Caracterización de señales e imágenes raíces y preconstantes del operador Teager-Kaiser

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(1)Caracterización de Señales e Imágenes Raı́ces y Preconstantes del Operador Teager-Kaiser. Julián Armando Quiroga Sepúlveda. Universidad de los Andes Facultad de Ingenierı́a Departamento de Ingenierı́a Eléctrica y Electrónica Bogotá, Colombia 2006.

(2) Caracterización de Señales e Imágenes Raı́ces y Preconstantes del Operador Teager-Kaiser. Julián Armando Quiroga Sepúlveda. Tesis para optar al tı́tulo de Magı́ster en Ingenierı́a Electrónica y de Computadores. Asesor Alfredo Restrepo Palacios, Ph.D.. Universidad de los Andes Facultad de Ingenierı́a Departamento de Ingenierı́a Eléctrica y Electrónica Bogotá, Colombia 2006.

(3) Índice General. Índice General. i. Índice de Figuras. iv. Agradecimientos. vii. Resumen. viii. 1. 2. 3. Introducción. 1. 1.1. Definición del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Revisión de la literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.3. Generalidades del operador de Teager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. Ecuaciones de Recurrencia Racionales. 7. 2.1. Mapas en 2D y subconjuntos de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.2. Conjunto de restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.3. Familia de cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. 2.4. Ecuación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Operador TK Unidimensional 3.1. 13. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.1. Respuesta al producto de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 3.1.2. Homogeneidad cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. 3.1.3. Respuesta a la suma de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. i.

(4) 3.1.4. 4. 3.2. Respuesta a señales particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. 3.3. Relación con la función de ambigüedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. Señales Raı́ces del Operador TK 1D 4.1. 4.2. 5. 20. Señales raı́ces determinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.1.1. Familia de cónicas para el CRD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. 4.1.2. Cónicas Cα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. 4.1.3. Ecuación lineal para el CRD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 4.1.4. Señales del CRD en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. Señales raı́ces no determinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2.1. Señales raı́ces binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. 4.2.2. Señales raı́ces mixtas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. 4.3. Señales propias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37. 4.4. Señales alternantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. Señales Preconstantes del Operador TK 1D 5.1. 5.2. 6. Invarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. 41. Señales preconstantes determinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.1.1. Familia de cónicas para el CCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. 5.1.2. Cónicas Cβκ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44. 5.1.3. Ecuación lineal para el CCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45. 5.1.4. Señales del CCD en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. Señales preconstantes no determinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.2.1. Señales preconstantes ternarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49. 5.2.2. Señales preconstantes mixtas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. 5.3. Energı́a de Teager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56. 5.4. Relación entre el CRD y el CCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58. Señales Prenulas del Operador TK 1D. 60. 6.1. Familia de rectas para el CND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. 6.2. Rectas Cφ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.

(5) 7. 6.3. Ecuación lineal para el CND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65. 6.4. Señales del CND en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65. 6.4.2. Señales de signo alternado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 69. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.1.1. Descomposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70. 7.1.2. Respuesta al producto de imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . 70. 7.1.3. Homogeneidad cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70. 7.1.4. Respuesta a la suma de imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71. 7.1.5. Invarianza con respecto a rotaciones de ángulo recto . . . . . . . . 71. 7.2. Respuesta a imágenes particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. 7.3. Respuesta a bordes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77. 7.4. Imágenes raı́ces binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78. 7.5. 9. Señales de signo constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65. Operador TK Bidimensional 7.1. 8. 6.4.1. 7.4.1. Baldosas Raı́ces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79. 7.4.2. Caracterización de las raı́ces binarias . . . . . . . . . . . . . . . . 82. 7.4.3. Detección de bordes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84. Generación de imágenes preconstantes a partir de señales del CCD . . . . . 86. Imágenes Separables y el Operador TK Bidimensional. 89. 8.1. Respuesta del operador TK2 a imágenes separables . . . . . . . . . . . . . 89. 8.2. Imágenes raı́ces separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90. 8.3. Imágenes preconstantes separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93. 8.4. Imágenes prenulas separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95. Conclusiones. 97. 9.1. Referentes al operador TK 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97. 9.2. Referentes al operador TK 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99. Referencias. 100.

(6) Índice de Figuras 1.1. Operador Teager Kaiser unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.2. Operador Teager Kaiser en dimensión dos. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 4.1. Curvas Cα obtenidas para |α| < 2. (a) α = 1 y (b) α = −1. . . . . . . . . . 22. 4.2. Curvas Cα obtenidas para |α| = 2. (a) α = 2 y (b) α = −2. . . . . . . . . . 23. 4.3. Curvas Cα obtenidas para |α| > 2. (a) α = 5 y (b) α = −5. . . . . . . . . . 23. 4.4. Gráfica de ω contra α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. 4.5. Señal raı́z determinada con α = 2.1. (a) Tiempo y (b) plano de fase. . . . . 28. 4.6. Señal raı́z determinada con α = −2.1. (a) Tiempo y (b) plano de fase. . . . 28. 4.7. Señal raı́z determinada con α = 2. (a) Tiempo y (b) plano de fase. . . . . . 29. 4.8. Señal raı́z determinada con α = −2. (a) Tiempo y (b) plano de fase. . . . . 29. 4.9. Señal raı́z determinada periódica. (a) Tiempo y (b) plano de fase. . . . . . . 30. 4.10 Señal raı́z determinada semiperiódica. (a) Tiempo y (b) plano de fase. . . . 30 4.11 Transiciones permitidas para una señal raı́z binaria (en espacio de fase). . . 31 4.12 Señales raı́ces binarias. (a) Señal periódica (N = 4) y (b) señal no periódica. 32 4.13 Señal {xn }. (a) Señal en el tiempo, y (b) plano de fase. . . . . . . . . . . . 35 4.14 Señal {yn }. (a) Señal en el tiempo, y (b) plano de fase. . . . . . . . . . . . 35 4.15 Señal mixta obtenida, (a) en el tiempo y (b) en el plano de fase. . . . . . . . 36 4.16 Señal raı́z mixta. Transición de segmento determinado a binario. . . . . . . 36 4.17 Señal raı́z mixta. Permanecia en la misma cónica Cα . . . . . . . . . . . . . 37 4.18 Cónicas para señales propias con α = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.19 Par de curvas para una señal alternante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40. iv.

(7) 5.1. Curvas Cβκ obtenidas para |β| < 2. (a) β = 1, κ = 1 y (b) β = −1, κ = 2. . 44. 5.2. Curvas Cβκ obtenidas para |β| = 2. (a) β = 2, κ = 1 y (b) β = −2, κ = 2. . 44. 5.3. Curvas Cβκ obtenidas para |β| > 2. (a) β = 5, κ = 1 y (b) β = −5, κ = 2. . 45. 5.4. Señal preconstante determinada con β = 2.27, κ = 1.8. . . . . . . . . . . . 47. 5.5. Señal preconstante determinada con β = −2.27, κ = 1.8. . . . . . . . . . . 47. 5.6. Señal preconstante determinada con β = 2, κ = 2. . . . . . . . . . . . . . . 48. 5.7. Señal preconstante determinada con β = −2, κ = 2. . . . . . . . . . . . . 48. 5.8. Señal preconstante determinada periódica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49. 5.9. Señal preconstante determinada semiperiódica. . . . . . . . . . . . . . . . 49. 5.10 Transiciones permitidas para una señal preconstante ternaria. . . . . . . . . 51 5.11 Señales preconstantes ternarias. (a) Señal periódica, y (b) señal no periódica. 51 5.12 Señal {xn }. (a) Señal en el tiempo, y (b) plano de fase. . . . . . . . . . . . 54 5.13 Señal {yn }. (a) Señal en el tiempo, y (b) plano de fase. . . . . . . . . . . . 54 5.14 Señal mixta obtenida. (a) Señal en el tiempo, y (b) plano de fase. . . . . . . 55 5.15 Señal preconstante mixta con κ = 0.5. Segmento determinado y Ternario. . 55 5.16 Señal preconstante mixta, κ = 0.5. Permanencia en la misma cónica Cβκ . . 56 5.17 Respuesta del operador TK una señal sinusoidal contra ω . . . . . . . . . . 57 6.1. Rectas obtenidas para |m| = 1. (a) m = 1 y (b) m = −1. . . . . . . . . . . 64. 6.2. Rectas obtenidas para |m| = 6 1. (a) m = 2 y (b) m = −4. . . . . . . . . . . 64. 6.3. Señal constante con A = 1.5. (a) Señal en el tiempo y (b) plano de fase. . . 66. 6.4. Señal exponencial decreciente con m = 0.9 y A = 1.5. . . . . . . . . . . . 66. 6.5. Señal exponencial creciente con m = 1.2 y A = 1. . . . . . . . . . . . . . 67. 6.6. Señal binaria de signo alternado con A = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67. 6.7. Señal exponencial decreciente de signo alternado con m = −0.9 y A = 2. . 68. 6.8. Señal exponencial creciente de signo alternado con m = −1.2 y A = 2. . . 68. 7.1. (a) Imagen constante, (b) imagen lineal y (c) imagen producto lineal. . . . . 72. 7.2. (a) Imagen impulso δ y (b) imagen impulso δ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 73. 7.3. (a) Imagen sinusoidal 1 con B = 2A, ω1 = π/5 y ω1 = π/15, y (b) imagen sinusoidal 2 con ω1 = π/4 y ω1 = π/12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.

(8) 7.4. (a) Imagen sinusoidal 3 con ω1 = π/10 y ω1 = π/20, y (b) imagen sinusoidal 4 con ω = π/10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75. 7.5. Imagen preconstante más nivel DC apropiado. (a) Imagen original y (b) imagen raı́z obtenida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76. 7.6. Imagen preconstante más nivel DC no apropiado. (a) Imagen original, (b) y (c) respuesta del oeprador con k menor y mayor al apropiado, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76. 7.7. (a) Imagen exponencial 1 con c = 1.1 y β = 10−4 , y (b) imagen exponencial 2 con c = 1.1, β = 10−4 y γ = 10−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77. 7.8. Respuesta del operador TK2 a un borde vertical.. 7.9. Respuesta del operador TK2 a un borde esquina cuadrada. . . . . . . . . . 78. . . . . . . . . . . . . . . 78. 7.10 Respuesta del operador TK2 a un borde diagonal. . . . . . . . . . . . . . . 79 7.11 Respuesta del operador TK2 a un borde triangular. . . . . . . . . . . . . . 79 7.12 Realce de contraste utilizando el operador TK2 . (a) Imagen original, (b) y (c) respuesta del operador con α = 0.005 y α = 0.01, respectivamente . . . 80 7.13 Baldosas raı́ces con pı́xel central negro. (a) n1 , (b) n2 y (c) n3 . . . . . . . 80 7.14 Baldosas raı́ces con pı́xel central blanco. (a) b1 y (b) b2 . . . . . . . . . . . 81 7.15 Baldosas no raı́ces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 7.16 Rectas de diferente grosor. (a) 2 pı́xeles y (b) 3 pı́xeles . . . . . . . . . . . 82 7.17 Diferentes casos de intersección de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 7.18 Separación entre rectas menor a dos pı́xeles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.19 Imágenes raı́ces binarias. (a) Periódica y (b) no periódica . . . . . . . . . . 85 7.20 Detección de bordes en imágenes binarias. (a) Imagen original y (b) bordes detectados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 8.1. (a) Señal raı́z y (b) imagen copiada por columnas. . . . . . . . . . . . . . . 92. 8.2. (a) Señal preconstante y (b) imagen copiada por filas. . . . . . . . . . . . . 94. 8.3. Imágenes prenulas separables. (a) u señal binaria de signo alternado y v señal exponencial creciente, y (b) u y v señal exponenciales decreciente y creciente , respectivamente, ambas de signo alternado. . . . . . . . . . . . . 96.

(9) Agradecimientos A mi padre por su constante compañı́a, que me ha ayudado a afrontar con valentı́a mis diferentes retos. A mi madre por su vigilancia eterna que me guı́a siempre por el camino correcto. A mis hermanos por su apoyo incondicional.. A mi asesor de tesis Alfredo Restrepo Ph.D., por su asesoramiento cientı́fico, por enseñarme una forma diferente de ver las cosas y por generar en mı́ un gran interés por las matemáticas.. Al Laboratorio de Señales que me permitió compartir mi punto de vista investigativo y empezar mi formación en la investigación, dentro de un ambiente propicio en el cual ninguna idea es descartada.. Al Centro de Investigaciones de la Facultad de Ingenierı́a (CIFI) por brindarme el apoyo económico y material para realizar esta investigación.. vii.

(10) Resumen El operador Teager-Kaiser (TK) 1D es la versión discreta propuesta por Kaiser del operador de energı́a de Teager. El operador TK es un filtro no lineal de ventana móvil, que es comúnmente utilizado como estimador de los contenidos de energı́a de una señal y en el realce de contraste en imágenes. En este documento se definen el operador de Teager ası́ como su versión multidimensional, para luego deducir sus versiones discretas para 1D y 2D. Son derivadas algunas propiedades del operador TK 1D y la respuesta de éste a señales particulares. Se relaciona el operador con la función de ambigüedad discreta. Una metodologı́a para relacionar ecuaciones racionales y familias de curvas en el plano es desarrollada, la cual permite encontrar una ecuación lineal equivalente a la ecuación racional y caracterizar las señales raı́ces y preconstantes. La señales raı́ces y preconstantes del operador se clasifican en dos grupos: determinadas y no determinadas. Las determinadas son gobernadas por ecuaciones de recurrencia racionales. Las señales no determinadas pueden ser m-arias o mixtas; de éstas, las primeras son binarias para el caso de las raı́ces y ternarias para el caso de las preconstantes, además están restringidas por un diagrama de transiciones. Las señales mixtas contienen segmentos determinados y m-arios. Se encuentra que las raı́ces y las preconstantes determinadas se diferencia por un nivel DC. Por otra parte, se deducen algunas propiedades del operador TK 2D y se dan ejemplos de su respuesta a imágenes particulares. Se estudia la respuesta del operador a diferentes tipos de bordes. Se caracterizan las imágenes raı́ces binarias del operador. Se encuentra una relación directa entre las señales y las imágenes preconstantes del operador. Finalmente es estudiada la respuesta del operador TK a imágenes separables, y son caracterizadas las imágenes raı́ces, preconstantes y prenulas separables del operador.. viii.

(11) Capı́tulo 1. Introducción 1.1. Definición del problema. El operador continuo de Teager fue propuesto con el fin de estimar la energı́a que consume un oscilador para generar una señal sinusoidal de una frecuencia dada [1]. La energı́a, definida como el cuadrado de la norma L2, de una señal sinusoidal depende sólo de su amplitud, sin embargo la energı́a necesaria para generarla en la práctica aumenta con la frecuencia de la señal. A la aproximación discreta del operador continuo de Teager realizada por Kaiser [1], la llamaremos aquı́ el Operador Teager-Kaiser (TK). Este operador ha demostrado tener un buen desempeño en el realce de contraste en imágenes [2], en la demodulación de señales e imágenes AM-FM ( [3] y [4]) y es utilizado en análisis de señales para la estimación de los contenidos de energı́a.. El operador no obedece a superposición ni a homogeneidad, por lo tanto es no lineal y no es representable de forma directa en el dominio de la frecuencia [5]. Además, debido a su naturaleza no lineal, el operador Teager-Kaiser no es fácilmente caracterizable analı́ticamente. Por tal motivo el análisis del conjunto de señales raı́ces y preconstantes de este filtro no lineal es un paso importante para una mejor comprensión de su funcionamiento. El conjunto de señales considerado aquı́ para el análisis del operador Teager-Kaiser está conformado por las señales raı́ces, las señales preconstantes y las señales prenulas, todas ellas restringidas al caso de señales reales. El estudio presentado aquı́ pretende dar unas bases para una utilización más racional del operador en una y dos dimensiones. 1.

(12) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 1. Introducción. Las señales raı́ces o puntos fijos del operador, son el conjunto de señales que permanecen inalteradas al pasar a través del filtro, y las cuales conforman el conjunto identidad. Las señales raı́ces de un filtro de convolución (es decir lineal e invariante) no son particularmente significativas, éstas forman parte de la banda de paso y pueden ser caracterizadas con la fundón de transferencia del filtro. Las señales raı́ces de un filtro de convolución discreto son las señales exponenciales de frecuencias para las cuales la transformada z de la respuesta impulso del filtro es 1 y las combinaciones lineales de éstas [6]. Las señales raı́ces son de gran interés en el análisis de los filtros no lineales, sin embargo su caracterización no es una tarea sencilla. Las señales preconstantes son el conjunto de señales que presentan salida constante una vez aplicadas al filtro, las cuales conforman el conjunto preconstante. No existe un análogo en la respuesta en frecuencia para filtros de convolución, sin embargo para el estudio del operador TK es un paso importante para conseguir un mejor entendimiento del papel del operador como estimador de energı́a. Por último, las señales prenulas son el conjunto de señales que presentan salida cero al pasar a través del filtro, y conforman el conjunto de nulidad. Las señales prenulas de un filtro de convolución forman parte de la banda de rechazo del filtro y pueden ser caracterizadas por la función de transferencia del filtro. Las señales prenulas de un filtro discreto de convolución son las señales exponenciales de frecuencias para las cuales la transformada z de la respuesta impulso del filtro es 0 y las combinaciones lineales de éstas. Al igual que en el caso de las señales raı́ces, las señales prenulas no dan mayor información en el caso de un filtro de convolución, no obstante, para el estudio de este filtro no lineal, son un aporte para su caracterización. El análisis de un filtro no lineal es todo un desafió, por tal motivo, cuestiones triviales en el caso de los filtros de convolución son las que se estudian inicialmente en el caso de los filtros no lineales, y relativamente, dan información importante.. Algunas señales raı́ces y preconstantes son gobernadas por Ecuaciones de recurrencia racionales y viven el plano de fase en ciertas familias de cónicas [7] y [8]. Una metodologı́a que permita relacionar las ecuaciones racionales con las familias de cónicas resultantes en el plano de fase es necesaria. Existe una relación entre raı́ces y preconstantes que puede ser establecida. De igual forma, existen otras señales raı́ces y preconstantes que no están 2.

(13) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 1. Introducción. determinadas por una ecuación, y deben ser caracterizadas en lo posible. Para el caso de dos dimensiones (2D), es importante la caracterización de imágenes raı́ces y preconstantes, entre éstas las prenulas, para una mejor comprensión del operador TK, en su utilización en el realce de contraste y también para su posible aplicación en el reconocimiento de texturas. De igual forma el estudio de sus propiedades y su respuesta a imágenes comunes, puede permitir una utilización más racional del operador.. 1.2. Revisión de la literatura. La mayorı́a de trabajos realizados sobre el operador TK han sido de aplicación en diversos campos del procesamiento de señales. Por ejemplo, en [2] es utilizada la versión 2D del operador para el realce de contraste; en [9] y [10] el operador TK es utilizado para estimar contenidos de energı́a de señales de voz y de EEG, respectivamente; en [3] el operador TK es utilizado para demodular señales AM-FM con poco error bajo ciertas condiciones y son propuestas estrategias para estimar las componentes de amplitud y frecuencia por separado; En [4], la versión 2D del operador TK es utilizada para demodular imágenes AM-FM de ancho de banda estrecho. En [11] el operador de Teager definido para señales complejas es utilizado para estimar el segundo momento del ancho de banda y los momentos de la duración de señal y de su espectro.. El Laboratorio de señales ha sido pionero a nivel nacional en el estudio de filtros no lineales, entre los cuales se encuentra el operador TK. Las propiedades analı́ticas del operador Teager-Kaiser unidimensional han sido estudiadas en [5], en donde se observa el comportamiento del filtro ante diferentes tipos de entrada y se determina la función de densidad de probabilidad (pdf) de la salida cuando la entrada es ruido blanco. Además, se realiza un primer análisis de las señales que conforman los conjuntos identidad, preconstante y de nulidad del operador, del cual se obtienen algunas propiedades que cumplen las señales que pertenecen a cada uno de los conjuntos. Por otro lado, las señales raı́ces del filtro Teager-Kaiser 1D son analizadas de forma más profunda en [7], en donde es encontrada una familia de cónicas que viven en el plano de fase formado por dos entradas consecutivas 3.

(14) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 1. Introducción. al filtro. A partir de este trabajo, las señales raı́ces pueden ser clasificadas como binarias o no binarias, algunas periódicas y otras semiperiódicas, algunas acotadas otras no acotadas. Además, una ecuación lineal es encontrada, la cual permite generar señales raı́ces de propiedades dadas. De igual forma, en [8] se encuentra que las señales preconstantes también viven en una familia de cónicas en el espacio de fase y se deduce una correspondencia entre raı́ces y preconstantes. Sin embargo, un método para obtener la relación entre la ecuación de recurrencia del operador Teager-Kaiser y las cónicas en el plano de fase formado por entradas consecutivas no ha sido encontrado. Los resultados obtenidos hasta el momento han sido obtenidos mediante una estrategia de ensayo y error, sobre una gran cantidad de pruebas. A su vez un análisis de este estilo debe se realizado para el conjunto de nulidad, con el fin de caracterizar de forma más completa la respuesta del operador 1D.. El conjunto de imágenes raı́ces para el operador Teager-Kaiser 2D ha sido poco estudiado hasta el momento. En [12] son generadas señales raı́ces del filtro 2D utilizando diferentes estrategias, y algunas caracterı́sticas son obtenidas. Sin embargo un análisis más a fondo es requerido con el fin de entender de mejor manera el desempeño del operador. Ası́ mismo la generación y análisis de las imágenes preconstantes y prenulas, que no han sido estudiadas hasta el momento, pueden ser de gran ayuda para la comprensión más analı́tica del operador.. 1.3. Generalidades del operador de Teager. En su trabajo sobre el modelamiento de la producción de voz, Teager desarrolló el operador diferencial no lineal [4], dado por . 2 .. TC [x] (t) ≡ x(t) − x(t) x(t) .. (1.1). ... donde x = dx/dt y x = d2 x/dt2 son las derivadas de primer y segundo orden de la señal continua x. TC es un operador de seguimiento de energı́a ya que puede detectar la energı́a de un oscilador harmónico simple al producir una señal oscilatoria sinusoidal [3]. Usando combinaciones de operadores de derivadas discretas podemos encontrar a partir de TC una 4.

(15) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 1. Introducción .. expresión discreta del operador. Para ellos, se aproximará la derivación continua x por una ecuación de diferencias hacia atrás de dos muestras, como se indica a continuación .. x(t) ↔ D1 (x)n = xn − xn−1. (1.2). ... x(t) ↔ D2 (x)n = xn − 2xn−1 + xn−2. (1.3). El operador TK para señales discretas, en su versión causal en dimensión uno, resulta entonces estar dado por TK(x)n = x2n−1 − xn−2 xn. (1.4). TC [x] (t) ↔ TK(x)n−1 Las expresiones (1.1) y (1.4) fueron utilizadas primero por Kaiser, en [1] y [13]. De acuerdo a su definición en (1.4), el operador TK unidimensional es un filtro de ventana móvil, de tamaño 3, como se ilustra en la Fig. 1.1.. Figura 1.1: Operador Teager Kaiser unidimensional. Maragos y Bovik proponen en [4] una versión multidimensional del operador de Teager para señales continuas, para el caso de d dimensiones (d > 2) con un argumento t = (t1 , . . . , td ) ∈ Rd como TCd [x(t)] ≡ k∇x(t)k2 − x(t) ∇2 x(t) donde ∇x =. ∂x ∂x ,..., ∂t1 ∂td. . es el gradiente de x(t), 2 2 ∂x ∂x 2 k∇xk = + ... + ∂t1 ∂td 5. (1.5).

(16) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 1. Introducción. es el cuadrado de la norma euclidiana del gradiente, y ∇2 x =. d X ∂2x k=1. ∂t2k. es el laplaciano de x(t). De acuerdo a su definición podemos expresar TCd (x) como TCd [x(t)] =. 2 d X dx(t) tk. k=1. − x(t). d2 x(t) t2k. . que corresponde a la suma de la aplicación del operador de Teager de tiempo continuo en 1D sobre cada una de las d componentes.. Es de interés para este estudio la respuesta del operador de Teager a imágenes (ósea señales de dimensión 2), para ello, utilizando (1.5), podemos obtener TC2 como .. .. 2. ... 2. ... TC2 [x(t)] = [xt1 ] + [xt2 ] − x(t) (xt1 ) − x(t) (xt2 ) .. (1.6). ... donde t = (t1 , t2 ) ∈ R2 , xt = ∂x/∂t y xt = ∂ 2 x/∂t2 . Utilizando (1.2) y (1.3) podemos encontrar una versión discreta de (1.6), y realizando un corrimiento a la derecha sobre cada dimensión obtenemos TK2 (xm,n ) = 2x2m,n − xm−1,n xm+1,n − xm,n−1 xm,n+1. (1.7). Esta expresión es conocida como el operador TK en 2D. De acuerdo a (1.7) el operador TK 2D es un filtro de ventana móvil, tipo cruz, de tamaño 5, como se ilustra en la Fig. 7.1.. Figura 1.2: Operador Teager Kaiser en dimensión dos.. 6.

(17) Capı́tulo 2. Ecuaciones de Recurrencia Racionales Definamos r(x, y) como una función racional de acuerdo a r(x, y) =. q1 (y) q2 (x). (2.1). donde q1 (y) y q2 (x) son polinomios, dados por q1 (y) = αy 2 + βy + γ q2 (x) = x con α, β, γ ∈ R. Ahora consideremos el mapa g, definido como       x y y =  g  =  y r(x, y) z. (2.2). donde g : R2− → R2 , con R2− = {(x, y) ∈ R2 : x 6= 0}. La función g mapea el punto (x, y) en el punto (y, z). Tomando x = xn−1 , y = xn y z = xn+1 , g envı́a el punto de fase (xn−1 , xn ) al punto (xn , xn+1 ). Definición 2.1. Sea el plano de fase el espacio sobre el cual viven los puntos de la forma (xn , xn−1 ) ∈ R2 , formados por valores consecutivos de una señal. Definición 2.2. Un señal x ∈ RZ (donde R es el conjunto de los reales y Z es el conjunto de los enteros) se dice gobernada por (2.1), si todo elemento xn de x puede ser encontrado por medio de (2.1), asignando xn+1 = r(x, y), xn = y y xn−1 = x.. 7.

(18) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 2. Ecuaciones de Recurrencia Racionales. Mapas en 2D y subconjuntos de R2. 2.1. Consideremos un punto inicial (x0 , y0 ) del plano de fase, el cual puede pertenecer a diferentes familias de subconjuntos de R2 . A través de un mapa g resulta el punto siguiente (x1 , y1 ), el cual también puede pertenecer a varias familias de subconjuntos de R2 . La pregunta es, ¿existen uno o más subconjuntos de R2 invariantes con respecto a g, y de ser ası́ cuales son?. El conocimiento de estos subconjuntos de R2 permite la caracterización de las señales gobernadas por g. Definición 2.3. Un subconjunto SS ⊂ R2 del dominio de un mapa g se dice invariante con respecto a g si todo punto (x0 , y0 ) ∈ SS implica (x1 , y1 ) = g(x0 , y0 ) con (x1 , y1 ) ∈ SS. Entre las familias de subconjuntos de R2 , son de interés para este estudio las curvas algebraicas, las cuales son curvas que pueden ser expresadas de forma implı́cita como f (x, y) = 0, donde f es un polinomio. El grado de f es llamado el grado u orden de la curva. En particular se consideran las curvas algebraicas de grado dos, conocidas como cónicas. Una cónica puede describirse de forma general por la siguiente ecuación algebraica: C(x, y) = ax2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0. (2.3). donde a, b, c, d, e y f son constantes reales que caracterizan la cónica, y todo punto (x, y) ∈ R2 que satisface C(x, y) = 0 pertenece a la cónica. El objetivo es encontrar una familia de cónicas C, si existe, para la cual C(x, y) = 0 implique C(y, r(x, y)) = 0, para todo punto (x, y) perteneciente al dominio de r(x, y). Asumiendo que C es una cónica, podemos escribir de acuerdo a su ecuación general (2.3) 2 q1 (y) q1 (y) q1 (y) 2 C (y, r(x, y)) = ay + b + cy + dy + e +f q2 (x) q2 (x) q2 (x) Como en [14], resulta C (y, r(x, y)) =. αy 2 + βy + γ 2 2 λx + bαy + cxy + ex + bβy + bγ x2. con λ=. ay 2 + dy + f αy 2 + βy + γ. (2.4) 8.

(19) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 2. Ecuaciones de Recurrencia Racionales. Con el fin de garantizar C(y, r(x, y)) = 0, una condición suficiente y necesaria, para el caso αy 2 + βy + γ 6= 0, es λx2 + bαy 2 + cxy + ex + bβy + bγ = 0. (2.5). Si existe una familia de cónicas C, invariante con respecto al mapa g, debe cumplirse que C(x, y) = 0 implique C(y, z) = 0. Ası́, basta con asumir que utilizando (2.3), que λx2 + bαy 2 + cxy + ex + bβy + bγ = ax2 + by 2 + cxy + dx + ey + f. (2.6). ası́, C (y, r(x, y)) =. q1 (y) C(x, y) = r(x, y)C(x, y) q2 (x). (2.7). De esta forma, dados q1 (y) y q2 (x), la ecuación (2.6) restringe los posibles valores que las constantes a, b, c, d, e y f pueden tomar, y permite encontrar, si existe, la familia de cónicas que es invariante con respecto al mapa dado.. 2.2. Conjunto de restricciones. Utilizando la restricción (2.6) se obtienen las siguientes ecuaciones que restringen los valores de las constantes de las cónicas. a=λ. (2.8). d=e. (2.9). b = αb. (2.10). e = bβ. (2.11). f = bγ. (2.12). De (2.10) se tiene que α = 1, lo cual obliga a que el polinomio q1 (y) sea mónico y (2.1) se puede reescribir como r(x, y) =. y 2 + βy + γ x. (2.13). 9.

(20) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 2. Ecuaciones de Recurrencia Racionales. La ecuación (2.9) hace que los coeficientes de los términos x y y de la cónica sean iguales. Para el caso β = 0 se tiene d = e = 0, según (2.11). De la misma forma (2.12) controla la presencia del término independiente f ; para el caso γ = 0, se tiene f = 0. La ecuación (2.8) restringe el valor de la constante a: de la cual se tiene a=. ay 2 + dy + f ay 2 + bβy + bγ = y 2 + βy + γ y 2 + βy + γ. (2.14). Para los casos en que β 6= 0 ∨ γ 6= 0, se encuentra que a = b. Si β = 0 ∧ γ = 0 la ecuación (2.8) no restringe el valor de a. Lema 2.1. Para el caso α 6= 1 no existe una familia de cónicas invariante. Demostración. La única forma de cumplir con b = αb para α 6= 1 es b = 0, lo cual harı́a ♠. que todas las constantes fueran cero.. 2.3. Familia de cónicas. De acuerdo a lo obtenido en la sección Anterior, reescribimos la ecuación de la familia de cónicas (2.3) como c C(x, y) = x2 + y 2 + xy + βx + βy + γ = 0 b Sea ψ = c/b el parámetro de la familia de cónicas Cψ definidas como Cψ (x, y) = x2 + y 2 + ψxy + βx + βy + γ = 0. (2.16). donde ψ=−. (x2 + y 2 + βx + βy + γ) xy. (2.17). Asigna un valor a cada punto del plano que no esté en los ejes. Todo punto (x, y) ∈ R2 que cumpla con Cψ (x, y) = 0 pertenece a la cónica. Teorema 2.1. Un punto (x, y) perteneciente al dominio de un mapa g que vive en una cónica Cψ , es decir, cumple con Cψ (x, y) = 0, permanece en la misma cónica tras aplicaciones subsecuentes del mapa g, por lo tanto Cψ es invariante con respecto a la aplicación del mapa g. 10.

(21) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 2. Ecuaciones de Recurrencia Racionales. Demostración. Definamos el punto (y, z) = g(x, y) donde x 6= 0, se debe mostrar que Cψ (y, z) = 0 conociendo que Cψ (x, y) = 0, para lo cual se tiene Cψ (y, z) = y 2 + z 2 + ψyz + βy + βz + γ 2 2 2 y + βy + γ y + βy + γ 2 Cψ (y, z) = y + + (ψy + β) + βy + γ x x 1 Cψ (y, z) = 2 y 2 + βy + γ y 2 + ψxy + βx + βy + γ + y 2 + βy + γ x2 x y 2 + βy + γ 2 2 Cψ (y, z) = x + y + ψxy + βx + βy + γ x2 2 y + βy + γ Cψ (x, y) = 0 Cψ (y, z) = x2 ♠ Corolario 2.1. Toda señal x ∈ RZ gobernada por una ecuación racional de recurrencia definida según (2.13), vive en una curva Cψ dada por (2.16) en el plano de fase y se caracteriza por un parámetro ψ definido según la ecuación (2.17). Esto generaliza el resultado correspondiente de [7].. 2.4. Ecuación lineal. Sabiendo que para las cónicas Cψ invariantes con respecto a un mapa g dado, los puntos (x, y) y (y, z) = g(x, y) tienen el mismo parámetro ψ, es decir ψ=−. (x2 + y 2 + βx + βy + γ) (y 2 + z 2 + βy + βz + γ) =− xy yz. escribiendo z en términos de x y y en la expresión de la derecha, se tiene 2 x y + βy + γ z+β x+z+β ψ=− + =− y 2 + βy + γ y y y. (2.19). De (2.19) puede ser obtenida una ecuación lineal que relaciona el valor de z con el punto (x, y) como sigue z = −β − ψy − x que corresponde a la ecuación de diferencia lineal de segundo orden xn+1 + ψxn + xn−1 = −β. (2.20) 11.

(22) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 2. Ecuaciones de Recurrencia Racionales. Teorema 2.2. Las señales gobernadas por la ecuación de recurrencia (2.13) son gobernadas también por la ecuación lineal de segundo orden (2.20). Demostración. Basta con demostrar que (2.13) es equivalente a (2.20), es decir 2 αy + βy + γ Sea ∆ = (−β − ψy − x) − = 0, x 6= 0 x reemplazando ψ de acuerdo a la ecuación (2.17) se tiene 2 2 x + y 2 + βx + βy + γ αy + βy + γ ∆ = −β − − y−x − xy x 1 ∆= −βx + x2 + y 2 + βx + βy + γ − x2 − αy 2 + βy + γ x 1 2 ∆= y + βy + γ − y 2 + βy + γ = 0 x ♠ Corolario 2.2. Toda señal x ∈ RZ gobernada por una ecuación racional de recurrencia definida según (2.13), es solución de la ecuación lineal de segundo orden (2.20).. 12.

(23) Capı́tulo 3. Operador TK Unidimensional El operador TK definido como la función TK : RZ → RZ con y = TK(x) dado por ∀n ∈ Z. yn = x2n − xn−1 xn+1. (3.1). Puede escribirse de forma compacta como TK(x) = x2 − 1 x −1 x. (3.2). con la convención que k xn = xn−k (corrimiento de k posiciones) y que el producto de señales es punto a punto, es decir, xy = {xn yn }. Adicionalmente toda señal discreta z ∈ RZ puede escribirse también como {zn } ∈ RZ . A continuación se presentan algunas propiedades del operador TK.. 3.1 3.1.1. Propiedades Respuesta al producto de señales. Sean x, y ∈ RZ entonces TK(xy) = x2 y 2 − 1 x −1 x 1 y −1 y, dado que 1 x −1 x = x2 − TK(x) y 1 y −1 y = y 2 − TK(y) se tiene TK(xy) = x2 TK(y) + y 2 TK(x) − TK(x)TK(y) En particular si x es una señal prenula entonces TK(xy) = x2 TK(y) 13. (3.3).

(24) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 3. Operador TK Unidimensional. Lema 3.1. Si p1 , p2 , . . . , pn son n señales prenulas, entonces ! n Y TK pi = 0 i=1. Demostración. Si p1 y p2 son señales prenulas, entonces, utilizando (3.3) se encuentra que p1 p2 también es una señal prenula. Por tal motivo cualquier productoria finita de señales prenulas puede ser vista como una señal prenula utilización la propiedad de asociatividad, pues cada par de señales prenulas es una señal prenula.. ♠. Definición 3.1. Un operador O es multiplicativo si para toda señal s y toda señal r, O(sr) = O(s)O(r). Claramente el operador TK no es multiplicativo.. 3.1.2. Homogeneidad cuadrática. Sean x ∈ RZ y a ∈ R entonces TK(ax) = a2 x2 − a2 1 x −1 x = a2 TK(x). (3.4). Definición 3.2. Un operador O es homogéneo en sentido cuadrático si para toda constante c y toda señal s, O(cs) = c2 O(s). De acuerdo a esta definición, el operador TK es homogéneo en sentido cuadrático.. 3.1.3. Respuesta a la suma de señales. Sean x, y ∈ RZ entonces TK(x + y) = TK(x) + TK(y) + 2xy − −1 x 1 y − 1 x −1 y De aquı́ se tiene que el operador no cumple con superposición, excepto en el caso en el cual 2xy = −1 x 1 y + 1 x −1 y. En particular si x es constante con valor d se tiene TK(x) = 0 y TK(x + y) = TK(y) + d(2y − 1 y − −1 y). 14. (3.5).

(25) IEMC-I-06-12. 3.1.4. Capı́tulo 3. Operador TK Unidimensional. Invarianza TK(r x) = r x2 − r+1 x r−1 x = r TK(x). El operador TK es invariante.. 3.2. Respuesta a señales particulares. Señal constante. La respuesta a una señal constante x = {κ} es la señal cero θ, la cual cumple con θn = 0 para todo n entero. Por tal motivo toda señal constante es prenula [5]. Señal lineal. La respuesta a una señal lineal de la forma x = {α + βn}, con α y β constantes reales, es una señal constante de valor β 2 . Por tal motivo la señal lineal es preconstante [5].. Señal impulso. La respuesta a la señal impulso δn0 definida como   α n=n 0 δn0 =  0 ∼ es la señal   α2 n = n 0 TK (δn0 ) =  0 ∼ que corresponde al cuadrado del impulso de entrada [5].. Respuesta a escalón. La respuesta a una señal escalón µn0 definida como   0 n<n 0 µn0 =  α n ≥ n0 es la señal   α2 n = n 0 TK (µn0 ) =  0 ∼ 15.

(26) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 3. Operador TK Unidimensional. que corresponde a un impulso de amplitud α2 ubicado en el instante del salto del escalón [5].. Respuesta a borde. La respuesta a un borde ε definido como   α n<n 0 εn0 =  β n ≥ n0 es la señal      α (α − β) n = (n0 − 1) TK (εn0 ) = β (β − α) n = n0     0 ∼ Esta respuesta al ser aplicada al borde original, es decir εn0 + TK (εn0 ), realza la transición de α a β [5].. Señal sinusoidal. La respuesta a una señal sinusoidal de la forma x = {A sin (ωn + φ)} con A, ω y φ constantes, es una señal constante de valor A2 sin2 ω [5]. Claramente la señales sinusoidales son preconstantes.. Señal sinusoidal + DC. La respuesta a una señal de la forma x = {A sin (ωn + φ) + k} con A, ω ,φ y k constantes, está dada por (3.5) como la señal . [2k(1 − cos ω)] A sin(ωn + φ) + A2 sin2 ω. La respuesta es la señal original multiplicada por un factor de escala, más un nivel d constante. Para k = 0 la señal es preconstante, mientras que para valores grandes de k la señal es una copia ampliada de la señal original x más un nivel constante.. Señal AM. La respuesta a una señal discreta AM de la forma x = {an sin (ωn + φ)}, donde a ∈ RZ , es la señal . a2n sin2 ω + TK (an ) cos2 (ωn + φ) − sin2 ω 16.

(27) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 3. Operador TK Unidimensional. que permite estimar con cierto error la envolvente de la señal AM [3]. Señal exponencial. La respuesta a una señal exponencial de la forma x = αcβn con α, β y c constantes, es la señal θ. Por tal motivo, la señal exponencial es prenula. Combinación lineal de exponenciales. Si x = {aδ1n } con a y δ1 constantes, y y = {bδ2n } con b y δ2 constantes, entonces (δ1 − δ2 )2 TK(x + y) = − xy δ1 δ2. (3.6). que corresponde al producto de las exponenciales multiplicado por una constante [6].. 3.3. Relación con la función de ambigüedad. Hamila y otros [11], relacionaron una versión del operador de Teager para señales complejas (CZ → CZ ), con la función de ambigüedad. Mediante tal relación estimaron el segundo momento del ancho de banda ası́ como los momentos de duración de señal y de su espectro. A continuación se relaciona el operador TK definido para señales complejas con una versión de la función de ambigüedad de tiempo discreto. El operador de Teager para señales complejas continuas está definido como .. .. TC [x(t)] = x(t) x ∗ (t) −. 1 .. 1 .. x(t)x∗ (t) − x(t) x ∗ (t) 2 2. (3.7). Utilizando (1.2) y (1.3) en (3.7) se obtiene una versión discreta de TC como 1 1 TK (x) = xn x∗n − x∗n−1 xn+1 − xn−1 x∗n+1 2 2. (3.8). Las definiciones del operador dadas en (3.7) y (3.8) concuerdan con las previamente ilustradas en (1.1) y (3.1), respectivamente, para el caso en el cual x es una señal real. La función de ambigüedad de tiempo discreto de un señal discreta x la definimos como ∞ 1 X Ξ(ω, k) = xn+k x∗n−k e−jωn E n=−∞. (3.9). 17.

(28) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 3. Operador TK Unidimensional. donde ∞ X. E=. |xn |2. n=−∞. es la energı́a de la señal. La función de ambigüedad Ξ(ω, k) provee información tanto en tiempo como en frecuencia para señales de energı́a finita. Definamos γ(n, k) como γ(n, k) =. 1 xn+k x∗n−k , E. (3.10). entonces Ξ(ω, k) =. ∞ X. γ(n, k)e−jωn = DT F Tn [γ(n, k)]. (3.11). n=−∞. donde DT F Tn es la transformada de Fourier de tiempo discreto con respecto a n. Sea Γ(ω, τ ) =. ∞ X. Ξ(ω, k)e−jτ k = DT F Tk [Ξ(ω, k)]. (3.12). k=−∞. Ahora, la “segunda derivada de γ con respecto a k” viene dada por Dk2 γ(n, k) =. 1 xn+k+1 x∗n−k−1 − 2xn+k x∗n−k + xn+k−1 x∗n−k+1 E. donde Dk2 es la versión simétrica del operador discreto (1.3) con respecto a k. Por tal motivo, de acuerdo a la definición (3.8), se tiene TK(x) = −. E 2 Dk γ(n, k) k=0 2. (3.13). Por otro lado, utilizando (3.11) y (3.12) obtenemos Γ(ω, τ ) = DT F Tk DT F Tn [γ(n, k)] Por la propiedad de desplazamiento de la DT F T , se tiene DT F Tk DT F Tn Dk2 γ(n, k) = 2Γ(ω, τ )(cos τ − 1). (3.14). por lo tanto 1 Dk2 γ(n, k) = 2 2π. Zπ Zπ. Γ(ω, τ )(cos τ − 1)ejωn ejτ k dτ dω. −π −π. 18. (3.15).

(29) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 3. Operador TK Unidimensional. es la transformada inversa de Fourier de tiempo discreto con respecto a ω y τ de (3.14). Reemplazando (3.15) en (3.13) se tiene   Zπ Zπ 1 − E TK(x) = Γ(ω, τ )(cos τ − 1) dτ ejωn dω 2π 2π −π. −π. Que es la DT F T inversa del término entre paréntesis; por tal motivo E DT F T [TK(x)] = − 2π. Zπ Γ(ω, τ )(cos τ − 1)dτ. (3.16). −π. Por otra parte, utilizando (3.12) y la definición de Dk2 se tiene DT F Tk Dk2 Ξ(ω, k) = 2Γ(ω, τ )(cos τ − 1) por tal motivo Dk2 Ξ(ω, k). 1 = π. Zπ. Γ(ω, τ )(cos τ − 1)ejτ k dτ. (3.17). −π. Finalmente utilizando (3.16) y (3.17) se obtiene DT F T [TK(x)] = −. E 2 Dk Ξ(ω, k) k=0 2. (3.18). que relaciona la función de ambigüedad de tiempo discreto y el operador TK. La ecuación (3.18) puede ser expresada sin mencionar el término de energı́a como " !# ∞ X 1 DT F T [TK(x)] (ω) = − Dk2 xn+k x∗n−k e−jωn 2 n=−∞. k=0. 19.

(30) Capı́tulo 4. Señales Raı́ces del Operador TK 1D Las señales raı́ces son aquellas que al pasar a través del operador no se alteran (salida igual a entrada); decimos que éstas conforman el Conjunto Identidad (CI) definido como n o CI = x ∈ RZ : x2n − xn+1 xn−1 = xn ∀n ∈ Z (4.1) De esta forma, una señal es raı́z del operador TK si pertenece al CI definido en (4.1). Despejando el término xn+1 en (4.1) se tiene xn+1 =. xn (xn − 1) xn−1. (4.2). Siempre y cuando xn−1 6= 0. Utilizando (4.2), pueden ser encontradas señales que pertenecen a CI, a partir de dos valores iniciales. Las señales del CI pueden ser clasificadas en dos conjuntos dependiendo si son gobernadas en su totalidad o no por la ecuación (4.2).. 4.1. Señales raı́ces determinadas. Definición 4.1. Sea el CRD (Conjunto de Raı́ces Determinadas) el conjunto de las señales raı́ces determinadas del operador TK, conformado por todas las señales {xn } ∈ RZ gobernadas completamente por la ecuación (4.2). CRD ⊂ CI. Proposición 4.1. Si existe n para el cual xn = 0, entonces x ∈ / CRD. Demostración. Si x contiene algún cero no satisface (4.2), y por ende x ∈ / CRD.. ♠. Lema 4.1. Si x ∈ CRD ⇒ x ∈ {R − {0, 1}}Z . Es decir, las señales raı́ces determinadas del operador TK no contienen unos ni ceros. 20.

(31) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 4. Señales Raı́ces del Operador TK 1D. Demostración. La Proposición 4.1 muestra que si x contiene ceros no pertenece al CRD. Por otro lado si x presenta algún uno, eso generarı́a un cero de acuerdo en la ecuación (4.2), ♠. por lo cual tampoco pertenecerı́a al CRD. Corolario 4.1. CRD = CI ∩ {R − {0, 1}}Z . Definición 4.2. Considere el mapa gR : R2− → R2 definido como       x y y =  gR   =  y y(y − 1)/x z. 4.1.1. (4.3). Familia de cónicas para el CRD. El mapa (4.3) es equivalente a la ecuación (4.2) que gobierna las señales raı́ces determinadas y corresponde a (2.13) con q1 (y) = y(y − 1) q2 (x) = x Para este caso, se tiene que los coeficientes del polinomio q1 (y) son β = −1 y γ = 0; por tal motivo, existe una familia de cónicas que es invariante con respecto a gR de acuerdo al Teorema 2.1. Utilizando (2.16) podemos definir la familia de cónicas invariante Cα , sobre las cuales viven las señales del CRD en el plano de fase, como Cα (x, y) = x2 + y 2 + αxy − x − y = 0. (4.4). donde el parámetro α, según (2.17), está dado por α=. 1−x 1−y + y x. (4.5). La familia de curvas descrita por (4.4) coincide con los resultados obtenidos en [7]. Lema 4.2. Los puntos (0, 0), (0, 1) y (1, 0) satisfacen la ecuación de Cα para todo α ∈ R. Los demás puntos sobre los ejes, es decir (0, y) : y 6= 1 ∧ y 6= 0 y (x, 0) : x 6= 1 ∧ x 6= 0 no pertenecen a ninguna cónica Cα . 21.

(32) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 4. Señales Raı́ces del Operador TK 1D. Demostración. Cα (x, 0) = x2 − x = x(x − 1) = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 1 Cα (0, y) = y 2 − y = y(y − 1) = 0 ⇒ y = 0 ∨ y = 1 ♠ Corolario 4.2. Las cónicas Cα intersectan los ejes del plano de fase únicamente en los puntos (0, 0), (0, 1) y (1, 0). Proposición 4.2. Todo punto (x, y) ∈ R2 : x 6= 0 ∧ y 6= 0, pertenece a una única cónica Cα en el plano de fase. Demostración. En la ecuación (4.5) se observa que todo punto (x, y) ∈ R2+ del plano de fase, con R2+ = {(x, y) ∈ R2 : x 6= 0 ∧ y 6= 0}, genera un único valor de α.. 4.1.2. ♠. Cónicas Cα. En esta sección se estudian las curvas obtenidas por la familia de Cónicas Cα , definidas según (4.4), para diferentes valores del parámetro α ∈ R.. (a). (b). Figura 4.1: Curvas Cα obtenidas para |α| < 2. (a) α = 1 y (b) α = −1. Para |α| < 2 las curvas obtenidas son elipses, como se ilustra en la Fig. 4.1. Cuando α = 2 se obtienen un par de rectas paralelas, mientras que para α = −2 la curva es una parábola (Fig. 4.2). Finalmente, para el caso |α| > 2 la curva obtenida es una hipérbola, como se 22.

(33) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 4. Señales Raı́ces del Operador TK 1D. (a). (b). Figura 4.2: Curvas Cα obtenidas para |α| = 2. (a) α = 2 y (b) α = −2.. (a). (b). Figura 4.3: Curvas Cα obtenidas para |α| > 2. (a) α = 5 y (b) α = −5.. ilustra en la Fig. 4.3. Para los casos en que α 6= −2 las curvas intersectan la recta y = x en el punto (x0 , x0 ) que pueden ser encontrado de acuerdo a (4.5) como x0 =. 4.1.3. 2 2+α. (4.6). Ecuación lineal para el CRD. Utilizando (2.20) podemos obtener la ecuación lineal para el CRD como xn+1 + αxn + xn−1 = 1. (4.7). 23.

(34) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 4. Señales Raı́ces del Operador TK 1D. Las caracterı́sticas temporales de las señales raı́ces determinadas pueden ser encontradas resolviendo la ecuación lineal de segundo orden (4.7). Solución particular de la ecuación no homogénea Supongamos que una solución particular a (4.7) es una sucesión constante x = {L}, con L ∈ R, entonces el valor de L debe satisfacer L + αL + L = 1 Si α 6= −2 tenemos una solución constante de (4.7) dada por xn =. 1 2+α. n∈Z. Para el caso α = −2, supongamos que xn = Ln2 es una solución particular de (4.7), entonces se encuentra L = xn =. n2 2. 1 2. y la solución. n∈Z. Solución de la ecuación homogénea Para (4.7) se tiene la ecuación homogénea xn+2 + αxn+1 + xn = 0. (4.8). Podemos suponer que una solución de (4.9) es de la forma xn = tn . Para que xn sea una solución valida de la ecuación homogénea se necesita que tn+2 + αtn+1 + tn = 0 tn t2 + αt + 1 = 0, t 6= 0 De esta forma se obtiene la ecuación caracterı́stica dada por t2 + αt + 1 = 0. (4.9). Sean λ+ y λ− las raı́ces de la ecuación (4.9), dadas por √ −α + α2 − 4 λ+ = 2 √ −α − α2 − 4 λ− = 2 24.

(35) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 4. Señales Raı́ces del Operador TK 1D. por lo tanto λ+ λ − = 1. (4.10). λ+ + λ− = −α. (4.11). A partir de las ecuaciones (4.10) y (4.11) se tiene que las dos raı́ces de (4.9) son de igual signo, y que son de signo contrario al parámetro α. A continuación se analizan los tres casos posibles de acuerdo al valor de α. • Para el caso |α| > 2 se tiene α2 − 4 > 0, en este caso λ+ 6= λ− y λ+ , λ− ∈ R. La solución de (4.9) viene dada por xn = Aλn+ + Bλn−. (4.12). n∈Z. donde A y B son constantes dadas por el parámetro α. Utilizando (4.10) podemos definir el término λ como λ = λ+ =. 1 λ−. La solución (4.12) puede reescribirse como xn = Aλn + Bλ−n. (4.13). n∈Z. • Para el caso |α| = 2 se tiene α2 − 4 = 0 , en este caso λ = λ+ = λ− donde λ ∈ R. La solución de (4.9) viene dada por xn = (A + Bn) λn. (4.14). n∈Z. donde A y B son constantes reales. Utilizando (4.11) y (4.11) se tiene que λ = ±1, por tal motivo para α = −2 se tiene λ = 1 y la solución (4.14) puede escribirse xn = A + Bn. (4.15). n∈Z. Para α = 2 se tiene λ = −1 y la solución (4.14) puede escribirse como   A − Bn n par xn = n∈Z  Bn − A n impar 25. (4.16).

(36) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 4. Señales Raı́ces del Operador TK 1D. • Para el caso |α| < 2 se tiene α2 − 4 < 0, en este caso λ+ y λ− son raı́ces complejas conjugadas, y la solución de (4.9) viene dada por xn = A sin(ωn + δ). (4.17). n∈Z. donde A, ω y δ son constantes determinadas por el parámetro α. El valor de ω viene dado por (4.18), y su variación en función de α se presenta en la Fig. 4.4. α ω = arccos − 2. (4.18). Figura 4.4: Gráfica de ω contra α.. Solución general de la ecuación lineal Utilizando los resultados anteriores, pueden ser encontradas las señales raı́ces determinadas del operador; para ello, definamos la constante Kα = 1/(2 + α) para α 6= −2. A continuación se presentan las diferentes señales raı́ces de acuerdo al valor de α. • Para |α| > 2 las señales raı́ces pueden ser encontradas como xn = Aλn + Bλ−n + Kα. n∈Z. donde A=. Kα λ+1. B=. λKα λ+1 26.

(37) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 4. Señales Raı́ces del Operador TK 1D. • Para el caso α = 2 se tiene   A − Bn + K n par α xn =  Bn − A + Kα n impar. n∈Z. donde A∈R B = 2Kα • Para el caso α = −2 se tiene xn = A + Bn +. n2 2. n∈Z. donde A ∈ R : A ≥ −0.125 √ B = 2A + 0.25 • Finalmente para el caso |α| < 2 se tiene xn = A sin(ωn + δ) + Kα. n∈Z. donde √. Kα sin ω α ω = arccos − 2. A=. 4.1.4. Señales del CRD en el tiempo. Señales raı́ces no acotadas De acuerdo a la solución de la ecuación lineal (4.7) las señales raı́ces para los casos en que |α| ≥ 2 son no acotadas. En las Fig.s 4.5 y 4.6 se ilustran ejemplos para |α| > 2. En la Fig. 4.7 se presenta una señal lineal de signo alternado, mientras que en la Fig. 4.8 se ilustra una señal parabólica con α = −2. 27.

(38) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 4. Señales Raı́ces del Operador TK 1D. (a). (b). Figura 4.5: Señal raı́z determinada con α = 2.1. (a) Tiempo y (b) plano de fase.. (a). (b). Figura 4.6: Señal raı́z determinada con α = −2.1. (a) Tiempo y (b) plano de fase.. Señales raı́ces acotadas Las señales raı́ces generadas a partir de la solución de (4.7) para α < 2, son acotadas y tienen sus extremos en ±A + [1/(2 + α)]. Estas señales acotadas pueden clasificarse en dos conjuntos, las periódicas y las semiperiódicas. Cuando ω es un múltiplo racional de 2π, es decir ω = 2π/N , la señal es periódica y tiene periodo N . En caso contrario la señal es semiperiódica y es densa en la elipse formada en el plano de fase. En la Fig. 4.9 se ilustra una señal periódica con ω = π/5, y en la Fig. 4.10 se ilustra un señal semiperiódica √ con ω = π/(2 5).. 28.

(39) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 4. Señales Raı́ces del Operador TK 1D. (a). (b). Figura 4.7: Señal raı́z determinada con α = 2. (a) Tiempo y (b) plano de fase.. (a). (b). Figura 4.8: Señal raı́z determinada con α = −2. (a) Tiempo y (b) plano de fase.. 4.2. Señales raı́ces no determinadas. Definición 4.3. Sea el CRND (Conjunto de Raı́ces No Determinadas) el conjunto de las señales raı́ces no determinadas del operador TK, conformado por todas las señales x ∈ RZ no gobernadas completamente por la ecuación (4.2). CRN D ⊂ CI.. 4.2.1. Señales raı́ces binarias. Por medio de (3.1) se puede obtener la expresión lógica . xn−1 = 0 ∨ xn+1 = 0. . ⇔ yn = x2n. 29. (4.19).

(40) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 4. Señales Raı́ces del Operador TK 1D. (a). (b). Figura 4.9: Señal raı́z determinada periódica. (a) Tiempo y (b) plano de fase.. (a). (b). Figura 4.10: Señal raı́z determinada semiperiódica. (a) Tiempo y (b) plano de fase.. Si x ∈ {0, 1}Z , señal binaria que toma los valores 0 y 1, (4.19) puede reescribirse como . xn−1 = 0 ∨ xn+1 = 0. . ⇔ yn = xn. (4.20). Definición 4.4. Sea el CRB (Conjunto de Raı́ces Binarias) el conjunto de las señales raı́ces binarias del operador TK, CRB = CI ∩ {0, 1}Z . Definición 4.5. Sea R1 el conjunto de señales x ∈ {0, 1}Z tales que todos sus segmentos de ceros tienen longitud mayor o igual a 2, y no contienen segmentos de más de dos unos consecutivos. Lema 4.3. Toda señal x ∈ R1 cumple con la condición (4.20) para todo n entero.. 30.

(41) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 4. Señales Raı́ces del Operador TK 1D. Demostración. Al abrir la ventana del operador sobre cualquier posición de x, como se ilustra en la Fig. 1.1, por lo menos 2 de los 3 valores tomados de la entrada son cero, debido a la definición del conjunto R1, lo cual garantiza la condición (4.20).. ♠. Corolario 4.3. x ∈ CRB ⇔ x ∈ R1. Observación 4.1. Entre las señales raı́ces binarias se tiene la señal cero. Proposición 4.3. Si x ∈ CRB entonces x ∈ / CRD Demostración. De forma directa si x ∈ CRB debe contener ceros, lo cual no satisface (4.2), y por ende x ∈ / CRD.. ♠. La Definición (4.5) restringe las señales que son raı́ces del operador TK y permite una completa caracterización. Esta restricción puede ser vista como un diagrama de transiciones en el plano de fase [7], Fig. 4.11, que toda señal raı́z binaria debe cumplir. A partir de este se puede concluir que existe un sin número de señales periódicas y no periódicas que cumplen el diagrama transiciones. Un par de ejemplos son presentados en la Fig. 4.12. Observación 4.2. En una señal raı́z binaria, los segmentos de ceros debe ser de longitud mayor o igual a 2, por tal motivo no existen raı́ces binarias de periodo 2.. Figura 4.11: Transiciones permitidas para una señal raı́z binaria (en espacio de fase).. 4.2.2. Señales raı́ces mixtas. A diferencia de las señales raı́ces determinadas y binarias, las señales raı́ces mixtas toman valores en todos los reales. Estas señales están formadas por segmentos de raı́ces determi31.

(42) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 4. Señales Raı́ces del Operador TK 1D. (a). (b). Figura 4.12: Señales raı́ces binarias. (a) Señal periódica (N = 4) y (b) señal no periódica.. nadas unidos con segmentos de raı́ces binarias. Un segmento de longitud r de una señal x es una tupla de r elementos [xn+1 , . . . , xn ]. Definición 4.6. Una señal x ∈ RZ es gobernada parcialmente por una ecuación de recurrencia racional de la forma 2.13, si existe un segmento z (segmento determinado) que se encuentra descrito por la ecuación (2.13), hasta encontrar una “indeterminación”. El segmento z puede ser finito o infinito, en el último caso debe estar acotado para un valor de n ∈ Z. Definición 4.7. Sea el CRM (Conjunto de Raı́ces Mixtas) el conjunto de las señales raı́ces mixtas, conformado por todas las señales x ∈ RZ que cumplen con: • Están gobernadas parcialmente por la ecuación (4.2) • Los segmentos no gobernados por (4.2) cumplen con la condición (4.20) de las raı́ces binarias. De acuerdo a la definición del CRM, se tiene que las raı́ces mixtas están conformadas por segmentos de raı́ces determinadas y de raı́ces binarias, que se complementan para cumplir con la condición de identidad (4.1). Proposición 4.4. Toda segmento determinado de una señal x parcialmente gobernada por (4.2), caracterizado por un valor de α, presenta puntos en el plano de fase que viven en la curva Cα y “terminan” en el punto (0, 0).. 32.

(43) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 4. Señales Raı́ces del Operador TK 1D. Demostración. Consideremos una señal x ∈ RZ que es gobernada por (4.2) para todo n ≤ n0 : n0 ∈ Z (segmento infinito acotado superiormente). Debido a que el término xn0 +1 no puede ser encontrado por medio de la ecuación racional se debe cumplir que xn0 −1 = 0 de acuerdo a la definición de (4.2). Por tal motivo como xn0 está descrito por (4.2) se debe cumplir que xn0 = 0. Finalmente se tiene que xn0 −2 = 1, ya que 1 es el único valor que anula la ecuación racional y permite encontrar 2 términos posteriores utilizando (4.2). De esta forma se tiene que xn0 −2 = 1, xn0 −1 = 0 y xn0 = 0, por lo que en el plano de fase del segmento gobernado los últimos puntos son (1,0) y (0,0). De igual forma se puede demostrar para el caso de un segmento infinito y de un segmento infinito acotado ♠. inferiormente.. Corolario 4.4. Los últimos tres valores de un segmento gobernado por la ecuación (4.2) están dados por {..., 1, 0, 0}. Para que un segmento determinado alcance el valor 1 se debe cumplir xn−1 = xn (xn − 1) o xn+1 = xn (xn − 1). Cambio de cónica Cα Todo segmento de una señal x ∈ RZ gobernado por la ecuación (4.2) está caracterizado por un parámetro α ∈ R y vive en el plano de fase en una cónica Cα . Una vez x ha alcanzado el punto (0,0) puede ser introducido un segmento que comparte el mismo punto en el plano de fase, este debe ser gobernado por (4.2) ó debe cumplir con la expresión lógica (4.20), para formar una señal mixta que pertenece al CI. Entiéndase de ahora en adelante como señal parcialmente gobernada, toda señal de segmento determinado infinito. Las señales parcialmente gobernadas de segmento determinado finito serán especificadas como tal. Lema 4.4. Toda vez que dos señales parcialmente gobernadas por (4.2), con segmentos determinados acotados superiormente, comparten el punto (0,0) en el plano de fase, una señal raı́z mixta puede ser obtenida eliminando los segmentos infinitos a la derecha del punto (0,0) de ambas señales, y uniendo los segmentos infinitos resultantes. Demostración. Sean x y y señales discretas parcialmente gobernadas por (4.2), cuyos segmentos determinados están caracterizadas por α1 y α2 , respectivamente. Suponga que el segmento determinado de x está acotado superiormente y el de y inferiormente. Sean zx 33.

(44) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 4. Señales Raı́ces del Operador TK 1D. y zy los subconjunto de Z sobre los cuales están gobernadas las señales, de acuerdo a la Proposición 4.4 los útlimos valores sobre los conjuntos son {. . . , 1, 0, 0} y {0, 0, 1, . . .}. Por tal motivo las señales comparten el punto (0, 0) en el plano de fase. Ahora, despreciando los valores a la derecha de (0,0) de la señal x y los valores a las izquierda de (0,0) de y, se obtienen dos segmento infinitos que son unidos para formar la raı́z mixta. Finalmente se debe demostrar que la señal obtenida pertenece al CI. Para ello, conociendo que los segmentos a cada lado de (0,0) cumplen con (4.2) y que el segmento {. . . , 1, 0, 0, 1, . . .} cumple la condición 4.20 de las raı́ces binarias, se tiene que la señal pertenece al CI. Esta demostración para segmentos determinados acotados superiormente e inferiormente puede ser repetida para segmentos determinados finitos de forma análoga.. ♠. A continuación se presenta un ejemplo de una señal raı́z que cambia de cónica, una vez alcanza el punto (0,0) en el plano de fase. Ejemplo 4.1. Sean x y y señales parcialmente gobernadas por (4.2), cuyos segmentos determinados están acotados superiormente, caracterizadas por α = 0.8 y α = −0.5, respectivamente, como se ilustra en las Fig.s 4.13 y 4.14. La señal y es invertida y los valores a la izquierda de (0, 0) son olvidados; lo mismo se realiza con los valores a la derecha de (0, 0) de x, para realizar la unión de los segmentos. Ver Fig. 4.15. Se puede apreciar el cambio de cónica que se presenta en el plano de fase una vez la señal ha entrado por el punto (1, 0) para continuar al punto (0, 0) y finalmente salir a su nueva cónica por el punto (0, 1). Observación 4.3. Todas las señales raı́ces mixtas pasan por los puntos (1, 0), (0, 0) y (0, 1) en el plano de fase durante una transición de un segmento determinado a otro, los cuales pueden estar caracterizados por valores iguales o distintos de α, por tal motivo la señal mixta presenta el segmento {1, 0, 0, 1}.. Otras raı́ces mixtas De igual forma que en el ejemplo 4.1, son posibles otras raı́ces mixtas, algunas de las cuales se enuncian a continuación: 34.

(45) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 4. Señales Raı́ces del Operador TK 1D. (a). (b). Figura 4.13: Señal {xn }. (a) Señal en el tiempo, y (b) plano de fase.. (a). (b). Figura 4.14: Señal {yn }. (a) Señal en el tiempo, y (b) plano de fase.. • Señal parcialmente gobernada y un segmento infinito de raı́z binaria como se ilustra en la Fig. 4.16. • Un par de señales parcialmente gobernadas cuyos segmentos se encuentran acotados uno superiormente y el otro inferiormente por el punto (0,0), con un segmento finito de raı́z binaria que comparte el punto (0,0) por ambos lados. • Una misma señal parcialmente gobernada al generar una imagen al lado opuesto del punto cero, lo que trae consigo la permanencia en la misma cónica una vez se ha alcanzado el punto (0,0), como se ilustra en la Fig. 4.17.. 35.

(46) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 4. Señales Raı́ces del Operador TK 1D. (a). (b). Figura 4.15: Señal mixta obtenida, (a) en el tiempo y (b) en el plano de fase.. • Un segmento finito determinado rodeado a cada lado por un segmento infinito de raı́z binaria. Por ejemplo el segmento determinado finito {0, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 0}.. (a). (b). Figura 4.16: Señal raı́z mixta. Transición de segmento determinado a binario.. Observación 4.4. Una vez que dos señales raı́ces mixtas comparten el punto (0,0) en el plano de fase, una nueva raı́z mixta puede ser generada intercambiando cualquiera de los segmentos infinitos entre las señales, a la derecha o a la izquierda del punto común.. 36.

(47) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 4. Señales Raı́ces del Operador TK 1D. (a). (b). Figura 4.17: Señal raı́z mixta. Permanecia en la misma cónica Cα .. 4.3. Señales propias. Las señales propias son aquellas señales x ∈ RZ que al pasar a través del operador TK generan una salida proporcional a la entrada, es decir ∀n ∈ Z. x2n − xn+1 xn−1 = kxn. (4.21). donde k ∈ R∗ (R∗ := R − {0}). Diremos que k es el valor propio correspondiente. Despejando el término xn+1 en (4.21) se tiene xn+1 =. x2n − kxn xn−1. (4.22). donde xn−1 6= 0. Las señales gobernadas por la ecuación (4.22), definidas como señales propias determinadas, viven en el plano en una familia de cónicas Cαk . Utilizando (2.16) con β = −k y γ = 0 se obtiene la familia de curvas Cαk (x, y) = x2 + y 2 + αxy − kx − ky = 0 donde el parámetro α viene dado por α=. k−x k−y + y x. (4.23). Adicionalmente las señales propias determinadas son soluciones de la ecuación lineal xn+1 = k − αxn − xn−1 37.

(48) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 4. Señales Raı́ces del Operador TK 1D. Proposición 4.5. y = cx, con c ∈ R∗ , es una señal propia con valor propio c si y sólo si x es una señal raı́z. Demostración. Se demostrará la doble implicación • {xn } ∈ CI ⇒ {un } señal propia: TK ({yn }) = TK ({kxn }) = k 2 TK ({xn }) = k 2 {xn } = k {kxn } = k {yn } • {yn } señal propia ⇒ {xn } ∈ CI: TK ({xn }) = TK ({k −1 yn }) = k −2 TK ({yn }) = k −2 {kyn } = {kyn } = {xn }. ♠. Corolario 4.5. Toda señal propia es una señal raı́z escalada; en particular una señal propia con valor propio 1 es una señal raı́z.. Figura 4.18: Cónicas para señales propias con α = 1.. Proposición 4.6. Si y = kx es señal propia, con valor propio k ∈ R∗ y x es señal raı́z, entonces el parámetro α que caracteriza a y dado por (4.23) es el mismo parámetro que caracteriza a x dado por (4.5). Demostración. α=. k − rn k − rn−1 k − kxn k − kxn−1 1 − xn 1 − xn−1 + = + = + rn−1 rn kxn−1 kxn xn−1 xn. En la Fig. 4.18 se presentan cónicas en el plano de fase para señales propias con α = 1.. 38. ♠.

(49) IEMC-I-06-12. 4.4. Capı́tulo 4. Señales Raı́ces del Operador TK 1D. Señales alternantes. Las señales alternantes son aquellas señales x ∈ RZ que al pasar a través del operador TK generan una salida igual en magnitud a la entrada pero con signo alternado, es decir ∀n ∈ Z. x2n − xn+1 xn−1 = (−1)n xn. (4.24). Despejando el término xn+1 de (4.24) para xn−1 6= 0 se tiene xn+1. x2n − (−1)n xn = xn−1. (4.25). Las señales gobernadas por la ecuación (4.25), definidas como señales alternantes determinadas, viven en el plano de fase en un par de cónicas Cγ , alternándose entre ellas. Esto es debido a que el parámetro β de la ecuación racional (2.13) no es constante sino que toma los valores 1 y −1. La familia de curvas está definida como Cγ (x, y) = x2 + y 2 + γxy + x − y = 0. (4.26). Cγ (x, y) = x2 + y 2 + γxy − x + y = 0. (4.27). donde los parámetros γ vienen dados por y∓1 x±1 γ=− + x y. (4.28). respectivamente. Las ecuaciones (4.26) y (4.27) representan dos curvas diferentes, como se ilustra en la Fig. 4.19, entre las cuales se alternan los puntos de la señal en el plano de fase. El parámetro definido por (4.28) presenta el valor del parámetro γ para cada n. Proposición 4.7. El parámetro γ es constante e independiente de n. Demostración. Suponga primero que n es par, entonces y−1 x+1 γpar = − + x y Utilizando (4.25) podemos encontrar z = xn+1 a partir de (x, y) para n par, como z=. y (y − 1) x. El parámetro γimpar para el punto (y, z) es encontrado utilizando (4.28) como y−1 z+1 y−1 x+1 γimpar = − + =− + = γpar z y x y 39. ♠.

(50) IEMC-I-06-12. Capı́tulo 4. Señales Raı́ces del Operador TK 1D. Figura 4.19: Par de curvas para una señal alternante.. Proposición 4.8. y = x(−1)n es una señal alternante si y sólo si x es una señal raı́z. Demostración. Se demostrará la doble implicación • {xn } ∈ CI ⇒ {yn } señal alternante: TK ({rn }) = TK ({(−1)n xn }) = (−1)2n TK ({xn }) = (−1)n {(−1)n xn } = (−1)n {rn } • {rn } señal alternante ⇒ {xn } ∈ CI: TK ({xn }) = TK ({(−1)−n rn }) = (−1)−2n TK ({rn }) = {(−1)n rn } = {xn }. ♠. Corolario 4.6. Toda señal alternante es una señal raı́z con signo alternado, y toda señal raı́z con signo alternado es una señal alternante. Definición 4.8. Una señal x que cumple con TK(x) = a(−1)n x, con a real, se dice que es una señal propia alternante con k = a.. 40.

(51) Capı́tulo 5. Señales Preconstantes del Operador TK 1D Las señales preconstantes son aquellas que, al pasar a través del operador generan una salida constante κ y conforman el Conjunto preConstante (CC). En este Capı́tulo sólo se consideran las señales preconstantes con κ 6= 0, el caso κ = 0 estudiado más detenidamente en el Capı́tulo 6, corresponde a las señales prenulas. El CC está definido como n CC = x ∈ RZ : x2n − xn+1 xn−1 = κ. ∀n ∈ Z, κ ∈ R. ∗. o. (5.1). Decimos que una señal es es una señal preconstante del operador TK si pertenece al CC definido en (5.1). Despejando el término xn+1 en (5.1) se tiene xn+1. x2n − κ = xn−1. (5.2). donde xn−1 6= 0. Utilizando (5.2) pueden ser encontradas señales que pertenecen a CC a partir de dos valores iniciales. Las señales del CC pueden ser clasificadas en dos conjuntos dependiendo si son gobernadas o no por la ecuación (5.2). Proposición 5.1. TK(x) = y ⇔ TK(ix) = −y Demostración. De forma directa, utilizando la propiedad de homogeneidad cuadrática del operador TK y que i2 = −1.. ♠. Corolario 5.1. Si una señal x ∈ RZ produce una salida constante κ, una salida constante −κ puede ser obtenida a partir de ix. 41.