Forma binomial de n´ umeros complejos (ejercicios)

Forma binomial de n´ umeros complejos (ejercicios)

Objetivos. Mostrar que los n´umeros reales x se pueden identificar con n´umeros complejos de la forma (x, 0), y cada n´umero complejo (x, y) se puede escribir como x + i y, donde i = (0, 1). Esta expresi´on se conoce como la forma algebraica/rectangular/bin´omica/binomial.

Requisitos. Propiedades de la adici´on y multiplicaci´on de n´umeros reales. Construcci´on de n´umeros complejos (como pares ordenados de n´umeros reales).

El conjunto C = R

y operaciones en C (repaso)

1. Definici´on de la igualdad de pares ordenados. Sean (a, b) y (u, v) dos pares ordenados de n´umeros reales, esto es,

(a, b) ∈ C = R², (u, v) ∈ C = R². Si dice que (a, b) y (u, v) son iguales y se escribe (a, b) = (u, v), si y s´olo si,

| {z }

?

y

| {z }

?

. Lo mismo con s´ımbolos:

(a, b) = (u, v) ⇐⇒

| {z }

?

∧

| {z }

?

.

2. Ejercicio. Encuentre p, q ∈ R tales que (3p, 7) = (24, q + 5).

Soluci´on. Por la definici´on de la igualdad de pares ordenadas, la ecuaci´on dada es equi- valente al siguiente sistema de dos ecuaciones para n´umeros reales:

3p =

| {z }

?

∧ 7 =

| {z }

?

.

La primera ecuaci´on se satisface con p =

|{z}?

, y la segunda con q =

|{z}?

.

Respuesta: p =

|{z}

?

, q =

|{z}

?

.

3. Definici´on de las operaciones con n´umeros complejos. Dados dos n´umeros complejos c = (a, b) y w = (u, v), su suma y producto se definen mediante las siguientes reglas:

c + w := ,
, cw := ,
.

Por ejemplo,

(3, −5) + (1, 7) = ( , ),

(3, −5) · (1, 7) = (3 + 35, ) = ( , 16).

Encaje can´ onico de R en C

4. Definici´on del encaje can´onico de R en C. Definimos el mapeo E : R → C mediante la regla

E(x) := (x, 0).

En otras palabras, cada n´umero real x se transforma en el n´umero complejo (x, 0).

Por ejemplo,

E(7) = (7, 0), E(−5) = ( , ), E(√

3) = ( , ).

5. Funciones inyectivas (repaso). La funci´on f : R → R definida mediante la regla f (x) = x³es inyectiva, porque la igualdad f (x) = f (a) es posible solamente cuando x = a.

La funci´on g : R → R definida mediante la regla g(x) = x⁴ no es inyectiva, porque la igualdad g(x) = g(a) se puede satisfacer con x y a diferentes:

g(−1) = (−1)⁴ =

|{z}?

= (

|{z}?

)⁴ = g(

|{z}?

).

6. Proposici´on: la funci´on E es inyectiva. E(a) = E(x) solamente cuando a = x.

Demostraci´on. Supongamos que a, x ∈ R y E(a) = E(x).

Recordando la definici´on de E podemos escribir la ´ultima igualdad en la forma ( , ) = ( , ).

Por la definici´on de la igualdad de pares ordenados,

|{z}?

=

|{z}?

∧

|{z}?

=

|{z}?

.

En particular, la primera igualdad nos dice que

|{z}?

=

|{z}?

.

7. Funci´on E y operaciones aritm´eticas (ejemplo). Sean a = 5, b = −3. Entonces E(a + b) = E(5 − 3) = E( ) = ( , ).

Por otro lado,

E(a) + E(b) = E(5) + E(−3) = ( , ) + ( , ) = ( , ).

Ahora trabajemos con el producto:

E(ab) = E(5 · (−3)) = E( ) = ( , ).

Por otro lado,

E(a)E(b) = E(5)E(−3) = ( , )( , )

= · − · , · + ·

= ( , ) = E( ).

8. Proposici´on: funci´on E y operaciones aritm´eticas.

Para cualesquier a, u ∈ R,

E(a + u) = E(a) + E(u), E(au) = E(a)E(u).

Estas igualdades dicen que la funci´on E es aditiva y multiplicativa.

Demostraci´on. Primero demostremos la propiedad aditiva de la funci´on E. Sean a, u ∈ R.

Entonces

E(a) + E(u)=== (⁽¹⁾ , 0) + ( , )=== (⁽²⁾ + , + )

=== ((3) , )=== E(⁽⁴⁾ ).

Justificaci´on de los pasos:

(1), ( ) : definici´on de la funci´on E.

(2) : definici´on de la operaci´on

|{z}?

en C.

(3) : propiedad neutra del n´umero real

|{z}?

.

Ahora demostremos la propiedad

| {z }

?

de la funci´on E.

Sean a, u ∈ R. Entonces

E(a)E(u)=== (⁽¹⁾ , 0)( , 0)=== (⁽²⁾ · − · , · + · )

=== ((3) , )=== E(⁽⁴⁾ ).

Justificaci´on de los pasos:

(1), (4) : (2) :

(3) : propiedades del n´umero real 0.

9. Resumen. La funci´on E es inyectiva, es decir, E transforma n´umeros reales diferentes en n´umeros complejos diferentes. Adem´as E transforma la suma de dos n´umeros reales en la suma de los n´umeros complejos correspondientes, y el producto de dos n´umeros reales en el producto de dos n´umeros complejos correspondientes. Por eso a partir de este momento

identificamos cada n´umero real x con el n´umero complejo (x, 0).

10. N´umeros reales en el plano complejo. Recordamos que cada n´umero complejo (a, b) se puede ver como el punto del plano cartesiano con coordenadas a y b.

(0,0)

z

w

z = ( , ) w = ( , ) = 3.

Marque los n´umeros com- plejos en el plano:

(4, −1)

−2 = ( , )

Resumen: los n´umeros reales en el plano complejo ocupan el eje

| {z }

de abscisas/de ordenadas

.

11. La unidad imaginaria. Se denota por i el n´umero complejo (0, 1):

i = (0, 1).

12. Proposici´on: propiedad principal de la unidad imaginaria.

Calculemos el cuadrado de este n´umero complejo:

i² = (0, 1)(0, 1) = ( , ) = (−1, 0).

Recordando la identificaci´on de x con (x, 0), podemos escribir que i² = −1.

13. Multiplicaci´on de n´umeros reales por n´umeros complejos (ejemplo).

7 · (−3, 2) = ( , )(−3, 2) = ( − , + ) = ( , ).

14. Proposici´on: multiplicaci´on de n´umeros reales por n´umeros complejos.

Sea x ∈ R y sea (a, b) ∈ C. Entonces

x(a, b) = (xa, xb).

Demostraci´on.

x(a, b)=== (x, 0)(a, b)⁽¹⁾ === (⁽²⁾ · − · , · + · )=== (⁽³⁾ , ).

Justificaci´on:

(1) Identificaci´on del n´umero real x con el n´umero complejo (x, 0).

(2)

(3) Propiedades del n´umero real

|{z}?

.

15. Forma binomial (forma algebraica) de n´umeros complejos, ejemplos.

(−7, 3) = (−7, 0) + (0, 3) = (7, 0) + 3 · (0, 1) = 7 + 3 i;

(4, 9) =

16. Proposici´on: forma binomial de n´umeros complejos.

Sea (a, b) ∈ C. Entonces

(a, b) = a + b i . Demostraci´on.

(a, b)=== (a, 0) + (⁽¹⁾ , )=== a + (0, b)⁽²⁾ === a + b(⁽³⁾ , )=== a + b⁽⁴⁾

|{z}?

.

Justificaci´on:

(1) Definici´on de la operaci´on

|{z}

?

en C.

(2) Identificaci´on de a con el par ordenado

| {z }

?

.

(3) F´ormula para multiplicar n´umeros reales por n´umeros

| {z }

?

.

(3) Notaci´on i para el par ordenado

| {z }

?

.

17. Operaciones con n´umeros complejos en la forma binomial. Ya sabemos que la adici´on y multiplicaci´on de n´umeros complejos satisfacen las propiedades asociativas y conmutativas y est´as relacionadas entre s´ı por la propiedad distributiva. Estas propiedades y la igualdad

i² =

|{z}?

son suficientes para calcular la suma y el producto de n´umeros complejos, sin recordar la definici´on original (con pares ordenados).

(a + b i) + (u + v i) = (

| {z }

?

) + (

| {z }

?

) i .

(a + b i)(u + v i) = au + av i +

| {z }

?

+

| {z }

?

i² =

| {z }

?

− bv
+

| {z }

?

+

| {z }

?

i .

Resumiendo,

(a + b i)(c + d i) = 18. Ejemplos.

(3 + 7 i)(−2 + 5 i) = = −41 + i;

(5 − 6 i)(2 + i) = = 16 − 7 i;

(−1 + 2 i)(4 − 3 i) = 2 + 11 i .

19. N´umeros complejos en el plano complejo.

0 1

i

z

w

Escribir en la forma bino- mial:

w = ( , ) z = ( , )

Marque los n´umeros com- plejos en el plano:

3 + 2 i

−1 2 i

−3 i