MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
Cinemática de los FluidosPRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA, ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
La figura presenta una línea de corriente en un flujo estacionario que se encuentra en el plano xz. El elemento de la área dA se ubica en el plano yz. La velocidad media en el punto P es u.
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA, ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
El caudal que pasa por el elemento de área dA es:
Donde dA’ es la proyección de dA sobre el plano normal a la dirección de u.
Esto indica que el caudal es igual a la magnitud de la velocidad media multiplicado por el área de flujo normal a la dirección de la velocidad media.
El flujo másico y el flujo de peso se pueden calcular multiplicando el caudal por la densidad y el peso especifico del fluido respectivamente.
A
d
u
dA
u
dA
u
dQ
dA
u
dQ
′
=
=
=
⋅
=
)
(cos
)
cos
(
θ
θ
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA, ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
u es la velocidad media temporal que atraviesa un área infinitesimal dA V es la velocidad media sobre el área de la sección completa A
Q el flujo volumétrico ( m3/s ó ft3/s)
𝒎̇ el flujo másico (Kg/s, slugs/s, Lbm/s)
G el flujo de peso (KN/s ó lb/s).
V
A
dA
u
Q
A=
=
∫
∫
∫
=
=
A Au
dA
dQ
m
ρ
ρ
V𝑝𝑝𝑝𝑝 𝐴𝐴 En un fluido real la velocidad media temporal localu variara de alguna manera a través de la sección, por lo que el caudal se puede expresar como:
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA, ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
flujo másico a densidad constante:
Flujo de Peso:
Si se conoce u en toda el área A, se puede integrar las ecuaciones anteriores. Si solamente se conocen valores medios de V para áreas finitas distintas en las que el área puede dividirse, entonces:
∫
=
=
=
Au
dA
AV
Q
m
ρ
ρ
ρ
Q
AV
dA
u
m
g
G
Aγ
γ
γ
=
=
=
=
∫
AV
V
A
V
A
V
A
Q
=
a a+
b b+
+
n n=
A
G
A
m
A
Q
V
γ
ρ
=
=
=
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA, ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
Principio de conservación de la masa, ecuación de continuidad.
Si seleccionamos una frontera como sistema de estudio y evaluamos los elementos entrantes y salientes del sistema, tenemos:
Para un proceso de flujo (Volumen de control), Sistema Abierto
Para un tiempo determinado t Vc 𝛿𝑚̇𝑒𝑒𝑒𝑝𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑚̇ 𝛿𝑚̇𝑆𝑒𝑆𝑆𝑒𝑒 𝑉𝑉 𝑑𝐴
𝑚
𝑓𝑆𝑒𝑒𝑆− 𝑚
𝑆𝑒𝑆𝑉𝑆𝑒𝑆= ∆𝑚
𝑉𝑉 � 𝑚̇𝑒𝑒𝑒𝑝𝑒𝑒𝑒 − � 𝑚̇𝑠𝑒𝑆𝑆𝑒𝑒 = Δ𝑚Δ𝐴𝑉𝑉 � 𝛿𝑚̇𝑒𝑒𝑒𝑝𝑒𝑒𝑒 − � 𝛿𝑚̇𝑠𝑒𝑆𝑆𝑒𝑒 = 𝑑𝑚𝑑𝐴𝑉𝑉PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA, ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
Ejercicio 1
Se tiene una bomba de chorro operada con agua como la ilustrada en la figura. El gasto del agua es 28 L/s y el material bombeado es aceite que tiene una gravedad específica de 0.9. Determine la cantidad bombeada si la gravedad específica de la mezcla es 0.95.
Solución:
Partimos de la Definición de la ecuación de continuidad � 𝑚̇𝑒𝑒𝑒𝑝𝑒𝑒𝑒 − � 𝑚̇𝑠𝑒𝑆𝑆𝑒𝑒 = Δ𝑚Δ𝐴𝑉𝑉
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA, ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
Ejercicio 1
Como no se nos indica lo contrario se puede asumir que el flujo es
estacionario o permanente, además no se contempla acumulación en
el volumen de control 𝑚̇𝐴𝐴𝐴𝑒 + 𝑚̇𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒 − 𝑚̇𝑀𝑒𝑀𝑉𝑆𝑒 = 0
𝑚̇
𝑀𝑒𝑀𝑉𝑆𝑒= 𝑚̇
𝐴𝐴𝐴𝑒+ 𝑚̇
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒 � 𝑚̇𝑒𝑒𝑒𝑝𝑒𝑒𝑒 − � 𝑚̇𝑠𝑒𝑆𝑆𝑒𝑒 = Δ𝑚Δ𝐴𝑉𝑉 0� 𝑚̇
𝑒𝑒𝑒𝑝𝑒𝑒𝑒− � 𝑚̇
𝑠𝑒𝑆𝑆𝑒𝑒= 0
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA, ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
Nos piden el la cantidad bombeada de la mezcla, y ya que nos expresaron los flujos en forma de caudal, debemos determinar el caudal de la mezcla a la salida.
𝑚̇
𝑆= 𝜌
𝑆∙ 𝑄
𝑆𝑚̇
𝑀𝑒𝑀𝑉𝑆𝑒= 𝜌
𝑀∙ 𝑄
𝑀= 𝜌
𝐴𝐴𝐴𝑒∙ 𝑄
𝐴𝐴𝐴𝑒+𝜌
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒∙ 𝑄
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒𝑄
𝑀=
𝜌
𝐴𝐴𝐴𝑒∙ 𝑄
𝐴𝐴𝐴𝑒𝜌
+𝜌
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒∙ 𝑄
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒 𝑀𝑆𝑆 =
𝜌
𝜌
𝐴𝐴𝐴𝑒 𝑒 4º𝐶𝜌 = 𝑆𝑆 ∙ 𝜌
𝐴𝐴𝐴𝑒 𝑒 4º𝐶Ejercicio 1
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA, ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
𝜌
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒= 0.9 ∙ 1000
𝑚
𝑘𝑆
3= 900
𝑚
𝑘𝑆
3𝜌
𝑀= 0.95 ∙ 1000
𝑚
𝑘𝑆
3= 950
𝑚
𝑘𝑆
3Como no nos mencionan la densidad del agua asumimos
condiciones estándar
𝜌
𝐴𝐴𝐴𝑒= 1000
𝑚
𝑘𝑆
328
𝐿
𝑠 ∙ 1
1000 𝐿 = 28𝑥10
𝑚
3 −3𝑚
𝑠
3PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA, ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
𝑄
𝑀=
1000 𝑘𝑆
𝑚
3∙ 28𝑥10
−3𝑚
3𝑠 + 900
𝑚
𝑘𝑆
3∙ 𝑄
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒950 𝑘𝑆
𝑚
3𝑄
𝑀= 29.474𝑥10
−3𝑚
𝑠
3+ 0,9474 ∙ 𝑄
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒No se nos proporciona información del caudal del aceite, por lo
que nos quedan múltiples soluciones en función del caudal
alimentado de aceite, quedando una función matemática.
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA, ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
La expresamos en función de una sola variable
𝜌
𝑀= 𝑥
𝐴𝐴𝐴𝑒∙ 𝜌
𝐴𝐴𝐴𝑒+ 𝑥
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒∙ 𝜌
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒𝑥
𝐴𝐴𝐴𝑒+ 𝑥
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒= 1
𝜌
𝑀= 𝑥
𝐴𝐴𝐴𝑒∙ 𝜌
𝐴𝐴𝐴𝑒+ 1 − 𝑥
𝐴𝐴𝐴𝑒∙ 𝜌
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒𝜌
𝑀= 𝑥
𝐴𝐴𝐴𝑒∙ 𝜌
𝐴𝐴𝐴𝑒+ 𝜌
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒− 𝑥
𝐴𝐴𝐴𝑒∙ 𝜌
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒𝜌
𝑀= 𝜌
𝐴𝐴𝐴𝑒− 𝜌
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒∙ 𝑥
𝐴𝐴𝐴𝑒+ 𝜌
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒Ejercicio 1
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA, ECUACIÓN DE CONTINUIDAD. Despejamos la composición
𝜌
𝑀= 𝜌
𝐴𝐴𝐴𝑒− 𝜌
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒∙ 𝑥
𝐴𝐴𝐴𝑒+ 𝜌
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒𝑥
𝐴𝐴𝐴𝑒=
𝜌
𝑀− 𝜌
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒𝜌
𝐴𝐴𝐴𝑒− 𝜌
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒𝑥
𝐴𝐴𝐴𝑒=
950 𝑘𝑆
𝑚
3− 900 𝑘𝑆
𝑚
31000 𝑘𝑆
𝑚
3− 900 𝑘𝑆
𝑚
3= 0.5
Ejercicio 1
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA, ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
Por definición la composición másica es:
𝑥
𝑆=
𝑚̇
𝑚̇
𝑆 𝑒𝑝𝑒𝑒𝑆𝑥
𝐴𝐴𝐴𝑒=
𝑚̇
𝑚̇
𝐴𝐴𝐴𝑒 𝑒𝑝𝑒𝑒𝑆𝑚̇
𝑒𝑝𝑒𝑒𝑆=
𝑚̇
𝑥
𝐴𝐴𝐴𝑒 𝐴𝐴𝐴𝑒=
𝜌
𝐴𝐴𝐴𝑒∙ 𝑄
𝐴𝐴𝐴𝑒𝑥
𝐴𝐴𝐴𝑒=
1000 𝑘𝑆
𝑚
3∙ 28𝑥10
−3𝑚
𝑠
30,5
𝑚̇
𝑒𝑝𝑒𝑒𝑆= 56
𝑘𝑆
𝑠
Ejercicio 1
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA, ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
Por definición la composición másica es:
𝑚̇
𝑒𝑝𝑒𝑒𝑆= 56
𝑘𝑆
𝑠
𝑚̇
𝑆= 𝑥
𝑆∙ 𝑚̇
𝑒𝑝𝑒𝑒𝑆𝑚̇
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒= 𝑥
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒∙ 𝑚̇
𝑒𝑝𝑒𝑒𝑆= 1 − 𝑥
𝐴𝐴𝐴𝑒∙ 𝑚̇
𝑒𝑝𝑒𝑒𝑆𝑚̇
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒= 1 − 0,5 ∙ 56
𝑘𝑆
𝑠
𝑚̇
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒= 28
𝑘𝑆
𝑠
Ejercicio 1
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA, ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
Por definición la composición másica es:
𝑚̇
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒= 𝜌
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒∙ 𝑄
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒𝑄
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒=
𝑚̇
𝜌
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒 𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒𝑄
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒=
28 𝑘𝑆
𝑠
900 𝑘𝑆
𝑚
3𝑄
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒= 31.11𝑥10
−3𝑚
𝑠
3Ejercicio 1
𝑄
𝑀= 29.474𝑥10
−3𝑚
𝑠
3+ 0,9474 ∙ 𝑄
𝐴𝑉𝑒𝑆𝑒𝑒𝑄
𝑀= 29.474𝑥10
−3𝑚
𝑠
3+ 0,9474 ∙ 31.11𝑥10
−3𝑚
𝑠
3𝑄
𝑀= 58.9464𝑥10
−3𝑚
3𝑠
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA, ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
Ejercicio 2
Un tanque contiene inicialmente 1000kg de salmuera con 10% de sal en masa. Fluye hacia el tanque una corriente de salmuera que contiene 20% sal en masa a razón de 20kg/min. La mezcla en el tanque se mantiene uniforme por agitación. La salmuera se saca del tanque por medio de una tubería de salida con una rapidez de 10kg/min. Encontrar la cantidad de sal en el tanque al transcurrir 10min.
Observamos que la composición es relativamente constante por lo que podemos hacer un balance global de toda la mezcla.
Datos
𝑚̇𝑒𝑒𝑒𝑝𝑒𝑒𝑒 = 20𝑚𝑚𝑚𝑘𝑆 𝑚̇𝑠𝑒𝑆𝑆𝑒𝑒 = 10𝑚𝑚𝑚𝑘𝑆 𝑚𝑆𝑒𝑆𝑉𝑆𝑒𝑆 = 1000𝑘𝑆
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA, ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
Ejercicio 2
Solución:
Partimos de la Definición de la ecuación de continuidad tomando como referencia que es un estado no estacionario
� 𝑚̇𝑒𝑒𝑒𝑝𝑒𝑒𝑒 − � 𝑚̇𝑠𝑒𝑆𝑆𝑒𝑒 = Δ𝑚Δ𝐴𝑉𝑉 Δ𝑚𝑉𝑉 Δ𝐴 = 𝑚𝑓𝑆𝑒𝑒𝑆 − 𝑚𝑆𝑒𝑆𝑉𝑆𝑒𝑆 Δ𝐴 Δ𝑚𝑉𝑉 Δ𝐴 = 𝑚2 − 𝑚1 Δ𝐴 � 𝑚̇𝑒𝑒𝑒𝑝𝑒𝑒𝑒 − � 𝑚̇𝑠𝑒𝑆𝑆𝑒𝑒 = 𝑚2Δ𝐴− 𝑚1
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA, ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
