Ejemplo de poleas. Estática. Problema 2.67

Poleas Fuerza en el espacio Equilibrio en 3 D de partículas

3. Cuerpos Rígidos Fuerzas externas e internas Momento respecto a un punto Teorema de Varignon

Estática

Ejemplo de poleas

Problema 2.67

Teorema de Varignon Componentes rectangulares

del momento.

Quiz No. 1 Equilibrio de una partícula Bibliografía Nota aclaratoria

Menu

Una caja de madera de 600lb esta sostenida por varios arreglos de

poleas y cuerdas como se observa. Determine la tensión para cada

arreglo. Sugerencia: la tensión es la misma por ambos lados de

una cuerda que pasa por una polea.

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3. Cuerpos Rígidos Fuerzas externas e internas Momento respecto a un punto Teorema de Varignon

Estática

Componentes rectangulares de una fuerza en el espacio

Ɵy Ɵy

Ø

Primera etapa:

Teorema de Varignon Componentes rectangulares

del momento.

Quiz No. 1 Equilibrio de una partícula Bibliografía Nota aclaratoria

Menu En esta etapa se define F de forma rectangular

Fy = F cos Ɵy Fh = F sen Ɵy

Fx = Fh cos Ø = F senƟy cos Ø Fz = Fh sen Ø = F senƟy sen Ø

F = (Fx²+ Fy²+ Fz²)^(1/2)

Aplicando Pitágoras a OAB y OCD, y luego resolviendo para F se obtiene:

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Estática

Segunda etapa:

Se define un triangulo con el vector F desde cada uno de los ejes coordenados y por trigonometría se obtienen las magnitudes de los componentes de F en términos de estos nuevos ángulos:

Fx = F cos Ɵx , Fy = F cos Ɵy, Fz = F cos Ɵz Teorema de Varignon

Componentes rectangulares del momento.

Quiz No. 1 Equilibrio de una partícula Bibliografía Nota aclaratoria

Menu El vector Lambda es de magnitud unitaria

Lo anterior permite reescribir F = Fx I + Fy J + Fz K como F = F(cos Ɵx I + cos Ɵy J + cos Ɵz K) ó

F = Fλ

donde λ = (cos Ɵx I + cos Ɵy J + cos Ɵz K)

Cada uno de los componentes se llaman cosenos directores y se definen como:

λx = cos Ɵx, λy = cos Ɵy, λz = cos Ɵz, Como

λ²= 1, se obtiene: (cos Ɵx)² + (cos Ɵy )² + (cos Ɵz)²= 1

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3. Cuerpos Rígidos Fuerzas externas e internas Momento respecto a un punto Teorema de Varignon

Estática

Importante

1. El ángulo que forma F con cada uno de los ejes se mide desde el eje y positivo y estará siempre comprendido entre 0 y 180 grados.

2. En la primera etapa se definió la fuerza F en sus tres componentes rectangulares.

3. En la segunda parte se plantearon las ecuaciones que convierten las coordenadas rectangulares en coordenadas polares.

4. En la segunda etapa también se utilizo la herramienta de vector Teorema de Varignon

Componentes rectangulares del momento.

Quiz No. 1 Equilibrio de una partícula Bibliografía Nota aclaratoria

Menu Los vectores son fácilmente manipulados mediante la definición de vector unitario

4. En la segunda etapa también se utilizo la herramienta de vector unitario lamba, lo cual es consistente con lo visto en la sección anterior.

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3. Cuerpos Rígidos Fuerzas externas e internas Momento respecto a un punto Teorema de Varignon

Estática

Conocidos los puntos M y N se define el vector MN = dx I + dy J + dz K, y también se define lamba

Fuerza definida en términos de su magnitud y dos puntos sobre su línea de acción

dx = x₂-x₁, dy = y₂ – y₁ dz = z₂ – z₁

d = (dx² + dy²+ dz²)^(1/2)

Teorema de Varignon Componentes rectangulares

del momento.

Quiz No. 1 Equilibrio de una partícula Bibliografía Nota aclaratoria

Menu Este caso sirve para fuerzas no localizadas en el origen

y también se define lamba

λ = MN/MN = 1/d (dx I + dy J + dz K), Y recordando F = Fλ se define

F = F/d (dx I + dy J + dz K) Y sus componentes

Fx = Fdx/d, Fy = Fdy/d, Fz = Fdz/d Y sus cosenos directores

cos Ɵx = dx/d, cos Ɵy = dy/d, cos Ɵz = dz/d

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Estática

Fuerzas externas: representan la acción que ejercen los otros cuerpos sobre el cuerpo rígido en consideración, y son las responsables del comportamiento externo de este.

En los capítulos 3, 4 y 5 del libro Beer se consideraran solo las fuerzas externas.

Fuerzas internas: son aquellas que mantienen unidas las partículas que

Fuerzas externas e internas

Teorema de Varignon Componentes rectangulares

del momento.

Quiz No. 1 Equilibrio de una partícula Bibliografía Nota aclaratoria

Menu Un cuerpo debe tratarse como la combinación de varias partículas

Fuerzas internas: son aquellas que mantienen unidas las partículas que conforman el cuerpo rígido. Si esta constituido por varias partes, las fuerzas que las mantienen unidas también se consideran internas. Este tipo se discutirán en los capítulos 6 y 7.

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3. Cuerpos Rígidos Fuerzas externas e internas Momento respecto a un punto Teorema de Varignon

Estática

1. “Las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado

Principio de transmisibilidad

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del momento.

Quiz No. 1 Equilibrio de una partícula Bibliografía Nota aclaratoria

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El estudio de la estática de los cuerpos rígidos se basará en la ley del paralelogramo, la primera ley de Newton y el principio

de transmisibilidad

permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F’ que tiene la misma magnitud y dirección, pero que actúa en un punto distinto, siempre y cuando las dos fuerzas tengan la misma línea de acción”.

2. Es un principio derivado de evidencia experimental .

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3. Cuerpos Rígidos Fuerzas externas e internas Momento respecto a un punto Teorema de Varignon

Estática

Principio de transmisibilidad

En cuerpos rígidos el punto de aplicación de una fuerza no es importante siempre y cuando la línea de acción no se altere.

Tensión

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del momento.

Quiz No. 1 Equilibrio de una partícula Bibliografía Nota aclaratoria

Menu Las fuerzas internas se comportan de forma opuesta

Compresión

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3. Cuerpos Rígidos Fuerzas externas e internas Momento respecto a un punto Teorema de Varignon

Estática

Algebra fundamental

Producto Cruz

1. La línea de acción de V es perpendicular al plano.

2. V = PQ sen Ɵ, donde el ángulo siempre será menor o igual a 180 grados.

3. La dirección la da la regla de la mano derecha como se observa en (b).

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del momento.

Quiz No. 1 Equilibrio de una partícula Bibliografía Nota aclaratoria

Menu Los tres vectores forman una triada de mano derecha

Propiedades:

1. V = P X Q

2. V = P X Q = P X Q’ si Q y Q’

tienen su punto final sobre una línea paralela a P.

3. Q X P = -(P X Q).

4. Distributiva: P X (Q₁ + Q₂) = P X Q₁ + P +Q₂

5. P X Q X S ǂ P X (Q X S)

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Estática

Algebra fundamental

Producto Cruz

Se puede expresar el producto cruz en sus componentes rectangulares.

V = P X Q = (Px I + Py J + PzK) X (Qx I + Qy J + QzK) = (PyQz - PzQy)I + (PzQx - PxQz)J + (PxQy - PyQx)K

I X I = 0 I X J = K I X K = -J

J X I = -K J X J = 0

JX K = I

K X I = J K X J = -I K X K = 0

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del momento.

Quiz No. 1 Equilibrio de una partícula Bibliografía Nota aclaratoria

Menu La multiplicación vectorial de dos Vectores Unitarios genera un tercero perpendicular a ambos

Entonces

Vx = PyQz - PzQy Vy = PzQx - PxQz Vz = PxQy – PyQx O escrito en notación de determinante

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Estática

El momento de F con respecto a O es el producto vectorial de r y F M_o = r x F

Y la magnitud se determina como Mo = Fd = rF sen Ɵ.

Importante

1. La magnitud de Mo mide la tendencia de la fuerza F de hacer rotar al

R se conoce como el vector de posición de A.

El momento será

perpendicular al plano que contienen a r y a F.

Siga la regla de la mano derecha.

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del momento.

Quiz No. 1 Equilibrio de una partícula Bibliografía Nota aclaratoria

Menu Las unidades del momento son N*m, Lb*ft o en Lb*in

1. La magnitud de Mo mide la tendencia de la fuerza F de hacer rotar al cuerpo alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de Mo.

2. El momento depende de la magnitud, línea de acción y el sentido de la fuerza, no depende de la posición del punto de aplicación de la misma.

3. El momento si define completamente la línea de acción de la fuerza.

4. El principio de transmisibilidad se puede expresar como: dos fuerzas F y F’ son equivalentes si tienen la misma magnitud, dirección y momentos iguales con respecto a un punto O.

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Estática

Se basa en la propiedad distributiva de los productos vectoriales. Si varias fuerzas F1, F2,… se aplican en el mismo punto A, y a una distancia medida con el vector r desde O, se concluye que:

r X ( F₁ + F₂ + …) = r x F₁+ r x F₂ + ….

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del momento.

Quiz No. 1 Equilibrio de una partícula Bibliografía Nota aclaratoria

Menu Este teorema simplifica los cálculos de componentes

“El momento de la resultante de varias fuerzas concurrentes aplicadas sobre el punto O, es igual a la suma de los momentos de cada una de esas fuerzas con respecto al mismo punto”

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Estática

Los vectores se pueden definir como:

r = x I + yJ + zK F = Fx I + FyJ + FzK M = r X F

M = Mx I + MyJ + MzK

Y los componentes del momento:

Mx = yFz – zFy My = zFx - xFz Mz = xFy - yFx

I J K Mo = x y z

Fx Fy Fz

Ahora con respecto a un punto arbitrario B:

M = r_A/B X F = ( r_A- r_B) X F M = Mx I + MyJ + MzK Teorema de Varignon

Componentes rectangulares del momento.

Quiz No. 1 Equilibrio de una partícula Bibliografía Nota aclaratoria

Menu Para dos dimensiones z = 0 y Fz = 0

M = Mx I + MyJ + MzK

Y los componentes del momento:

x_A/B = x_A – x_B y_A/B= y_A – y_B z_A/B= z_A– z_B

I J K

M^B = x^A/B y^A/B z^A/B Fx Fy Fz

En 2D: z = 0 y Fz = 0, entonces Mo = Mz = xFy – yFx Y M_B= (x_A - x_B)Fy – (y_A - y_B)Fx

Ambos en la dirección del eje Z

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Estática Hora de inicio: 8:00 pm

Hora de fin: 8:45 pm

En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Si se sabe que Q = 60 lb determine:

a) Tensión en el cable AC y en cable BC.

b) El rango de valores de Q para los cuales la tensión en cualquiera de los dos cables no será mayor que Teorema de Varignon

Componentes rectangulares del momento.

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los dos cables no será mayor que 60 lbs.

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Estática

• Beer , F et al. (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros: Estática.

México. McGraw Hill.

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Estática

• El material empleado en clase es complemento del libro de texto. Venir a clases es su oportunidad para evacuar dudas, no la pierda.

• Las presentaciones no sustituyen al libro de texto, en su responsabilidad utilizar ambas fuentes bibliográficas.

• La lectura de las presentaciones no lo exime de estudiar el contenido del libro de texto recuerde el examen es colegiado.

Recuerde que esta clase le facilita al estudiante tres ejes de aprendizaje:

Importante!!

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del momento.

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Recuerde que esta clase le facilita al estudiante tres ejes de aprendizaje:

1. Comprensión de contenidos: lectura del libro.

2. Clase magistral, PowerPoint ilustrativos y un espacio para discutir dudas y realizar ejercicios en la pizarra.

3. Ejercicios de resolución

Si usted aprovecha toda esta estructura se asegura un buen porcentaje de su curso.