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Esbozos de econometría financiera

ELÍAS MORÉ OLIVARES*

* Economista. Magíster en Administración de Empresas y Magíster en Estudios Político-Económicos. Universidad del Norte, de Barranquilla. Diplomado en Docencia Universitaria y Diplomado en Finanzas. Decano Facultad de Ciencias Económicas Administrativas y Contables, Universidad Autónoma de Colombia. Las sugerencias y comentarios serán recibidas al e-mail: [email protected] o al teléfono (571) 2860642 de Bogotá. Fecha de recepción: 18 de febrero de 2005. Fecha de aceptación: 15 de marzo de 2005.

Resumen

Este artículo presenta una aplicación práctica de la econometría financiera, calculando la línea de mercado de capitales y determinando la validez del modelo de evaluación de activos de capital a pesar de los supuestos de competencia perfecta y los problemas relacionados con la beta histórica planteados recientemente. El ejercicio teórico-práctico muestra cómo a pesar de las discusiones, el MVAC sigue siendo un marco de trabajo, lógica y útil

conceptual y operativamente para relacionar riesgo-rendimiento.

Abstract

This article presents a practical application of the financial econometric, measuring the line of capital market and determining the veracity of the evaluation of the capital assets model never the less the supposed of perfect competition and the problems related with the historic b recently formulated. This theorical practical exercise shows how agnoledge of the decision the CAPM

continues being a logical and useful work frame conceptually and operatively for relating risk and revenue.

Palabras clave: econometría financiera, riesgo, rendimiento, modelo de valuación de activos de capital.

1 Un modelo es una representación simplificada de la realidad que recoge los aspectos fundamentales de la misma que tiene interés para los objetivos del investigador o analista.

1. Introducción

La metodología utilizada para el presente artículo es resaltar los aspectos técnicos del modelo, explicar lo relevante de la teoría del riesgo-rendimiento para posteriormente aplicarlo a un caso particular con el propósito de no desvirtuar apresuradamente el modelo de valuación de activos de capital (MVAC).

Aunque no se utilizaron paquetes econométricos para mejorar el proceso operativo, se utilizó álgebra matricial.

La econometría es una disciplina que mezcla la estadística y las matemáti-cas con la teoría económica para cuantificar fenómenos económicos y veri-ficar teorías económicas, aplicando métodos particulares basados en la infe-rencia estadística.

La estrategia del econometrista es el siguiente proceso secuencial: 1. Planteamiento de la teoría o hipótesis.

2. Especificación del modelo matemático de la teoría. 3. Especificación del modelo econométrico de la teoría. 4. Obtención de datos.

5. Estimación de los parámetros del modelo econométrico. 6. Prueba de hipótesis.

7. Pronóstico o predicción.

8. Utilización del modelo para fines de control o de política.

De todo lo anterior, el modelo1 _{econométrico nos permite analizar cómo una}

serie de variables explicativas afectan a la variable de interés para el analista (a explicar) (MARTIN, LABEAGA y MOCHON, 1997; GUJARATI, 1990).

En los últimos años el rápido crecimiento de la moderna teoría financiera y el desarrollo del proceso informático han permitido el uso de técnicas econométricas en economía financiera dando lugar a la econometría finan-ciera.

faciliten comprender teorías financieras y aplicar los modelos ofrecidos por la econometría financiera.

2. Modelo econométrico básico

El punto de partida de cualquier estudio econométrico es el planteamiento de los objetivos finales del trabajo, para lo cual elegiremos un modelo derivado de la teoría económica, capaz de cubrir los objetivos planteados. El paso del modelo teórico al modelo econométrico genera una diferencia, cuyo componente aleatorio, se registra en la ecuación de regresión y = g(X) + u, donde u es la parte aleatoria no explicada por X (GUJARATI, 1990).

En la realidad no existen modelos exactos o determinísticos sino estocásticos incluyendo una variable aleatoria con distribución probabilística. La fun-ción a estimar tiene la forma: y =

β

_o +

β

₁X + u.

En la práctica se trabaja con una muestra de tamaño n, extraída de la pobla-ción, no siendo posible obtener

β

_o y

β

₁, sino una estimación (

β

_o,

β

₁) y logran-do la regresión muestral mediante Y_i =

β

o +

β

₁ + e, donde y_i es la variable a explicar, X la explicativa,

β

_o la ordenada en el origen y B₁ la pendiente de la recta de regresión.

Como ocurre en los modelos de dos y tres variables, en el caso de K variables los estimadores de MCO se obtienen minimizando

∑

e₁2, equivalente a

mini-mizar e’e, puesto que: e₁

e’e = e₁ e₂.... e_n e₂ = e₁2 _{+ e} 2

2 _{+... e} n

2 ₌

∑

_e

1 2

e_n como Y = X

β

+ e

e = y - X

β

e’e = (Y-X

β

)’(Y-X

β

)

= y’y – y’X

β

-(X

β

)’y + (X

β

)’(X

β

) por transposición de matrices (X

β

)’ =

β

’X’

como (

β

’X’y) es un escalar, es igual a su transpuesta y’X

β

, entonces: e’e = y’y -

β

’X’y -

β

’X’y + (X

β

)’(X

β

)

= y’y - 2

β

’X’y +

β

’X’X

β

ϑ

(e’e’)

igualando a cero 0 = 2X’y + 2X’X

β

. -2X’X

β

= - 2X’y X’X

β

= X’y

Para estimar los parámetros

β

₁,

β

₂,... Bk, el número de observaciones míni-mo n que necesitamíni-mos ha de ser igual o mayor que el número de parámetros a estimar (k) y el principio de los mínimos cuadrados ordinarios (MCO) es

idéntico para el modelo de regresión lineal y el de regresión múltiple. Partiendo de

β

= (X’X)-1 _{X’y, (X’X)}

β

_{= X’y}

Para exponer el funcionamiento del cálculo matricial en forma elemental, suponemos que el modelo a estimar tiene una sola variable explicativa (GREEN,

1998): Y_i =

β

₁ +

β

₂X_i + Ui. Así, X = 1 X₁

1 X₂ . . 1 X_i . . . 1 X_n de manera que

1 1 ... 1 1 X1 n ∑Xi X’X = 1 X2 = ∑Xi ∑Xi2

X1 X2 ... Xn .

. . 1 Xn

Como el vector β es igual a β = β1

β2

1 1 1 Y1 ∑Y1

y X’y = X1 X2 Xn Y2 = ∑X1Y1

. .

.

Para las n observaciones, el modelo puede ser descrito de la manera siguiente: Y₁ =

β

₁ +

β

₂X₂₁ +

β

₃X₃₁ +...

β

_kX_K1 + U₁

Y₂ =

β

₁ +

β

₂X₂₂ +

β

₃X₃₂ +...

β

_kX_k2 + U₂

• • •

Y_n =

β

₁ +

β

₂X_2n +

β

₃X_3n +...

β

_kX_kn + U_n

La forma matricial detallada, de ese modelo lineal de regresión múltiple es:

La forma matricial condensada del modelo es y = X

β

+ u, equivalente al modelo lineal Y_i =

β

_i +

β

₂X_2i +

β

₃X_3i +...

β

_kx_ki + U_i, siendo

Tenemos en notación matricial detallada

que recoge en forma matricial, las ecuaciones siguientes:

Y1 1 X21 X31 . . . Xk1 β1 U1

Y2 1 X22 X32 . . . Xk2 β2 U2

. . . . . = . . + . . . . . Yn 1 X2n X3n . . . Xkn βk Un

N x 1 N x k K x 1 N x 1

n ∑Xi β1 ∑Yi

∑Xi ∑Xi2 β2 = ∑XiYi

Y1 1 X21 X31 . . . Xk1 β1 U1

Y2 1 X22 X32 . . . Xk2 β2 U2

. . . .

Y = . ; X = . ; β = . ; u =

. . . .

Yn 1 X2n X3n . . . Xkn βn Un

n

β

₁ +

β

₂

∑

Xi =

∑

Y_i

β

1

∑

Xi +

β

2

∑

Xi

2 ₌

∑

_X

iYi

En general, para un modelo con K variables explicativas el producto X’X es:

Si tenemos una ecuación de regresión: Y_i =

β

_i +

β

₂X_2i +

β

₃X_3i +...

β

_kX_ki + e

La suma de cuadrados de los residuos

n

SCR =

∑

[

y -

β

₁ -

β

₂X_2i -

β

₃X_3i -...

β

_kX_ki

]

2 _{es mínima.}

i = i

La ecuación Y_i =

β

₁ +

β

₂X_2i +

β

₃X_3i +...

β

_kX_ki representa la recta de regresión múltiple.

En econometría se realizan dos tipos de juicios: estimación de parámetros y contrastación de hipótesis.

El objetivo del económetrista, es que la estimación se aproxime lo más posi-ble al verdadero valor del parámetro que se pretende estimar y por ello, el estimador cumple con tres propiedades: insesgadez, óptimo, eficiencia. Un estimador es insesgado si su esperanza coincide con el valor del parámetro que pretende aproximar; el estimador lineal e insesgado de menor varianza será el óptimo y se conoce como MELI2, un estimador será eficiente cuando

tenga la menor varianza posible.

2 ELIO.

n ∑X2i ∑X3i . . . ∑Xki

X’X = ∑X2i ∑X22i ∑X2iX3i . . . ∑X2iXki

. . .

∑Xki ∑X2iXki ∑X3iXki ∑X2ki

∑Yi

X’Y = ∑X2iYi

∑X3iYi

∑XkiYi

En una muestra obtenida una estimación de

β

_i mediante expresiones míni-mo cuadráticas se puede verificar o contrastar hipótesis acerca del valor del parámetro. Así, se quiere verificar que

β

₁ toma un valor concreto h, plantea-mos como hipótesis nula H_o:

β

₁ = h y como hipótesis alternativa H₁ =

β

₁

≠

h.

β

_i -

β

_i

Dado que ————

≈

t_n-2, bajo hipótesis nula se puede obtener un valor S

β

_i

β

_i - h

empírico t*, t* = ————

≈

t_n-2. Este valor se contrastará con el valor teórico S

β

_i

registrado en las tablas a un nivel de significación del p por ciento y n-2 grados de libertad (test de dos colas). Si el valor del estadístico obtenido es tal que |t*| > t_P/2 se rechazará la Ho y en caso contrario se acepta (véase figu-ra3_).

Pero en economía no suele ser habitual que una sola variable afecte a la variable de interés, sino que existe mayor complejidad, o sea, existen in-fluencias múltiples sobre la variable de interés.

Así, un modelo lineal múltiple se puede expresar de la siguiente manera: Y_i =

β

_i +

β

₂ X_2i +

β

₃X_3i +... +

β

_kX_ki + Ui

donde Y_i es la variable explicada, cuyo comportamiento viene influido por un conjunto de variables explicativas, X₂, X₃,... X_k, y por un término de perturba-ción aleatorio Ui.

3 También existe test de una sola cola.

Acepta Ho

3. Riesgo y su medición

El riesgo se puede considerar como la posibilidad de que el rendimiento real proveniente de poseer un valor se desvíe del rendimiento esperado. Además de considerar su rango, el riesgo de un activo se puede medir cuantitativa-mente utilizando estadísticas como el coeficiente de variación y la desvia-ción estándar.

La distribución de probabilidades se puede resumir en términos de dos va-riables: el valor esperado del rendimiento y la desviación estándar (GITMAN,

2003).

- _n

El valor esperado de rendimiento es R =

∑

R_i Pi donde R_i = Rendimiento para la posibilidadi

P_i = Probabilidad que ocurra ese rendimiento.

n = Número total de posibilidades.

La desviación estándar es

δ

=

En la realidad los inversionistas seleccionan las acciones acorde con el prin-cipio de elevar al máximo la utilidad esperada en términos de esas dos va-riables. Así:

E (U) = f(R,

δ

)

Un inversionista racional trata de maximizar su rentabilidad y minimizar el riesgo asociado, cuando debe repartir una suma de dinero entre diferen-tes opciones de inversión. El problema de la selección de portafolio surge porque la rentabilidad de las acciones depende de factores ajenos al control del inversionista o decisor. Por lógica el inversionista configurará con va-rias acciones que no se comporten de manera similar para compensar las pérdidas con ganancias, o sea, sigue el refrán popular de “no poner todos los huevos en una misma canasta” (CAICEDO, 1997).

En el portafolio de inversiones se puede distinguir el riesgo sistemático y el no sistemático. El primero es un riesgo no diversificable y es el riesgo del mercado asociado a los cambios en la economía por factores internos o ex-ternos, modificaciones en las políticas de países asociados, guerras. El ries-go no sistemático se debe a factores propios o internos de la firma, es propio a esa compañía e independiente de factores económicos, políticos o socia-les, asociándole factores como huelgas, cambios tecnológicos, competencia

(GITMAN, 2003).

4. Selección de portafolio

A la teoría sobre selección de portafolio contribuyeron varios pioneros como el premio nóbel HARRY MARKOWITZ, FAMA, MILLER, TOBIN y sobre el modelo CAPM,

SHARPE, LINTNER y FAMA (BODIE y MERTON, 2003).

Markowitz propuso en 1952 la regla del “valor esperado-varianza” o regla E-V (por expected value-variance). Según la regla un decisor preferirá un pro-yecto A sobre un propro-yecto B si alguna de las siguientes afirmaciones es válida:

i ) La rentabilidad esperada de A es mayor o igual a la de B y la varianza de A es menor que la de B.

i i ) La rentabilidad esperada de A es mayor que la de B y la varianza de A es menor o igual a la de B.

La combinación de todas las posibilidades de las acciones producía un con-junto de oportunidades, que al limitarlas estableciendo las condiciones ano-tadas, adoptaba una frontera (VAN HORNE, 2000).

Esto significa que el decisor escogerá una combinación o portafolio sobre la frontera eficiente: no hay ningún portafolio con mayor rentabilidad, dado un nivel de riesgo, ni ninguno que presente menor nivel de riesgo dado un nivel de rentabilidad. El nuevo problema es determinar cuál será el punto en esa línea que el decisor debe escoger.

En el modelo CAPM (Capital Asset Pricing Model ó MVAC) se demostró que ese

punto óptimo m, era el portafolio de todas las acciones del mercado pondera-das por el valor total transado de cada una y cualquier decisor escogería siempre ese portafolio4_.

La recta que une el punto de la rentabilidad de cero riesgo y el portafolio óptimo m, se llama línea de mercado de capitales (LMC) y es la nueva frontera

eficiente.

Así, la rentabilidad de un portafolio se puede calcular con la LMC mediante la

ecuación R_p = pR + (1 – p) R_m.

5. Comentarios sobre el

MVAC

y modelos alternos

Sobre la validez del modelo de valuación de activos de capital (MVAC=CAPM) han

surgido serias preguntas.

En general el modelo de valuación de activos de capital se basa en datos históricos y en ese caso las betas no siempre reflejan la variabilidad futura de los rendimientos, de manera que los rendimientos requeridos especificados en el modelo se consideran aproximaciones sin mucha precisión.

Además el MVAC está basado en un supuesto mercado eficiente con mu-chos inversionistas pequeños, igualmente informados, sin restricciones en las inversiones, con inversionistas racionales, que prefieren rendimientos más altos y riesgo más bajo. Un estudio (FAMA y FRENCH, 1992) ha mostrado

que no existe una relación significativa entre betas históricas y rendimien-tos históricos entre más de 2.000 acciones, de 1963 a 1990. Expresado de otra manera significa que la magnitud de la beta histórica de una acción no estaba relacionada con el nivel de su rendimiento histórico.

Existe una teoría más amplia, denominada teoría de valuación por arbitraje (VPA ó APT), desarrollada en los setenta y que ha recibido mucha atención en

la literatura financiera. Esta teoría sugiere que la prima por riesgo de valo-res se podría explicar mejor mediante varios factovalo-res fundamentales y no el rendimiento de mercado que usa en el MVAC, de manera que el MVAC se puede

considerar como un derivado del APT. Además que la teoría del APT confirma la

importancia del rendimiento del mercado, no ha podido identificar con clari-dad otros factores de riesgo (ROSS, 1976).

Sin embargo, el MVAC no se ha abandonado del todo porque su “defecto

histó-rico” no desacredita su validez como modelo de expectativas, de manera que aún es útil para vincular el riesgo esperado no diversificable y el rendi-miento. Por último, las fallas en los modelos FAMA-ROSS y la falta de aceptación

y uso práctico APT, conserva válido el MVAC.

6. Ejercicio aplicado

La línea de mercado de capital (LMC) de la teoría del portafolio postula una

relación lineal entre el retorno o rendimiento esperado y el riesgo (medido por la desviación estándar) para portafolios eficientes, así: E_i =

β

₁ +

β

₂

σ

_i, donde E_i = rendimiento esperado del portafolio i y

σ

₁ = desviación estándar de rendimiento. Se cuenta con la siguiente información sobre el rendimiento esperado y la desviación estándar del mismo para los portafolios de 34 fondos mutuos de inversión en los Estados Unidos para el período 1963 - 1997. Veri-fiqué hasta qué punto las cifras respaldan la teoría. (Véase tabla 1) (GUJARATI,

Determinar si la desviación estándar influye sobre el retorno esperado (prue-ba de significancia).

Adj(X’X)

————— = (X’X)-1

D

Det = (349380,43) – (546,1)2

= 318934,62 - 298225,21 Det = 20709,41

9380,43 - 546,1 0,4529 - 0,0264 --- ---

20709,41 20709,41 (x’x)-1 _{= ; (x’x)}-1 ₌

- 546,1 34 - 0,0264 0,0016 --- ---

20709,41 20709,41

β1 0,4529 - 0,0264 466,8 (0,4529 – 466,8) + (-0,0264 . 7754,66)

= ;

β2 -0,0264 0,0016 7754,66 (-0,0264 . 466,8) + (0,0016 . 7754,66)

•

β1 6,6907 β1 = 6,6907

=

β2 0,4220 β2 = 0,4220

-1

n ∑X β1 ∑Y β1 34 546,1 466,8

= ; =

∑X ∑X2 β₂ ∑_XY β_{2 546,1 9380,43 7754,66}

9380 - 546,1 9380,43 - 546,1 MC (X’X) = ; Adj (X’X) =

- 546,1 34 - 546,1 34

(x’x)

β

= x’y

Rendimiento anual promedio %

Desviación estándar del rendimiento anual

promedio %

A1 15.6000 14.0000 A2 9.0000 8.2000 A3 10.5000 12.5000 A4 11.0000 15.3000 A5 12.9000 14.6000 A6 13.4000 11.1000 A7 14.8000 15.8000 A8 15.7000 18.3000 A9 11.9000 12.7000 A10 14.3000 20.4000 A11 14.3000 14.9000 A12 11.5000 10.9000 A13 14.2000 18.2000 A14 14.6000 17.7000 A15 16.0000 22.5000 A16 15.5000 22.0000 A17 16.5000 20.7000 A18 14.1000 18.1000 A19 11.4000 13.1000 A20 14.5000 24.5000 A21 16.4000 20.8000 A22 12.3000 11.5000 A23 11.0000 9.4000

A24 16.5000 19.8000 A25 18.6000 21.7000 A26 18.3000 18.9000 A27 18.5000 16.8000 A28 11.4000 9.2000

A29 11.1000 15.0000 A30 10.7000 12.3000 A31 11.3000 18.4000 A32 13.9000 19.9000 A33 11.3000 11.0000 A34 13.8000 15.9000

Tabla 1

Comportamiento de 34 fondos mutuos de inversión, 1963 - 1997

E SBOZOS DE ECONOMETRÍA FINANCIERA 49 FONDOS RENDIMIENTO ANUAL PROMEDIO % "Y" DESVIACIÓN ESTÁNDAR DEL RENDIMIENTO ANUAL % "X"

XY X² Y² x y xy x² y²

A1 15,6000 14,0000 218,4000 196,0000 243,3600 -2,0618 1,8706 -3,8567 4,2509 3,4991 A2 9,0000 8,2000 73,8000 67,2400 81,0000 -7,8618 -4,7294 37,1815 61,8073 22,3673 A3 10,5000 12,5000 131,2500 156,2500 110,2500 -3,5618 -3,2294 11,5024 12,6862 10,4291 A4 11,0000 15,3000 168,3000 234,0900 121,0000 -0,7618 -2,7294 2,0792 0,5803 7,4497 A5 12,9000 14,6000 188,3400 213,1600 166,4100 -1,4618 -0,8294 1,2124 2,1368 0,6879 A6 13,4000 11,1000 148,7400 123,2100 179,5600 -4,9618 -0,3294 1,6345 24,6191 0,1085 A7 14,8000 15,8000 233,8400 249,6400 219,0400 -0,2618 1,0706 -0,2802 0,0685 1,1462 A8 15,7000 18,3000 287,3100 334,8900 246,4900 2,2382 1,9706 4,4106 5,0097 3,8832 A9 11,9000 12,7000 151,1300 161,2900 141,6100 -3,3618 -1,8294 6,1501 11,3015 3,3467 A10 14,3000 20,4000 291,7200 416,1600 204,4900 4,3382 0,5706 2,4753 18,8203 0,3256 A11 14,3000 14,9000 213,0700 222,0100 204,4900 -1,1618 0,5706 -0,6629 1,3497 0,3256 A12 11,5000 10,9000 125,3500 118,8100 132,2500 -5,1618 -2,2294 11,5077 26,6438 4,9703 A13 14,2000 18,2000 258,4400 331,2400 201,6400 2,1382 0,4706 1,0062 4,5721 0,2215 A14 14,6000 17,7000 258,4200 313,2900 213,1600 1,6382 0,8706 1,4262 2,6838 0,7579 A15 16,0000 22,5000 360,0000 506,2500 256,0000 6,4382 2,2706 14,6186 41,4509 5,1556 A16 15,5000 22,0000 341,0000 484,0000 240,2500 5,9382 1,7706 10,5142 35,2626 3,1350 A17 16,5000 20,7000 341,5500 428,4900 272,2500 4,6382 2,7706 12,8506 21,5132 7,6762 A18 14,1000 18,1000 255,2100 327,6100 198,8100 2,0382 0,3706 0,7553 4,1544 0,1373 A19 11,4000 13,1000 149,3400 171,6100 129,9600 -2,9618 -2,3294 6,8992 8,7721 5,4262 A20 14,5000 24,5000 355,2500 600,2500 210,2500 8,4382 0,7706 6,5024 71,2038 0,5938 A21 16,4000 20,8000 341,1200 432,6400 268,9600 4,7382 2,6706 12,6539 22,4509 7,1320 A22 12,3000 11,5000 141,4500 132,2500 151,2900 -4,5618 -1,4294 6,5206 20,8097 2,0432 A23 11,0000 9,4000 103,4000 88,3600 121,0000 -6,6618 -2,7294 18,1827 44,3791 7,4497 A24 16,5000 19,8000 326,7000 392,0400 272,2500 3,7382 2,7706 10,3571 13,9744 7,6762 A25 18,6000 21,7000 403,6200 470,8900 345,9600 5,6382 4,8706 27,4615 31,7897 23,7226 A26 18,3000 18,9000 345,8700 357,2100 334,8900 2,8382 4,5706 12,9724 8,0556 20,8903 A27 18,5000 16,8000 310,8000 282,2400 342,2500 0,7382 4,7706 3,5218 0,5450 22,7585 A28 11,4000 9,2000 104,8800 84,6400 129,9600 -6,8618 -2,3294 15,9839 47,0838 5,4262 A29 11,1000 15,0000 166,5000 225,0000 123,2100 -1,0618 -2,6294 2,7918 1,1273 6,9138 A30 10,7000 12,3000 131,6100 151,2900 114,4900 -3,7618 -3,0294 11,3959 14,1509 9,1773 A31 11,3000 18,4000 207,9200 338,5600 127,6900 2,3382 -2,4294 -5,6805 5,4673 5,9020 A32 13,9000 19,9000 276,6100 396,0100 193,2100 3,8382 0,1706 0,6548 14,7321 0,0291 A33 11,3000 11,0000 124,3000 121,0000 127,6900 -5,0618 -2,4294 12,2971 25,6215 5,9020 A34 13,8000 15,9000 219,4200 252,8100 190,4400 -0,1618 0,0706 -0,0114 0,0262 0,0050 466,8000 546,1000 7.754,6600 9.380,4300 6.615,5600 - - 257,0282 609,1005 206,6706

Podemos sintetizar el modelo econométrico mediante la ecuación: Y = 6,6907 + 0,4220 X

E = 6,6907 + 0,4220

σ

• Cálculo del error estándar

∑

e2 ₍

∑

_xy)2

σ

2 _{= ———;}

∑

_e2 ₌

∑

_y2 _{- ——————}

n-2

∑

X2

∑

e2 _{= 206,6706 – (257,0282)}2 _{/ 609,1003}

∑

e2 _{= 98,2098}

98,2098 98,2098

σ

2 _{= —————;}

σ

2 _{= ————— ;}

σ

2 _{= 3,0690}

34 – 2 32

σ2 _3,0690

Var(β2) = --- ; Var(β2) = --- ; Var(β2) = 0,0050

∑x2 _609,1003

EEe (β2) = Var (β2) ; EEe (β2) = 0,0050 ; EEe (β2) = 0,0071

Prueba de Significancia con Estadístico Tc

Al no tener una hipótesis nula, basada en la experiencia se calculará una prueba de regresión tomando como hipótesis nula que:

β

₂ = 0.

H_o:

β

₂ =

β

₂* = 0 H₁:

β

₂ =

β

₂*

≠

0

β

2 -

β

2* 0,4220 - 0

tc = ————— = —————— tc = 5,9437

Con un nivel de confianza del 95% t

α

/2 será: Grados de libertad: n – 2

α

= 0,05

gl = 34 – 2 gl = 32 t 32f; 0,025 = 2,042

tc, cae en la zona de rechazo, por tanto, no se acepta la hipótesis nula.

• Para saber los intervalos del coeficiente de regresión tenemos:

β

2 = 0,4220; EE (

β

2) = 0,071;

α

5%; t.32; 0,025 = 2,042

P

[β

₂ - t

α

/2

σβ

₂

≤

β

₂

≤

β

₂ + t

α

/₂

σβ

₂

]

= 1 -

α

P

[

0,4220 – 2,042

•

0,071

≤

β

₂

≤

0,4220 + 2,042

•

0,071

]

= 95% P [0,277018

≤

β

₂

≤

0,566982] = 0,95

La interpretación de este intervalo de confianza es que dado un coeficiente de confianza del 95% en el largo plazo, en 95 de cada 100 casos intervalos como (0,277018; 0566982) contendrán el verdadero

β

₂ porque este intervalo es ahora fijo, dejando de ser aleatorio; en consecuencia,

β

₂ está o no está en el intervalo: la probabilidad de que el intervalo fijo que se especifique con-tenga el verdadero valor de

β

₂ es uno (1) o cero (0).

2. Establecer la bondad del ajuste (R2_).

∑

e2 _98,2098

R2 _{= 1 - ————; R}2 _{= 1 - ——————; R}2 _{= 0,5248}

∑

y2 _206,6706

0,025

0,025

Z

A

3. Efectuar prueba de análisis de varianza (F)

• Suponemos que las perturbaciones Ui se distribuyen normalmente; y si Ho:

β

₂ = 0 con 1 y n – 2

F1, n-2 gl, H_o:

β

₂ = 0 H₁:

β

₂

≠

0

∑

e2 _{= 98,2098;}

∑

_y2 ₌

β

2

2

∑

X

2_;

∑

_y2 _{= 12012,9}

gl =n – 2, gl=32 gl = 1 gl = n – 1, gl = 33

∑

y2 _{= (0,4220)}2 _(609,1003)

∑

_y2 _{= 108,4710}

98,2098 108,4710

∑

e2_{/gl = ————— ;}

∑

_y2 _{= ——————}

32 1

∑

e2_{/gl = 3,0690 ;}

∑

_y2 _{= 108,4710}

108,4710 Fc = ———————

3,0690 Fc = 35,3434

F₁, n-2 gl = F0,05; 1,32 gl = 4,17

_Z.A

4,17

7. Comentarios sobre el modelo

Se rechaza la hipótesis nula utilizando la “Regla de decisión” que expresa: Construye un intervalo de confianza del 100 (1-α) por ciento para β Si el valor de β bajo Ho cae dentro de este intervalo de confianza, acepta Ho, pero si cae fuera del intervalo rechace Ho.

Por último r2 _{mide la bondad global del ajuste del modelo de regresión}

esti-mado si es razonablemente alto, sin olvidar que ese r2 _{se puede aumentar}

agregando al modelo variables explicativas adicionales. Se puede decir que los resultados son buenos porque los signos de los coeficientes estimados están acorde con las expectativas teóricas. Así, la línea de mercados de capi-tal (LMC) de la teoría del portafolio tiene pendiente positiva, o sea, que los

resultados son consistentes con la teoría. Ver ecuación Y = 6,6907 + 0,4220X. Esta ecuación acorde con la teoría refleja el rendimiento requerido en el mercado para cada nivel de riesgo diversificable (beta).

En resumen un r2 _{de 52.48% es estadísticamente significativo y explica la}

teoría y no debe exagerarse la importancia del criterio de un valor de r2

cercano al 80% ó 90%.

8. Conclusiones

A pesar que existen paquetes econométricos como el RATS, el ejercicio de

econometría financiera realizado es interesante porque muestra la validez del MVAC para vincular el riesgo esperado no diversificable y el rendimiento.

Además permite mostrar a la comunidad académica, especialmente a los estudiantes de ciencias administrativas y contables el uso y combinación de la econometría con las finanzas para cuantificar y tomar decisiones ge-nerales con mayor precisión.

Resumiendo, a pesar de las críticas del modelo de valuación de activos de capital recientemente planteadas (MVAC), éste se mantiene vigente. Se

de-mostró utilizando un modelo de regresión lineal en que los coeficientes de la línea de mercados de capitales (LMC) coinciden con la teoría. Se necesita

evaluar los estudios que tratan de demeritar el MVAC. En realidad las cifras

respaldan la teoría.

Bibliografía

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