Derivaci´ on de la EFP

(1)

Lecci´ on 5: La ecuaci´ on de Fokker-Planck y la ecuaci´ on de Langevin

Introducci´ on

La ecuaci´on de Fokker-Planck (EFP)¹ es un tipo especial de ecuaci´on maestra en la que W es un operador diferencial de segundo orden:

∂P (y, t)

∂t =− ∂

∂yA(y)P + 1 2

∂²

∂y²B(y)P. (258)

El rango de y es necesariamente continuo (∞, +∞). Los coeficientes A(y) y B(y) son funciones reales diferenciables con la restricci´on de que B(y) > 0.

La EFP se puede escribir como una ecuaci´on de continuidad para la densidad de probabilidad:

∂P (y, t)

∂t =−∂J(y, t)

∂y , (259)

donde J(y, t) es el flujo de probabilidad dado por J(y, t) = A(y)P − 1

2

∂

∂yB(y)P. (260)

El primer término de (258) se llama término de transporte, término de convec- ción o término ”drift”; el segundo se llama término de difusión o fluctuación.

La soluci´on formal estacionaria de (258) es P^s(y) = const.

B(y) exp

2

Z y 0

A(y⁰) B(y⁰)dy⁰

, (261)

supuesto que P^s(y) es integrable y se puede calcular la constante de normal- izaci´on.

Procesos de Markov cuya ecuaci´on maestra tiene la forma (258) se llaman “continuos” porque sus funciones muestra se puede probar que son funciones continuas (con probabilidad 1).

Por definicición la EFP es siempre una ecuación lineal para P. El térmi- no lineal se puede usar en otro sentido. As´ı diremos que la EFP (258) es lineal si A es una función lineal de y y B es constante:

∂P (y, t)

∂t =− ∂

∂y(A0+ A1y)P + 1 2B0

∂²P

∂y². (262)

1También llamada ecuación de Smoluchowski, segunda ecuación de Kolmogorov o ecuación de difusión generalizada.

(2)

Si A1 < 0 la soluci´on estacionaria (261) es Gaussiana. De hecho mediante traslaciones y reescalamientos es posible reducir (262) a (151):

Podemos concluir que un proceso de Markov estacionario determinado por una EFP lineal es un proceso de Ornstein-Uhlenbeck. Para A1 ≥ 0 no hay distribuci´on de probabilidad estacionaria.

Ejercicio: Sea P (y, t|y0, t₀) solución de la ecuación (258). Si tomamos t = t0+∆t y calculamos los momentos de y−y⁰ = ∆y para ∆t pequeño.

Demostrar que para ∆t→ 0 h∆yi

∆t = A(y0) h(∆y)²i

∆t = B(y0) h(∆y)^νi

∆t = 0 ν ≥ 3. (263) El principal uso de la EFP es el de una descripción aproximada de cualquier proceso de Markov cuyos saltos son pequeños. En este sentido fue usada por Rayleigh, Einstein, Smoluchowski y Fokker en casos particulares. Planck derivó la EFP general no lineal a partir de una ecuación maestra arbitraria usando el hecho que que los saltos son pequeños. Finalmente Kolmogorov dio una derivación rigurosa matemática yendo al l´ımite de saltos infinitamente pequeños.

Aunque es una aproximación, con respecto a la ecuación maestra tiene dos propiedades importantes: 1) es una diferencial más que una ecuación diferencio-integral, que permite un tratamiento más sencillo. 2) Más im- portante es la segunda propiedad y es que no necesita conocer todo el kernel W (y|y⁰), sino sólo las funciones A(y) y B(y). Estas pueden de- terminarse con un m´ınimo de conocimiento del mecanismo subyacente de la siguiente forma:

• Supongamos que la f´ısica de un sistema sugiere que cierta magni- tud y sea aproximadamente un proceso de Markov. Consideramos un tiempo ∆t suficientemente pequeño tal que y no cambia mucho en ∆t pero suficientemente grande para que la hipótesis marko- viana se cumpla. Entonces, calculamos en este intervalo de tiempo h∆yiy y su h(∆y)²iy hasta el primer orden en ∆t. De acuerdo al resultado (263) esto es suficiente para encontrar A(y) y B(y) y por tanto formular la ecuación de FP. As´ı, las ecuaciones del movimiento pueden resolverse durante ∆t que puede hacerse mediante teor´ıa de perturbaciones. La EFP sirve entonces para encontrar el comportamiento durante tiempos grandes, lo que da idea de una separación de escalas temporales que solo es posible mediante la hipótesis de Markov.

(3)

• Una forma alternativa de encontrar A y B es la siguiente, de (258) se tiene:

∂thyi = hA(y)i. (264)

(Ejercicio)

Si uno desprecia fluctuaciones se tiene hA(y)i = A(hyi) y uno obtendr´ıa una ecuaci´on cerrada parahyi

∂thyi = A(hyi). (265)

que se identifica con la ecuación macroscópica del movimiento del sistema. Entonces A(y) se obtiene del conocimiento del comportamiento macroscópico. Por otra parte B(y) se obtiene a partir de (261) identificándola con la distribución del equilibrio que al menos para sistemas cerrados se conoce por mecánica estad´ıstica.

Entonces, la ecuaci´on macrosc´opica y el equilibrio son suficientes para determinar la EFP y por tanto calcular fluctuaciones.

Derivaci´ on de la EFP

Planck derivó la EFP como una aproximación de la ecuación maestra.

Primero consideró la probabilidad de transición W como función del tamaño r del salto y del punto inicial:

W (y|y⁰) = W (y⁰; r), r = y− y⁰ (266) entonces la EM (184) queda

∂P (y, t)

∂t =

Z

W (y− r; r)P (y − r, t)dr − P (y, t) Z

W (y;−r)dr. (267) La hipótesis básica es que sólo ocurren saltos pequeños, es decir W (y⁰; r) es una función picuda de r pero var´ıa lentamente con y⁰, es decir existe un δ > 0 tal que

W (y⁰; r)≈ 0 for|r| > δ (268) W (y⁰+ ∆y; r)≈ W (y⁰; r) for|∆y| < δ (269) La segunda hip´otesis es que la soluci´on P (y, t) var´ıa lentamente con y en la misma forma anterior. Entonces desarrollando en serie de Taylor hasta

(4)

orden segundo la primera integral de (267) tenemos:

∂P (y, t)

∂t =

Z

W (y; r)P (y, t)dr− Z

r ∂

∂y{W (y; r)P (y, t)}dr +1

2 Z

r² ∂²

∂y²{W (y; r)P (y, t)}dr − P (y, t) Z

W (y;−r)dr.

(270) Aqu´ı el t´ermino primero y cuarto cancelan, de forma que definiendo los momentos de salto

aν(y) = Z ∞

−∞

r^νW (y; r)dr (271)

resulta

∂P (y, t)

∂t =− ∂

∂y{a1(y)P} + 1 2

∂²

∂y²{a2(y)P} (272) que es la ecuaci´on de Fokker-Planck.

Si incluimos todos los t´erminos del desarrollo de Taylor se tiene

∂P (y, t)

∂t =

∞

X

ν=1

(−1)^ν ν!

∂

∂y

ν

{a^ν(y)P} (273)

que recibe el nombre de Expansión de Kramers-Moyal. Formalmente (273) es idéntica a la ecuación maestra.

Para hacer la EFP una ecuación exacta más que una aproximación, tenemos que hacer que los coecifientes en W dependan de un parámetro de forma que las consideraciones son exactas en el l´ımite → 0. Veámoslo con el caso del caminante aleatorio asimétrico cuya ecuación maestra es:

˙p_n= α(p_n+1− pn) + β(p_n−1− pn) (274) Escalamos los pasos deduci´endolos mediante la transformaci´on

n = x, pn(t) = P (x, t) (275) Este reescalamiento hace que todo el proceso tenga lugar en un pequeño intervalo de las x. Entonces debemos compensar aumentando las probabili- dades de transición, α, β. Para dejar el término de drift en la misma escala tomamos

β− α = A/ (276)

y para dejar el termino de difusi´on en la misma escala tomamos

β + α = B/² (277)

(5)

con estas elecciones la ecuaci´on maestra queda

∂P (x, t)

∂t =−A∂P

∂x +1 2

∂²P

∂x² +O(²) (278)

que da exactamente la EFP en el l´ımite de → 0. Esta derivación en general no es válida pues en la mayor´ıa de los casos no se tiene un parámetro que tiene a cero.

Movimiento Browniano

Como vimos anteriormente en el caso de una part´ıcula brownianana la coordenada X puede ser tratada en una escala promediada como un proceso de Markov. Tenemos la imagen de una part´ıcula que hace saltos hacia ade- lante y atrás al azar sobre el eje X. Los saltos pueden tener cualquier longitud pero la probabilidad de saltos grandes decae rápidamente. Esta probabilidad es simétrica e independiente del punto de partida, entonces

a₁ = h∆Xi^X

∆t = 0, a₂h(∆X)²i^X

∆t = constante. (279)

de donde la EFP queda

∂P (X, t)

∂t = a₂ 2

∂²P (X, t)

∂X² (280)

que tiene la misma forma que la ecuación de difusión, y de hecho es la ecuación de difusión de una part´ıcula browniana en un fluido. De hecho ¹₂a2 es idéntica a la constante de difusión fenomenológica D. Esto establece la relación de Einstein:

D = h(∆X)²i^X

2∆t (281)

que conecta constante macroscópica D con los saltos microscópicos de la part´ıcula. Consideremos un conjunto de part´ıculas brownianas que en t = 0 están todas en X = 0. Sus posiciones en t≥ 0 son un proceso de Markov X(t) y cuya probabilidad de transición está determinada por (280). Esto no es sino un proceso de Wiener, cuya solución con la condición inicial P (X, 0) = δ(X) es:

P (X, t) = 1

√4πDtexp

−X² 4Dt

(282) que es una gaussiana con el m´aximo en el origen y con anchura creciendo con la raiz cuadrada del tiempo:

phX²(t)i =√

2Dt. (283)

(6)

Consideremos la part´ıcula sometida a una fuerza constante, por ejemplo un campo gravitatorio M g en la direcci´on de −X. Sea Mγ la fuerza de fricci´on en el fluido circundante (Stokes), entonces

a1 = h∆XiX

∆t =−g

γ a2 = 2D (284)

de donde queda la EFP

∂P (X, t)

∂t = g γ

∂P

∂X + D∂²P

∂X² (285)

Esta ecuación no tiene solución estacionaria cuando X va de −∞ a ∞. Sin embargo cuando fijamos una barrera reflectante en X = 0 la ecuación se ha de resolver para X > 0 con la condición de contorno que en la pared el flujo cancela:

g

γP + D∂P

∂X = 0 X = 0 (286)

Con esta modificación hay una solución estacionaria. Por mecánica estad´ısti- ca del equilibrio sabemos que esta solución tiene la forma (fórmula de la densidad barométrica):

P^e(X) = const. exp

−M g kT X

(287) que satisface (286) de donde es f´acil identificar

D = kT

M γ (288)

que en virtud de la relaci´on de Einstein no da:

h(∆X)²i^X

∆t = 2kT

M γ (289)

La part´ıcula de Rayleigh

La part´ıcula de Rayleigh es la misma que la Browniana pero estudiada en una escala temporal más fina. Los ∆t se consideran más pequeños comparados con el tiempo en el que la velocidad relaja, pero todav´ıa grandes comparados con la duración de las colisiones con las moléculas del gas. En- tonces la cantidad que hay que considerar como estocástica es la velocidad en vez de la posición.

(7)

La ecuaci´on macrosc´opica para la velocidad es un una ley de amortiguamiento lineal:

V =˙ −γV, (290)

cuando V no es muy grande. Se tiene que a1(V ) = h∆V iV

∆t =−γV (291)

El segundo momento a2 debe ser positivo incluso a V = 0 y puede tomarse constante cuando V no es muy grande,

a2(V ) = a2,0+O(V²)≈ a^2,0. (292) Entonces la EFP queda

∂P (V, t)

∂t = γ ∂

∂V V P +a2,0

2

∂²P

∂V² (293)

De mec´anica estad´ıstica del equilibrio sabemos que la soluci´on estacionaria debe ser:

P^e(V ) =

M

2πkT

1/2

exp

− M 2kTV²

(294) que nos permite identificar

a2,0

2 = γkT

M (295)

de donde la EFP queda

∂P (V, t)

∂t = γ

∂

∂V V P +kT M

∂²P

∂V²

(296) que se conoce con el nombre de ecuación de Rayleigh. Salvo constantes es idéntica a la ecuación que obedece la probabilidad de transición de un proceso de Ornstein-Uhlenbeck.

Ejercicio: Demostrar que para la part´ıcula de Rayleigh se tiene para V (0) = V0:

hV (t)i^V⁰ = V0e^−γt (297)

hV (t)²i^V⁰ = V₀²e^−2γt+kT

M(1− e^−2γt) (298) hhV (t)V (t + τ)ii^e = kT

Me^−γτ (299)

(8)

Podemos deducir los ecuaciones de la part´ıcula browniana (en la escala promediada) de las ecuaciones de la part´ıcula de Rayleigh. Primero consideramos el proceso aleatorio X(t) definido como

X(t) = Z t

0

V (t⁰)dt⁰. (300)

X(t) es gaussiana por ser suma de variables gaussianas y adem´as hX(t)i =

Z t

0 hV (t⁰)idt⁰ = 0 (301) Tambi´en se tiene (hacerlo como ejercicio)

hX(t¹)X(t2)i = kT M

2

γt1− 1 γ² + 1

γ²{e^−γt¹ + e^−γt² − e^−γ(t²^−t¹⁾}

. (302) con lo que tenemos perfectamente determinado el proceso X(t) (pues es Gaus- siano y tenemos determinados los dos primeros momentos). Sin embargo, no constituye un proceso de Wiener pues la autocorrelación es más complica- da. De hecho, incluso X(t) no es Markoviano. Sin embargo, en la escala de tiempo promediada sólo diferencias temporales mayores que el tiempo de amortiguamiento 1/γ son admitidas:

t1 1/γ t2− t1 1/γ (303)

En esta aproximaci´on X(t) es indistinguible the la posici´on de un part´ıcula browniana.

Ecuaci´ on de FP de muchas variables

La generalizaci´on de la EFP lineal a r variables es:

∂P (y, t)

∂t =−X

i,j

Aij

∂

∂yi

yjP + 1 2

X

i,j

Bij

∂²P

∂yiyj

. (304)

donde Aijy Bij son matrices de coeficientes; B es simétrica pero A en general no. Supongamos que además pueden depender del tiempo. Vamos a resolver esta ecuación con la condición inicial:

P (y, 0) =Y

i

δ(yi− yⁱ⁰)≡ δ(y − y⁰). (305)

(9)

De forma sencilla se obtiene que d

dthyⁱi =X

j

Aij(t)hy^ji, hyⁱi⁰ = yi0 (306)

o en notaci´on matricial d

dthyi = A(t)hyi, hyi⁰ = y0 (307) La soluci´on formal de esta ecuaci´on es

hyit = Y (t)y0, (308)

donde Y (t) es la matriz evoluci´on o “propagador” determinada por la ecuaci´on Y (t) = A(t)Y (t),˙ Y (0) = 1. (309) Para los segundos momentos hyiyji uno de forma similar obtiene

d

dthyiy_ji =X

k

A_ikhyky_ji +X

k

A_jkhyiy_ki + Bij (310)

y en t´erminos de las covariancias Ξ_ij ≡ hhyiy_jii queda

˙Ξ = AΞ + Ξ ˜A + B (311)

donde Ã es la transpuesta de A. Esta ecuación se puede resolver utilizando la transformción

Ξ(t) = Y (t)Ξ⁰(t) ˜Y (t) (312) y la ecuaci´on din´amica para el propagador dando:

Ξ(t) = Y (t)Ξ(0) ˜Y (t) + Z t

0

Y (t)Y (t⁰)⁻¹B(t⁰) ˜Y (t⁰)⁻¹Y (t)dt˜ ⁰ (313) La condici´on inicial (305) da Ξ(0) = 0.

En muchos casos es suficiente conocer los dos primeros momentos. As´ı uno puede ver que la soluci´on de (304) es una distribuci´on gaussiana determinada con los momentos antes calculados

P (y, t) = (2π)^−r/2(Det Ξ)^−1/2exp[−1

2(˜y− h˜yi)Ξ⁻¹(y− hyi)] (314) (hacerlo como ejercicio).

(10)

Ecuaci´ on de Kramers

Consideremos una part´ıcula Browniana sometida a una fuerza F (X) de- pendiente de la posici´on. En este caso podemos generalizar la EFP en la forma:

∂P (X, t)

∂t =− ∂

∂X F (X)

M γ P + D∂²P

∂X² (315)

que recibe le nombre de EFP “quasilineal”. Esta ecuación es sólo correcta si F (X) var´ıa tan lentamente que es practicamente constante en el tiempo en que la velocidad se amortigua. La ecuación de Rayleigh no puede utilizarse en este caso pues involucra sólo la velocidad y no puede acomodarse a inho- mogeneidades espaciales. Entonces si F (X) no var´ıa suficientemente lento, para describir la part´ıcula debemos usar la probabilidad conjunta P (X, V, t).

Construimos entonces la EFP de dos variables. Notamos que los coeficientes de las derivadas de primer orden son

h∆Xi^X,V = V ∆t, h∆V i^X,V = F (X) M − γV

∆t (316)

y que hay tres derivadas de segundo orden con coeficientes:

h(∆X)²i^X,V

∆t = V²∆t→ 0 (317)

h∆X∆V iX,V

∆t = V F (X) M − γV

∆t→ 0, (318)

h(∆V )²iX,V

∆t = γkT

M (319)

(320) El último término es el mismo que en la ecuación de Rayleigh pues la fuerza externa no afecta las colisiones con las moléculas del gas. Entonces tenemos la ecuación de Kramers

∂P (X, V, t)

∂t + V ∂P

∂X +F (X) M

∂P

∂V = γ

∂

∂V V P +kT M

∂²P

∂V²

(321) Vamos a resolverla utilizando el m´etodo de Hilbert and Chapman and En- skog:

Usamos el siguiente cambio de variables

V = vpkT/M, X = xpkT/M, F (X) = f(x)√

M kT (322)

(11)

de donde la EK queda

∂

∂v

vP + ∂P

∂v

= 1 γ

∂

∂t + v ∂

∂x + f (x) ∂

∂v

P (323)

que se resuelve haciendo

P (x, v, t) = P⁽⁰⁾+ γ⁻¹P⁽¹⁾+ γ⁻²P⁽²⁾+ . . . (324) y resolviendo orden a orden en 1/γ.

La forma general de la soluci´on es P (x, v, t) = e⁻¹²^v²

φ(x, t) + γ⁻¹v

f φ− dφ dx

+ γ⁻¹ψ(x, t) +O(γ⁻²)

(325) con ∂φ/∂t = 0 y ψ verificando

d dx

f φ− dφ dx

+ ∂ψ

∂t = 0. (326)

Integrando sobre v obtenemos:

P (x, t) =√

2π[φ(x) + γ⁻¹ψ(x, t) +O(γ⁻²)] (327) de donde ahora (326) queda

∂P (x, t)

∂t + γ⁻¹ d

dxf P − d²P dx²

=O(γ⁻²). (328)

La aproximaci´ on de Langevin

Una forma alternativa de estudiar el movimiento Browniano fue realizado por Langevin. Según esta descripción la part´ıcula obedece la ecuación del movimiento:

V =˙ −γV + L(t) (329)

donde el t´ermino de la derecha es la fuerza ejercida por el fluido (dividida por la masa M de la part´ıcula)

(i) La fuerza consiste de un término lineal en V (amortiguamiento) más un término (estocástico) independiente del estado V de la part´ıcula.

(12)

(ii) El término de fricción es también la fuerza promedio, de donde

hL(t)i = 0. (330)

Aqu´ı el promedio est´a realizado sobre un conjunto de muchos sistemas, cada uno consistente de la part´ıcula con el fluido circundante. Esto equivale a promediar sobre muchas part´ıculas brownianas en el mismo fluido, o sobre sucesivas observaciones de la misma part´ıcula (supuestas descorrelacionadas dichas medidas).

(iii) La fuerza L var´ıa r´apidamente en el tiempo de forma que

hL(t)L(t⁰)iΓδ(t − t⁰) (331) esto es no hay correlaci´on entre dos variaciones consecutivas.

Una fuerza teniendo estas propiedades se le llama una fuerza de Langevin y a la ecuación (329) se le llama ecuación de Langevin, que es un ejemplo de ecuación diferencial estocástica. Define V (t) como un proceso estocástico dada una condición inicial.

Consideremos la colectividad de equilibrio de un gas, cada muestra con- sistiendo en una copia de la part´ıcula browniana con velocidad V (0) = V0. Podemos resolver la equaci´on (329) para cada muestra para t > 0 obteniendo

V (t) = V0e^−γt+ e^−γt Z t

0

e^γt⁰L(t⁰)dt⁰ (332) de donde promediando sobre la colectividad y usando las propiedades de L(t) se tiene

hV (t)i^V⁰ = V0e^−γt, (333) y haciendo el cuadrado y promediando se tiene:

h{V (t)}²i^V⁰ = V₀²e^−2γt+ e^−2γt Z t

0

dt⁰ Z t

0

dt⁰⁰e^γ(t⁰^+t⁰⁰⁾hL(t)L(t⁰⁰)i

= V₀²e^−2γt+ Γ

2γ(1− e^−2γt).

(334)

La constante Γ se puede determinar notando que para t 1/γ el efecto de la velocidad inicial ha desaparecido y la velocidad cuadr´atica media viene dada por su valor de equilibrio t´ermico

h{V (∞)}²iV0 = Γ

2γ = kT

M (335)

(13)

ecuación que relaciona el tamaño del término fluctuante (Γ) con la constante de amortiguamiento (γ) (Teorema de fluctuación-disipación). La in- terpretación f´ısica es que el término de fluctuación tiende a que la velocidad tome un conjunto más amplio de valores mientras que el término de amortiguamiento tiende a hacer nula la velocidad. La distribución de equilibrio de la velocidad es el resultado de estas dos tendencias.

Vamos a relacionar esta aproximación con la EFP. Tomamos ∆t γ⁻¹ en la expresión (333). Entonces éste queda

h∆V i^V⁰ ≡ hV (t)i^V⁰ − V⁰ =−γV⁰∆t +O(∆t)². (336) Similarmente se tiene

h(∆V )²iV0 = Γ∆t +O(∆t)². (337) de donde podemos escribir la EFP

∂P (V, t)

∂t = γ ∂

∂V V P +γ 2

∂²P

∂V² (338)

que es id´entica a la ecuaci´on de Rayleigh.

La EFP da los mismos valores para los primeros y segundos momentos de V que la ecuaci´on de Langevin. Sin embargo no se puede decir que son equivalentes pues los momentos de orden m´as alto no son los mismos. La EFP da valores definidos para ellos pero la EL no pues no han sido especificado.

As´ı si a˜nadimos la siguiente premisa para L(t)

(iv) Todos los momentos impares de L cancelan y los momentos pares est´an dados por la misma regla que para la distribuci´on Gaussiana, por ejemplo:

hL(t¹)L(t2)L(t3)L(t4)i = hL(t¹)L(t2)ihl(t³)L(t4)i + . . .

= Γ²{δ(t¹− t²)δ(t3− t⁴) + δ(t1− t³)δ(t2− t⁴) + δ(t1− t⁴)δ(t2− t³)} (339) De forma alternativa podemos estipular que todos los cumulantes de orden mayor cancelan. La función L(t) definida de esta forma se llama ruido blanco Gaussiano. Desde un punto de vista matemático no existe como proceso estocástico (de la misma forma que una función delta no es una función como tal), y en f´ısica nunca ocurre aunque sirve como modelo para un función rápidamente fluctuante.

La equivalencia entre la EFP y la EL se puede ver ahora de forma intuitiva usando la propiedad (iv). Primero V (t) es Gaussiana por ser combinaci´on

(14)

lineal de cantidades L(t⁰) y ser Gaussiana la probabilidad conjunta de todas ellas (0≤ t⁰ ≤ t). Por el mismo argumento la probabilidad conjunta de todas las V (t1), V (t2) . . . es Gaussiana. Entonces el proceso V (t) determinado por (329) con valor inicial V0 es Gaussiano. Por otra parte la solución de (338) es Gaussiana. Además hemos elegido los coeficientes en (338) de forma que ambas Gaussianas sean las mismas, luego son idénticas.

Ejercicio: Probar que la propiedad de L(t) de ser un ruido blanco Gaus- siano se expresa mediante la siguiente identidad de su funcional caracter´ıstico:

exp

i

Z

k(t)L(t)dt

= exp

−1 2Γ

Z

{k(t)}²dt

(340) Ejercicio: Probar que

W (t) = Z t

0

L(t⁰)dt⁰ (341)

es un proceso de Wiener y que su EL se puede poner

dV =−γV dt + Γ^1/2dW (t) (342) Entonces el proceso no existente L(t) se puede reemplazar por la diferencial de un proceso estoc´astico que existe pero no es diferenciable (dW/dt = L(t) no existe).

Consideremos la EL siguiente

˙y = A(y) + L(t), (343)

donde suponemos A(y) no lineal, pero la llamaremos ”quasilineal”pues el coeficiente de L(t) es constante. Aunque su soluci´on general no puede darse explicitamente, se puede argumentar que es equivalente a la EFP quasilineal

∂P (y, t)

∂t =− ∂

∂yA(y)P + Γ 2

∂²P

∂y² (344)

Vamos a demostrarlo. Primero está claro que para cada muestra L la ecuación (343) determina el proceso estocástico y(t) sabiendo y(0). Puesto que los valores de L a diferentes tiempos son estocásticamente independientes, entonces y(t) es Markoviano y obedece una ecuación maestra que se puede poner en la forma de Kramers-Moyal. Vamos a calcular los coeficientes sucesivos de dicho desarrollo:

Consecuencia de (343) es que

∆y =

Z t+∆t t

A(y(t⁰))dt⁰+

Z t+∆t t

L(t⁰)dt⁰, (345)

(15)

de donde para y(t) fijo se tiene

h∆yi = A(y(t))∆t + O(∆)² (346)

que da el primer coeficiente en (344). Calculamos ahora h(∆y)²i =

*Z t+∆t t

A(y(t⁰))dt⁰

²+

+2

Z t+∆t t

dt⁰

Z t+∆t t

dt⁰⁰hA(y(t⁰))L(t⁰⁰)i

+

Z t+∆t t

dt⁰

Z t+∆t t

dt⁰⁰hL(t⁰)L(t⁰⁰)i

(347)

El primer término es O(∆t)² y no contribuye a a2. El último término es Γ∆t y da el segundo término de (344). Por último, en el segundo término se puede hacer una expansión de A(y(t⁰)) dando:

2A(y(t))∆t

Z t+∆t t

dt⁰⁰hL(t⁰⁰)i

+2A⁰(y(t))

Z t+∆t t

dt⁰

Z t+∆t t

dt⁰⁰h{y(t⁰)− y(t)}L(t⁰⁰)i + . . .

(348)

Aqu´ı el primer argumento cancela por las propiedades del ruido L. El segundo es O(∆t)² por la doble integral y por no contener {y(t⁰)− y(t)} funciones delta, que cancelar´ıan una de las integrales. Por el mismo argumento los sigu- ientes t´erminos son tambi´en O(∆t)². De igual forma losh(∆t)^νi son O(∆t)² para ν > 2.

Equivalencia entre ELNL y la EFP

Consideremos la ELNL general

˙y = A(y) + C(y)L(t) (349)

Introduzcamos la notaci´on siguiente:

t_n = t₀+ n∆t t₀ = n₀∆t y_n= y(t_n) (350) donde hemos discretizado el tiempo. Entonces la ELNL queda en forma dis- cretizada en la forma

y_n+1 = y_n+ A^α_n∆t + C_n^α∆tL_n (351)

(16)

con

A^α_n = A[αyn+ (1− α)yn+1] (352) C_n^α = C[αyn+ (1− α)yn+1] (353)

Ln = 1

∆t Z tn+1

tn

dtL(t) (354)

con el ruido Ln verificando:

hLⁿi = 0 (355)

hLnLn⁰i = Γ

∆tδnn⁰ ≡ σ²Ln (356)

Se tiene que Ln ≈ hLⁿi ± σ^Ln que es O(∆t)^−1/2

Vamos a hacer un desarrollo en serie de Taylor y nos quedamos con los

´ordenes m´as bajos en ∆t. Entonces se tiene:

A^α_n = A[αyn+ (1− α)yⁿ⁺¹] = A[yn+ (1− α)(A^αn∆t + C_n^α∆tLn)]

= A(yn) +O(∆t)^1/2.

(357) An´alogamente se tiene

C_n^α = C(yn) + C(yn)C⁰(yn)(1− α)∆tLn+O(∆t) (358) de donde finalmente se obtiene:

yn+1 = yn+ C(yn)∆tLn+ A(yn)∆t + C(yn)C⁰(yn)(1− α)(∆tLn)²+O(∆t)^3/2. (359) la densidad de probabilidad de que un proceso estoc´astico Yx(t) tome un valor y en t es

P1(y, t) = Z

δ{y − Y^x(t)}P^X(x) dx =hδ(y − Y^x(t))i. (360) En la notaci´on anterior se tiene que Yx(tn) = YL(tn) = yn, y PX(x) = P (Ln).

Entonces

P (y, tn+1) =hδ(yⁿ⁺¹− y)i, (361) donde el promedio es sobre la distribuci´on del ruido P (Ln). Si desarrollamos en serie la delta de Dirac obtenemos:

δ(yn+1− y) = δ(yn− y) + ∂

∂yn

δ(yn− y)[C(yn)∆tLn+ A(yn)∆t +C(yn)C⁰(yn)(1− α)(∆tLⁿ)²]

+1 2

∂²

∂y_n²δ(yn− y)[C²(yn)(∆tLn)²] +O(∆t)^3/2.

(362)

(17)

Introduciendo la identidad δ(y_n− y) =

Z

δ(z− yn)δ(z− y) dz (363) obtenemos:

P (y, tn+1) =

Z

dzδ(z− yⁿ)

δ(z− y) + ∂

∂zδ(z − y)[C(z)∆tLⁿ+ A(z)∆t +C(z)C⁰(z)(1− α)(∆tLⁿ)²]

+1 2

∂²

∂z²δ(z − y)[C²(z)(∆tLn)²]

(364) como yn depende de Ln⁰ con n⁰ < n, los promedios factorizan resultando

P (y, tn+1) = Z

dzP (z, tn)

δ(z − y) + ∂

∂zδ(z− y)[A(z)∆t +C(z)C⁰(z)(1− α)∆tΓ]

+1 2

∂²

∂z²δ(z− y)[C²(z)∆tΓ]

(365)

donde hemos utilizado P (z, t_n) = hδ(z − yn)i . Integrando por partes se tiene:

P (y, t_n+1) = Z

dz

δ(z− y) − δ(z − y) ∂

∂z[A(z)∆t +C(z)C⁰(z)(1− α)∆tΓ]

+δ(z− y)1 2

∂²

∂z²[C²(z)∆tΓ]

P (z, yn)

(366)

donde _∂z^∂ y _∂z^∂²2 operan sobre todo lo que est´a a la derecha. Haciendo la integral y tomando el l´ımite ∆t → 0 se tiene finalmente la EFP

∂P (y, t)

∂t = − ∂

∂y[A(y) + Γ(1− α)C(y)C⁰(y)]P (y, t) +Γ

2

∂²

∂y²[C²(y)P (y, t)]

(367)

(18)

El valor de α indica el tipo de discretización que se hace de la ecuación de Langevin. As´ı se dice que tenemos prescripción Itô si α = 1 que implica que C(y) está evaluada en el tiempo anterior al salto, C(yn), mientras que hablamos de la prescripción de Stratonovich para α = 1/2 que implica que C(y) está evaluada para el valor medio de y en el salto.