espinoza ramos analisis matematico 1.pdf

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ Vicerrectorado de Investigación

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

TINS Básicos

INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS, INGENIERÍA ELECTRÓNICA, INGENIERÍA MECATRÓNICA, INGENIERÍA TEXTIL, INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES,

INGENIERÍA AUTOMOTRIZ, INGENIERÍA AERONÁUTICA, INGENIERÍA DE SOFTWARE, INGENIERÍA MARÍTIMA,

INGENIERÍA NAVAL

TEXTOS DE INSTRUCCIÓN (TINS) / UTP

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© ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Desarrollo y Edición : Vicerrectorado de Investigación Elaboración del TINS : • Lic. Carlos Bravo Quispe

• Lic. Primitivo Cárdenas Torres Diseño y Diagramación : Julia Saldaña Balandra

Soporte acadêmico : Instituto de Investigación Producción : Imprenta Grupo IDAT

Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación de esta obra.

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“El presente material de lectura contiene una compilación de artículos, de breves extractos de obras matemáticas publicadas lícitamente, acompañadas de resúmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución. Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor”.

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PRESENTACIÓN

La matemática, ciencia de la más alta jerarquía, en el concierto de las ciencias, desde los albores de la civilización humana sigue siendo la base del desarrollo científico y tecnológico de nuestro mundo.

La Ingeniería como expresión de la tecnología, se erige sobre la base de los diferentes espacios de la creación matemática, del sentimiento y del pensamiento de la humanidad.

De allí, que en la formación académica de Ingenieros, la UTP privilegia el estudio de la matemática, en la convicción de dotar a sus estudiantes firme pensamiento abstracto y amplio pensamiento innovador.

En esta dimensión se ha desarrollado el presente texto de instrucción, en su primera edición dirigido a estudiantes de Ingeniería de las Carreras de Ingeniería de: Sistemas, Industriales, Electrónica y Mecatrónica y Telecomunicaciones, para la Asignatura de ANÁLISIS MATEMÁTICO I.

Plasma la preocupación institucional de la innovación de la enseñanza-aprendizaje en educación universitaria, que en acelerada continuidad promueve la producción de materiales educativos, actualizados en concordancia a las exigencias de estos tiempos.

La estructura del contenido del texto permitirá lograr conocimientos de ANÁLISIS MATEMÁTICO, progresivamente modelada en función del silabo de la Asignatura acotada líneas arriba; contenido elaborado mediante un proceso acucioso de recopilación de temas, desarrollados en diferentes fuentes bibliográficas.

La conformación del texto ha sido posible gracias al esfuerzo y dedicación académica de los profesores: Lic. Carlos Bravo Quispe y Lic. Primitivo Cárdenas Torres.

La recopilación aludida de temas pertinentes, consistentes y actualizados, para estudiantes de segundo ciclo, tiene el siguiente ordenamiento temático:

Relaciones, Funciones, Límite y Continuidad de Funciones, Derivadas y sus aplicaciones en los diferentes campos de la Ingeniería.

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Al cerrar esta presentación debemos reconocer el esfuerzo y trabajo de los profesores que han permitido la elaboración del presente texto en su primera edición y la dedicación paciente del Dr. José Reategui Canga en la revisión del texto.

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ÍNDICE

CAPÍTULO I: RELACIONES BINARIAS 11

1.1 PAR ORDENADO Y PRODUCTO CARTESIANO 11

1.1.1 PAR ORDENADO 11

1.1.2 PRODUCTO CARTESIANO 12

1.2 DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA DE UNA RELACIÓN 16

CAPÍTULO II: FUNCIONES 21

2.1 DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN 22

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 25

2.2 FUNCIONES ESPECIALES O TIPOS DE FUNCIONES 27

FUNCIÓN CONSTANTE 27

FUNCIÓN IDENTIDAD 27

FUNCIÓN LINEAL 28

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO 28

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA 29

FUNCIÓN SIGNO 29

FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO 30

FUNCIÓN CUADRÁTICA 30

FUNCIÓN RACIONAL ENTERA O POLINÓMICA. 31

FUNCIÓN RACIONAL FRACCIONARIA 32

FUNCIÓN PROYECCIÓN 33

FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO 33

OPERACIONES CON FUNCIONES 36

DEFINICIÓN 36

EJERCICIOS PROPUESTOS 40

2.3 CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES: FUNCIONES INYECTIVAS,

SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS 48

2.3.1 FUNCIÓN INYECTIVA 48

2.3.2 FUNCIÓN SOBREYECTIVA. 50

CAPÍTULO III: LÍMITES DE FUNCIONES 57

3.1. DEFINICIÓN INFORMAL DE LÍMITE 57

3.2 DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE 61

TEOREMA (UNICIDAD DE LÍMITE). DEMOSTRACIÓN 62

TEOREMA (TEOREMA DEL SÁNDWICH) 62

(9)

3.3 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 63

3.4 LÍMITES LATERALES 66

LÍMITE POR LA IZQUIERDA 66

LÍMITE POR LA DERECHA. TEOREMA. EJERCICIOS 66

3.5 LIMITES AL INFINITO 74

3.6 ASÍNTOTAS 76

3.7 FUNCIONES CONTINUAS 79

3.8 LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS. TEOREMAS Y

DEMOSTRACIONES 84 MISCELÁNEA DE PROBLEMAS DE LÍMITES Y CONTINUIDAD 92

CAPÍTULO IV: LA DERIVADA 95

4.1 DEFINICIÓN 95

4.2 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 100

4.3 REGLAS PARA LA DERIVACIÓN 103

4.4 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES 105 4.5 DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y

LOGARÍTMICA 108 4.6 DERIVADA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS 108

4.7 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

INVERSAS 110

4.8 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 111

4.9 DERIVADAS DE ORDENSUPERIOR 116

4.10 DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA 119

4.11 DIFERENCIALES 120

4.12 LA DERIVADA COMO UNA RAZÓN DE CAMBIO 123

4.13 EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADA Y SUS

APLICACIONES 130

4.14 REGLAS DE L’ HOSPITAL 135

4.15 APLICACIONES DE LA DERIVADA 140

4.16 CONCAVIDAD Y CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA 150

EJERCICIOS 161

(10)

DISTRIBUCIÓN TEMÁTICA Clase

N° Tema Semana

1 Relaciones: dominio, rango y gráficas. _{Funciones: definición, dominio y rango.} 1

2 Funciones especiales: constante, identidad lineal. Raíz

cuadrada, función signo. 2

3 Clases de funciones: inyectivas, suryectiva y biyectiva. _{Función valor absoluto. Función escalón unitario.} 3

4 Función entero. Funciones pares e impares. Funciones _periódicas. 4

5 Operaciones com funciones: suma, resta, producto,

división. Inversa de funciones. 5

6 Imágenes inversas de subconjuntos del dominio. Límite _{de funciones. Definición y propiedades.} 6

7 Límites algebraicos y trigonométricos. Límites laterales. _{Límites al infinito y límites infinitos. Asíntotas.} 7

8 Continuidad. Teoremas. Continuidad en un punto en un

intervalo. Clases de discontinuidad. 8 9 Derivación. Interpretación geométrica. Rectas tangente y

normal. Derivadas laterales. Gráficas. 9

10 E X A M E N P A R C I A L 10

11

Reglas de derivación. Derivadas trigonométricas. Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas. R. cadena.

11

12 Derivadas de orden superior. Derivación implícita. _{Derivada de las funciones inversa. Diferenciales.} 12

13 Aplicaciones de diferenciales. La derivada como razón de

cambio. 13

(11)

15 Regla de L’Hospital. Funciones crecientes y decrecientes _{(funciones monótonas). Máximos – mínimos.} 15

16 Puntos críticos. Teoremas. Criterio de la primera derivada _{para valores extremos.} 16

17 Criterio de la segunda derivada. Concavidad y punto de

inflexión. 17

18

Estudio de las funciones trascendentes. Funciones trigonométricas y trigonométricas inversas y sus derivadas.

18

19 E X A M E N F I N A L 19

(12)

CAPÍTULO I

RELACIONES BINARIAS

1.1 PAR ORDENADO Y PRODUCTO CARTESIANO

1.1.1 PAR ORDENADO.- Dados dos elementos a y b interesa formar un conjunto que depende de dichos elementos y del orden en que se consideran.

DEFINICIÓN. Par ordenado (a, b) es el conjunto cuyos elementos son {a} y {a, b}. Es decir:

(a, b) = {{a}, {a, b}}

a y b son la primera y la segunda componente del par ordenado. En particular se tiene:

(a, a) = {{a},{a,a}} = {{a}} Si a ≠ b, entonces (a, b) ≠ (b, a)

TEOREMA 1: Dos pares ordenados son iguales si y solo si tienen sus componentes respectivamente iguales. Es decir:

(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d

DEMOSTRACIÓN: Se sigue de la definición de par ordenado.

EJEMPLO N°1. Hallar m2 + n2 si: (m — n, – 2) = (4, m + n) Por el teorema anterior se tiene que:

⎩ ⎨ ⎧ − = + = − 2 n m 4 n m

sumando estas expresiones miembro a miembro se obtiene m = 1. Que al reemplazar en la primera ecuación da lugar a que n = – 3

(13)

Por lo tanto m2_{+ n}2_{= 10}

EJEMPLO N°2: ¿ Es (3, 2°) = (3, 32 - 23)?.

La repuesta es afirmativa, pues sabemos que: 2° = 1 y 32 – 23 = 1

1.1.2 PRODUCTO CARTESIANO.- Definimos el producto cartesiano de dos conjuntos no vacíos A y B como aquel conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados cuyas primeras componentes pertenecen a A y la segunda a B.

Esto es: A × B = {(a,b)/a ∈ A ∧ b∈ B} En particular: A × A = A2_{= {(a, b)/ a∈ A ∧ b∈ A}}

EJEMPLOS

1. El producto cartesiano de A = {1, 2, 3} por B = {4, 5}, está dado por:

A × B = {(1,4), (1, 5), (2,4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)} y

B × A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}

2. Por ser pares ordenados, los elementos del producto cartesiano de dos conjuntos no vacíos pueden representarse mediante puntos del plano cuya abscisa y ordenada son, respectivamente, la primera y segunda componentes.

(14)

3. El producto cartesiano no es conmutativo, pues (3, 4) pertenece a A×B y (3, 4) no pertenece a B × A.

4. Dados los intervalos cerrados de números reales:

[a, b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b} y [c, d] = {y ∈ R/c ≤ y ≤ d} Entonces [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R × R/a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} es el rectángulo cuyos lados son dichos intervalos.

|

Figura 2

5. Sean A = {x ∈ R/⏐x⏐ < 2} y B = R.

Tenemos A × B = {(x , y) ∈ R × R/ –2 < x < 2 ∧ y∈R} es la franja abierta de la figura (fig. 3).

(15)

Figura 3

Se puede definir un sistema coordenado rectángular o cartesiano* en el plano considerando en él dos rectas perpendiculares que se cortan o intersecan en el origen O de ambas. A menos que se especifique lo contrario, en cada recta se elige la misma unidad de longitud. Se acostumbra colocar una de las rectas en dirección horizontal con el sentido positivo a la derecha, y la otra, vertical en el sentido positivo hacia arriba, como se indica con las puntas de flecha en la figura (fig. 4) Las dos rectas se denominan los ejes coordenados y el punto O es el origen. La recta horizontal se suele llamar eje x y la vertical eje y, lo cual se indica escribiendo con X y una Y respectivamente, junto a las puntas de los ejes. Entonces tal plano es un plano coordenado XY. Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro partes llamadas el primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes que se denotan por I , II , III y IV, respectivamente. A cada punto P en el plano XY se le puede asignar un par ordenado único (a, b), como se muestra en la figura (4). El número a es la abscisa(o coordenada x) de P, y b es su ordenada (o coordenada y). Se dice que P tiene las coordenadas (a,b). Recíprocamente, todo par ordenado (a, b) determina un punto P en el plano XY con coordenadas a y b. A veces se habla del punto (a, b), o P(a, b) para indicar al punto P con abscisa a y ordenada b. Para trazar un punto P(a, b) se localiza en un plano cooordenado y se representa por un pequeño círculo, como se ilustra para varios puntos en la figura (5).

(16)

Figura 4 Figura 5

Para fijar ideas consideremos el conjunto A formado por los alumnos del curso de Análisis Matemático I: a , b , c y d, y el conjunto B cuyos elementos son las posibles notas obtenidas en la primera práctica calificada: 1,2,3, 4, y 5, correspondiente a insuficiencia, aprobado, bueno, distinguido y sobresaliente. Es decir:

A = {a,b,c,d} y B = {1,2,3,4,5}

Los elementos de A quedan vinculados con los elementos del conjunto B mediante la propiedad:

P(x,y) : x obtuvo la nota y

Supongamos que la situación en la primera práctica calificada queda especificada mediante el siguiente diagrama:

(17)

Esta relación entre A y B está caracterizada por el conjunto de pares ordenados.

P = {(a,2), (a,4), (b,4), (d,5)}

Como c no tiene ningún correspondiente en B, consideremos que no ha clasificado en la prueba. Se tiene:

(x,y) ∈ R Q P(x,y) es V

DEFINICIÓN. Relación entre A y B es todo subconjunto del producto cartesiano A × B.

En símbolos: R es una relación entre A y B ⇔ R ⊂ A × B o R: A → B Para indicar que un par ordenado (a,b) pertenece a la relación suele escribirse aRb, lo que equivale a (a,b) ∈ R.

1.2 DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA DE UNA RELACIÓN

Consideramos una relación R entre los conjuntos A y B.

Si (x,y) ∈ R diremos que y es una imagen de x a través de R, y que x es una preimagen de y por R.

DEFINICIÓN. Dominio de R es la totalidad de los elementos de A, que admiten imagen en B.

Dom(R) = {x ∈ A / ∃ y ∈ B ∧ (x,y) ∈ R}

Es decir: El dominio de la relación R es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados (x,y) que pertenecen a R. DEFINICIÓN: El rango de la relación R es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados (x,y) que pertenecen a la relación R, esto es Rang(R)={y∈B /∃ x∈A ∧ (x,y)∈ R}.

EJEMPLO 1: De la relación R = {(a,2), (a,4), (b,4), (d,5)} Tenemos:

(18)

EJEMPLO 2: Considerando el universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine el dominio, rango de las siguientes relaciones:

1. R1 = {(x,y) ∈ U × U / y = 2x}

2. R2 = {(x,y) ∈ U × U / x = 3}

3. R3 = {(x,y) ∈ U × U / 2x < y} Solución: Tenemos

1. R1 = {(1,2), (2,4), (3,6)}

(i) Dom(Rl) = {1,2, 3} (ii) Rang(R1) = {2, 4, 6}

2. R2 = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3, 5), (3, 6)}

(i) Dom(R2) = {3} (ii) Rang(R2) = {1,2, 3, 4, 5, 6}

3. R3 = {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,5), (2,6),}

(i) Dom(R3) = {1, 2} (ii) Rang(R3) = {2, 3, 4, 5, 6}

GRÁFICA DE UNA RELACIÓN

Se llama gráfica de una relación de A en B al conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen dicha relación.

Tener en mente que una relación puede ser de la forma F(x,y) = 0 o inecuaciones de la forma F(x, y) < 0, F(x, y) > 0, F(x, y) ≤ 0 o F(x, y) ≥ 0. Pasos a seguir para determinar la gráfica de una relación:

1. Determinación de la intersección con los ejes coordenados: (a) Eje X: Se hace y = 0 y se resuelve F(x, 0) = 0

(b) Eje Y: Se hace x = 0 y se resuelve F(0, y) = 0

2. Determinación de las simetrías con respecto a los ejes coordenados:

(a) Eje X: Debe cumplirse F(x, –y) = F(x, y) (b) Eje Y: Debe cumplirse F(–x,y] = F(x,y] (c) Origen: Debe cumplirse F(–x, –y) = F(x,y)

3. Extensión: Consiste en determinar el dominio y rango de la relación

4. Asíntotas: Consiste en determinar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas que pueda tener la relación.

Asíntotas verticales: se obtienen al determinar el dominio, viene a ser aquellos valores de x que hacen cero al denominador, es decir son rectas verticales en lascuales la gráfica de la función está muy

(19)

cerca de dicha recta a medida x tiene a dichos valores que anulan al denominador.

Asíntotas horizontales: se obtienen al determinar el rango, vienen a ser aquellos valores de y que anulan al denominado, es decir son rectas horizontales.

Asíntotas oblícuas: son rectas y=mx+b, m≠0, que serán determinadas con suma facilidad, cuando los límites al infinito de una función. Ejemplo: 1 y x = Dom (f)=R-{0} Ran (f)= R-{0}

L: x=0 es una asíntota vertical L: y=0 es una asíntota horizontal

5. Tabulación: Se determina un número finito de puntos que pertenecen a la relación para obtener la gráfica adecuada

6. Trazado de la gráfica de la relación. EJEMPLO

Determine la gráfica de la relación R = {(x, y)∈R×R/y – x2_{= 0}}

Solución

1. Intersección con los ejes coordenados

(a) Eje x: hacemos y = 0 en la ecuación: y – x2 = 0 entonces: – x2 = 0

de donde x = 0

(20)

2. Simetrías

(a) Eje x: Debe ser F(x,–y) = F(x,y) –y + x2 ≠ y + x2

por lo tanto no existe simetría con respecto al eje x. (b) Eje y: Debe ser F(–x,y] = F(x,y)

y – (–x)2 = y – x2 Por lo tanto, existe simetría con respecto al eje Y (c) Origen: Debe cumplirse F(–x, –y) = F(x,y]

–y – (–x2_{) = –y – x}2_{≠ F(x,y)}

Por lo tanto, no existe simetría con respecto al origen. 3. Extensión

(a) Dominio: se despeja "y"

De y – x2 = 0 se tiene y = x2 Por lo tanto, su dominio es R. (b) Rango: se despeja "x"

De y – x2 = 0 se tiene x = ± y Luego: y ∈ Rang(R) ⇔ y ≥ 0 Por lo tanto Rang(R) = [0, +∞ >. 4. Asíntotas: no posee ningún tipo de asíntotas 5. Tabulación

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EJERCICIOS – PROPUESTOS

1. En U = {1, 2, 4, 6, 8}. Determine dominio, rango y gráfica de la relación: R = {(x, y) ∈ U × U / x – y ≤ 40}

2. En U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Determine la relación:

R = {(x,y) ∈ U x U / x + y es divisible por 4}, indicando su dominio y rango.

3. Determine dominio rango y gráfico de las siguientes relaciones: (a) R1 = {(x, y) ∈ R × R / xy –3 = 1}

(b) R2 = {( x, y) ∈ R × R / x 2y - 4y – 1 = 0}

(c) R3 = {( x, y) ∈ R × R / 2 x + y ≤ 1}

(d) #4 = {( x, y) ∈ R × R / 2y + x2 ≤ 0}

(e) R5 = {( x, y) ∈ R × R / x 2 + 2y2 ≤ 4}

4. Determine la gráfica de las siguientes ecuaciones: (a) xy2 – 4x – y2 = 0

(b) x2 + 9y = 0 (C) x2 + y2 = 2 (d) x2 + y2 + 2x + 4y – 1 = 0

5. Determinar dominio, rango y gráfica de las siguientes relaciones: (a) R1= {(x, y) ∈ R × R / |x – 2| – y = 0}

(b) R2 = {(x, y) ∈ R × M / (x – 2y)(x + y) ≥ 0}

(c) R3 = {(x,y) ∈ R × R / |x| + |y| ≤ 1}

(22)

CAPÍTULO II

FUNCIONES

Sean A y B dos conjuntos no vacíos y sea f una relación binaria de A en B, esto es, f⊂AxB. Entenderemos por función de A en B toda regla que asocia a cada elemento x del conjunto A un único elemento “y” del conjunto B.

Es decir, una función es un conjunto de pares ordenados tales que la primera componente pertenece a A y la segunda a B, de modo tal que dos pares ordenados distintos no tengan la misma primera componente.

Para denotar que d es una función de A en B, se escribe: f: A → B

y se lee: “f es una función de A en B”. Formalmente tenemos la siguiente:

DEFINICIÓN: f es una función de A en B si y sólo si se satisface las siguientes condiciones:

i) f⊂AxB

ii) (x,y)∈f ∧ (x,z) ∈f ⇒ y=z

Regla de correspondencia: Si (x,y) ∈f, decimos que “y” es la imagen o valor de x por f, y suele escribirse y=f(x), es decir “y” es el transformado de x por la función f. De aquí que denotamos:

f: A → B / y=f(x)

EJEMPLO. Si A= {–1,0,1,2,4,}, B = {0,1,4,16} y f es la relación definida por: (x,y) ∈ f ⇔ y = x2 _{entonces se tiene f = {(–1, 1), (0, 0), (1, 1), (2,4), (4, 16)}}

ya que cada segunda componente es el cuadrado de la primera. El diagrama de Venn correspondiente es:

(23)

Figura 1

DEFINICIÓN. f es una función o aplicación de A en B si y solo si f es una relación entre A y B, tal que todo elemento de A tiene un único correspondiente en B.

OBSERVACIÓN: Toda función f : A → B es una relación, mas lo recíproco no necesariamente es cierto.

2.1 DOMINIO,

RANGO

Y

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

DEFINICIÓN. Definimos el dominio y el rango de una función f:A→B como el dominio y el rango de la relación f:

D(f) = Dom(f ) ={x∈ A / ∃ y ∈ B; (x,y) ∈ f } R(f) = Rang(f) = {y∈ B / ∃ x ∈ A; (x,y) ∈ f }

Al rango de f se le conoce también como imagen de f y se le denota por Img (f) = {f(x) / x ∈ A }

Se denomina gráfica de la función f, al conjunto:

Gf = {(x,y)/x ∈ Dom(f) ∧ y = f(x) ∈ Rang(f)}

OBSERVACIÓN: Una función queda especificada si se dan el dominio A, el codominio B y además la relación f ⊂ A × B, que satisface las

(24)

EJEMPLO. Del ejemplo anterior, tenemos: Dom(f)=A,

Img(f)={0,1,4,16}

EJEMPLO. Determinemos si las siguientes relaciones son funciones: i) Sean A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3} y la relación

f = {(a,l),(b,2),(c,2),(d,l)}

se cumplen las condiciones de la definición, y resulta f una función tal que f(a)=1, f(b)=2, f(c)=2, f(d)=1

El diagrama es el siguiente:

Figura 2

ii) Con los mismos A y B, la relación

f = {(a,1), (a,2), (c,1), (d,3)}

no es una función, pues no se verifica la condición (ii), ya que un mismo elemento de A tiene dos imágenes en B, como ocurre con a. El diagrama de la relación es:

(25)

iii) Si A es el conjunto de personas y f es la relación en A definida por (x, y) ∈ f ⇔ x es hijo de y

entonces f es una función de A en A, ya que toda persona tiene padre y este es único.

En cambio la relación definida en el mismo A mediante

(x, y) ∈ f ⇔ x es padre de y

no es una función de A en A, ya que existen en A personas que no son padres, es decir elementos del dominio que carecen de imagen en el codominio; por otra parte, tampoco se verifica la unicidad, pues existen personas que son padres de mas de un hijo.

Esto significa que si una relación es función la relación inversa no lo es necesariamente.

EJERCICIOS — RESUELTOS

1. Se desea construir un tanque horizontal de acero para almacenar gas propano, que tenga forma de cilindro circular recto de 3m de largo con una semiesfera en cada extremo. El radio r no esta aún determinado. Expresar el volumen V del tanque como una función de r.

Solución

El volumen de la parte cilíndrica del tanque puede calcularse multiplicando la altura 3 por el área πr2_{de la base del cilindro. Esto es:}

Volumen del cilindro = 3πr2

Los dos extremos semi esféricos forman juntos una esfera de radio r. Usando la formula para el volumen de la esfera, obtenemos

Volumen de los extremos = 3 3 4

r

(26)

Por lo tanto, el volumen V del tanque es:

(

4 9

)

r 3 1 _π 2 ₊ = r V

2. Dos barcos zarpan al mismo tiempo del puerto. Uno viaja al oeste a 17mi/h y el otro hacia el sur a 12mi/h. Sea t el tiempo (en horas) después de la salida. Expresar la distancia d entre las embarcaciones como una función de t.

Solución

Figura 4

Aplicando Pitágoras, tenemos: d2 = a2 + b2 y como:

distancia = (velocidad) (tiempo)

se tiene: a = 17t, b = 12t

(27)

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

DEFINICIÓN. Una función f : A → B donde A y B son subconjuntos

no vacíos de R, se denomina función real de variable real o función de una variable real con valores reales.

EJEMPLO

Sea f:A→B una función definida por:

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = < < + ≤ = 3 , 5 3 2 , 3 2 , 2 ) ( x x x x x f

donde A y B son, subconjuntos de R. Se observa que Dom (f) = A =< - ∞,3] , Rang(f) =[5,6 > ∪ {2}

Figura 6

EJEMPLO

Determine el dominio, rango y gráfica de la función f(x)= 16− x2

a) El dominio se determina resolviendo la inecuación: 16 – x2_{≥ 0 ⇔ –4 ≤ x ≤ 4}

(28)

b) Sea y = f (x) tenemos y = 16− x2

y ∈ Rang (f) ⇔ (y ≥ 0 ∧ x2_{= 16 – y}2_{) ⇔ y ∈ [0,4]}

Por tanto Rang (f) = [0,4] c) La gráfica de f esta dado como

Figura 7

2.3 FUNCIONES ESPECIALES O TIPOS DE FUNCIONES

FUNCIÓN CONSTANTE.- Es aquella función f : R → R definida por f(x) = c, donde c es una constante real.

(a) Dom(f) = R (b) Rang(f) = {c}

Su gráfica es una recta horizontal

(29)

FUNCIÓN IDENTIDAD.- Es aquella función f : R → R talque f (x) = x para todo x ∈ R, también se denota por I(x)=x

La identidad de R es entonces la función que asigna a cada elemento de R el mismo elemento.

a) Dom(f) = R (b) Rang(f) = R Su gráfica es una recta diagonal como se muestra en la figura.

Figura 9

FUNCIÓN LINEAL.- Es aquella función f : R → R definida por

f(x) = ax + b, donde a, b ∈ R ,a ≠ 0 son constantes. a) Dom(f) = R (b) Rang(f) = R Su gráfica esta dada por:

(30)

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO.- Es aquella función f:R→R definida por ⎩ ⎨ ⎧ < − ≥ = = 0 , 0 , ) ( x x x x x x f a) Dom(f) = R (b) Rang(f) = [0,+∞> Su gráfico esta dado por:

Figura 11

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA.- Es aquella función f:R→R dada por

x x f( ) = a) Dom(f) = [0, +∞ > (b) Rang(f) = [0, +∞ > Su gráfica es: Figura 12

0

(31)

FUNCIÓN SIGNO.- Es aquella función f : R → R definida por ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = < − = = 0 , 1 0 , 0 0 , 1 ) sgn( ) ( x x x x x f a) Dom(f) = R (b)Rang (f) = {-1,0, 1}

Su gráfico esta dado por:

Figura 13

FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO.- Es aquella función f : R → R

definida por ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = = 0 , 1 0 , 0 ) ( ) ( x x x U x

f , llamado también función de

Heaviside.

a) Dom(f) = R (b)Rang(f) = {0, 1} Su gráfico esta dado por:

(32)

Figura 14

FUNCIÓN CUADRÁTICA.- Es aquella función f : R → R definida por

f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b, c ∈ R,a ≠ 0

Su dominio es el conjunto de los números reales es decir: Dom(f) = R

La gráfica de una función cuadrática es una parábola con eje focal paralelo al eje y.

DEFINIMOS: U= b2 - 4ac, llamado discriminante. Tenemos los siguientes casos:

i) si U > 0, la función cuadrática tiene dos raíces reales diferentes, es decir la gráfica de f interseca al eje X en dos puntos reales diferentes.

ii) Si U = 0, la función cuadrática tiene una raíz real doble (raíz de multiplicidad dos)

iii) Si U < 0, la función cuadrática no tiene raíces reales, es decir la gráfica de la función f no interseca al eje X

El vértice de la parábola está dada por ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ − − = a a b V 4 , 2 el cual determina el rango de la función cuadrática en los siguientes casos:

Por lo tanto se tiene:

i) _{Si a > 0 el rango está dado por Rang(f) = ⎢} ⎣

⎡ Δ ₊ _∞

− ,

(33)

ii) Si a < 0 el rango está dado por Rang(f)= ⎥⎦ ⎤ Δ − ∞ − a 4 ,

FUNCIÓN RACIONAL ENTERA O POLINÓMICA.- Es aquella función f : R → R definida por:

f(x) = a0xn + a1xn–1 + • • • + an–1x + an, a0 ≠ 0

donde los ai , i = 0, • • • , n son constantes reales. Llamado también

función polinómica de grado n En este caso el dominio de f es R. CASOS PARTICULARES

i) f(x) = x2n, n ∈ N (polinomio de exponente par):Rang (f] = [0,+∞ > ii) f(x) = x2n+1 , ∈ N (polinomio de exponente impar) : Rang(f) = R

FUNCIÓN RACIONAL FRACCIONARIA.- Es aquella función

f:R→R tal que f(x) es el cociente de dos polinomios P(x) y Q(x), osea;

m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x f + + + + + + + + = = − − − − 1 1 1 0 1 1 1 0 ... ... ) ( ) ( ) (

Donde a0 . b0 ≠ 0 y Dom (f ))= {x ∈ R/ Q(x) ≠0} donde los ai y bj, i=0,

…, n, j = 0,…, m son constantes reales.

POR EJEMPLO 1. f(x) =

x

1

(34)

Figura 15 2. f(x) = ₂ 1 1 x +

i) Dom(f) = R , (ii) Rang(f) = <0,1]

Figura 16

FUNCIÓN PROYECCIÓN.- Consideremos A x B y las funciones P1:AxB→A, P2:AxB→B definidas por P1(a,b) = a , P2(a,b) = b.

Tales funciones se llaman primera y segunda proyección del producto cartesiano y asignan a cada par ordenado la primera y segunda componente, respectivamente. En un gráfico cartesiano se tiene:

(35)

Figura 17

FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO.- Es aquella función f : R → R tal que

a cada número real x le asocia el número entero n denotado por

a b

x , tal

que n ≤ x < n+ 1.

Es decir

a b

x = n es el mayor entero que no supera a x.

f(x) =n ⇔ n≤ x<n+l

(i) Dom(f) = R (ii) Rang(f) = Z Su gráfico es:

(36)

EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Determine dominio, rango y gráfica de la función f x( )=

(

x−

a b

x

)

2

Solución

Sea

a b

x =ndonde n∈Z ,entonces f(x)=(x−n)2, n≤x<n+1.

Luego dando valores a n se tiene: Para n=0; ₍ ₎ 2 x x f = , 0≤ x<1 n=1; ₍ ₎_{= x}₍ ₋₁₎2 x f , 1≤ x<2 n=2; ₍ ₎_{= x}₍ ₋₂₎2 x f , 2≤ x<3

y así sucesivamente, como se puede ver la gráfica de cada una de las funciones es una parábola restringida al dominio que se da.

Se observa que: Dom(f)=R y Rang( f)= 1

[

0, >

2.- Determine dominio, rango y gráfica de la función 9 ) ( ₂ 2 − = x x x f Solución

(37)

simétrico respecto al eje Y(es una función par). Sea y= f(x) ⇒ 9 2 2 − = x x y ⇒ 1 9 2 − = y y x Como: 0 1 9 0 2 _≥ − ⇔ ≥ y y x ⇒Rang( f)=<−∞,0

]

∪<1,+∞>

Se observa que la gráfica de la función tiene como asíntotas verticales a

3 =

x y x=−3 y asíntota horizontal a y=1.

(38)

EJERCICIOS – PROPUESTOS

1. Hallar el dominio de cada una de las siguientes funciones:

(1) 2 ₂ 2 3 1 2 ) ( x x x x x f − + + − − = (2) 3 2 3 2 ) ( 2 ₊ ₊ − = x x x x f (3) ₍ ₎ 2 ₃ ₁₀ ₂ 2 x x x x x f = − − + − − (4) 2 3 5 3 2 25 ) ( − − − = x x x f

2. En cada ejercicio, determine el domino, rango y gráfica de cada función: (1) f (x) = 3x – 1 (2) f (x) = x2 + 2 (3) f (x) = 3x2 – 6 (4) f (x) = 5 –x2 (5) 2 2 ) ( 2 3 − − = x x x x f (6)

(

)(

)

(

3 2

)

(

3

)

6 5 4 3 ) ( 2 2 2 − + − + − − + = x x x x x x x x f (7) f(x) = 3x−1 (8) f (x) = 5 6 ) 10 3 )( 1 ( ) ( ₂ 2 + + − + + = x x x x x x f (9) f (x) = |3x + 5| – 3 (10) f(x) = x2 + 2 + 2 (11) f (x) = 3x2 + x + 1 (12) f (x) = x2 +2x + 5 (13) f (x) – |4x – 6| (14) f (x) = |3x + 2| (15) f (x) = |4x – 6| + 5 (16) f (x) = |2x – 3| + 5 (17) 2 6 2 ) ( ₂ − − + = x x x x f

(39)

(18) 9 3 ) ( ₂ − = x x f

3. Hallar dominio rango y gráfica de las siguientes funciones: (a) f (x) = 3x2 – 2x + 5 , x ∈ < 2,5]

(b) f (x) = –2x2 + 4x – 3 , x ∈ [–3,5> (c) f (x) = |4x – 6| + 5

(d) f (x) = 3x −2,x∈[2,6]

4. Hallar dominio, rango y gráfica de las siguientes funciones:

1. ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ∈ − > − ∈ − = 8 , 3 [ , 3 5 , 3 [ , 1 ) ( x x x x x f 2. ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − − ≠ − = 3 , 2 3 , 4 ) ( 2 x x x x f 3. ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < − = 3 , 3 3 , 4 ) ( 2 x x x x x f 4. ⎩ ⎨ ⎧ > ∈ − > − ∈ + = 12 , 7 [ , 3 7 , 4 [ , 5 ) ( x x x x x f 5. ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ∈ − + < − = 8 , 3 [ , 5 2 0 , 2 ) ( ₂ x x x x x x f 6. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > − ∈ − > − −∞ ∈< − = 2 , 3 ] 2 , 2 [ , 1 2 , , 4 ) ( x x x x f

1a bx −

(40)

OPERACIONES

CON

DEFINICIÓN (COMPOSICIÓN DE FUNCIONES)

Sean :f A→ R y :g B→ R dos funciones tales que R(f)∩ B≠φ. La

función (g D f) definida por: (gD f)(x)= g(f(x)) se denomina función

compuesta de g y f o función de funciones. El dominio de la función

f

−1,+∞> , ( )D g = R , ( )R g = R a) Como R(f)∩D(g) ≠φ, entonces 5 ) 1 ( 3 )) ( ( ) )( ( ₌ ₌ 2₋ ₊ x x f g x f g D ∴ ( )( )_{= x}3 2₊2 x f g D y (D gD f)=R b) Como R(g)∩D(f) ≠φ, entonces 1 ) 5 3 ( )) ( ( ) )( ( ₌ ₌ ₊ 2 ₋ x x g f x g f D ∴ 24( )( )₌9 2₊30 ₊ x x x g f D y (D f Dg)=R

Nótese que en este último ejemplo f( xg( )) y g(f(x)) no son iguales,

x x x f D x x f D =<−∞,− 6

] [

}

= ,

[

6+∞> y (f Dg)(x)= f(g(x))= x−6 EJEMPLO

Un globo esférico de juguete se infla con helio. El radio del globo aumenta a razón de 1.5 cm/s, expresar el volumen V del globo como una función del tiempo t (en segundos)

Solución

Sea x el radio del globo. Suponiendo que al comenzar el radio es 0, entonces a los t segundos

t

x=1.5 (radio del globo a los t segundos).

Después de 1seg. el radio es 1.5cm, a los 2seg. el radio es 3.0cm, a los 3seg. es 4.5cm, etcétera.

Ahora escribimos V=4 3

3π (volumen de una esfera de radio x). x

Esto da una relación de composición de funciones en la que V es una función de x, y x es una función de t . Por sustitución,

4 3 4 _{(1.5 )}3 4 ₍27 3₎

3 3 3 8

V = π x = π t = π t

Simplificando llegamos a la siguiente formula para V como función de t :

3

9 2

(44)

EJERCICIOS RESUELTOS

3,5

∈

x . Determine f Dg, si existe.

Solución

}

=

[ ]

3,5 ∩

{

x/−6<−2x+1≤2

}

(46)

[ ]

_⎢ ⎣ ⎡ ⎢⎣ ⎡ _> >= − ∩ 2 7 , 3 2 7 , 2 1 5 , 3 Y (f Dg)(x)= f(g(x))= f(−2x+1)=3(−2x+1)+1=−6x+4 4.- Dada f(x)= x2 +3 x∈<−1,3

]

y ⎩ ⎨ ⎧ ≥ + − < + = 1 , 3 2 1 , 1 8 ) ( ₂ x x x x x x g Determine g D f Solución Llamemos g₁(x)= x8 +1 , x<1 y g₂(x)= x2 −2x+3 , x≥1 Veamos si existen g D₁ f y g D₂ f : i) Rang f( )∩Dom g( )₁ =<1,9 3

]

a b

x ∩ < −∞ >=,1 φ

Luego no existe la composición g D₁ f

ii) Rang(f)∩Dom(g₂)=<1,9

] [

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Dadas las funciones f y g definidas por: a) ⎩ ⎨ ⎧ > + − < − = 9 , 6 4 6 , 4 3 ) ( x x x x x f , ⎩ ⎨ ⎧ ≥ − < − = 3 , 6 4 3 , 5 ) ( x x x x x g b) ⎩ ⎨ ⎧ > − ≤ + − = 4 7 2 4 , 5 3 ) ( 2 x x x x x x f , ⎩ ⎨ ⎧ > − < − = 5 , 1 4 2 , 5 ) ( x x x x x g c) ( )₌2 2₋4 ₋5 x x x f , ⎩ ⎨ ⎧ ≤ < − > − = 2 3 , 2 2 , 5 2 ) ( x x x x g d) ( ) ₌ 2 ₋2 ₋1 ,₋2_< _<7 x x x x f , ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < < + − = 3 4 3 1 4 3 ) ( x x x x g

Hallar dominio, rango y gráfica de f +g, f − . g

2.- Dadas las funciones:

a) ( )₌3 2 ₋ ₋6 , _<1 x x x x f , g(x)=−x2+2x−2, x≥0 b) ( )₌ 2 ₋5 ₋7 ,2_≤ _<6 x x x x f ,g(x)= 4x−x2+5 ,−1< x<4 c) f(x)=−5x+4 ,−4< x≤5 , g(x)= x2−6x−5 ,x>1

Hallar dominio rango y gráfica de f + , g f − . g

2.2 CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

DEFINICIÓN.- (Función inyectiva o uno a uno). Se dice que una función f:A→B con dominio D es inyectiva, si para cualquier x1, x2 ∈ D

con x1 ≠ x2 se tiene que f(x1) ≠ f(x2) Es decir;

f : A → B es inyectiva si f(x1) = f(x2) con x1,x2 ∈ D implica x1 = x2

EJEMPLO

En A = {0,1, 2, 5}, B = {0, 2, 3,4, 5, }

i) f = {(0,0), (1,3), (2,4), (5,2)} es función inyectiva.

ii) f = {(1, 2), (2, 3), (5, 3), (0, 0)} no es función inyectiva.

DEFINICIÓN.- (Función sobreyectiva). Una función f: A→B es

sobreyectiva, si para todo y ∈ B, existe x ∈ A, talque f(x) = y. En otras palabras:

f : A → B es sobreyectiva si Img(f) = B

EJEMPLO

Sea A = {0,1,2,3,4}, B = {1,,4,5} y la función f : A → B, definida por

f (0) = 1, f (1) = 1, f (2) = 4, f (3) = 5, f (4) = 4

Esta función es sobreyectiva, porque Img(f) = B.

DEFINICIÓN.- (Función Biyectiva). Se dice que una función f : A → B

es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva. EJEMPLO

Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 7, 8, 9} y la función f : A→ B definida por

f(1) = 5, f (2)=7, f (3) = 8, f (8) = 9

(49)

2.3 FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y

BIYECTIVAS

2.3.1 FUNCIÓN INYECTIVA

DEFINICIÓN: se dice que una función es inyectiva (o univalente) cuando todo elemento del rango tiene un único elemento en el dominio al cual esta asociado.

Es decir

∀a,b∈Dom(f): f(a)= f(b)⇒a=b

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Una función es inyectiva si cualquier recta paralela al eje X, intersecta a la gráfico de la función en un solo punto.

EJEMPLO N°1

Figura 1 NO ES INYECTIVA, porque la recta

horizontal A intersecta a la

funcióny= f(x) en más de un punto.

ES INYECTIVA, porque la recta A

intersecta a la función y=f(x). En un sólo punto. EJEMPLO N°2 Sea ₍ ₎ 2 x x

f = , x∈<−∞,0> . Determine si la función es inyectiva.

Solución

Sean a,b∈<−∞,0>: )f(a)= f(b ⇒a2 =b2

⇒a−b=0 ∨ a+ b=0

Como a<0∧b<0⇒a+b<0, por lo tanto a=b.

(50)

EJEMPLO N°3 Dada la función 2 1 2 ) ( + − = x x x

f , x∈

[ ]

4,8 determine si esta función es

inyectiva. Solución Sean a,b∈

[ ]

4,8 2 1 2 2 1 2 ) ( ) ( : + − = + − ⇒ = b b a a b f a f ⇒(2a−1)(b+2)=(2b−1)(a+2) ⇒2ab+4a−b−2=2ab+4b−a−2 ⇒a=b

Luego f es inyectiva en su dominio

[ ]

4,8

⇒−4≤a+b−2≤4 y además: 0 ) 3 ( ) 1 (− = f =

f , sin embargo −1≠3 . Luego f no es inyectiva.

OBSERVACIÓN. Para que una función de la forma

⎩ ⎨ ⎧ = 2 1 ) ( f f x f , sea

una función inyectiva es suficiente que se verifique las dos condiciones siguientes:

i) f₁ y f₂ son inyectivas en sus dominios y

(51)

EJEMPLO N°5 Dada la función

[

⎩ ⎨ ⎧ > ∈ − > ∈< − − = 8 , 6 , 1 3 6 , 4 , 2 4 ) ( 2 x x x x x x f Determine si f es inyectiva. Solución i) Inyectividad: Sea 2( ) 2 4 1 x = x − x− f , x∈< 64, >. Tomemos 2, _∈<4,6_>: ( )₌ ( )_⇒ 2 ₋4 ₋2₌ 2 ₋4 ₋ b b a a b f a f b a ⇒(a−b)(a+b−4)=0 Pero 4<a+b−4<8, entonces a=b.

Por lo tanto f₁ es inyectiva.

Claramente f₂(x)= x3 −1es inyectiva.

ii) Como R(f₁)=<−2,10> y R(f₂)=

[

17,23> se tiene que

φ

=

∩ ( )

)

(f₁ R f₂

R . Por lo tanto f es inyectiva.

EJEMPLO N°6 Determine si la función

]

⎩ ⎨ ⎧ ≥ + − − ∈< − = 4 , 2 6 4 , 1 , 1 2 ) ( ₂ x x x x x x f Es inyectiva. Solución Llamemos f₁(x)= x2 −1 y f₂(x)=x2 −6x+2

f es inyectiva ⇔i) f₁ y f₂ son inyectivas y

ii) Rang(f₁)∩Rang(f₂)=φ

Tenemos

(52)

Sean 7( )₌ ( )_⇔( ₋3)2 ₋7₌( ₋3)2 ₋ b a b f a f ⇔a=b ∨ a+ b=6

Como a y b pertenecen al dominio de la función se tiene que a+ b≥8.

Por lo tanto se debe verificar solamente a =b

Luego f₂ es inyectiva y además Rang(f₂)=

[

−6,+∞>

Tenemos que f₁ y f₂ son inyectivas y Rang(f₁)∩Rang(f₂)≠φ, esto

nos indica que la función f no es inyectiva.

2.3.2 FUNCIÓN SOBREYECTIVA DEFINICIÓN DE APLICACIÓN

Sean A y B dos conjuntos de números reales y sea f :A→B

una función de A en B. Diremos que f es una aplicación de A en B , si Dom(f)= A.

DEFINICIÓN (Función Sobreyectiva).- Sean A y B dos conjuntos de números reales, y sea f :A→B una aplicación de

A en B.

Diremos que f es sobreyectiva ) ( ) ( , x Dom f f x B y ∈ ∃ ∈ = ∀ ⇔

En otras palabras: f es sobreyectiva ⇔R(f)= B

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA f es

sobreyectiva⇔ toda recta paralela L al Eje X corta al grafico de

f .

(53)

EJEMPLO N°8

La función f :<−2,5>→<−4,17> definida por f(x)= x3 +2 ¿Es

sobreyectiva? Solución Como x∈<−2,5>⇔−2< x<5 ⇔−6<3x<15 ⇔−4<3x−2<17 ⇔ R( f)=<−4,17> Por lo tanto f es sobreyectiva.

DEFINICIÓN.- Se dice que una función f :A→B es biyectiva si y

solamente si es inyectiva y sobreyectiva.

EJEMPLO N°9 Dada la función : 1,5 5, 1 4 8 f < > →< − − > definida por 9 ) ( − = x x x f ,

verificar que es biyectiva..

Solución i) f es inyectiva. Sean 9 9 ) ( ) ( : ) ( , − = − ⇒ = ∈ b b a a b f a f f Dom b a ⇒a(b−9)=b(a−9) ⇒a=b. Luego f es inyectiva ii) f sobreyectiva. Se tiene 9 9 1 ) ( − + = x x f , como x∈<1,5>⇔1< x<5 4 9 8< − <− − ⇔ x 8 9 9 9 4 9 − < − < − ⇔ x

(54)

⇔ 8 1 9 9 1 4 5 _<₋ − + < − x

Luego f es sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.

DEFINICIÓN.- Dada una función biyectiva f :A→B, se llama

Función Inversa de f a la función f−1:B→A y definida de la

siguiente manera: a cada b∈B se le hace corresponder el único elemento A

a∈ tal que f(a)=b y que satisface las condiciones siguientes:

i) (f −1D f)(x)=x, ∀x∈A ii) (f D f −1)(y)= y, ∀y∈B OBSERVACIÓN i) )( 1) ( f R f

Dom − = ii) R(f −1)=Dom(f)

EJEMPLO N°9 Dada la función < >→< − − > 8 1 , 4 5 5 , 1 : f definida por 9 ) ( − = x x x f .

Determine la inversa si existe. Solución

Vemos que dicha función es biyectiva, por lo tanto posee inversa −1

f esta es 1 9 ) ( 1 − = − x x x f EJERCICIOS

1.- Analizar si las siguientes funciones son inyectivas

a) f(x)= x3 −5 x∈< 52, > d)

_[

⎩ ⎨ ⎧ > − > ∈< − = 6 , 4 4 4 , 2 , 4 2 ) ( ₂ x x x x f b) ( )₌2 2 ₋4 ₊3 x x x f , x∈

[

−2,3> e)

]

[

⎩ ⎨ ⎧ > − − ∈< − = 7 , 3 3 2 , 1 , 4 2 ) ( x x x x f c) ( )₌₋ 2 ₋6 ₊3 x x x f , x∈<3,5

]

f) f(x)= 2x−6+5, x∈ 5

[

3, >

(55)

2.- Determine la inversa de las siguientes funciones si existe a) ( )₌3 2 ₋4 ₋2 x x x f , x∈< 52, > c)

_[

_]

⎩ ⎨ ⎧ ∈ + − > ∈< − = 5 , 3 , 5 3 3 , 1 , 1 2 ) ( x x x x x f b) f(x)= x4 −5 , x∈

[

2,6

]

d)

[

)

⎩ ⎨ ⎧ > ∈< − ∈ − = 9 , 6 , 2 3 6 , 4 , 4 ) ( x x x x x f

3.- Determine si las siguientes funciones dadas son inyectivas: a) Dada la función f definida por: f(x) =

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ − + < − − 3 , 3 2 3 , 3 2 x x x x determine si la función f es inyectiva.

b) Demostrar que f es inyectiva donde: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ + < − − 2 , 6 2 , 7 8 2 ) ( 2 x x x x x x x f

c) Sea f . A → <–4,1], definida por:

x x x f 2 10 3 10 ) ( + + = a) Determinar A.

b) Mostrar que f es inyectiva. c) ¿f es sobreyectiva?

4.- Determine si las siguientes funciones son inyectivas:

a) , 0 4 9 ) ( ₂ 2 ≥ − − = x x x x f b) f(x) = x2 −4,x∈<−∞,−2 > c) 2− x− x2,x∈[−2,1] EJERCICIOS RESUELTOS

1. Determine si la función f : N → N definida por f(x) = 2x es inyectiva. Solución

Sean a,b ∈ N tales que f (a) = f(b). Esto sigue que: 2a = 2b ⇒ a = b

(56)

Además f no es sobreyectiva, Pues los elementos del codominio(conjunto

de llegada) que son impares carecen de antecedente en N. Resultando que f no es biyectiva.

2. Si consideramos como codominio el conjunto P de los números naturales pares y f : N —> P talque f(x) = 2x, determine si f es sobreyectiva.

Solución

Ahora se puede demostrar que f es sobreyectiva, en efecto Dado b ∈ P existe a =

2

b ∈ N tal que f(a) = 2a = 2(

2

b ) = b

Siendo f inyectiva y sobreyectiva resulta biyectiva.

3. Se lanza una moneda tres veces. Los posibles resultados de este experimento aleatorio son todas las ternas formadas por "caras" y "sellos", o bien por “unos" y "ceros", y son las siguientes:

A = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0)} El conjunto A de todos los elementos, se llama espacio muestral asociado al experimento.

Definamos ahora la función de A en R, que asigna a cada elemento la diferencia entre el número de caras y el número de sellos. Determine si la función:

(i) es inyectiva (ii) es sobreyectiva cuya representación esta dada por:

(57)

Solución

(i) No es inyectiva, pues a 1 le corresponde la imagen de los elementos (1,0,1) y (0,1,1) '

(ii) No es sobreyectiva, pues el elemento 2 del codominio no es imagen de ningún elemento del dominio.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Dada la función f(x) = 2x — 1, determine el valor de E = 4f(2)–5f(–2)f(3) 2. Dada la función f(x) = 2x2 + 5x — 3, determine el valor de

) 2 ( ) 1 ( 3 ) 0 ( 2 ) 1 ( ) 2 ( f f f f f E = − − + −

3. Hallar los valores de a y b si f(x) = ax2 + bx + 5, si f(x + 1) = f(x) + 8x + 1 4. Si f(x) = ax + b, f (2) = 7 , f(3) = 12. Calcular f (–4)f(l).

5. En A = {1,2,3,4} se definen las funciones f = {(1,1), (2,3), (4,2), (3,3), (4,m)} y g(x) = mx2 + bx + c. Si f (1) = g(l), f(2) = 4. Hallar Rang(g). 6. En cada caso determinar a y b para que f y g sean funciones y determinarla

completamente:

f = {(1,8), (2, –3), (1, a2 + b2), (–1, a + b), (a2 + b, a), (b + a2, b)}

g = {(4, 3), (–5, –3), (4, a2 – b2), (–5, a + b), (a2 + b, a), (a2 + b2, b)}

7. Explique porque la gráfica de la ecuación x2 + y2 = 4 no es la gráfica de una función.

8. Se desea construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón rectángular que tiene dimensiones 20cm x 30cm. Para ello se recortaron cuatro cuadrados idénticos de área x2, uno en cada esquina y se doblaron hacia arriba los lados resultantes. Exprese el volumen V de la caja como una función de x.

9. Un cilindro circular recto de radio r y altura h esta inscrito en cono circular de altura 12cm y radio de la base 4cm

(a) Exprese h como una función de r.(sug.: use triángulos semejantes) (b) Exprese el volumen V del cilindro como una función de r

10. Un hombre se encuentra en un bote a 2 millas del punto más cercano A de la costa, que es recta, y desea llegar a una casa que se encuentra en el punto B de la citada costa, a 6 millas de A. El hombre piensa remar hasta un punto P entre A y B que se encuentran a x millas de la casa y luego caminar el resto. Suponiendo que puede remar a una velocidad de 3mi/h y caminar a 5mi/h, exprese el tiempo total T que le tomara llegar a la casa, como una función de x.

11. Una caja cerrada con una base cuadrada debe tener un volumen de 250cm3. El material para la base y la tapa cuesta s/3 por cm2 y el material para los

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CAPÍTULO III

LÍMITES DE FUNCIONES

3.1. DEFINICIÓN INFORMAL DE LÍMITE: Sea x0∈I = <a,b> en un

intervalo abierto y sea f una función definida en todo el intervalo excepto posiblemente en x0 y L un número real. Entonces:

L x f

x

xlim→ ₀ ( ) =

significa que f(x)puede acercarse arbitrariamente a L si x se elige

suficientemente cercano a x0 (pero x≠x0).

La frase f(x) puede acercarse arbitrariamente a L que se tiene en la definición, significa que f(x)−L se puede hacer tan pequeño como se

quiera escogiendo x lo suficientemente cercano a x0 (pero x≠x0). Por

ejemplo, tomando valores de x lo suficientemente cercanos a x0 (con

x≠x0) se puede hacer que f(x)− L <0.0001, o bien

00001 . 0 ) (x − L < f , etcétera.

En la sección siguiente se demostrara que:

1 lim 0 = → _x senx x

en donde x denota un número real que es el valor en radianes de un

Angulo. Con una calculadora se puede obtener la siguiente tabla que ilustra este importante resultado.

x x sex 1 . 0 ± 01 . 0 ± 001 . 0 ± 0001 . 0 ± 00001 . 0 ± 000001 . 0 ± 0.998334166 0999983333 0.999999833 0.999999995 1 1

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Aunque una calculadora puede usarse para tener una idea del valor de un límite, no sirve para demostrar que el límite existe. Es necesario contar con una teoría matemática precisa de los límites que no dependa de instrumentos mecánicos o de conjeturas.

La gráfica de la función f en la figura 1 muestra un caso en el que

0 lim ( )

x→x f x =L. En ella no hace falta ubicar un punto correspondiente a

0

x= porque al tomar el limite el valor de x f x no tiene ninguna ( )₀

importancia. Figura 1 EJEMPLO N°1 Sea 3 9 ) ( − − = x x x f a) Calcular lim ( ) 9 f x x→

b) Trazar la gráfica de f y comprobar gráficamente el límite en la parte (a)

Solución

a) Notemos que el número 9 no está en el dominio de f , ya que al sustituir x por 9 se llega a la expresión 0