Lecci´ on 5: La ecuaci´ on de Fokker-Planck y la ecuaci´ on de Langevin
Introducci´ on
La ecuaci´on de Fokker-Planck (EFP)1 es un tipo especial de ecuaci´on maestra en la que W es un operador diferencial de segundo orden:
∂P (y, t)
∂t =− ∂
∂yA(y)P + 1 2
∂2
∂y2B(y)P. (258)
El rango de y es necesariamente continuo (∞, +∞). Los coeficientes A(y) y B(y) son funciones reales diferenciables con la restricci´on de que B(y) > 0.
La EFP se puede escribir como una ecuaci´on de continuidad para la densidad de probabilidad:
∂P (y, t)
∂t =−∂J(y, t)
∂y , (259)
donde J(y, t) es el flujo de probabilidad dado por J(y, t) = A(y)P − 1
2
∂
∂yB(y)P. (260)
El primer t´ermino de (258) se llama t´ermino de transporte, t´ermino de convec- ci´on o t´ermino ”drift”; el segundo se llama t´ermino de difusi´on o fluctuaci´on.
La soluci´on formal estacionaria de (258) es Ps(y) = const.
B(y) exp
2
Z y 0
A(y0) B(y0)dy0
, (261)
supuesto que Ps(y) es integrable y se puede calcular la constante de normal- izaci´on.
Procesos de Markov cuya ecuaci´on maestra tiene la forma (258) se llaman “continuos” porque sus funciones muestra se puede probar que son funciones continuas (con probabilidad 1).
Por definicici´on la EFP es siempre una ecuaci´on lineal para P. El t´ermi- no lineal se puede usar en otro sentido. As´ı diremos que la EFP (258) es lineal si A es una funci´on lineal de y y B es constante:
∂P (y, t)
∂t =− ∂
∂y(A0+ A1y)P + 1 2B0
∂2P
∂y2. (262)
1Tambi´en llamada ecuaci´on de Smoluchowski, segunda ecuaci´on de Kolmogorov o ecuaci´on de difusi´on generalizada.
Si A1 < 0 la soluci´on estacionaria (261) es Gaussiana. De hecho me- diante traslaciones y reescalamientos es posible reducir (262) a (151):
Podemos concluir que un proceso de Markov estacionario determinado por una EFP lineal es un proceso de Ornstein-Uhlenbeck. Para A1 ≥ 0 no hay distribuci´on de probabilidad estacionaria.
Ejercicio: Sea P (y, t|y0, t0) soluci´on de la ecuaci´on (258). Si tomamos t = t0+∆t y calculamos los momentos de y−y0 = ∆y para ∆t peque˜no.
Demostrar que para ∆t→ 0 h∆yi
∆t = A(y0) h(∆y)2i
∆t = B(y0) h(∆y)νi
∆t = 0 ν ≥ 3. (263) El principal uso de la EFP es el de una descripci´on aproximada de cualquier proceso de Markov cuyos saltos son peque˜nos. En este sen- tido fue usada por Rayleigh, Einstein, Smoluchowski y Fokker en ca- sos particulares. Planck deriv´o la EFP general no lineal a partir de una ecuaci´on maestra arbitraria usando el hecho que que los saltos son peque˜nos. Finalmente Kolmogorov dio una derivaci´on rigurosa matem´atica yendo al l´ımite de saltos infinitamente peque˜nos.
Aunque es una aproximaci´on, con respecto a la ecuaci´on maestra tiene dos propiedades importantes: 1) es una diferencial m´as que una ecuaci´on diferencio-integral, que permite un tratamiento m´as sencillo. 2) M´as im- portante es la segunda propiedad y es que no necesita conocer todo el kernel W (y|y0), sino s´olo las funciones A(y) y B(y). Estas pueden de- terminarse con un m´ınimo de conocimiento del mecanismo subyacente de la siguiente forma:
• Supongamos que la f´ısica de un sistema sugiere que cierta magni- tud y sea aproximadamente un proceso de Markov. Consideramos un tiempo ∆t suficientemente peque˜no tal que y no cambia mucho en ∆t pero suficientemente grande para que la hip´otesis marko- viana se cumpla. Entonces, calculamos en este intervalo de tiem- po h∆yiy y su h(∆y)2iy hasta el primer orden en ∆t. De acuerdo al resultado (263) esto es suficiente para encontrar A(y) y B(y) y por tanto formular la ecuaci´on de FP. As´ı, las ecuaciones del movimiento pueden resolverse durante ∆t que puede hacerse me- diante teor´ıa de perturbaciones. La EFP sirve entonces para en- contrar el comportamiento durante tiempos grandes, lo que da idea de una separaci´on de escalas temporales que solo es posible mediante la hip´otesis de Markov.
• Una forma alternativa de encontrar A y B es la siguiente, de (258) se tiene:
∂thyi = hA(y)i. (264)
(Ejercicio)
Si uno desprecia fluctuaciones se tiene hA(y)i = A(hyi) y uno obtendr´ıa una ecuaci´on cerrada parahyi
∂thyi = A(hyi). (265)
que se identifica con la ecuaci´on macrosc´opica del movimiento del sistema. Entonces A(y) se obtiene del conocimiento del compor- tamiento macrosc´opico. Por otra parte B(y) se obtiene a partir de (261) identific´andola con la distribuci´on del equilibrio que al menos para sistemas cerrados se conoce por mec´anica estad´ıstica.
Entonces, la ecuaci´on macrosc´opica y el equilibrio son suficientes para determinar la EFP y por tanto calcular fluctuaciones.
Derivaci´ on de la EFP
Planck deriv´o la EFP como una aproximaci´on de la ecuaci´on maestra.
Primero consider´o la probabilidad de transici´on W como funci´on del tama˜no r del salto y del punto inicial:
W (y|y0) = W (y0; r), r = y− y0 (266) entonces la EM (184) queda
∂P (y, t)
∂t =
Z
W (y− r; r)P (y − r, t)dr − P (y, t) Z
W (y;−r)dr. (267) La hip´otesis b´asica es que s´olo ocurren saltos peque˜nos, es decir W (y0; r) es una funci´on picuda de r pero var´ıa lentamente con y0, es decir existe un δ > 0 tal que
W (y0; r)≈ 0 for|r| > δ (268) W (y0+ ∆y; r)≈ W (y0; r) for|∆y| < δ (269) La segunda hip´otesis es que la soluci´on P (y, t) var´ıa lentamente con y en la misma forma anterior. Entonces desarrollando en serie de Taylor hasta
orden segundo la primera integral de (267) tenemos:
∂P (y, t)
∂t =
Z
W (y; r)P (y, t)dr− Z
r ∂
∂y{W (y; r)P (y, t)}dr +1
2 Z
r2 ∂2
∂y2{W (y; r)P (y, t)}dr − P (y, t) Z
W (y;−r)dr.
(270) Aqu´ı el t´ermino primero y cuarto cancelan, de forma que definiendo los mo- mentos de salto
aν(y) = Z ∞
−∞
rνW (y; r)dr (271)
resulta
∂P (y, t)
∂t =− ∂
∂y{a1(y)P} + 1 2
∂2
∂y2{a2(y)P} (272) que es la ecuaci´on de Fokker-Planck.
Si incluimos todos los t´erminos del desarrollo de Taylor se tiene
∂P (y, t)
∂t =
∞
X
ν=1
(−1)ν ν!
∂
∂y
ν
{aν(y)P} (273)
que recibe el nombre de Expansi´on de Kramers-Moyal. Formalmente (273) es id´entica a la ecuaci´on maestra.
Para hacer la EFP una ecuaci´on exacta m´as que una aproximaci´on, ten- emos que hacer que los coecifientes en W dependan de un par´ametro de forma que las consideraciones son exactas en el l´ımite → 0. Ve´amoslo con el caso del caminante aleatorio asim´etrico cuya ecuaci´on maestra es:
˙pn= α(pn+1− pn) + β(pn−1− pn) (274) Escalamos los pasos deduci´endolos mediante la transformaci´on
n = x, pn(t) = P (x, t) (275) Este reescalamiento hace que todo el proceso tenga lugar en un peque˜no intervalo de las x. Entonces debemos compensar aumentando las probabili- dades de transici´on, α, β. Para dejar el t´ermino de drift en la misma escala tomamos
β− α = A/ (276)
y para dejar el termino de difusi´on en la misma escala tomamos
β + α = B/2 (277)
con estas elecciones la ecuaci´on maestra queda
∂P (x, t)
∂t =−A∂P
∂x +1 2
∂2P
∂x2 +O(2) (278)
que da exactamente la EFP en el l´ımite de → 0. Esta derivaci´on en general no es v´alida pues en la mayor´ıa de los casos no se tiene un par´ametro que tiene a cero.
Movimiento Browniano
Como vimos anteriormente en el caso de una part´ıcula brownianana la coordenada X puede ser tratada en una escala promediada como un proceso de Markov. Tenemos la imagen de una part´ıcula que hace saltos hacia ade- lante y atr´as al azar sobre el eje X. Los saltos pueden tener cualquier longitud pero la probabilidad de saltos grandes decae r´apidamente. Esta probabilidad es sim´etrica e independiente del punto de partida, entonces
a1 = h∆XiX
∆t = 0, a2h(∆X)2iX
∆t = constante. (279)
de donde la EFP queda
∂P (X, t)
∂t = a2 2
∂2P (X, t)
∂X2 (280)
que tiene la misma forma que la ecuaci´on de difusi´on, y de hecho es la ecuaci´on de difusi´on de una part´ıcula browniana en un fluido. De hecho 12a2 es id´entica a la constante de difusi´on fenomenol´ogica D. Esto establece la relaci´on de Einstein:
D = h(∆X)2iX
2∆t (281)
que conecta constante macrosc´opica D con los saltos microsc´opicos de la part´ıcula. Consideremos un conjunto de part´ıculas brownianas que en t = 0 est´an todas en X = 0. Sus posiciones en t≥ 0 son un proceso de Markov X(t) y cuya probabilidad de transici´on est´a determinada por (280). Esto no es sino un proceso de Wiener, cuya soluci´on con la condici´on inicial P (X, 0) = δ(X) es:
P (X, t) = 1
√4πDtexp
−X2 4Dt
(282) que es una gaussiana con el m´aximo en el origen y con anchura creciendo con la raiz cuadrada del tiempo:
phX2(t)i =√
2Dt. (283)
Consideremos la part´ıcula sometida a una fuerza constante, por ejemplo un campo gravitatorio M g en la direcci´on de −X. Sea Mγ la fuerza de fricci´on en el fluido circundante (Stokes), entonces
a1 = h∆XiX
∆t =−g
γ a2 = 2D (284)
de donde queda la EFP
∂P (X, t)
∂t = g γ
∂P
∂X + D∂2P
∂X2 (285)
Esta ecuaci´on no tiene soluci´on estacionaria cuando X va de −∞ a ∞. Sin embargo cuando fijamos una barrera reflectante en X = 0 la ecuaci´on se ha de resolver para X > 0 con la condici´on de contorno que en la pared el flujo cancela:
g
γP + D∂P
∂X = 0 X = 0 (286)
Con esta modificaci´on hay una soluci´on estacionaria. Por mec´anica estad´ısti- ca del equilibrio sabemos que esta soluci´on tiene la forma (f´ormula de la densidad barom´etrica):
Pe(X) = const. exp
−M g kT X
(287) que satisface (286) de donde es f´acil identificar
D = kT
M γ (288)
que en virtud de la relaci´on de Einstein no da:
h(∆X)2iX
∆t = 2kT
M γ (289)
La part´ıcula de Rayleigh
La part´ıcula de Rayleigh es la misma que la Browniana pero estudiada en una escala temporal m´as fina. Los ∆t se consideran m´as peque˜nos com- parados con el tiempo en el que la velocidad relaja, pero todav´ıa grandes comparados con la duraci´on de las colisiones con las mol´eculas del gas. En- tonces la cantidad que hay que considerar como estoc´astica es la velocidad en vez de la posici´on.
La ecuaci´on macrosc´opica para la velocidad es un una ley de amor- tiguamiento lineal:
V =˙ −γV, (290)
cuando V no es muy grande. Se tiene que a1(V ) = h∆V iV
∆t =−γV (291)
El segundo momento a2 debe ser positivo incluso a V = 0 y puede tomarse constante cuando V no es muy grande,
a2(V ) = a2,0+O(V2)≈ a2,0. (292) Entonces la EFP queda
∂P (V, t)
∂t = γ ∂
∂V V P +a2,0
2
∂2P
∂V2 (293)
De mec´anica estad´ıstica del equilibrio sabemos que la soluci´on estacionaria debe ser:
Pe(V ) =
M
2πkT
1/2
exp
− M 2kTV2
(294) que nos permite identificar
a2,0
2 = γkT
M (295)
de donde la EFP queda
∂P (V, t)
∂t = γ
∂
∂V V P +kT M
∂2P
∂V2
(296) que se conoce con el nombre de ecuaci´on de Rayleigh. Salvo constantes es id´entica a la ecuaci´on que obedece la probabilidad de transici´on de un proceso de Ornstein-Uhlenbeck.
Ejercicio: Demostrar que para la part´ıcula de Rayleigh se tiene para V (0) = V0:
hV (t)iV0 = V0e−γt (297)
hV (t)2iV0 = V02e−2γt+kT
M(1− e−2γt) (298) hhV (t)V (t + τ)iie = kT
Me−γτ (299)
Podemos deducir los ecuaciones de la part´ıcula browniana (en la escala promediada) de las ecuaciones de la part´ıcula de Rayleigh. Primero consid- eramos el proceso aleatorio X(t) definido como
X(t) = Z t
0
V (t0)dt0. (300)
X(t) es gaussiana por ser suma de variables gaussianas y adem´as hX(t)i =
Z t
0 hV (t0)idt0 = 0 (301) Tambi´en se tiene (hacerlo como ejercicio)
hX(t1)X(t2)i = kT M
2
γt1− 1 γ2 + 1
γ2{e−γt1 + e−γt2 − e−γ(t2−t1)}
. (302) con lo que tenemos perfectamente determinado el proceso X(t) (pues es Gaus- siano y tenemos determinados los dos primeros momentos). Sin embargo, no constituye un proceso de Wiener pues la autocorrelaci´on es m´as complica- da. De hecho, incluso X(t) no es Markoviano. Sin embargo, en la escala de tiempo promediada s´olo diferencias temporales mayores que el tiempo de amortiguamiento 1/γ son admitidas:
t1 1/γ t2− t1 1/γ (303)
En esta aproximaci´on X(t) es indistinguible the la posici´on de un part´ıcula browniana.
Ecuaci´ on de FP de muchas variables
La generalizaci´on de la EFP lineal a r variables es:
∂P (y, t)
∂t =−X
i,j
Aij
∂
∂yi
yjP + 1 2
X
i,j
Bij
∂2P
∂yiyj
. (304)
donde Aijy Bij son matrices de coeficientes; B es sim´etrica pero A en general no. Supongamos que adem´as pueden depender del tiempo. Vamos a resolver esta ecuaci´on con la condici´on inicial:
P (y, 0) =Y
i
δ(yi− yi0)≡ δ(y − y0). (305)
De forma sencilla se obtiene que d
dthyii =X
j
Aij(t)hyji, hyii0 = yi0 (306)
o en notaci´on matricial d
dthyi = A(t)hyi, hyi0 = y0 (307) La soluci´on formal de esta ecuaci´on es
hyit = Y (t)y0, (308)
donde Y (t) es la matriz evoluci´on o “propagador” determinada por la ecuaci´on Y (t) = A(t)Y (t),˙ Y (0) = 1. (309) Para los segundos momentos hyiyji uno de forma similar obtiene
d
dthyiyji =X
k
Aikhykyji +X
k
Ajkhyiyki + Bij (310)
y en t´erminos de las covariancias Ξij ≡ hhyiyjii queda
˙Ξ = AΞ + Ξ ˜A + B (311)
donde ˜A es la transpuesta de A. Esta ecuaci´on se puede resolver utilizando la transformci´on
Ξ(t) = Y (t)Ξ0(t) ˜Y (t) (312) y la ecuaci´on din´amica para el propagador dando:
Ξ(t) = Y (t)Ξ(0) ˜Y (t) + Z t
0
Y (t)Y (t0)−1B(t0) ˜Y (t0)−1Y (t)dt˜ 0 (313) La condici´on inicial (305) da Ξ(0) = 0.
En muchos casos es suficiente conocer los dos primeros momentos. As´ı uno puede ver que la soluci´on de (304) es una distribuci´on gaussiana determinada con los momentos antes calculados
P (y, t) = (2π)−r/2(Det Ξ)−1/2exp[−1
2(˜y− h˜yi)Ξ−1(y− hyi)] (314) (hacerlo como ejercicio).
Ecuaci´ on de Kramers
Consideremos una part´ıcula Browniana sometida a una fuerza F (X) de- pendiente de la posici´on. En este caso podemos generalizar la EFP en la forma:
∂P (X, t)
∂t =− ∂
∂X F (X)
M γ P + D∂2P
∂X2 (315)
que recibe le nombre de EFP “quasilineal”. Esta ecuaci´on es s´olo correcta si F (X) var´ıa tan lentamente que es practicamente constante en el tiempo en que la velocidad se amortigua. La ecuaci´on de Rayleigh no puede utilizarse en este caso pues involucra s´olo la velocidad y no puede acomodarse a inho- mogeneidades espaciales. Entonces si F (X) no var´ıa suficientemente lento, para describir la part´ıcula debemos usar la probabilidad conjunta P (X, V, t).
Construimos entonces la EFP de dos variables. Notamos que los coeficientes de las derivadas de primer orden son
h∆XiX,V = V ∆t, h∆V iX,V = F (X) M − γV
∆t (316)
y que hay tres derivadas de segundo orden con coeficientes:
h(∆X)2iX,V
∆t = V2∆t→ 0 (317)
h∆X∆V iX,V
∆t = V F (X) M − γV
∆t→ 0, (318)
h(∆V )2iX,V
∆t = γkT
M (319)
(320) El ´ultimo t´ermino es el mismo que en la ecuaci´on de Rayleigh pues la fuerza externa no afecta las colisiones con las mol´eculas del gas. Entonces tenemos la ecuaci´on de Kramers
∂P (X, V, t)
∂t + V ∂P
∂X +F (X) M
∂P
∂V = γ
∂
∂V V P +kT M
∂2P
∂V2
(321) Vamos a resolverla utilizando el m´etodo de Hilbert and Chapman and En- skog:
Usamos el siguiente cambio de variables
V = vpkT/M, X = xpkT/M, F (X) = f(x)√
M kT (322)
de donde la EK queda
∂
∂v
vP + ∂P
∂v
= 1 γ
∂
∂t + v ∂
∂x + f (x) ∂
∂v
P (323)
que se resuelve haciendo
P (x, v, t) = P(0)+ γ−1P(1)+ γ−2P(2)+ . . . (324) y resolviendo orden a orden en 1/γ.
La forma general de la soluci´on es P (x, v, t) = e−12v2
φ(x, t) + γ−1v
f φ− dφ dx
+ γ−1ψ(x, t) +O(γ−2)
(325) con ∂φ/∂t = 0 y ψ verificando
d dx
f φ− dφ dx
+ ∂ψ
∂t = 0. (326)
Integrando sobre v obtenemos:
P (x, t) =√
2π[φ(x) + γ−1ψ(x, t) +O(γ−2)] (327) de donde ahora (326) queda
∂P (x, t)
∂t + γ−1 d
dxf P − d2P dx2
=O(γ−2). (328)
La aproximaci´ on de Langevin
Una forma alternativa de estudiar el movimiento Browniano fue realizado por Langevin. Seg´un esta descripci´on la part´ıcula obedece la ecuaci´on del movimiento:
V =˙ −γV + L(t) (329)
donde el t´ermino de la derecha es la fuerza ejercida por el fluido (dividida por la masa M de la part´ıcula)
(i) La fuerza consiste de un t´ermino lineal en V (amortiguamiento) m´as un t´ermino (estoc´astico) independiente del estado V de la part´ıcula.
(ii) El t´ermino de fricci´on es tambi´en la fuerza promedio, de donde
hL(t)i = 0. (330)
Aqu´ı el promedio est´a realizado sobre un conjunto de muchos sistemas, cada uno consistente de la part´ıcula con el fluido circundante. Esto equivale a promediar sobre muchas part´ıculas brownianas en el mismo fluido, o sobre sucesivas observaciones de la misma part´ıcula (supuestas descorrelacionadas dichas medidas).
(iii) La fuerza L var´ıa r´apidamente en el tiempo de forma que
hL(t)L(t0)iΓδ(t − t0) (331) esto es no hay correlaci´on entre dos variaciones consecutivas.
Una fuerza teniendo estas propiedades se le llama una fuerza de Langevin y a la ecuaci´on (329) se le llama ecuaci´on de Langevin, que es un ejemplo de ecuaci´on diferencial estoc´astica. Define V (t) como un proceso estoc´astico dada una condici´on inicial.
Consideremos la colectividad de equilibrio de un gas, cada muestra con- sistiendo en una copia de la part´ıcula browniana con velocidad V (0) = V0. Podemos resolver la equaci´on (329) para cada muestra para t > 0 obteniendo
V (t) = V0e−γt+ e−γt Z t
0
eγt0L(t0)dt0 (332) de donde promediando sobre la colectividad y usando las propiedades de L(t) se tiene
hV (t)iV0 = V0e−γt, (333) y haciendo el cuadrado y promediando se tiene:
h{V (t)}2iV0 = V02e−2γt+ e−2γt Z t
0
dt0 Z t
0
dt00eγ(t0+t00)hL(t)L(t00)i
= V02e−2γt+ Γ
2γ(1− e−2γt).
(334)
La constante Γ se puede determinar notando que para t 1/γ el efecto de la velocidad inicial ha desaparecido y la velocidad cuadr´atica media viene dada por su valor de equilibrio t´ermico
h{V (∞)}2iV0 = Γ
2γ = kT
M (335)
ecuaci´on que relaciona el tama˜no del t´ermino fluctuante (Γ) con la con- stante de amortiguamiento (γ) (Teorema de fluctuaci´on-disipaci´on). La in- terpretaci´on f´ısica es que el t´ermino de fluctuaci´on tiende a que la velocidad tome un conjunto m´as amplio de valores mientras que el t´ermino de amor- tiguamiento tiende a hacer nula la velocidad. La distribuci´on de equilibrio de la velocidad es el resultado de estas dos tendencias.
Vamos a relacionar esta aproximaci´on con la EFP. Tomamos ∆t γ−1 en la expresi´on (333). Entonces ´este queda
h∆V iV0 ≡ hV (t)iV0 − V0 =−γV0∆t +O(∆t)2. (336) Similarmente se tiene
h(∆V )2iV0 = Γ∆t +O(∆t)2. (337) de donde podemos escribir la EFP
∂P (V, t)
∂t = γ ∂
∂V V P +γ 2
∂2P
∂V2 (338)
que es id´entica a la ecuaci´on de Rayleigh.
La EFP da los mismos valores para los primeros y segundos momentos de V que la ecuaci´on de Langevin. Sin embargo no se puede decir que son equivalentes pues los momentos de orden m´as alto no son los mismos. La EFP da valores definidos para ellos pero la EL no pues no han sido especificado.
As´ı si a˜nadimos la siguiente premisa para L(t)
(iv) Todos los momentos impares de L cancelan y los momentos pares est´an dados por la misma regla que para la distribuci´on Gaussiana, por ejem- plo:
hL(t1)L(t2)L(t3)L(t4)i = hL(t1)L(t2)ihl(t3)L(t4)i + . . .
= Γ2{δ(t1− t2)δ(t3− t4) + δ(t1− t3)δ(t2− t4) + δ(t1− t4)δ(t2− t3)} (339) De forma alternativa podemos estipular que todos los cumulantes de orden mayor cancelan. La funci´on L(t) definida de esta forma se llama ruido blanco Gaussiano. Desde un punto de vista matem´atico no existe como proceso estoc´astico (de la misma forma que una funci´on delta no es una funci´on como tal), y en f´ısica nunca ocurre aunque sirve como modelo para un funci´on r´apidamente fluctuante.
La equivalencia entre la EFP y la EL se puede ver ahora de forma intuitiva usando la propiedad (iv). Primero V (t) es Gaussiana por ser combinaci´on
lineal de cantidades L(t0) y ser Gaussiana la probabilidad conjunta de todas ellas (0≤ t0 ≤ t). Por el mismo argumento la probabilidad conjunta de todas las V (t1), V (t2) . . . es Gaussiana. Entonces el proceso V (t) determinado por (329) con valor inicial V0 es Gaussiano. Por otra parte la soluci´on de (338) es Gaussiana. Adem´as hemos elegido los coeficientes en (338) de forma que ambas Gaussianas sean las mismas, luego son id´enticas.
Ejercicio: Probar que la propiedad de L(t) de ser un ruido blanco Gaus- siano se expresa mediante la siguiente identidad de su funcional caracter´ıstico:
exp
i
Z
k(t)L(t)dt
= exp
−1 2Γ
Z
{k(t)}2dt
(340) Ejercicio: Probar que
W (t) = Z t
0
L(t0)dt0 (341)
es un proceso de Wiener y que su EL se puede poner
dV =−γV dt + Γ1/2dW (t) (342) Entonces el proceso no existente L(t) se puede reemplazar por la diferencial de un proceso estoc´astico que existe pero no es diferenciable (dW/dt = L(t) no existe).
Consideremos la EL siguiente
˙y = A(y) + L(t), (343)
donde suponemos A(y) no lineal, pero la llamaremos ”quasilineal”pues el coeficiente de L(t) es constante. Aunque su soluci´on general no puede darse explicitamente, se puede argumentar que es equivalente a la EFP quasilineal
∂P (y, t)
∂t =− ∂
∂yA(y)P + Γ 2
∂2P
∂y2 (344)
Vamos a demostrarlo. Primero est´a claro que para cada muestra L la ecuaci´on (343) determina el proceso estoc´astico y(t) sabiendo y(0). Puesto que los val- ores de L a diferentes tiempos son estoc´asticamente independientes, entonces y(t) es Markoviano y obedece una ecuaci´on maestra que se puede poner en la forma de Kramers-Moyal. Vamos a calcular los coeficientes sucesivos de dicho desarrollo:
Consecuencia de (343) es que
∆y =
Z t+∆t t
A(y(t0))dt0+
Z t+∆t t
L(t0)dt0, (345)
de donde para y(t) fijo se tiene
h∆yi = A(y(t))∆t + O(∆)2 (346)
que da el primer coeficiente en (344). Calculamos ahora h(∆y)2i =
*Z t+∆t t
A(y(t0))dt0
2+
+2
Z t+∆t t
dt0
Z t+∆t t
dt00hA(y(t0))L(t00)i
+
Z t+∆t t
dt0
Z t+∆t t
dt00hL(t0)L(t00)i
(347)
El primer t´ermino es O(∆t)2 y no contribuye a a2. El ´ultimo t´ermino es Γ∆t y da el segundo t´ermino de (344). Por ´ultimo, en el segundo t´ermino se puede hacer una expansi´on de A(y(t0)) dando:
2A(y(t))∆t
Z t+∆t t
dt00hL(t00)i
+2A0(y(t))
Z t+∆t t
dt0
Z t+∆t t
dt00h{y(t0)− y(t)}L(t00)i + . . .
(348)
Aqu´ı el primer argumento cancela por las propiedades del ruido L. El segun- do es O(∆t)2 por la doble integral y por no contener {y(t0)− y(t)} funciones delta, que cancelar´ıan una de las integrales. Por el mismo argumento los sigu- ientes t´erminos son tambi´en O(∆t)2. De igual forma losh(∆t)νi son O(∆t)2 para ν > 2.
Equivalencia entre ELNL y la EFP
Consideremos la ELNL general
˙y = A(y) + C(y)L(t) (349)
Introduzcamos la notaci´on siguiente:
tn = t0+ n∆t t0 = n0∆t yn= y(tn) (350) donde hemos discretizado el tiempo. Entonces la ELNL queda en forma dis- cretizada en la forma
yn+1 = yn+ Aαn∆t + Cnα∆tLn (351)
con
Aαn = A[αyn+ (1− α)yn+1] (352) Cnα = C[αyn+ (1− α)yn+1] (353)
Ln = 1
∆t Z tn+1
tn
dtL(t) (354)
con el ruido Ln verificando:
hLni = 0 (355)
hLnLn0i = Γ
∆tδnn0 ≡ σ2Ln (356)
Se tiene que Ln ≈ hLni ± σLn que es O(∆t)−1/2
Vamos a hacer un desarrollo en serie de Taylor y nos quedamos con los
´ordenes m´as bajos en ∆t. Entonces se tiene:
Aαn = A[αyn+ (1− α)yn+1] = A[yn+ (1− α)(Aαn∆t + Cnα∆tLn)]
= A(yn) +O(∆t)1/2.
(357) An´alogamente se tiene
Cnα = C(yn) + C(yn)C0(yn)(1− α)∆tLn+O(∆t) (358) de donde finalmente se obtiene:
yn+1 = yn+ C(yn)∆tLn+ A(yn)∆t + C(yn)C0(yn)(1− α)(∆tLn)2+O(∆t)3/2. (359) la densidad de probabilidad de que un proceso estoc´astico Yx(t) tome un valor y en t es
P1(y, t) = Z
δ{y − Yx(t)}PX(x) dx =hδ(y − Yx(t))i. (360) En la notaci´on anterior se tiene que Yx(tn) = YL(tn) = yn, y PX(x) = P (Ln).
Entonces
P (y, tn+1) =hδ(yn+1− y)i, (361) donde el promedio es sobre la distribuci´on del ruido P (Ln). Si desarrollamos en serie la delta de Dirac obtenemos:
δ(yn+1− y) = δ(yn− y) + ∂
∂yn
δ(yn− y)[C(yn)∆tLn+ A(yn)∆t +C(yn)C0(yn)(1− α)(∆tLn)2]
+1 2
∂2
∂yn2δ(yn− y)[C2(yn)(∆tLn)2] +O(∆t)3/2.
(362)
Introduciendo la identidad δ(yn− y) =
Z
δ(z− yn)δ(z− y) dz (363) obtenemos:
P (y, tn+1) =
Z
dzδ(z− yn)
δ(z− y) + ∂
∂zδ(z − y)[C(z)∆tLn+ A(z)∆t +C(z)C0(z)(1− α)(∆tLn)2]
+1 2
∂2
∂z2δ(z − y)[C2(z)(∆tLn)2]
(364) como yn depende de Ln0 con n0 < n, los promedios factorizan resultando
P (y, tn+1) = Z
dzP (z, tn)
δ(z − y) + ∂
∂zδ(z− y)[A(z)∆t +C(z)C0(z)(1− α)∆tΓ]
+1 2
∂2
∂z2δ(z− y)[C2(z)∆tΓ]
(365)
donde hemos utilizado P (z, tn) = hδ(z − yn)i . Integrando por partes se tiene:
P (y, tn+1) = Z
dz
δ(z− y) − δ(z − y) ∂
∂z[A(z)∆t +C(z)C0(z)(1− α)∆tΓ]
+δ(z− y)1 2
∂2
∂z2[C2(z)∆tΓ]
P (z, yn)
(366)
donde ∂z∂ y ∂z∂22 operan sobre todo lo que est´a a la derecha. Haciendo la integral y tomando el l´ımite ∆t → 0 se tiene finalmente la EFP
∂P (y, t)
∂t = − ∂
∂y[A(y) + Γ(1− α)C(y)C0(y)]P (y, t) +Γ
2
∂2
∂y2[C2(y)P (y, t)]
(367)
El valor de α indica el tipo de discretizaci´on que se hace de la ecuaci´on de Langevin. As´ı se dice que tenemos prescripci´on Itˆo si α = 1 que implica que C(y) est´a evaluada en el tiempo anterior al salto, C(yn), mientras que hablamos de la prescripci´on de Stratonovich para α = 1/2 que implica que C(y) est´a evaluada para el valor medio de y en el salto.