5.
Control de los SCEE
5.1.
Introducción
Entre los principales objetivos del sistema de control del aerogenerador se pueden citar aspectos claves como la maximización de la energía extraída al viento a cada velocidad del mismo (optimización del rendimiento energético), la atenuación de las cargas mecánicas transitorias y el esfuerzo a fatiga, la reducción de armónicos eléctricos y icker en la conexión a red, la calidad de onda y el control del factor de potencia de dicho punto, y la abilidad del sistema global ante variación de parámetros (robustez) y eventos inespera-dos.
Además, algunos problemas críticos a destacar, inherentes al proceso y su entorno, son: la necesidad de elementos adicionales de seguridad para poder trabajar con vientos de alta intensidad de turbulencia y velocidad extrema; la gran complejidad matemática del modelo del sistema, presente en forma de fuertes no linealidades, carácter multivariable y variación de parámetros en el tiempo; y la imposibilidad de medir directamente la velocidad del viento que experimenta la turbina, debido a la alta incertidumbre en el anemómetro y la gran in uencia del modelo de las palas sobre el mismo [59].
Los SCEE, dependiendo de su construcción tienen diferentes lazos de control. Entre los más importantes se encuentran: el control del cambio del ángulo de paso, utilizado para regular la potencia de salida en la velocidad del viento nominal o por encima de ella y para seguir una curva de poten-cia prede nida en el arranque ó paro de la máquina; el Control del torque del generador, que sirve para la regulación de la velocidad rotacional de los SCEE de velocidad variable; y el control de orientación (yaw control), el cual permite encontrar la dirección en donde la velocidad del viento es máxima [3]. A continuación se presenta una revisión de los avances en diferentes méto-dos de control [4].
5.1.1. Control no lineal
La aplicación del control no lineal a los aerogeneradores está investigada en [60] donde desarrolló un control no lineal que variaba continuamente, de tal forma que el controlador siempre era el apropiado para la velocidad del
viento, aunque no fuera posible tener una medida directa del viento, la que debía ser inferida. Se demostró que el control era robusto y se realizaron diferentes simulaciones que arrojaron como resultado un mejor desempeño frente a controladores PI y controladores clásicos lineales, en particular, la reducción del tiempo de espera en niveles de potencia altos y como conse-cuencia una disminución de las cargas del sistema de transmisión mecánico. Boukhezzar y Siguerdidjane, han presentado en [61] el diseño de contro-ladores no lineales con realimentación para el seguimiento de la referencia de velocidad del rotor, y con un estimador de la velocidad del viento y el torque aerodinámico usando el ltro de Kalman. Su objetivo fue maximizar la energía extraída del viento mientras se reducían las cargas mecánicas. Los mismos autores de [61] han propuesto en [62] una estrategia de control no lineal en cascada para un SCEE de velocidad variable y ángulo de paso con-stante. El lazo interno (lazo de velocidad) es la entrada y es controlada por el lazo externo (lazo de potencia) que consiste en el seguimiento de una po-tencia de referencia deseada. Esta estrategia de control fue validada en un simulador de turbina eólica con resultados satisfactorios.
En [63] se presenta el diseño de un controlador para el régimen de pro-ducción de potencia constante, usando la teoría del control no lineal. Este algoritmo fue aplicado para el ajuste del ángulo de paso en tiempo real bus-cando minimizar tanto la desviación de la velocidad del rotor de la deseada, así como el movimiento del actuador de cambio de ángulo de paso fuera el deseado. En [64] se presenta una estrategia de control no lineal donde la ve-locidad del rotor es controlada a través del ajuste del voltaje del devanado de excitación, con esto se obtiene mas potencia de salidas in involucrar otros as-pectos mecánicos complejos, adicionalmente, el controlador no requiere de la medición ó estimación de la velocidad del viento. La e cacia de esta estrate-gia de control propuesta en [64] está veri cada por las simulaciones obtenidas con diversas condiciones de funcionamiento.
5.1.2. Control adaptativo
En [65] se ha desarrollado una combinación entre el control adaptativo y el control no lineal para regular la velocidad del rotor, lo cual es necesario para aumentar la e ciencia de generación de potencia. Los algoritmos de control se basaron en el modelamiento dinámico de los componentes mecánicos y
eléctricos del SCEE y fueron veri cados por simulación en una turbina de eje horizontal de dos aspas.
En [66] y [66] se utilizó la técnica de control adaptativo para controlar el torque del generador en la región 2 de su curva de potencia, con el objetivo principal de maximizar la extracción de energía de un SCEE de velocidad variable y teniendo constante el ángulo de paso. Adicionalmente, evaluaron la estabilidad del controlador. [68] presenta el desarrollo del control del ángulo de paso a través de la técnica de control adaptativo usando un regulador de autosintonía que tiene un método de identi cación de mínimos cuadrados. Adicionalmente, realizaron algunas simulaciones variando los parámetros del SCEE y veri caron que el método de control compensara la in uencia de esta variación y nivelara la potencia de salida.
5.1.3. Control de ganacia programada
En [26] se ha propuesto un sistema de control de ganancia programa-da con el concepto de sistemas variantes de parámetros lineales (LPV del inglés Linear Parameter Varying) donde los objetivos principales son la max-imización de la e ciencia de la conversión de energía eólica, la operación se-gura, el amortiguamiento de modos resonantes, la estabilidad y la robustez. Esta estrategia fue aplicada a un SCEE de velocidad variable. [69] presenta una estrategia de control que estabiliza al SCEE de velocidad variable en todos los puntos de operación por medio del método de ganancia programa-da, y además utilizando estimadores para obtener el torque aerodinámico y la velocidad rotacional. Este control adaptativo utiliza la técnica Gaussiana Cuadrática Lineal (LQG del inglés Linear Quadratic Gaussian). En [70] se desarrolló una estrategia de control en la cual se identi caron varias condi-ciones de operación del SCEE y fue diseñado un controlador cuadrático lineal (LQ del inglés Linear Quadratic) para cada punto de operación. Adicional-mente, como los estados y la variable de ganancia programada no están en línea era necesario el diseño de un observador para la estimación de estados y perturbaciones.
5.1.4. Control H∞
Otra estrategia de control avanzada es la técnica de control H∞. A contin-uación se revisan algunas investigaciones realizadas sobre el tema y aplicadas al control de los SCEE.
En [71] se presentó el desarrollo de un control H∞ para un SCEE de velocidad variable y ángulo de paso ajustable con un modelo indeterminado para trabajar en la zona de producción de potencia constante, con los resulta-dos de las simulaciones se comprobó que esta técnica mantiene la estabilidad y tiene gran robustez. [72] presenta un diseño de un control basado en la metodología de H∞ para un SCEE controlado por stall en condiciones de velocidad variable. Las funciones de peso son elegidas por el método de con- guración de bucle. En [73] se presentó también un diseño de un controlador para mantener constante el nivel de la potencia de salida de un SCEE por encima de la velocidad del viento nominal. Este control H∞ fue diseñado por el método de Desigualdad de Matrices Lineales y presenta buen desempeño y robustez durante las simulaciones.
En [74] se propuso un método de control que trabaja en un amplio rango de velocidades conmutando entre 5 controladores H∞que fueron acondicionados apropiadamente por medio de la aproximación de observadores. [75] presenta una estrategia de control multivariable que tiene como variables manipuladas al ángulo de paso y el torque del generador con el n de obtener la máxima e ciencia de conversión de energía eólica reduciendo las cargas dinámicas. Adicionalmente, el modelo del SCEE es desarrollado y linealizado por un método no convencional.
5.1.5. Control por redes neuronales
Las redes neuronales son otra técnica del control inteligente que se basa en la forma como trabaja el cerebro humano a través del aprendizaje automático y del entrenamiento. El control de los SCEE no ha sido ajena a esta técnica de inteligencia arti cial y se han desarrollado diferentes controladores con un objetivo común que es mejorar el desempeño de los SCEE. A continuación se revisan algunas investigaciones que han abordado el tema.
En [76] se mostraron las ventajas de la aplicación de una red neural para una pequeña turbina eólica, en donde se veri có la estimación rápida y pre-cisa de la velocidad del viento actual sin el uso del anemómetro y se observó que la potencia mecánica máxima puede ser obtenida en estado estable y dinámico. Adicionalmente, a la red neural se le agregó una función de com-pensación con el n de evitar que el coe ciente de potencia se desviara de su valor óptimo.
En [77] se propuso una red neural con el n de estimar el valor de la ve-locidad del viento sin la utilización de censores teniendo como entradas a la potencia en el eje del generador y la velocidad angular de la turbina. Esta red fue implementada en una tarjeta FPGA ( eld-programmable gate array) y fueron realizadas diferentes simulaciones con una turbina eólica pequeña, con mejores resultados con respecto a métodos tradicionales. En [78] se empleó un sistema de control adaptativo basado en redes neuronales para el con-trol de SCEE de media escala en diferentes condiciones de operación. Este método propuesto consistía de identi cadores hacia adelante y hacia atrás, usados para modelar la dinámica del sistema en ambos sentidos, y adaptar los parámetros del controlador neural que es utilizado para entregar una señal de control al actuador del ángulo de paso. Los resultados de las simulaciones indicaron que esta estrategia de control propuesta es una gran contribución al campo del control en los SCEE. En [79] se desarrolló un controlador PID para el control del ángulo de paso por medio de redes neuronales utilizando el algoritmo de aprendizaje supervisado Hebbina, para un SCEE de velocidad variable y frecuencia constante de 1MW de potencia nominal.
5.1.6. Control de optimización
El control de optimización de un SCEE tiene varios objetivos, como el de maximizar la potencia de salida y minimizar las cargas aerodinámicas en velocidades de viento altas.
En [80] se presentó un esquema de control de seguimiento de potencia máxima (MPPT del inglés Maximum Power Point Tracking) de histéresis el cual es independiente de las características de la turbina eólica y del gen-erador y es comparado con otros dos métodos, sin embargo sólo se llegó a simulaciones. Los mismos autores de [80], desarrollaron en [81] algoritmos de extracción de la potencia eólica máxima para SCEE basados en inversores. Particularmente, desarrollaron el algoritmo basado en el método de búsqueda Hill-Climb avanzado, el cual tiene un proceso de entrenamiento en línea y busca maximizar la potencia mecánica de la turbina a través de la detección de la potencia de salida y del voltaje de conexión dc del inversor.
En [82] se presentó otro método de MPPT que no dependía de la medida de la velocidad del viento, y se obtuvo controlando la velocidad de un generador sincrónico que utiliza un conversor ac-dc-ac entre el estator y la red eléctrica.
El control utiliza la manipulación del ángulo de disparo de los tiristores del inversor dcac.
En [83] se desarrolló una estrategia de control muy completa que apuntaba a los tres objetivos más importantes en el control de un SCEE: control del voltaje local, obtención de la potencia máxima del viento y minimización de las pérdidas de potencia en el generador de inducción. Esta estrategia de control utilizó un inversor y un recti cador PWM que produce un tren de pulsos con amplitud variable, tal que el valor medio (señal ltrada) es proporcional a la señal deseada.
5.1.7. Control por lógica difusa
El control por lógica difusa emula la forma en que un ser humano toma decisiones para controlar un proceso a través de una serie de reglas. En los SCEE esta técnica también ha sido aplicada y en las siguientes referencias se presenta una revisión de las investigaciones realizadas.
En [84] se diseñó un controlador difuso que controla la extracción de la energía eólica, aplicado al control del ángulo de paso. La velocidad está reg-ulada por otro controlador difuso que actúa sobre el torque del generador de modo que siga el valor de referencia generado por un estimador óptimo de la velocidad angular. Las simulaciones arrojaron buenos resultados en las tres regiones de operación de la turbina y con vientos turbulentos.
En [85] se diseñó un sistema de control basado en tres controladores di-fusos, cada uno con un objetivo diferente. El primero, sigue la velocidad del generador con la velocidad del viento para extraer la máxima potencia. El se-gundo, programa el ujo de la máquina para el mejoramiento de la e ciencia con cargas ligeras. El tercero, entrega un control de velocidad robusto contra las ráfagas de viento y el torque oscilatorio de la turbina. En [86] se desar-rolló dos sistemas de control difuso. El primero tenía como objetivo obtener la máxima transferencia de potencia y mantener la frecuencia constante con velocidad variable por medio del control de la velocidad del generador y al-canzar la máxima relación de velocidad de punta en velocidades de viento bajas. El otro control difuso fue diseñado para mantener la frecuencia y la potencia de salida constantes controlando el ángulo de paso y la velocidad de rotación de la turbina eólica.
En [87] se diseñó un controlador difuso para controlar el momento de rotación del rotor aerodinámico y el momento inverso del generador. Se re-alizaron simulaciones y fueron comparadas con las realizadas por un trolador PID obteniendo mejores resultados. En [88] se implementó un con-trolador difuso que permite maximizar la extracción de la potencia eólica y suavizar la variación del torque y es combinado con el control del gener-ador que utiliza el método de control vector. En [89] se presentó un sistema electrónico de potencia basado en lógica difusa para el control del torque electromagnético para la máxima extracción de potencia y el mejoramiento del desempeño dinámico del SCEE. Esta técnica no necesitó de información sobre la velocidad del viento y a través de simulaciones se demostró la efec-tividad del método.
En [90] el principal objetivo era el mejoramiento del control de la veloci-dad y la extracción de energía de una turbina eólica de 800kW. El controlador difuso diseñado para el control del ángulo de paso y el torque, tiene como entradas el error de la velocidad y la medida de la velocidad del rotor, y como salidas tiene el ángulo de paso de referencia y el torque eléctrico de referencia. Con simulaciones realizadas se demostró la robustez del controlador difuso y se observó que puede mejorar el desempeño de la turbina eólica en diferentes velocidades de viento, por encima y por debajo de la nominal.
5.1.8. Estrategias de control combinadas y estudios comparativos
Algunos sistemas de control utilizan más de una estrategia para la ob-tención de mejores resultados de estabilidad y robustez en el control de las plantas o procesos. A continuación se presentan algunas revisiones de inves-tigaciones realizadas en relación al control de los SCEE.
Los controladores presentados en [91] se han diseñado mediante técnicas avanzadas de control robusto QFT, desarrolladas a partir de modelos teóri-cos y datos experimentales de campo, y combinadas con esquemas adapta-tivos, metodología multivariable y elementos predictivos. Tras una síntesis del panorama actual y una descripción del aerogenerador, el artículo mues-tra resultados experimentales de control ante condiciones de viento medias y extremas.
para predecir la dirección y la velocidad del viento para los sistemas de con-trol de los SCEE. La lógica difusa se utiliza como un clasi cador que estima los patrones de viento y asigna los pesos de las neuronas. La red neuronal es entrenada por el método de retropropagación para la predicción de estas variables.
El trabajo propuesto en [93] es la aplicación de control predictivo gener-alizado, multivariable sin restricciones a un sistema eólico. Bajo el concepto de la teoría de Floquet y el corolario de reducibilidad de Lyapunov se obtiene un modelo lineal e invariante en el tiempo, pero este modelo esta en estado estacionario. Se compara con un controlador basado en realimentación lineal cuadrática de estados, LQ. Luego se concluye que el GPC en algunos casos posee mejor comportamiento que el control LQ. Así el sistema de control propuesto minimiza las perdidas en la transferencia de energía.
En [94] se hizo un estudio comparativo basado en simulaciones y experimen-tos de varias estrategias de control MPPT para la conversión de la energía eólica. Conociendo la curva característica del SCEE (coe ciente de potencia vs. relación de velocidad de punta) se revisaron las estrategias de control de torque, velocidad y corriente de salida. Sin esta característica, se implementó un control de lógica difusa. También se analizaron diferentes estructuras del conversor acdc con un conversor PWM ó con un puente de diodos recti -cadores. En [95] se realizó otro estudio comparativo a través de simulaciones en Simulink de Matlab, de tres metodologías de control que son: control LQG, el método de ubicación de los polos de lazo cerrado para obtener buena ro-bustez y la técnica de Grá co de Orden Causal que representa la naturaleza causal del sistema y que deduce su algoritmo aplicando el principio de inver-sión del modelo.
En [96] se propuso un método de control difuso óptimo adaptativo para las turbinas eólicas de velocidad variable y ángulo de paso constante y que tienen un comportamiento altamente no lineal. Este método utilizó como variable controlada a la velocidad rotacional a través del torque aerodinámi-co estimado por un ltro de Kalman. En [97] se presentó otro método de control adaptativo que combina el control difuso con el control por modos deslizantes y fue utilizado en un sistema eólico de ángulo de paso ajustable y velocidad variable, presentando buen desempeño frente a métodos tradi-cionales de acuerdo con los resultados experimentales. En [98]se presentó otra estrategia de control basada en la maximización de la potencia de salida para
un DFIG. Este control adaptativo utilizó la técnica de redes neuronales RBF, buscando mantener la relación de velocidad de punta en su valor óptimo.
En [99] se presentó una estrategia de control para una turbina de veloci-dad variable y ángulo de paso controlado y que alimenta una carga aislada (sistema autónomo). Esta estrategia utilizó dos controladores, uno para el inversor con control PI y el otro para el ángulo de paso que utiliza control difuso, de esta forma se logró que el sistema alimentara la carga con poten-cia real constante y voltaje constante y operando con diferentes niveles de velocidad del viento.
5.2. Estrategia para estimación de exiones estructurales
En este apartado describiremos la contribución de este trabajo al control de aerogeneradores exibles. Como se ha descrito en la introducción, el obje-tivo principal del control de un aerogenerador puede resumirse como:"Diseñar la estrategia de manipulación de las variables controlables del aerogenerador para maximizar la potencia eléctrica extraída del viento, satisfaciendo si-multáneamente restricciones de contorno como stress estructural (fatiga de materiales), no exceder velocidades y potencias nominales de operación, o satisfacer criterios de calidad de la potencia eléctrica entregada a la red".
De todas las condiciones de contorno que intervienen en el control de aero-generadores, sin duda la más crítica en términos de explotación económica del aerogenerador, son los esfuerzos estructurales que acortan la vida útil de la turbina debido al desgaste por fatiga. En [102], Sutherland en un in-forme técnico del Sandia National Laboratory, detalla tanto casos históricos de desgaste por fatiga en aerogeneradores, como enfoques avanzados para mitigar estos efectos en los aerogeneradores modernos. En este informe, el autor muestra como los primeros diseños de turbinas, anteriores a la década de los 80, se realizaban usando análisis estáticos de cargas que, en el mejor de los casos, proporcionaban diseños sobreestimados para los puntos nomi-nales de operación. En otros casos, los diseños provocaban fallo estructural prematura de la aeroturbina debido a la falta de conocimiento profundo del espectro dinámico de cargas a las que una aeroturbina se ve sometida en condiciones de operación nominales. Sutherland concluye que el ciclo de vida útil de una aeroturbina, viene dado de forma fundamental por el número de ciclos de carga de fatiga acumulados, y es por tanto la fatiga de materiales una factor muy importante a tener en cuenta en el diseño de las aeroturbinas. Por otro lado, en [103] Ribrant y Berling realizaron un análisis de fallos de aeroturbinas registrados en Suecia, Finlandia y Alemania entre 1997 y 2005, para diversos fabricantes y con guraciones de aerogeneradores. El in-forme, entre otros resultados interesantes, indica que los fallos estructurales en palas y sistemas de calados de palas provocan el 13,4 % de los fallos de este tipo de sistemas, mientras que la siguiente causa de fallo más corriente, los problemas en el tren de potencial, representan el 9,8 % de los fallos. Resulta por tanto evidente que cualquier estrategia de control que redunde en una disminución de los ciclos de carga a los que se ve sometida una aeroturbina,
prolongará la vida útil y mejorará la explotación económica de la misma. Si bien el diseño estructural de un aerogenerador está fuera de los ob-jetivos de este trabajo, en este apartado nos proponemos el diseño de una estructura de control que permita estimar y eventualmente reducir los es-fuerzos a los que se ve sometido un aerogenerador. La estrategia a seguir consistirá en el diseño de una estructura de observador no lineal que permita estimar la exiones a las que se ve sometida la estructura del aerogenerador, y a partir de éstas, inferir los esfuerzos estructurales que podrán ser tenidos en cuenta en una variedad de estrategias de control.
Debido a la di cultad de la medida directa de los esfuerzos estructurales a los que se ve sometido un aerogenerador, no es frecuente encontrar en la literatura técnicas de control que recurran a esta información para realizar control activo de esfuerzos estructurales. Las estrategias más comunes con-sisten en la introducción de amortiguamientos adicionales en el control para mitigar el problema de la fatiga en torno a zonas de operación en las que es bien conocido que estos problemas se magni can, como por ejemplo la transición entre las las zonas II y III de control , donde la aeroturbina es-tá próxima a alcanzar su potencia nominal. Una técnica bastante utilizada en los últimos años es la llamada DUC, por sus siglas en inglés Disturbance Utilization Control [104], donde se emplea un observador sobre un modelo linealizado de la aeroturbina para posteriormente plantear una estructura de control lineal LQG que mitigue el efecto de las cargas estructurales.
En este trabajo trataremos de seguir una línea argumental semejante a la propuesta en el método DUC, pero extendiendo el la metodología para el modelo no lineal simpli cado de aeroturbina que se propone en este tra-bajo. Para ello pasaremos en primer lugar a reformular las ecuaciones del aerogenerador de un modo más conveniente a nuestros propósitos.
5.3. Estimador de modos exibles
El modelo genérico del aerogenerador descrito en (23), puede expresarse de forma más conveniente como
˙x = ( 0 I −M(q)−1K(q) −M(q)−1C(q, ˙q) ) x + ( 0 −M(q)−1Q ) u (28)
donde q = ( θ φ θr θg )T y x = ( qT q˙T )T Además la señal de control u vendrá dada por
u = (
Ft Ta Tg )T
En este modelo sin embargo las señales de control Tay FT, es decir, el par aerodinámico y la fuerza axial sobre la aeroturbina no son directamente no son verdaderas señales de control sobre las que tengamos poder de maniobra, ya que éstas dependen del per l de viento incidente en el disco aerodinámico entre otros factores. Por este motivo es más interesante reformular a partir de las expresiones aproximadas de Ta y FT en función de la velocidad del viento v, la velocidad del rotor ωr y el ángulo de calado de palas β.
Recordando las expresiones (18) a (21) tenemos Ta= 1 2ρπR 3Cp(λ, β) λ v 2 y Ft= 1 2ρπR 3Cf(λ, β) λ v 2
Con estas de niciones, podemos linealizar las ecuaciones en torno a un punto de operación como ˙ Ta = αa˙v + γaω˙r+ κaβ˙ y ˙ Ft= αf˙v + γfω˙r+ κfβ˙
donde αa, γay κa son respectivamente los factores de escala de variaciones en Tadebidos a variaciones de la velocidad del viento, de la velocidad de rotación de la aeroturbina y del ángulo de calado de palas. Similares de niciones pueden obtenerse para αf, γf y κf con respecto a FT.
En régimen permanente, ˙v es la uctuación de la velocidad del viento que asumiremos de media nula. Dado que es deseable que la turbina opere lo más cercana posible al punto de máxima extracción de potencia, es decir
con el mayor coe ciente de potencia, CP, posible, resulta razonable imponer como punto de operación preferente aquel que se obtiene para λopt que suele corresponderse por diseño con un ángulo de calado de palas β = 0o.
Suponiendo conocida ¯v, la velocidad nominal de operación del viento, los coe cientes arriba descritos pueden obtenerse como:
αa = ∂T∂va λ opt = 3 2ρAR Cpopt λopt ¯v αf = ∂FT ∂v λopt = 3 2ρAR CTopt λopt v¯ γa= ∂T∂ωar λopt =−12ρAR2 Cpopt λ2 opt ¯ v γf = ∂T∂ωar λopt =−12ρAR2 CTopt λ2 opt ¯ v κa = ∂Ta ∂β λopt = 12ρARCpoptβ ¯v2 κf = ∂Ta ∂β λopt = 12ρARCToptβ v¯2
Asumiendo una partición de la ecuación (28) como ˙x = Ax + B1FT + B2Ta+ B3Tg
donde las matrices A, B1, B2 y B3 tienen de niciones obvias. Con estas
de niciones el modelo del aerogenerador se puede reformular como ˙ ξ = Aξ(ξ)ξ + Bξ(ξ)µ + Cξ(ξ)ω donde µ = ( Tg βu )T ξ = ( xT Ta Ft β )T ω = ( ˙v ω˙r β˙ )T y las de niciones matriciales
Aξ = A B2 B1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −τβ Bξ = B3 0 0 0 0 0 0 1
Cξ = 0 0 0
αa γa κa αf γf κf 0 0 0
Esta formulación permite obtener una descripción de espacio de estados no lineal del aerogenerador donde la señal de control µ incorpora las señales de control accesibles en la práctica y los términos variables con las uctua-ciones del viento y la velocidad del rotor aparecen recogidos en una señal de perturbación ω.
Esta formulación permite adicionalmente formular la estrategia de obser-vador no lineal robusto que se propone a continuación. Para ello reformulemos el modelo del aerogenerador como
˙
ξ = Aξ + Φ(ξ, µ) + C¯ ξ(ξ)ω (29)
y = Cξ
donde ¯A representa el modelo linealizado en torno al punto de operación de máxima e ciencia empleado para la linealización arriba descrita, y Φ(ξ, µ) recoge las variaciones del modelo respecto a este punto de operación.
Es además sencillo veri car que el sistema anterior es localmente Lipschitz en una región D que contiene al origen. Esto es debido a que las funciones involucradas en la función Φ(ξ, µ) son continuas y derivables, es decir
∥Φ(x1, u)− Φ(x2, u)∥ ≤ γ∥x1− x2∥ (30)
Consideremos ahora un observador de estados con la estructura
˙ˆx(t) = Aˆx(t) + Φ(ˆx, u) + L(C ˆx− y) (31)
La dinámica del observador viene dada por
e(t) △ x(t) − ˆx(t) (32)
˙e(t) = (A− LC)e(t) + Φ(x, u) − Φ(ˆx, u) (33)
el objetivo es encontrar la ganancia, L, tal que la dinámica del observador es asintóticamente estable. Para ello nos basaremos en el resultado descrito en [100].
5.3.1. Observador no lineal robusto H∞
En esta sección recogemos el resultado propuesto en [100] para la con-strucción de un observador no lineal robusto H∞, Lipschitz acotado local-mente.
Consideremos el sistema
˙x(t) = Ax(t) + Φ(x, u) + Bω(t) (34)
y(t) = Cx(t) (35)
donde ω ϵ L2[0,∞) es una perturbación exógena desconocida. Supongamos
que
z(t) = He(t) (36)
representa la salida controlada del sistema donde H es una matriz conocida. Nuestro propósito es diseñar la ganancia L del observador tal que la dinámica de error del observador tienda a cero asintóticamente veri cando una cota superior para una determinada norma H∞.
∥z∥ < µ∥ω∥. (37)
El siguiente teorema introduce una metodología para el diseño del obser-vador robusto no lineal, pero antes es necesario introducir una desigualdad que será útil para probar el resultado
Lemma 1 [101]. Para cualquier x, y ϵ Rn y cualquier matriz de nida posi-tiva P ϵ Rn×n, tenemos
2xTy ≤ xTP x + yTP−1y (38)
Teorema 1. Consideremos el sistema no lineal (29) Lipschitz acotado con con-stante de Lipschitz conocida,γ , junto con el observador (33). La dinámica de error del observador es asintóticamente establecon la ganancia L2 mínima,µ,
si existen escalares α > 1, ε > 0 y ζ > 0 y matrices P > 0 y F tal que el siguiente problema de optimización LMI tiene solución.
min(ζ) s.t.
1− ¯σ2(H) 2γ I P P 1− ¯σ 2(H) 2γ I > 0 (40) HTH +1 2(γ + 1 γ − 2α)I P B BTP −ζI < 0 (41)
Una vez el problema es resuelto
L = P−1F (42)
µ∗ , min(µ) = √ζ. (43)
Prueba:
la prueba de este teorema es reproducida aquí por completitud. La dinámica de error del observador será
˙e(t) = (A− LC)e(t) + Φ(x, u) − Φ(ˆx, u) + Bω (44)
Consideremos la funcion de Lyapunov candidata
V (t) = eT(t)P e(t) (45)
Entonces ˙
V (t) = ˙eT(t)P e(t) + eT(t)P ˙e(t)
donde, Q se selecciona como Q = αI. Para Q = αI el LMI resulta ATP + P A− CTFT − F C < −αI − εI (47) α 2γI P P α 2γI > 0 (48)
son su cientes para la estabilidad asintótica de la dinámica de error . Toman-do α > 1, siemplre tenemos (48).
Basándonos en la desigualdad de Rayleigh
eTQe ≤ λmax(Q)eTe (49)
Usando ahora el lema 1 podemos escribir
2eTP (Φ(x, u)− Φ(ˆx, u)) ≤ eTP e + (Φ(x, u)− Φ(ˆx, u))TP P−1P (Φ(x, u)− Φ(ˆx, u)) =
eTP e + (Φ(x, u)− Φ(ˆx, u))TP (Φ(x, u)− Φ(ˆx, u)). (50)
basándonos en la desigualdad de Rayleigh tenemos ∥eTP e∥ ≤ λmax(P )∥e∥2 = λ
max(P )eTe (51)
∥(Φ(x, u) − Φ(ˆx, u))TP (Φ(x, u)− Φ(ˆx, u))∥ ≤
λmax(P )∥(Φ(x, u) − Φ(ˆx, u))∥2 ≤ γ2λmax(P )∥e∥2 = γ2λmax(P )eTe. (52) Por tanto, de lo anterior
2eTP (Φ(x, u)− Φ(ˆx, u)) ≤ (1 + γ2)λmax(P )eTe ≤ 1 2 ( γ + 1 γ ) eTe (53)
Asi, de acuerdo con (49) y (53) y sabiendo que Q = αI, tenemos ˙ V (t) ≤ 1 2(γ + 1 γ − 2α)e Te + eTP Bω + ωTBTP e. (54) Ahora de nimos J = ∫ ∞ 0 (zTz− ζωTω)dt (55) thus, J < ∫ ∞ 0 (zTz− ζωTω + ˙V )dt (56)
así, un condición su ciente para J < 0 es que
∀t ϵ [0, ∞), zTz− ζωTω + ˙V < 0 (57) pero tenemos zTz− ζωTω + ˙V = eTHTHe− ζωTω + ˙V ≤ eT HTHe +1 2(γ + 1 γ − 2α)e T e + eTP Bω + ωTBTP e− ζωTω = [ eT ωT ] [ H TH +1 2(γ + 1 γ − 2α)I P B BTP −ζI ] [ e ω ] (58)
de modo que una condición su ciente para que J < 0 es que la matriz anterior que es la misma que (41) sea de nida negativa. Entonces
zTz− ζωTω < 0 −→ ∥z∥ < √ζ∥ω∥. (59) La desigualdad (50) puede escribirse como
2eTP (Φ(x, u)− Φ(ˆx, u)) ≤ 2γλmax(P )eTe (60) Siguiendo pasos similares, la matriz en (58) se transforma en
H TH + [2γλ max(P )− α]I P B BTP −ζI < 0 (61)
La matriz anterior no se puede usar junto con (47) y (48) porque considerar P como una las varibles del LMI, es no lineal en P . Se puede, sin embargo, dar otra aproximación a λmax(P ). De acuerdo con el complemento de Schur, (61) es equivalente a −ζI < 0 (62) HTH + [2γλmax(P )− α]I + 1 ζP BB T P < 0 (63)
El tercer término en la expresión anterior es siempre no negativo, así que es necesario tener
HTH + [2γλmax(P )− α]I < 0 (64) pero para cualquier otra matriz simétrica, para HTH, tenemos
λmin(HTH)I ≤ HTH ≤ λmax(HTH)I (65) o de acuerdo con la de nición de valores singulares
De este modo, un condición su ciente para (64) es σ2(H) + 2γλmax(P )− α < 0 (67) o λmax(P ) < α− σ2(H) 2γ (68)
Para tener (68), es su ciente que λmax(P ) <
1− σ2(H)
2γ (69)
que es equivalente a (40).
5.4. Aplicación al modelo de aerogenerador y resultados
de simulación
El teorema descrito en el apartado anterior permite el diseño de una es-tructura de observación robusta para el aerogenerador sin más que observar que el modelo obtenido en (29) se ajusta a las hipótesis del modelo consid-erado en el teorema.
Para la veri cación de estos resultados sobre el aerogenerador, se ha em-pleado el modelo anteriormente identi cado tomando en consideración las siguientes hipótesis:
1. Los experimentos se han realizado considerando variaciones ligeras re-specto al punto de operación de modo que el punto de operación del modelo no sea demasiado perturbado. Es decir se han considerado per- les de viento de media constante o lentamente variables.
2. Los valores de las constantes de Lipschitz consideradas han sido nece-sariamente estimativos, Un procedimiento prueba y error ha sido em-pleado en este caso.
3. El control se ha realizado integramente en zona II, por lo que el ángulo de calado de las palas se ha tomado jo en la posición de máxima e ciencia. Dado que este valor es desconocido en el modelo de FAST, se ha supuesto que esta posición se corresponde con β = 0o.
0 5 10 15 20 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Tiempo (s) Flexión (m)
Validación del observador no lineal
Flexión de las palas estimada (Modelo) Flexión de las palas (FAST)
Figura 23: Flexión de palas observadas frente a las obtenida con FAST para un per l de velocidad de viento constante de 12m/s.
0 5 10 15 20 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Tiempo (s) Flexión (m)
Validación del observador no lineal
Flexión de la torre estimada (Modelo) Flexión de la torre (FAST)
0 5 10 15 20 9.7 9.8 9.9 10 10.1 10.2 10.3 Tiempo (s) velocidad (m/s)
Validación del observador no lineal
Perfil de viento turbulento considerado
Figura 25: Per l de viento turbulento de media 10m/s considerado consider-ado para los experimentos
4. Las simulaciones se han realizado sobre la turbina bipala AWT-27CR2, cuyo modelo proporciona el software FAST, tomando dos tipos de per- les de viento: uno constante de 12m/s, y otro turbulento de 10m/s. 5. En todos los casos se ha considerado una estrategia de control simple
ISC (Indirect speed control) que permite estabilizar el comportamiento de la aeroturbina en torno a punto de operación. Lamentablemente no ha sido posible emplear la estructura de observador propuesta para el diseño de controladores especí cos, tarea ésta que se deja como posible desarrollo futuro.
Los resultados de simulación muestran tal como era de esperar que que el ltro de estimación propuesto hereda los problemas ya detectados en la fase inicial de identi cación del modelo. Es decir, el estimador tiende a subestimar en un factor de entre 3 y 10 según los experimentos realizados las exiones tanto de pala como de torre. Así las guras 21 y 24 muestran los resultados
de simulación para las exiones de pala y torre respectivamente para un per- l de viento ideal constante de 12m/s. Los resultados muestran una cierta desviación en régimen permanente además de la mencionada subestimación de las exiones. Idéntico resultado se obtiene en la grá cas 26 y 27 cuando el per l de velocidades es turbulento de media 10m/s tal como se muestra en la gura 25.
La explicación que se encuentra a este efecto está en la de ciencias del pro-pio modelo de simulación, que si bien tiene una estructura su cientemente simple para plantear estructuras de control simpli cadas, no puede recoger matices del modelo de alta dimensión de FAST.
No obstante es interesante resaltar que la tendencia general de los val-ores de exión son correctamente recogidas y proporcionan una estimulante línea de investigación para futuros desarrollos que empleen la información proporcionada por el observador aplicado en este trabajo.
0 5 10 15 20 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 Tiempo (s) Flexión (m)
Validación del observador no lineal
Flexión de la torre estimada (Modelo) Flexión de la torre (FAST)
Figura 26: Flexión de la torre observada frente a la obtenida con FAST para un per l de velocidad de viento turbulento de 10m/s.
0 5 10 15 20 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Tiempo (s) Flexión (m)
Validación del observador no lineal
Flexión de palas estimada (Modelo) Flexión de palas (FAST)
