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¡Hasta el infinito y m´as all´a!

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Academic year: 2022

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(1)

¡Hasta el infinito y m´ as all´ a!

Miguel Mart´ın (Universidad de Granada)

http://www.ugr.es/local/mmartins

XIX Semana de la Ciencia 2019, Facultad de Ciencias, Universidad de Granada

(2)

Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Organizaci´ on de la conferencia

1 Preliminares

2 Los procesos infinitos y sus paradojas

3 ¿Cu´antos infinitos hay?

4 ¿C´omo se miden ´areas?

5 Para saber m´as

(3)

Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Presentaci´ on

Miguel Mart´ın Su´arez

Catedr´atico del Departamento de An´alisis Matem´atico de la Universidad de Granada

Campo de trabajo:

An´alisis Funcional endimensi´on infinita Y, ¿qu´e es eso de la dimensi´on infinita?

Pero antes,¿qu´e es el infinito?

(4)

Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Presentaci´ on

Miguel Mart´ın Su´arez

Catedr´atico del Departamento de An´alisis Matem´atico de la Universidad de Granada

Campo de trabajo:

An´alisis Funcional endimensi´on infinita Y, ¿qu´e es eso de la dimensi´on infinita?

Pero antes,¿qu´e es el infinito?

(5)

Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Presentaci´ on

Miguel Mart´ın Su´arez

Catedr´atico del Departamento de An´alisis Matem´atico de la Universidad de Granada

Campo de trabajo:

An´alisis Funcional endimensi´on infinita Y, ¿qu´e es eso de la dimensi´on infinita?

Pero antes,¿qu´e es el infinito?

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Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Presentaci´ on

Miguel Mart´ın Su´arez

Catedr´atico del Departamento de An´alisis Matem´atico de la Universidad de Granada

Campo de trabajo:

An´alisis Funcional endimensi´on infinita

Y, ¿qu´e es eso de la dimensi´on infinita?

Pero antes,¿qu´e es el infinito?

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Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Presentaci´ on

Miguel Mart´ın Su´arez

Catedr´atico del Departamento de An´alisis Matem´atico de la Universidad de Granada

Campo de trabajo:

An´alisis Funcional endimensi´on infinita Y, ¿qu´e es eso de la dimensi´on infinita?

Pero antes,¿qu´e es el infinito?

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Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Presentaci´ on

Miguel Mart´ın Su´arez

Catedr´atico del Departamento de An´alisis Matem´atico de la Universidad de Granada

Campo de trabajo:

An´alisis Funcional endimensi´on infinita Y, ¿qu´e es eso de la dimensi´on infinita?

Pero antes,¿qu´e es el infinito?

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Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

¿Qu´ e es el infinito?

. . . intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir sobre el infinito, asign´andole pro- piedades que damos a lo finito y limitado; pero pienso que esto es incorrecto, dado que no podemos hablar de cantidades infinitas como si fuesen mayores, menores o iguales a otras.

Galileo Galilei(1564–1642)

¡El infinito! Ninguna cuesti´on ha conmovido tan profundamente el esp´ıritu del hombre. David Hilbert(1862–1943) Para m´ı, el infinito comienza a partir de mil pesetas [6€].

Julio Rey Pastor(1888–1962) El infinito tiene poco respeto por la l´ogica. De hecho, establece una frontera que separa las matem´aticas de la l´ogica (. . . ) El infinito es como un nido de v´ıboras, y al intelecto humano le ha llevado varios milenios y muchas picaduras poder meter mano ah´ı.

Antonio J. Dur´an(1962–)

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Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

¿Qu´ e es el infinito?

. . . intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir sobre el infinito, asign´andole pro- piedades que damos a lo finito y limitado; pero pienso que esto es incorrecto, dado que no podemos hablar de cantidades infinitas como si fuesen mayores, menores o iguales a otras.

Galileo Galilei(1564–1642)

¡El infinito! Ninguna cuesti´on ha conmovido tan profundamente el esp´ıritu del hombre. David Hilbert(1862–1943) Para m´ı, el infinito comienza a partir de mil pesetas [6€].

Julio Rey Pastor(1888–1962) El infinito tiene poco respeto por la l´ogica. De hecho, establece una frontera que separa las matem´aticas de la l´ogica (. . . ) El infinito es como un nido de v´ıboras, y al intelecto humano le ha llevado varios milenios y muchas picaduras poder meter mano ah´ı.

Antonio J. Dur´an(1962–)

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¿Qu´ e es el infinito?

. . . intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir sobre el infinito, asign´andole pro- piedades que damos a lo finito y limitado; pero pienso que esto es incorrecto, dado que no podemos hablar de cantidades infinitas como si fuesen mayores, menores o iguales a otras.

Galileo Galilei(1564–1642)

¡El infinito! Ninguna cuesti´on ha conmovido tan profundamente el esp´ıritu del hombre.

David Hilbert(1862–1943)

Para m´ı, el infinito comienza a partir de mil pesetas [6€].

Julio Rey Pastor(1888–1962) El infinito tiene poco respeto por la l´ogica. De hecho, establece una frontera que separa las matem´aticas de la l´ogica (. . . ) El infinito es como un nido de v´ıboras, y al intelecto humano le ha llevado varios milenios y muchas picaduras poder meter mano ah´ı.

Antonio J. Dur´an(1962–)

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¿Qu´ e es el infinito?

. . . intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir sobre el infinito, asign´andole pro- piedades que damos a lo finito y limitado; pero pienso que esto es incorrecto, dado que no podemos hablar de cantidades infinitas como si fuesen mayores, menores o iguales a otras.

Galileo Galilei(1564–1642)

¡El infinito! Ninguna cuesti´on ha conmovido tan profundamente el esp´ıritu del hombre.

David Hilbert(1862–1943) Para m´ı, el infinito comienza a partir de mil pesetas [6€].

Julio Rey Pastor(1888–1962)

El infinito tiene poco respeto por la l´ogica. De hecho, establece una frontera que separa las matem´aticas de la l´ogica (. . . ) El infinito es como un nido de v´ıboras, y al intelecto humano le ha llevado varios milenios y muchas picaduras poder meter mano ah´ı.

Antonio J. Dur´an(1962–)

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¿Qu´ e es el infinito?

. . . intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir sobre el infinito, asign´andole pro- piedades que damos a lo finito y limitado; pero pienso que esto es incorrecto, dado que no podemos hablar de cantidades infinitas como si fuesen mayores, menores o iguales a otras.

Galileo Galilei(1564–1642)

¡El infinito! Ninguna cuesti´on ha conmovido tan profundamente el esp´ıritu del hombre.

David Hilbert(1862–1943) Para m´ı, el infinito comienza a partir de mil pesetas [6€].

Julio Rey Pastor(1888–1962) El infinito tiene poco respeto por la l´ogica. De hecho, establece una frontera que separa las matem´aticas de la l´ogica (. . . ) El infinito es como un nido de v´ıboras, y al intelecto humano le ha llevado varios milenios y muchas picaduras poder meter mano ah´ı.

Antonio J. Dur´an(1962–)

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Definiciones de infinito I

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Definiciones de infinito II

Algebra Applied Mathematics Calculus and Analysis Discrete Mathematics Foundations of Mathematics Geometry History and Terminology Number Theory Probability and Statistics Recreational Mathematics Topology

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13,044 entries Last updated: Fri Feb 25 2011

Foundations of Mathematics>Set Theory>Cardinal Numbers>

History and Terminology>Mathematica Commands>

Infinity

Infinity, most often denoted as , is an unbounded quantity that is greater than every real number. The symbol had been used as an alternative to M ( ) in Roman numerals until 1655, when John Wallis suggested it be used instead for infinity.

Infinity is a very tricky concept to work with, as evidenced by some of the counterintuitive results that follow from Georg Cantor's treatment of infinite sets.

Informally, , a statement that can be made rigorous using the limit concept,

Similarly,

where the notation indicates that the limit is taken from the positive side of the real line.

Other Wolfram Web Resources »

Infinity

unbounded quantity greater than everyreal number.

very tricky concept to work with,

SEARCH MATHWORLD

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Definiciones de infinito II

Algebra Applied Mathematics Calculus and Analysis Discrete Mathematics Foundations of Mathematics Geometry History and Terminology Number Theory Probability and Statistics Recreational Mathematics Topology

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13,044 entries Last updated: Fri Feb 25 2011

Foundations of Mathematics>Set Theory>Cardinal Numbers>

History and Terminology>Mathematica Commands>

Infinity

Infinity, most often denoted as , is an unbounded quantity that is greater than every real number. The symbol had been used as an alternative to M ( ) in Roman numerals until 1655, when John Wallis suggested it be used instead for infinity.

Infinity is a very tricky concept to work with, as evidenced by some of the counterintuitive results that follow from Georg Cantor's treatment of infinite sets.

Informally, , a statement that can be made rigorous using the limit concept,

Similarly,

where the notation indicates that the limit is taken from the positive side of the real line.

Other Wolfram Web Resources »

Infinity

unbounded quantity greater than everyreal number.

very tricky concept to work with,

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En Espa˜nol:

El infinito es una cantidad no acotada mayor que todos los n´umeros reales.

Es un concepto dif´ıcil de trabajar.

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Definiciones de infinito III

Infinito

El símbolo de infinito ’ (Unicode U+221E), también llamado lemniscata, Para el canal de televisión por cable, véase Infinito (canal de

televisión).

Para el grupo español del mismo nombre, véase Infinito (banda).

El concepto de infinito (símbolo: ’) aparece en varias ramas de la matemática, la filosofía1 y la astronomía,2 en referencia a una cantidad sin límite o sin final, contrapuesto al concepto de finitud.3

En matemáticas el infinito aparece de diversas formas: en geometría, el punto al infinito en geometría proyectiva y el punto de fuga en geometría descriptiva; en análisis matemático, los límites infinitos; y en teoría de conjuntos como números transfinitos . Todos estos conceptos son diferentes y no corresponden todos ellos a la misma noción de infinitud.

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son diferentes y no corresponden t a la misma noción de infinitud.

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Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Sobre el s´ımbolo ∞

Origen incierto

Tiene la forma de lalemniscata (x2+ y2)2= x2− y2 que no tiene principio ni fin

FueJohn Wallis(1616–1703) el primero en utilizarlo. Lo llam´o ellazo del amor Pudo tomar el s´ımbolo deln´umero romano M (1000) que en etrusco ten´ıa cierto parecido,

o de laletra griega omega

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Sobre el s´ımbolo ∞

Origen incierto

Tiene la forma de lalemniscata (x2+ y2)2= x2− y2 que no tiene principio ni fin

FueJohn Wallis(1616–1703) el primero en utilizarlo. Lo llam´o ellazo del amor Pudo tomar el s´ımbolo deln´umero romano M (1000) que en etrusco ten´ıa cierto parecido,

o de laletra griega omega

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Sobre el s´ımbolo ∞

Origen incierto

Tiene la forma de lalemniscata (x2+ y2)2= x2− y2 que no tiene principio ni fin

FueJohn Wallis(1616–1703) el primero en utilizarlo. Lo llam´o ellazo del amor Pudo tomar el s´ımbolo deln´umero romano M (1000) que en etrusco ten´ıa cierto parecido,

o de laletra griega omega

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Sobre el s´ımbolo ∞

Origen incierto

Tiene la forma de lalemniscata (x2+ y2)2= x2− y2 que no tiene principio ni fin

FueJohn Wallis(1616–1703) el primero en utilizarlo. Lo llam´o ellazo del amor

Pudo tomar el s´ımbolo deln´umero romano M (1000) que en etrusco ten´ıa cierto parecido,

o de laletra griega omega

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Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Sobre el s´ımbolo ∞

Origen incierto

Tiene la forma de lalemniscata (x2+ y2)2= x2− y2 que no tiene principio ni fin

FueJohn Wallis(1616–1703) el primero en utilizarlo. Lo llam´o ellazo del amor Pudo tomar el s´ımbolo deln´umero romano M (1000) que en etrusco ten´ıa cierto parecido,

o de laletra griega omega

⊂ p ⊃

ω

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Sobre el s´ımbolo ∞

Origen incierto

Tiene la forma de lalemniscata (x2+ y2)2= x2− y2 que no tiene principio ni fin

FueJohn Wallis(1616–1703) el primero en utilizarlo. Lo llam´o ellazo del amor Pudo tomar el s´ımbolo deln´umero romano M (1000) que en etrusco ten´ıa cierto parecido, o de laletra griega omega

⊂ p ⊃

ω

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Definici´ on actual del infinito matem´ atico (¡mejor no mirar!)

Bernard Bolzano (1781–1848):

Unamultitud infinitaes aquella de la cual cualquier multitud finita solamente puede ser parte y no el total.

Richard Dedekind (1831–1916):

Un sistema S se llamainfinitocuando es semejante a una parte propia de s´ı mismo; en caso contrario se dice que S esfinito.

Georg Cantor (1845–1918):

Primer estudio sistem´atico delinfinito, aritm´etica del infinito, n´umeros transfinitos. . .No todos los in- finitos son iguales.

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Definici´ on actual del infinito matem´ atico (¡mejor no mirar!)

Bernard Bolzano (1781–1848):

Unamultitud infinitaes aquella de la cual cualquier multitud finita solamente puede ser parte y no el total.

Richard Dedekind (1831–1916):

Un sistema S se llamainfinitocuando es semejante a una parte propia de s´ı mismo; en caso contrario se dice que S esfinito.

Georg Cantor (1845–1918):

Primer estudio sistem´atico delinfinito, aritm´etica del infinito, n´umeros transfinitos. . .No todos los in- finitos son iguales.

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Definici´ on actual del infinito matem´ atico (¡mejor no mirar!)

Bernard Bolzano (1781–1848):

Unamultitud infinitaes aquella de la cual cualquier multitud finita solamente puede ser parte y no el total.

Richard Dedekind (1831–1916):

Un sistema S se llamainfinitocuando es semejante a una parte propia de s´ı mismo; en caso contrario se dice que S esfinito.

Georg Cantor (1845–1918):

Primer estudio sistem´atico delinfinito, aritm´etica del infinito, n´umeros transfinitos. . .No todos los in- finitos son iguales.

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Definici´ on actual del infinito matem´ atico (¡mejor no mirar!)

Bernard Bolzano (1781–1848):

Unamultitud infinitaes aquella de la cual cualquier multitud finita solamente puede ser parte y no el total.

Richard Dedekind (1831–1916):

Un sistema S se llamainfinitocuando es semejante a una parte propia de s´ı mismo; en caso contrario se dice que S esfinito.

Georg Cantor (1845–1918):

Primer estudio sistem´atico delinfinito, aritm´etica del infinito, n´umeros transfinitos. . .No todos los in- finitos son iguales.

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Pero. . . ¿existe el infinito?

Hay controversia cient´ıfica sobre si el Universo es finito o infinito, hay diversas teor´ıas e hip´otesis sobre esto.

Pero, en cualquier caso, nuestra aritm´etica lleva inmediatamente a la existencia de conjuntos infinitos:

los n´umeros naturales son infinitos: sumemos uno al m´as grande que conozcamos y obtenemos otro mayor. los n´umeros pares, los n´umeros impares, las potencias de 2. . . son todos conjuntos infinitos.

Hay otro conjunto importante cuya infinitud no es tan obvia:

el conjunto de losn´umeros primos.

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Pero. . . ¿existe el infinito?

Hay controversia cient´ıfica sobre si el Universo es finito o infinito, hay diversas teor´ıas e hip´otesis sobre esto.

Pero, en cualquier caso, nuestra aritm´etica lleva inmediatamente a la existencia de conjuntos infinitos:

los n´umeros naturales son infinitos: sumemos uno al m´as grande que conozcamos y obtenemos otro mayor. los n´umeros pares, los n´umeros impares, las potencias de 2. . . son todos conjuntos infinitos.

Hay otro conjunto importante cuya infinitud no es tan obvia:

el conjunto de losn´umeros primos.

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Pero. . . ¿existe el infinito?

Hay controversia cient´ıfica sobre si el Universo es finito o infinito, hay diversas teor´ıas e hip´otesis sobre esto.

Pero, en cualquier caso, nuestra aritm´etica lleva inmediatamente a la existencia de conjuntos infinitos:

los n´umeros naturales son infinitos: sumemos uno al m´as grande que conozcamos y obtenemos otro mayor. los n´umeros pares, los n´umeros impares, las potencias de 2. . . son todos conjuntos infinitos.

Hay otro conjunto importante cuya infinitud no es tan obvia:

el conjunto de losn´umeros primos.

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Pero. . . ¿existe el infinito?

Hay controversia cient´ıfica sobre si el Universo es finito o infinito, hay diversas teor´ıas e hip´otesis sobre esto.

Pero, en cualquier caso, nuestra aritm´etica lleva inmediatamente a la existencia de conjuntos infinitos:

los n´umeros naturales son infinitos:

sumemos uno al m´as grande que conozcamos y obtenemos otro mayor.

los n´umeros pares, los n´umeros impares, las potencias de 2. . . son todos conjuntos infinitos.

Hay otro conjunto importante cuya infinitud no es tan obvia:

el conjunto de losn´umeros primos.

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Pero. . . ¿existe el infinito?

Hay controversia cient´ıfica sobre si el Universo es finito o infinito, hay diversas teor´ıas e hip´otesis sobre esto.

Pero, en cualquier caso, nuestra aritm´etica lleva inmediatamente a la existencia de conjuntos infinitos:

los n´umeros naturales son infinitos:

sumemos uno al m´as grande que conozcamos y obtenemos otro mayor.

los n´umeros pares, los n´umeros impares, las potencias de 2. . . son todos conjuntos infinitos.

Hay otro conjunto importante cuya infinitud no es tan obvia:

el conjunto de losn´umeros primos.

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Pero. . . ¿existe el infinito?

Hay controversia cient´ıfica sobre si el Universo es finito o infinito, hay diversas teor´ıas e hip´otesis sobre esto.

Pero, en cualquier caso, nuestra aritm´etica lleva inmediatamente a la existencia de conjuntos infinitos:

los n´umeros naturales son infinitos:

sumemos uno al m´as grande que conozcamos y obtenemos otro mayor.

los n´umeros pares, los n´umeros impares, las potencias de 2. . . son todos conjuntos infinitos.

Hay otro conjunto importante cuya infinitud no es tan obvia:

el conjunto de losn´umeros primos.

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Los n´ umeros primos son infinitos

Recordemos que un n´umero natural esprimosi es mayor que 1 y no tiene m´as divisores exactos que 1 y ´el mismo:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. . . Observemos que si un n´umero no es primo, entonces tiene un divisor exacto que es primo. Euclides de Alejandr´ıa(330 a.C.–275 a.C.) demostr´o queel conjunto de n´umeros primos es infinito:

tomemos un conjunto finito p1, p2, . . . , pn

de n´umeros primos y consideremos el n´umero M = p1× p2× · · · × pn + 1;

Entonces, M no es divisible por ninguno de los primos p1, p2, . . . pn,

pero M tiene que tener un divisor exacto que sea primo, con lo que obtenemos un nuevo umero primo.

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Los n´ umeros primos son infinitos

Recordemos que un n´umero natural esprimosi es mayor que 1 y no tiene m´as divisores exactos que 1 y ´el mismo:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. . .

Observemos que si un n´umero no es primo, entonces tiene un divisor exacto que es primo. Euclides de Alejandr´ıa(330 a.C.–275 a.C.) demostr´o queel conjunto de n´umeros primos es infinito:

tomemos un conjunto finito p1, p2, . . . , pn

de n´umeros primos y consideremos el n´umero M = p1× p2× · · · × pn + 1;

Entonces, M no es divisible por ninguno de los primos p1, p2, . . . pn,

pero M tiene que tener un divisor exacto que sea primo, con lo que obtenemos un nuevo umero primo.

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Los n´ umeros primos son infinitos

Recordemos que un n´umero natural esprimosi es mayor que 1 y no tiene m´as divisores exactos que 1 y ´el mismo:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. . . Observemos que si un n´umero no es primo, entonces tiene un divisor exacto que es primo.

Euclides de Alejandr´ıa(330 a.C.–275 a.C.) demostr´o queel conjunto de n´umeros primos es infinito:

tomemos un conjunto finito p1, p2, . . . , pn

de n´umeros primos y consideremos el n´umero M = p1× p2× · · · × pn + 1;

Entonces, M no es divisible por ninguno de los primos p1, p2, . . . pn,

pero M tiene que tener un divisor exacto que sea primo, con lo que obtenemos un nuevo umero primo.

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Los n´ umeros primos son infinitos

Recordemos que un n´umero natural esprimosi es mayor que 1 y no tiene m´as divisores exactos que 1 y ´el mismo:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. . . Observemos que si un n´umero no es primo, entonces tiene un divisor exacto que es primo.

Euclides de Alejandr´ıa(330 a.C.–275 a.C.) demostr´o queel conjunto de n´umeros primos es infinito:

tomemos un conjunto finito p1, p2, . . . , pn

de n´umeros primos y consideremos el n´umero M = p1× p2× · · · × pn + 1;

Entonces, M no es divisible por ninguno de los primos p1, p2, . . . pn,

pero M tiene que tener un divisor exacto que sea primo, con lo que obtenemos un nuevo umero primo.

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Los n´ umeros primos son infinitos

Recordemos que un n´umero natural esprimosi es mayor que 1 y no tiene m´as divisores exactos que 1 y ´el mismo:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. . . Observemos que si un n´umero no es primo, entonces tiene un divisor exacto que es primo.

Euclides de Alejandr´ıa(330 a.C.–275 a.C.) demostr´o queel conjunto de n´umeros primos es infinito:

tomemos un conjunto finito p1, p2, . . . , pn

de n´umeros primos

y consideremos el n´umero M = p1× p2× · · · × pn + 1;

Entonces, M no es divisible por ninguno de los primos p1, p2, . . . pn,

pero M tiene que tener un divisor exacto que sea primo, con lo que obtenemos un nuevo umero primo.

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Los n´ umeros primos son infinitos

Recordemos que un n´umero natural esprimosi es mayor que 1 y no tiene m´as divisores exactos que 1 y ´el mismo:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. . . Observemos que si un n´umero no es primo, entonces tiene un divisor exacto que es primo.

Euclides de Alejandr´ıa(330 a.C.–275 a.C.) demostr´o queel conjunto de n´umeros primos es infinito:

tomemos un conjunto finito p1, p2, . . . , pn

de n´umeros primos y consideremos el n´umero M = p1× p2× · · · × pn + 1;

Entonces, M no es divisible por ninguno de los primos p1, p2, . . . pn,

pero M tiene que tener un divisor exacto que sea primo, con lo que obtenemos un nuevo umero primo.

(40)

Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Los n´ umeros primos son infinitos

Recordemos que un n´umero natural esprimosi es mayor que 1 y no tiene m´as divisores exactos que 1 y ´el mismo:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. . . Observemos que si un n´umero no es primo, entonces tiene un divisor exacto que es primo.

Euclides de Alejandr´ıa(330 a.C.–275 a.C.) demostr´o queel conjunto de n´umeros primos es infinito:

tomemos un conjunto finito p1, p2, . . . , pn

de n´umeros primos y consideremos el n´umero M = p1× p2× · · · × pn + 1;

Entonces, M no es divisible por ninguno de los primos p1, p2, . . . pn,

pero M tiene que tener un divisor exacto que sea primo, con lo que obtenemos un nuevo umero primo.

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Los n´ umeros primos son infinitos

Recordemos que un n´umero natural esprimosi es mayor que 1 y no tiene m´as divisores exactos que 1 y ´el mismo:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. . . Observemos que si un n´umero no es primo, entonces tiene un divisor exacto que es primo.

Euclides de Alejandr´ıa(330 a.C.–275 a.C.) demostr´o queel conjunto de n´umeros primos es infinito:

tomemos un conjunto finito p1, p2, . . . , pn

de n´umeros primos y consideremos el n´umero M = p1× p2× · · · × pn + 1;

Entonces, M no es divisible por ninguno de los primos p1, p2, . . . pn,

pero M tiene que tener un divisor exacto que sea primo, con lo que obtenemos un nuevo umero primo.

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Los procesos infinitos y sus paradojas

2 Los procesos infinitos y sus paradojas Aquiles y la tortuga

Sumando cu˜nas de queso Manejando el infinito

(43)

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La paradoja de Aquiles y la tortuga

Aquiles, el de los pies ligeros, nunca alcanzar´a ala tor- tugaque avanza lentamente unos cuantos metros por delante de ´el. Pues cuando Aquiles alcance el punto donde estaba la tortuga, ´esta ya estar´a un poco m´as adelante; y cuando de nuevo Aquiles alcance ese lugar, la tortuga habr´a avanzado un poco m´as. Sin desani- marse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco m´as. . . De este modo, la tortuga estar´a siempre por delante de Aquiles.

Zen´on de Elea(490 ac – 425 ac)

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La paradoja de Aquiles y la tortuga

Aquiles, el de los pies ligeros, nunca alcanzar´a ala tor- tugaque avanza lentamente unos cuantos metros por delante de ´el. Pues cuando Aquiles alcance el punto donde estaba la tortuga, ´esta ya estar´a un poco m´as adelante; y cuando de nuevo Aquiles alcance ese lugar, la tortuga habr´a avanzado un poco m´as. Sin desani- marse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco m´as. . . De este modo, la tortuga estar´a siempre por delante de Aquiles.

Zen´on de Elea(490 ac – 425 ac)

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La paradoja de Aquiles y la tortuga

Aquiles, el de los pies ligeros, nunca alcanzar´a ala tor- tugaque avanza lentamente unos cuantos metros por delante de ´el. Pues cuando Aquiles alcance el punto donde estaba la tortuga, ´esta ya estar´a un poco m´as adelante; y cuando de nuevo Aquiles alcance ese lugar, la tortuga habr´a avanzado un poco m´as. Sin desani- marse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco m´as. . . De este modo, la tortuga estar´a siempre por delante de Aquiles.

Zen´on de Elea(490 ac – 425 ac)

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La paradoja de Aquiles y la tortuga

Aquiles, el de los pies ligeros, nunca alcanzar´a ala tor- tugaque avanza lentamente unos cuantos metros por delante de ´el. Pues cuando Aquiles alcance el punto donde estaba la tortuga, ´esta ya estar´a un poco m´as adelante; y cuando de nuevo Aquiles alcance ese lugar, la tortuga habr´a avanzado un poco m´as. Sin desani- marse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco m´as. . . De este modo, la tortuga estar´a siempre por delante de Aquiles.

Zen´on de Elea(490 ac – 425 ac)

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Aquiles y la tortuga II

Zen´on, disc´ıpulo deParm´enides, pretend´ıa demostrar que

el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.

La paradoja de Zen´on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:

Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto), se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto),

La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, no puede alcanzarse(¡falso!)

Arist´otelestild´o de falacias las paradojas de Zen´on, pero no pudo refutarlas con la l´ogica.

Hay que saber que

una “suma infinita” de cantidades positivas puede ser finita.

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Aquiles y la tortuga II

Zen´on, disc´ıpulo deParm´enides, pretend´ıa demostrar que

el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.

La paradoja de Zen´on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:

Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto), se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto),

La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, no puede alcanzarse(¡falso!)

Arist´otelestild´o de falacias las paradojas de Zen´on, pero no pudo refutarlas con la l´ogica.

Hay que saber que

una “suma infinita” de cantidades positivas puede ser finita.

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Aquiles y la tortuga II

Zen´on, disc´ıpulo deParm´enides, pretend´ıa demostrar que

el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.

La paradoja de Zen´on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:

Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto), se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto),

La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, no puede alcanzarse(¡falso!)

Arist´otelestild´o de falacias las paradojas de Zen´on, pero no pudo refutarlas con la l´ogica.

Hay que saber que

una “suma infinita” de cantidades positivas puede ser finita.

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Aquiles y la tortuga II

Zen´on, disc´ıpulo deParm´enides, pretend´ıa demostrar que

el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.

La paradoja de Zen´on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:

Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto),

se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto),

La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, no puede alcanzarse(¡falso!)

Arist´otelestild´o de falacias las paradojas de Zen´on, pero no pudo refutarlas con la l´ogica.

Hay que saber que

una “suma infinita” de cantidades positivas puede ser finita.

(51)

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Aquiles y la tortuga II

Zen´on, disc´ıpulo deParm´enides, pretend´ıa demostrar que

el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.

La paradoja de Zen´on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:

Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto), se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto),

La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, no puede alcanzarse(¡falso!)

Arist´otelestild´o de falacias las paradojas de Zen´on, pero no pudo refutarlas con la l´ogica.

Hay que saber que

una “suma infinita” de cantidades positivas puede ser finita.

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Aquiles y la tortuga II

Zen´on, disc´ıpulo deParm´enides, pretend´ıa demostrar que

el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.

La paradoja de Zen´on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:

Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto), se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto),

La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, no puede alcanzarse(¡falso!)

Arist´otelestild´o de falacias las paradojas de Zen´on, pero no pudo refutarlas con la l´ogica.

Hay que saber que

una “suma infinita” de cantidades positivas puede ser finita.

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Aquiles y la tortuga II

Zen´on, disc´ıpulo deParm´enides, pretend´ıa demostrar que

el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.

La paradoja de Zen´on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:

Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto), se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto),

La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, no puede alcanzarse(¡falso!)

Arist´otelestild´o de falacias las paradojas de Zen´on, pero no pudo refutarlas con la l´ogica.

Hay que saber que

una “suma infinita” de cantidades positivas puede ser finita.

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Aquiles y la tortuga II

Zen´on, disc´ıpulo deParm´enides, pretend´ıa demostrar que

el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.

La paradoja de Zen´on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:

Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto), se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto),

La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, no puede alcanzarse(¡falso!)

Arist´otelestild´o de falacias las paradojas de Zen´on, pero no pudo refutarlas con la l´ogica.

Hay que saber que

una “suma infinita” de cantidades positivas puede ser finita.

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Sumando cu˜ nas de queso I

Teorema

1 =1 2+1

4+1 8+ 1

16+ 1 32+ 1

64+ · · ·

(56)

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Sumando cu˜ nas de queso I

Teorema

1 =1 2+1

4+1 8+ 1

16+ 1 32+ 1

64+ · · ·

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Sumando cu˜ nas de queso I

Teorema

1 =1 2+1

4+1 8+ 1

16+ 1 32+ 1

64+ · · ·

Gr´aficamente:

Demostraci´on: Tomamos un queso

y lo vamos partiendo. . .

(58)

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Sumando cu˜ nas de queso I

Teorema

1 =1 2+1

4+1 8+ 1

16+ 1 32+ 1

64+ · · ·

Gr´aficamente: Demostraci´on:

Tomamos un queso

y lo vamos partiendo. . .

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Sumando cu˜ nas de queso I

Teorema

1 =1 2+1

4+1 8+ 1

16+ 1 32+ 1

64+ · · ·

Gr´aficamente: Demostraci´on:

Tomamos un queso

y lo vamos partiendo. . .

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Sumando cu˜ nas de queso I

Teorema

1 =1 2+1

4+1 8+ 1

16+ 1 32+ 1

64+ · · ·

Gr´aficamente: Demostraci´on:

Tomamos un queso

y lo vamos partiendo. . .

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Sumando cu˜ nas de queso I

Teorema

1 =1 2+1

4+1 8+ 1

16+ 1 32+ 1

64+ · · ·

Otra demostraci´on:

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Sumando cu˜ nas de queso I

Teorema

1 =1 2+1

4+1 8+ 1

16+ 1 32+ 1

64+ · · ·

Otra demostraci´on:

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Sumando cu˜ nas de queso II

Teorema 1 2+1

3+1 4+1

5+1 6+1

7+1

8+ · · · vale infinito.

Demostraci´on: 1 2+1

3+1 4+1

5+1 6+1

7+1 8+ · · ·

=1 2+

1 3+1

4

 +

1 5+1

6+1 7+1

8

 + · · ·

>1 2+1

4+1 4

 +1

8+1 8+1

8+1 8

 + · · ·

=1 2+1

2+1 2+ · · ·

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Sumando cu˜ nas de queso II

Teorema 1 2+1

3+1 4+1

5+1 6+1

7+1

8+ · · · vale infinito.

Demostraci´on: 1 2+1

3+1 4+1

5+1 6+1

7+1 8+ · · ·

=1 2+

1 3+1

4

 +

1 5+1

6+1 7+1

8

 + · · ·

>1 2+1

4+1 4

 +1

8+1 8+1

8+1 8

 + · · ·

=1 2+1

2+1 2+ · · ·

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Sumando cu˜ nas de queso II

Teorema 1 2+1

3+1 4+1

5+1 6+1

7+1

8+ · · · vale infinito.

Demostraci´on:

1 2+1

3+1 4+1

5+1 6+1

7+1 8+ · · ·

=1 2+

1 3+1

4

 +

1 5+1

6+1 7+1

8

 + · · ·

>1 2+1

4+1 4

 +1

8+1 8+1

8+1 8

 + · · ·

=1 2+1

2+1 2+ · · ·

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Sumando cu˜ nas de queso II

Teorema 1 2+1

3+1 4+1

5+1 6+1

7+1

8+ · · · vale infinito.

Demostraci´on:

1 2+1

3+1 4+1

5+1 6+1

7+1 8+ · · ·

=1 2+

1 3+1

4

 +

1 5+1

6+1 7+1

8

 + · · ·

>1 2+1

4+1 4

 +1

8+1 8+1

8+1 8

 + · · ·

=1 2+1

2+1 2+ · · ·

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Sumando cu˜ nas de queso II

Teorema 1 2+1

3+1 4+1

5+1 6+1

7+1

8+ · · · vale infinito.

Demostraci´on:

1 2+1

3+1 4+1

5+1 6+1

7+1 8+ · · ·

=1 2+

1 3+1

4

 +

1 5+1

6+1 7+1

8

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>1 2+1

4+1 4

 +1

8+1 8+1

8+1 8

 + · · ·

=1 2+1

2+1 2+ · · ·

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Sumando cu˜ nas de queso II

Teorema 1 2+1

3+1 4+1

5+1 6+1

7+1

8+ · · · vale infinito.

Demostraci´on:

1 2+1

3+1 4+1

5+1 6+1

7+1 8+ · · ·

=1 2+

1 3+1

4

 +

1 5+1

6+1 7+1

8

 + · · ·

>1 2+1

4+1 4

 +1

8+1 8+1

8+1 8

 + · · ·

=1 2+1

2+1 2+ · · ·

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Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿C´omo se miden ´areas? Para saber m´as

Sumando cu˜ nas de queso II

Teorema 1 2+1

3+1 4+1

5+1 6+1

7+1

8+ · · · vale infinito.

Demostraci´on:

1 2+1

3+1 4+1

5+1 6+1

7+1 8+ · · ·

=1 2+

1 3+1

4

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1 5+1

6+1 7+1

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>1 2+1

4+1 4

 +1

8+1 8+1

8+1 8

 + · · ·

=1 2+1

2+1 2+ · · ·

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