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¡Hasta el infinito y m´as all´a!

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(1)

¡Hasta el infinito y m´ as all´ a!

Miguel Mart´ın http://www.ugr.es/local/mmartins

XI Semana de la Ciencia, Granada, Noviembre de 2011

(2)

Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Organizaci´ on de la conferencia

1 Preliminares

2 Los procesos infinitos y sus paradojas

3 ¿Cu´antos infinitos hay?

4 ¿C´omo se miden ´areas?

5 Para saber m´as

(3)

Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Presentaci´ on

Miguel Mart´ın Su´ arez

Licenciado en Matem´ aticas por la Universidad de Granada Doctor en Matem´ aticas por la Universidad de Granada Profesor del Departamento de An´ alisis Matem´ atico de la Universidad de Granada

Responsable del grupo de investigaci´ on

“Geometr´ıa de los espacios de Banach” Campo de trabajo:

An´ alisis Funcional en dimensi´ on infinita

Y, ¿qu´ e es eso de la dimensi´ on infinita?

Pero antes, ¿qu´ e es el infinito?

(4)

Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Presentaci´ on

Miguel Mart´ın Su´ arez

Licenciado en Matem´ aticas por la Universidad de Granada Doctor en Matem´ aticas por la Universidad de Granada Profesor del Departamento de An´ alisis Matem´ atico de la Universidad de Granada

Responsable del grupo de investigaci´ on

“Geometr´ıa de los espacios de Banach” Campo de trabajo:

An´ alisis Funcional en dimensi´ on infinita

Y, ¿qu´ e es eso de la dimensi´ on infinita?

Pero antes, ¿qu´ e es el infinito?

(5)

Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Presentaci´ on

Miguel Mart´ın Su´ arez

Licenciado en Matem´ aticas por la Universidad de Granada

Doctor en Matem´ aticas por la Universidad de Granada Profesor del Departamento de An´ alisis Matem´ atico de la Universidad de Granada

Responsable del grupo de investigaci´ on

“Geometr´ıa de los espacios de Banach” Campo de trabajo:

An´ alisis Funcional en dimensi´ on infinita

Y, ¿qu´ e es eso de la dimensi´ on infinita?

Pero antes, ¿qu´ e es el infinito?

(6)

Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Presentaci´ on

Miguel Mart´ın Su´ arez

Licenciado en Matem´ aticas por la Universidad de Granada Doctor en Matem´ aticas por la Universidad de Granada

Profesor del Departamento de An´ alisis Matem´ atico de la Universidad de Granada

Responsable del grupo de investigaci´ on

“Geometr´ıa de los espacios de Banach” Campo de trabajo:

An´ alisis Funcional en dimensi´ on infinita

Y, ¿qu´ e es eso de la dimensi´ on infinita?

Pero antes, ¿qu´ e es el infinito?

(7)

Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Presentaci´ on

Miguel Mart´ın Su´ arez

Licenciado en Matem´ aticas por la Universidad de Granada Doctor en Matem´ aticas por la Universidad de Granada Profesor del Departamento de An´ alisis Matem´ atico de la Universidad de Granada

Responsable del grupo de investigaci´ on

“Geometr´ıa de los espacios de Banach” Campo de trabajo:

An´ alisis Funcional en dimensi´ on infinita

Y, ¿qu´ e es eso de la dimensi´ on infinita?

Pero antes, ¿qu´ e es el infinito?

(8)

Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Presentaci´ on

Miguel Mart´ın Su´ arez

Licenciado en Matem´ aticas por la Universidad de Granada Doctor en Matem´ aticas por la Universidad de Granada Profesor del Departamento de An´ alisis Matem´ atico de la Universidad de Granada

Responsable del grupo de investigaci´ on

“Geometr´ıa de los espacios de Banach”

Campo de trabajo:

An´ alisis Funcional en dimensi´ on infinita

Y, ¿qu´ e es eso de la dimensi´ on infinita?

Pero antes, ¿qu´ e es el infinito?

(9)

Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Presentaci´ on

Miguel Mart´ın Su´ arez

Licenciado en Matem´ aticas por la Universidad de Granada Doctor en Matem´ aticas por la Universidad de Granada Profesor del Departamento de An´ alisis Matem´ atico de la Universidad de Granada

Responsable del grupo de investigaci´ on

“Geometr´ıa de los espacios de Banach”

Campo de trabajo:

An´ alisis Funcional en dimensi´ on infinita

Y, ¿qu´ e es eso de la dimensi´ on infinita?

Pero antes, ¿qu´ e es el infinito?

(10)

Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Presentaci´ on

Miguel Mart´ın Su´ arez

Licenciado en Matem´ aticas por la Universidad de Granada Doctor en Matem´ aticas por la Universidad de Granada Profesor del Departamento de An´ alisis Matem´ atico de la Universidad de Granada

Responsable del grupo de investigaci´ on

“Geometr´ıa de los espacios de Banach”

Campo de trabajo:

An´ alisis Funcional en dimensi´ on infinita Y, ¿qu´ e es eso de la dimensi´ on infinita?

Pero antes, ¿qu´ e es el infinito?

(11)

Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Presentaci´ on

Miguel Mart´ın Su´ arez

Licenciado en Matem´ aticas por la Universidad de Granada Doctor en Matem´ aticas por la Universidad de Granada Profesor del Departamento de An´ alisis Matem´ atico de la Universidad de Granada

Responsable del grupo de investigaci´ on

“Geometr´ıa de los espacios de Banach”

Campo de trabajo:

An´ alisis Funcional en dimensi´ on infinita Y, ¿qu´ e es eso de la dimensi´ on infinita?

Pero antes, ¿qu´ e es el infinito?

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Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

¿Qu´ e es el infinito?

. . . intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir sobre el infinito, asign´andole propiedades que damos a lo finito y limitado; pero pienso que esto es incorrecto, dado que no podemos hablar de cantidades infinitas como si fuesen mayores, menores o iguales a otras

Galileo Galilei(1564–1642)

¡El infinito! Ninguna cuesti´on ha conmovido tan profundamente el esp´ıritu del hombre.

David Hilbert(1862–1943)

El infinito tiene poco respeto por la l´ogica. De hecho establece una frontera que, en cierta forma, separa las matem´aticas de la l´ogica, o, al menos, de lo que cl´asicamente se ha entendido por l´ogica. El infinito es como un nido de v´ıboras, y al intelecto humano le ha llevado varios milenios y muchas picaduras poder meter mano ah´ı.

Antonio J. Dur´an(1962–)

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¿Qu´ e es el infinito?

. . . intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir sobre el infinito, asign´andole propiedades que damos a lo finito y limitado; pero pienso que esto es incorrecto, dado que no podemos hablar de cantidades infinitas como si fuesen mayores, menores o iguales a otras

Galileo Galilei(1564–1642)

¡El infinito! Ninguna cuesti´on ha conmovido tan profundamente el esp´ıritu del hombre.

David Hilbert(1862–1943)

El infinito tiene poco respeto por la l´ogica. De hecho establece una frontera que, en cierta forma, separa las matem´aticas de la l´ogica, o, al menos, de lo que cl´asicamente se ha entendido por l´ogica. El infinito es como un nido de v´ıboras, y al intelecto humano le ha llevado varios milenios y muchas picaduras poder meter mano ah´ı.

Antonio J. Dur´an(1962–)

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¿Qu´ e es el infinito?

. . . intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir sobre el infinito, asign´andole propiedades que damos a lo finito y limitado; pero pienso que esto es incorrecto, dado que no podemos hablar de cantidades infinitas como si fuesen mayores, menores o iguales a otras

Galileo Galilei(1564–1642)

¡El infinito! Ninguna cuesti´on ha conmovido tan profundamente el esp´ıritu del hombre.

David Hilbert(1862–1943)

El infinito tiene poco respeto por la l´ogica. De hecho establece una frontera que, en cierta forma, separa las matem´aticas de la l´ogica, o, al menos, de lo que cl´asicamente se ha entendido por l´ogica. El infinito es como un nido de v´ıboras, y al intelecto humano le ha llevado varios milenios y muchas picaduras poder meter mano ah´ı.

Antonio J. Dur´an(1962–)

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¿Qu´ e es el infinito?

. . . intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir sobre el infinito, asign´andole propiedades que damos a lo finito y limitado; pero pienso que esto es incorrecto, dado que no podemos hablar de cantidades infinitas como si fuesen mayores, menores o iguales a otras

Galileo Galilei(1564–1642)

¡El infinito! Ninguna cuesti´on ha conmovido tan profundamente el esp´ıritu del hombre.

David Hilbert(1862–1943)

El infinito tiene poco respeto por la l´ogica. De hecho establece una frontera que, en cierta forma, separa las matem´aticas de la l´ogica, o, al menos, de lo que cl´asicamente se ha entendido por l´ogica. El infinito es como un nido de v´ıboras, y al intelecto humano le ha llevado varios milenios y muchas picaduras poder meter mano ah´ı.

Antonio J. Dur´an(1962–)

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Definiciones de infinito I

Actualización del Diccionario de la Lengua Española en CD-ROM para las últimas versiones de los sistemas operativos.

PRESENTACIÓN

AVANCE DE LA 23.ª EDICIÓN

¿Quién hace el Diccionario?

¿Cómo se actualiza?

¿Cómo se muestran las enmiendas y adiciones?

¿Cómo se revisan los americanismos del Diccionario?

¿Con qué medios informáticos se revisa el Diccionario?

Cifras de actualización LA 22.ª EDICIÓN (2001)

El Diccionario en cifras

¿Qué novedades presenta la 22.ª edición?

Advertencias para el uso de este Diccionario

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DGM4XHQRWLHQHQLSXHGHWHQHUILQQLW«UPLQR

DGM0X\QXPHURVRRHQRUPH

P/XJDULPSUHFLVRHQVXOHMDQ¯D\YDJXHGDG/DFDOOH VHSHUG¯DHQHOLQILQLWR

P(QXQDF£PDUDIRWRJU£ILFD¼OWLPDJUDGXDFLµQGHXQ REMHWLYRSDUDHQIRFDUORTXHHVW£GLVWDQWH

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Real Academia Española © Todos los derechos reservados

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Definiciones de infinito II

Algebra Applied Mathematics Calculus and Analysis Discrete Mathematics Foundations of Mathematics Geometry History and Terminology Number Theory Probability and Statistics Recreational Mathematics Topology

Alphabetical Index Interactive Entries Random Entry New in MathWorld MathWorld Classroom

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13,044 entries Last updated: Fri Feb 25 2011

Foundations of Mathematics>Set Theory>Cardinal Numbers>

History and Terminology>Mathematica Commands>

Infinity

Infinity, most often denoted as , is an unbounded quantity that is greater than every real number. The symbol had been used as an alternative to M ( ) in Roman numerals until 1655, when John Wallis suggested it be used instead for infinity.

Infinity is a very tricky concept to work with, as evidenced by some of the counterintuitive results that follow from Georg Cantor's treatment of infinite sets.

Informally, , a statement that can be made rigorous using the limit concept,

Similarly,

where the notation indicates that the limit is taken from the positive side of the real line.

Other Wolfram Web Resources »

Infinity

unbounded quantity greater than everyreal number.

very tricky concept to work with,

SEARCH MATHWORLD

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Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Definiciones de infinito II

Algebra Applied Mathematics Calculus and Analysis Discrete Mathematics Foundations of Mathematics Geometry History and Terminology Number Theory Probability and Statistics Recreational Mathematics Topology

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13,044 entries Last updated: Fri Feb 25 2011

Foundations of Mathematics>Set Theory>Cardinal Numbers>

History and Terminology>Mathematica Commands>

Infinity

Infinity, most often denoted as , is an unbounded quantity that is greater than every real number. The symbol had been used as an alternative to M ( ) in Roman numerals until 1655, when John Wallis suggested it be used instead for infinity.

Infinity is a very tricky concept to work with, as evidenced by some of the counterintuitive results that follow from Georg Cantor's treatment of infinite sets.

Informally, , a statement that can be made rigorous using the limit concept,

Similarly,

where the notation indicates that the limit is taken from the positive side of the real line.

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Infinity

unbounded quantity greater than everyreal number.

very tricky concept to work with,

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En Espa˜ nol:

El infinito es una cantidad no acotada mayor que todos los n´umeros reales.

Es un concepto dif´ıcil de trabajar.

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Sobre el s´ımbolo ∞

Origen incierto

Tiene la forma de la lemniscata (x

2

+ y

2

)

2

= x

2

− y

2

que no tiene principio ni fin Fue John Wallis (1616–1703) el primero en utilizarlo. Lo llam´ o el lazo del amor

Pudo tomar el s´ımbolo del n´ umero romano M (1000) que en etrusco ten´ıa cierto parecido,

o de la letra

griega omega

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Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Sobre el s´ımbolo ∞

Origen incierto

Tiene la forma de la lemniscata (x

2

+ y

2

)

2

= x

2

− y

2

que no tiene principio ni fin Fue John Wallis (1616–1703) el primero en utilizarlo. Lo llam´ o el lazo del amor

Pudo tomar el s´ımbolo del n´ umero romano M (1000) que en etrusco ten´ıa cierto parecido,

o de la letra

griega omega

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Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Sobre el s´ımbolo ∞

Origen incierto

Tiene la forma de la lemniscata (x

2

+ y

2

)

2

= x

2

− y

2

que no tiene principio ni fin

Fue John Wallis (1616–1703) el primero en utilizarlo. Lo llam´ o el lazo del amor

Pudo tomar el s´ımbolo del n´ umero romano M (1000) que en etrusco ten´ıa cierto parecido,

o de la letra

griega omega

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Sobre el s´ımbolo ∞

Origen incierto

Tiene la forma de la lemniscata (x

2

+ y

2

)

2

= x

2

− y

2

que no tiene principio ni fin Fue John Wallis (1616–1703) el primero en utilizarlo. Lo llam´ o el lazo del amor

Pudo tomar el s´ımbolo del n´ umero romano M (1000) que en etrusco ten´ıa cierto parecido,

o de la letra

griega omega

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Sobre el s´ımbolo ∞

Origen incierto

Tiene la forma de la lemniscata (x

2

+ y

2

)

2

= x

2

− y

2

que no tiene principio ni fin Fue John Wallis (1616–1703) el primero en utilizarlo. Lo llam´ o el lazo del amor

Pudo tomar el s´ımbolo del n´ umero romano M (1000) que en etrusco ten´ıa cierto parecido,

o de la letra griega omega

⊂ p ⊃

ω

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Sobre el s´ımbolo ∞

Origen incierto

Tiene la forma de la lemniscata (x

2

+ y

2

)

2

= x

2

− y

2

que no tiene principio ni fin Fue John Wallis (1616–1703) el primero en utilizarlo. Lo llam´ o el lazo del amor

Pudo tomar el s´ımbolo del n´ umero romano M (1000) que en etrusco ten´ıa cierto parecido, o de la letra griega omega

⊂ p ⊃

ω

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Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Definici´ on actual del infinito matem´ atico (¡mejor no mirar!)

Bernard Bolzano (1781–1848):

Unamultitud infinitaes aquella de la cual cualquier multitud finita solamente puede ser parte y no el total.

Richard Dedekind (1831–1916):

Un sistema S se llamainfinito cuando es semejante a una parte propia de s´ı mismo; en caso contrario se dice que S esfinito.

Georg Cantor (1845–1918):

Primer estudio sistem´atico del infinito, aritm´etica del infinito, n´umeros transfinitos. . .No todos los infinitos son iguales.

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Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Definici´ on actual del infinito matem´ atico (¡mejor no mirar!)

Bernard Bolzano (1781–1848):

Unamultitud infinitaes aquella de la cual cualquier multitud finita solamente puede ser parte y no el total.

Richard Dedekind (1831–1916):

Un sistema S se llamainfinito cuando es semejante a una parte propia de s´ı mismo; en caso contrario se dice que S esfinito.

Georg Cantor (1845–1918):

Primer estudio sistem´atico del infinito, aritm´etica del infinito, n´umeros transfinitos. . .No todos los infinitos son iguales.

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Definici´ on actual del infinito matem´ atico (¡mejor no mirar!)

Bernard Bolzano (1781–1848):

Unamultitud infinitaes aquella de la cual cualquier multitud finita solamente puede ser parte y no el total.

Richard Dedekind (1831–1916):

Un sistema S se llamainfinito cuando es semejante a una parte propia de s´ı mismo; en caso contrario se dice que S esfinito.

Georg Cantor (1845–1918):

Primer estudio sistem´atico del infinito, aritm´etica del infinito, n´umeros transfinitos. . .No todos los infinitos son iguales.

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Definici´ on actual del infinito matem´ atico (¡mejor no mirar!)

Bernard Bolzano (1781–1848):

Unamultitud infinitaes aquella de la cual cualquier multitud finita solamente puede ser parte y no el total.

Richard Dedekind (1831–1916):

Un sistema S se llamainfinito cuando es semejante a una parte propia de s´ı mismo; en caso contrario se dice que S esfinito.

Georg Cantor (1845–1918):

Primer estudio sistem´atico del infinito, aritm´etica del infinito, n´umeros transfinitos. . .No todos los infinitos son iguales.

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Los procesos infinitos y sus paradojas

2

Los procesos infinitos y sus paradojas Aquiles y la tortuga

Sobre la invenci´ on del ajedrez

Gauss suma 100 n´ umeros

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La paradoja de Aquiles y la tortuga

Aquiles, el de los pies ligeros, nunca alcanzar´a ala tortugaque avanza lentamente unos cuantos metros por delante de ´el. Pues cuando Aquiles alcance el punto donde estaba la tortuga, ´esta ya estar´a un poco m´as adelante; y cuando de nuevo Aquiles alcance ese lugar, la tortuga habr´a avanzado un poco m´as. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco m´as. . . De este modo, la tortuga estar´a siempre por delante de Aquiles.

Zen´on de Elea(490 ac – 425 ac)

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La paradoja de Aquiles y la tortuga

Aquiles, el de los pies ligeros, nunca alcanzar´a ala tortugaque avanza lentamente unos cuantos metros por delante de ´el. Pues cuando Aquiles alcance el punto donde estaba la tortuga, ´esta ya estar´a un poco m´as adelante; y cuando de nuevo Aquiles alcance ese lugar, la tortuga habr´a avanzado un poco m´as. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco m´as. . . De este modo, la tortuga estar´a siempre por delante de Aquiles.

Zen´on de Elea(490 ac – 425 ac)

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La paradoja de Aquiles y la tortuga

Aquiles, el de los pies ligeros, nunca alcanzar´a ala tortugaque avanza lentamente unos cuantos metros por delante de ´el. Pues cuando Aquiles alcance el punto donde estaba la tortuga, ´esta ya estar´a un poco m´as adelante; y cuando de nuevo Aquiles alcance ese lugar, la tortuga habr´a avanzado un poco m´as. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco m´as. . . De este modo, la tortuga estar´a siempre por delante de Aquiles.

Zen´on de Elea(490 ac – 425 ac)

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La paradoja de Aquiles y la tortuga

Aquiles, el de los pies ligeros, nunca alcanzar´a ala tortugaque avanza lentamente unos cuantos metros por delante de ´el. Pues cuando Aquiles alcance el punto donde estaba la tortuga, ´esta ya estar´a un poco m´as adelante; y cuando de nuevo Aquiles alcance ese lugar, la tortuga habr´a avanzado un poco m´as. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco m´as. . . De este modo, la tortuga estar´a siempre por delante de Aquiles.

Zen´on de Elea(490 ac – 425 ac)

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Aquiles y la tortuga II

Zen´ on, disc´ıpulo de Parm´ enides, pretend´ıa demostrar que el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.

La paradoja de Zen´ on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:

Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto), se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto), La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, no puede alcanzarse(¡falso!)

Arist´ oteles tild´ o de falacias las paradojas de Zen´ on, pero no pudo refutarlas con la l´ ogica.

Hay que saber que

una “suma infinita” de cantidades positivas puede ser finita.

(35)

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Aquiles y la tortuga II

Zen´ on, disc´ıpulo de Parm´ enides, pretend´ıa demostrar que el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.

La paradoja de Zen´ on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:

Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto), se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto), La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, no puede alcanzarse(¡falso!)

Arist´ oteles tild´ o de falacias las paradojas de Zen´ on, pero no pudo refutarlas con la l´ ogica.

Hay que saber que

una “suma infinita” de cantidades positivas puede ser finita.

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Aquiles y la tortuga II

Zen´ on, disc´ıpulo de Parm´ enides, pretend´ıa demostrar que el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.

La paradoja de Zen´ on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:

Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto), se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto), La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, no puede alcanzarse(¡falso!)

Arist´ oteles tild´ o de falacias las paradojas de Zen´ on, pero no pudo refutarlas con la l´ ogica.

Hay que saber que

una “suma infinita” de cantidades positivas puede ser finita.

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Aquiles y la tortuga II

Zen´ on, disc´ıpulo de Parm´ enides, pretend´ıa demostrar que el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.

La paradoja de Zen´ on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:

Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto),

se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto), La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, no puede alcanzarse(¡falso!)

Arist´ oteles tild´ o de falacias las paradojas de Zen´ on, pero no pudo refutarlas con la l´ ogica.

Hay que saber que

una “suma infinita” de cantidades positivas puede ser finita.

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Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Aquiles y la tortuga II

Zen´ on, disc´ıpulo de Parm´ enides, pretend´ıa demostrar que el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.

La paradoja de Zen´ on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:

Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto), se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto),

La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, no puede alcanzarse(¡falso!)

Arist´ oteles tild´ o de falacias las paradojas de Zen´ on, pero no pudo refutarlas con la l´ ogica.

Hay que saber que

una “suma infinita” de cantidades positivas puede ser finita.

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Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Aquiles y la tortuga II

Zen´ on, disc´ıpulo de Parm´ enides, pretend´ıa demostrar que el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.

La paradoja de Zen´ on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:

Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto), se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto), La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, no puede alcanzarse(¡falso!)

Arist´ oteles tild´ o de falacias las paradojas de Zen´ on, pero no pudo refutarlas con la l´ ogica.

Hay que saber que

una “suma infinita” de cantidades positivas puede ser finita.

(40)

Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Aquiles y la tortuga II

Zen´ on, disc´ıpulo de Parm´ enides, pretend´ıa demostrar que el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.

La paradoja de Zen´ on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:

Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto), se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto), La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, no puede alcanzarse(¡falso!)

Arist´ oteles tild´ o de falacias las paradojas de Zen´ on, pero no pudo refutarlas con la l´ ogica.

Hay que saber que

una “suma infinita” de cantidades positivas puede ser finita.

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Aquiles y la tortuga II

Zen´ on, disc´ıpulo de Parm´ enides, pretend´ıa demostrar que el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.

La paradoja de Zen´ on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:

Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto), se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto), La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, no puede alcanzarse(¡falso!)

Arist´ oteles tild´ o de falacias las paradojas de Zen´ on, pero no pudo refutarlas con la l´ ogica.

Hay que saber que

una “suma infinita” de cantidades positivas puede ser finita.

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Sumando cu˜ nas de queso I

Teorema 1 2 + 1

4 + 1 8 + 1

16 + 1 32 + 1

64 + · · · = 1

(43)

Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Sumando cu˜ nas de queso I

Teorema 1 2 + 1

4 + 1 8 + 1

16 + 1 32 + 1

64 + · · · = 1

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Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Sumando cu˜ nas de queso I

Teorema 1 2 + 1

4 + 1 8 + 1

16 + 1 32 + 1

64 + · · · = 1

Gr´ aficamente:

Demostraci´ on: Tomamos un queso

y lo vamos partiendo. . .

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Sumando cu˜ nas de queso I

Teorema 1 2 + 1

4 + 1 8 + 1

16 + 1 32 + 1

64 + · · · = 1

Gr´ aficamente: Demostraci´ on:

Tomamos un queso

y lo vamos partiendo. . .

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Sumando cu˜ nas de queso I

Teorema 1 2 + 1

4 + 1 8 + 1

16 + 1 32 + 1

64 + · · · = 1

Gr´ aficamente: Demostraci´ on:

Tomamos un queso

y lo vamos partiendo. . .

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Sumando cu˜ nas de queso I

Teorema 1 2 + 1

4 + 1 8 + 1

16 + 1 32 + 1

64 + · · · = 1

Gr´ aficamente: Demostraci´ on:

Tomamos un queso

y lo vamos partiendo. . .

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Sumando cu˜ nas de queso I

Teorema 1 2 + 1

4 + 1 8 + 1

16 + 1 32 + 1

64 + · · · = 1

Otra demostraci´ on:

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Sumando cu˜ nas de queso I

Teorema 1 2 + 1

4 + 1 8 + 1

16 + 1 32 + 1

64 + · · · = 1

Otra demostraci´ on:

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Sumando cu˜ nas de queso II

Teorema 1 2 + 1

3 + 1 4 + 1

5 + 1 6 + 1

7 + 1

8 + · · · vale infinito.

Demostraci´ on: 1 2 + 1

3 + 1 4 + 1

5 + 1 6 + 1

7 + 1 8 + · · ·

= 1 2 +



1 3 + 1

4



+



1 5 + 1

6 + 1 7 + 1

8



+ · · ·

> 1 2 +



1 4 + 1

4



+



1 8 + 1

8 + 1 8 + 1

8



+ · · ·

= 1 2 + 1

2 + 1

2 + · · ·

(51)

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Sumando cu˜ nas de queso II

Teorema 1 2 + 1

3 + 1 4 + 1

5 + 1 6 + 1

7 + 1

8 + · · · vale infinito.

Demostraci´ on: 1 2 + 1

3 + 1 4 + 1

5 + 1 6 + 1

7 + 1 8 + · · ·

= 1 2 +



1 3 + 1

4



+



1 5 + 1

6 + 1 7 + 1

8



+ · · ·

> 1 2 +



1 4 + 1

4



+



1 8 + 1

8 + 1 8 + 1

8



+ · · ·

= 1 2 + 1

2 + 1

2 + · · ·

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Sumando cu˜ nas de queso II

Teorema 1 2 + 1

3 + 1 4 + 1

5 + 1 6 + 1

7 + 1

8 + · · · vale infinito.

Demostraci´ on:

1 2 + 1

3 + 1 4 + 1

5 + 1 6 + 1

7 + 1 8 + · · ·

= 1 2 +



1 3 + 1

4



+



1 5 + 1

6 + 1 7 + 1

8



+ · · ·

> 1 2 +



1 4 + 1

4



+



1 8 + 1

8 + 1 8 + 1

8



+ · · ·

= 1 2 + 1

2 + 1

2 + · · ·

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Sumando cu˜ nas de queso II

Teorema 1 2 + 1

3 + 1 4 + 1

5 + 1 6 + 1

7 + 1

8 + · · · vale infinito.

Demostraci´ on:

1 2 + 1

3 + 1 4 + 1

5 + 1 6 + 1

7 + 1 8 + · · ·

= 1 2 +



1 3 + 1

4



+



1 5 + 1

6 + 1 7 + 1

8



+ · · ·

> 1 2 +



1 4 + 1

4



+



1 8 + 1

8 + 1 8 + 1

8



+ · · ·

= 1 2 + 1

2 + 1

2 + · · ·

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Sumando cu˜ nas de queso II

Teorema 1 2 + 1

3 + 1 4 + 1

5 + 1 6 + 1

7 + 1

8 + · · · vale infinito.

Demostraci´ on:

1 2 + 1

3 + 1 4 + 1

5 + 1 6 + 1

7 + 1 8 + · · ·

= 1 2 +



1 3 + 1

4



+



1 5 + 1

6 + 1 7 + 1

8



+ · · ·

> 1 2 +



1 4 + 1

4



+



1 8 + 1

8 + 1 8 + 1

8



+ · · ·

= 1 2 + 1

2 + 1

2 + · · ·

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Sumando cu˜ nas de queso II

Teorema 1 2 + 1

3 + 1 4 + 1

5 + 1 6 + 1

7 + 1

8 + · · · vale infinito.

Demostraci´ on:

1 2 + 1

3 + 1 4 + 1

5 + 1 6 + 1

7 + 1 8 + · · ·

= 1 2 +



1 3 + 1

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+



1 5 + 1

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8



+ · · ·

> 1 2 +



1 4 + 1

4



+



1 8 + 1

8 + 1 8 + 1

8



+ · · ·

= 1 2 + 1

2 + 1

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Sumando cu˜ nas de queso II

Teorema 1 2 + 1

3 + 1 4 + 1

5 + 1 6 + 1

7 + 1

8 + · · · vale infinito.

Demostraci´ on:

1 2 + 1

3 + 1 4 + 1

5 + 1 6 + 1

7 + 1 8 + · · ·

= 1 2 +



1 3 + 1

4



+



1 5 + 1

6 + 1 7 + 1

8



+ · · ·

> 1 2 +



1 4 + 1

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+



1 8 + 1

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8



+ · · ·

= 1 2 + 1

2 + 1

2 + · · ·

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Una ´ ultima cita sobre Aquiles y la Tortuga

Aquiles alcanz´ o a la tortuga y se sent´ o confortablemente sobre su espalda. ¿De modo que has llegado al final de nuestra carrera? – dijo la tortuga –. ¿A pesar de que realmente consiste en una serie infinita de distancias? Yo cre´ıa que alg´ un necio hab´ıa demostrado que esto no pod´ıa hacerse.

Lewis Carroll, Lo que la Tortuga le dijo a Aquiles, 1894

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La leyenda del origen del ajedrez

Cuenta la leyenda, que un rey indio llamado Iadava (s. VI ac), tras perder a su

primog´ enito en una batalla, andaba triste y deca´ıdo y nada le hac´ıa sonre´ır.

Un d´ıa lleg´ o a palacio un pobre brahm´ an

llamado Sessa con un juego que hab´ıa

inventado para traer la alegr´ıa a la vida del

rey, el chaturanga, antecesor del ajedrez.

El rey, encantado con el juego, quiso

agradecer a Sessa con palacios, joyas,

regalos. . . que el joven brahm´ an siempre

rechazaba cort´ esmente.

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La leyenda del origen del ajedrez

Cuenta la leyenda, que un rey indio llamado Iadava (s. VI ac), tras perder a su

primog´ enito en una batalla, andaba triste y deca´ıdo y nada le hac´ıa sonre´ır.

Un d´ıa lleg´ o a palacio un pobre brahm´ an

llamado Sessa con un juego que hab´ıa

inventado para traer la alegr´ıa a la vida del

rey, el chaturanga, antecesor del ajedrez.

El rey, encantado con el juego, quiso

agradecer a Sessa con palacios, joyas,

regalos. . . que el joven brahm´ an siempre

rechazaba cort´ esmente.

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La leyenda del origen del ajedrez

Cuenta la leyenda, que un rey indio llamado Iadava (s. VI ac), tras perder a su

primog´ enito en una batalla, andaba triste y deca´ıdo y nada le hac´ıa sonre´ır.

Un d´ıa lleg´ o a palacio un pobre brahm´ an llamado Sessa con un juego que hab´ıa inventado para traer la alegr´ıa a la vida del rey, el chaturanga, antecesor del ajedrez.

El rey, encantado con el juego, quiso

agradecer a Sessa con palacios, joyas,

regalos. . . que el joven brahm´ an siempre

rechazaba cort´ esmente.

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La leyenda del origen del ajedrez

Cuenta la leyenda, que un rey indio llamado Iadava (s. VI ac), tras perder a su

primog´ enito en una batalla, andaba triste y deca´ıdo y nada le hac´ıa sonre´ır.

Un d´ıa lleg´ o a palacio un pobre brahm´ an llamado Sessa con un juego que hab´ıa inventado para traer la alegr´ıa a la vida del rey, el chaturanga, antecesor del ajedrez.

El rey, encantado con el juego, quiso

agradecer a Sessa con palacios, joyas,

regalos. . . que el joven brahm´ an siempre

rechazaba cort´ esmente.

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Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

La leyenda del origen del ajedrez

Cuenta la leyenda, que un rey indio llamado Iadava (s. VI ac), tras perder a su

primog´ enito en una batalla, andaba triste y deca´ıdo y nada le hac´ıa sonre´ır.

Un d´ıa lleg´ o a palacio un pobre brahm´ an llamado Sessa con un juego que hab´ıa inventado para traer la alegr´ıa a la vida del rey, el chaturanga, antecesor del ajedrez.

El rey, encantado con el juego, quiso

agradecer a Sessa con palacios, joyas,

regalos. . . que el joven brahm´ an siempre

rechazaba cort´ esmente.

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La leyenda del origen del ajedrez II

Finalmente, Sessa pidi´ o al rey que le pagara con arroz, de la siguiente forma:

En la primera casilla de un tablero de ajedrez ponemos un grano de arroz, en la segunda dos, en la tercera cuatro. . . y as´ı vamos doblando la cantidad al avanzar de casilla.

El rey accedi´ o encantado a tan humilde petici´ on y orden´ o que trajesen arroz para entregar all´ı mismo la cantidad que ped´ıa el brahm´ an.

Pronto se descubri´ o que petici´ on era menos

humilde y m´ as complicada de lo que se

pensaba: al ir avanzando en las casillas, la

cantidad de arroz era inmanejable.

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La leyenda del origen del ajedrez II

Finalmente, Sessa pidi´ o al rey que le pagara con arroz, de la siguiente forma:

En la primera casilla de un tablero de ajedrez ponemos un grano de arroz, en la segunda dos, en la tercera cuatro. . . y as´ı vamos doblando la cantidad al avanzar de casilla.

El rey accedi´ o encantado a tan humilde petici´ on y orden´ o que trajesen arroz para entregar all´ı mismo la cantidad que ped´ıa el brahm´ an.

Pronto se descubri´ o que petici´ on era menos

humilde y m´ as complicada de lo que se

pensaba: al ir avanzando en las casillas, la

cantidad de arroz era inmanejable.

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La leyenda del origen del ajedrez II

Finalmente, Sessa pidi´ o al rey que le pagara con arroz, de la siguiente forma:

En la primera casilla de un tablero de ajedrez ponemos un grano de arroz, en la segunda dos, en la tercera cuatro. . .

y as´ı vamos doblando la cantidad al avanzar de casilla.

El rey accedi´ o encantado a tan humilde petici´ on y orden´ o que trajesen arroz para entregar all´ı mismo la cantidad que ped´ıa el brahm´ an.

Pronto se descubri´ o que petici´ on era menos

humilde y m´ as complicada de lo que se

pensaba: al ir avanzando en las casillas, la

cantidad de arroz era inmanejable.

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La leyenda del origen del ajedrez II

Finalmente, Sessa pidi´ o al rey que le pagara con arroz, de la siguiente forma:

En la primera casilla de un tablero de ajedrez ponemos un grano de arroz, en la segunda dos, en la tercera cuatro. . . y as´ı vamos doblando la cantidad al avanzar de casilla.

El rey accedi´ o encantado a tan humilde petici´ on y orden´ o que trajesen arroz para entregar all´ı mismo la cantidad que ped´ıa el brahm´ an.

Pronto se descubri´ o que petici´ on era menos

humilde y m´ as complicada de lo que se

pensaba: al ir avanzando en las casillas, la

cantidad de arroz era inmanejable.

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La leyenda del origen del ajedrez II

Finalmente, Sessa pidi´ o al rey que le pagara con arroz, de la siguiente forma:

En la primera casilla de un tablero de ajedrez ponemos un grano de arroz, en la segunda dos, en la tercera cuatro. . . y as´ı vamos doblando la cantidad al avanzar de casilla.

El rey accedi´ o encantado a tan humilde petici´ on y orden´ o que trajesen arroz para entregar all´ı mismo la cantidad que ped´ıa el brahm´ an.

Pronto se descubri´ o que petici´ on era menos

humilde y m´ as complicada de lo que se

pensaba: al ir avanzando en las casillas, la

cantidad de arroz era inmanejable.

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La leyenda del origen del ajedrez II

Finalmente, Sessa pidi´ o al rey que le pagara con arroz, de la siguiente forma:

En la primera casilla de un tablero de ajedrez ponemos un grano de arroz, en la segunda dos, en la tercera cuatro. . . y as´ı vamos doblando la cantidad al avanzar de casilla.

El rey accedi´ o encantado a tan humilde petici´ on y orden´ o que trajesen arroz para entregar all´ı mismo la cantidad que ped´ıa el brahm´ an.

Pronto se descubri´ o que petici´ on era menos

humilde y m´ as complicada de lo que se

pensaba: al ir avanzando en las casillas, la

cantidad de arroz era inmanejable.

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La leyenda del origen del ajedrez II

Finalmente, Sessa pidi´ o al rey que le pagara con arroz, de la siguiente forma:

En la primera casilla de un tablero de ajedrez ponemos un grano de arroz, en la segunda dos, en la tercera cuatro. . . y as´ı vamos doblando la cantidad al avanzar de casilla.

El rey accedi´ o encantado a tan humilde petici´ on y orden´ o que trajesen arroz para entregar all´ı mismo la cantidad que ped´ıa el brahm´ an.

Pronto se descubri´ o que petici´ on era menos

humilde y m´ as complicada de lo que se

pensaba: al ir avanzando en las casillas, la

cantidad de arroz era inmanejable.

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La leyenda del origen del ajedrez II

Finalmente, Sessa pidi´ o al rey que le pagara con arroz, de la siguiente forma:

En la primera casilla de un tablero de ajedrez ponemos un grano de arroz, en la segunda dos, en la tercera cuatro. . . y as´ı vamos doblando la cantidad al avanzar de casilla.

El rey accedi´ o encantado a tan humilde petici´ on y orden´ o que trajesen arroz para entregar all´ı mismo la cantidad que ped´ıa el brahm´ an.

Pronto se descubri´ o que petici´ on era menos

humilde y m´ as complicada de lo que se

pensaba: al ir avanzando en las casillas, la

cantidad de arroz era inmanejable.

Referencias

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