Apuntes Cálculo Tensorial

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Apuntes de C´

alculo Tensorial

Manuel Arias Zugasti

Pedro C´ordoba Torres ´

Alvaro Guillermo Perea Covarrubias Cristina Mar´ıa Santa Marta Pastrana

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_Indice

Prefacio XI

1. Espacios vectoriales 1

1.1. Concepto de espacio vectorial . . . 1

1.1.1. Definici´on y propiedades . . . 2

1.1.2. Bases y dimensi´on . . . 4

1.2. M´etrica . . . 7

1.2.1. Espacios vectoriales normados . . . 7

1.2.2. Producto escalar . . . 8

1.2.3. Tensor m´etrico . . . 10

1.2.4. Topologa m´etrica . . . 12

1.3. Espacios Eucl´ıdeos y de Riemann . . . 12

1.3.1. Bases ortonormales . . . 13

1.3.2. Espacios no Eucl´ıdeos: espacio dual y base dual . . . . 14

1.4. Cambios de base . . . 17

1.4.1. Definici´on de cambio de base . . . 18

1.4.2. Cambios de base sobre vectores . . . 19

1.4.3. Cambios de base sobre aplicaciones lineales . . . 20

1.4.4. Ley de transformaci´on del tensor m´etrico . . . 21

1.4.5. Resumen . . . 23

1.5. Problemas . . . 23

1.5.1. Soluciones a problemas seleccionados (Tema 1) . . . 25

1.6. Bibliograf´ıa . . . 27

2. Tensores 29 2.1. Concepto de tensor . . . 29

2.1.1. Tensores en f´ısica . . . 30

2.1.2. Rango tensorial . . . 31

2.1.3. Ley de transformaci´on de tensores generales . . . 31

2.2. Magnitudes f´ısicas de rango tensorial superior . . . 32

2.2.1. Tensores de polarizabilidad y de conductividad el´ectrica . . . 32

2.2.2. Tensor de esfuerzos o de tensiones . . . 34

2.2.3. Derivaci´on de campos tensoriales . . . 38

2.3. Definici´on de tensor . . . 39

2.3.1. Espacio producto tensorial . . . 39

2.3.2. Tensores afines . . . 40

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iv ÍNDICE 2.3.3. Algebra tensorial . . . .´ 41 2.3.4. Producto tensorial . . . 41 2.4. Aplicaciones multilineales . . . 42 2.4.1. Contracción de ´ındices . . . 42 2.4.2. Producto de contracción . . . 43 2.5. Criterios de tensorialidad . . . 44 2.6. Tipos de tensores . . . 46 2.7. Problemas . . . 49

3. Densidades tensoriales 57 3.1. Ley de transformaci´on de densidades tensoriales generales . . . 59

3.1.1. Producto de densidades tensoriales . . . 60

3.2. Espacios orientables . . . 60

3.2.1. Bases ordenadas y orientaci´on . . . 61

3.3. S´ımbolo alternante de Levi-Civita . . . 63

3.3.1. Tensor alternante de Levi-Civita . . . 64

3.4. Producto vectorial en espacios tridimensionales . . . 65

3.4.1. Definici´on de producto vectorial . . . 66

3.4.2. C´alculo de vol´umenes . . . 68

3.4.3. Rotaciones infinitesimales . . . 69

3.5. Introducci´on al producto exterior de p-formas . . . . 70

3.6. Problemas . . . 72

4. Campos tensoriales 81 4.1. Variedades diferenciables . . . 82

4.1.1. Curvas y superficies . . . 83

4.1.2. Geometr´ıa intr´ınseca y extr´ınseca . . . 85

4.1.3. Ejemplos de variedades en f´ısica . . . 87

4.1.4. Diferenciabilidad y parametrizaciones . . . 91

4.1.5. Ejemplos de variedades y parametrizaciones . . . 94

4.2. Fibrados tangente y cotangente . . . 96

4.2.1. Espacio tangente a un espacio vectorial . . . 96

4.2.2. Espacio tangente de una variedad diferenciable . . . 97

4.3. El espacio vectorialRn _{en coordenadas curvil´ıneas . . . 101}

4.3.1. Base natural y m´etrica del espacio tangente . . . 102

4.3.2. Componentes f´ısicas . . . 103

4.3.3. El espacio Eucl´ıdeo R3 en coordenadas cil´ındricas . . . 106

4.3.4. El espacio Eucl´ıdeo R3 en coordenadas esf´ericas . . . 107

4.4. Problemas . . . 108

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INDICE v

5. Derivaci´on de campos tensoriales 111

5.1. Transporte paralelo . . . 111

5.1.1. S´ımbolos de Christoﬀel . . . 113

5.1.2. S´ımbolos de Christoﬀel en componentes f´ısicas . . . 116

5.1.3. Transporte paralelo de vectores y tensores . . . 117

5.1.4. Curvatura . . . 119

5.2. Derivada covariante . . . 121

5.2.1. Comportamiento tensorial de la derivada covariante . . . 124

5.2.2. Derivada covariante en componentes f´ısicas . . . 126

5.3. Vector aceleraci´on . . . 126

5.4. Problemas . . . 127

6. Operadores diferenciales habituales 131 6.1. Operadores diferenciales . . . 131

6.1.1. Gradiente covariante . . . 131

6.1.2. Divergencia covariante . . . 132

6.1.3. Rotacional covariante . . . 132

6.1.4. Laplaciano covariante . . . 133

6.2. Coordenadas curvil´ıneas ortogonales habituales . . . 133

6.2.1. Coordenadas cartesianas . . . 133

6.2.2. Coordenadas cil´ındricas . . . 135

6.2.3. Coordenadas esf´ericas . . . 136

A. Fórmulas de análisis vectorial 139 A.1. Notación . . . 139

A.2. Productos escalares y vectoriales . . . 140

A.3. Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano . . . 140

A.4. Teoremas integrales . . . 141

A.4.1. Teorema del gradiente . . . 141

A.4.2. Teorema de la divergencia . . . 141

A.4.3. Teorema del rotacional . . . 141

A.4.4. Otros teoremas integrales . . . 142

A.4.5. Identidades de Green . . . 142

Bibliograf´ıa 145

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Lista de figuras

1.1. Vectores en 2 dimensiones. . . 3

1.2. Esquema de inclusiones para espacios vectoriales normados. . . 10

2.1. El producto τ · n es la fuerza por unidad de superficie ejercida por el medio situado en el lado hacia donde apunta la normal sobre el medio situado al otro lado. . . 35

2.2. Elemento infinitesimal de medio material con forma de tetraedro. . . 36

3.1. Banda de Moebius. . . 62

4.1. Deformaci´on continua de una esfera en un cubo. . . 82

4.2. Ejemplos de variedades monodimensionales contenidas en el plano. . . 83

4.3. Ejemplos de variedades bidimensionales contenidas en R3. En la imagen central se ha representado tambi´en el plano z = 1 y en la ´ultima el plano z = 0. . . . 85

4.4. El p´endulo simple. . . 88

4.5. Plano de fases de un p´endulo simple. La trayectoria marcada en rojo (E = Es) es la separatriz entre las trayectorias cerradas (E < Es) y las abiertas (E > Es). . . 89

4.6. Isotermas de un fluido de van der Waals. Las l´ıneas rojas corresponden al fluido supercr´ıtico, las azules a la fase l´ıquida y las verdes a la fase gas. . . 90

4.7. Parametrizaci´on de una variedad diferenciable. . . 92

4.8. Compatibilidad entre coordenadas generalizadas de una variedad diferenciable. . . . 94

4.9. Part´ıcula m´ovil enR3. . . 97

4.10. Coordenadas cil´ındricas. . . 106

4.11. Coordenadas esf´ericas. . . 107

5.1. Transporte paralelo de un vector a lo largo de una curva cerrada en un plano y en una esfera. . . 113

5.2. Transporte paralelo a lo largo del circuito dyq, dyp,−dyq,−dyp en una variedad con curvatura. . . 120

6.1. Coordenadas cartesianas. . . 134

6.2. Coordenadas cil´ındricas. . . 135

6.3. Coordenadas esf´ericas. . . 137

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Lista de tablas

1.1. Comportamiento de tensores de orden≤ 2 bajo cambios de base (˜ei= C_ijej, D≡ C−1). 23

3.1. Paridad del tensor dado por el producto tensorial o de contracci´on (respecto de cualquier par de ´ındices) de dos tensores A y B. . . . 61 3.2. Dimensionalidad del producto exterior de dos vectores en funci´on de la

dimensiona-lidad (n) del espacio vectorial al que pertenecen. . . . 72

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Prefacio

Contexto y objetivos

Estos apuntes son el material básico para el estudio de la primera parte de la asignatura Métodos Matemáticos IV (primer semestre del tercer curso del Grado en F´ısica) impartido por la UNED desde el curso 2012-2013. El temario de esta parte de la asignatura es el habitual en un primer curso de cálculo tensorial para f´ısicos e incluye desde las nociones b´asicas (componentes co- y contra-variantes de vectores) hasta temas avanzados (transporte paralelo, derivada covariante y versión covariante de los operadores diferenciales habituales en coordenadas generalizadas). En la exposición se presuponen conocimientos básicos de álgebra lineal, cálculo con funciones de varias variables y también algunos conocimientos de f´ısica general (sobre todo de mecánica y también algo de electromagnetismo y termodinámica) que si bien no son necesarios para esta asignatura se emplean en algunos ejemplos y para mostrar la motivación f´ısica de esta rama de las matemáticas. Estos apuntes están especialmente orientados para estudiantes de f´ısicas. En la exposición hemos procurado complementar las definiciones formales habituales con ejemplos y explicaciones intuitivas y prácticas.

Las principales aplicaciones del cálculo tensorial en f´ısica son, a grandes rasgos, la descripción de diversas variables f´ısicas por medio de campos tensoriales (escalares, vectoriales o de rango tensorial superior). El contexto en que se definen estos campos tensoriales es generalmente una variedad dife-renciable n-dimensional sobre la que se han definido unas coordenadas generalizadas que recorren la variedad, y cuyo espacio tangente tiene estructura de espacio de Riemann (conceptos que veremos a lo largo de este curso), en particular el caso más sencillo de espacio Eucl´ıdeo tri-dimensional es especialmente frecuente e importante. Los tensores se emplean en general para describir multitud de variables en todos los campos de la f´ısica. Las aplicaciones del cálculo tensorial en relatividad son sobradamente conocidas, en ese caso los tensores se emplean también para la descripción de la curvatura de variedades diferenciables con vistas al posterior estudio de las ecuaciones de Einstein, que relacionan esta curvatura con la densidad de energ´ıa y momento presentes en la variedad. De todas formas la teor´ıa de la relatividad no es el único campo en que esta materia es importante. El estudio de campos tensoriales en coordenadas generalizadas se aplica de manera rutinaria en todas las áreas de la f´ısica basadas en teor´ıas de campos, por ejemplo este es el caso de áreas como la mecánica de fluidos (o en general la mecánica de medios continuos) o el electromagnetismo, y por tanto es de gran interés no solo en f´ısica, sino también en ingenier´ıa. Los tensores también se emplean para describir operaciones de simetr´ıa de muchos sistemas f´ısicos, lo cual es importante ya que normalmente la existencia de cierto grado de simetr´ıa en un sistema f´ısico tiene importantes consecuencias en su dinámica. Esto es especialmente importante en diversas áreas de la f´ısica, inclu-yendo desde la mecánica cuántica (con aplicaciones, p. ej., en f´ısica molecular y estado sólido) hasta termodinámica de sistemas alejados del equilibrio (p. ej., dicho análisis explica el desacoplamiento entre fuerzas y flujos generalizados de rango tensorial distinto en medios isótropos).

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xii PREFACIO

Gu´ıa de estudio

Los objetivos de esta parte del curso son, por tanto, familiarizarse con los conceptos necesarios para operar con campos tensoriales en coordenadas generalizadas en espacios de Riemann de dimen-sión arbitraria, comprendiendo el significado geométrico de los objetos y operaciones matemáticas empleados. Posiblemente el objetivo más importante de esta parte del curso sea familiarizarse con la derivada covariante, tanto en componentes hol´onomas como en componentes f´ısicas, que son las empleadas generalmente en las aplicaciones en espacios Eucl´ıdeos. Por supuesto, para entender esta parte es necesario estudiar antes algunos conceptos previos, para ello el material está distribuido de la siguiente forma:

Cap´ıtulo 1: Se presenta un repaso general de conceptos relacionados con espacios vectoriales. Se

revisan desde el punto de vista tensorial diversos conceptos ya conocidos sobre álgebra y vectores. Se define la operación de cambio de base, estudiándose su aplicación sobre tensores de hasta segundo orden. Al hacer esto se definen las componentes co- y contra- variantes, que emplearemos constantemente durante el resto del curso. En este apartado se introduce también el conocido convenio de suma de Einstein para las expresiones con ´ındices repetidos y los conceptos de ´ındice mudo o libre, cuyo uso será frecuente durante el resto del curso. El contenido de este cap´ıtulo es totalmente básico, por este motivo es muy importante com-prender bien estos conceptos. Para afianzar estas ideas se recomienda realizar la colección de problemas propuestos al final del cap´ıtulo.

Cap´ıtulo 2: Se emplean algunos ejemplos f´ısicos para justificar el uso de tensores de rango mayor

que la unidad. Se generalizan los conceptos presentados en el primer cap´ıtulo al caso de ten-sores de orden arbitrario. En este apartado es muy importante familiarizarse con el concepto de producto tensorial, tensor af´ın y producto de contracción, que son la base sobre la que trabajaremos el resto del curso. Como aplicación directa de estos conceptos es importante comprender y saber emplear los criterios de tensorialidad, introducidos en este cap´ıtulo. Co-mo ejercicio para esta parte se debe trabajar en la aplicación de cambios de base y subida y bajada de ´ındices (mencionados en el primer cap´ıtulo) sobre tensores generales (en particular deben estudiarse algunos ejemplos de rango superior a 2). Al finalizar este cap´ıtulo también debe estar totalmente dominado el uso del convenio de suma de Einstein y la manipulación de expresiones con ´ındices mudos.

Cap´ıtulo 3: El concepto de tensor definido en el cap´ıtulo 2 se generaliza aqu´ı para incluir los

pseudotensores, de gran importancia en f´ısica (p. ej. el producto vectorial, el rotacional de un campo vectorial, o el determinante del tensor métrico). En este apartado es especialmente importante comprender la definición tensorial del producto vectorial, que nos permitirá poste-riormente calcular productos vectoriales y rotacionales de campos vectoriales en coordenadas generalizadas. Como aplicación de los conceptos introducidos hasta el momento, en este tema también es especialmente importante observar que los pseudotensores se transforman como verdaderos tensores bajo cambios de base ortogonales (en particular bajo rotaciones de los ejes). Al final de este apartado se incluye una introducción más o menos intuitiva al cálculo exterior, que queda fuera del temario de esta asignatura.

Cap´ıtulo 4: Hasta este momento solo hemos hablado de tensores definidos sobre un espacio

vecto-rial. En este apartado se generaliza este concepto al espacio fibra, definido sobre una variedad diferenciable. El c´alculo con campos tensoriales era el objetivo b´asico de esta parte del curso,

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xiii

por tanto son muy importantes los conceptos de fibrado tangente y cotangente y sus bases habituales, en particular las bases definidas por las tangentes a las l´ıneas coordenadas (que dan lugar a las componentes holónomas) y la correspondiente base de vectores tangentes uni-tarios (que da lugar a las componentes f´ısicas). Como ejercicio para afianzar estos conceptos en este tema se deben estudiar ejemplos prácticos de cambios de base inducidos en los fibrados tangente y cotangente cuando se realiza un cambio de coordenadas en la variedad de partida. Los cambios de coordenadas más habituales en el espacio tridimensional Eucl´ıdeo son espe-cialmente importantes (es decir, el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cil´ındricas y esféricas), aunque también deberán considerarse otros ejemplos más complicados. Es muy importante saber distinguir entre las componentes holónomas (co- y contra-variantes) y las componentes f´ısicas, y también trabajar con ellas.

Cap´ıtulos 5 y 6: Por ´ultimo llegamos al que era el objetivo principal del curso, la derivada co-variante. Para comprender este concepto se estudia primero el transporte paralelo, ilustrado con diversos ejemplos sobre variedades con y sin curvatura, la conexión de Levi-Civita y los s´ımbolos de Christoffel. A continuación se define el concepto de derivada covariante, tanto en componentes holónomas como en componentes f´ısicas. Como ejercicio de aplicación de estos conceptos es importante estudiar la deducción de las expresiones de los operadores dife-renciales habituales en f´ısica (gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano) en coordenadas generalizadas, tanto en el caso de coordenadas generalizadas ortogonales como no ortogonales. En particular es importante el caso de las coordenadas de uso más extendido: cartesianas, cil´ındricas y esféricas.

Tras esta primera parte del curso estamos en condiciones de poder calcular las expresiones de los operadores diferenciales habituales en f´ısica en cualquier sistema de coordenadas generalizadas, tanto en el espacio tridimensional Eucl´ıdeo habitual como en variedades diferenciables con métrica de Riemann. Esto es interesante, por ejemplo, para analizar problemas de mecánica de fluidos o de electromagnetismo empleando un sistema de coordenadas adaptado a la geometr´ıa del problema (suponiendo que no haya singularidades geométricas, como esquinas o bordes, y siempre y cuando la geometr´ıa no sea demasiado complicada). Como ejercicio de aplicación de estos conceptos es interesante la programación del cálculo de las expresiones de los operadores diferenciales habituales en coordenadas generalizadas en un entorno de cálculo simbólico, aunque el escaso tiempo de que disponemos y el carácter algo avanzado de este problema lo desaconsejan, excepto para algunos estudiantes avanzados que tengan suficiente experiencia en programación.

Tras esta parte del curso estamos también en condiciones óptimas para iniciar el estudio de la segunda parte del curso: geometr´ıa diferencial, donde nos centraremos en el estudio de curvas y superficies (incluyendo temas como geometr´ıa intr´ınseca, primera y segunda forma fundamental, operador de Weingarten, etc.). El material para la segunda parte es el libro de Martin M. Lips-chultz mencionado en la gu´ıa del curso (Differential Geometry, editado por McGraw-Hill). Tras esta segunda parte del curso estaremos en condiciones de estudiar la teor´ıa general de la relatividad de Einstein, en la que todas las nociones aprendidas en este curso (y algunas más no incluidas) se emplean de manera rutinaria.

Agradecimientos

Nos gustar´ıa dejar constancia de nuestro agradecimiento hacia la Free Software Foundation y el proyecto GNU por poner a nuestra disposici´on herramientas inform´aticas gratuitas de verdadera

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xiv PREFACIO

calidad. Este documento ha sido elaborado ´ıntegramente con el procesador de textos LA_{TEX 2ε, los}

esquemas que aparecen en las figuras se han llevado a cabo o bien en LA_{TEX o bien con el programa}

de dise˜no xfig, ambos programas van incluidos en cualquier distribuci´on del sistema operativo gratuito Linux.

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Cap´ıtulo 1

Espacios vectoriales

Los espacios vectoriales son el punto de partida natural para el estudio de tensores. A continua-ción revisaremos algunos de los conceptos más importantes relativos a vectores, cuya generalización al caso de tensores será el objeto de esta parte del curso. Comenzamos revisando brevemente los conceptos de vector, espacio vectorial, normas, distancias, productos escalares, bases y aplicaciones lineales, ya estudiados en cursos anteriores. Posteriormente veremos cómo cambian las componen-tes de un vector, o de una aplicación lineal, al realizar un cambio de base en el espacio, esto nos servirá de punto de partida para definir el concepto de tensor en el próximo cap´ıtulo.

1.1. Concepto de espacio vectorial

En el lenguaje coloquial se denomina con cierta frecuencia “vector” a cualquier lista unidimen-sional de datos numéricos, con un número de elementos mayor que la unidad, dispuestos entre paréntesis y separados por comas. Desde el punto de vista matematico esto no siempre es correcto. Por ejemplo, si consideramos el conjunto de datos dados por el año en curso, la temperatura del sitio donde nos encontremos y la cotización de cualquier moneda frente al euro, es evidente que dicho conjunto de datos dif´ıcilmente podr´ıa considerarse como un vector (¿tendr´ıa algún significado aplicar una rotación sobre semejante lista de datos?). Sin embargo, la posición de un móvil en el espacio o su velocidad s´ı están dados por vectores.

⋆ ¿Qu´e es lo que distingue a un verdadero vector de un mero conjunto de datos?

Un vector es un elemento de un espacio vectorial, es decir, es un miembro de una estructura de elementos sobre los que se han definido ciertas operaciones (suma de vectores y multiplicaci´on por escalares) que tienen unas determinadas propiedades (conmutativa, asociativa, elemento neutro,

elemento opuesto) las cuales dotan al conjunto de una determinada estructura. Concretamente estas propiedades garantizan que podamos construir cualquiera de los elementos del espacio como combinación lineal de unos pocos de ellos, y que al aplicar una operación lineal (como p. ej. una rotación) sobre cualquier elemento del espacio obtenemos otro elemento del espacio. En particular cualquier elemento del espacio vectorial puede construirse como combinación lineal de un conjunto de vectores linealmente independientes, que forman una base del espacio vectorial en consideración, y se define la dimensión del espacio vectorial como el cardinal (el número de elementos) de cualquiera de sus bases. Esto es muy importante, ya que nos permite trabajar con vectores por medio de sus componentes respecto a una base cualquiera del espacio, y también nos permite describir cualquier aplicación lineal definida sobre el espacio vectorial por medio de su matriz asociada, dada por la

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2 CAP´ITULO 1. ESPACIOS VECTORIALES

acción de la aplicación lineal sobre cualquier base del espacio. Lo que diferencia a un vector (o a una matriz) de una mera “caja de números” es que los vectores son objetos geométricos pertenecientes a un espacio vectorial, de tal forma que sus componentes son las proyecciones de estos vectores sobre una determinada base del espacio, y las matrices por su parte son las proyecciones de la actuación de una determinada aplicación lineal sobre una base del espacio vectorial. Dado un vector (o una aplicación lineal) perteneciente a un cierto espacio vectorial, si aplicamos un cambio de base en el espacio el vector (o la aplicación lineal) sigue siendo el mismo, pero sus componentes cambian siguiendo una ley de transformación que está determinada por el cambio de base que hayamos aplicado, tal y como veremos en este cap´ıtulo. Es muy importante que estos conceptos queden claros, ya que son la base indispensable para comprender los tensores.

Normalmente los vectores que se emplean en f´ısica pertenecen a espacios vectoriales normados, es decir, espacios vectoriales sobre los que se ha definido una operaci´on, llamada norma, que permite medir la “longitud” de los vectores. Se entiende que esta “longitud” está medida en las unidades que tengan los vectores del espacio en consideración (p. ej. velocidad, aceleración, fuerza, campo eléctrico, . . . ), de forma que no tiene por qué ser una longitud en el sentido coloquial del término. La operaci´on norma nos permite medir la distancia que separa dos vectores cualesquiera del espacio, dada por la norma del vector diferencia. Esto nos permite juzgar si dos vectores de este espacio son próximos o no y también nos permite juzgar si una sucesión de elementos de este espacio es convergente o no, dependiendo de si la distancia entre dos elementos consecutivos de la sucesión tiende a cero. La operación distancia dota al conjunto de vectores que forma el espacio vectorial de una topolog´ıa inducida por la métrica, convirtiendo el espacio vectorial en un objeto con significado geométrico, apropiado, por ejemplo, para describir el espacio en el que nos movemos, u otros espacios con una métrica diferente y por extensión nos permite también imaginar espacios similares con un número de dimensiones diferente a las 3 a las que estamos habituados,

En el contexto de la f´ısica es habitual definir como magnitudes escalares a aquellas para cuya especificación completa basta con proporcionar su magnitud, como por ejemplo la temperatura, la masa, la carga eléctrica o el tiempo en la mecánica Newtoniana. Por oposición a las anteriores, se definen como magnitudes vectoriales a aquellas para las que es preciso especificar, además de su magnitud, una dirección y un sentido. De esta forma resulta muy natural describir como vectores la posición, la velocidad, la aceleración, o las fuerzas. Estas magnitudes f´ısicas, que nos resultan tan conocidas y naturales, hacen que el concepto de vector resulte fácil e intuitivo. También resulta intuitivo el significado de las operaciones básicas definidas sobre los vectores. Por ejemplo, si un móvil est´a en el punto A y realiza un movimiento dado por el vector B, la posici´on final del móvil est´a dada por A + B, si sobre un m´ovil se aplican simult´aneamente las fuerzas f₁ y f₂ el móvil se ve sometido a una fuerza neta dada por la suma f₁+ f₂, si estamos en el punto A y queremos ir al punto B tendremos que desplazarnos según el vector dado por la diferencia B− A.

1.1.1. Definici´on y propiedades

Los espacios vectoriales se definen siempre haciendo referencia a un cierto conjunto de escalares, es decir, de números, que se emplean para construir combinaciones lineales de vectores. En general supondremos que sobre estos escalares se han definido las operaciones aritméticas habituales (suma, resta, multiplicación y división), cuyas propiedades dotan al conjunto de escalares de una cierta estructura denominada cuerpo. Los dos casos de cuerpos de escalares m´as frecuentes son el de los números reales R y el de los números complejos C. En f´ısica es especialmente frecuente considerar espacios vectoriales definidos sobre el cuerpo de los números reales, en este curso este será el caso que consideraremos salvo que se diga lo contrario. De todas formas, a continuación incluimos las

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1.1. CONCEPTO DE ESPACIO VECTORIAL 3 A B A + B f₁ f₂ f₁ + f₂

Figura 1.1: Vectores en 2 dimensiones.

definiciones formales en el caso general abstracto de un cierto cuerpo K de escalares.

Un espacio vectorialE, sobre el cuerpo de escalares K, se define como una estructura dada por un conjunto de elementos llamados vectores (x), sobre los que se han definido las operaciones de

suma de vectores y producto por escalares:

Suma de vectores: Para cualquier pareja de vectores x e y pertenecientes aE existe un ´unico

vector z perteneciente aE dado por la suma x + y.

∀ x, y ∈ E, ∃! z = x + y ∈ E (1.1)

La operaci´on suma de vectores cumple las siguientes propiedades:

• Propiedad conmutativa

∀ x, y ∈ E, x + y = y + x (1.2)

• Propiedad asociativa

∀ x, y, z ∈ E, (x + y) + z = x + (y + z) (1.3)

• Elemento nulo: Existe un ´unico vector nulo (0) en E tal que para cualquier x de E se

cumple 0 + x = x

∃! 0 ∈ E / ∀ x ∈ E, 0 + x = x (1.4)

• Elemento opuesto: Para cualquier x de E existe un ´unico vector −x de E tal que su

suma con x es el elemento nulo

∀ x ∈ E, ∃! − x ∈ E / x + (−x) = 0 (1.5)

Producto por escalares: Para cualquier vector x perteneciente a E y cualquier escalar λ

per-teneciente al cuerpo K existe un ´unico vector perteneciente a E dado por el producto λx

∀ x ∈ E, ∀λ ∈ K, ∃! z = λx ∈ E (1.6)

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• Propiedad asociativa

∀ x ∈ E, ∀λ, µ ∈ K, λ (µx) = (λµ) x (1.7)

• Propiedad distributiva respecto de la suma de escalares

∀ x ∈ E, ∀λ, µ ∈ K, (λ + µ) x = λx + µx (1.8)

• Propiedad distributiva respecto de la suma de vectores

∀ x, y ∈ E, ∀λ ∈ K, λ (x + y) = λx + λy (1.9)

• Elemento neutro de los escalares:

∀ x ∈ E, 1x = x (1.10)

• Elemento nulo de los escalares:

∀ x ∈ E, 0x = 0 (1.11)

• Elemento opuesto de los escalares:

∀ x ∈ E, −1x = −x (1.12)

Estas propiedades garantizan que la suma de vectores responde a la idea intuitiva de composici´on de movimientos, o de fuerzas, que a todos nos resulta familiar. Dec´ıamos al principio de este apartado que el objeto de los escalares era formar vectores de como combinaciones lineales de otros vectores del espacio. Las propiedades anteriores nos garantizan que si x e y son vectores de E (x, y ∈ E) y λ y µ son escalares de K (λ, µ ∈ K) entonces la combinaci´on lineal λx + µy es un vector deE. En el apartado siguiente emplearemos esta propiedad para definir el concepto de base del espacio vectorial.

1.1.2. Bases y dimensi´on

Un conjunto de n vectores {e1, . . . , en} se dice linealmente independiente cuando es imposible

encontrar n n´umeros{λ1, . . . , λn} no todos nulos, tales que

λ1e1+ λ2e2+· · · + λnen= 0 (1.13)

y en caso contrario se dice linealmente dependiente. Veamos el significado de esta definici´on. Por un lado es obvio que la Ec. (1.13) siempre tiene la soluci´on trivial λ1 = λ2 =· · · = λn = 0; por

otra parte, si esta ecuación tiene alguna otra solución diferente de la trivial lo que sucede es que, en ese caso, podemos despejar uno de estos vectores como combinación lineal de los restantes. Si la única solución de Ec. (1.13) es la solución trivial, entonces resulta imposible despejar ninguno de los vectores{e1, . . . , en} como combinación lineal de los restantes, esto es lo que significa que el

conjunto{e1, . . . , en} sea linealmente independiente.

⋆ ¿Cu´al es el n´umero m´aximo de vectores linealmente independientes que podemos tomar en un espacio vectorial?

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1.1. CONCEPTO DE ESPACIO VECTORIAL 5

El número máximo de vectores linealmente independientes que podemos tomar en un espacio vectorial se define como la dimensión del espacio vectorial. Vamos a intentar elaborar un razona-miento más o menos intuitivo para entender este concepto.

Consideremos el caso de un conjunto formado por un ´unico vector {e1} (distinto de 0), es

evidente que este conjunto siempre es linealmente independiente. La envolvente lineal del conjunto

{e1}, definida por los vectores x ∈ E dados por

x = λ1e1 ∀λ1 ∈ R (1.14)

nos genera la recta que pasa por el origen 0 y que tiene direcci´on dada por e1. Para cualquier vector

x que pertenezca a esta recta el sistema{e1, x} es linealmente dependiente, lo que implica que x es

sencillamente proporcional a e1. Supongamos ahora un vector e2que no pertenezca a la envolvente

lineal de e1. En este caso el conjunto{e1, e2} es linealmente independiente, y la envolvente lineal

de este conjunto, definida por los vectores x∈ E dados por

x = λ1e1+ λ2e2 ∀λ1, λ2 ∈ R (1.15)

nos genera el plano que pasa por el origen y contiene a e1 y e2. Para cualquier vector x contenido en

este plano el conjunto {e1, e2, x} es linealmente dependiente, lo que indica que x puede escribirse

como combinaci´on lineal de{e1, e2}. Si a˜nadimos otro vector e3 que no pertenezca a este plano el

conjunto resultante vuelve a ser linealmente independiente, y su envolvente lineal nos da el espacio tridimensional engendrado por los vectores {e1, e2, e3}, de tal forma que cualquier vector de este

espacio puede construirse como combinaci´on lineal de{e1, e2, e3}.

En principio podr´ıamos seguir a˜nadiendo sucesivamente m´as vectores ei ∈ E linealmente

in-dependientes a todos los anteriores, pero si nuestro espacio vectorial E es de dimensi´on finita (n) llega un momento que la envolvente lineal del conjunto{e1, . . . , en}, dada por

x = λ1e1+ λ2e2+· · · + λnen ∀λ1, λ2, . . . , λn∈ R (1.16)

coincide con todo el espacio vectorial E. En ese caso resulta imposible a˜nadir ning´un elemento

en+1 ∈ E (distinto de 0) que sea linealmente independiente a todos los anteriores.

En consecuencia, dado un espacio vectorialE de dimensi´on finita n se define como base de E a cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes{e1, . . . , en}, todos ellos pertenecientes

aE y distintos de 0. La propiedad importante que define a una base es que para cualquier x ∈ E el conjunto {e1, . . . , en, x} es linealmente dependiente, lo que implica que x puede expresarse como

combinaci´on lineal de{e1, . . . , en}

∀x ∈ E x = x1_e

1+ x2e2+· · · + xnen (1.17)

y se definen los n´umeros {x1, x2, . . . , xn} como las componentes (o coordenadas) del vector x res-pecto a la base{e1, . . . , en}. Por otra parte, el cardinal del mayor conjunto de vectores linealmente

independientes que podamos tomar en el espacio vectorial E se define como la dimensión del es-pacio vectorial. En la discusión anterior hemos asumido tácitamente que el espacio vectorial E estaba definido sobre el cuerpo de los reales R, para simplificar la exposición. En un caso más general podemos repetir los mismos pasos haciendo que los n´umeros λi tomen valores en el cuerpo

K correspondiente, y el resultado final es totalmente an´alogo.

En este curso s´olo estudiaremos espacios vectoriales de dimensi´on finita. En algunos casos con-sideraremos una dimensi´on finita arbitraria (n) y en otros nos centraremos en el caso especialmente

(20)

relevante del espacio tridimensional. De todas formas conviene recordar que también existen es-pacios vectoriales de dimensi´on infinita, de gran importancia en ciertas ´areas de las matemáticas (p. ej. en análisis funcional) y también extremadamente relevantes en f´ısica, por sus aplicaciones en el estudio de ecuaciones diferenciales y en mecánica cuántica. Como ejemplo de espacio vecto-rial de dimensión infinita tenemos los espacios funcionales, es decir, espacios cuyos elementos son funciones. Por ejemplo, es muy f´acil ver que el conjunto de polinomios de una variable (x)

p(x) = a0+ a1x + a2x2+ a3x3+· · · + anxn (1.18)

cumple todas las propiedades necesarias para ser un espacio vectorial. También es muy fácil ver que las funciones xn y xm son linealmente independientes siempre que n ̸= m, esto parece indicar que podr´ıamos tomar como base de este espacio funcional al conjunto dado por las sucesivas potencias enteras de la variable x:{1, x, x2, x3, . . . , xn, . . .}. Pero en ese caso ¿cuál es el valor m´aximo de n que debemos tomar para garantizar que cualquier polinomio de x est´a incluido en la envolvente lineal de la base? Claramente ning´un valor finito de n es suficiente, por tanto la dimensi´on de este espacio vectorial es infinita. Los espacios funcionales tienen (normalmente) infinitas dimensiones, y esa circunstancia hace que en ellos aparezcan otros problemas que no aparecen en los de dimensión finita.

Volviendo a los espacios de dimensi´on finita, una propiedad interesante de las envolventes lineales de los sucesivos conjuntos de vectores que hemos ido considerando ({e1}, {e1, e2}, {e1, e2, e3}, . . . , {e1, . . . , en}), es que todas estas envolventes lineales son, a su vez, espacios vectoriales, que adem´as

están contenidos en el espacio vectorial E y por tanto se denominan subespacios vectoriales. La demostración de que la envolvente lineal de cualquier conjunto de vectores es un espacio vectorial se deja para los ejercicios. Otra propiedad importante cuya demostración se deja para los ejercicios, es que la descomposici´on de cualquier vector x como combinaci´on lineal de la base (Ec. (1.17)) es ´

unica. Por ´ultimo, dada cualquier base{e1, . . . , en} del espacio E, se dice que E se descompone en

suma directa (⊕) de los subespacios vectoriales engendrados por cada uno de los ei(con i = 1, . . . , n)

E =

n

⊕

i=1

envolvente lineal de ei (1.19)

donde la suma directa de dos subespacios vectoriales independientesE1 yE2 (es decir, cuya

inter-secci´on se reduzca al elemento nulo 0), se define sencillamente como el conjunto de vectores que pueden definirse como combinaci´on lineal de vectores de E1 y E2.

En general, dado un espacio vectorial con n dimensiones, se llama base can´onica a la formada

por los vectores

e1 ={1, 0, 0, . . . , 0} (1.20)

e2 ={0, 1, 0, . . . , 0} (1.21)

. . . . (1.22)

en={0, 0, 0, . . . , 1} (1.23)

Esta será la base que emplearemos constantemente. Uno de los temas centrales del estudio de tensores es cómo cambian las componentes de diversos objetos definidos en un espacio vectorial (vectores, aplicaciones lineales, tensor métrico, etc.) al realizar un cambio de base en el espacio, es decir, al pasar de la base canónica a otra base distinta.

(21)

1.2. M ´ETRICA 7

1.2. M´

etrica

1.2.1. Espacios vectoriales normados

El siguiente ingrediente que necesitamos para dotar al espacio vectorialE de significado geom´etri-co es definir una operaci´on distancia d(·, ·). Para ello basta con disponer de una funci´on, llamada norma ∥ · ∥, que nos permita medir la “longitud” de cada vector x de E. Una vez definida esta funci´on, la distancia entre cualquier par de vectores x, y∈ E (que denotaremos por d(x, y)) puede definirse, p. ej., como la norma del vector diferencia

∀x, y ∈ E, d(x, y) ≡ ∥y − x∥ (1.24)

Para que la función distancia se corresponda con lo que intuitivamente se entiende por distancia esta funci´on debe cumplir ciertas propiedades, como por ejemplo que la distancia de x a y debe ser igual a la de y a x, que debe ser siempre mayor o igual que cero, que debe cumplir la propiedad triangular y que la distancia de λx a 0 debe ser |λ| veces la distancia de x a 0 (para cualquier vector x ∈ E y cualquier escalar λ ∈ K, siendo |λ| el valor absoluto de λ). Como consecuencia se define la operación norma ∥ · ∥ como cualquier función definida sobre el espacio vectorial E que cumpla las siguientes propiedades

La operaci´on norma es definida positiva

∀x ∈ E, ∥x∥ ≥ 0 (1.25)

El ´unico elemento deE con “longitud” cero es el elemento nulo de E

∥x∥ = 0 si y s´olo si x = 0 (1.26) Comportamiento respecto al producto por escalares

∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, ∥λx∥ = |λ| ∥x∥ (1.27) Desigualdad triangular

∀x, y ∈ E, ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ (1.28) Una vez definida una operación norma, la distancia entre dos vectores cualesquiera del espacio puede definirse de manera natural como se ha dicho anteriormente (Ec. (1.24)), aunque esta no es la única posibilidad. En general puede tomarse como operación distancia a cualquier función que cumpla las siguientes propiedades

La operaci´on distancia es definida positiva

∀x, y ∈ E, d(x, y) ≥ 0 (1.29)

Dos vectores separados por una distancia nula son el mismo vector

d(x, y) = 0 si y s´olo si x = y (1.30)

Simetr´ıa

(22)

Desigualdad triangular

∀x, y, z ∈ E, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (1.32) En el caso particular de definir la distancia como la norma del vector diferencia (Ec. (1.24)), que es la opción más habitual, las propiedades que cumple la operación norma garantizan que la operaci´on distancia d(·, ·) cumple las propiedades anteriores. Un espacio vectorial sobre el que se ha definido una operaci´on norma se denomina espacio normado, los espacios vectoriales sobre los que se ha definido una operaci´on distancia se denominan espacios métricos.

1.2.2. Producto escalar

Una vez definida la operación distancia, el último ingrediente que necesitamos para dotar a los elementos de E de una estructura geométrica es definir una operación que nos permita medir ´

angulos, lo cual nos permitir´a definir el concepto de ortogonalidad. Para ello se introduce la funci´on producto escalar (o producto interior), que denotaremos indistintamente por

producto escalar de x por y ≡ (x, y) ≡ x · y (1.33)

Dado el espacio vectorial E sobre el cuerpo K, se define la operaci´on producto escalar (· , ·) como una funci´on definida sobreE ⊗ E con imagen en K

∀x1, x2 ∈ E, (x1, x2)∈ K (1.34)

que cumpla las siguientes propiedades

Propiedad herm´ıtica

∀x1, x2 ∈ E, (x1, x2) = (x2, x1) (1.35)

donde z es el complejo conjugado del n´umero complejo z.

Si el cuerpoK es el de los n´umeros reales esta propiedad se reduce a la relaci´on de simetr´ıa

∀x1, x2 ∈ E, (x1, x2) = (x2, x1) (1.36)

Propiedad distributiva respecto a la suma de vectores en el segundo argumento

∀x1, x2, x3 ∈ E, (x1, x2+ x3) = (x1, x2) + (x1, x3) (1.37)

de donde se deduce

∀x1, x2, x3 ∈ E, (x1+ x2, x3) = (x1, x3) + (x2, x3) (1.38)

Linealidad respecto al producto por escalares en el primer argumento

∀x1, x2 ∈ E, ∀λ ∈ K, (λx1, x2) = λ (x1, x2) (1.39)

de donde se deduce

∀x1, x2 ∈ E, ∀λ ∈ K, (x1, λx2) = λ (x1, x2) (1.40)

En el caso en que K = R esta propiedad se reduce a

(23)

1.2. M ´ETRICA 9

El producto escalar de un vector por s´ı mismo es definido positivo

∀x ∈ E, (x, x) ≥ 0 (1.42)

El ´unico vector con producto escalar por s´ı mismo nulo es el vector nulo

(x, x) = 0 si y s´olo si x = 0 (1.43)

Un espacio vectorial en el que se ha definido un producto escalar se denomina espacio dotado de producto interno. Una vez definido el producto escalar podemos definir el ´angulo (α) formado por dos vectores x e y a partir de la relaci´on

x· y ≡ ∥x∥∥y∥ cos α (1.44)

de tal forma que en el caso de un espacio vectorial definido sobre el cuerpo de los reales el producto escalar x· ei (con∥ei∥ = 1) corresponde a la proyecci´on ortogonal de x sobre la direcci´on definida

por el vector unitario ei. Si K = R y la m´etrica de E es eucl´ıdea esta definici´on de x · y se

corresponde con la definición clásica del ángulo formado por estos dos vectores. Definimos también que dos vectores son ortogonales si y sólo si su producto escalar es nulo

x⊥ y si y sólo si x · y = 0 (1.45) Las propiedades que cumple la operación producto escalar permiten definir una operación norma de manera natural por medio de

∥x∥ ≡ (x, x)1/2

(1.46) A partir de las propiedades que cumple la operación producto escalar es muy fácil comprobar que la anterior relación define una norma.

La existencia de una función producto escalar implica que podemos definir una función norma por medio de Ec. (1.46), sin embargo el rec´ıproco no es cierto. Es decir, dada una función norma no está garantizado que sea posible definir una operación producto escalar compatible con esta norma. Existen funciones norma que no provienen de (o que no son compatibles con) ningún producto escalar. No obstante los espacios vectoriales que suelen emplearse en f´ısica se caracterizan precisamente por tener funciones norma definidas a partir de un producto escalar. Este tipo de espacios vectoriales se denominan en general espacios pre-Hilbert, y se reserva la denominaci´on

espacios de Hilbert para aqu´ellos espacios que, además de tener una norma inducida por el producto escalar, son completos (o de Banach). Donde se entiende por espacio de Banach (o completo) aquel en el que para toda sucesión convergente de vectores enteramente contenida en el espacio (es decir, para toda sucesión de Cauchy), el l´ımite al que tiende la sucesión también está contenido en el espacio. Para darse cuenta del significado de esta propiedad es interesante considerar el ejemplo del espacio funcional dado por los polinomios de una variable a los que hac´ıamos referencia antes. Para ver que este espacio no es completo podemos considerar, p. ej., el desarrollo en serie de Taylor de la funci´on sen x, hasta orden N y centrado en el punto x = 0, que definimos como sN(x). Aplicando

la definici´on de desarrollo en serie de Taylor se encuentra que dicho desarrollo est´a dado por:

sN(x) = N ∑ n=0 (−1)n (2n + 1)!x 2n+1

Como es bien sabido, en el l´ımite N → ∞ este desarrollo converge uniformamente a sen x (∀x ∈ R). Para cualquier N finito este desarrollo es un polinomio, por tanto la sucesi´on {si(x)}Ni=1 (N =

(24)

Espacios Lineales Normados

Pre−Hilbert

Hilbert

Espacios de Banach

(completos)

el Producto Escalar

Norma inducida por

Figura 1.2: Esquema de inclusiones para espacios vectoriales normados.

1, 2, 3, . . . ) es convergente y est´a enteramente contenida en el espacio de los polinomios, pero el l´ımite al que tiende esta sucesi´on al hacer N → ∞ no pertenece al espacio, ya que la funci´on sen x no es un polinomio. Como consecuencia deducimos que el espacio vectorial definido por los polinomios de una variable no es un espacio completo (o lo que es lo mismo, no es un espacio de Banach).

Los espacios de Hilbert son los espacios con un significado geométrico más intuitivo y sencillo, y son los más empleados en f´ısica. Como ejemplos t´ıpicos de espacios de Hilbert con dimensión finita tenemosRnyCn(ambos con dimensi´on n), el caso de los espaciosR, R2 yR3 (con dimensión 1, 2 y 3 respectivamente) es especialmente habitual. Como ejemplo de espacio de Hilbert con dimensión infinita tenemos el espacio de LebesgueL2, formado por las funciones de cuadrado integrable.

1.2.3. Tensor m´etrico

⋆ A partir de este momento consideramos s´olamente el caso de un espacio vectorial de

dimen-si´on finita (n) definido sobre el cuerpo de los n´umeros reales R.

Consideremos el producto escalar de dos vectores cualesquiera x e y. Dada una base cual-quiera del espacio vectorial los vectores x e y est´an dados por sus correspondientes desarrollos en componentes

x = x1e1+ x2e2+· · · + xnen, y = y1e1+ y2e2+· · · + ynen (1.47)

Aplicando las propiedades de linealidad del producto escalar, x· y puede ponerse como

x· y = n ∑ i=1 n ∑ j=1 gijxiyj (1.48)

donde hemos definido el tensor m´etrico gij como la tabla de todos los productos escalares de los

vectores de la base

(25)

1.2. M ´ETRICA 11

Más adelante veremos por qué denominamos tensor a la lista de productos escalares que hemos definido como gij, lo que debe quedar claro de momento es que gij contiene toda la información

necesaria para calcular el producto escalar de cualquier par de vectores del espacio en consideración. Por otra parte, en el caso de un espacio vectorial sobre los reales es evidente que el tensor métrico debe ser simétrico

gij = gji (1.50)

ya que en ese caso se cumple ei· ej = ej · ei (∀i, j, ver Ec. (1.36)).

Convenio de Suma de Einstein

Al manejar tensores aparecen con mucha frecuencia expresiones como Ec. (1.48), donde se realiza la suma de una expresión dependiente de uno o m´as ´ındices (aqu´ı i y j) para todos los valores posibles de los mismos (es decir, desde 1 hasta la dimensi´on del espacio n). El convenio de suma de Einstein es un método muy extendido para simplificar la escritura de este tipo de fórmulas, consiste en asumir que:

⋆ cualquier monomio donde aparezca un ´ındice repetido representa la suma del monomio res-pecto al ´ındice repetido, para todos los valores posibles del ´ındice.

Aplicando el convenio de suma de Einstein el desarrollo de un vector en componentes (Ec. (1.17)) se escribe como

x = xiei (1.51)

y el producto escalar x· y (Ec. (1.48)) puede escribirse sencillamente como

x· y = gijxiyj (1.52)

donde los sumatorios respecto de i y j se sobreentienden.

En la anterior expresi´on los ´ındices i y j se denominan ´ındices mudos ya que el resultado no depende de los s´ımbolos empleados para denominar estos ´ındices

gijxiyj = gpqxpyq= gαβxαyβ = g11x1y1+ g12x1y2+· · · + g21x2y1+· · · + gnnxnyn (1.53)

(siendo n la dimensi´on del espacio vectorial).

Por el contrario, se denominan ´ındices libres a aquellos respecto de los que no se realiza la suma. En los dos ejemplos anteriores todos los ´ındices eran mudos, sin embargo en la expresi´on

Ai_jxj = yi (1.54)

el ´ındice j es mudo pero el ´ındice i es libre. La expresi´on anterior representa la componente i del vector y, resultante de aplicar la aplicaci´on lineal A (con matriz asociada Ai_j) sobre el vector x (con componentes xj), es decir, la expresi´on anterior es el desarrollo en componentes de A(x) = y. En dicha expresi´on no hay ning´un monomio en el que el ´ındice i est´e repetido, esto nos indica que no se realiza la suma respecto del ´ındice i, y por tanto el resultado de esta operaci´on depende del valor que asignemos a este ´ındice (para i = 1 obtenemos la componente y1, para i = 2 la componente y2, etc.).

En las expresiones anteriores algunos ´ındices son sub-´ındices y otros super-´ındices, y puede apreciarse que siempre que aparece un ´ındice repetido ´este aparece 1 vez como sub-´ındice y 1 vez como super-´ındice. Como veremos a continuaci´on esto no es fruto de la casualidad, sino que

(26)

responde a un formalismo que emplearemos extensivamente a lo largo del curso. El uso de sub´ındices y super´ındices no es arbitrario, responde a los dos tipos de comportamiento tensorial frente a cambios de base que existen (covariante y contravariante), tal y como veremos al final de este cap´ıtulo.

A partir de este momento supondremos que se aplica el convenio de suma de Einstein para cualquier expresi´on en la que aparezca un monomio con ´ındices repetidos, a menos que se diga expl´ıcitamente lo contrario.

1.2.4. Topologa m´etrica

La operación distancia induce en el espacio vectorial una topolog´ıa, dada por la topolog´ıa métrica. Es decir, una vez definida la operaci´on distancia d(·, ·) sobre el espacio vectorial, podemos definir el conjunto de bolas abiertas (con radio r) en torno a cualquier punto x de E, como el conjunto de puntos y ∈ E tales que d(x, y) < r. Existen muchos ejemplos de normas y de distancias diferentes, cada uno de estos ejemplos genera una topolog´ıa diferente en el espacio. El ejemplo más habitual es el de la m´etrica eucl´ıdea, en el que definimos como distancia entre x e y a la longitud de la l´ınea recta que une estos puntos.

1.3. Espacios Eucl´ıdeos y de Riemann

En general se llama métrica Riemanniana a cualquier métrica definida a través de la norma inducida por un producto escalar dado por un tensor m´etrico gij que cumpla las dos propiedades

siguientes:

simetr´ıa: gij = gji

invertibilidad: det gij ̸= 0

Los espacios dotados de una m´etrica Riemanniana se llaman espacios de Riemann o Riemannianos. Un caso particular de estos espacios son los espacios Eucl´ıdeos, definidos por la m´etrica Eucl´ıdea habitual. En un espacio Eucl´ıdeo la distancia entre los puntos x e y est´a dada por la longitud de la l´ınea recta que une estos puntos, cuyo valor en un sistema de coordenadas cartesianas puede calcularse por medio del teorema de Pit´agoras, que para un espacio n-dimensional toma la forma

d(x, y) =

√

(y1− x1₎2_{+ (y}2− x2₎2₊· · · + (yn− xn₎2 _(1.55)

o lo que es lo mismo, el elemento diferencial de longitud (ds) est´a dado (en n dimensiones) por

(ds)2 =(dx1)2+(dx2)2+· · · + (dxn)2 (1.56) donde xi, yi son las proyecciones de x e y sobre n direcciones mutuamente perpendiculares. To-mando n = 3 recuperamos las expresiones familiares, correspondientes al espacioR3 habitual.

El producto escalar que induce esta m´etrica es el producto escalar habitual, dado por

x· y = x1y1+ x2y2+· · · + xnyn (1.57) y corresponde al caso particular en el que el tensor m´etrico est´a dado por la matriz identidad

(27)

1.3. ESPACIOS EUCL´IDEOS Y DE RIEMANN 13

donde se define la delta de Kronecker en su versi´on 2-covariante (δij) como:

δij =

{

1 si i = j

0 si i̸= j (1.59)

An´alogamente se define la delta de Kronecker en sus versiones 2-contravariante (δij) y 1-covariante 1-contravariante (δ_ij), respectivamente, como:

δij = { 1 si i = j 0 si i̸= j (1.60) δ_ji = { 1 si i = j 0 si i̸= j (1.61)

En general se define como espacio Eucl´ıdeo a cualquier espacio Riemanniano en el que existe al menos una base tal que el tensor m´etrico en esa base est´a dado por la delta de Kronecker. Los espacios Riemannianos en los que no existe ninguna base en la que gij sea la identidad se dicen no

Eucl´ıdeos. En general, dependiendo de la base que tomemos el tensor m´etrico puede dejar de ser la identidad incluso si el espacio es Eucl´ıdeo (esto es lo que sucede si tomamos como base un conjunto de vectores que no sean mutuamente ortogonales).

1.3.1. Bases ortonormales

En los espacios Eucl´ıdeos se definen las bases ortonormales como aquellas en las que el tensor m´etrico es la identidad. Como puede verse, la propiedad que caracteriza a las bases ortonormales es que todos los vectores de la base tienen longitud unidad (est´an normalizados) y son mutuamente perpendiculares

ei· ej = δij; i, j = 1, . . . , n (1.62)

Multiplicando escalarmente el desarrollo en componentes de un vector cualquiera (Ec. (1.17)) por ej y recordando las relaciones de ortogonalidad Ec. (1.62), encontramos que la componente xj

del vector x respecto de una base ortonormal est´a dada por

xj = (ej, x) ; j = 1, . . . , n (1.63)

por tanto xj = ∥x∥ cos α (siendo α el ´angulo formado por x y ej), es decir, xj es la proyecci´on

ortogonal de x sobre la direcci´on definida por ej. En el caso de una base ortornormal las

compo-nentes de un vector est´an, por tanto, dadas por las correspondientes proyecciones ortogonales del vector sobre cada uno de los elementos de la base.

M´etodo de ortonormalizaci´on de Gram-Schmidt

Dada una base cualquiera de un espacio Eucl´ıdeo, el m´etodo de ortonormalizaci´on de Gram-Schmidt es un procedimiento muy sencillo que permite construir una base ortonormal a partir de la base de partida. Supongamos que tenemos una base cualquiera dada por los vectores{t1, t2, . . . , tn},

(28)

siguiendo el m´etodo de ortonormalizaci´on de Gram-Schmidt definimos:

e1 = t1 ∥t1∥ , t′₂ = t2− (e1, t2) e1, e2 = t′₂ ∥t′ 2∥ , t′₃ = t3− (e1, t3) e1− (e2, t3) e2, e3 = t′₃ ∥t′ 3∥ , . . . . . . . . . . . . t′_n= tn− n−1 ∑ i=1 (ei, tn) ei, en= t′_n ∥t′ n∥ (1.64)

De esta forma vamos construyendo una base ortonormal de forma sucesiva, restando a cada uno de los tj su proyecci´on sobre el subespacio generado por todos los ei anteriores (i = 1, . . . , j− 1) y

posteriormente normalizando. Dejamos para los ejercicios la demostraci´on de que este procedimiento genera una base ortonormal. Dado que los ei generados por este mecanismo son ortonormales,

tambi´en son linealmente independientes, y como son combinaci´on lineal de los ti de partida y el

cardinal de la base es el mismo, deducimos que la envolvente lineal de los ei coincide con la de la

base de partida.

1.3.2. Espacios no Eucl´ıdeos: espacio dual y base dual

Según hemos visto previamente, siempre es posible escribir un vector como combinación lineal de los vectores de una base cualquiera, independientemente de si el espacio es Eucl´ıdeo o no. Si el espacio es Eucl´ıdeo y se emplea una base ortonormal las componentes de un vector están dadas por las correspondientes proyecciones ortogonales del vector sobre cada uno de los elementos de la base. En el caso general de un espacio vectorial no necesariamente Eucl´ıdeo ¿cómo se definen las componentes de un vector? Para responder esta pregunta es necesario introducir los conceptos de espacio dual y base dual.

Dado el espacio vectorial E sobre el cuerpo de los reales, el conjunto de aplicaciones lineales (a⋆) definidas sobre E con imagen en R

a⋆ : x → a⋆(x)∈ R (1.65)

tiene a su vez estructura de espacio vectorial y recibe el nombre de espacio dualE⋆. En espacios de dimensi´on finita (y en general en espacios de Hilbert) el espacio dual es isomorfo al espacio vectorial de partida. En este caso se deduce el teorema de Riesz-Fr´echet, seg´un el cual

⋆ dada la aplicaci´on lineal a⋆ del espacio dual E⋆ (a⋆ ∈ E⋆), existe un ´unico vector a del espacio E (a ∈ E) tal que el resultado de aplicar a⋆ sobre x (denotado por a⋆(x)) coincide

con el producto escalar a· x

∀a⋆ _{∈ E}⋆_, _{∃!a ∈ E / a}⋆_{(x) = (a, x) = a}_{· x} _(1.66)

El teorema de Riesz-Fréchet permite identificar, por medio de un isomorfismo, cada elemento de un espacio vectorial con un elemento del espacio dual, de la manera que acabamos de indicar (a⋆(x) = (a, x)). Por su propia definici´on está claro que el isomorfismo que asocia la aplicación

(29)

1.3. ESPACIOS EUCL´IDEOS Y DE RIEMANN 15

lineal a⋆ de E⋆ con el vector a de E (y viceversa) depende del producto escalar que estemos considerando en E, de modo que distintos productos escalares nos llevar´ıan a asociar elementos distintos.

Una vez definido el espacio dual E⋆ podemos considerar el espacio de las aplicaciones lineales definidas sobreE⋆_{, es decir, el dual del dual de}_{E. En este caso se puede comprobar que el dual del}

dualE⋆⋆ es isomorfo al espacio de partidaE, y que el isomorfismo que relaciona cada elemento de E⋆⋆_{con uno de}_{E es independiente de cu´al sea el producto escalar que estemos considerando en E,}

motivo por el cual este isomorfismo se denomina isomorfismo can´onico. Como resultado tenemos

que el espacio E⋆⋆ coincide con el espacio de partida E, independientemente del producto escalar considerado.

Volvamos ahora a la cuesti´on del c´alculo de las componentes de vectores en bases no ortonorma-les. Dado un vector x deE y una base cualquiera {ei}ni=1, la aplicaci´on que genera la componente xi

de x respecto de esta base es una aplicaci´on lineal, que llamaremos ei, de forma que la componente

xi _{de x est´}_{a dada por el resultado de aplicar e}i _{sobre dicho vector}

ei(x) = xi (1.67)

Como ei es una aplicaci´on lineal, ei pertenece al espacio dual E⋆.

⋆ ¿C´omo sabemos que la aplicaci´on que define cada componente i de un vector respecto a una base arbitraria es, necesariamente, una aplicaci´on lineal?

A primera vista esta afirmación podr´ıa parecer arbitraria, sin embargo es totalmente natural. La aplicación que genera las componentes de un vector respecto de una base cualquiera debe ser una aplicación continua y diferenciable. Esto es necesario si queremos que las componentes de cualquier vector var´ıen de forma continua y diferenciable al variar el vector de forma continua y diferenciable. También parece lógico exigir que el vector nulo tenga todas sus componentes nulas, independientemente de la base considerada. Por otra parte, también exigimos que las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalares puedan calcularse componente a componente en cualquier base. El resultado de estas condiciones es que la aplicación que produce la componente del vector x respecto del elemento ei de cualquier base tiene que ser necesariamente una aplicación

lineal, que denotamos por ei. Aplicando ahora el teorema de Riesz-Fréchet, para cada aplicación lineal ei ∈ E⋆ existe un ´unico vector ei ∈ E tal que xi = ei(x) está dado sencillamente por el producto escalar xi _{= e}i_{· x.}

El conjunto de aplicaciones lineales que nos dan las componentes xi respecto de una base cualquiera {ei}ni=1 son linealmente independientes y forman, por tanto, una base del espacio dual,

llamada base dual, dada por {ei_}n

i=1. Claramente la base dual cumple

ei(ej) = (ei, ej) = δji, i, j = 1, . . . , n (1.68)

independientemente de si la m´etrica de este espacio es Eucl´ıdea o no, e independientemente de si la base {ei}ni=1 es ortogonal o no. Dado que el espacio dual es isomorfo al espacio de partida, la

base {ei_}n

i=1 del espacio dual tambi´en es base del espacio de partida.

⋆ ¿Por qu´e cumple la base dual la relaci´on ei(ej) = δji?

Seg´un hemos visto, dada una base {ei}ni=1 cualquier vector del espacio puede expresarse como

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luego también pueden desarrollarse en términos de la base. Consideremos el primero de los vectores de la base (e1). Lógicamente, el desarrollo de este vector en términos de la base de la que forma

parte est´a dado por el mismo vector: e1, de modo que su coordenada respecto a e1 es la unidad

y sus coordenadas respecto a todos los vectores de la base restantes son nulas. Recordando que

ei(ej) representa la componente i del vector j de la base {ei}ni=1 y repitiendo el razonamiento

anterior vemos que esta componente ser´a la unidad para i = j y nula ∀i ̸= j, de donde se deduce la importante relaci´on ei(ej) = δ_ji. Dicha expresi´on nos permitir´a en el futuro calcular la base dual

a cualquier base dada, as´ı como el desarrollo en componentes de cualquier vector del espacio. Como consecuencia, en un espacio vectorial E (no necesariamente Eucl´ıdeo), dada una base cualquiera ({ei}ni=1) existe otra base, llamada base dual ({ei}ni=1), tal que ei· ej = δij. Proyectando

entonces el desarrollo en componentes de x (Ec. (1.17)) sobre la direcci´on ej de la base dual y aplicando las relaciones Ec. (1.68), encontramos que la componente xi de x respecto de {ei}ni=1

está dada por la proyecci´on ortogonal de x sobre el vector ei de la base dual. En general la base dual de una base dada cualquiera será otra base distinta. En el caso particular de un espacio vectorial Eucl´ıdeo, cuando se usa una base ortonormal se da la circunstancia excepcional de que la base dual coincide con la base de partida. Normalmente esto no se cumplirá, en el caso general la base dual a una base dada será diferente de la base dada. Más adelante veremos cómo calcular cada una de estas bases cuando se conoce la otra.

Dejamos para los ejercicios la demostraci´on de las siguientes propiedades importantes: la base dual siempre existe y es ´unica; si {ei}n_i=1 es la base dual de {ei}ni=1, entonces {ei}ni=1 es la base

dual de{ei}n_i=1(es decir, el dual del dual nos devuelve a la base de partida).

Normalmente emplearemos sub´ındices para numerar los vectores de la base de partida, y su-per´ındices para numerar los vectores de la base dual. Como ya se ha mencionado, el uso de sub-y super-´ındices no es arbitrario, sino que corresponde a los comportamientos co- sub-y contra-variante de estos objetos al aplicar un cambio de base, tal y como veremos a continuaci´on.

Tensor m´etrico: relaci´on entre una base y su dual

Aplicando que el espacio dual es isomorfo al espacio de partida hemos identificado los vectores de la base dual con vectores del espacio de partida, en el sentido del teorema de Riesz-Fréchet (Ec (1.66)). Dado que son vectores del mismo espacio, entonces podemos escribir los vectores de la base dual como combinación lineal de los vectores de la base, escribimos esta combinación lineal como

ei = gijej (1.69)

Nos queda por determinar cu´ales son las componentes de este objeto gij. Para ello basta con sustituir en la propiedad que define a la base dual (Ec. (1.68)), de donde deducimos

gikgkj = δji (1.70)

por tanto la matriz gij es sencillamente la inversa del tensor m´etrico gij (recordar que en espacios

Riemannianos el tensor m´etrico siempre es invertible det gij ̸= 0). Por tanto, la inversa del tensor

m´etrico aplicada sobre la base de partida nos genera la base dual. Esta relaci´on nos indica de forma trivial que en el caso de un espacio Eucl´ıdeo, la base dual de una base ortonormal coincide con ella misma. Por otra parte, sustituyendo este desarrollo (Ec. (1.69)) en ei_{· e}j _{es inmediato demostrar}

que