L´ımite superior y l´ımite inferior de una sucesi´on

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L´ımite superior y l´ımite inferior de una sucesi´

on

Objetivos. Definir las nociones de los l´ımites superior e inferior de una sucesi´on y estudiar sus propiedades b´asicas.

Requisitos. Supremo e ´ınfimo de un conjunto. Trabajo con desigualdades, supremos e ´ınfimos.

1. Notaci´on. Sea a = (an)n∈N una sucesi´on en R y sea I ⊂ N un conjunto de ´ındices.

Entonces en vez de sup{an: n ∈ I} se escribe sup n∈I

an.

2. Proposici´on. Sea a = (an)n∈N una sucesi´on creciente en R, esto es, an ≤ an+1 para

todo n ∈ N. Entonces

lim

n→∞an= sup_n∈Nan.

Demostraci´on. Denotemos sup_n∈Nan por b. Consideremos tres casos: b = −∞, b ∈ R y

b = +∞.

1. Sea b = −∞. Entonces an = −∞ para todo n ∈ N. Como se sabe, el l´ımite de una

sucesi´on constante es igual a su (´unico) valor.

2. Sea b ∈ R y sea U una vecindad de b. Entonces existe un ε > 0 tal que (b−ε, b+ε) ⊂ U . El n´umero b − ε no es cota superior del conjunto {an: n ∈ N} y por lo tanto existe

un k ∈ N tal que ak > b − ε. Como la sucesi´on (an)n∈N es creciente, para cualquier n ≥ k

obtenemos an ≥ ak > b − ε. Por otro lado, an ≤ b < b + ε para todo n ∈ N. Hemos

demostrado que an ∈ (b − ε, b + ε) y por lo tanto an∈ U para todo n ≥ k.

3. Sea b = +∞ y sea U una vecindad de b. Entonces existe un E > 0 tal que (E, +∞] ⊂ U . El n´umero E no es cota superior del conjunto {an: n ∈ N}, por lo tanto existe un

k ∈ N tal que ak > E. Como la sucesi´on (an)n∈N es creciente, para cualquier n ≥ k

obtenemos an ≥ ak > E. Por otro lado, an ≤ +∞ para todo n ∈ N. Hemos demostrado

que an∈ (E, +∞] y por lo tanto an∈ U para todo n ≥ k.

3. Proposición. Sea x = (xn)n∈Nuna suseción en R. Definimos una sucesión a = (ak)k∈N

mediante la regla

ak:= sup n≥k

xn.

Entonces la sucesi´on a es decreciente.

Demostraci´_{on. Sea k ∈ N. Entonces {x}n: n ≥ k+1} ⊂ {xn: n ≥ k}, y de esta contenci´on

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4. Definición (el l´ımite superior de una sucesión). Sea x = (xn)n∈N una sucesión

en R. Su l´ımite superior se define mediante la siguiente f´ormula: lim sup

n→∞

xn:= inf

k∈Nsup_n≥kxn.

Los resultados escritos antes de la definici´on implican que lim sup

n→∞

xn = lim

k→∞sup_n≥kxn.

5. Ejercicio. Escriba la definici´on del l´ımite inferior en forma “el supremo de ´ınfimos de colas”. Justifique que el l´ımite inferior se puede escribir tambi´en como “el l´ımite de ´ınfimos de colas”.

Vamos a demostrar un criterio de l´ımite superior en términos de cuantificadores y de-sigualdades, sin usar conceptos de nivel más alto tales como cotas superiores e inferiores, supremos e ´ınfimos. Necesitamos repasar ciertos criterios útiles.

6. Lema (supremos, ´ınfimos y desigualdades, repaso). Sea A ⊆ R y sea b ∈ R. Recuerde demostraciones de las siguientes afirmaciones:

sup(A) ≤ b ⇐⇒ ∀a ∈ A a ≤ b. (1) sup(A) b ⇐⇒ ∃a ∈ A a > b. (4) sup(A) ≥ b ⇐= ∃a ∈ A a ≥ b. (5) sup(A) > b =⇒ ∃a ∈ A a ≥ b. (6)

Tambi´en justifique las afirmaciones similares para inf:

inf(A) ≥ b ⇐⇒ ∀a ∈ A a ≥ b. (7) inf(A) > b =⇒ ∀a ∈ A a > b. (8) inf(A) ≥ b ⇐= ∀a ∈ A a > b. (9) inf(A) < b ⇐⇒ ∃a ∈ A a < b. (10) inf(A) ≤ b ⇐= ∃a ∈ A a ≤ b. (11) inf(A) < b ⇐= ∃a ∈ A a ≤ b. (12)

Notamos que en (4) y (10) se usan desigualdades estrictas. El siguiente lema nos ayuda pasar de desigualdades no estrictas a desigualdades estrictas.

7. Lema (pasar de una desigualdad no estricta a desigualdades estrictas). Sean α, β ∈ R. Entonces

α ≤ β ⇐⇒ ∀γ > β γ > α ⇐⇒ ∀γ > β γ ≥ α. (13) α ≥ β ⇐⇒ ∀γ < β γ < α ⇐⇒ ∀γ < β γ ≤ α. (14)

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8. Lema (criterio de que el l´ımite superior es menor o igual que un n´umero dado). Sea x = (xn)n∈N una sucesi´on en R y sea b ∈ R. Entonces

lim sup

n→∞

xn ≤ b ⇐⇒ ∀c > b ∃k ∈ N ∀n ≥ k xn< c.

Demostraci´on. Usamos la siguiente notaci´on: uk := sup

n≥k

xn, L := lim sup n→∞

xn.

Demostremos la implicación =⇒. Supongamos que L ≤ b. Por el criterio (13), ∀c > b c > L. Sustituimos la definición de L: ∀c > b c > inf k∈Nuk. Usamos (10): ∀c > b _{∃k ∈ N} uk< c. Sustituimos la definición de uk: ∀c > b _{∃k ∈ N} sup n≥k xn< c. Aplicamos la regla (2): ∀c > b _{∃k ∈ N} ∀n ≥ k xn< c.

Ahora demostremos la implicaci´on ⇐=. Supongamos que

∀c > b _{∃k ∈ N} ∀n ≥ k xn< c. Aplicamos la regla (3): ∀c > b _{∃k ∈ N} sup n≥k xn ≤ c. Usamos la notaci´on uk: ∀c > b _{∃k ∈ N} uk≤ c.

Por (11) concluimos que

∀c > b inf k∈Nuk ≤ c. Aplicamos la notaci´on L: ∀c > b L ≤ c. Aplicamos el criterio (13): L ≤ b.

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9. Lema (criterio de que el l´ımite superior es mayor o igual que un n´umero dado). Sea x = (xn)n∈N una sucesi´on en R y sea b ∈ R. Entonces

lim sup

n→∞

xn≥ b ⇐⇒ ∀a a.

Demostración. Usamos la notación del Lema anterior. Demostremos la implicación =⇒. Supogamos que L ≥ b. Por el criterio (14), ∀a a. Sustituimos la definición de L: ∀a a. Aplicamos (8): ∀a a. Sustituimos la definición de uk: ∀a a. Aplicamos (4): ∀a a.

Ahora demostremos la implicaci´on ⇐=. Supongamos que

∀a a. Aplicamos (4): ∀a a. Usamos la notaci´on uk: ∀a a. Aplicamos la regla (9): ∀a < b inf k∈Nuk ≥ a. Usamos la notaci´on L: ∀a < b L ≥ a. Aplicamos el criterio (14): L ≥ b.

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10. Teorema (criterio de l´ımite superior). Sea x = (xn)n∈N una sucesi´on en R y sea

b ∈ R. Entonces lim sup

n→∞

xn= b si y s´olo si se cumplen las siguientes dos condiciones:

1. Para cualquier c > b existe un k ∈ N tal que xn< c para todo n ≥ k.

2. Para cualquier a a.

Demostraci´on. Se sigue de los Lemas 8y 9.

11. Ejercicio. Enuncie y demuestre una proposición similar para el l´ımite inferior. 12. Relación entre el l´ımite superior y el l´ımite inferior. Sea (xn)n∈N una sucesión

en R. Entonces

lim inf

n→∞ xn≤ lim sup_n→∞ xn.

Demostraci´_{on. Para cada k ∈ N, comparar inf}n≥kxncon supn≥kxn, y luego pasar al l´ımite

cuando k → ∞.

13. Teorema (criterio de la existencia de l´ımite en t´erminos de lim sup y lim inf ). Sea x = (xn) una sucesi´on en R. Entonces las siguientes condiciones son

equi-valentes:

(a) la sucesi´on xn tiene un l´ımite en R.

(b) lim sup

n→∞

xn= lim inf n→∞ xn.

Si se cumplen estas condiciones, entonces lim

n→∞xn= lim sup_n→∞ xn = lim infn→∞ xn. (15)

Demostraci´_{on. Supongamos que L ∈ R y} n→∞xn = b. De la estructura de vecindades en

R se sigue que

∀c > b _{∃k ∈ N} ∀n ≥ k xn< c, (16)

y

∀a a. (17)

De (16) se sigue que lim sup_n→∞xn ≤ b, y de (17) se sigue que lim infn→∞xn≥ b. Tomando

en cuenta que lim sup_n→∞xn≥ lim supn→∞xn, se obtiene la igualdad (15).

Ahora supongamos que se cumple (b) y denotamos lim sup_n→∞xnpor b. De la desigualdad

lim sup_n→∞xn ≤ b obtenemos (16), y de la desigualdad lim infn→∞xn ≥ b obtenemos (17).