Teorema de Seifert-Van Kampen y algunas aplicaciones

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(1)El Teorema de Seifert-Van Kampen y Algunas Aplicaciones Edgar Carballo Domı́nguez. Director de tesis: Dr. Rafael Roberto Ramos Figueroa. 1.

(2) Universidad de Sonora Repositorio Institucional UNISON. Excepto si se señala otra cosa, la licencia del ítem se describe como openAccess.

(3) Índice 1. Introducción 2. Teorı́a de Homotopı́a Elemental 2.1. Homotopı́a de Trayectorias . . . . . 2.2. Homotopı́a de Aplicaciones . . . . . 2.3. El Grupo Fundamental del Cı́rculo 2.4. Retractos y Aplicaciones . . . . . .. 2. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 3. Grupos Libres y Productos Libres de Grupos 3.1. Producto Débil de Grupos Abelianos . . . . . . . . . 3.2. Grupos Abelianos Libres . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Producto Libre de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Grupos Libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Presentación de Grupos por Generadores y Relaciones. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. 4 4 16 34 40. . . . . .. 45 45 52 66 74 80. 4. El Teorema de Seifert y Van Kampen sobre el Grupo Fundamental de la Unión de Dos Espacios. Aplicaciones 90 4.1. Enunciado del Teorema de Seifert y Van Kampen . . . . . . . 90 4.2. Primera Aplicación del Teorema de Seifert y Van Kampen . . 95 4.3. Segunda Aplicación del Teorema de Seifert y Van Kampen . . 105 4.4. Estructura del Grupo Fundamental de una Superficie Compacta108 4.5. Prueba del Teorema de Seifert y Van Kampen . . . . . . . . . 126.

(4) 1.. Introducción. Uno de los principales problemas de la topologı́a es saber cuándo dos espacios topológicos no son homeomorfos, lo cual en general es muy difı́cil, pues, para demostrar que dos espacios topológicos son homeomorfos hay que encontrar tan sólo un homeomorfismo, pero al contrario, para demostrar que no lo son, hay que demostrar que no existe un homeomorfismo, y es imposible revisar cada función y decidir si es un homeomorfismo. Podemos en cambio, encontrar propiedades topológicas, es decir, propiedades de un espacio topológico que se conserven bajo homeomorfismos, entre las que tenemos: Conexidad, compacidad, medibilidad, los axiomas de numerabilidad y separación, etcétera, podemos usar esto para saber que la bola cerrada no es homeomorfa a la bola abierta y que ésta no es homeomorfa a la unión disjunta de dos bolas abiertas. Esta lista de propiedades topológicas no es suficiente, pues si revisamos cada una de ellas ninguna nos distingue entre la esfera y el toro que sabemos por intuición que no pueden ser homeomorfos. La topologı́a algebraica nos da nuevas propiedades topológicas que, mediante el álgebra nos hacen distinguir la esfera del toro. La intención de esta tesis es introducir al lector la topologı́a algebraica, y presentarle el primer grupo de homotopı́a o grupo fundamental y que aprecie la importancia de éste. Esta tesis esta separada en 3 secciones. La primera, posiblemente la parte más topológica, nos presenta el grupo fundamental, y algunas otras definiciones como homotopı́a y por supuesto algunos resultados sobre ellos, esta sección es para presentar al lector las herramientas topológicas con que se va a trabajar. La segunda sección es puramente algebraica y se estudian los grupos libres, que como veremos, además de ser interesante por sı́ misma, nos va a ser de gran ayuda en la última sección que es la central en esta tesis como el tı́tulo indica; esta sección la dedicamos al teorema de Seifter-Van Kampen que nos dice cómo es la estructura de los grupos fundamentales de muchos espacios topológicos y como aplicación calcularemos los grupos fundamentales del toro, el doble toro, etc., ası́ como el plano proyectivo, la botella de Klein y sumas conexas de éstos. Suponemos que el lector esté familiarizado con conceptos básicos de topologı́a general, como continuidad, compacidad, conexidad por trayectorias, espacios producto y cociente y en algunos mometos se hace referencia a los. 2.

(5) axiomas de separación. También el lector debe estar familiarizado con el concepto de grupo, subgrupo, subgrupo normal.. 3.

(6) 2.. Teorı́a de Homotopı́a Elemental. Este capı́tulo de este trabajo está basado principalmente en [3], excepto la sección 2.3 que fue basada en [4] y en [5]. I denoterá al intervalo cerrado [0, 1].. 2.1.. Homotopı́a de Trayectorias. A través de este trabajo llamaremos aplicación a una función continua. Definición 2.1. Si X es un espacio topológico y σ : I → X es una aplicación, entonces llamaremos a σ una trayectoria, si además σ (0) = σ (1) = x0 entonces le llamamos lazo en x0 . Definición 2.2. Sean τ, σ : I → X trayectorias tales que σ (0) = τ (0) = x0 σ (1) = τ (1) = x1 decimos que τ y σ son homotópicos con puntos extremos fijos denotado por σ ≈ τ rel {0, 1} o bien σ ≈rel{0,1} τ si existe una aplicación F : I × I → X tal que para cualquier s, t ∈ I F F F F. (s, 0) = σ (s) (s, 1) = τ (s) (0, t) = x0 (1, t) = x1. Figura 1: En este caso llamamos a F homotopı́a de σ a τ y podemos denotarlo F : σ ≈rel{0,1} τ . 4.

(7) 2.1. Homotopı́a de Trayectorias. Intuitivamente, una trayectoria σ : I → X se dice que es homotópica relativa al {0, 1} a τ si se puede deformar continuamente una en la otra dejando sus puntos extremos fijos. Al ir variando s, dejando fijo t = t0 , observamos que la imagen de F nos va “pintando” una curva en el espacio topológico X representando el instante en el tiempo t = t0 , como si hubieramos tomado una fotografı́a; recı́procamente, si dejamos fijo s = s0 y vamos variando t en el intervalo I, la imagen de F nos “pinta” la trayectoria de una partı́cula o punto de la curva mientras ésta se deforma. Enunciaremos ahora un pequeño lema sobre continuidad en la unión de espacios topológicos que nos va a ser de gran ayuda en el resto de este capı́tulo. Lema 2.3. Sea X = A∪B donde A y B son cerrados en X. Sean f : A → Y y g : B → Y funciones continuas tales que para toda x ∈ A ∩ B se tiene que f (x) = g (x) entonces podemos definir h : X → Y tal que f (x) si x ∈ A h (x) = g (x) si x ∈ B y además h es continua en X. Al lema anterior se le conoce como el lema de pegado, cuya prueba puede ser encontrada en [5] p.123. Proposición 2.4. La relación ≈rel{0,1} es de equivalencia. Demostración. Sean σ,τ, ρ : I → X trayectorias en X tales que σ (0) = τ (0) = ρ (0) = x0 σ (1) = τ (1) = ρ (1) = x1 Probaremos primero la propiedad reflexiva, sea F : I × I → X definida por F (s, t) = σ(s) entonces F es una homotopı́a de σ a σ pues F F F F. (s, 0) = σ (s) (s, 1) = σ (s) (0, t) = σ (0) = x0 (1, t) = σ (1) = x1 5.

(8) 2.1. Homotopı́a de Trayectorias. ası́ F : σ ≈rel{0,1} σ. Probemos la simetrı́a; supongamos que F : σ ≈rel{0,1} τ . Sea G : I×I → X tal que G (s, t) = F (s, 1 − t) entonces G (s, 0) = F (s, 1) = τ (s) G (s, 1) = F (s, 0) = σ (s) G (0, t) = F (0, 1 − t) = x0 G (1, t) = F (1, 1 − t) = x1 con lo cual G : τ ≈rel{0,1} σ. Por último, para probar la transitividad supongamos que F : σ ≈rel{0,1} τ y G : τ ≈rel{0,1} ρ; Definimos la función H : I × I → X por F (s, 2t) si 0 ≤ t ≤ 12 H (s, t) = G (s, 2t − 1) si 12 ≤ t ≤ 1. Figura 2: Entonces H es continua pues F (s, 1) = τ (s) = G (s, 0) y las homotopı́as F, G son continuas, por el lema 2.3 H es continua y satisface H (s, 0) = F (s, 0) = σ (s) H (s, 1) = F (s, 1) = ρ (s) H (0, t) = x0 H (1, t) = x1 6.

(9) 2.1. Homotopı́a de Trayectorias. Figura 3: entonces H : σ ≈rel{0,1} ρ. Ya probado esta proposición 2.4 podemos hablar de sus clases de equivalencia, a las que les llamaremos clases de homotopı́a. Definición 2.5. Sean σ, τ : I → X trayectorias en X tal que σ (0) = x0 , σ (1) = τ (0) = x1 , τ (1) = x2 . Definimos σ (2t) si 0 ≤ t ≤ 12 στ (t) = τ (2t − 1) si 12 ≤ t ≤ 1 Proposición 2.6. Si F : σ ≈rel{0,1} σ 0 y G : τ ≈rel{0,1} τ 0 entonces στ ≈rel{0,1} σ0τ 0. Demostración. Gráficamente tenemos la siguiente situación. Figura 4: Definimos H : I ×I → X motivada por la figura 5, de la siguiente manera  si 0 ≤ s ≤ 21  F (2s, t) H (s, t) =  G (2s − 1, t) si 12 ≤ s ≤ 1 7.

(10) 2.1. Homotopı́a de Trayectorias. Figura 5: H está bien definida pues F (1, t) = x1 = G (0, t) y por el lema 2.3 es continua. Además  si 0 ≤ s ≤ 21  σ (2s, t) H (s, 0) = = στ (s)  1 τ (2s − 1, t) si 2 ≤ s ≤ 1  0 si 0 ≤ s ≤ 12  σ (2s, t) = σ 0 τ 0 (s) H (s, 1) =  0 1 τ (2s − 1, t) si 2 ≤ s ≤ 1 H (0, t) = x0 H (1, t) = x2 Entonces ası́ que H : στ ≈rel{0,1} σ 0 τ 0 . Véase figura 5. Teorema 2.7. Sea π1 (X, x0 ) el conjunto de las clases de homotopı́a de lazos en X con punto base x0 , con la operación [σ] [τ ] = [στ ]. Entonces π1 (X, x0 ) es 8.

(11) 2.1. Homotopı́a de Trayectorias. un grupo con elemento neutro [x0 ] y el inverso de [σ] es [σ −1 ] donde σ −1 (s) = σ(1 − s) Entonces π1 (X, x0 ) se llama grupo fundamental de X en x0 . Demostración. Veamos que el producto está bien definido. Sean [σ] , [τ ] ∈ π1 (X, x0 ), σ ≈rel{0,1} σ 0 y τ ≈rel{0,1} τ 0 . Por la proposición 2.6 στ ≈rel{0,1} σ 0 τ 0 entonces [στ ] = [σ 0 τ 0 ]. Ahora mostremos que [σ] [σ −1 ] = [x0 ]. Consideremos la figura 6 y vamos a hacer lo siguiente, para cada t0 ∈ [0, 1] fijo, definimos la trayectoria  σ (2s) si 0 ≤ s ≤ t20      0 σ 2 t20 si t20 ≤ s ≤ 2−t F (s, t0 ) = 2      −1 0 σ (2s − 1) si 2−t ≤s≤1 2 Note que por la simetrı́a de la figura 6 tenemos que σ (2s)| t0 = σ −1 (2s − 1)| 2−t0 2 2 para cada t0 ∈ I.. Figura 6: Entonces obtenemos la homotopı́a  σ (2s) si 0 ≤ s ≤ 2t      σ (t) si 2t ≤ s ≤ 2−t F (s, t) = 2      −1 σ (2s − 1) si 2−t ≤s≤1 2 9.

(12) 2.1. Homotopı́a de Trayectorias. Ahora F está bien definida pues σ 2 2t = σ (t) σ −1 2. 2−t 2. . − 1 = σ −1 (1 − t) = σ (t). y por el lema 2.3 son continuas, veamos que es la homotopı́a buscada de x0 a σσ −1 F (s, 0) = σ (0) = x0 (s) F (s, 1) =. σ (2s) si 0 ≤ s ≤ 21 = σσ −1 (s) σ −1 (2s − 1) si 12 ≤ s ≤ 1. F (0, t) = σ (0) = x0 F (1, t) = σ −1 (1) = x0 Entonces [x0 ] = [σσ −1 ], análogamente [x0 ] = [σ −1 σ] y concluimos que [σ] = [σ −1 ] . Ahora mostramos la asociatividad. Sean [σ] , [τ ] , [ω] ∈ π1 (X, x0 ); para cada t0 ∈ [0, 1] fijo, debemos demostrar que (στ ) ω ≈ σ (τ ω) rel{0,1} . Separemos a [0, 1] en tres intervalos, le corresponderán a σ, τ, ω en los subinter t0 +1 t0 +2 los tque t0 +1 0 +2 valos 0, 4 , 4 , 4 , 4 , 1 respectivamente, véase figura 7. Ahora encontraremos tres homeomorfismos que manden su respectivo subintervalo al intervalo [0, 1] preservando la orientación. Para σ queremos que para cada t0 ∈ I fijo t0 + 1 0, → [0, 1] 4 entonces para cada s ∈ 0, t04+1 −1. s 7→. s t0 +1 4. =. 4s t0 + 1. Para τ queremos que para cada t0 ∈ I fijo t0 + 1 t0 + 2 1 , → 0, → [0, 1] 4 4 4 10.

(13) 2.1. Homotopı́a de Trayectorias. Figura 7: entonces para cada s ∈. t. 0 +1. 4. , t04+2. . t0 + 1 t0 + 1 s 7→ s − 7 4 s− → = 4s − t0 − 1 4 4 Para ω, queremos que para cada t0 ∈ I fijo t0 + 2 t0 + 2 , 1 → 0, 1 − → [0, 1] 4 4 entonces para cada s ∈ t04+2 , 1 s− t0 + 2 s 7→ s − 7 → 4 1−. t0 +2 4 t0 +2 4. =. 4s−t0 −2 4 4−t0 −2 4. =. 4s − t0 − 2 2 − t0. Con estos cálculos definamos F : [0, 1] × [0, 1] tal que para cada (s, t) ∈ [0, 1] × [0, 1]  4s σ si 0 ≤ s ≤ t+1  t+1 4     τ (4s − t − 1) si t+1 ≤ s ≤ t+2 F (s, t) = 4 4      ω 4s−t−2 si t+2 ≤s≤1 2−t 4 11.

(14) 2.1. Está bien definida pues t+1 4( 4 ) = σ (1) = x0 = τ (0) = τ 4 σ t+1 τ 4. t+2 4. . Homotopı́a de Trayectorias. t+1 4. . − t − 1 = τ (1) = x0 = ω (0) = ω. −t−1 t+2 4( 4 )−t−2 2−t. y por el lema 2.3 es continua. Es la homotopı́a buscada pues  σ (4s) si 0 ≤ s ≤ 14      τ (4s − 1) si 41 ≤ s ≤ 12 = ((στ ) ω) (s) F (s, 0) =      ω (2s − 1) si 12 ≤ s ≤ 1  σ (2s) si 0 ≤ s ≤ 12      τ (4s − 2) si 21 ≤ s ≤ 34 = (σ (τ ω)) (s) F (s, 1) =      ω (4s − 3) si 34 ≤ s ≤ 1 F (0, t) = σ (0) = x0 4−t−2 F (1, t) = ω = ω (1) = x0 2−t y por lo tanto (στ ) ω ≈rel{0,1} σ (τ ω). Ahora vemos que [x0 ] es el elemento neutro de π1 (X, x0 ). Sea [σ] ∈ π1 (X, x0 ), vamos a probar que σx0 ≈rel{0,1} σ. Consideramos la figura 8. t +1 Encontremos un homeomorfismo de 0, 02 a [0, 1], entonces a cada s ∈ t +1 0 0, 2 le asociamos s 2s = t0 +1 t0 + 1 −0 2 esto nos propone la función 2s σ t+1 si 0 ≤ s ≤ t+1 2 F (s, t) = x0 si t+1 ≤ s ≤ 1 2 pues el punto final de σ es x0 ; F está bien definida ya que ! 2 t+1 2 σ = σ (1) = x0 t+1 12.

(15) 2.1. Homotopı́a de Trayectorias. Figura 8: la continuidad se sigue del lema 2.3; Además σ (2s) si 0 ≤ s ≤ 21 F (s, 0) = = (σx0 ) (s) x0 si 21 ≤ s ≤ 1 F (s, 1) = σ (s) F (0, t) = σ (0) = x0 F (1, t) = x0 Ası́ F : σx0 ≈rel{0,1} σ. De manera análoga obtenemos x0 σ ≈rel{0,1} σ y por lo tanto [x0 ] es el elemento identidad en π1 (X, x0 ). Proposición 2.8. Sea α : I → X una trayectoria de x0 a x1 . entonces la aplicación α∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (X, x1 ) tal que α∗ [σ] = [α−1 σα] es un isomorfismo. Demostración. Primero α∗ está bien definido pues si σ1 ≈rel{0,1} σ2 entonces por la proposición 2.6 tenemos que α−1 σ1 α ≈rel{0,1} α−1 σ2 α . Y además (α−1 σ1 α) (0) = α−1 (0) = α (1) = x1 (α−1 σ1 α) (1) = α (1) = x1 Ası́ que α∗ [σ] ∈ π1 (X, x1 ). 13.

(16) 2.1. Homotopı́a de Trayectorias. Figura 9: Veamos que α∗ es un homomorfismo. Sean [σ1 ] , [σ2 ] ∈ π1 (X, x0 ), entonces α∗ [σ1 σ2 ] = α−1 σ1 σ2 α −1 = α σ1 α α−1 σ2 α = α−1 σ1 α α−1 σ2 α = α∗ [σ1 ] α∗ [σ2 ] . Para demostrar que es biyectiva encontraremos una función inversa. Proponemos α∗−1 como ésta, ahora, si [σx0 ] ∈ π1 (X, x0 ) y [σx1 ] ∈ π1 (X, x1 ) entonces (α∗ ◦ α∗−1 ) [σx0 ] = α∗−1 (α∗ [σx0 ]) = α∗−1 ([α−1 σx0 α]) = [αα−1 σx0 αα−1 ] = [σx0 ] (α∗−1 ◦ α∗ ) [σx1 ] = α∗ (α∗−1 [σx1 ]) = α∗ ([ασx1 α−1 ]) = [α−1 ασx1 α−1 α] = [σx1 ] Por lo que α∗ es un isomorfismo. Corolario 2.9. Si X es conexo por trayectorias, entonces el grupo fundamental π1 (X, x0 ) es independiente del punto x0 salvo isomorfismos. Definición 2.10. Definimos la categorı́a de los espacios topológicos punteados como aquella cuya clase de objetos son los pares (X, x0 ) ; y si (Y , y0 ) es otro espacio topológico con punto base y0 , los morfismos son las aplicaciones f : X → Y tal que f (x0 ) = y0 . Cita [6] Definición 2.11. Si f : X → Y tal que f (x0 ) = y0 definimos su morfismo inducido f∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y , y0 ) por la regla f∗ [σ] = [f ◦ σ]. 14.

(17) 2.1. Homotopı́a de Trayectorias. Observación 2.12. Nótese que f∗ está bien definido pues si σ1 ≈rel{0,1} σ2 son lazos en x0 entonces existe una homotopı́a F tal que F (s, 0) = σ1 (s) F (s, 1) = σ1 (s) F (0, t) = F (1, t) = x0 Ası́, definimos G : I × I → Y por G (s, t) = f ◦ F (s, t). Entonces G (s, 0) = f (F (s, 0)) = f (σ1 (s)) = (f ◦ σ1 ) (s) G (s, 1) = f (F (s, 1)) = f (σ2 (s)) = (f ◦ σ2 ) (s) G (0, t) = f (F (0, t)) = f (x0 ) = y0 = f (F (1, t)) = G (1, t) ası́ G : f ◦ σ1 ≈rel{0,1} f ◦ σ2 . f∗ es un homomorfismo pues f∗ ([σ1 ] [σ2 ]) = f∗ ([σ1 σ2 ]) = [f (σ1 σ2 )] y además f (σ1 σ2 ) =. f σ1 (2s) si 0 ≤ s ≤ 21 = (f σ1 ) (f σ2 ) f σ2 (2s − 1) si 12 ≤ s ≤ 1. entonces [f (σ1 σ2 )] = [(f σ1 ) (f σ2 )] = [f σ1 ] [f σ2 ] = f∗ [σ1 ] f∗ [σ2 ] Teorema 2.13. Si f : X → Y es una aplicación tal que f (x0 ) = y0 entonces f∗ es un funtor, donde x0 es el punto base de X y y0 es el punto base de Y . Demostración. Si Y = X y f = IdX la identidad en X entonces si [σ] ∈ π1 (X, x0 ) entonces f∗ [σ] = [f σ] = [σ]. Además si g : (Y, y0 ) → (Z, z0 ) entonces (gf )∗ [σ] = [gf σ] = g∗ [f σ] = g∗ f∗ [σ] por lo que (gf )∗ = g∗ f∗ . Ahora podemos hablar del funtor grupo fundamental de la categorı́a de los espacios topológicos punteados a la categorı́a de los grupos.. 15.

(18) 2.2. 2.2.. Homotopı́a de Aplicaciones. Homotopı́a de Aplicaciones. Dado que las trayectorias son aplicaciones de I en X, podemos intentar reemplazar I por algún espacio topológico Y y definir homotopı́a. Ası́ ya no tendremos puntos finales {0, 1} como en I pero lo podemos reemplazar por algún A ⊆ Y . Definición 2.14. Sean X, Y espacios topológcos y A ⊆ X, sean f, g : X → Y aplicaciones tales que f |A = g|A decimos que f ≈ g rel A o bien f ≈relA g si existe una aplicación F : X × I → Y que satisface que para toda x ∈ X, a ∈ A y toda t ∈ I lo siguiente F (x, 0) = f (x) F (x, 1) = g (x) F (a, t) = f (a) = g (a) En el caso de que A = ∅ escribimos simplemente f ≈ g.. Figura 10: Proposición 2.15. La relación ≈relA es una relación de equivalencia. Demostración. Sean X, Y espacios topológicos y A ⊆ X y sean f, g, h : X → Y . Veamos que f ≈relA f Definimos F (x, t) = f (x) entonces F (x, 0) = f (x) F (x, 1) = f (x) F (a, t) = f (a) Ası́ que f ≈relA f . 16.

(19) 2.2. Homotopı́a de Aplicaciones. Ahora la simetrı́a, supongamos que f ≈relA g por la homotopı́a F . Definimos G (x, t) = F (x, 1 − t) que es continua y además G (x, 0) = F (x, 1) = g (x) G (x, 1) = F (x, 0) = f (x) G (a, t) = F (a, 1 − t) = f (a) = g (a) Ası́ que G : g ≈relA f. A continuación probaremos la transitividad, suponemos que F : f ≈relA g, G : g ≈relA h, vamos a probar que f ≈relA h. Sea F (x, 2t) si 0 ≤ t ≤ 21 H (x, t) = G (x, 2t − 1) si 12 ≤ t ≤ 1 está bien definida pues F x, 2 12 = F (x, 1) = g (x) = G (x, 0) = G x, 2 12 − 1 y es continua por el lema 2.3. Luego  si 0 ≤ t ≤ 21  F (a, 2t) H (a, t) =  G (a, 2t − 1) si 12 ≤ t ≤ 1   g (a) si 0 ≤ t ≤ 21 =  g (a) si 12 ≤ t ≤ 1 = g (a) = f (a) = h (a) Ası́ que G : f ≈relA h. Ejemplo 2.16. Sea X = Y = Rn , si f = IdX , g = 0 la función constante 0. Entonces F (x, t) = tx es una homotopı́a de g a f . Definición 2.17. Sea X un espacio topológico, decimos que X es contraı́ble si existe x0 ∈ X tal que IdX ≈ x0 , donde x0 denota a la aplicación constante g (x) = x0 para cada x ∈ X. Teorema 2.18. X es contraı́ble si y sólo si para cualquier espacio topológico Y y para cualquier par de aplicaciones f, g : Y → X se satisface que f ≈ g. 17.

(20) 2.2. Homotopı́a de Aplicaciones. Demostración. Supongamos que para cualquier espacio topológico Y y para cualquier par de aplicaciones f, g : Y → X se satisface que f ≈ g, podemos tomar en particular X = Y y las aplicaciones IdX , x0 entonces IdX ≈ x0 y entonces X es contraı́ble. Recı́procamente, supongamos que X es contraı́ble, entonces existe x0 ∈ X tal que H : IdX ≈ x0 entonces H (x, 0) = IdX (x) = x H (x, 1) = x0 (x) = x0 Sea Y un espacio topológico y f, g : Y → X Definimos F : Y × I → X por la regla F (y, t) = H (f (y) , t) entonces F : f ≈ x0 pues F (y, 0) = H (f (y) , 0) = f (y) F (y, 1) = H (f (y) , 1) = x0 De manera análoga, definimos G : Y × I → X por la regla G (y, t) = H (g (y) , t) entonces G : g ≈ x0 pues G (y, 0) = H (g (y) , 0) = g (y) G (y, 1) = H (g (y) , 1) = x0 Entonces f ≈ x0 ≈ g que es lo que querı́amos probar. Teorema 2.19. si X es un espacio topológico contraı́ble entonces X es conexo por trayectorias. Demostración. Sea X un espacio topológico contraı́ble y x0 , x1 ∈ X aplicando el teorema 2.18 al espacio topológico Y = I y a las funciones x0 y x1 tenemos que F : x0 ≈ x1 entonces F (s, 0) = x0 F (s, 1) = x1 Sea σ (t) = F (0, t) es continua pues F también lo es, además σ (0) = F (0, 0) = x0 σ (1) = F (0, 1) = x1 entonces σ : I → X es la trayectoria que buscamos. Entonces X es conexo por trayectorias. 18.

(21) 2.2. Homotopı́a de Aplicaciones. Obsérvese que no podemos afirmar el recı́proco, es decir, si X es un espacio topológico conexo por tratectorias, no podemos afirmar que sea contraible, pues la esfera es un espacio topológico conexo por trayectorias pero no es contraible. Corolario 2.20. Todo subconjunto convexo X de un espacio euclideano es contraı́ble. Demostración. Sea Y un espacio topológico y f1 , f2 : Y → X, definimos una homotopı́a por F (y, t) = tf2 (y) + (1 − t) f1 (y) entonces F (y, 0) = f1 (y) F (y, 1) = f2 (y) claramente F es continua pues es la combinación convexa entre las aplicaciones f1 y f2 ; lo que nos muestra que f1 ≈ f2 y por el teorema 2.18 se tiene que X es contraı́ble. Definición 2.21. Un espacio topológico X es simplemente conexo si es conexo por trayectorias y su grupo fundamental es trivial. Proposición 2.22. Todo espacio topológico contraı́ble es simplemente conexo. La demostración de esta proposición no es obvia, pues aunque por el teorema 2.18 sabemos que si σ es una trayactoria basada en x0 entonces σ ≈ x0 pero no podemos asegurar que σ ≈ x0 rel {0, 1}; pero para ello necesitaremos algunos resultados. Lema 2.23. Si X es un espacio topológico y F : I × I → X una aplicación Llamamos α (t) = F (0, t), β (t) = F (1, t), γ (s) = F (s, 0), δ (s) = F (s, 1). entonces δ ≈ α−1 γβ rel {0, 1}. Demostración. Sean x0 = δ (0) = α (1) y x1 = δ (1) = β (1). La idea es la siguiente, vamos a contruı́r homotopı́as E, G que vayan “transformando” a α−1 y a β en los lazos constantes x0 y x1 respectivamente, y usarlos junto con F para obtener una homotopı́a H tal que H : α−1 γβ ≈ x0 δx1 rel {0, 1}. Primero construyamos G : I × I → X. Necesitamos que para cada t0 ∈ I fijo y para cada s ∈ [0, 1 − t0 ] se cumpla que G (0, t0 ) = β (t0 ) 19.

(22) 2.2. Homotopı́a de Aplicaciones. Figura 11: G (1 − t0 , t0 ) = β (1) y claro también que G sea continua. Por otra parte definimos G (s, t) = x1 ≡ β (1) siempre que s > 1 − t. Consideremos el homeomorfismo σ : [0, 1 − t] → [t, 1] que para cada s ∈ [0, 1 − t] σ (s) = s + t entonces proponemos G (s, t) =. β (s + t) si 0 ≤ s ≤ 1 − t β (1) si 1 − t ≤ s ≤ 1. Es claro que G (s, 0) = β (s) y que al variar t, la trayectoria G (s, t) es la curva β (s) pero que empieza en el punto β (t) y termina en valor constante β (1) , la función β (s + t) es continua pues es la composición de las aplicaciones β y σ, y puesto que los conjuntos que definen 0 ≤ s ≤ 1 − t y t ≤ s ≤ 1 son cerrados en I × I se tiene por el lema 2.3 la continuidad de G. Ahora G (s, 0) G (s, 1) G (0, t) G (1, t). = = = =. β (s) β (1) = x1 β (t) β (1) = x1 20.

(23) 2.2. Homotopı́a de Aplicaciones. Figura 12: Cambiando la función β por α en G (s, t) definimos la aplicación E 0 : I × I → X tal que E 0 (s, 0) E 0 (s, 1) E 0 (0, t) E 0 (1, t). = = = =. α (s) α (1) = x0 α (t) α (1) = x0. Figura 13:. 21.

(24) 2.2. Homotopı́a de Aplicaciones. y si definimos E : I × I → X como E (s, t) = E 0 (1 − s, t). Figura 14: y luego E (s, 0) E (s, 1) E (0, t) E (1, t). = = = =. E 0 (1 − s, 0) = α (1 − s) = α−1 (s) E 0 (1 − s, 1) = α (1) = x0 E 0 (1, t) = x0 E 0 (0, t) = α (t). Ahora vamos a definir la homotopı́a, para ello, “aplastaremos” las aplicaciones para definir una función H en I × I que contenga la información de el intervalo I en los tres subintervalos siguientes: tres. Dividiremos 1 las 1 1 1 0, 4 , 4 , 2 , 2 , 1 , denotemos por R1 , R2 , R3 los homeomorfismos “lineales” que preservan orientación, sobre los subintervalos anteriores a I, es decir R1 (s) = 4s R2 (s) = 4s − 1 R3 (s) = 2s − 1. 22.

(25) 2.2. Homotopı́a de Aplicaciones. y entonces nuestra homotopı́a será H : I × I → X  E (R1 (s) , t) si 0 ≤ s ≤ 14      F (R2 (s) , t) si 41 ≤ s ≤ 12 H (s, t) =      G (R3 (s) , t) si 12 ≤ s ≤ 1  E (4s, t) si 0 ≤ s ≤ 41      F (4s − 1, t) si 14 ≤ s ≤ 12 =      G (2s − 1, t) si 12 ≤ s ≤ 1. Figura 15: H es continua por el lema 2.3 y porque R1 , R2 , R3 son continuas. Además tenemos que α−1 γ β ≈ (x0 δ) x1 rel {0, 1}. 23.

(26) 2.2. Homotopı́a de Aplicaciones. pues. H (s, 0) =.           . E (4s, 0) si 0 ≤ s ≤ F (4s − 1, 0) si. 1 4. G (2s − 1, 0) si. 1 2. 1 4. ≤s≤. 1 2. ≤s≤1  −1 α (4s) si 0 ≤ s ≤ 14      γ (4s − 1) si 41 ≤ s ≤ 12 =      β (2s − 1) si 21 ≤ s ≤ 1 = α−1 γ β (s). H (s, 1) =.           . E (4s, 1) si 0 ≤ s ≤. 1 4 1 2. F (4s − 1, 1) si. 1 4. ≤s≤. G (2s − 1, 1) si. 1 2. ≤s≤1.  x0 si 0 ≤ s ≤ 14      δ (s) si 14 ≤ s ≤ 12 =      x1 si 12 ≤ s ≤ 1 = (x0 δ) x1 (s) H (0, t) = = = = = =. E (R1 (0) , t) E (0, t) x0 G (1, t) G (R3 (1) , t) H (1, t). 24.

(27) 2.2. Homotopı́a de Aplicaciones. Figura 16: Por último es fácil dar una homotopı́a tal que (x0 δ) x1 ≈ δ rel {0, 1} y por la propiedad de transitividad demostrada en la proposición 2.4 tenemos que α−1 γβ ≈ δ rel {0, 1}. Definición 2.24. Sean X, Y espacios topológicos. Una aplicación sobreyectiva p : X → Y se llama aplicación de identificación si la topologı́a de Y es la topologı́a cociente inducida por p. Teorema 2.25 (de Transgresión). Sea p : X → Y una identificación y h : X → Z una aplicación. Suponga que hp−1 es 1-valuada (esto es, h es constante en cada fibra p−1 (y)). Entonces hp−1 : Y → Z es continua, y además el siguiente diagrama conmuta.. h. p. /Y ~ ~ ~~ ~~ −1 ~~~ hp. X Z. Demostración. Ver [1] pág 123, teorema 3.2. Ya tenemos las herramientas necesarias para demostrar la proposición 2.22. Aquı́ esta la prueba.. 25.

(28) 2.2. Homotopı́a de Aplicaciones. Demostración. Por la proposición 2.19 sabemos que X es conexo por trayectorias, sólo necesitamos probar que π1 (X, x0 ) = {1}. Sea [σ] ∈ π1 (X, x0 ) mostraremos que σ ≈rel{0,1} x0 . Llamemos p0 : I → I {0, 1} a la proyección natural p0 (x) = [x] entonces I {0, 1} tiene la topologı́a inducida por p0 , en otras palabras, p es una identificación. Como σ, y x0 son aplicaciones aplicamos el teorema de transgresión sobre ambas funciones y obtenemos. σ. p0. / I {0, 1} (I) ttt tt tt σ0 t t zt. I. X. x0. p0. / I {0, 1} uu uu uux0 u zuuu 0. I. (II). X. : I {0, 1} → X definidas por σ 0 = σ ◦ p−1 con σ : I {0, 1} → X y y x00 = x0 ◦ p−1 . Dado que X es contraı́ble, la proposición 2.18 implica que existe una homotopı́a F 0 : I {0, 1} × I → X tal que 0. x00. F 0 ([s] , 0) = x00 ([s]) F 0 ([s] , 1) = σ 0 ([s]) Ahora definimos una trayectoria α : I → X por α (t) = F ([0] , t).. Figura 17: Sea p : I × I → I {0, 1} × I la proyección canónica p (s, t) = ([s] , t) entonces p es una identificación y por lo tanto continua. Definimos F = 26.

(29) 2.2. Homotopı́a de Aplicaciones. F 0 ◦ p luego F es continua y por lor los diagramas (I) y (II) tenemos que x00 (p0 (s)) = x0 (s) y σ 0 (p0 ((s))) = σ (s) y entonces obtenemos F (s, 0) = F 0 (p (s, 0)) = F 0 ([s] , 0) = x00 ([s]) = x00 (p0 (s)) = x0 (s) F (s, 1) = F 0 (p (s, 1)) = F 0 ([s] , 1) = σ 0 ([s]) = σ 0 (p0 ((s))) = σ (s) F (0, t) = F 0 (p (0, t)) = F 0 ([0] , t) = α (t) F (1, t) = F 0 (p (1, t)) = F 0 ([1] , t) = α (t) Entonces haciendo δ = σ, γ = x0 , α = β en el lema 2.23 tenemos que σ ≈rel{0,1} α−1 x0 α ≈rel{0,1} α−1 (x0 α) ≈rel{0,1} α−1 α ≈rel{0,1} x0. Corolario 2.26. Sean f, g : Y → X aplicaciones homotópicas por medio de una homotopı́a F : Y × I → X. Sea y0 ∈ Y , x0 = f (y0 ) y x1 = g (y0 ). Sea α : I → X la trayectoria de x0 a x1 definida por α (t) = F (y0 , t) para cada t ∈ I. Entonces el diagrama siguiente conmuta. f∗ / π1 (X, x0 ) NNN NNN N α∗ g∗ NNNN &. π1 (Y, y0 ). π1 (X, x1 ) Demostración. Si [σ] ∈ π1 (Y, y0 ), entonces por el lema 2.23 tenemos que g ◦ σ ≈rel{0,1} α−1 (f ◦σ)α. Ası́ que g∗ [σ] = [g ◦ σ] = [α−1 (f ◦ σ)α] = α∗ [f ◦ σ] = α∗ f∗ [σ]. Véase figura 18.. 27.

(30) 2.2. Homotopı́a de Aplicaciones. Figura 18: . Corolario 2.27. Con las condiciones del corolario 2.26, f∗ es un isomorfismo si y sólo si g∗ lo es. Demostración. Sabemos de la proposición 2.8 que α∗ es un isomorfismo y por lo tanto α∗−1 también lo es. Del corolario 2.26 tenemos que g∗ = α∗ f∗ entonces si f∗ es in isomorfismo tambien lo es g∗ . También f∗ = α∗−1 g∗ entonces si g∗ es un isomorfismo también lo es f∗ . Definición 2.28. Una aplicación f : Y → X se llama equivalencia homotópica si existe f 0 : X → Y tal que f ◦ f 0 ≈ IdX y f 0 ◦ f ≈ IdY . Entonces decimos que X y Y son homotópicamente equivalentes. Proposición 2.29. X es contraı́ble ⇔ X es homotópicamente equivalente a {x0 }. Demostración. =⇒] Supongamos que X es contraı́ble, por su definición tenemos que IdX ≈ x0 para algún x0 ∈ X. Sea Y = {x0 } sabemos que x0 : X → Y sea i : Y → X la inclusión, entonces i (x0 ) = x0 . Entonces x0 ◦ i = x0 |Y = IdY IdX ◦ x0 = x0 ≈ IdX Entonces x0 es una equivalencia homotópica y con esto probamos que X es homotópicamente equivalente a {x0 }. 28.

(31) 2.2. Homotopı́a de Aplicaciones. ⇐=]Supongamos que X es homotópicamente equivalente a {x0 } . Entonces existen f : X → {x0 } y f 0 : {x0 } → X tal que f ◦ f 0 ≈ Id{x0 } y f 0 ◦ f ≈ IdX . Sea x1 = f 0 (x0 ), entonces como f 0 ◦ f = x1 se tiene entonces sustituyendo que x1 ≈ IdX y por definición X es contraı́ble. Corolario 2.30. Si f : X → Y es una equivalencia homotópica entonces f∗ : π1 (X, x) → π1 (Y, f (x)) es un isomorfismo para cualquier x ∈ X. Demostración. De la definición de equivalencia homotópica tenemos que existe f 0 : Y → X tal que f ◦ f 0 ≈ IdY y f 0 ◦ f ≈ IdX . Utilizando el corolario 2.26 tenemos que f 0 ◦f ∗. / π1 (X, f 0 ◦ f (x)) O QQQ QQQ QQQ α∗ Id∗ QQQ(. π1 (X, x). π1 (X, x) Donde α : I → X es una trayectoria de x a f 0 ◦ f (x) definida como en el corolario 2.26. Entonces tenemos que f∗0 ◦ f∗ = α∗ Id∗ = α∗ . además α∗ es un isomorfismo entonces f es sobreyectiva. De manera análoga, se tiene que f∗ ◦ f∗0 = Id∗ β∗ = β∗ donde β : I → X es una trayectoria de x a f ◦ f 0 (x) luego tenemos que f∗ es inyectiva. Ası́ que f es un isomorfismo. Proposición 2.31. Sea X conexo por trayectorias, entonces son equivalentes: 1. X es simplemente conexo. 2. Toda aplicación de S 1 en X se puede extender a una aplicación del disco cerrado E 2 en X. 3. Si σ, τ : I → X son trayectorias en X tales que σ (0) = τ (0) y σ (1) = τ (1) entonces σ ≈ τ rel {0, 1}. Demostración. 1)=⇒2): Sea σ : I {0, 1} → X sea p0 : I → I {0, 1} la proyección canónica. Sea x0 = σ ([0]). 0 0 Sea σx0 = σ ◦ p0 : I → X entonces σx0 es un lazo basado en xo pues 0. 0. σx0 (0) = σp0 (0) = σ ([0]) = x0 = σ ([1]) = σp0 (1) = σx0 (1) 29.

(32) 2.2. Homotopı́a de Aplicaciones. Como X es simplemente conexo se tiene que π1 (X, x0 ) = {0} y entonces σx0 ≈ x0 rel {0, 1}. Sea F 0 su homotopı́a entonces F 0 : I × I → X es tal que 0. F 0 (s, 0) = x0 0 F (s, 1) = σx0 (s) F 0 (0, t) = F 0 (1, t) = x0 0. Definimos p : I × I → I {0, 1} × I la proyección canónica, esto es, p (s, t) = ([s] , t). Entonces F 0 , p son continuas y además F 0 es constante en cada fibra de p ya que las únicas fibras de p con más de un elemento son los de la forma p−1 ([0] , t) = {(0, t) , (1, t)}, y tenemos que F 0 (0, t) = F 0 (1, t). Esto nos da derecho a definir F = F 0 ◦ p−1 y además por el teorema 2.25 (Teorema de transgresión) F : I {0, 1} × I → X es continua y además F 0 = F ◦ p. F0. p. / I {0, 1} × I p ppp p p pp pw ppp F. I ×I X Además. F ([s] , 0) = F 0 ◦ p−1 ([s] , 0) = F 0 (s, 0) = x0 0 F ([s] , 1) = F 0 ◦ p−1 ([s] , 1) = F 0 (s, 1) = σx0 (s) = σ ◦ p0 (s) = σ ([s]) F ([0] , t) = F 0 ◦ p−1 ([0] , t) = F 0 (0, t) = x0 Ahora sea Π : I {0, 1}×I → E2 donde Π ([θ] , h) = (2πθ, h) en coordenadas polares.. Figura 19: Está bien definida pues Π ([0] , h) = (0, h) = (2π, h) = (2π (1) , h) = π ([1] , h) . 30.

(33) 2.2. Homotopı́a de Aplicaciones. Además F es constante en cada fibra de π, pues la única fibra de π con más de un elemento es Π−1 (0) = {([θ] , 0) : θ ∈ I} y F ([θ] , 0) = x0 . Ası́ que podemos definir la función Fb : E 2 → X tal que Fb = F ◦ π −1 y por el teorema de transgresión tenemos que Fb es continua y Fb ◦ π = F . / 2 qE q q qq qqqb q q qx qq F. I {0, 1} × I F. π. X. Entonces, si Fe (θ, r) = Fb (2πθ, r) afirmamos que Fe es la extensión de σ buscada, pues Fe (θ, 1) = Fb (2πθ, 1) = F π −1 (2πθ, 1) = F ([θ] , 1) = σ ([θ]) y Fe es continua ası́ terminamos esta implicación. 2)=⇒1): Sea [σ] ∈ π1 (X, x0 ) probaremos que x0 ≈ σ rel {0, 1} y con esto π1 (X, x0 ) = {0} y como X es conexo por trayectorias tendrı́amos que X es simplemente conexo. Sea p0 : I → I {0, 1} la proyeción natural, entonces σ es constante en cada fibra de p0 ya que σ (0) = σ (1) = x0 por ser un lazo basado en x0 . Entonces podemos definir la función σ 0 : I {0, 1} → X donde σ 0 = σ ◦ (p0 )−1 , por el teorema de transgresión obtenemos que σ 0 es continua y además σ 0 ◦ p0 = σ. Ası́ que por hipótesis podemos extender σ 0 a una aplicación G : E 2 → X, tal que G|I{0,1}×{1} = σ 0 . Consideremos (I {0, 1}) × I∗, donde ∗ relaciona los elementos de la forma ([s1 ] , 0) con ([s2 ] , 0). Sea p̂ la proyección natural pb : I {0, 1}×I → (I {0, 1} × I) ∗, que es continua, ası́ definimos p : I × I → (I {0, 1}) ∗ con la regla p (s, t) = pb (p0 (s) , t) continua pues p y p0 son continuas. (Notemos que (I {0, 1} × I) ∗ restringido a t = 1 es una copia de S 1 . Sea F = G ◦ p. Vemos que G : x0 ≈ σ rel {0, 1}. F (s, 1) = G (p (s, 1)) = σ 0 ([s]) = σ (s) F (s, 0) = G (p (s, 0)) = x1 α (t) := F (0, t) = F (1, t) = G (p (0, t)) aplicando el Lema 2.23 tenemos: σ ≈ α−1 x1 α rel {0, 1} . 31.

(34) 2.2. Homotopı́a de Aplicaciones. Figura 20: entonces α−1 α ≈ σ rel {0, 1} luego x1 ≈ σ rel {0, 1} y como x0 = σ (0) = x1 entonces x0 ≈ σ rel {0, 1}. 1)=⇒3): Supongamos que X es simplemente conexo, sean σ, τ tales que x0 = σ (0) = τ (0) y x1 = σ (1) = τ (1). Como X es simplemente conexo, en particular su grupo fundamental es trivial y tenemos que στ −1 ≈ x0 rel {0, 1}. Usando la proposición 2.6,(στ −1 ) τ ≈ x0 τ rel {0, 1} y por un lado tenemos στ −1 τ ≈ σ τ −1 τ rel {0, 1} entonces στ −1 τ ≈ σx0 rel {0, 1} y luego στ −1 τ ≈ σ rel {0, 1} y por otro lado x0 τ ≈ τ rel {0, 1} y entonces σ ≈ τ rel {0, 1} 32.

(35) 2.2. Homotopı́a de Aplicaciones. 3)=⇒1): Sea [σ] ∈ π1 (X, x0 ), ahora σ y x0 son trayectorias con el mismo punto inicial y final, se tiene entonces por hipótesis que σ ≈ x0 rel {0, 1} entonces X es simplemente conexo.. 33.

(36) 2.3. 2.3.. El Grupo Fundamental del Cı́rculo. El Grupo Fundamental del Cı́rculo. En esta sección encontraremos el primer grupo fundamental no trivial, el cual nos servirá como base para obtener incluso, todas las superficies compactas y conexas en R3 . Intuitivamente,el grupo fundamental de S 1 es el grupo cı́clico infinito, ya que podemos enrollar al cı́rculo con trayectorias en alguna dirección y desenrrollarlo en sentido contrario, y además lo podemos enrollar tanto como queramos siempre una vuelta más y nunca va a volver a desenrollarse. Probaremos estas dos ideas en S 1 en forma rigurosa, primero que efectivamente que su grupo fundamental es cı́clico y después que es de orden infinito, pero antes necesitamos algunos resultados de espacios métricos. Los lemas 2.32, 2.33, 2.34 están basados en las pruebas en [5] pag. 198-200. Lema 2.32. Sea f : X → R continua y X es compacto entonces existe c ∈ X tal que para cualquier x ∈ X se tiene que f (c) ≤ f (x). Demostración. Sea A = f (X) entonces A es compacto por la continuidad de f . Mostraremos que A tiene un mı́nimo. Procedemos por contradicción, Si A no tiene un elemento mı́nimo entonces la colección de abiertos {(a, ∞)}a∈A es una cubierta de R tomemos una subcubierta finita {(ai , ∞)}ni=1 de ella, sea n S am = mı́n {ai } entonces am 6∈ (am , ∞) = (ai , ∞) entonces {(ai , ∞)}ni=1 i=1,2,...,n. i=1. no es una cubierta de A que es una contradicción, asi que A tiene un elemento mı́nimo m y como f es sobre A entonces existe c ∈ X tal que f (c) = m. Lema 2.33. Sea A una cubierta abierta de un espacio métrico compacto (X, d), entonces existe ε > 0 tal que para cada subconjunto A de X de diámetro menor que ε se tiene que A está contenido en alguno de los elementos de A. a ε se le llama un número de Lebesgue. Demostración. Si X ∈ A entonces el resultado se cumple trivialmente. Entonces supongamos que X 6∈ A entonces de la compacidad de X tenemos que A tiene una cubierta finita {A1 , A2 , ..., An } para cada i = 1, 2, ..., n definamos Ci = X − Ai , claramente éste es un subconjunto cerrado de X. Definamos n P d (x, Ci ). Veamos que f (x) > 0 para todo x ∈ X. Como {Ai }ni=1 f (x) = n1 i=1. es una cubierta de X entonces hay un i tal que x ∈ Ai luego Ai es un conjunto abierto, o sea que existe δ > 0 tal que Bδ (x) ⊂ Ai entonces si y ∈ Ci se tiene que y 6∈ Bδ (x) y entonces d (x, y) ≥ δ y entonces d (x, Ci ) ≥ δ entonces 34.

(37) 2.3. f (x) =. 1 n. n P j=1. El Grupo Fundamental del Cı́rculo. d (x, Cj ) ≥ n1 d (x, Ci ) ≥ n1 δ y como f es continua pues la función. d lo es tenemos por el lema 2.32 que f alcanza un valor mı́nimo ε probemos que éste es un número de Lebesgue. Sea B ⊂ X tal que Diam (B) < ε sea x0 ∈ B entonces B ⊂ Bε (x0 ) entonces sea m tal que d (x0 , Cm ) = máx {d (x0 , Cj )} j=1,2,...,n. ε ≤ f (x) ≤ d (x0 , Cm ) Entonces B ⊂ Bε (x0 ) ⊂ Am . Lema 2.34. Sea f : X → Y una aplicación del espacio métrico compacto (X, dX ) al espacio métrico (Y, dy ) entonces f es uniformemente continua. Demostración. Sea ε > 0 entonces B 2ε (y) : y ∈ Y es un recubrimento abierto de Y y entonces A = f −1 B 2ε (y) : y ∈ Y es un recubrimento abierto de X sea δ un número de Lebesgue de esta cubierta. Entonces sean x1 , x2 ∈ X tales que dX (x1 , x2 ) < δ entonces Diam ({x1 , x2 }) < δ entonces existe y ∈ Y tal que {x1 , x2 } ⊂ f −1 B 2ε (y) o bien {f (x1 ) , f (x2 )} ⊂ B 2ε (y) ası́ que dY (f (x1 ) , f (x2 )) < ε por lo que f es uniformemente continua. Teorema 2.35. El grupo fundamental π1 (S 1 , (1, 0)) es un grupo cı́clico infinito generado por [f ] donde f (t) = (cos (2πt) , sen (2πt)). Demostración. Sea g un lazo en S 1 basado en (1, 0), esto es, g : I → S 1 es continua y además g (0) = g (1) = (1, 0) Vamos a probar que g ≈ f m rel {0, 1} para alguna m ∈ Z Consideremos 1 U1 = (x, y) ∈ S 1 : y > − 10 1 U2 = (x, y) ∈ S 1 : y < 10 Entonces U1 y U2 son conjuntos abiertos de S 1 y S 1 = U1 ∪ U2 . Es claro que tanto U1 como U2 son homeomorfos a (0, 1) ası́ que ambos son contraı́bles. Supongamos primero un caso trivial. Si g (I) ⊂ U1 o g (I) ⊂ U2 entonces g es homotopico a un lazo constante en S 1 entonces por ser éste conexo por trayectorias, se tiene que g es homotópico a f 0 . Entonces supongamos que no son válidas ninguna de las contenciones anteriores. Afirmamos que es posible divdir a I en subintervalos [ti , ti+1 ] para i = 0, 1, 2, ..., n − 1 donde 0 = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = 1 tal que 1. g ([ti , ti+1 ]) ⊂ U1 o g ([ti , ti+1 ]) ⊂ U2 para cada i 35.

(38) 2.3. El Grupo Fundamental del Cı́rculo. 2. g ([ti−1 , ti ]) y g ([ti , ti+1 ]) no estan contenidos en el mismo Uj Para probarlo por el lema 2.33 sabemos que existe un número de Lebesgue ε de la cubierta abierta {g −1 (U1 ) , g −1 (U2 )} entonces dividimos el intervalo I en una cantidad finita de subintervalos de longitud menor que ε entonces se cumple la primer condición, pues por la forma en que fueron contruidos los subintervalos Ii usando un número de Lebesgue tenemos que cada elemento Ii cumple Ii ⊂ g −1 (U1 ) o Ii ⊂ g −1 (U2 ) entonces g (Ii ) ⊂ U1 o g (Ii ) ⊂ U2 Ahora si dos subintervalos contiguos son tal que ambos están contenidos en el mismo U1 o U2 simplemente consideramos su unión, hacemos este proceso para cada par de éstos (aquı́ usamos que fueran una cantidad finita) y entonces es claro que cumplen la primera y la segunda condición. Consideremos para cada i = 0, 1, ..., n − 1 la trayectoria gi : I → S 1 tal que gi (s) = g (s (ti+1 − ti ) + ti ) es simplemente considerar la trayectoria de g|[ti ,ti+1 ] . Entonces es claro que g = g0 g1 · · · gn−1 además cada gi es una trayectoria en U1 o en U2 Afirmamos que g (ti ) ∈ U1 ∩U2 pues si g ([ti−1 , ti ]) ⊂ U1 entonces por la condición 2 se tiene que g ([ti , ti+1 ]) ⊂ U2 entonces en particular g (ti ) ∈ U1 ∩ U2 . Geométricamente observamos que U1 ∩ U2 tiene 2 componentes por trayectorias, la que contiene a (1, 0) y la que contiene a (−1, 0) entonces podemos tomar para cada i una trayectoria γi : I → U1 ∩ U2 que empiece en g (ti ) y termine en (1, 0) ó (−1, 0) si dependiendo en cual componente por trayectorias de U1 ∩U2 se encuentre el punto g (ti ). Definamos entonces δ 0 = g 0 γ0 −1 δi = γi−1 gi γi si 0 < i < n − 1 −1 δn−1 = γn−2 gn−1 Notemos que cada δi es una trayectoria en U1 ó en U2 entonces tenemos que [g] = = = =. [g g · · · g ] 0 1 −1n−1 −1 gn−1 g0 γ0 γ0 g1 γ1 γ1−1 · · · gn−2 γn−2 γn−2 −1 −1 (g0 γ0 ) γ0−1 g1 γ1 · · · γn−3 gn−2 γn−2 γn−2 gn−1 [δ0 δ1 · · · δn−1 ]. Notemos que si δi es un lazo en U1 o en U2 entonces por ser éste contraı́ble se tiene por el teorema 2.22 se tiene que δi es homotópico al lazo constante de valor (1, 0) o (−1, 0) según sea el caso entonces podemos ignorar estos casos y considerar que δi no es un lazo, simplemente una trayectoria con distintos puntos inicial y final. Sea η1 una trayectoria en U1 de (1, 0) a (−1, 0) además 36.

(39) 2.3. El Grupo Fundamental del Cı́rculo. es única salvo homotopı́as pues si η10 fuera otra trayectoria como η1 entonces η10 η1−1 es un lazo basado en (1, 0) y como U1 es simplemente conexo tendriamos que η10 η1−1 es homotopico (relativo a {0, 1}) al lazo constante (1, 0) y entonces η1 ≈ η10 rel{0,1} Análogamente, sea η2 una trayectoria en U2 de (−1, 0) a (1, 0) que es única por las mismas razones que η1 notemos que f ≈ η1 η2 rel{0,1} y además para cada i tenemos uno de los siguientes casos δi = η1 δi = η1−1 δi = η2 δi = η2−1 y además, por la condición 2, si δi = η1±1 entonces δi+1 = η2±1 y si δi = η2±1 entonces δi+1 = η1±1 entonces tenemos sólo uno de los tres casos siguentes para g y para alguna m > 0 g ≈ (1, 0) ≈ f 0 rel{0,1} g ≈ η1 η2 η1 η2 ...η1 η2 ≈ f m rel{0,1} −1 −1 −1 −1 g ≈ η2 η1 η2 η1 ...η2−1 η1−1 = (η1 η2 η1 η2 ...η1 η2 )−1 ≈ f −m rel{0,1} Con esto probamos que π1 (S 1 , (1, 0)) es un grupo cı́clico. Ahora veamos que π1 (S 1 , (1, 0)) tiene que ser infinito para esto consideremos S 1 como subconjunto del plano complejo S 1 = {z ∈ C : |z| = 1}. Sea h un lazo en S 1 . Entonces por el lema 2.34 se tiene que h es uniformemente continua ası́ que si tomamos ε = 1 entonces existe δ > 0 tal que si |s − t| < δ entonces |h (s) − h (t)| < 1. Entonces dividamos I en intervalos [tk , tk+1 ] tal 0 que tk+1 − tk < δ, entonces si t, t0 ∈ [tk , tk+1] se tiene que |h (t) − h (t )| < 1 h(ti ) entonces de la desigualAhora para cada i, 1 ≤ i ≤ n sea θi = Arg h(t i−1 ) dad |h (ti ) − h (ti−1 )| < 1 se tiene que −. π π < θi < 2 2. Ahora definamos el grado de h como sigue, Grado (h) = es un entero pues plejo. n Q i=1. n P. =. n P. θi . Este número. i=1. θi es una determinación del argumento del número com-. i=1 h(ti ) h(ti−1 ). 1 2π. h(tn ) h(t0 ). = 1 ası́ que. n P i=1. θi = 2πk para alguna k ∈. Z entonces 37.

(40) 2.3. El Grupo Fundamental del Cı́rculo. Grado (h) = k es un entero. Ahora veamos que el grado de h es independiente de la elección de los subintervalos de I, Notemos que si tomados dos particiones de intervalo I podemos encontrar una partición del mismo I que además es un refinamiento de ambas divisiones tomadas inicialmente, por lo que sólo es necesario mostrar que si tenemos una division de I entonces cualquier refinamiendo de éste genera el mismo valor para Grado (h); para esto sólo es necesario considerar refinamiendos donde sólo se agregue un punto s que “corte” un subintervalo [ti−1 , ti ] y los demás refinamientos es repetir el procedimiento una cantidad finita de veces. El refinamiento que consideramos es 0 = t0 < t1 < · · · < ti−1 < s < ti < · · · < tn = 1. Reemplacemos el valor θi correspondiente al subintervalo [ti−1 , ti ] por θi0 + θi00 por los correspondientes a los subintervalos [ti−1 , s] y [s, ti ] respectivamente, o sea θi0 = Arg h(th(s) i−1 ) i) θi00 = Arg h(t h(s) y de nuevo − π2 < θi0 <. π 2. − π2 < θi00 < π2 h(ti ) h(ti ) h(s) Ası́ que Arg h(ti−1 ) = Arg h(s) + Arg h(ti−1 ) = θi00 + θi0 y además por las desigualdades anteriores tenemos que −π < θi00 + θi0 < π h(ti ) = θi00 + θi0 nos dice que estos difieren en un pero el hecho de que Arg h(t i−1 ) múltiplo de 2π luego tenemos que necesariamente se da la desgualdad −. π π < θi00 + θi0 < 2 2. ası́ que θi = θi00 + θi0 . Ahora mostraremos que el grado de un lazo es invariante bajo homotopı́as, ası́ que supongamos que g, h son lazos basados en 1 homotópicos relativo al {0, 1}. Sea F : I × I → S 1 su homotopı́a y tenemos que F (s, 0) = h (s) F (s, 1) = g (s) F (0, t) = F (1, t) = 1 38.

(41) 2.3. El Grupo Fundamental del Cı́rculo. De nuevo usamos el lema 2.34 de manera análoga a como se hizo anteriormente para afirmar la existencia de subdivisiones de I × I en rectángulos de la forma [si−1 , si ] × [tj−1 , tj ]; donde {si } y {tj } son particiones del intervalo, y que F manda los intervalos a subconjuntos de S 1 de diámetro menor que 1 i.e., si (s, t) , (s0 , t0 ) ∈ [si−1 , si ] × [tj−1 , tj ] se tiene que |F (s, t) − F (s0 , t0 )| < 1 Ahora sean θi0. = Arg. . θi00 = Arg con |θi0 | <. π 2. y |θi00 | <. π . 2. . F (si ,tj−1 ) F (si−1 ,tj−1 ) F (si ,tj ) F (si−1 ,tj ). Si probamos que. n P i=1. θi0 =. n P. θi00 podriamos repetir. i=1. el mismo argumento paracada j =1, 2, ..., m y tendriamos que Grado (h) = F (s ,tj ) Grado (g) Sea ϕi = Arg F (si ,ti j−1 con |ϕi | < π2 Ahora θi00 − θi0 y ϕi − ϕi−1 ) son ambos determinaciones del argumento del mismo número ası́ que éstos difieren en un múltiplo de 2π y por las mismas razones anteriores concluimos que θi00 − θi0 = ϕi − ϕi−1 . Ahora podemos sumar sobre la i obteniendo n X i=1. θi00. −. n X. θi0. i=1. =. n X. θi00. i=1. −. θi0. =. n X. ϕi − ϕi−1 = ϕn − ϕ0. i=1. Ahora si calculamos ϕn y ϕ0 F (1,tj ) F (s ,tj ) = Arg = Arg ϕn = Arg F (snn,tj−1 ) F (1,tj−1 ) F (s ,tj ) F (1,tj ) ϕ0 = Arg F (s0 ,t0 j−1 = Arg F (1,tj−1 = Arg ) ) ası́ que llegamos a que. n P i=1. θi0 =. n P. 1 1. . =0. 1. =0. 1. θi00 que es lo que querı́amos. Definamos hm =. i=1. cos (2mπt)+isen (2mπt) se puede calcular que tiene grado m ası́ que el orden del grupo fundamental del cı́rculo es infinito. Con esto hemos demostrado que π1 (S 1 , (1, 0)) = Z.. 39.

(42) 2.4. 2.4.. Retractos y Aplicaciones. Retractos y Aplicaciones. Como hemos visto, no es fácil encontrar grupos fundamentales en general, pero esta proposición nos dice que el el grupo fundamental de el producto de dos espacios topológicos, y por lo tanto de una cantidad finita, es la suma directa de los grupos fundamentales de cada espacio.topológico. Proposición 2.36. Sean X, Y espacios topológicos y sean x0 ∈ X y y0 ∈ Y . Entonces π1 (X × Y, (x0, y0 )) ∼ = π1 (X, x0 ) × π1 (Y, y0 ). Demostración. El isomorfismo se obtiene como sigue: X × YG GG py v GG v GG vv GG v {v # px vvv. X. Y. Sean px , py las proyecciones px : X × Y → X y py : X × Y → Y . Estos inducen los homomorfismos (px )∗ : π1 (X × Y, (x0, y0 )) → π1 (X, x0 ) y (py )∗ : π1 (X × Y, (x0, y0 )) → π1 (Y, y0 ). π1 (X × YN)) NNN (py ) pp NNN ∗ ppp p p NNN p xppp & π1 (X) π1 (Y ) (px )∗. Sea ψ : π1 (X × Y, (x0, y0 )) → π1 (X, x0 ) × π1 (Y, y0 ) tal que si σ es un lazo en X × Y basado en (x0 , y0 ) digamos σ (t) = (σx (t) , σy (t)) entonces definimos ψ ([σ]) := (px )∗ [σ] , (py )∗ [σ] = ([σx ] , [σy ]) Notemos que σX es un lazo en X basado en x0 y σY es un lazo en Y basado en y0 y además, si τ ≈ σ rel {0, 1} donde τ (t) = (τx (t) , τy (t)) tenemos que ψ ([τ ]) = ([τx ] , [τy ]) = ([σx ] , [σy ]) = ψ ([σ]) Ası́ que ψ está bien definido. Probemos que ψ es homomorfismo. Sean [σ], [τ ] ∈ π1 (X × Y, (x0, y0 )), entonces ψ ([στ ]) = (px )∗ [στ ] , (py )∗ [στ ] = (px )∗ [σ] (px )∗ [τ ] , (py )∗ [σ] (py )∗ [τ ] = (px )∗ [σ] , (py )∗ [σ] (py )∗ [τ ] , (px )∗ [τ ] = ψ ([σ]) ψ ([τ ]) 40.

(43) 2.4. Retractos y Aplicaciones. Ahora probamos que ψ es biyectiva encontrando su inversa ψ −1 . Sea ϕ : π1 (X, x0 ) × π1 (Y, y0 ) → π1 (X × Y, (x0, y0 )) por la siguiente regla ϕ ([σ] , [τ ]) := [(σ (t) , τ (t))] ∀t ∈ I Afirmamos que ϕ = ψ −1 . Veamos primero que ϕ está bien definido. Supongamos que F1 : σ1 ≈ σ2 rel {0, 1} y F2 : τ1 ≈ τ2 rel {0, 1} entonces (σ1 , τ1 ) ≈ (σ2 , τ2 ) rel {0, 1} pues sea F : I × I → X × Y como F (s, t) = (F1 , F2 ) (s, t) donde (F1 , F2 ) (s, t) = (F1 (s, t) , F2 (s, t)); pues F (s, 0) = (F1 (s, 0) , F2 (s, 0)) = (σ1 (s) , τ1 (s)) = (σ1 , τ1 ) (s) F (s, 1) = (F1 (s, 1) , F2 (s, 1)) = (σ2 (s) , τ2 (s)) = (σ2 , τ2 ) (s) F (0, t) = (F1 (0, t) , F2 (0, t)) = (x0 , y0 ) = (F1 (1, t) , F2 (1, t)) = F (1, t) Por tanto F es la homotopı́a deseada. Veamos que ϕ = ψ −1 . Calculemos ψ ◦ ϕ y ϕ ◦ ψ ψ ◦ ϕ ([σ] , [τ ]) = ψ [(σ, τ )] = (px )∗ [(σ, τ )] , (py )∗ [(σ, τ )] = ([px (σ, τ )] , [py (σ, τ )]) = ([σ] , [τ ]) ϕ ◦ ψ [σ] = ϕ ([px σ] , [py σ]) = [(px σ, py σ)] = [σ]. Definición 2.37. Sea A ⊆ X. Diremos que A es un retracto de X si existe una aplicación f : X → A tal que f |A = IdA . Intuitivamente A es un retrato de X si X es puede deformar continuamente a A dejando los puntos de A fijos. Teorema 2.38. El cı́rculo S 1 no es retracto del disco cerrado E 2 . Demostración. Supongamos que si es un retracto, entonces existe una aplicación f : E 2 → S 1 tal que f |S 1 = IdS 1 . Sea i : S 1 → E 2 la inclusión entonces f ◦ i = IdS 1 pues si x ∈ S 1 entonces f ◦ i (x) = f (i (x)) = f (x) = x = IdS 1 (x). Ası́ como i es continua induce la 41.

(44) 2.4. Retractos y Aplicaciones. función i∗ : π1 (S 1 , (1, 0)) → π1 (E 2 , (1, 0)), y f induce f∗ : π1 (E 2 , (1, 0)) → π1 (S 1 , (1, 0)). Por otro lado, tenemos f∗ ◦ i∗ = (f ◦ i)∗ = Id∗ pero no puede ser ya que f∗ ◦ i∗ no es uno a uno, pues si g ∈ π1 (S 1 , (1, 0)) entonces como π1 (E 2 , (1, 0)) es simplemente conexo se tiene que f∗ ◦ i∗ (g) = f∗ (i∗ (g)) = f∗ (0) = 0 y sabemos que π1 (S 1 , (1, 0)) no es trivial por lo que f∗ ◦ i∗ = Id∗ no es uno a uno esto nos lleva a una contradicción. Definición 2.39. Sea A ⊆ X. Diremos que A es un retracto fuerte de deformación de X si existe una aplicación F : X × I → X tal que para cualquier x ∈ X, a ∈ A se tiene F (x, 0) = x F (x, 1) ∈ A F (a, t) = IdA Hay que observar que cualquer retracto fuerte de deformación es un retracto, pues la aplicación f (x) = F (x, 1) nos dice que A es un retracto de X. Proposición 2.40. S 1 es un retracto fuerte de deformación de E 2 −{(0, 0)}. Demostración. Sea F : E 2 − {(0, 0)} × I → E 2 − {(0, 0)} dada por F ((r, x) , t) = ((1 − t) r + t, x) con 0 < r ≤ 1 y 0 ≤ x ≤ 2π (en coordenadas polares.) F es continua pues sus proyecciónes son continuas. Ahora F ((r, x) , 0) = (r, x) F ((r, x) , 1) = (1, x) ∈ S 1 F ((1, x) , t) = (1 − t + t, x) = (1, x) Esto nos dice que efectivamente que S 1 es un retracto fuerte de deformación de E 2 − {(0, 0)}. Una aplicacion a esto nos da una particularización del teorema del punto fijo de Brouwer. Corolario 2.41. Cualquier aplicación f : E 2 → E 2 tiene un punto fijo. Demostración. Supongamos lo contrario, que f no tiene puntos fijos y llegaremos a una contradicción. 42.

(45) 2.4. Retractos y Aplicaciones. Figura 21: Definamos r : E 2 → S 1 de la siguiente manera, para cada x ∈ E 2 por hipótesis sabemos que x 6= f (x) ası́ que definen una semirecta que va de f (x) y que pasa por x, entonces sea r (x) el punto de intersección de esta semirecta con S 1 como se ve en la figura 21. r es continua. Ahora como r|S 1 = IdS 1 , esto quiere decir que S 1 es un retracto de E 2 que como ya demostramos en el teorema 2.38, no puede ser. Se puede probar fácilmente para el caso n = 1. Corolario 2.42. Cualquier aplicación f : [0, 1] → [0, 1] tiene un punto fijo. Demostración. Supongamos que f (0) > 0 y f (1) < 1 pues de lo contrario ya habrı́amos terminado. Consideremos la aplicación Id : [0, 1] → [0, 1] entonces f (0) > 0 = Id (0) y f (1) < 1 = Id (1) entonces por el teorema del valor intermedio existe x0 ∈ [0, 1] tal que f (x0 ) = Id (x0 ) = x0 y entonces x0 es un punto fijo de f .. 43.

(46) 2.4. Retractos y Aplicaciones. Figura 22: . 44.

(47) 3.. Grupos Libres y Productos Libres de Grupos Esta sección del trabajo está basado el los libros [4] y [2].. 3.1.. Producto Débil de Grupos Abelianos. Definición 3.1. Sean G1 , G2 grupos. Definimos G1 × G2 = {(g1 , g2 ) : g1 ∈ G1 , g2 ∈ G2 } y definimos el operador en el mismo por la regla (g1 , g2 ) (g10 , g20 ) = (g1 g10 , g2 g20 ) Observación 3.2. G1 × G2 es un grupo. Demostración. Cerradura Sean (g1 , g2 ), (g10 , g20 ) ∈ G1 ×G2 , entonces por definición tenemos que g1 , g10 ∈ G1 y g2 , g20 ∈ G2 entonces g1 g10 ∈ G1 y g2 g20 ∈ G2 asi que (g1 g10 , g2 g20 ) ∈ G1 × G2 . Asociatividad Sean (g1 , g2 ), (g10 , g20 ), (g1 , g2 ) ∈ G1 ×G2 , entonces (g1 g10 ) g1 = g1 (g10 g1 ) y analogamente (g2 g20 ) g2 = g2 (g20 g2 ) ası́ que ((g1 , g2 ) (g10 , g20 )) (g1 , g2 ) = = = =. (g1 g10 , g2 g20 ) (g1 , g2 ) ((g1 g10 ) g1 , (g2 g20 ) g2 ) (g1 (g10 g1 ) , g2 (g20 g2 )) (g1 , g2 ) ((g10 g1 ) , (g20 g2 )) .. Neutro Sean 11 y 12 los elementos neutros de los grupos G1 y G2 respectivamente, entonces (11 , 12 ) ∈ G1 × G2 y además es su elemento neutro pues si (g1 , g2 ) ∈ G1 × G2 entonces (11 , 12 ) (g1 , g2 ) = (11 g1 , 12 , g2 ) = (g1 , g2 ) (g1 , g2 ) (11 , 12 ) = (g1 11 , g2 12 ) = (g1 , g2 ). 45.

(48) 3.1. Producto Débil de Grupos Abelianos. Inverso Sea (g1 , g2 ) ∈ G1 × G2 , entonces también g1−1 , g2−1 ∈ G1 × G2 , veamos que g1−1 , g2−1 = (g1 , g2 )−1 g1−1 , g2−1 (g1 , g2) = g1−1 g1 , g2−1 g2 = (11 , 12 ) (g1 , g2 ) g1−1 , g2−1 = g1 g1−1 , g2 g2−1 = (11 , 12 ) De manera análoga podemos definir el producto de los grupos {Gi }ni=1 den Q notado por Gi o por G1 ×G2 ×...×Gn . También el producto de una familia i=1. numerable de grupos {Gi }∞ i=1 éste denotado por. ∞ Q. Gi en ambos casos defin-. i=1. imos el producto componente a componente. Ahora definimos el producto de familas arbitrarias de grupos. Notación 3.3. En futuras ocaciones denotaremos 1 al elemento identidad del grupo G, en cado de haber una familia {Gi }i∈I de grupos denotaremos 1i al elemento identidad en el grupo Gi . Q Definición 3.4. Sea {Gi }i∈I una familia arbitraria de grupos. Sea Gi su i∈I. producto cartesiano, es decir, ) ( [ Y Gi : ∀i ∈ I, f (i) ∈ Gi Gi = f : I → i∈I. i∈I. Y definimos el producto componente a componente,(f · g) (i) = f (i) g (i) para Q cada i ∈ I. A Gi , · se le llama producto directo o producto cartesiano i∈I. de la familia {Gi }i∈I . Observación 3.5. Si {Gi }i∈I es una familia de grupos abelianos entonces Q Gi también lo es. i∈I. Demostración. Sean f, g ∈. Q. Gi entonces veamos que f g = gf . Sea i ∈ I,. i∈I. entonces f g (i) = f (i) g (i) = g (i) f (i) = gf (i). Dada una familia arbitraria de grupos {G Q i }i∈I , su producto débil se define como el subgrupo de su producto directo Gi formado por los elementos g i∈I. tales que g (i) es el neutro en Gi excepto para una cantidad finita de elementos de I. Formalmente lo definimos ası́ 46.

(49) 3.1. Producto Débil de Grupos Abelianos. Definición 3.6. Sea {Gi }i∈I una familia de grupos y sea ( ) Y G= f ∈ Gi : f (i) = 1i excepto para una cantidad finita de elementos de I . i∈I. Entonces llamaremos a G el producto débil de {Gi }i∈I . Observación 3.7. El producto débil es un subgrupo del producto directo. Demostración. Sea {Gi }i∈I una familia de grupos y sea G su producto débil, entonces sólo tendremos que probar que para cualquiera dos elementos f, g ∈ G, se tiene que f g −1 ∈ G. Sean f, g ∈ G entonces digamos que Ff , Fg son los conjuntos finitos de I tales que para cualquier i 6∈ Ff , f (i) = 1i y para cualquier i 6∈ Fg , g (i) = 1i , ası́ el conjunto de elementos i donde g −1 (i) 6= 1i es Fg también. Por otro lado hay que notar que Ff ∪ Fg es finito, y además si i 6∈ Ff ∪ Fg entonces como i 6∈ Ff se tiene que f (i) = 1i y i 6∈ Fg tenemos g −1 (i) = 1i con esto probamos que para cualquier i 6∈ Ff ∪ Fg f g −1 (i) = 1i entonces f g −1 ∈ G. Observación 3.8. Si los Gi son abelianos y la operación de los grupos es aditiva, al producto débil suele llamársele suma directa y se denota por ⊕. Observación 3.9. Si {Gi }i∈I es una familia finita de grupos entonces su producto débil y su producto directo coinciden. Proposición 3.10. Sea {Gi }i∈I una familia de grupos y sea G su producto débil, o producto directo, entonces para cualquier i ∈ I, la función ϕi : Gi → G definido de la siguiente forma, para cada j ∈ I, y x ∈ Gi x si j = i (ϕi (x)) (j) = 1 si j 6= i es un monomorfismo. Demostración. Tenemos que probar que ϕi es homomorfismo y que es uno a uno. ϕi es un homomorfismo. Veamos ambos casos si j = i tenemos que (ϕi (xy)) (j) = xy = (ϕi (x)) (j) · (ϕi (y)) (j) Si j 6= i tenemos (ϕi (xy)) (j) = 1 = 1 · 1 = (ϕi (x)) (j) · (ϕi (y)) (j) 47.

(50) 3.1. Producto Débil de Grupos Abelianos. ϕi es inyectiva. Como ϕi es un homomorfismo, es suficiente con mostrar −1 que ϕ−1 i (1) = {1i }. Sea x ∈ ϕi (1), entonces ϕi (x) = 1 o bien (ϕi (x)) (j) = 1j para cualquier j ∈ I. Si tomamos en particular j = i tenemos que x = (ϕi (x)) (i) = 1i .. Definición 3.11. A los ϕi como en la proposición anterior se le llaman monomorfismos naturales. En el caso de que cada Gi sea abeliano el teorema siguiente da una caracterización importante de su producto débil y de sus monomorfismos naturales. Teorema 3.12. Si {Gi }i∈I es una colección de grupos abelianos y G es su producto débil entonces dado un grupo abeliano A y dada una colección de homomorfismos {ψi : Gi → A}i∈I existe un único homomorfismo ψ : G → A tal que para cualquier i ∈ I el siguiente diagrama conmuta. ψi. ϕi. /G ~ ~ ~~ ~~ ψ ~ ~~. Gi A. Demostración. Si f ∈ G, sea {ij }nj=i ⊂ I el conjunto finito donde se cumple que f (ij ) 6= 1 que existe por definición de producto débil, entonces definimos ψ : G → A de la siguiente manera ψ (f ) =. n Y. ψij (f (ij )). j=1. ψ está bien definida ya que el producto es finito y A es un grupo abeliano ası́ que no depende el orden en el que se tomen los {ij }. m Q n entonces ψ (f ) = ψim (f (km )) Podemos observar que si {kj }m ⊃ {i } j j=i j=i j=1. {ij }nj=i. pues para los elementos kj 6∈ se tiene que f (kj ) = 1 y ası́ tambien, por ser ψin un homomorfismo, ψij (f (ij )) = 1 y entonces no afectará en el producto. Ahora probamos que ψ es un homomorfismo. Sean f1 , f2 ∈ G y sea {ij }nj=i los ı́ndices para los cuales f1 (ij ) 6= 1 o f2 (ij ) 6= 1. 48.

(51) 3.1. Producto Débil de Grupos Abelianos. Por la observación anterior tenemos ψ (f1 ) =. n Y. ψij (f1 (ij )). j=1. ψ (f2 ) =. n Y. ψij (f2 (ij )). j=1. Ahora calculemos ψ (f1 f2 ) ψ (f1 f2 ) = = = =. n Y j=1 n Y j=1 n Y j=1 n Y. ψij (f1 f2 (ij )) ψij (f1 (ij ) f2 (ij )) ψij (f1 (ij )) ψij (f2 (ij )) ψij (f1 (ij )). j=1. n Y. ψij (f2 (ij )). j=1. = ψ (f1 ) ψ (f2 ) Ahora veamos que el diagrama conmuta, tenemos que probar que para cualquier i ∈ I se tiene que ψϕi = ψi . Tomemos x ∈ G entonces por definición tenemos x si i = j ϕi (x) (j) = 1 si i 6= j entonces aplicando ψ tenemos que ψϕi (x) = ψi (x) ası́ que el diagrama conmuta. Ahora la unicidad, sea ψ 0 : G → A un homomorfismo que hace conmutar el diagrama. Sea f ∈ G probaremos la siguiente igualdad Y f= (ϕi (f (i))) (1) i∈I. 49.

(52) 3.1. Producto Débil de Grupos Abelianos. para ello tomemos j ∈ I arbitraria, notemos que f (j) si i = j ϕi (f (i)) (j) = 1 si i 6= j luego ! Y. ϕi (f (i)) (j) =. i∈I. Y. (ϕi (f (i))) (j) = f (j). i∈I. para cada j ∈ I por lo tanto probamos (1). Entonces ! Y ψ 0 (f ) = ψ 0 ϕi (f (i)) i∈I. =. Y. =. Y. ψ 0 (ϕi (f (i))). i∈I. ψi (f (i)). i∈I. = ψ (f ) Se sigue que ψ 0 = ψ y el teorema queda demostrado. Al teorema anterior se le suele llamar propiedad universal del producto débil de grupos abelianos. La siguiente proposición establece que el teorema 3.12 caracteriza el producto débil de grupos abelianos. Proposición 3.13. Sea {Gi }i∈I una colección de grupos abelianos y G su producto débil. Sea G0 un grupo abeliano arbitrario y ϕ0i : Gi → G0 una colección de homomorfismos tal que el teorema 3.12 sea válido al sustituir G y ϕi respectivamente por G0 y ϕ0i , entonces existe un único isomorfismo h : G → G0 tal que para cualquier i ∈ I el siguiente diagrama conmuta. ϕ0i. ϕi. /G ~ ~ ~~ ~~ ~~~ h. Gi. (2). G0. Demostración. Por el teorema 3.12 tenemos que existe un homomorfismo h que hace conmutar el diagrama 2. Por otra parte, el teorema 3.12 también 50.

(53) 3.1. Producto Débil de Grupos Abelianos. se aplica a G0 y ϕ0i por las hipótesis de la proposición 3.13 ası́ que tenemos el siguiente diagrama conmutativo. ϕi. ϕ0i. / G0 } } }} }} k } }~. Gi. (3). G. Si unimos los diagramas 2 y 3 tenemos 0. G }> ϕi }} } h }} }} Gi A ϕ0 / G0 AA i AA ϕi AAA k . >G }} } } k }} }} Gi A ϕi / G AA AA h A ϕ0i AA ϕ0i. G0. G y por lo tanto los siguientes diagramas conmutan. ϕi. ϕi. /G ~ ~~ ~~ ~ k◦h ~~ ~. Gi. ϕ0i. ϕ0i. / G0 } }} }} } h◦k }~ }. Gi G0. G Por otro lado, es claro que. ϕi. ϕi. /G ~ ~ ~~ ~~ IdG ~ ~~. Gi. G conmuta. Y por la unicidad del teorema 3.12 tenemos que kh = IdG hk = IdG0 Con esto h posee una función inversa ası́ que h es un isomorfismo. Observación 3.14. Puesto que cada ϕi es un monomorfismo, podemos identificar Gi con su imagen en G por ϕi , y considerar ϕi como una inclusión cuando sea conveniente. Ası́ que en este caso diremos que G es el producto débil de los grupos Gi entendiendose que ϕi es una inclusión. 51.

(54) 3.2. 3.2.. Grupos Abelianos Libres. Grupos Abelianos Libres. Definición 3.15. Sea G un grupo. Sea S ⊂ G. Se dice que S genera a G si todo elemento de G puede escribirse como producto de potencias de elementos de S. Además si S es finito diremos que G es finitamente generado. Observación 3.16. Si G es un grupo, y S ⊂ G entonces S genera a G si y sólo si S no está contenido en algún subgrupo propio de G. mk 1 m2 Demostración. Sea hSi = {sm 1 s2 · · · sk : mi ∈ Z, si ∈ S, k ∈ N} Supongamos que existe un subgrupo propio H de G tal que S ⊂ H. Por las propiedades de ceradura bajo producto e inversos de H tenemos que. hSi ⊂ H como H es propio de G tenemos que existe g ∈ G tal que g 6∈ hSi ası́ que g no se puede escribir como producto de potencias de elementos de S y entonces S no genera a G. Ahora supongamos que S no genera a G entonces hSi 6= G y es claro que S ⊂ hSi y además que hSi es un subgrupo de G ası́ que ya acabamos. Ejemplo 3.17. Si G es un grupo cı́clico de orden n, a saber G = xi : i ∈ Z, xn = 1 entonces {x} genera a G. Si el conjunto S genera a un grupo G, cierto producto de elementos de S pueden dar el neutro de G, por ejemplo a) si x ∈ S entonces xx−1 = 1. b) si G es un grupo cı́clico de orden n generado por {x} entonces xn = 1. a un producto de elementos de S que sea igual al neutro se le llama una relación entre elementos del conjunto generador S. Podemos distinguir entre dos tipos de relaciones, triviales y no triviales, las primeras que son consecuencias de los axiomas de grupo como en a), y las no triviales que son las que dependen de la estructura del grupo G como en b). Estas observaciones nos llevan a la ”definición”siguiente, si S es un conjunto generador de G decimos que G está libremente generado por S si todas las relaciones entre los elementos de S son triviales. 52.

(55) 3.2. Grupos Abelianos Libres. También estas nociones nos llevan a la idea de que podemos determinar completamente un grupo por los elementos de un conjunto generador y las relaciones no triviales entre ellos. Para poder dar una definición precisa de la idea anterior, nos basaremos en las siguientes observaciones Observación 3.18. 1. Sea S un conjunto de generadores de G y f : G → G0 un epimorfismo, entonces el conjunto f (S) es un conjunto generador de G0 , además cualquier relación de G entre los elementos de S es tambien una relación en G0 entre los elementos de f (S), ası́ que G0 satisface al menos tantas relaciones como G. 2. Sea S un conjunto generador de G y f : G → G0 un homomorfismo. entonces f está completamente determinado por su restricción al conjunto S, sin embargo, es falso que toda aplicación g : S → G0 pueda extenderse a un homomorfismo f : G → G0 , ya que puede que g no “mande” la identidad en la identidad (suponiendo que la identidad fuese un elemento de S). Ahora daremos la definición de grupo abeliano libre. Definición 3.19. Sea S un conjunto arbitrario. Uno grupo abeliano libre sobre un conjunto S es un grupo abeliano F junto con una función ϕ : S → F tal que para cualquier grupo abeliano A y para cualquier función ψ : S → A existe un único homomorfismo f : F → A que hace conmutar el siguiente diagrama. ψ. ϕ. /F ~ ~ ~ ~~ ~~ f. S. A. Demostraremos que esta definición caracteriza efectivamente a los grupos abelianos libres sobre un conjunto S dado. Proposición 3.20. Sean F y F 0 grupos abelianos libres sobre un conjunto S respecto a las funciones ϕ : S → F y ϕ0 : S → F 0 respectivamente. Entonces existe un único isomorfismo h : F → F 0 que además hace conmutar el diagrama siguiente. 53.