VALOR ABSOLUTO.-
Es un operador matemático que denota | | “dos barras”; su regla de correspondencia es para todo número real “a”.
| | {
Por ejemplo si | | | | Ud. Observa que el número entre las barras es mayor que cero, la regla indica que debe responder el mismo número.
| | { } ; Ahora observa que el número entre las barras es menor que cero y la regla dice que debe anteponer menos al número { }” es por ello que resulta un numero positivo.
Si | | { } .
Es decir que podemos poner cualquier número negativo y la respuesta siempre será un número positivo.
Esta es una característica del valor absoluto; aplicado a un número “nunca puede ser negativo”
Otro punto a observar es que si Ud. Sabe que el número que se encuentra entre las barras, es mayor o menor que cero; puede responder; pero ¿si no sabe?
| |
En este caso la misma definición le asegura que “x” debe ser (6) ò (-6); no hay otra posibilidad, Ud. respondería: . Acaba de resolver de manera lógica una ecuación con valor absoluto.
ECUACIONES LINEALES CON VALOR ABSOLUTO.- Vamos a resolver usando el concepto del valor absoluto Resolver: | |
Nuevamente sabemos que: no hay otra posibilidad.
Por lo tanto debe resolver 2 ecuaciones: { Rpta: x debe ser {4,-2/3}
En adelante puede estar entre las barras cualquier polinomio, solo debe recordar el concepto
del valor absoluto como operador y la lógica que debe suceder.
Resolver: | |
Solución:
La solución:
√√
Ahora la ecuación: | |
Se diferencia de los anteriores ejemplos en el sentido de no saber si lo que está entre las barras es un número positivo o negativo, además depende de (x – 3).
Por lógica sabe que: no puede suceder por la definición del valor absoluto.
Es decir condiciona el sistema para poder darle solución.
La teoría del valor absoluto le permite hacerlo, para poder darle solución, porque si el factor (x-3) fuera menor que cero, entonces simplemente la ecuación no tiene solución.
Al resolver las inecuaciones obtiene los valores:
Pero estas respuestas están condicionadas a
Por lo tanto debe resolver esta condición y observar si las respuestas halladas cumplen la condición.
Resolviendo: [
De las respuestas halladas:
2
Es un conectivo lógico que significa “o”
( √
) ( √
) En este caso es un cuadrático irreductible, por lo tanto no tiene solución.
3 + -
Estos casos se interpretan como propiedades del valor absoluto.
1.- | | siempre que 2.- | | | | | |
3.- | |
| || |4.- | | | | , es decir si elevamos ambos miembros de una ecuación, el valor absoluto desaparece.
5.- | | | |
Nota: Para resolver ecuaciones con valor absoluto, lo primero que debe hacer es desaparecer las barras y esto lo logra empleando las propiedades para este caso de igualdades; para el caso de desigualdades las propiedades aumentan.
Resolver: | | | |
Esta es una ecuación que no está contemplada en un tipo de propiedad, luego debe aplicar algebra y combinarla con las propiedades para reducir la forma y darle una donde se pueda aplicar alguna propiedad.
La propiedad (4) es buena porque me indica que si elevo al cuadrado un valor absoluto este desaparece.
{| | | |} { }
| || | | || |
| | | |
| |
Recién puede aplicar la propiedad:
Pero con la condición de
(
) (
)
( )
Resolviendo la condición:
( √ )( √ ) [ √ √ ]
En este caso todas las respuestas no están en la condición:
Rpta. Del problema:{-7, 7/3)
Hay varios problemas que requieren hacer uso de las propiedades y habilidad algebraica para resolverlas, además de la lógica para reducir operaciones, esto lo logra resolviendo o practicando ejercicios.
METODO PRÁCTICO.- (Puntos críticos)
Otra forma muy sencilla de resolver este tipo de ecuaciones con varios valores absolutos es referida a los puntos críticos.
| | | |
Solo considere los valores absolutos por separado y encuentre los valores que hagan cero al valor absoluto.
❶Para que el valor absoluto | | se haga cero; x = 1 y para | | x = -1
❷ Ordene en la recta estos valores críticos
Observe que se forman 3 intervalos: analicemos uno por uno:
-1 1
❸ Debe tomar un valor del intervalo cercano a -1, por ejemplo x = -1.1 | | | |
La ecuación queda sin valor absoluto, al resolverlo x = -7.
Ahora debe observar si esta respuesta pertenece al intervalo, de ser afirmativo lo acepta de lo contrario lo rechaza.
Como x = -7; pertenece al intervalo , se acepta.
Sigamos con el siguiente intervalo:
[ Debe tomar un valor del intervalo cercano a 1, por ejemplo x = 0.99 | | | |
La ecuación queda sin valor absoluto, al resolverlo x = 5.
Ahora debe observar si esta respuesta pertenece al intervalo, de ser afirmativo lo acepta de lo contrario lo rechaza.
Como x = 5; no pertenece al intervalo [ , se rechaza.
[ Debe toma un valor del intervalo cercano a 1, por ejemplo x = 1.1 | | | |
Al resolver: x = 7/3; pero este valor pertenece al intervalo [ , por lo tanto se acepta.
❹Finalmente la solución del sistema es {-7, 7/3} igual a la solución anterior.
Al reemplazar este valor se anula el valor absoluto pero le cambia el signo a todo el factor porque el resultado es negativo.
Al reemplazar este valor se anula el valor absoluto pero le cambia el signo a todo el factor porque el resultado es negativo
Al reemplazar este valor se anula el valor absoluto pero le cambia el signo a todo el factor porque el resultado es negativo
Al reemplazar este valor se anula el valor absoluto pero no le cambia el signo a todo el
factor porque el resultado es positivo
Al reemplazar este valor se anula el valor absoluto pero no le cambia el signo a todo el
factor por ser positivo el resultado
Al reemplazar este valor se anula el valor absoluto pero no le cambia el signo a todo el
factor por ser positivo el resultado
Desigualdades con valor absoluto.-
Nos basamos en 4 teoremas para resolver cualquier desigualdad 1.- Teorema.- | |
1.- Por ejemplo: | |
Por el teorema como 9 entonces
Debe resolver: “ambas respuestas debe interceptarlas”
Rpta.
Interceptando las respuestas: Rpta.
2.- Por ejemplo: | |
Por el teorema como 4 entonces
Debe resolver: “ambas respuestas debe interceptarlas”
Rpta.
Interceptando las respuestas: Rpta.
3.- Por ejemplo: | |
Por el teorema como 2-3x entonces
Pero 2–3x De resolver:
Rpta.
Interceptando las respuestas: Rpta.
Pero la condición: 2–3x > , al interceptarse con la respuesta es la respuesta del sistema.
2.- Teorema.- | |
El teorema es referente a la desigualdad menor o igual, no cambia la forma de resolver los problemas anteriores, solo que considere que los intervalos van hacer cerrados.
3.- Teorema.- | |
En este caso no hay ninguna condición en cuanto “a” sea mayor o menor que cero.
Sea por ejemplo: | |
Por el teorema “ambas respuestas debe unirlas”
Rpta.
1 Uniendo las respuestas: Rpta.
Por ejemplo: | |
Por el teorema
Rpta.
Uniendo las respuestas: Rpta.
4.- Teorema.- | |
Igualmente el teorema no cambia la forma de resolver los problemas solo considera que los intervalos sea cerrados.
En general ahora puede resolver inecuaciones con valor absoluto, porque tiene teoría para hacerlo, lo que viene son artificios que incluyen un dominio de algebra para tratar de llegar a algún modelo presentado y resolverlo.
Resolver:
| | | | | | | | | | | | | | | |
Observe que sea cualquier tipo de inecuación la solución es la misma, una diferencia de cuadrados; | | | | | | | | Solo reemplace la igualdad por la inecuación que quiera y resuelva.
Recuerde la propiedad: | | Luego si eleva ambos miembros al cuadrado desaparece el valor absoluto.
| | | | | | | |
¡Una diferencia de cuadrados¡
¡Cuidado con el signo del factor¡
Ahora ya puede resolverlo: + -3 - 1/4 + Para el resto de ejercicios se desarrolla exactamente igual, la única diferencia está en el símbolo de la desigualdad.
El siguiente problema toma como ejemplo una inecuación menor, pero da igual con cualquier inecuación; recuerde que la única diferencia con es que los intervalos a resolver son cerrados.
| | | | Por el Método de los puntos críticos.-
Solo considere los valores absolutos por separado y encuentre los valores que hagan cero al valor absoluto.
❶Para que el valor absoluto | | se haga cero; x = 2 ; y | | x = - 4
❷ Ordene en la recta estos valores críticos
Se forman 3 intervalos:
❸ Debe tomar un valor del intervalo cercano a -4, por ejemplo x = -4.1 | | | |
Anula el valor absoluto y le cambia el signo a todo el factor
Anula el valor absoluto pero le cambia el signo a todo el factor
-4 2 +
+ -
Al resolver: ; ( ) Pero este intervalo se intercepta al intervalo
Nota: si no hubiera intercepción, simplemente no se acepta y se pasa al siguiente intervalo.
[ Se debe tomar un valor del intervalo cercano a 2, por ejemplo x = 1.99 | | | |
Al resolver: ; Pero este intervalo se intercepta al intervalo [ , [ Nota: Observe que la solución es la intercepción de ambos intervalos.
[ Se debe toma un valor del intervalo cercano a 2, por ejemplo x = 2.1 | | | |
Al resolver: 5 (
)
Pero este intervalo se intercepta al intervalo [ , *
❹La respuesta es la unión de todos los intervalos solución:
[ [
[
Este método se puede aplicar a cualquier tipo de inecuación, incluso a los iniciales que incluyen a los teoremas; recuerde que esta facilidad no tiene que ver con saber la teoría y que lo ayuda al análisis.
Anula el valor absoluto pero le cambia el signo a todo el factor
Anula el valor absoluto pero no le cambia el signo a todo el factor
Anula el valor absoluto pero no le cambia el signo a todo el factor
Anula el valor absoluto pero no le cambia el signo a todo el factor
