 3/4” por que la probeta es solo de 10 cm, de usar estos tamaños se necesitarı́a una probeta más grande para que la muestra sea representativa (diámetro muestra 6 veces el tamaño de la partı́cula mayor). Se obtiene un valor de 0.85.. Corrección emax Como el valor de 0.85 es para un material sin partı́culas mayores 3/4” se hace una corrección para determinar el emax cuando el material tiene todos los tamaños. Para esto relaciona el emin cuando se tienen todos los tamaños con el emin del ensayo Proctor (material pasa 3/4”). Se determina un valor emax corregido de 0.79. En la Figura 4.16 se muestra la determinación del emin y en la Figura 4.17 la determinación de emax . A continuación se resumen los resultados obtenidos: ed0 ≈ emin =0.24 ec0 ≈ emax =0.79 ei0 ≈1.15ec0 =0.91. 4.2.3. Determinación : hs y n. Usando los diagramas validados en la Sección 4.1.3 (Figura 4.9, Página 43). Se tienen las siguientes propiedades granulométricas: 1/3. Cu = 66.67. Cu /d50 = 43.91. d50 = 3.5mm. d50 /Cu1/2 = 0.43 49.

(61) CAPÍTULO 4 - Parámetros de materiales colombianos. MIC 2006-II-5. Figura 4.16: Determinación emin . Mezcla grava-arena. 50.

(62) CAPÍTULO 4 - Parámetros de materiales colombianos. MIC 2006-II-5. Figura 4.17: Determinación emax método Santamarina. Mezcla grava-arena. 51.

(63) CAPÍTULO 4 - Parámetros de materiales colombianos. MIC 2006-II-5 1/3. De los diagramas se puede determinar un hs de 7000 mPa. El valor Cu /d50 de 43.91 no ´puede usarse en el diagrama. Este tiene un rango de validez ³ 1/3 1 < Cu /d50 < 30. En el punto 30 el valor de n es cero. Conociendo la relación existe entre la granulometrı́a y los parámetros, se sabe que el valor de n disminuye cuando el Cu aumenta (Tabla 2.1, Página 22). Esto permite suponer que el valor de n es muy pequeño, menor que 0.1. Provisionalmente se fija el valor de n en 0.1 y se continua con la determinación de parámetros.. 4.2.4. Determinación : α. Usando la Ecuación 2.14 (Página 18) y evaluando en el estado pico de un triaxial drenado con muestra densa Figura 4.18. . . Para los valores. . . hs [mPa] = 7000 n = 0.1 Se obtiene un valor de α igual a 4.43. Este valor cae por fuera del rango 0.05 < α < 0.3 establecido en la Tabla 2.1. Ya se ha establecido que n máximo puede ser 0.1 (Sección 4.2.3). Cuando n toma valores cada vez menores que 0.1 el valor de α incrementa todabia más (ej: n = 0.08, α = 5.28). El valor de α se establece provisionalmente como el máximo valor del rango de validez. α igual a 0.3.. 4.2.5. Determinación : β. β puede ser determinado matemáticamente para las gravas [Herle 2000]. Partiendo de la ecuación para β (Ecuación 2.18). La relación entre las rigideces Edensa y Esuelta cuando la presión de referencia ps ≥ 100kPa es aproximadamente (Edensa /Esuelta ) ≈ 10. Donde Edensa es la rigidez cuando e2 = ed(100kPa) y Esuelta es la rigidez cuando e1 = ec(100kPa) (Figura 4.19). 52.

(64) CAPÍTULO 4 - Parámetros de materiales colombianos. MIC 2006-II-5. Figura 4.18: Determinación α, triaxial drenado con muestra densa. Mezcla gravaarena. Figura 4.19: Esquema para determinación de β matemáticamente. Mezcla gravaarena. 53.

(65) CAPÍTULO 4 - Parámetros de materiales colombianos ϕc [o ] ei 0 32 0.91. ec 0 ed 0 0.79 0.24. hs [mPa] 7000. n α 0.05 0.3. MIC 2006-II-5. β 1.37. Tabla 4.2: Parámetros de la mezcla grava-arena para base granular de pavimentos Los valores de ed(100kPa) y ec(100kPa) se calculan evaluando ed0 y ec0 en la Ecuación 2.2. haciendo haciendo. ec ed. = e1 = e2. ; ;. fd1 fd2. = 1 = 0. Finalmente se obtiene un valor de β igual a 1.37. Al hacer e1 = ec y e1 = ed , α deja de influir en el valor de β. Para distintos valores de hs y n el valor de (ec /ed ) se mantiene aproximadamente constante. Se puede afirmar que (ec /ed ) es independiente de hs y n y de la presión de referencia ps . El valor obtenido en este procedimiento solo dependerá de los parámetros ϕc , ec0 , ec0 , ed0 . Siendo el parámetro ϕc el que más afecta el valor final de β.. 4.2.6. Ajuste final de parámetros. Aunque no es lo más apropiado en este punto se hace necesario. Se opta por fijar algunos parámetros y mover los restantes con cierto criterio dentro del rango de validez de la Tabla 2.1. 1. Se tiene certeza sobre ϕc , ec0 , ec0 , ed0 , hs y β ası́ que se dejan fijos. 2. Provisionalmente se fija el valor de α en 0.3. 3. Se varia n en el rango 0 < n < 0.1. 4. Se logra una simulación aceptable con un n igual a 0.05. En la Tabla 4.2 se resumen los parámetros definitivos para la mezcla grava-arena.. 54.

(66) CAPÍTULO 4 - Parámetros de materiales colombianos. 4.2.7. MIC 2006-II-5. Validación de los parámetros encontrados. Los parámetros han sido determinados con un solo ensayo triaxial drenado, muestra densa. La medición de εv fue echa a ojo. Por las dimensiones de la cámara de consolidación donde se mide εv los datos tomados son muy sensibles a los errores. Un cambio de 0.1 mm en una cámara de consolidación de 15394 mm2 representa 1539.4 mm3 de cambio volumétrico, lo que es igual a un cambio en εv de 0.03%. En conclusión no son confiables la mediciones presentadas en el plano ε vs εv . Es diferente con la mediciones del plano ε vs q, pues fueron tomados con un equipo MTS (multi test system) de alta precisión. En la Figura 4.20, se comprarán las mediciones de laboratorio con las simulaciones echas con los parámetros de la Tabla 4.2.. 55.

(67) CAPÍTULO 4 - Parámetros de materiales colombianos. MIC 2006-II-5. Figura 4.20: Triaxial drenado, mediciones contra simulaciones. Mezcla gravaarena. 56.

(68) Capı́tulo 5 Conclusiones - El modelo presentado permite simular el comportamiento no lineal de suelos granulares. Esto se logra al hacer la relación esfuerzo-deformación, o rigidez, dependiente del estado de esfuerzos y la densidad. - Los parámetros de la ecuación del modelo tienen un significado fı́sico. Esto hace que sean inherentes a la naturaleza del material y no a la forma de una gráfica. - El modelo ha sido validado para arenas colombianas. Ası́ mismo, se ha establecido una metodologı́a apropiada para determinar los parámetros del modelo. - La experiencia con la Arena Guamo permitió validar los diagramas granulometrı́a vs hs vs n presentados en [Patiño 2006], para arenas. - La suposición β ≈ 1 en arenas, ha sido validada para arenas colombianas. - Con la validación de los diagramas para hs y n [Patiño 2006] y de la suposición β ≈ 1, solo se necesitarı́a un triaxial drenado en toda determinación de parámetros. Sin embargo, es recomendable hacer más ensayos para asegurar el buen desempeño de los parámetros. - A pesar de la fácil determinación de los parámetros. Se necesita un amplio entendimiento de que esta pasando durante los ensayos. Con el fin de encontrar puntos crı́ticos que afecta la calidad de los resultados. - Es muy sobresaliente el que los parámetros no solo tengan un significado fı́sico sino que también relaciones claras con las propiedades granulométricas.. 57.

(69) CAPÍTULO 5 - Conclusiones. MIC 2006-II-5. sin embargo, esto solo puede asegurarse cuando el tamaño de los granos del material no tiene diferencias significativas (cu < 10). - En la práctica, es muy difı́cil encontrar materiales con tamaño de partı́culas constante. Los materiales se encuentran como una mezcla de partı́culas de distintos tamaños. Por ejemplo las bases de pavimentos con Cu > 50. Para este tipo de materiales, el modelo hipoplástico de von Wolffersdorff ha mostrado problemas. Algunos de sus parámetros empiezan a perder su significado fı́sico, ası́ como su relación con las propiedades granulométricas. - El principal aporte de este trabajo es brindar una guı́a para determinar los parámetros de una forma clara y relativamente sencilla. Además de validar la fuerte relación que existe, en arenas, entre las propiedades granulométricas y los parámetros del modelo.. 58.

(70) CAPÍTULO 5 - Conclusiones. MIC 2006-II-5. 59.

(71) Bibliografı́a. [Patiño 2006]. Patiño J. C. Parámetros hipoplásticos de la arena del Guamo Colombia. Tesis de maestrı́a. Bogotá: Universidad de los Andes.. [Cudmani 2004]. Cudmani R. Aspectos fundamentales del comportamiento de suelos granulares. Karlsruhe, Alemania: Instituto de Mecánica de Suelos y Mecánica de Rocas. Recuperado en julio de 2004, como presentación de Powerpoint en la Universidad de Los Andes.. [Cudmani 2004]. Cudmani R. Modelación del comportamiento de suelos granulares a través de una relación constitutiva hipoplástica. Karlsruhe, Alemania: Instituto de Mecánica de Suelos y Mecánica de Rocas. Recuperado en julio de 2004, como presentación de Powerpoint en la Universidad de Los Andes.. [Dodds 2003]. Dodds J. Particle shape and stiffnes: Efects in soil Behavior. Tesis de doctorado. Georgia: Institute of Technology.. [Fellin 2002]. Fellin W.Hypoplasticity for begginers. Innsbruck, Austria: Institut für Geotechnik und Tunnelbau, Universität Innsbruck.. 60.

(72) BIBLIOGRAFÍA. MIC 2006-II-5. [Rondón & Manquillo 2001]. Rondón H. & Manquillo H. Aplicación de la teorı́a hipoplástica en el diseño racional de pavimentos. Teis de mestrı́a. Bogotá, Colombia.. [Herle 2000]. Herle I. Granulometric limits of hypoplastic models. Institute of Theoretical and Applied Mechanics: Czech Academy of Sciences.. [Herle & Gudehus 1999]. Herle I. & Gudehus G. Determination of parameters of a hypoplastic constitutive model from properties of grain assemblies.Mech. Choes. Frict. Mater.,4,461-486.. [INVIAS 1996]. INVIAS. Articulo 330, base granular. Bogotá, Colombia: Instituto Nacional de Vı́as.. [von Wolffersorff 1996]. von Wolffersdorff P. A hypoplastic relation for granular materials with a predefined limit state surface.Mech. Choes. Frict. Mater.,1,251-271.. [Kolymbas 1995]. olymbas D. Herle I. von Wolffersdorff P. Hypoplastic constitutive equation with internal variables. International journal for numerical and analitical methods in geomechanics, 19, 415-436.. [Kolymbas & Wu 1993]. Kolymbas D. & Wu W. Introduction to hypoplasticity. Modern approache to plasticity. Amsterdam, Holanda: In D. Kolymbas (ed.). 61.

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