CENTRO DE ESTUDIOS FILOSÓFICOS EUGENIO PUCCIARELLI
113
BUENOS AIRES 2013
CONOCIMIENTO SIMBÓLICO
Y CONOCIMIENTO GRÁFICO.
HISTORIA Y TEORÍA
OSCAR M. ESQUISABEL - FRANK TH. SAUTTER
(Editores)
CONOCIMIENTO SIMBÓLICO
Y CONOCIMIENTO GRÁFICO.
HISTORIA Y TEORÍA
OSCAR M. ESQUISABEL - FRANK TH. SAUTTER
(Editores)
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Avda. Alvear 1711, 3er. piso – C.P. C1014AAE – Ciudad Autónoma de Buenos Aires –
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ISBN 978-987-45065-0-4
La publicación de los trabajos de los académicos y disertantes invitados se realiza bajo el principio de libertad académica y no implica ningún grado de adhesión por parte de otros miembros de la Academia, ni de ésta como entidad colectiva, a las ideas o puntos de vista de los autores.
Oscar M. Esquisabel, 2013. 136 p.; 22 x 15 cm.
ISBN 978-987-45065-0-4
1. Filosofía. I. Título CDD 190
Prefacio...
Parte I. Conocimiento simbólico y conocimiento gráfico en la matemática
Eduardo N. Giovannini
Felix Klein sobre el valor del razonamiento diagramático en geometría...
Abel Lassalle Casanave
Diagramas en pruebas geométricas por reductio ad absurdum ...
Wagner de Campos Sanz
Postulados, diagramas, ¡acción!...
Gisele Secco
Conocimiento simbólico en la prueba del Teorema de los Cuatro Colores...
Parte II. Conocimiento simbólico y conocimiento gráfico en la lógica
Javier Legris
Conocimiento gráfico y diagramas desde la perspectiva de C. S. Peirce...
Bruno Ramos Mendonça
Conocimiento simbólico y conocimiento gráfico en Venn...
Frank Th. Sautter
Un tema de Hilbert y Ackermann: formas normales para la prueba de validez..
Valeria Valiño
¿Es la Begriffsschrift de Frege un sistema diagramático?...
Parte III. Antecedentes históricos, extensiones y críticas
Oscar M. Esquisabel
Conocimiento simbólico y diagramas en la protosemiótica de Hoffbauer...
Fabrício Pires Fortes
El pensamiento simbólico leibniziano y la notación musical...
Sérgio Schultz
Diagramas, iconicidad y conocimiento simbólico...
Sobre los autores...
ÍNDICE
5
11
21
29
37
51
61
71
81
97
109
121
PREFACIO
Relegados al papel meramente auxiliar en los inicios de la filosofía de las ciencias formales contemporánea, que enfocó el análisis de la lógica y la matemá-tica a partir del concepto de lenguaje formal, los diagramas han vuelto en la actua-lidad a ocupar un papel central en la teoría de las ciencias formales y, por ello, han obligado a la reflexión filosófica a volver su atención e interés hacia ellos, a par-tir de diversos enfoques y tendencias conceptuales. Los motivos obedecen a diver-sos factores que han marcado el rumbo de la filosofía de las ciencias formales en los últimos veinte años, entre los cuales se pueden contar un cierto agotamiento del modelo ‘‘lingüístico’’ como paradigma conceptual para las ciencias formales, la exploración de nuevas metodologías para las ciencias de la computación, así como la introducción de aspectos cognitivos y pragmáticos tanto en el análisis de lógi-ca como de la matemátilógi-ca, todo ello acompañado, es justo decirlo, por la revalo-ración de las reflexiones semióticas de C. S. Peirce.
que la tercera examina algunos antecedentes históricos poco conocidos, propone extensiones de la distinción a otras disciplinas y contiene consideraciones críticas acerca de las bases teóricas que subyacen al concepto de conocimiento simbóli-co y de simbóli-conocimiento gráfisimbóli-co.
Así, en la primera parte, Eduardo Giovannini examina, en ‘‘Felix Klein so-bre el valor del razonamiento diagramático en geometría’’, el papel reservado a la intuición espacial y a los diagramas en la práctica geométrica, según la concepción de Felix Klein. Giovannini acompaña el desarrollo del pensamiento de Klein so-bre este aspecto, desde su oposición inicial a una concepción puramente simbóli-ca de la prueba geométrisimbóli-ca hasta su aproximación a la concepción de Hilbert. A su vez, en ‘‘Diagramas en pruebas geométricas por reductio ad absurdum’’, Abel Lassalle Casanave defiende una concepción de las figuras como muestras, por opo-sición a una concepción de las figuras como instancias. De esta forma, la concep-ción de las figuras como muestras, que se apoya en la distinconcep-ción de Ken Manders entre aspectos exactos y coexactos de las figuras, contribuye a la explicación de la naturaleza de las pruebas por reductio ad absurdum, al contrario de la concep-ción rival. Por su parte, ‘‘Postulados, diagramas, ¡acconcep-ción!’’, de Wagner de Cam-pos Sanz, desarrolla la tesis de que las pruebas de los Elementos de Euclides se entienden a partir de la noción de problema y, más genéricamente, a partir de la noción de acción. Su propuesta está basada en la interpretación de Kolmogorov de la lógica intuicionista como una lógica de problemas. Finalmente, Gisele Secco in-vestiga, en ‘‘Conocimiento simbólico en la prueba del Teorema de los Cuatro Colores’’, las propiedades de la sinopticidad e inspeccionabilidad de las pruebas a partir de la prueba asistida por ordenador del denominado ‘‘Teorema de los cua-tro colores’’. La autora utiliza tres diferentes sentidos que pueden ser asociados a las pruebas: pruebas como actos, como objetos y como trazos.
PREFACIO 7
diagramático?’’, de Valeria Valiño. La autora sostiene la tesis de que la Begriffs-schrift (Conceptografía) de Frege no es un sistema diagramático, a despecho de su carácter bidimensional. La tesis se basa en un análisis de las dimensiones ontoló-gica y epistemolóontoló-gica subyacentes al sistema semiótico de Frege.
En la tercera parte del libro, de carácter histórico, ampliativo y crítico, Oscar M. Esquisabel examina, en ‘‘Conocimiento simbólico y diagramas en la protose-miótica de Hoffbauer’’, la obra de J. Ch. Hoffbauer, Tentamina semiológica (1789) desde el punto de vista de la tradición del conocimiento simbólico, iniciada por G. W. Leibniz. En esta perspectiva, la obra, sostiene el autor, puede entenderse como una protosemiótica en la que se revela una tensión latente entre el modelo algebrai-co y diagramátialgebrai-co de algebrai-conocimiento simbólialgebrai-co. Por su parte, Fabrício Pires Fortes utiliza, en ‘‘El pensamiento simbólico leibniziano y la notación musical’’, los as-pectos de sensibilización, ordenación y el factor psicotécnico asociado a los sím-bolos, así como las funciones de subrogación, cálculo y éctesis de los mismos, para examinar la notación musical, sus posibilidades y sus límites, mientras que Sérgio Schultz discute, en ‘‘Diagramas, iconicidad y conocimiento simbólico’’, las rela-ciones, las semejanzas y las diferencias entre pruebas homogéneas, es decir, las pruebas que utilizan proposiciones, y las pruebas heterogéneas, a saber, las prue-bas que utilizan proposiciones y figuras (o diagramas).
proyecto. Expresamos, finalmente, nuestro más cálido y afectuoso reconocimiento al alma mater de esta empresa binacional, a nuestro colega y querido amigo Abel, sin el cual nada de esto hubiese sido posible.
Parte I
FELIX KLEIN SOBRE EL VALOR DEL RAZONAMIENTO DIAGRAMÁTICO EN GEOMETRÍA*
EDUARDO N. GIOVANNINI
CONICET Argentina
1. Introducción
El nombre de Felix Klein (1849–1925) suele ser mencionado por los histo-riadores de la matemática como el autor de uno de los programas de investigación que más contribuyó, hacia fines del siglo XIX, a la unificación de la geometría, el análisis y el álgebra como un sistema orgánico. En efecto, en su célebre ‘‘Programa de Erlangen’’ de 1872 (Klein 1893c), Klein describió de un modo programático cómo el concepto algebraico de grupo podía ser utilizado para clasificar y unifi-car el estudio de la geometría, en aquel momento notablemente diseminada en di-versas teorías sin una vinculación aparente. La novedosa idea de Klein consistió en definir las distintas clases de geometrías en virtud del conjunto de propiedades que permanecen invariantes bajo un grupo de transformaciones determinado. La utilización de la teoría de grupos en el estudio de la geometría, posteriormente lle-vada a cabo de un modo sistemático por Lie, Poincaré y por varios geómetras ita-lianos (Segre, Fano, Enriques) tuvo como resultado la introducción de un grado de abstracción y generalización, anteriormente desconocido por esta disciplina.
Por otro lado, Klein también es señalado comúnmente como un autodeclarado simpatizante de la superioridad de las demostraciones basadas en axiomas abstrac-tos, por sobre aquellas que utilizan diagramas. Es decir, como un defensor de la tesis propuesta inicialmente por Moritz Pasch (1843–1930), y defendida luego por David Hilbert (1862–1943), según la cual un teorema sólo puede considerarse como verdaderamente probado, cuando la demostración es completamente inde-pendiente de los diagramas.1 Sin embargo, una rápida mirada sobre sus escritos
revela que Klein fue también un importante promotor de la intuición y el
razona-* El autor agradece el apoyo de los proyectos CAFP-042/12 y PIP-CONICET 112 200801 01334 para llevar a cabo la presente publicación.
1 Cf. Pasch 1882, p. 98 y Hilbert 2004, p. 75. Como ejemplo de la simpatía de Klein respecto
miento basado en diagramas en matemáticas, en un período en el que la validez y la relevancia de este tipo representaciones estaban siendo fuertemente cuestiona-das. Más precisamente, un aspecto constante en toda su obra, aunque ciertamen-te con importanciertamen-tes matices a lo largo del tiempo, fue la defensa de la utilización de diagramas en la práctica geométrica, no sólo como una herramienta heurística para facilitar la comprensión, sino sobre todo como un instrumento fundamental para el descubrimiento y la exposición de nuevos conceptos matemáticos.
El objetivo de este trabajo es comentar y analizar, de un modo introductorio, los esfuerzos realizados por Klein para encontrar un papel para los diagramas y de-fender su utilización en la práctica geométrica. En particular, intentaré mostrar que su manera de entender la naturaleza y función de los diagramas en geometría es-tuvo íntimamente relacionada con dos tesis principales, sostenidas prácticamen-te duranprácticamen-te toda su producción científica: i) la afirmación de que nuestra intuición espacial posee un carácter esencialmente inexacto; ii) una concepción de los axio-mas de la geometría, según la cual su función específica es hacer exacta o rigu-rosa a nuestra intuición geométrica.
2. La naturaleza de la intuición espacial
La cuestión de la naturaleza y función de la intuición en matemática es un tema recurrente en el obra de Klein, tanto en sus artículos científicos como en sus diferentes cursos. Asimismo, Klein adopta por lo general una posición relativa-mente bien definida en lo que se refiere al modo de concebir la naturaleza de la in-tuición. Esta posición es expresada claramente en un curso que el autor dictó en Göttingen en 1889, titulado Nicht-Euklidische Geometrie (Klein 1892).2 Klein
dis-tingue allí dos concepciones antagónicas respecto de la naturaleza de la intuición. De acuerdo con la primera, la intuición nos proporciona representaciones claras y distintas de los objetos matemáticos; la segunda, en cambio, niega esta posibilidad, en tanto afirma que la intuición sólo nos puede proporcionar representaciones inexactas.3 Mientras que la primera posición es defendida por el matemático
ale-mán Alfred Köpcke en un artículo muy difundido en la época, la segunda posición es representada por el propio Klein, quien declara lo siguiente en relación al ca-rácter inexacto de nuestra intuición geométrica:
Afirmo que nuestra representación de las figuras espaciales sólo nos proporciona una imagen incompleta; si queremos trabajar en matemática con figuras exactas, ello puede sólo ocurrir cuando se agregan postulados conceptuales. (Klein 1892, p. 299) Es posible realizar al menos dos observaciones en relación a la posición de Klein. En primer lugar, la inexactitud de las figuras geométricas, o de los
FELIX KLEIN SOBRE EL VALOR DEL RAZONAMIENTO DIAGRAMÁTICO EN GEOMETRÍA 13
mas matemáticos en general, es una consecuencia del carácter esencialmente inexacto de nuestra intuición espacial. Es decir, el carácter impreciso de los dia-gramas no está relacionado inicialmente con un defecto específico de este tipo de representaciones –por ejemplo en la confección de los diagramas–, sino que en cambio se explica en razón de que las representaciones que podemos formarnos de los objetos matemáticos por medio de nuestra intuición (geométrica) son intrín-secamente inexactas. De ese modo, Klein adopta una posición empirista respecto de la naturaleza de la intuición, que explicita de la siguiente manera:
Considero a las propiedades geométricas de las figuras realmente percibidas (que pre-sento como inexactas) desde la perspectiva de un empirista; pero en tanto se hable del tratamiento matemático, exijo los requerimientos del idealista, que demanda la pre-cisión absoluta en las estipulaciones conceptuales. (Klein 1892, pp. 312–3) En segundo lugar, a pesar de esta inexactitud o imprecisión adjudicada a nuestra intuición espacial, Klein no niega aquí la posibilidad de que las figuras o diagramas puedan volverse o convertirse posteriormente en representaciones exactas, y en ese sentido, legítimas y utilizables dentro del contexto de la práctica matemática. Por el contrario, Klein sugiere que si a los diagramas se les asocia o añade postulados con-ceptuales –i.e., axiomas–, entonces es posible imprimirles el carácter riguroso o exacto requerido por la matemática. En otras palabras, Klein defiende la interacción entre diagramas o figuras y expresiones lingüísticas –los postulados conceptua-les–, antes que la completa expulsión de aquellas representaciones intuitivas dentro de la práctica geométrica.4 Volveré sobre este punto más adelante, pero veamos
ahora cómo entiende la naturaleza y el papel de los axiomas en la matemática, en fun-ción de este carácter inexacto inherente a nuestra intuifun-ción espacial.
3. Naturaleza y función de los axiomas
Del mismo modo que en el caso de la intuición, Klein distingue dos concep-ciones de los llamados ‘‘axiomas’’ de la geometría. De acuerdo con la primera, el objetivo de los axiomas es capturar y expresar nuestras intuiciones geométricas de tal manera que no se sea más necesario apelar a esta intuición en el proceso de la deducción lógica a partir de los axiomas dados.5 Por el contrario, la segunda
con-cepción –defendida por Klein al menos en una etapa inicial– consiste en afirmar que el establecimiento de un conjunto de axiomas para la geometría no agota la función de la intuición, sino que en las demostraciones geométricas se debe recu-rrir conjuntamente a los axiomas y a la intuición. Klein adhiere a esta segunda concepción de los axiomas de la geometría de la siguiente manera:
4 Klein se refiere en múltiples lugares al carácter inexacto de nuestra intuición geométrica.
Véase, por ejemplo, Klein 1890 y, principalmente, Klein 1893b.
Por ello no creo que sea correcto decir que, una vez que los axiomas han sido esta-blecidos, entonces en nuestras investigaciones debemos dejar detrás nuestro a la in-tuición; antes bien, en el pensamiento geométrico real la intuición espacial nos acompaña en cada paso. (Klein 1892, p. 355)
En este pasaje Klein anticipa cual será, en este período inicial, su opinión en lo que toca al valor de los diagramas en geometría. Sin embargo, en lo que respecta a la noción de axioma, encontramos aquí resumida su concepción general: dada la importancia de la intuición para la geometría, el rol fundamental que deben cumplir los axiomas es hacer más exacta a la intuición, de modo que las represen-taciones basadas en ellas pueda ser utilizada legítimamente en la práctica matemá-tica. En otras palabras, a la concepción anterior de los axiomas de la geometría, Klein le opone la siguiente noción:
Les adscribo a los axiomas el siguiente significado: ellos deben representar condicio-nes, por medio de las cuales nos elevamos por encima de la inexactitud de la intui-ción o por sobre los límites de la precisión de la intuiintui-ción. (Klein 1892, p. 356) Klein afirma así manifiestamente que el papel que deben cumplir los axiomas en geometría no es el de remplazar a la intuición, sino el de hacerla más exacta o rigurosa. Este punto, sin dudas, está relacionado con la posibilidad de la utiliza-ción de las representaciones diagramáticas en geometría. En resumen, Klein de-fiende dos tesis principales respecto de la intuición y los axiomas en matemática, y en geometría en particular: i.) nuestra intuición espacial o geométrica posee un carácter inherentemente inexacto, de modo que las representaciones en ella fun-dadas sólo pueden referirse a los objetos y expresar propiedades matemáticas de un modo impreciso; ii.) la función de los axiomas (en geometría) no es reempla-zar o eliminar por completo a la intuición, sino más bien introducir exactitud den-tro de la intuición, postulando de un modo matemáticamente preciso y riguroso las propiedades y relaciones en ella representadas. Ambas tesis, como veremos a con-tinuación, constituyen dos pilares de la imagen o concepción general de la mate-mática defendida por Klein, y en consecuencia, fueron defendidas por él a lo largo de toda su producción. Sin embargo, el modo en que estas dos tesis se relacionan con el valor atribuido a los diagramas en la práctica matemática sufrió ciertos cam-bios; o mejor, puso en evidencia una evolución en su pensamiento. Analizaremos a continuación esta cuestión.
4. Razonamiento diagramático en geometría
4.1La primera etapa
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basado en diagramas en geometría: una primera etapa que se inicia en sus traba-jos sobre geometrías no-euclídeas en la década de 1870 (Klein 1871, 1873a) y que se extiende hasta la aparición de Fundamentos de la geometría de Hilbert (1899); y una segunda etapa posterior a la monografía hilbertiana, plasmada principalmen-te en sus libros de divulgación maprincipalmen-temática (Klein 1908, 1926).
La primera etapa se caracteriza por mantener una valoración positiva del uso de diagramas y del razonamiento diagramático en geometría. En diversos traba-jos correspondientes a este período Klein advierte que, si bien es cierto que las representaciones diagramáticas sólo pueden tener un significado matemático inexacto, resulta completamente imposible investigar e incluso desarrollar las demostraciones geométricas sin su ayuda. Asimismo, sugiere que la tarea funda-mental de los axiomas de la geometría consiste en formular de manera explícita, por medio de enunciados lingüísticos, una serie de reglas que nos permitan ‘‘leer’’ o ‘‘interpretar’’ de manera exacta, aquellas propiedades matemáticas relevantes expresadas en los diagramas. En otras palabras, una vez postuladas las relaciones y propiedades básicas de los objetos por medio de los axiomas, la apelación a construcciones diagramáticas en las demostraciones resulta tanto útil como legí-tima:
De ese modo, concibo siempre a una demostración axiomática de la siguiente manera: la figura debería mostrarnos claramente la secuencia de sus partes, la posición rela-tiva de los puntos y líneas, mientras seamos conscientes de que lo que vemos ante nosotros es inexacto, y debe ser pensado con exactitud conceptualmente. (Klein 1892, p. 355)6
De este modo, Klein reconoce que la compresión de la demostración de un teorema geométrico sólo puede alcanzarse a través de la interacción entre el con-tenido lógico y exacto formulado en los axiomas, y la traducción intuitiva de di-chas propiedades en los diagramas geométricos. Es claro que al mismo tiempo admite que el verdadero peso lógico de la demostración descansa en los axiomas; sin embargo, es escéptico respecto de la posibilidad de realizar efectivamente las demostraciones sin la asistencia de los diagramas. Más aún, en un pasaje muy in-teresante del primer volumen de Nicht-Euklidische Geometrie (1890), Klein sugie-re que sería posible perfeccionar los diagramas de manera que se vuelvan aptos para ser utilizados en las demostraciones geométricas:
De acuerdo con mi modo de concebir la naturaleza de la intuición, uno puede ganar a través de las consideraciones intuitivas de las figuras una cierta guía general respec-to de qué leyes matemáticas están allí involucradas y de cómo deben ser llevadas a cabo de un modo general las demostraciones. Sin embargo, una verdadera demostra-ción recién es alcanzada, si los diagramas dados son reemplazados por diagramas que han sido producidos sistemáticamente sobre la base de los axiomas y ejecutan-do la cadena de pensamiento en sus detalles de acuerejecutan-do con éstos. El tratar con
sas intuitivas provee al matemático de estímulo y de un panorama general sobre los problemas de los que ha de ocuparse, pero de ningún modo ejecuta por sí mismo la labor matemática. (Klein 1892, p. 360. El énfasis es mío)
De esta manera, Klein deja abierta la posibilidad de que los diagramas pue-dan ser utilizados como instrumentos legítimos en las demostraciones. Más pre-cisamente, por un lado reconoce que inicialmente todas las representaciones intuitivas de los objetos geométricos poseen un carácter inexacto, y que por lo tanto la verdadera justificación de un teorema sólo puede ser alcanza a través de una prueba matemática conceptual (exclusivamente lingüística o enunciativa). Sin embargo, por otro lado añade inmediatamente que si las representaciones intuitivas iniciales son reemplazadas por otros diagramas que han sido generados sistemá-ticamente a partir de los axiomas, entonces se puede llegar a una verdadera demos-tración de un teorema geométrico.
Finalmente, esta importancia atribuida por Klein a los diagramas en geome-tría no sólo es una consecuencia de su modo de concebir la naturaleza de la intui-ción, sino que también está íntimamente ligada a su concepción de la matemática en general. El siguiente pasaje es muy elocuente al respecto:
Al exigir en general el completo examen lógico del material, enfatizo al mismo tiempo que la compresión intuitiva y el procesamiento de este material debe ser incentivado por todos los medios. Los desarrollos matemáticos originados en la intuición no pue-den ser considerados como una propiedad permanente de la ciencia, hasta que no hayan sido puestos en una estricta forma lógica. Y a la inversa, las presentaciones abstractas de las relaciones lógicas no pueden satisfacernos, hasta que sus consecuen-cias para todo tipo de intuición sean desarrolladas vívidamente y reconozcamos así las múltiples conexiones que introduce en nuestro conocimiento el esquema lógico con sus demás partes, en función del dominio que elijamos. (Klein 1895, p. 240) El modo en que Klein pondera en esta primera etapa el valor de los diagra-mas en la práctica geométrica se explica así en virtud de su concepción de la in-tuición espacial, de los axiomas y de la matemática en general. Sin embargo, aunque estos tres aspectos se mantienen invariantes en sus trabajos posteriores, el modo en que concibe dicha importancia será matizado en una etapa posterior.
3.2La segunda etapa
FELIX KLEIN SOBRE EL VALOR DEL RAZONAMIENTO DIAGRAMÁTICO EN GEOMETRÍA 17
la geometría abstracta comienza poniendo al principio como axiomas en forma ab-soluta, aquellas cosas que son aproximadamente verdaderas en la geometría prácti-ca. Así tiene lugar un cambio conceptual totalmente decisivo. Las relaciones, que en la práctica son sólo aproximadamente correctas, son postuladas con rigurosa exacti-tud, y sobre la base de los axiomas convenidos en la geometría abstracta se obtienen consecuencias a través del razonamiento puramente lógico. (Klein 1902, p. 15) De esta manera, dado que los objetos de la geometría abstracta no pueden ser asidos por la intuición espacial, no es posible en ella alcanzar de ningún modo una prueba rigurosa sobre la base de esta intuición, sino que es necesario recurrir a la deducción lógica a partir de los axiomas. Sin embargo, ello no significa que la intuición pierde completamente su valor en la práctica geometría. Por el contra-rio, Klein advierte que la intuición retiene todavía su valor en la matemática, en tanto ‘‘nos ayuda a seguir la línea del argumento y a comprenderlo de una sola mirada, más aún, la intuición es una fuente de invenciones y de nuevas conexio-nes de pensamientos’’ (Klein 1902, p. 20).
La posibilidad de construir la geometría como una ‘‘ciencia puramente lógi-ca’’ es considerada ahora por Klein como una alternativa real. Éste fue quizás el modo en que interpretó la construcción axiomática de la geometría presentada en Fundamentos de la geometría (Hilbert 1899). De este modo, se nota un cambio respecto de su posición anterior, en tanto Klein plantea ahora la posibilidad de construir efectivamente la geometría a partir del establecimiento de un conjunto de axiomas, y sin ninguna referencia ulterior a los diagramas y a la intuición:
El significado de los axiomas de orden no debe ser subestimado; ellos son tan impor-tantes como cualquiera de los otros axiomas, si se quiere construir realmente a la geometría como una ciencia lógica, en la que una vez que los axiomas han sido se-leccionados, no es necesario recurrir más a la intuición o a las figuras para las deduc-ción de sus conclusiones. Tal referencia, sin embargo, es estimulante y permanecerá como una ayuda necesaria en la investigación. (Klein 1908, p. 201)
ma-temáticos pertenecientes a la ‘‘Escuela de Berlin’’ (Weierstrass y Kronecker, en-tre los más importantes). Klein expresa su antipatía para con los matemáticos berlineses, en otro de sus célebres cursos dictados en Göttingen, Einleitung in die höhere Geometrie (1893):
¿Con qué debería ocuparse a sí mismo el matemático? Algunos dicen que la intuición no tiene valor alguno, y por lo tanto debo circunscribirme a las formas puras gene-radas dentro de mí mismo sin la injerencia de la realidad. Ésta es la clave en ciertos lugares en Berlin. Contrariamente, en Göttingen la vinculación de la matemática pura con la intuición espacial y los problemas aplicados fue siempre defendida y los ver-daderos fundamentos de la investigación matemática han reconocido esta apropiada unión entre teoría y práctica. (Klein 1893d, p. 361)
Por otro lado, la aparición del programa axiomático de Hilbert, y su aplica-ción exitosa a la geometría, parecen haber convencido a Klein de la necesidad de distinguir con claridad los dos aspectos del razonamiento matemático: el creativo dentro del contexto de descubrimiento y el deductivo dentro del contexto de jus-tificación. La intuición, y especialmente la utilización de diagramas, seguirá te-niendo para Klein un valor invaluable dentro de la práctica matemática. Los diagramas no sólo serán un instrumento vital para la comprensión cabal de los distintos resultados matemáticos, sino que además la intuición seguirá siendo para Klein una herramienta indispensable para que el matemático llegue a nuevos des-cubrimientos. Sin embargo, en el plano de la justificación de los teoremas, la de-ducción lógica a partir de los axiomas será el único criterio a seguir para considerar una proposición como correctamente demostrada.
5. Consideraciones finales
FELIX KLEIN SOBRE EL VALOR DEL RAZONAMIENTO DIAGRAMÁTICO EN GEOMETRÍA 19
entre sus partes, a saber: de la teoría y la práctica, del pensamiento puro y de la ex-periencia y la intuición. En consecuencia, Klein destacó en un período inicial la función trascendente y positiva de los diagramas en geometría, no sólo como un instrumento heurístico sino además como un elemento inextirpable del razona-miento y de las demostraciones geométricas. De la misma manera, debemos seña-lar que Klein no estuvo quizás primordialmente interesado por investigar cómo la utilización de los diagramas en geometría podía ser llevada a cabo de un modo riguroso, sino que más bien se preocupó denodadamente por defender una imagen de la matemática en general, en donde el conocimiento matemático es esencial-mente el producto de la interacción fundamental entre el pensamiento puro y la intuición.
6. Referencias bibliográficas
Hilbert, David. 1899. Grundlagen der Geometrie. Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber Denkmals in Göttingen. Leipzig, Teubner.
Majer, Ulrich y Hallett, Michael (Eds.). 2004. David Hilbert’s Lectures on the Foundations of Geometry, 1891-1902. Berlin, Springer Verlag.
Klein, Felix. 1871. Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. Mathematische Annalen, 4, pp. 573–625.
Klein, Felix. 1873a. Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. Mathematische Annalen, 4, pp. 112–145.
Klein, Felix. 1873b. Über den allgemeinen Functionsbegriff und dessen Darstellung durch eine willkürliche Curve. Sitzungsberichte der physikalisch-medicinischen Societät zu Erlangen. December 8 . Reimpreso en Klein 1922, cap. 45, pp. 214-224.
Klein, Felix. 1890. Zur Nicht–Euklidische Geometrie. En: Gesammelte mathematische Abhandlungen, vol. 1, Berlin, Springer, pp. 353– 383, 1921.
Klein, Felix. 1892. Nicht–Eucklidische Geometrie. Notas de clase a cargo de Friedrich Schilling, correspondientes a un curso dictado en el semestre de invierno de 1889/90. Primer volumen.
Klein, Felix. 1893a. Nicht–Eucklidische Geometrie. Notas de clase a cargo de Friedrich Schilling, correspondientes a un curso dictado en el semestre de invierno de 1889/90. Segundo volumen.
Klein, Felix. 1893b. On the mathematical character of space-intuition and the relation of pure mathematics to the applied sciences. Evanston Colloquium. Reimpreso en Klein 1922, cap. 46, pp. 225–231.
Klein, Felix. 1893c. Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschun-gen. Mathematische Annalen, 43 (1), pp. 63–100. Versión en español: Consideracio-nes comparativas sobre nuevas investigacioConsideracio-nes geometricas, Mathesis, 11, 1995, pp. 331–370.
Klein, Felix. 1893d. Einleitung in der höhere Geometrie, I. Vorlesung gehalten im WS 1892-3. Ausgearbeitet von Fr. Schilling. Göttingen.
Klein, Felix. 1902. Anwendung der Diferential- und Intergralrechnung auf Geometrie, eine Revision der Principien. Teubner, Leipzig. Notas de clases a cargo de Conrad Müller, correspondientes a un curso dictado en el semestre de verano de 1901 en Göttingen. Segunda edición, 1907.
Klein, Felix. 1908. Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus. Band 2: Geometrie. Berlin, Springer, 1° edición.
Klein, Felix. 1922. Gesammelte mathematische Abhandlungen. Volumen 2. Berlin, Springer.
Klein, Felix. 1926. Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Berlin, Springer.
Köpke, Alfred. 1887. Über die Differentiirbarkeit und Anschaulichkeit der stetigen Functionen. Mathematische Annalen, 29, pp. 123–140.
Pasch, Moritz. 1882. Vorlesungen über neuere Geometrie, Leipzig, Teubner.
DIAGRAMAS EN PRUEBAS GEOMÉTRICAS POR REDUCTIO AD ABSURDUM*
ABEL LASSALLE CASANAVE
UFBA/ CNPQ Brasil
Después del drástico rechazo, a fines del siglo XIX, del uso de recursos que genéricamente podríamos llamar gráficos en demostraciones matemáticas, la lite-ratura reciente en filosofía de las ciencias formales ha vindicado su legitimidad. Si denominamos homogéneas a las pruebas exclusivamente lingüísticas, que gún la concepción standard de demostración predominante durante el siglo XX se-rían las únicas demostraciones posibles, entonces la vindicación mencionada supone una noción heterogénea de demostración. En particular, las demostracio-nes de la geometría sintética clásica –un caso paradigmático de demostración heterogénea– han recibido una atención creciente. Se distingue en una demostra-ción euclidiana la parte textual, que autoriza pasos de la demostrademostra-ción acerca de aspectos denominados exactos, de la parte gráfica –el diagrama– que autoriza pasos acerca de aspectos denominados co-exactos. En este trabajo presento, en primer lugar, y siguiendo a Ken Manders, cómo la distinción exacto / co-exacto ha iluminado también el concepto de demostración por reductio ad absurdum. Pero, en segundo lugar, pretendo descartar una posible objeción, con base en las pruebas por absurdo, a la tesis que defendemos, a saber, que las figuras (u otros elementos diagramáticos) pueden ser consideradas bajo la especie de muestras.
I. Las pruebas por reductio anuncian algo monstruoso. Supongamos dos círculos diferentes, tocándose en un punto G. La Proposición III. 6 de los Elemen-tos reza: Si dos círculos se tocan uno a otro, su centro no será el mismo.1 Aunque
nada podría parecer más obvio, la demostración procede por absurdo. Sean ABG
y GDE los círculos en cuestión y G el punto donde se tocan. Sea Z el centro de
ambos círculos. Con alivio, pero también con alguna desilusión, la figura
relacio-* Para la realización de este trabajo el autor fue beneficiado con subsidios de la CAPES/ Bra-sil (CAFP / BA 012/42) y del CNPq / BraBra-sil (304660/2010-8). El autor agradece las observaciones de Frank Sautter (UFSM/Brasil), Sérgio Schultz (PUC / Brasil) y Oscar Esquisabel (UNLP / Argen-tina) a una versión preliminar del trabajo.
1 Seguimos la traducción de María Luisa Puertas Castaño en Euclides (2007), pero cuando no
nada exhibe dos círculos (en un sentido a elucidar) que se tocan, pero cuyo supues-to centro claramente no lo es de ambos. (En verdad, ni siquiera es necesario que parezca serlo de uno cualquiera de los círculos.) Tracemos ZG y “al azar” la
rec-ta ZEB, construcciones permitidas por el Postulado 1, que autoriza trazar una lí-nea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
La demostración prosigue así: qua radios, ZG y ZB son iguales por definición
de círculo, pues Z es el centro del círculo ABG; por la misma razón, son también
iguales ZG y ZE, pues Z es el centro del círculo GDE. Como cosas iguales a una
misma cosa son iguales entre sí, por la Noción Común 1, ZB y ZE son también iguales. Pero por el diagrama sabemos que ZE es menor que ZB. Luego, la rec-ta finirec-ta menor sería igual a la recrec-ta finirec-ta mayor, la parte igual al todo, lo cual es absurdo por la Noción Común 5: el todo es mayor que la parte. Luego, círculos que se tocan no tienen el mismo centro.
Fue Kenneth Manders quien finalmente iluminó la naturaleza de las demos-traciones geométricas en general, así como el rol de las figuras en ellas en parti-cular, a saber, consiguió discriminar cuál es la contribución de la parte textual de la demostración y cuál la contribución de la parte diagramática. En efecto, en lu-gar de la vaga referencia al recurso a figuras en una demostración, Manders ha de-terminado bajo qué condiciones Euclides recurría a las figuras, a saber, cuando se trata de aspectos del diagrama que Manders denomina co-exactos, por oposición a otros aspectos que llama exactos, establecidos en la parte textual.2
La demostración de III.6 permite ilustrar fácilmente las tesis de Manders. Por ejemplo, que dos segmentos sean (no trivialmente) iguales, es establecido en la parte textual: en la demostración anterior, la igualdad de dos segmentos se sigue de: a) por definición: los radios de un mismo círculo son iguales; b) por una no-ción común: dos segmentos iguales a un tercero son iguales entre sí. Estas propie-dades son propiepropie-dades métricas: la igualdad debe ser textualmente justificada. ¿En qué momento utilizamos el diagrama? El diagrama nos autorizó a justificar que un segmento es menor que otro del cual es parte, esto es, basándonos en un aspecto mereológico del diagrama que resultó de la interrelación de las sucesivas entradas
DIAGRAMAS EN PRUEBAS GEOMÉTRICAS POR REDUCTIO AD ABSURDUM 23 diagramáticas: por peor que fueran dibujados los círculos que se tocan y la recta ZB, ZE sería menor que ZB.
Justamente, en la invariancia a la deformación reside que algunos aspectos del diagrama sean calificados como co-exactos. Consideremos otro ejemplo, la demos-tración de I.1: construir un triángulo equilátero de lado igual a una recta finita dada. Por más deformados que dibujemos dos círculos cuyos centros respectivos sean los puntos extremos A y B de una recta finita dada, los círculos se cortan en C. Y eso precisamente es ‘‘ser un punto’’:
Pero, a diferencia del caso que examinamos anteriormente, en lugar de una propiedad mereológica, es una propiedad topológica la que permite obtener el pun-to como resultado de la interacción de las sucesivas entradas diagramáticas. Que los segmentos AC y AB y BC sean iguales es un aspecto exacto, que solamente puede ser justificado textualmente, pero no diagramáticamente: que AB y AC, así como AB y BC en la figura arriba sean iguales se sigue de la definición de círcu-lo, pues AB y AC son radios del círculo ABC, y AB y BC lo son del círculo ABE. (En general, la igualdad de segmentos depende prima facie de relaciones entre radios de círculos, mientras que igualdad de ángulos rectilíneos –el segundo y prin-cipal tópico de los primeros libros de los Elementos– depende de la congruencia de triángulos.) La demostración de I.1 tiene un paso más: AC y BC son iguales, pues cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. Así se completa la demostra-ción: hemos construido un triángulo equilátero.
Ahora bien, que una línea sea recta o que algo sea círculo es estipulado por el texto: son también aspectos exactos. Es verdad que podríamos pensar que los círculos podrían ser dibujados de forma tal que la diferencia entre los segmentos parte-todo de III.6 fuese muy difícil de reconocer visualmente, y que la deforma-ción de los círculos en I.1 hiciese desproporcionadamente desiguales los segmen-tos determinados por los extremos del segmento dado y C. No obstante, que el dibujo ofrezca un ‘‘caso claro’’ es parte de la disciplina de usar los diagramas o disciplina diagramática, esto es, la habilidad para dibujar diagramas lo suficien-temente buenos.
fuese dibujada como una curva pronunciada, pues entonces su prolongación po-dría conllevar co-exactos impropios como, por ejemplo, intersecciones con otras rectas; por otro lado, también sería inaceptable que el dibujo de un círculo no en-cierre una región de forma tal que conlleve la distinción interior-exterior. Ahora bien, como hemos visto, es la topología y la mereologia del diagrama, que no de-pende de la disciplina diagramática, i.e., que no dede-pende de evitar interacciones indebidas haciendo dibujos lo suficientemente buenos, la que permite legítima-mente justificar pasos de la demostración que es, por lo tanto, heterogénea.
Examinemos un poco más detalladamente desde esta perspectiva la demos-tración de III.6. Por ejemplo, se podría objetar que falta analizar un caso, a saber, que los círculos se toquen ‘‘por fuera’’, esto es, que sean tangentes. Pero la obje-ción no parece correcta, pues el punto de partida es que los círculos que se tocan tengan el mismo centro; ahora bien, para que un punto sea centro es condición ne-cesaria que sea interior a ambos círculos. (Un argumento semejante también ex-cluye que el punto G en la circunferencia sea centro. Y, por cierto, que G sea el
punto en que se tocan es también un aspecto exacto que solamente el texto puede declarar / justificar.) La distinción es relevante, dado que el diagrama nos puede informar que un punto es interior a un círculo, ya que es un aspecto topológico, pero no que un punto es centro, pues en este caso se trata de una propiedad mé-trica (aspecto exacto), a saber, la igualdad de las líneas que unen el centro con la circunferencia.
Por más deformados que dibujemos los círculos, el requisito es que uno de ellos esté dentro del otro; por peor que dibujemos el centro, el punto debe ser in-terior a ambos círculos. Y las sucesivas entradas que introducen GZ, ZG y ZB bajo
las condiciones dadas harán que ZE y ZB sean uno parte del otro y, por lo tanto, uno menor que el otro. Esta información mereológica puede ser extraída legítima-mente del diagrama. Un tanto paradojallegítima-mente, se podría decir que la mejor manera de entender cómo funcionan los elementos diagramáticos es examinar las demos-traciones por el absurdo, no las demosdemos-traciones directas, como la de I.1. Esta es la razón por la cual Manders, a quien hemos seguido hasta ahora, discute en su clá-sico Manders 2008b primero las demostraciones por absurdo.
En efecto, la prueba directa de I.1 sugiere una concepción meramente instancial de las figuras, que inmediatamente se enreda con los problemas de la perfección y la universalidad de las pruebas. Obviamente, esa concepción instancial no se puede aplicar a las demostraciones por absurdo, pues no se pue-de pue-defenpue-der que se parta siquiera ‘‘por aproximación’’ pue-de círculos que se tocan con un mismo centro. Y Manders reclama con razón un tratamiento uniforme del uso de diagramas, sea en pruebas directas, sea en pruebas indirectas.
DIAGRAMAS EN PRUEBAS GEOMÉTRICAS POR REDUCTIO AD ABSURDUM 25 considerar los elementos diagramáticos desde el punto de vista de la concepción formal de demostración como constantes de individuos o parámetros que permi-ten la ulterior aplicación de la regla de generalización universal.3 Y esto también
valdría para demostraciones por absurdo (aunque via instanciación existencial). Ahora bien ¿no hay otra alternativa?
Según proponemos, la alternativa puede ser concebir las figuras como mues-tras. Uso la palabra muestras en su sentido primario en castellano, a saber, aquel que utilizamos cuando hablamos del muestrario de tejidos de un sastre, por ejem-plo.4 Ciertamente, una muestra en este sentido supone una porción del tejido del
cual decimos que es muestra, pero la condición de muestra involucra un tipo de ge-neralidad. En efecto, la muestra puede, por ejemplo, ser muestra de la textura de un tejido, pero no de un tejido de un color en particular. Tratándose del primer caso, mal habríamos entendido la muestra si cuando nos presentasen el paño lo re-chazásemos porque su color es diferente. O porque el paño tiene forma rectangular, mientras que las porciones de tejido del muestrario fueran circulares. Además, no tiene ningún sentido exigir de la muestra que el pedazo de tejido en cuestión sea en algún sentido perfecto: la muestra circunstancialmente podría tener alguna ‘‘imper-fección’’, por ejemplo, una mancha, pero esto no dejaría de hacerlo una muestra.
Dijimos que en la reconstrucción formal usual de la universalidad de una prueba euclidiana el diagrama es eliminado recurriendo al uso de la regla de ge-neralización universal. Pero en Netz (1998) se ha objetado, con sólidos argumentos filológicos, que, por ejemplo, la traducción ‘‘Sea AB un segmento’’ no es apro-piada, que ‘AB’ es, desde el punto de vista semiótico, un índice (en sentido peirciano) que remite a un diagrama previamente presentado. Por cierto, si una prueba euclidiana es heterogénea, debe haber alguna forma de interrelación tex-to-diagrama para la cual Netz ofrece una buena explicación. Pero menos satisfac-toria es su explicación subsecuente de la generalización. En efecto, Netz defiende que la generalización consiste en la posibilidad de repetir la demostración, siguien-do el ejemplo de I.1, para otras rectas finitas o segmentos.5
Yo creo que hay una confusión aquí, cuya base es la compresión meramen-te instancial del diagrama. Acaso en espíritu wittgensmeramen-teniano, la confusión consismeramen-te
3 El locus clásico de esta perspectiva es, por supuesto, Foundations of Geometry de Hilbert.
Pero Hilbert no pretendía acompañar la estructura de las pruebas de Euclides, aunque un trabajo en esa dirección lo encontramos en Luengo (1996). La discusión generada en torno de la distinción exacto / co-exacto ha llevado a formalizaciones de la geometría euclidiana que difieren de la de tipo axio-mática hilbertiana, como la de Avigad, Dean & Mumma (2009) en cálculo de secuentes. Para un en-foque diferente, donde las figuras son símbolos de un sistema formal, véase Miller (2007). En ese trabajo, el problema de la generalización es tratado considerando todas las configuraciones topoló-gicas posibles del diagrama.
4 En el Diccionario de la Real Academia Española se lee que la primera acepción de muestra
es: 1. f. Porción de un producto o mercancía que sirve para conocer la calidad del género. Debo al Prof. Roberto Torreti la referencia.
en que la prueba no es acerca de la figura, sino con la figura. Pero entonces la repetibilidad de la prueba, que es una condición general para denominar prueba a algo (qué querría decir tener la prueba de un teorema, si no se la pudiera reprodu-cir), es confundida con repetir la prueba acerca de otra figura, cuando de lo que se trata es simplemente de repetir la prueba misma con otra figura. La repetibilidad de una prueba, que no exige una copia fiel, supone, es claro, un margen de variación aceptable, aunque pueda ser difícil determinar cuál sea ese margen. Ciertamente, si la prueba es con birome roja y no azul, aún podríamos hablar de la misma prueba; pero no diríamos que la prueba fue repetida de una prueba en que los signos utili-zados ya no sean reconocibles (dentro de márgenes aceptables) como los signos co-rrespondientes. Al decir que la prueba es con la figura, decimos que las figuras son signos que son utilizados dentro de márgenes de deformación aceptables.
Concebir las figuras como signos tiene una consecuencia inmediata que es afín con las tesis de Manders y que elimina una objeción clásica al uso de figuras, a saber, su imperfección. En efecto, de una instancia puede reclamarse perfección, pero de un signo carece de sentido hacerlo, ya que basta reconocerlo como el signo apropiado. (La idea de que las figuras sean signos ya estaba en Leibniz, quien ade-más declaraba que eran signos con semejanza.) Vista como instancia de un con-cepto geométrico, ciertamente cualquier figura es imperfecta, pero queremos defender la idea de que en la demostración funciona como una muestra, que jus-tamente es una manera de explicar la (aparente) dimensión de instancia de la fi-gura. Nuestra modesta contribución a la concepción de Manders consistiría en aclarar el estatuto representacional de las figuras (o de elementos diagramáticos en general) qua signos, a saber, muestras. Y, por consiguiente, contribuir a la eluci-dación del tipo de generalidad involucrada en las pruebas euclidianas.
Consideremos el segmento AB de I.1. Es verdad que no puedo dibujar tan mal el segmento AB como un círculo, pues un segmento no divide el plano en una re-gión exterior y otra interior. Es decir, mientras que la exigencia inaceptable de per-fección se vincula con propiedades métricas, la imperper-fección admitida debe preservar las propiedades topológico-mereológicas. Y son estas las propiedades de un diagrama que son las relevantes para su condición de muestra. Esto también pa-rece consecuente con Manders cuando afirma:
Euclidean demonstration, I propose, attains uniformity of reasoning for its instances by licensing attribution based on what the diagram looks like only for co-exact conditions clearly displayed.6
Y esta concepción muestra sus virtudes justamente donde la concepción instancial no puede ser aplicada, a saber, en las demostraciones por absurdo:
If diagram imperfections only were in play, one might well hold that the function of diagrams could fruitfully be approached by first elaborating a notion of perfect geometricals of which the text is literally true, then treating diagrams actually drawn
DIAGRAMAS EN PRUEBAS GEOMÉTRICAS POR REDUCTIO AD ABSURDUM 27 in geometrical demonstrations as approximations to perfect ones; finally deriving from all this an understanding of the bearing of the imperfect diagram on inferences in the text. But no detour through ontology and semantics which treats of truth in a diagram in a sense which entails joint compatibility of all claims in force in the reductio context can speak to the difficulty with the role of diagrams inreductio arguments, which are pervasive in Euclid.7
Pero, ¿de qué podría ser muestra un diagrama en una demostración por reductio si por definición el diagrama no podría ‘‘instanciar’’ los conceptos invo-lucrados? Aunque no podamos instanciar dos círculos (geométricos) con el mis-mo centro (geométrico), sí podemis-mos instanciar qua predicado físico una forma circular dentro de otra con un punto interior a ambas, de forma tal que serán las propiedades topológicas de tal medio de representación aquellas cuya considera-ción hará de esa instancia una muestra de la cual se podrá concluir que un segmen-to es parte de otro. Pero essegmen-to no es acerca de la figura dibujada, sino acerca de los conceptos geométricos así representados con las figuras qua signos. Con la noción de muestra, un tipo especial de signo, pretendo evitar caer en una dualidad confundente entre la figura como instancia de un concepto geométrico y simultá-neamente como signo icónico de un concepto, pues no recurro a ningún tipo de se-mejanza ni figurativa ni estructural.
Las conclusiones que alcanzamos utilizando diagramas de Venn no son –ni nadie lo pensaría– acerca de círculos, sino acerca de relaciones entre conceptos como subordinación, exclusión, etc., que tales círculos, marcaciones mediante, re-presentan, aunque para ello usemos las propiedades topológicas de formas circu-lares que se solapan. Las pruebas son claramente con los diagramas, sin confusión posible con lo representado. Eso porque los diagramas de Venn no son muestras. (Y si se dijese que son instancias de círculos solapados no se los estaría conside-rando en su función representativa de las relaciones conceptuales en cuestión.) Las formas geométricas de los signos utilizados en geometría inducen a pensar que una prueba es (también) acerca de la figura, pero no (y en qué sentido) con la figura. Finalmente, obsérvese que para las demostraciones directas vale lo mismo: no es una pretendida perfección de una instancia lo que está en juego, sino los co-exac-tos que no pueden ser ‘‘corregidos’’ mejorando los dibujos. Las formas triangula-res o circulatriangula-res reptriangula-resentan qua muestras las propiedades topológicas/mereológicas del caso, pero no instancian círculos o triángulos geométricos. Y esto, en el caso par-ticular de las demostraciones por absurdo, nada tiene de monstruoso.
Referencias bibliográficas
Allwein, G., Barwise, J. (eds.)(1996) Logical Reasoning with Diagrams. New York: Oxford University Press.
Avigad, J., Dean, E., Mumma, J.2009. ‘‘A Formal System for Euclid’s Elements’’, Review of Symbolic Logic, 2(4): 700-768.
Euclides. 2007. Elementos. Madrid: Editorial Gredos. (Traducción y notas María Luisa Puertas Castaño).
Luengo, I. 1996.‘‘A Diagrammatic Subsystem of Hilbert’s Geometry’’. In G. Allwein & J. Barwise (ed): Logical Reasoning with Diagrams. New York: Oxford University Press, pp. 149-176.
Mancosu, P. (ed.) (2008) The Philosophy of Mathematical Practice. Oxford: Oxford University Press.
Manders, K.: (2008a) ‘‘Diagram-Based Geometric Practice’’. In: MANCOSU, P. (ed.): The Philosophy of Mathematical Practice. Oxford: Oxford University Press 2008. pp. 65-79.
—— (2008b) ‘‘The Euclidean Diagram’’. In: MANCOSU, P. (ed.): The Philosophy of Mathematical Practice. Oxford: Oxford University Press 2008. pp. 80-133. Miller, N. 2007. Euclid and His Twentieth Century Rivals: Diagrams in the Logic of
Euclidean Geometry. Stanford: CSLI Publications.
POSTULADOS, DIAGRAMAS, ¡ACCIÓN!*
WAGNERDE CAMPOS SANZ
Universidade Federal de Goiás [email protected]
Aunque no haya sido exactamente un constructivista, Kolmogorov hizo dos importantes contribuciones a la tentativa de determinar en qué consistiría una ló-gica intuicionista. Es más, esas dos contribuciones fueron los únicos artículos de lógica que escribió, cuando aún estaba en el comienzo de su carrera. El primero de ellos fue Sobre el principio del tercero excluido, de 1925, el segundo Sobre la interpretación de la lógica intuicionista, de 1932.1 En el segundo artículo
Kolmogorov sugiere que la lógica intuicionista puede ser interpretada como una lógica de problemas. En efecto, hoy en día se considera que la llamada ‘‘Interpre-tación BHK (Brouwer – Heyting – Kolmogorov)’’ de las constantes lógicas debe a esa vertiente de la lógica de problemas una de sus intuiciones.
De manera resumida, la lógica de problemas interpretaría como problemas aquello que estamos acostumbrados a llamar proposiciones. Normalmente, la fór-mula del cálculo proposicional p&q es interpretada como una proposición mole-cular constituida por otras dos proposiciones cuyo valor de verdad dependería de los valores de verdad de sus componentes. Kolmogorov propone interpretarla de manera diferente: Elproblema p&q es el problema de resolver los problemas p y q. La interpretación problemacional de las fórmulas comporta el concepto de resolubilidad, ya que p&q es el problema de resolverpy q, lo cual difiere de la in-terpretación proposicional, pues no es usual decir que p&q es la proposición que establece la demostrabilidad de las proposiciones p y q.
En la interpretación problemacional el concepto de acción es crucial. Hay una acción –la de resolver– que es invariablemente aplicada a los problemas; en parti-cular, a los problemas componentes de una fórmula como p&q. En otras palabras, la noción misma de problema depende de la noción de acción en la caracterización de Kolmogorov. Y, al menos para los casos moleculares, eso es dicho explícita-mente.
* Agradezco a A. Lassalle Casanave y a Oscar Miguel Esquisabel por la traducción del texto al español y por sus comentarios. Agradezco también el apoyo recibido de la CAPES/ Brasil (CAFP / BA 042/12).
1 Los artículos mencionados, traducidos al inglés, se encuentran en Selected Works of A. N.
El lenguaje ordinario posee formas de expresar acciones concretas (tokens) o acciones en cuanto tipo (type). Una acción concreta es usualmente referida por un nombre o una descripción precedida por un artículo definido. Las acciones en cuanto tipo son usualmente expresadas por el empleo de un verbo en infinitivo. Ya hemos encontrado anteriormente un ejemplo: resolver los problemas p y q.
Ahora bien, si las fórmulas del cálculo lógico representan problemas, por razones de homogeneidad, las fórmulas atómicas deben también representar pro-blemas. Y, en efecto, Kolmogorov (1932) da ejemplos de problemas que podría-mos considerar atómicos, uno de los cuales destacapodría-mos (pág. 151): construir un círculo que pase por tres puntos dados (x,y,z). Vale la pena observar que el ejem-plo viene acompañado de una nota pie de página donde se apunta que los medios de construcción permitidos deben ser indicados en la formulación del problema. Las observaciones precedentes constituyen nuestro punto de partida para un análisis de la Geometría Euclidiana y de la eterna cuestión del rol de los diagramas en las demostraciones geométricas. El concepto de problema ofrece aparentemente una interpretación adecuada a la estructura de presentación de muchas proposicio-nes del Libro I de Los Elementos; en particular, de las tres primeras.
En efecto, las proposiciones I.1- I.3 son tradicionalmente llamadas problemas. El término ‘‘proposición’’ en la obra no tiene, en general, el mismo significado que tiene en la lógica contemporánea. Las tres primeras ‘‘proposiciones’’ son ‘‘demos-tradas’’ y sus ‘‘demostraciones’’ terminan, como es bien conocido, con la expre-sión ‘‘que es lo que había que hacer’’. En cambio, proposiciones como la I.32 terminan con la expresión ‘‘que es lo que había que demostrar’’.2
El fundamento de la diferencia en las expresiones de la culminación de la prueba deviene de la naturaleza diferente de las tres primeras y I.32, la cual esta-blece la igualdad de la suma de los ángulos internos de un triángulo con dos rec-tos. Aquello que se formula en las primeras no puede propiamente ser afirmado, al paso que otras cabe afirmarlas, i.e., los teoremas como el I.32.3 El concepto
con-temporáneo de teorema matemático es justamente el de afirmación demostrada. La Proposición I.1 contiene (se suele también decir ‘‘pide’’): construir un triángulo sobre una recta finita dada. La expresión es una formulación, en nues-tra terminología, de una acción en cuanto tipo, sin especificar si se nues-trata de esta o aquella recta particular. Intuitivamente, esa acción es considerada como un pro-blema a resolver. Por tratarse de una acción en cuanto tipo estamos acostumbra-dos a pensar que la resolución del problema debe consistir en un procedimiento general capaz de solucionar todas las instancias del tipo en cuestión. Pero antes de
2 Seguimos la traducción de M. Castaño en Euclides (2007), pero en algunos momentos
pre-ferimos seguir la traducción inglesa de E. Tuttle (2002): http://mysite.du.edu/~etuttle/classics/ nugreek/contents.htm.
3 Existe alguna discusión acerca de la naturaleza de la Proposición I.4, pues ella ciertamente
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POSTULADOS, DIAGRAMAS, ¡ACCIÓN!
continuar con el análisis de la construcción solicitada, es necesario preguntar qué se debe entender por recta finita. Hay dos tipos de información inmediatamente relevantes: las definiciones del Libro I que involucran el término y los dos prime-ros postulados.
Por las cuatro primeras definiciones sabemos: (1) de un punto, que no tiene partes; (2) de una línea, que es una longitud sin anchura (aquí todavía no se pue-de hablar pue-de rectas, pues también una curva es una longitud sin anchura); (3) pue-de una línea, que tiene ‘‘puntos de parada’’ (y aquí: tampoco es el caso de hablar en general de rectas, aunque naturalmente también están comprendidas; debe agregarse que en las traducciones usuales en lugar de ‘‘puntos de parada’’ se lee ‘‘puntos extremos’’, pero la expresión pe/ratape/ratape/ratape/ratape/ratashmeia sugiere la interrupción de una acción –parada o fin–, de manera tal que la sonoridad de ‘‘pérata semeia’’, así como la maleabilidad semántica del griego antiguo, sugieren ‘‘marca de pa-rada’’); (4) de una línea recta que es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella.
La Definición I.4 es difícil de entender. Si consideramos dos puntos de pa-rada cualesquiera y algún tipo de acción como la de ir de un punto al otro, la rec-ta (finirec-ta) será aquella línea a la cual corresponde de acuerdo con la intuición– la menor distancia.4 Pero el trayecto permite no tomar la menor distancia, puede ser
hecho por una línea que no fuese recta, de forma tal que sus puntos no coincidi-rían con respecto a los puntos de la menor distancia.5
Los postulados que nos interesan son los dos primeros: (1) trazar una línea recta desde un punto cualquiera a un punto cualquiera (trátase de una acción, la acción de trazar, pero no es claro cuál es la actitud que está siendo tomada con la acción de trazar: orden, pedido, autorización, etc.); (2) prolongar continuamente una recta finita en una línea recta (nuevamente una acción). Por mor de completud, mencionemos que el Postulado 3 también es formulado en términos de una acción: describir un círculo con cualquier centro y distancia. Ese postulado también será empleado en la demostración de la Proposición I.1, y las observaciones que hici-mos para las rectas también se aplican al caso de los círculos.
Los dos últimos postulados garantizan la homogeneidad del espacio y el ca-rácter euclidiano del espacio: (4) todos los ángulos rectos son iguales (esta sí una proposición en el sentido contemporáneo); (5) la versión de Euclides del postulado de paralelas.
Acerca de los postulados, Tuttle (2002) observa que el término griego
Aith~matadesigna las cosas demandadas, los postulados. En su traducción, uti-liza ‘‘se requiere algo’’ (por ejemplo, ‘‘trazar una recta de cualquier punto a
cual-4 Esa intuición requiere como base la intuición de un plano espacial y, como los planes solo
se-rán caracterizados más tarde, las definiciones no pueden ser leídas como verdaderas definiciones, a lo sumo como caracterización de empleo de términos.
5 Compárese esa explicación con la definición de superficie plana (def. I. 8), las semejanzas son
quier punto’’), e intercalando la conjunción ‘‘y’’ entre postulados, se da continui-dad a las lista de requerimientos. Naturalmente, estamos obligados a preguntarnos cómo interpretar esos requerimientos.
A nuestro juicio, hay varios sentidos en que los requerimientos en cuestión pueden ser interpretados. Sobre una misma acción hay diferentes actitudes aplica-bles: ordenar, pedir, autorizar, etc. Una forma de interpretar un postulado consiste en decir que establece una acción que está más que autorizada, que es también consi-derada realizable: trazar una recta de un punto a cualquier punto no está solamente permitido sino que por suposición, y solamente por suposición, es siempre realizable. Además de los postulados, tenemos todavía las llamadas nociones comunes. En su mayoría, establecen la validez de ciertas relaciones y corresponden o a re-glas de inferencia (la número 1, por ejemplo, las cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí) o a una afirmación (la número 5, por ejemplo, el todo es mayor que la parte). El hecho de llamarlas nociones comunes se debe supuesta-mente a que estos principios valen más allá del ámbito geométrico.6 Así, las
rela-ciones de las cuales tratan las norela-ciones comunes son aplicables a objetos, pero también pueden ser aplicadas a acciones y entre trazos de diferentes acciones.
Con base en las observaciones sobre la forma cómo Kolmogorov proponía que interpretáramos el cálculo proposicional, deseamos extraer ahora algunas consecuencias sobre los Elementos, restringiéndonos al Libro I.
En primer lugar, al tomar una expresión que designa una acción y anteponer-le la expresión ‘‘el probanteponer-lema de’’ se obtiene una expresión que designa un probanteponer-le- proble-ma (el problema de construir un triángulo…). Un problema es, por lo tanto, una especie de cuestionamiento acerca de la realizabilidad de una acción meramente descripta, meramente pensada. Vimos que la acción de construir un triángulo equilátero a partir de una recta finita dada expresa una acción en cuanto tipo, pues ella depende de un parámetro, así como los algoritmos computacionales dependen de parámetros (inputs) para su ejecución. El problema de construir un triángulo equilátero a partir de una recta finita dada crea el cuestionamiento acerca de la realizabilidad de la acción de construir un tal triángulo.
En segundo lugar, al tomar una expresión de la forma ‘‘el problema de…’’ y anteponerle la expresión ‘‘resolver’’ se obtiene una expresión que designa nue-vamente una acción en cuanto tipo, cualificada. Esa acción puede ser demandada por el uso de un imperativo: resuelva el problema de… Ahora bien, hay dos accio-nes que pueden ser demandadas. Pueden ser demandadas tanto la construcción como la resolución del problema de construir. Los dos mandatos son distintos. El mandato de una acción concreta de la forma ‘‘construya un triángulo equilátero a partir de la recta finita dada’’ difiere del mandato de la acción ‘‘resuelva el
pro-6 Aunque debería recordarse que la Noción Común 4 (en las versiones de Elementos que
33
POSTULADOS, DIAGRAMAS, ¡ACCIÓN!
blema de construir un triángulo equilátero …’’. Las soluciones del primero y segun-do caso son, respectivamente, una construcción particular y un procedimiento gene-ral. Como se puede visualizar, la prueba de la Proposición I.1 contiene el segundo. Así, es por lo menos cuestionable la forma tradicional de interpretar la Proposición I.1: que se pide construir un triángulo. Lo que de hecho se hace en la demostración es dar un procedimiento general. En ese sentido se podría muy bien interpretar la Pro-posición I.1 como un pedido para resolver el problema de construir. O, por lo me-nos, que lo que se demuestra es que la construcción siempre puede ser demandada, ya que tenemos un procedimiento general para cumplir con mandatos de ese tipo.
A juzgar por las pruebas que siguen a las proposiciones de los Elementos, la geometría euclidiana requeriría dos categorías de acciones en cuanto tipo. La so-lución de ambas requiere procedimientos generales. Las categorías de problemas son: problemas de construcción, cuya solución concluye con la expresión ‘‘que es lo que había que hacer’’; problemas de demostración, cuya solución concluye con la expresión ‘‘que es lo que había que demostrar’’. Como ya dijimos, solamente el segundo tipo de problemas de los Elementos corresponde a una proposición en sentido contemporáneo.
El tratamiento de las proposiciones ‘‘demostrativas’’ como problema es fá-cil. La solución del problema consiste, según observa Kolmogorov, precisamen-te en, o bien encontrar una demostración, o bien mostrar que no hay demostración. La demostración debe tener algún tipo de generalidad. Pero no solamente en ra-zón de los pasos inferenciales, sino también en rara-zón de las acciones (construccio-nes) involucradas. A partir de los procedimientos para efectuar esas acciones (construcciones), se sigue la validez de alguna relación. En otros términos, se prue-ba que la realización de ciertas acciones resulta en un complejo de trazos con de-terminadas propiedades. Sin embargo, es importante observar que los diagramas no pueden ser dibujos de procedimientos generales.
Los problemas del segundo tipo requieren pasos intermedios de solución de problemas de construcción. Y ese hecho puede ofrecer un indicio del papel de los diagramas geométricos en pruebas. Si son puntos de parada y si se trazan rectas, o sea, si se las obtiene en un movimiento que se supone siempre realizable, los dia-gramas son nada más ni nada menos que los trazos de esas acciones. Teóricamente, por tanto, en el nivel elemental al menos, las acciones son objetos de considera-ciones postulacionales de los Elementos y sus trazos pueden ser tratados como sig-nos de esas acciones.
Las acciones se desarrollan en el tiempo. En algunos casos, también en el espacio. Dibujar (en el sentido de trazar, prolongar, describir) es una acción que se desarrolla en el tiempo y el espacio; demostrar es una acción que se desarrolla en el tiempo, siendo el espacio irrelevante.
in-tersección de las circunferencias es tanto punto de parada de la recta AC cuanto de la recta BC. Que este punto de parada tiene que existir es lo que prueba la construc-ción. Los puntos de parada o detención no son objetos ideales sujetos a una demos-tración de existencia: el punto es solamente aquel lugar donde la acción de dibujar una recta se termina. Finalmente, después de realizar las acciones relativas a la re-solución del problema de construcción, es necesario todavía mostrar que AC y BC son iguales a AB e iguales entre sí. En ese momento interviene la Noción Común 1 y la definición de círculo como figura plana comprendida por una línea (la circun-ferencia) cuyos puntos equidistan del centro (cualquier punto de la circunferencia es un punto de detención de la recta trazada entre el centro y un punto de ella).
La propuesta de Kolmogorov que describimos sucintamente nos permite vislumbrar una semejanza estructural entre una lógica de problemas y una lógica de proposiciones. Vamos más lejos aún, pues creemos que existe una lógica de acciones, siendo la lógica de problemas solamente una parte de ella. A los llama-dos operadores lógicos proposicionales corresponden determinallama-dos operadores en el ámbito de las acciones. Pero no todos los operadores de una lógica de acciones son pertinentes para el caso de las proposiciones. Por cierto, una acción comple-ja, como la de construir un triángulo equilátero, exige una coordinación y una ordenación de acciones elementales, descriptas en los postulados. A la ordenación de acciones le correspondería una conjunción para la cual no vale la propiedad de conmutatividad. No tendría sentido, por ejemplo, trazar la recta AC en la Propo-sición I.1 antes de trazar las circunferencias.
Que la geometría se haya transformado en una ciencia de objetos ideales tales como puntos, rectas y planos es una consecuencia de los desarrollos posteriores de la matemática, aunque la semilla ya estuviese presente desde el comienzo. En la axiomática hilbertiana no importa si estamos hablando de puntos o sillas, importan las relaciones entre esos objetos. Los axiomas establecen esas relaciones. Sin embar-go, es necesario observar que esa geometría debe hacer algo que parece contrario al espíritu original de la geometría euclidiana. En efecto, los axiomas de Hilbert pos-tulan, por ejemplo, para cualesquiera dos puntos A y B, la existencia de una recta que contiene esos puntos. Y, de esa manera, desaparece el trazo de la acción.
Hay otras razones históricas para que la noción de acción haya desaparecido del horizonte matemático. No hay trazo de acción, intuitivamente entendido, que pueda, por ejemplo, corresponder a la oscilación infinita de una línea entre dos puntos localizados a distancia finita. De manera más general, las líneas que corres-ponden a las funciones sobre un plano cartesiano fueron una liberación en térmi-nos de representación y métodos de solución admisibles con respecto a la geometría tradicional. Ese movimiento fue acompañado de una concepción ideal y abstracta de entidades que ya había sido iniciada en la matemática griega.
