SUPERIOR DE ENSENADA, BAJA CALIFORNIA
MR
PROGRAMA DE POSGRADO EN CIENCIAS
EN ´
OPTICA
Estudio de procesos no-lineales en fibras ´
opticas
multimodales.
Tesis
para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de Maestro en Ciencias
Presenta:
Mar´ıa del Rocio Camacho Morales
Mar´ıa del Rocio Camacho Morales
y aprobada por el siguiente comit ´e
Dra. Karina Garay Palmett
Codirector del Comit ´e
Dr. Ra ´ul Rangel Rojo
Codirector del Comit ´e
Dr. Anatoly Khomenko
Miembro del Comit ´e
Dr. Eugenio Rafael M ´endez M ´endez Miembro del Comit ´e
Dr. Manuel Herrara Zald´ıvar Miembro del Comit ´e
Dr. Pedro Negrete Regagnon Coordinador del Programa de
Posgrado en ´Optica
Dr. Jes ´us Favela Vara Director de Estudios de Posgrado
Resumen de la tesis que presenta Mar´ıa del Rocio Camacho Morales como requisito parcial para la obtenci ´on del grado de Maestro en Ciencias en ´Optica.
Estudio de procesos no-lineales en fibras ´opticas multimodales.
Resumen elaborado por:
Mar´ıa del Rocio Camacho Morales
La generaci ´on de se ˜nales no lineales en fibras ´opticas ha presentado inter ´es debido a sus multiples aplicaciones en ´areas como la metrolog´ıa, la microscop´ıa, y la ´optica cu ´antica, entre otras. Particularmente, la generaci ´on de pares y tripletes de fotones para su aplicaci ´on en el ´area de ´optica cu ´antica es posible por medio de la no linealidad de tercer orden que presentan las fibras ´opticas. La eficiencia en la generaci ´on de pares y tripletes de fotones depende del traslape espacial entre modos, sujeta a la condici ´on de conservaci ´on de momento.
Recientemente, se han estudiado procesos ´opticos no lineales en las denominadas fibras microestructuradas. El control de la dispersi ´on de los modos guiados y las grandes longitudes de interacci ´on provistas por este tipo de fibras permite aumentar la eficiencia de los procesos no lineales.
En este trabajo, exploramos una variedad de configuraciones que permiten cumplir con la condici ´on de empatamiento de fases en dos procesos param ´etricos no lineales de tercer orden, la mezcla de cuatro ondas y la generaci ´on de tercer arm ´onico, en diferentes fibras microestructuradas. El c ´alculo de las condiciones de empatamiento de fases mostr ´o la posibilidad de estudiar procesos par ´ametricos no lineales de tercer orden, por medio de un campo de bombeo centrado alrededor de 800 o bien 400 nm. De acuerdo a estos resultados, escogimos una fibra microestructurada para estudiar el proceso de generaci ´on de tercer arm ´onico, por medio del fundamental de un l ´aser de Ti:Zafiro. Se observ ´o la generaci ´on de dos se ˜nales principales en la regi ´on espectral del UV alrededor de 300 nm y 340 nm. Interpretamos la generaci ´on de ambas se ˜nales como se ˜nales de tercer arm ´onico que se propagan en modos espaciales de orden superior.
Abstract of the thesis presented by Mar´ıa del Rocio Camacho Morales as a partial requi-rement to obtain the Master of Science degree in Master in Sciences in Optics.
Study of nonlinear process in multimode fibers
Abstract by:
Mar´ıa del Rocio Camacho Morales
The generation of nonlinear signals in optical fibers has showed interest due to the several applications in metrology, microscopy, quantum optics, among others. In particular, the generation of photon pairs and photon triplets, for applications in quantum optics, are possible through the third order nonlinearity of optical fibers. The emission efficiency of photon pairs and photon triplets depends on energy and momentum conservation, and also on the spatial overlap among the interacting fields.
Recently, nonlinear processes have been studied in the so called microstructured fi-bers. The controlled dispersion of the guided modes and the large interactions lengths provided by these fibers, permits the enhancement of nonlinear process.
In this work, we explore a variety of configurations to accomplish the phase matching condition for two third order nonlinear parametric processes, four wave mixing and third harmonic generation, in different microstructured fibers. The calculation of the phase mat-ching conditions showed the possibility for generating signals through third order nonlinear parametric processes, using a pump field around 800 nm or 400 nm. According to these results, we chose a microstructured fiber to study the third harmonic generation process using the fundamental of a Ti:Saphire laser. We observed the generation of two main sig-nals in the UV spectral region around 300 nm and 340 nm. We interpret the generation of these two signals as third harmonic signals that propagate in high order spatial modes.
Dedicatoria
A mis padres Jos ´e Antonio y Patricia, y a
Agradecimientos
Mi mayor agradecimiento es para mi familia. A mis padres por el amor y el cari ˜no
que me han brindado, que me acompa ˜na a donde quiera que voy. Por su confianza y
apoyo que me sostiene en cada paso que doy en la vida, por apoyarme en mis decisiones
y alentarme a seguir adelante, porque siempre que est ´an conmigo me siento en casa.
A mis hermanas Carolina y Monica, porque en ellas siempre encuentro una mano amiga
para continuar, un buen consejo, por alegrarme la vida, por recordarme cu ´al es mi camino
y por su ejemplo de vida que siempre me invita a ser una persona m ´as completa.
A la familia G ´omez por el apoyo incondicional y la ayuda que me brindaron desde que
los conoc´ı, por tratarme como parte de la familia y acompa ˜narme en momentos dif´ıciles.
A la familia Cordova por abrirme las puertas de su casa y brindarme la oportunidad
de compartir con ellos, por los abrazos de chicos y grandes con los que me recib´ıan en
su casa.
A Margoth por todos los momentos y platicas significativas que compartimos, por la
franqueza de sus palabras que siempre me ayudaron a ver m ´as all ´a de lo inmediato, por
la risas con y sin sentido que tuvimos juntas.
A Enrique por su amistad y ayuda que me hicieron saber que siempre contaba con
alguien, por saber escucharme y entenderme, por los silencios que compartimos.
A Iv ´an, Daniel y Cristian por los momentos que compartimos en la maestr´ıa, por la
amistad y compa ˜nerismo que nos uni ´o durante las materias para hacernos los d´ıas m ´as
ligeros.
A mis compa ˜neros y amigos, Miriam, Citlali, H ´ector, Manuel, Daniel, Sergio, Iv ´an, Lalo,
A Mony y Carlos, grandes amigos que conoc´ı en Ensenada. Estoy segura que su
amistad continuar ´a m ´as all ´a de Ensenada.
A mis profesores por todas las herramientas que me brindaron durante el a ˜no de
materias, por sus ense ˜nanzas y por compartirme su experiencia.
A mis codirectores de tesis: Dra. Karina Garay y Dr. Ra ´ul Rangel por su confianza y
por todo lo que me han aportado para crecer en mi formaci ´on acad ´emica.
A mis compa ˜neros de laboratorio, Jacob, Jazm´ın, Carlos, H ´ector, Boni, por sus
conse-jos y ayuda durante mi trabajo en el laboratorio.
Al Dr. Israel por su ayuda y consejos dentro y fuera del laboratorio.
A los t ´encinos Marcos y Eliseo por la disposici ´on que mostraron para ayudarme en mi
trabajo. Por los consejos que me dieron para mejorar mi forma de trabajo.
A mi comit ´e de tesis: Dr. Anatoly Khomenko, Dr. Eugenio M ´endez y Dr. Manuel
Herra-ra, por sus comentarios y aportaciones a mi trabajo de tesis.
Al Dr. Santiago por el apoyo que me brind ´o durante mi ingreso a la maestr´ıa.
Al Centro de Investigaci ´on Cient´ıfica y de Educaci ´on Superior de Ensenada.
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnolog´ıa (CONACyT) por brindarme el apoyo
Tabla de contenido
P ´agina
Resumen en espa ˜nol iii
Resumen en ingl ´es iv
Dedicatoria v
Agradecimientos vi
Lista de figuras ix
1. Introducci ´on 1
1.1. Objetivos. . . 5
1.2. Estructura de la tesis . . . 5
2. Fibras ´opticas y procesos no lineales. 7 2.1. Fibras ´opticas y sus propiedades. . . 7
2.2. Propagaci ´on lineal en fibras ´opticas. Atenuaci ´on y dispersi ´on. . . 9
2.3. Fibras Microestructuradas. . . 14
2.3.1. Modelo te ´orico de la fibra microestructurada. . . 16
2.3.2. Expresiones del campo electromagn ´etico. . . 16
2.4. Procesos no lineales de tercer orden. . . 21
2.5. Procesos param ´etricos. . . 25
2.5.1. Mezcla de cuatro ondas. . . 25
2.5.2. Generaci ´on de tercer arm ´onico. . . 28
2.6. Procesos no param ´etricos. . . 30
3. Propiedades de Empatamiento de Fases. 33 3.1. C ´alculo de la dispersi ´on de velocidad de grupo. . . 33
3.2. C ´alculo de empatamiento de fases para procesos param ´etricos. . . . 35
3.2.1. Empatamiento de fases para el proceso de FWM. . . 39
3.2.2. Empatamiento de fases para el proceso de THG . . . 47
4. Implementaci ´on experimental y resultados. 55 4.1. Descripci ´on de la propuesta experimental. . . 55
4.2. Caracterizaci ´on del pulso de bombeo. . . 56
4.2.1. Perfil espectral. . . 58
4.2.2. Perfil temporal. . . 59
4.3. Generaci ´on de supercontinuo. . . 62
4.4. Generaci ´on de se ˜nales en la regi ´on del espectro UV. . . 65
4.4.1. Variaci ´on de la se ˜nal con cambios de potencia. . . 68
4.4.2. Variaci ´on de la se ˜nal con cambios de polarizaci ´on. . . 70
4.5. An ´alisis de los resultados obtenidos. . . 71
4.6. Comparaci ´on de resultados experimentales y te ´oricos. . . 78
4.7. Discusi ´on . . . 79
5. Resumen y conclusiones 86
Lista de figuras
Figura P ´agina
1. P ´erdidas inducidas en una fibra ´optica mediante diferentes mecanismos f´ısicos (tomado de referencia Saleh y Teich, 1991). . . 10 2. Propagaci ´on de un pulso en un medio lineal dispersivo, en el r ´egimen de
dispersi ´on normal. . . 14 3. Propagaci ´on de un pulso en un medio lineal dispersivo, en el r ´egimen de
dispersi ´on an ´omalo. . . 14 4. Corte transversal de una MSF y sus correspondientes par ´ametros geom
´etri-cos. . . 15 5. Esquema del proceso de mezcla de cuatro ondas con un bombeo
dege-nerado. En el esquema las flechas que representan a los dos fotones de bombeo se dibujaron con la misma longitud, para representar que ambos fotones tienen la misma frecuencia. . . 26 6. Esquema del proceso de generaci ´on de tercer arm ´onico. . . 28 7. Representaci ´on esquem ´atica del esparcimiento Raman espont ´aneo. a)
Ge-neraci ´on de onda Stokes y b) GeGe-neraci ´on de onda anti-Stokes. . . 32 8. Curvas de la DVG en diferentes fibras. (a) Modos de propagaci ´on HE1m
correspondientes a la fibra NL 1.8 730. (b) Modos de propagaci ´on HE2m
correspondientes a la fibra NL 2.4 800. . . 34 9. Curvas de la DVG en diferentes fibras. (a) Modos de propagaci ´on EH1m
correspondientes a la fibra NL 2.5 810. (b) Modos de propagaci ´on EH2m
correspondientes a la fibra SC 5.0 1040. . . 35 10. Diagrama de empatamiento de fases para la fibra NL 1.8 730 con los cuatro
campos propag ´andose en el modoHE12. . . 41
11. Diagrama de empatamiento de fases para la fibra NL 2.5 810 con los cuatro campos propag ´andose en el modoHE13. . . 41
12. Diagrama de empatamiento de fases para la fibra NL 2.5 810 cuando los dos campos de bombeo se propagan en el modo HE11 y los dos campos
generados en el modoHE11yHE12. . . 43
13. Diagrama de empatamiento de fases para la fibra SC 5.0 1040 cuando los cuatro campos se propagan en el modoHE13. . . 44
14. Diagrama de empatamiento de fases para la fibra SC 5.0 1040 cuando los dos campos de bombeo se propagan en el modo HE11 y los dos campos
Lista de figuras (continuaci ´
on)
Figura P ´agina
15. Valor de la funci ´on de desempatamiento de fases para la fibra NL 1.8 730, al permitir la propagaci ´on del tercer arm ´onico en los modos: (a)HE1m (b)
HE2m (c) HE3m. La inserci ´on muestra el valor de la funci ´on
desempata-miento de fases sin considerar la fase no lineal (negro) y considerando la fase no lineal (rojo). . . 49 16. Valor de la funci ´on de desempatamiento de fases para la fibra NL 2.4 800,
al permitir la propagaci ´on del tercer arm ´onico en los modos: (a)HE1m. (b)
HE2m. (c)HE3m. . . 51
17. Valor de la funci ´on de desempatamiento de fases para la fibra SC 5.0 1040, al permitir la propagaci ´on del tercer arm ´onico en los modos: (a)HE1m. (b)
HE2m. (c)HE3m.. . . 52
18. Diagrama del arreglo experimental para estudiar los procesos no lineales generados en la fibra NL 2.4 800. E1, E2, espejos; L, lente; F filtro; TFM tubo fotomultiplicador; FAV fuente de alto voltaje; PA preamplificador. . . . 57 19. Respuesta espectral t´ıpica del TFM HAMAMATSU R2557. . . 58 20. Perfil espectral del l ´aser Ti:Zafiro modelo Griffin. . . 59 21. Diagrama del autocorrelador utilizado para medir el ancho temporal del pulso. 61 22. Traza de autocorrelaci ´on de intensidad del campo de bombeo. . . 62 23. Perfil espectral a la salida del l ´aser Ti:Zafiro. . . 63 24. Espectros a la salida de la fibra NL 2.4 800 en la regi ´on del visible e IR
cercano: (a) al variar la potencia del campo de bombeo (b) el ´angulo de rotaci ´on de la fibra. . . 64 25. Perfil espectral del l ´aser Ti:Zafiro. . . 66 26. Espectros a la salida de la fibra NL 2.4 800 en la regi ´on del UV. . . 67 27. Diagrama del arreglo experimental para estudiar el proceso THG. E1, E2,
espejos; L, lente; F filtro; TFM tubo fotomultiplicador; FAV fuente de alto voltaje; TA-D tarjeta an ´alogica-digital. . . 67 28. Espectros generados a la salida de la fibra NL 2.4 800 en la regi ´on del UV
con diferente perfil espectral del campo incidente en la fibra y condiciones de acoplamiento. . . 68 29. Arreglo experimental que permite controlar la potencia y la polarizaci ´on del
Lista de figuras (continuaci ´
on)
Figura P ´agina
30. Espectros generados a la salida de la fibra en la regi ´on del espectro UV al variar la potencia del campo incidente en la fibra. En la esquina superior derecha se encuentra el perfil de intensidad a la salida de la fibra. . . 70 31. Gr ´aficas Log-Log de la intensidad de la se ˜nales en funci ´on de la potencia
del campo incidente en la fibra: a) se ˜nal centrada alrededor de 300 nm. b) se ˜nal centrada alrededor de 340 nm. . . 71 32. Gr ´aficas de la intensidad de la se ˜nales en funci ´on de la polarizaci ´on del
campo incidente en la fibra: a) se ˜nal centrada alrededor de 300 nm. b) se ˜nal centrada alrededor de 340 nm. . . 71 33. Im ´agenes del corte transversal de la fibra NL 2.4 800 adquiridas con un
SEM a diferentes escalas. . . 73 34. Generaci ´on de tercer arm ´onico mediante la participaci ´on de tres fotones de
bombeo con la misma longitud de onda: a) Diagrama de niveles de energ´ıa para dicho proceso. b) C ´alculo de empatamiento de fases de dicho proceso. 75 35. Diagrama de niveles de energ´ıa para el proceso de THG con un campo de
bombeo no degenerado. . . 77 36. C ´alculo de empatamiento de fases cuando el tercer arm ´onico viaja en
mo-dos de orden superior: a) modoEH13 (b) modoHE52 (c) modoEH51. . . . 78
37. a) C ´alculo de empatamiento de fases cuando el tercer arm ´onico viaja en el modoHE52. b) Espectro generado en la regi ´on del espectro UV. c)
Corres-pondiente espectro del SC. . . 79 38. a) C ´alculo de empatamiento de fases cuando el tercer arm ´onico viaja en el
modoEH51. b) Espectro generado en la regi ´on del UV. c) Correspondiente
Lista de tablas
Tabla P ´agina
1. Par ´ametros de las cuatro fibras disponibles . . . 33 2. Valores asociados a las soluciones a la condici ´on de empatamiento
de fases para la fibra NL 1.8 730 cuando el tercer arm ´onico viaja en un modoHElm. . . 50
3. Valores asociados a la soluciones a la condici ´on de empatamiento de fases para la fibra NL 2.4 800 cuando el tercer arm ´onico se propaga en un modoHElm. . . 51
4. Valores asociados a las soluciones a la condici ´on de empatamiento de fases para la fibra SC 5.0 1040 cuando el tercer arm ´onico se propaga en un modo HElm. . . 53
5. Par ´ametros de la fibra NL 2.4 800 otorgados por el fabricante. . . 74 6. Valores asociados a las soluciones a la condici ´on de empatamiento
Cap´ıtulo 1.
Introducci ´
on
El estudio de procesos no lineales es un campo de estudio de la ´optica que ha mostra-do un gran desarrollo, tanto en la parte experimental como en la te ´orica. Sus aplicaciones se extienden a diversas ´areas como medicina, biolog´ıa, telecomunicaciones, entre otras. Dependiendo del inter ´es, a lo largo del estudio de estos procesos se han utilizado di-ferentes materiales como: cristales no lineales, compuestos org ´anicos, gu´ıas de onda, nanopart´ıculas, etc. En este trabajo se estudiaron procesos no lineales de tercer orden en fibras ´opticas, debido a las grandes longitudes de interacci ´on que presentan, en com-paraci ´on con el uso de otros materiales como lo son cristales no lineales.
La mayor´ıa de las fibras ´opticas utilizadas en comunicaciones ´opticas est ´an hechas de s´ılice fundida (SiO2), material que exhibe una atenuaci ´on muy baja en la regi ´on espectral
alrededor deλ=1550 nm. Debido a que el coeficiente no lineal de este material es muy bajo comparado con el de otros materiales, la intensidad de los procesos no lineales que pudieran manifestarse es muy baja. No obstante, debido a la dependencia de estos pro-cesos con la potencia del campo incidente y la longitud de interacci ´on entre los campos, los efectos ´opticos no lineales a altos niveles de potencia ´optica no pueden ser ignorados, en un segmento largo de fibra (Yariv y Yeh, 2007). El estudio del origen de los fen ´omenos no lineales indica que la susceptibilidad el ´ectrica de segundo orden es diferente de cero ´unicamente en materiales no centrosim ´etricos. Debido a la naturaleza centrosim ´etrica de la matriz v´ıtrea delSiO2, la susceptibilidad el ´ectrica de segundo orden desaparece en las
fibras de s´ılice. Como resultado, las fibras ´opticas no exhiben, convencionalmente, efec-tos no lineales de segundo orden (Agrawal, 2001). T´ıpicamente, los procesos no lineales de m ´as bajo orden en fibras ´opticas se derivan de la susceptibilidad no lineal (electr ´onica) de tercer orden, responsable de fen ´omenos como refracci ´on no lineal, mezcla de cuatro ondas, generaci ´on de tercer arm ´onico, automodulaci ´on de fase, esparcimiento Raman, etc.
cubierta contiene un arreglo regular y peri ´odico de agujeros rellenos de aire que corren a lo largo de toda la fibra (Gentyet al., 2002). Los agujeros de aire alrededor del n ´ucleo dis-minuyen el ´ındice de refracci ´on de la cubierta permitiendo guiar la luz al interior de la fibra por el principio de reflexi ´on total interna, como en las fibras ´opticas convencionales. La diferencia entre el valor del ´ındice de refracci ´on de la cubierta y el n ´ucleo es una cantidad importante que determina algunas de las propiedades de una fibra ´optica, dicha diferen-cia es representada por el valor del contraste diel ´ectrico. En una fibra microestructurada la disminuci ´on en el valor del ´ındice de refracci ´on de la cubierta, y en consecuencia el au-mento en el valor del contraste diel ´ectrico, es tal que los modos guiados presentan un alto confinamiento en el n ´ucleo. El alto confinamiento de los modos guiados realza la intensi-dad pico y permite aumentar, de esta forma, la eficiencia de los procesos no lineales. Otra propiedad importante de las fibras microestructuradas es la posibilidad de obtener fibras con caracter´ısticas de dispersi ´on favorables para estudiar procesos no lineales. El control de las propiedades de dispersi ´on de la fibra se realiza por medio del dise ˜no adecuado de la geometr´ıa de la cubierta, es decir, por medio de una distribuci ´on adecuada de los agujeros de aire en ´esta. En las fibras convencionales de s´ılice la longitud de onda donde la dispersi ´on es cero,λZD, no puede estar por debajo de 1.28 µm(Francoy et al., 2010),
mientras que en las fibras microestructuradasλZD se puede recorrer desde el visible
has-ta el infrarrojo cercano (Bjarklevet al., 2003). Esta caracter´ıstica es muy relevante para el desarrollo de aplicaciones basadas en ´optica no lineal, ya que permite utilizar como l ´aser de bombeo toda la gama de l ´aseres que emiten en torno a 800 nm (Ti:Zafiro) o a 1µm
(Nd:YAG, o basados en Yb), al sintonizar la longitud de onda de cero dispersi ´on de la fibra alrededor de la longitud de onda central de los pulsos l ´aser; disminuyendo de esta forma el ensanchamiento de los pulsos causados por efectos de dispersi ´on. En consecuencia, la longitud de coherencia de las interacciones no lineales aumenta, debido a que es po-sible conseguir un traslape temporal de dos pulsos ´opticos que se propagan a diferente longitud de onda. Por otro lado, tambi ´en es posible obtener fibras microestructuradas que presentan dos valores diferentes deλZD (Husakou y Herrmann, 2001).
nueva herramienta para la ´optica cu ´antica y la ´optica no lineal (Douady y Boulanger, 2004; H ¨ubelet al., 2010); como el uso de pares de fotones (generados, entre otros, por medio de mezcla de cuatro ondas) lo ha sido por aproximadamente 40 a ˜nos. La generaci ´on de tripletes de fotones es el proceso param ´etrico inverso a la generaci ´on del tercer arm ´onico y requiere, por tanto, de las mismas condiciones de empatamiento de fases. Aumentar la eficiencia (extremadamente peque ˜na) del proceso de conversi ´on param ´etrica descen-dente constituye un reto significativo por resolver.
Por otro lado, modos de orden superior pueden tener aplicaciones en el estudio de interacciones de luz con la materia. Los modos de orden superior soportados por la fibra constituyen un recurso interesante para el estudio de interacciones de objetos, que pue-den ser biol ´ogicos, con luz. Adicionalmente, el campo evanescente de un modo de orpue-den superior propag ´andose en una fibra de escalas nanom ´etricas, podr´ıa producir una torca sobre un objeto cercano, la cual se manifestar´ıa en un movimiento rotacional del objeto alrededor de la fibra, si el modo exhibe momento angular orbital (McGloinet al., 1998).
En el caso del proceso de FWM la condici ´on de empatamiento de fases se cumple para un intervalo de longitudes de onda. As´ı, las diversas soluciones a la condici ´on de empatamiento de fases definen una curva de empatamiento de fases. En el proceso de FWM las curvas de empatamiento de fases est ´an relacionadas con los puntosλZD de la
fibra ´optica, observ ´andose que la curva de empatamiento de fases se encuentra en las vecindades de este punto. Para el caso particular en el cual dos λZD est ´an presentes,
la curva de empatamiento de fases se encuentra definida entre estos dos puntos. As´ı, al trabajar con modos de orden superior se hace posible trasladar las zonas espectrales en las cuales se generan se ˜nales param ´etricas por mezcla de cuatro ondas, manteniendo las propiedades que se presentan cuando el campo de bombeo y los campos generados se propagan en el modo fundamental. La observaci ´on de modos de orden superior en fibras convencionales multimodales a trav ´es del proceso no lineal de mezclado de cuatro ondas fue reportado por primera vez por Stolen (Stolen y Leibolt, 1976), donde las componentes Stokes y Antistokes fueron generadas en diferentes modos guiados.
fibras monomodales, debido a efectos de dispersi ´on. M ´as a ´un, en fibras ´opticas multimo-dales que se caracterizan por tener una peque ˜na diferencia entre el valor del ´ındice de refracci ´on del n ´ucleo y la cubierta (fibras convencioneales), no es posible cumplir la con-dici ´on de empatamiento de fases para el proceso de tercer arm ´onico. Este tipo de fibras, tambi ´en conocidas como fibras de guiado d ´ebil, poseen un valor peque ˜no del contraste diel ´ectrico. La generaci ´on de tercer arm ´onico ha sido previamente observada en fibras de cristal fot ´onico (Ivanov et al., 2006) o bien en fibras ´opticas adelgazadas (tapers) (Wie-demann et al., 2010). En estos casos se observ ´o que la se ˜nal de tercer arm ´onico se propaga en un modo de orden superior, mientras que la se ˜nal de bombeo se propaga en el modo fundamental. Dicha configuraci ´on modal permite cumplir con la condici ´on de empatamiento de fases. El estudio del tercer arm ´onico entapersha demostrado una alta dependencia con el valor del di ´ametro de la fibra, debido a la sensibilidad de la condici ´on de empatamiento con este par ´ametro. Por lo anterior, la conversi ´on del tercer arm ´onico est ´a limitada por la condici ´on de empatamiento de fases, que se cumple ´unicamente en la regi ´on de la cintura del taper. En la mayor´ıa de los casos la cintura del taper tiene una longitud del orden de mil´ımetros. En dicha regi ´on, se hace posible la interacci ´on entre el campo fundamental y el campo del tercer arm ´onico (Coillet y Grelu, 2012). Por otro lado, el estudio del tercer arm ´onico en fibras microestructuradas permite aumentar la eficiencia del proceso cuando la condici ´on de empatamiento de fases se cumple a lo largo de toda la fibra.
1.1. Objetivos.
El objetivo principal de la tesis es implementar t ´ecnicas para la excitaci ´on de modos de orden superior en fibras microestructuradas y estudiar los procesos no lineales ori-ginados por la interacci ´on de campos propag ´andose en diferentes modos transversales. Particularmente, para el estudio de procesos par ´ametricos no lineales de tercer orden se fijaron los siguientes objetivos espec´ıficos:
Identificar los modos de propagaci ´on involucrados en el proceso no lineal generado.
Estudiar la dependencia de las se ˜nales generadas con cambios en la intensidad y la polarizaci ´on del campo incidente en la fibra.
1.2. Estructura de la tesis
La tesis que se presenta se ha estructurado en cinco cap´ıtulos. Tras esta introducci ´on, en el cap´ıtulo 2 se describe el principio de funcionamiento y las principales caracter´ısticas de una fibra ´optica. Se describen tambi ´en las principales caracter´ısticas de la propaga-ci ´on lineal en fibras ´opticas y los prinpropaga-cipales problemas que presentan por efectos de atenuaci ´on y dispersi ´on. Posteriormente, se describen las caracter´ısticas de una fibra mi-croestructurada y su posible aproximaci ´on a una fibra con un perfil de ´ındice escalonado; dicha aproximaci ´on permitir ´a realizar c ´alculos de inter ´es para el presente trabajo. Final-mente, se presenta una breve introducci ´on a los procesos no lineales de tercer orden, con especial ´enfasis en los procesos param ´etricos de inter ´es: mezcla de cuatro ondas y generaci ´on del tercer arm ´onico.
De acuerdo a los resultados de los c ´alculos que presentamos en el cap´ıtulo anterior, en el cap´ıtulo 4 se describe el arreglo experimental que se implement ´o para estudiar el proceso de THG. Se presenta la caracterizaci ´on temporal y espectral del campo de bombeo proveniente del l ´aser de Ti:Zafiro y posteriormente los espectros generados a la salida de la fibra microestructurada. Los espectros incluyen la generaci ´on de un super-continuo y de se ˜nales en la regi ´on espectral del UV; las se ˜nales generadas en la regi ´on del espectro UV fueron estudiadas con cambios en la polarizaci ´on y la potencia del cam-po acoplado a la fibra. Por ´ultimo, se presenta una discusi ´on de los resultados obtenidos experimentalmente y su comparaci ´on con los c ´alculos realizados.
Cap´ıtulo 2.
Fibras ´
opticas y procesos no lineales.
En este cap´ıtulo se presentan las principales caracter´ısticas y propiedades de una fi-bra ´optica, as´ı mismo se justifica el modelo te ´orico bajo el cual se realizaron los c ´alculos pertinentes a las fibras microestructuradas y se derivan algunas de las expresiones de di-cho modelo. Por ´ultimo, se describe el origen de los procesos no lineales de tercer orden, se describe brevemente algunos de ellos y se presentan algunas de las expresiones m ´as importantes de los procesos param ´etricos no lineales de tercer orden.
2.1. Fibras ´opticas y sus propiedades.
Una fibra ´optica es una gu´ıa de onda cil´ındrica que se caracteriza por el valor en el ´ındice de refracci ´on del n ´ucleo y la cubierta,n1 yn2 respectivamente, por la relaci ´on que
se debe de cumplir entre ambos ´ındices n1 > n2, as´ı como por el valor del radio del
n ´ucleo a. De acuerdo a la forma funcional del ´ındice de refracci ´on en el n ´ucleo y en la cubierta, las fibras ´opticas convencionales se clasifican principalmente en dos: fibras con perfil de ´ındice escalonado y fibras con perfil de ´ındice gradual. En una fibra con perfil de ´ındice escalonado el valor del ´ındice de refracci ´on es uniforme en el n ´ucleo y tambi ´en en la cubierta, con un cambio abrupto (entre el valor de ambos ´ındices) en la interfaz n ´ucleo-cubierta. Por otro lado, en una fibra con perfil de ´ındice gradual, como su nombre lo indica, el valor del ´ındice de refracci ´on var´ıa gradualmente desde un valor m ´aximo en el centro del n ´ucleo hasta un valor m´ınimo en la interfaz n ´ucleo-cubierta el valor del ´ındice de refracci ´on del n ´ucleo es m´ınimo.
Cuando un haz de luz incide en una fibra ´optica el haz es guiado dentro del n ´ucleo de la fibra, por el principio de reflexi ´on interna total, siempre que el haz incida dentro del cono de aceptaci ´on de la fibra. El ´anguloθm = arcsen(N A)define el cono de aceptaci ´on
de una fibra ´optica, en donde N A = pn2
1−n22 es la apertura n ´umerica de la fibra. As´ı,
cuando un haz incide a un ´angulo menor aθm se dice que el haz incide dentro del cono
soporta la fibra; es adem ´as un par ´ametro clave en la caracterizaci ´on de una fibra. Su valor depende de los par ´ametros de la fibra y de la longitud de ondaλdel haz incidente, matem ´aticamente se expresa como
V =κ0a
q n2
1−n22 =
2π
λ aN A. (1)
El n ´umero de modos soportados por una fibra es funci ´on creciente de V. En una fibra con un perfil de ´ındice escalonado (Secci ´on 2.3.1) se cumple queV < 2.405 para fibras monomodales, en las que s ´olo se propaga el modo fundamental. ParaV > 2.405 la fibra puede soportar la propagaci ´on de dos o m ´as modos, en este caso la fibra se denomina fibra multimodal (Agrawal, 2001). Para obtener fibras monomodales usualmente se redu-ce el radio del n ´ucleo de la fibra, por consiguiente la diferencia geom ´etrica m ´as relevante entre las fibras monomodo y multimodo viene dada por el tama ˜no del n ´ucleo. Para todo modo guiado, a excepci ´on del modo fundamental, existe una longitud de onda de corte
λc. La longitud de onda de corte λc se refiere a una cota o l´ımite superior respecto a la
longitud de ondaλ m ´axima que puede ser guiada a lo largo de la fibra. Cerca de la con-dici ´on de corte la mayor parte de la energ´ıa del correspondiente modo se propaga por la cubierta, se trata de modos poco confinados. En las fibras ´opticas convencionales se introducen elementos dopantes en el n ´ucleo y/o en la cubierta, modificando as´ı el valor del ´ındice de refracci ´on correspondiente. De esta forma, se logra aumentar el ´ındice de refracci ´on del n ´ucleo en comparaci ´on con el de la cubierta, condici ´on necesaria para guiar la luz por reflexi ´on total interna. Los modos de propagaci ´on de una fibra ´optica conven-cional son usualmente referidos como modosLP, o bien modos linealmente polarizados. Los modos LP son soluciones aproximadas al problema de un campo electromagn ´etico propagante dentro de una fibra ´optica. La aproximaci ´on supone que el campo tiene una ´unica componente transversal. Esta aproximaci ´on es v ´alida en fibras ´opticas convencio-nales en donde la diferencia entre el ´ındice de refracci ´on del n ´ucleon1 y la cubiertan2 es
muy peque ˜na. Cuando la diferencia entre n1 y n2 es grande los modos de propagaci ´on
son referidos como modos h´ıbridos. Las caracter´ısticas de estos modos ser ´an tratadas m ´as adelante.
y efectos de dispersi ´on, son puntos claves para describir la transmisi ´on de pulsos de luz a trav ´es de una fibra ´optica. A continuaci ´on se describen estas propiedades.
2.2. Propagaci ´on lineal en fibras ´opticas. Atenuaci ´on y dispersi ´on.
En una fibra ´optica existen diversos mecanismos que dan lugar a p ´erdidas de energ´ıa, las cuales se miden por medio de la atenuaci ´on. La atenuaci ´on en una fibra se debe a aspectos propios de la fibra, atenuaci ´on intr´ınseca, o bien a aspectos externos a ella, ate-nuaci ´on extr´ınseca. La ateate-nuaci ´on intr´ınseca, como su nombre lo indica, tiene su origen en la naturaleza del material y por tanto est ´a presente en cualquier tipo de fibra. La absor-ci ´on ultravioleta e infrarroja y el esparabsor-cimiento Rayleigh y Raman, son algunos ejemplos de los fen ´omenos f´ısicos que dan lugar a la atenuaci ´on intr´ınseca. La mol ´ecula deSiO2,
fibra ´optica debido a los diferentes mecanismos f´ısicos mencionados anteriormente.
Atenuación de fibra (dB/Km)
Longitud de onda (μm)
Figura 1: P ´erdidas inducidas en una fibra ´optica mediante diferentes mecanismos f´ısicos (tomado de referencia Saleh y Teich, 1991).
Por otro lado, cuando un pulso de luz se propaga a trav ´es de un medio ´optico expe-rimenta un fen ´omeno f´ısico conocido como dispersi ´on. La dispersi ´on tiene su origen en la interacci ´on entre los electrones del medio y el campo incidente. En un medio ´optico, la relaci ´on de dispersi ´on est ´a dada por
β(ω) =n(ω)ω
c, (2)
donde β(ω) y n(ω) son respectivamente, la constante de propagaci ´on y el ´ındice de re-fracci ´on a la frecuencia ω y c es la velocidad de la luz en el vac´ıo. Esta relaci ´on indica que cuando un pulso se propaga a trav ´es de un medio cada frecuencia del pulso viaja a diferente velocidad; en consecuencia se produce un ensanchamiento temporal del pulso y la forma del mismo cambia.
En una fibra ´optica la dispersi ´on tiene un papel cr´ıtico en la propagaci ´on de pulsos ´opti-cos de corta duraci ´on, debido a que las diferentes componentes espectrales asociadas al pulso viajan a diferente velocidad; cada componente espectral viaja a una velocidad de fase dada porvf = c/n(ω). Para una se ˜nal con un ancho espectral finito la velocidad de
por tanto a la velocidad de grupo como vg = (dω/dκ), que representa la velocidad a la
cual el centro del pulso se propaga. Si un paquete de ondas centrado a una frecuencia
ω0 se propaga en el vac´ıo, la velocidad de fase y la velocidad de grupo son constantes e
iguales ac, en cuyo caso el medio se identifica libre de dispersi ´on.
En una fibra ´optica se presentan principalmente tres tipos de dispersi ´on: dispersi ´on del material, dispersi ´on de gu´ıa y dispersi ´on modal. La dispersi ´on del material expresa la dependencia del ´ındice de refracci ´onn del medio, y en consecuencia de la velocidad de fase de la onda, con la frecuenciaωde la onda incidente; esto esn=n(ω). La dispersi ´on del material se relaciona con las frecuencias caracter´ısticas de resonancia a las cuales el material absorbe radiaci ´on electromagn ´etica. Lejos de las resonancias del material, el ´ındice de refracci ´on se aproxima por la ecuaci ´on de Sellmeier
n2(ω) = 1 +
m
X
j=1
Bjω2j
ω2 j −ω2
, (3)
dondeωj indica la frecuencia de resonancia de ordenj yBj su peso respectivo (Agrawal,
A partir de la descripci ´on anterior, es posible notar que tanto la dispersi ´on del material como la dispersi ´on de gu´ıa de onda dependen de la frecuenciaω de la onda incidente. El efecto combinado de la dispersi ´on material y la dispersi ´on de gu´ıa de onda se conoce como dispersi ´on crom ´atica. La dispersi ´on crom ´atica, tambi ´en conocida como dispersi ´on intramodal, tiene su origen en el peque ˜no pero finito ancho de banda de la luz incidente. La forma sencilla de la relaci ´on de dispersi ´on descrita en la ecuaci ´on (2) no describe adecuadamente la curva de dispersi ´on crom ´atica en una fibra ´optica. Dado que rara vez se conoce una forma funcional exacta de la relaci ´on de dispersi ´on, resulta ´util hacer una expansi ´on en una serie de Taylor deβ(ω)alrededor de la frecuencia central del espectro del pulsoω0
β(ω) =β0+ (ω−ω0)β1+
1
2(ω−ω0)
2β 2+
1
6(ω−ω0)
3β
3+. . . , (4)
donde
β(ω)m =
dmβ(ω)
dωm
ω=ω0
. (5)
El par ´ametro β0 est ´a relacionado con la velocidad de fase vf, mientras que β1
re-presenta el inverso de la velocidad de grupo vg; β2 es conocido como el par ´ametro de
dispersi ´on de la velocidad de grupo (DVG) y es responsable del ensanchamiento de los pulsos que se propagan en el r ´egimen lineal a lo largo de la fibra (Agrawal, 2001). Los t ´erminosβj conj >2corresponden a efectos de dispersi ´on de orden superior. En t ´ermi-nos matem ´aticos, lo anterior se expresa como
β0 = ω0 vf
, (6)
β1 = 1 vg
= 1
c
n+ωdn dω
, (7)
β2 = 1 c
2dn dω +ω
d2n d2ω
. (8)
Por otro lado, el coeficiente de dispersi ´on crom ´atica D (m ´as utilizado en la pr ´actica) est ´a definido como
D= dβ1 dλ =−
2πc
Podemos notar de la ecuaci ´on (9) queDyβ2tienen signo contrario. Una caracter´ıstica notable de las curvas de dispersi ´on de velocidad de grupo es que la dispersi ´on se anula a una cierta longitud de ondaλ. A esta longitud de onda se le denomina longitud de onda de cero dispersi ´on o bienλZD (por sus siglas en ingl ´es zero dispersion). F´ısicamente la
longitud de onda de cero dispersi ´on representa la longitud de onda a la cual la dispersi ´on de gu´ıa de onda compensa la dispersi ´on del material de la fibra. Dado que la dispersi ´on de gu´ıa de onda depende fundamentalmente de los par ´ametros de dise ˜no de la fibra, tales como a y la diferencia entre los ´ındices de refracci ´on n1 y n2, λZD puede recorrerse a
puntos convenientes del espectro. Cabe mencionar queλZDes diferente para cada modo
espacial debido a la dispersi ´on modal, por lo que es necesario determinar la constante de propagaci ´on de cada modo para determinarλZD. El hecho de operar con la longitud de
ondaλZD de la fibra no implica que los pulsos no presentan dispersi ´on alguna. Esto s ´olo
significa que los efectos dispersivos de segundo orden est ´an ausentes y que por tanto la dispersi ´on de tercer orden es el t ´ermino de dispersi ´on dominante.
La longitud de ondaλZD define dos r ´egimenes de dispersi ´on dentro de la fibra
(Agra-wal, 2001). Por debajo deλZD (D <0,β2 >0) se dice que la propagaci ´on se efect ´ua en el
r ´egimen de dispersi ´on normal, el cual exhibe la mayor´ıa de los materiales transparentes en la regi ´on del espectro visible. En este r ´egimen las componentes de m ´as alta frecuen-cia del pulso, las componentes azules, viajan a menor rapidez que las componentes de baja frecuencia, componentes rojas. Considerando los efectos en el pulso conforme se propaga, el borde anterior del pulso contendr ´a despu ´es de cierta distancia una mayor concentraci ´on de frecuencias bajas (rojas, R), mientras que el borde de salida contendr ´a una mayor concentraci ´on de altas frecuencias (azules, A). Este efecto se ilustra en la fi-gura 2. En contraste, por encima deλZD (D >0,β2 <0) se dice que la fibra presenta un
R A
t
t
E(t)
χ
(3)Figura 2: Propagaci ´on de un pulso en un medio lineal dispersivo, en el r ´egimen de dispersi ´on nor-mal.
E(t)
χ
(3)t
t
R A
Figura 3: Propagaci ´on de un pulso en un medio lineal dispersivo, en el r ´egimen de dispersi ´on an ´ oma-lo.
Los pulsos pueden sufrir adem ´as de dispersi ´on por polarizaci ´on. ´Esta consiste en el ensanchamiento del pulso propagante, debido a la peque ˜na diferencia que presentan los modos polarizados en las direccionesxyyen el valor de la constante de propagaci ´onβ. Sin embargo, el ensanchamiento debido a la dispersi ´on por polarizaci ´on es relativamente peque ˜no comparado con los efectos de dispersi ´on de velocidad de grupo.
2.3. Fibras Microestructuradas.
una MSF se indican en la figura 4, tales par ´ametros son: el radio del n ´ucleoa, el di ´ametro de los agujeros de aired, y la separaci ´on entre los agujeros de aireΛ.
Figura 4: Corte transversal de una MSF y sus correspondientes par ´ametros geom ´etricos.
La fracci ´on de llenado es una cantidad adimensional que est ´a relacionada con la com-posici ´on de la cubierta. Concretamente representa la proporci ´on o fracci ´on de aire que compone a la cubierta, su valor m ´aximo es 1 refiri ´endose a una cubierta conformada de aire completamente. Matem ´aticamente la fracci ´on de llenadof se define comof = d/Λ
(Zhanget al., 2012), es decir, la raz ´on entre el di ´ametro de los agujeros de aire y la se-paraci ´on entre ellos. Diferentes valores del radio del n ´ucleo a y la fracci ´on de llenado f
modifican las propiedades de dispersi ´on de una MSF. Actualmente, las diferentes combi-naciones posibles del valor de a yf han permitido controlar la longitud de onda de cero dispersi ´onλZD en el intervalo de 500 a 1600 nm. Otro par ´ametro importante de una fibra
´optica es el contraste diel ´ectrico. El contraste diel ´ectrico se define como
∆ = 1
2
1− n
2 1
n2 2
≈ n1−n2 n1
. (10)
En fibras convencionales, donde n1 ≈ n2, es v ´alida la aproximaci ´on. En este caso
2.3.1. Modelo te ´orico de la fibra microestructurada.
La soluci ´on a la ecuaci ´on de onda en una MSF es un problema complejo, debido a la estructura de la cubierta de la fibra que cuenta con m ´ultiples fronteras. Adem ´as, la soluci ´on exacta a la ecuaci ´on de onda en una fibra ´optica existe solamente para un n ´umero muy limitado de casos, en el presente trabajo se realiz ´o una aproximaci ´on con respecto a la estructura de la MSF. Se consider ´o a la cubierta como un medio homog ´eneo e is ´otropo con un ´ındice de refracci ´on constante. El ´ındice de refracci ´on de la cubierta depende de la fracci ´on de llenadof a trav ´es de la siguiente expresi ´on (Wonget al., 2005)
n2 =f + (1−f)n1. (11)
De acuerdo a lo anterior, el modelo de la MSF consiste en asumir una fibra con un ´ındice de refracci ´on constante en el n ´ucleo (delSiO2) y un ´ındice de refracci ´on constante
en la cubierta expresado mediante la ecuaci ´on (11).
Como se mencion ´o anteriormente, una fibra que cuenta con un perfil de ´ındice es-calonado consiste de un ´ındice de refracci ´on constante en el n ´ucleo y la cubierta (que cumple n1 > n2) que exhibe un salto, una discontinuidad entre ambos valores en la
in-terfaz n ´ucleo-cubierta. En consecuencia, el modelo de una MSF (bajo la aproximaci ´on realizada) corresponde a una fibra con dicho perfil. El perfil de ´ındice escalonado tiene una soluci ´on anal´ıtica exacta para los campos modales en gu´ıas de onda planas, fibras con simetr´ıa circular y fibras el´ıpticas. La aproximaci ´on del modelo de ´ındice escalonado ha reproducido resultados confiables en el c ´alculo de la dispersi ´on de la fibra, cuando la fracci ´on de llenado cumple con la relaci ´on0.1< f <0.9(Wonget al., 2005).
2.3.2. Expresiones del campo electromagn ´etico.
Un campo electromagn ´etico se describe por los vectores de campo el ´ectrico E(r, t)y campo magn ´eticoH(r, t), ambos funciones vectoriales de la posici ´on(x, y, z)y el tiempo
t. Las seis funciones del campo se relacionan a trav ´es de las ecuaciones de Maxwell, las cuales en un medio lineal, homog ´eneo, is ´otropo, dispersivo y libre de fuentes son representadas de la siguiente forma
∇ ×H(r, t) = ∂D(r, t)
∂t , (12)
∇ ×D(r, t) =−∂H(r, t)
∂t , (13)
∇ ·B(r, t) = 0, (14)
∇ ·D(r, t) = 0, (15)
dondeD(r, t) es el vector de desplazamiento el ´ectrico y B(r, t)es el vector de inducci ´on magn ´etica. A estas cuatro ecuaciones es necesario agregar las relaciones constitutivas
D=(ω)E, (16)
B=µ(ω)H, (17)
donde(ω)yµ(ω)(unidades MKS) son la permitividad el ´ectrica y la permeabilidad magn ´eti-ca del medio, respectivamente. Para un medio ´opticoµ = 1. Para satisfacer las ecuacio-nes de Maxwell cada una de las componentes de los camposE y Hdeben satisfacer la ecuaci ´on de onda
∇2F(r, t)− 1 v2
∂2F(r, t)
∂2t = 0, (18)
dondeF(r, t)puede ser el campo el ´ectricoEo bien el magn ´eticoHyces la velocidad de la luz en el vac´ıo. Si aplicamos la transformada de Fourier aE(r, t), la ecuaci ´on de onda puede escribirse en el dominio de las frecuencias como
∇2E(ω, t) +κ2 0n
2E(ω, t) = 0, (19)
resolver para conocer el comportamiento lineal de la luz al propagarse a lo largo de la fibra. En conjunto con las condiciones de frontera, las soluciones a la ecuaci ´on de Helm-holtz proporcionan los modos de propagaci ´on de la fibra. Debido a la simetr´ıa cil´ındrica del perfil de ´ındice de refracci ´on es conveniente resolver la ecuaci ´on de Helmholtz en el sistema de coordenadas cil´ındricas. La ecuaci ´on de Helmholtz para la componente z del vectorEes
∂2E z
∂ρ2 +
1 ρ ∂Ez ∂ρ + 1 ρ2
∂2E z
∂φ2 + ∂2E
z
∂z2 +n
2
κ02Ez = 0. (20)
La ecuaci ´on (20) se puede resolver f ´acilmente usando el m ´etodo de separaci ´on de variables, escribiendo aEz de la siguiente manera
Ez(ρ, φ, z) =F(ρ)Φ(φ)Z(z). (21)
Usando las ecuaciones (20) y (21) obtenemos tres ecuaciones diferenciales ordinarias
∂2Z
∂z2 +β
2Z = 0, (22)
∂2Φ
∂φ2 +l
2Φ = 0, (23)
∂2F
∂ρ2 +
1 ρ
∂F ∂ρ + (n
2
κ20−β2− l
2
ρ2)F = 0. (24)
La soluci ´on de la ecuaci ´on (22) es de la formaZ =exp(iβz), dondeβ es la constante de propagaci ´on. Similarmente la soluci ´on a la ecuaci ´on (23) es de la formaΦ =exp(ilφ); la constantel est ´a restringida a tomar ´unicamente valores enteros, puesto que el campo debe ser peri ´odico enφcon un per´ıodo de2π. La ecuaci ´on (24) es la ecuaci ´on diferencial de Bessel y sus soluciones son llamadas funciones Bessel de ordenl. La soluci ´on general a la ecuaci ´on, en la regi ´on del n ´ucleo y fuera de ´el, est ´a dada por
F(ρ) =
c1Jl(hr) +c2Yl(hr) :ρ < a,
c3Kl(qr) +c4Il(qr) :ρ > a,
(25)
Kl,Il son funciones de Bessel modificadas de segunda clase. Los par ´ametroshyqest ´an
definidos por
h2 =n21κ20−β2, (26)
q2 =β2−n22κ20. (27)
Aplicando las condiciones de frontera propias del problema: un modo guiado debe ser finito enρ= 0y tender a cero enρ =∞, la soluci ´on general de la ecuaci ´on (20) es de la forma
E(z) =
c1Jl(hr)exp(ilφ)exp(−iβz) :ρ < a,
c3Kl(qr)exp(ilφ)exp(−iβz) :ρ > a.
(28)
Similarmente podemos obtener una expresi ´on paraHz. De hecho, la soluci ´on tiene la
misma forma pero con diferentes constantes
H(z) =
c5Jl(hr)exp(ilφ)exp(−iβz) :ρ < a,
c6Kl(qr)exp(ilφ)exp(−iβz) :ρ > a.
(29)
Las otras cuatro componentesEρ,Eφ,Hρ yHφpueden ser expresadas en funci ´on de
Ez yHz usando las ecuaciones de Maxwell. Los par ´ametrosh y q determinan,
respecti-vamente, la velocidad de cambio del campo en el n ´ucleo y la cubierta. Un valor alto deh
implica una oscilaci ´on m ´as r ´apida de la distribuci ´on radial en el n ´ucleo. Un valor alto de
qimplica un decaimiento m ´as r ´apido y una menor penetraci ´on de la onda en la cubierta. Las ecuaciones (28) y (29) requieren en conjunto queh2 > 0yq2 >0, lo cual se traduce
en
n1κ0 > β > n2κ0. (30)
En este punto, introducimos los llamados par ´ametros modales adimensionales del n ´ucleo y la cubierta (Saleh y Teich, 1991) definidos por
U =ha, (31)
La condici ´on de continuidad de las componentesEz,Hz,Er, yHren la frontera n
´ucleo-cubierta establece una relaci ´on entre los coeficientes de proporcionalidad de las compo-nentes. Mediante un procedimiento algebraico esta relaci ´on entre coeficientes da lugar a la ecuaci ´on caracter´ıstica
Jl0(U) U Jl0(U) +
Kl0(U) W Kl(W)
n2 1J
0
l(U)
U Jl(U)
+ n
2 2K
0
l(U)
W Kl(W)
=
=l2 " 1 W 2 + 1 U 2# β κ0 2 . (33)
Los eigen-valores de esta ecuaci ´on nos proporcionan las constantes de propagaci ´on
β de los modos. Es costumbre expresar a las soluciones comoβlm, dondel determina la distribuci ´on azimutal del modo ym representa la distribuci ´on radial del modo. El n ´umero
l representa la carga topol ´ogica del modo, por lo que los modos con l = 0 carecen de momento angular orbital. Las diferentes clases de modos de propagaci ´on dentro de una fibra se determinan por medio del valor del contraste diel ´ectrico. En fibras convenciona-les el valor del contraste diel ´ectrico es t´ıpicamente mucho menor que 1 y los modos de propagaci ´on resultantes son los llamados modosLP. En el presente trabajo nos hemos enfocado en los modos de propagaci ´on resultantes de un alto contraste diel ´ectrico. Esta clase de modos son conocidos como modos h´ıbridos y se designan comoHElm yEHlm.
La distinci ´on entre los modosHE yEH proviene de las dos clases de soluciones que se obtienen de la ecuaci ´on (33), ecuaci ´on que es cuadr ´atica enJl0(U)/U Jl0(U). Cuando resol-vemos la ecuaci ´on caracter´ıstica obtenemos dos diferentes ecuaciones correspondientes a las dos ra´ıces de dicha ecuaci ´on. Paral = 0, estos modos son an ´alogos a los modos transversal el ´ectrico (TE) y transversal magn ´etico (TM), t´ıpicos de las gu´ıas de onda pla-nas, debido a que la componente axial del campo el ´ectrico o magn ´etico se desvanece. Sin embargo paral >0, los modos de una fibra se convierten en modos h´ıbridos, es de-cir, las seis componentes del campo electromagn ´etico son diferente de cero (Yariv y Yeh, 2007). El modo fundamental corresponde al modoHE11, con una distribuci ´on transversal
que se aproxima a una funci ´on gaussiana.
mediante funciones de la paqueter´ıa de optimizaci ´on de MATLAB. Fijo el valor de l, se determinan una o varias soluciones a la ecuaci ´on caracter´ıstica, dependiendo de si la fibra es monomodal o multimodal. Los ´ındices de refracci ´on del material en el n ´ucleo y la cubierta son evaluados a partir de la ecuaci ´on de Sellmeier para la s´ılice (Malitson, 1965).
2.4. Procesos no lineales de tercer orden.
Con las fuentes de luz disponibles hasta 1960 la respuesta de un material a un campo electromagn ´etico incidente presentaba un comportamiento lineal. Sin embargo, este com-portamiento cambi ´o con la llegada de las fuentes de luz l ´aser en 1960 (Maiman, 1960). Tan solo un a ˜no despu ´es, en 1961, se report ´o la primera observaci ´on de un fen ´omeno ´optico no lineal: la generaci ´on del segundo arm ´onico (Franken et al., 1961). En 1962 se report ´o la primera observaci ´on de la generaci ´on del tercer arm ´onico (Terhune et al., 1962); y en 1980 se confirm ´o por primera vez la generaci ´on de un solit ´on dentro de una fibra ´optica (Mollenaueret al., 1980). Desde entonces y hasta ahora la ´optica no lineal se ha consolidado como un campo activo de investigaci ´on con diversas aplicaciones.
Dentro de los modelos m ´as sencillos de interacci ´on entre luz y materia se encuen-tra el modelo cl ´asico del oscilador de un electr ´on. En este contexto la respuesta lineal del material se explica mediante el movimiento de un oscilador arm ´onico. Para explicar los fen ´omenos no lineales es necesario recurrir al modelo de un oscilador anarm ´onico. Hoy en d´ıa la teor´ıa m ´as completa de la ´optica no lineal se construye en t ´erminos de la mec ´anica cu ´antica (Boyd, 1997).
Las propiedades de un material diel ´ectrico a trav ´es del cual una onda electromagn ´eti-ca se propaga est ´an descritas por la relaci ´on entre el vector de densidad de polarizaci ´on P(r, t)y el vector del campo el ´ectricoE(r, t)
D(ω) =(ω)E(ω) = 0(ω)E(ω) +P(ω). (34)
expansi ´on en serie de Taylor
P(t) = 0[χ(1)·E(t) +χ(2) :E2(t) +χ(3)...E3(t) +...], (35)
donde 0 es una constante que se conoce como la permitividad el ´ectrica del vac´ıo, E(t)
es el vector del campo el ´ectrico y χ(n) se conoce como la susceptibilidad de orden n y es un tensor de orden n+1. El primer t ´ermino en la expansi ´on representa la contribuci ´on lineal del medio que representa la contribuci ´on dominante al vector de polarizaci ´onP(t). Si el campo incidente es de baja intensidad el material presenta ´unicamente propiedades lineales y el resto de los t ´erminos de la expansi ´on ser ´an despreciables. Las propiedades no lineales del medio se presentan cuando la intensidad del campo incidente es alta, en consecuencia los t ´erminos de susceptibilidad de orden superior no pueden ser despre-ciados. En tal caso los t ´erminosχ(2) yχ(3) conocidos como la susceptibilidad de segundo
y tercer orden, respectivamente, describen los fen ´omenos no lineales. Los fen ´omenos no lineales de segundo orden, generados a trav ´es de χ(2), se presentan ´unicamente en
materiales no centrosim ´etricos. Si el material es centrosim ´etrico, la primera contribuci ´on no lineal proviene del t ´erminoχ(3), esta no linealidad es una propiedad universal que se
A continuaci ´on se describen algunos de los procesos no lineales de tercer orden deri-vados de la presencia de un ´ındice de refracci ´on no lineal.
Efecto Kerr ´optico
El efecto Kerr ´optico es un efecto auto inducido en el cual la velocidad de fase de la onda depende de la intensidad misma de la onda. La no linealidad de tercer orden, inducida por el efecto Kerr, da lugar a la adici ´on de un t ´ermino en el ´ındice de refracci ´on dependiente de la irradiancia del pulso que se propaga:
n=n0+n2I(t), (36)
donden0 es el ´ındice de refracci ´on del medio en ausencia de un campo electromagn
´eti-co, n2 = 3Reχ(3)/(40cn20) es el ´ındice de refracci ´on no lineal e I(t) es la irradiancia del
campo incidente. El orden de magnitud del coeficienten2 es diferente en vidrios, vidrios
dopados, materiales org ´anicos y en semiconductores; es sensible a la longitud de onda de operaci ´on y depende de la polarizaci ´on. Como resultado del cambio en el ´ındice de refracci ´on del medio, el haz tender ´a a enfocarse en la direcci ´on transversal a medida que se propaga por el material, a este fen ´omeno se le conoce como autoenfocamiento.
Automodulaci ´on de fase
Como resultado del efecto Kerr, una onda puede presentar el proceso denominado automodulaci ´on de fase el cual se explica a continuaci ´on. Cuando un pulso se propaga a trav ´es del medio una distancia L, la modulaci ´on temporal en la irradiancia del campo incidente,I(t), da como resultado una modulaci ´on temporal en el ´ındice de refracci ´onny por tanto tambi ´en en la fase de la onda
Φ(t) = ω
c(n0+n2I(t))L−ω0t. (37)
En la ecuaci ´on (37) se puede observar que la fase se hace dependiente del tiempo, a trav ´es del termino ωn2I(t)L/c. Debido a esta dependencia, la fase ser ´a una funci ´on
tiempo. La fase y la frecuencia instant ´anea est ´an relacionadas entre s´ı de la siguiente forma
ω(t) =−∂Φ(t)
∂t . (38)
Podemos escribir aω(t) = ω0+ ∆ωconω0 la frecuencia portadora de la onda y
∆ω(t) = −ω
cn2L ∂I
∂t. (39)
El proceso de automodulaci ´on de fase genera nuevas frecuencias y en consecuencia se presenta un ensanchamiento espectral del pulso. El ensanchamiento espectral resul-tante puede estimarse de la siguiente forma
∆ω(t)' ω
cn2L I0
τ , (40)
dondeI0 es la intensidad pico del pulso de luz y τ es la duraci ´on del pulso. En una fibra
´optica la automodulaci ´on de fase y el subsecuente ensanchamiento espectral del pulso, permite la compresi ´on del pulso de luz en el tiempo, a trav ´es de la compensaci ´on del cambio de fase adquirido por el pulso.
Cuando la frecuencia de un pulso es una funci ´on que depende del tiempo como se puede observar en la ecuaci ´on (38), se dice que el pulso adquiri ´o chirp; de otro modo si la frecuencia es una funci ´on constante del tiempo el pulso no tiene chirp. Si se trata de un pulso gaussiano elchirp inducido por automodulaci ´on de fase es positivo y lineal alrededor de la regi ´on central del pulso (Agrawal, 2001).
Modulaci ´on de fase cruzada
Un importante criterio de clasificaci ´on para procesos no lineales en fibras ´opticas se basa en evaluar la energ´ıa efectiva intercambiada en el proceso de interacci ´on entre el medio y las ondas incidentes en el medio. De acuerdo a este criterio, podemos distinguir entre dos tipos de procesos: los llamados procesos param ´etricos tambi ´en conocidos co-mo procesos el ´asticos y los procesos no param ´etricos tambi ´en conocidos coco-mo procesos inel ´asticos. La diferencia entre ambos procesos es la conservaci ´on de energ´ıa a nivel microsc ´opico. En el presente trabajo nos enfocamos al estudio de procesos param ´etricos no lineales de tercer orden, en particular al estudio de generaci ´on de tercer arm ´onico y mezclado de cuatro ondas.
2.5. Procesos param ´etricos.
En los procesos param ´etricos no hay un intercambio neto de energ´ıa entre el medio y el campo electromagn ´etico incidente. De esta forma, en este tipo de procesos la fibra ´optica juega un papel pasivo, mediando ´unicamente la interacci ´on entre las ondas ´opticas. Estos fen ´omenos tienen lugar a trav ´es de la modulaci ´on o bien modificaciones no lineales instant ´aneas del ´ındice de refracci ´on del material. Las posibles nuevas frecuencias que se generen por medio de un proceso param ´etrico no lineal deben cumplir con la condici ´on de conservaci ´on de energ´ıa y conservaci ´on de momento.
2.5.1. Mezcla de cuatro ondas.
El proceso de mezclado de cuatro ondas consiste en la incidencia de dos fotones de bombeo (1 y 2) en un material que, al interaccionar con la susceptibilidad de tercer orden del medio, se aniquilan creando dos fotones a diferente frecuencia denominados com ´unmente se ˜nal (s) y acompa ˜nante (a). En el caso no degenerado (FWM) los dos foto-nes de bombeo son distinguibles entre s´ı, viajan en diferente modo espacial o a diferente frecuencia. En el caso degenerado (DFWM) los dos fotones de bombeo viajan en el mis-mo mis-modo espacial, con la misma frecuencia, no hay distinguibilidad entre ellos. El caso degenerado es frecuentemente utilizado en fibras ´opticas, en donde la incidencia en la fibra se realiza con un ´unico campo de bombeo. En el presente trabajo se estudi ´o el caso degenerado, este proceso se muestra esquem ´aticamente en la figura 5.
cumpli-ω
1ω
2ω
aω
sFigura 5: Esquema del proceso de mezcla de cuatro ondas con un bombeo degenerado. En el esque-ma las flechas que representan a los dos fotones de bombeo se dibujaron con la misesque-ma longitud, para representar que ambos fotones tienen la misma frecuencia.
miento de la siguiente igualdad
ωs+ωa =ω1+ω2. (41)
Mientras que la condici ´on de empatamiento de fases requiere la igualdad a cero de los siguientes t ´erminos
∆β+ ΦN L = 0. (42)
El t ´ermino ∆β se relaciona con las constantes de propagaci ´on de las cuatro ondas propagantes de la siguiente forma
∆β =βs+βa−β1−β2 = (nsωs+naωa−n1ω1−n2ω2)/c, (43)
donde nj (j = 1,2, s, a) denota al ´ındice de refracci ´on modal efectivo de cada campo,
mientras que el termino ΦN L tiene su origen en el proceso de automodulaci ´on de fase
(SPM) y modulaci ´on de fase cruzada (XPM) por medio de la siguiente expresi ´on
ΦN L =P1γ1(ω1) +P2γ2(ω2) + 2P2γ12(ω1) + 2P1γ21(ω2)
−2P1γa1(ωa)−2P1γs1(ωs)−2P2γa2(ωa)−2P2γs2(ωs),
(44)
dondePi representa la potencia pico de cada campo de bombeo,γi (i= 1,2) representan
que γlk (l = 1,2, s, a y k = 1,2) representan los coeficientes no lineales derivados del proceso de modulaci ´on de fase cruzada. Aunque en generalγi 6=γlk, se puede demostrar que en el proceso de FWM es v ´alida la siguiente aproximaci ´onγ1 ≈γ21 ≈γs1 ≈γa1 y γ2 ≈γ12 ≈γs2 ≈γa2 (Garay-Palmettet al., 2011). Tomando en cuenta esta aproximaci ´on, se puede llegar a la siguiente expresi ´on simplificada deΦN L
ΦN L =−P1γ1(ω1)−P2γ2(ω2). (45)
Adem ´as, en nuestra caso, con un s ´olo campo de bombeo (DFWM), las expresiones anteriores se reducen a
ωs+ωa= 2ωb, (46)
∆β =βs+βa−2βb, (47)
ΦN L=−2γbPb, (48)
donde se ha tomado en cuenta que los dos campos de bombeo viajan en el mismo modo (n1 = n2 = nb), con la misma frecuencia (ω1 = ω2 = ωb) y con la misma potencia pico
(P1 =P2 =Pb); ya que en realidad provienen del mismo campo de bombeo. En este caso
el coeficienteγb se define en t ´erminos de la frecuencia portadora del campo de bombeo
ω0b y el ´area efectivaAef f
γb = 3χ
(3)ω0 b
40c2n2bAef f
, (49)
donde Aef f representa el ´area efectiva de interacci ´on del campo de bombeo, consigo
mismo, de la siguiente forma
Aef f =
1 R R
|A4
b(x, y)| dx dy
. (50)
Aqu´ı la funci ´onAb(x, y)representa la distribuci ´on transversal del campo de bombeo y
se asume normalizada, tal que
Z Z
|Ab(x, y)| 2
2.5.2. Generaci ´on de tercer arm ´onico.
La generaci ´on de tercer arm ´onico (THG) involucra tres fotones del campo de bombeo (con la misma frecuenciaω), que al interactuar con el medio se aniquilan dando lugar a la creaci ´on de un fot ´on con frecuencia3ω. Esquem ´aticamente el proceso se muestra en la figura 6.
ω
3ω
ω
ω
Figura 6: Esquema del proceso de generaci ´on de tercer arm ´onico.
En adelante, las cantidades asociadas al campo del tercer arm ´onico las designamos con el sub´ındiceh(harmonic).
El proceso de THG requiere cumplir con la condici ´on de conservaci ´on de energ´ıa
3ω=ωh, (52)
y con la condici ´on de empatamiento de fases
∆β+ ΦN L = 0, (53)
donde
∆β =βh(ωh)−3βb(ω) = (3ω/c)[nh(3ω)−nb(ω)], (54)
donde nj (j = b, h) denota al ´ındice de refracci ´on modal efectivo del bombeo y del
ωque logre cumplir con la igualdad entre los ´ındices de refracci ´on n(ω)yn(3ω)debido a la dispersi ´on del medio. En tal caso la condici ´on de empatamiento de fases no se puede lograr y el proceso THG no se puede generar de manera eficiente. M ´as a ´un, siempre que los 4 campos se propaguen en el mismo modo (misma forma funcional den), el valor den
a la frecuenciaωy3ωdifiere lo suficiente para que siempre se cumpla∆β 6= 0. Por todo lo anterior, para la generaci ´on del tercer arm ´onico es necesario utilizar fibras multimodales de tal forma que nb(ω)se puede empatar con nh(3ω), cuando el tercer arm ´onico se
pro-pague en un modo de orden superior al modo del campo de bombeo. El empatamiento s ´olo puede ocurrir si la diferencia nh(3ω)−nb(ω) es menor que la diferencia de ´ındices
de refracci ´on entre n ´ucleo-cubierta. Esta diferencia raramente excede el valor de 0.01 en fibras convencionales. En cambio, en una MSF la diferencia de ´ındices de refracci ´on entre n ´ucleo-cubierta puede exceder el valor de 0.1, por lo que este tipo de fibras se presentan como una opci ´on atractiva para el estudio de THG. En el 2000 el proceso de THG fue f ´acilmente observado con una MSF con una longitud de 50 cm (Rankaet al., 2000).
El t ´erminoΦN L, al igual que en FWM, est ´a asociado a los procesos de automodulaci ´on
de fase y modulaci ´on de fase cruzada.
Previamente, se ha estudiado te ´oricamente el proceso de generaci ´on de tercer arm ´oni-co (Grubsky y Savchenko, 2005; Grubsky y Feinberg, 2007), en donde se report ´o que la eficiencia del procesoηh obedece la siguiente relaci ´on
ηh ∝(γLP0)2, (55)
dondeγ es conocido como el coeficiente no lineal, Lrepresenta la longitud de la fibra y
P0 la potencia del campo de bombeo. El coeficiente lineal es diferente a los coeficientes
que observamos en la ecuaci ´on (44), relacionados con los procesos de automodulaci ´on de fase y modulaci ´on de fase cruzada. En el caso del proceso de THG el coeficiente no lineal
γ = 2πn2 λpAef f
, (56)
involucra-dos en el proceso por medio de la siguiente integral
Aef f =
1 R R
|A3
b(x, y)| |Ah(x, y)| dx dy
. (57)
Las funcionesAb(x, y)yAh(x, y)representan la distribuci ´on transversal de los campos
y se asumen normalizadas, de acuerdo a la ecuaci ´on (51).
2.6. Procesos no param ´etricos.
En los procesos no param ´etricos no se cumple un balance estricto en la energ´ıa de los fotones que intervienen en el proceso, debido al intercambio efectivo de energ´ıa entre el campo electromgn ´etico y el material. La interacci ´on tiene lugar a trav ´es de modificaciones en la polarizabilidad del material asociadas a vibraciones en los ´atomos de la red, por lo que la respuesta del material presenta una cierta inercia en el tiempo. En estos procesos el intercambio de energ´ıa entre la onda y el medio se traduce en efectos de ganancia y/o atenuaci ´on no lineal. En el presente trabajo, el esparcimiento Raman es el proceso no param ´etrico m ´as relevante para el estudio de la propagaci ´on de pulsos a trav ´es de fibras
´opticas.
Esparcimiento Raman.
En los procesos de esparcimiento el campo incidente cede parte de su energ´ıa al medio (en forma de fonones) y el resto lo emplea en amplificar otra onda de frecuencia menor. El intercambio de energ´ıa depende de las caracter´ısticas del medio. Estos pro-cesos se pueden entender de la siguiente forma: considere que un fot ´on incide en el material y se presenta la absorci ´on de ´este por el material, como resultado, se crea un fot ´on de menor energ´ıa y un fon ´on con las caracter´ısticas necesarias para cumplir con la condici ´on de conservaci ´on de energ´ıa y momento. La energ´ıa que adquiera el fon ´on generado est ´a determinada por la separaci ´on en frecuencia del fot ´on incidente y el gene-rado. De acuerdo a esta diferencia, se establecen dos tipo de esparcimiento estimulado: esparcimiento Brillouin y esparcimiento Raman. En el esparcimiento Brillouin estimulado la diferencia entre ambas frecuencias es de ∼ 10 GHz y el fon ´on generado es un fon ´on
de 10 THz gener ´andose un fon ´on ´optico. En el esparcimiento Raman estimulado (SRS por sus siglas en ingl ´es Stimultated Raman Scattering), la energ´ıa del fon ´on generado permitie a la mol ´ecula de s´ılice, principal componente de la fibra ´optica, tener una transi-ci ´on molecular entre dos estados vibratransi-cionales.
En el proceso de esparcimiento Raman explicado anteriormente el fot ´on cede energ´ıa al material, generando una onda denominada Stokes. Por otro lado, aunque menos pro-bable, es posible que el material ceda energ´ıa al fot ´on incidente, generando una onda Anti-Stokes. A continuaci ´on se explican ambos procesos por medio del esquema de nive-les de energ´ıa mostrado en la figura 7.
El diagrama de niveles correspondiente al proceso de generaci ´on de una onda Stokes (S) se muestra en la figura 7 a). En ella se muestra la incidencia de un fot ´on con frecuencia
ωb (frecuencia del l ´aser de bombeo) en un material que se encuentra inicialmente en un
estado electr ´onico base y en el subnivel vibracional m ´as bajo de ´este, ν = 0. Fuera de resonancia, el fot ´on es absorbido y el ´atomo es llevado a un estado virtual, de ah´ı el ´atomo decae a un nivel vibracional excitadoν = 1 emitiendo un fot ´on de frecuencia ωs =
ωb -ων llamado fot ´on de Stokes .
La generaci ´on de una onda Anti-Stokes (AS) s ´olo es posible si la mol ´ecula est ´a inicial-mente en el subnivel vibracional excitadoν= 1, lo cual es posible a temperatura ambiente. El diagrama de niveles correspondiente a dicho proceso se muestra en la figura 7 b). En este caso, al incidir un fot ´on a una frecuencia ωb, ´este es absorbido y el ´atomo puede
decaer ahora hasta el estado vibracionalν = 0, emitiendo un fot ´on de frecuenciaωAS =ωb
+ ων. La intensidad de la onda anti-Stokes es varios ´ordenes de magnitud menor que la
ν=1
ν=0
ν=1
ν=0
a) b)
