1.- EDP cuasilineales de Primer Orden

(1)

Gu´ıa EDP. MAT-024

por P.A.

1. Considere la ecuaci´on lineal de primer orden

y2∂u ∂x +xy

∂u ∂y =x,

(a) Encuentre la soluci´on general es esta EDP.

(b) Encuentre la superficie z=u(x, y) que satisface la ecuaci´on y que pasa por la curva dada por la intersecci´on de las superficiesx= 0,z+y2_{= 1.}

2. Considere la ecuaci´on lineal de primer orden

y∂u ∂x −x

∂u ∂y = 0

Encuentre la superficiez=u(x, y) que satisface la ecuaci´on y que pasa por la curva dada por la intersecci´on de las superficiesx= 0, (z−1)2₊_y2_{= 1.}

3. Demuestre que la superficie integral de la EDP cuasilineal

∂u ∂y +a(u)

∂u ∂x = 0

con condici´on inicialu(x,0) =h(x) viene dada impl´ıcitamente por

u=h(x−a(u)y)

4. Demuestre que el problema

∂u ∂x +

∂u ∂y =u

para una funciónu(x, y) con la condición inicialx(s) =s, y(s) =s, u(s) = 1, s∈Restá mal

planteado.

5. Un problema no lineal: Sea F(x, y, u, ∂xu, ∂yu) = 0 una EDP de primer orden. Suponga

que las funciones

u(x, y) = (x−α)2+ (y−β)2

son soluciones de esta EDP para todo (α, β)∈R2.

(a) Hallar una EDP que sea satisfecha por la funci´onu(x, y).

(b) Considere el problema de valor inicial u(x,0) =sx2, cons >0. Clasifique el par´ametros

seg´un el n´umero de soluciones.

6. Hallar la ecuaci´on diferencial cuasilineal cuya soluci´on sea

ϕ(x2−z2, x3−y3) = 0

dondeϕrepresenta una funci´on diferenciable arbitraria.

Ayuda: Considere z como una funci´on de xe y. Definau=x2−z2, v = x3−y3. Derive ϕ

(2)

7. Hallar la soluci´on de

x∂z ∂x +y

∂z ∂y =z

que representa una superficie que pasa por la curvax2₋_y2_{= 4,}_y2₊_z2_{= 16.}

8. Hallar una soluci´on de

∂z ∂x+

∂z ∂y =z

que represente una superficie que pase por la curva:

(a) z= sinx,y= 0;

(b) z=y2,x=a;

(c) x2₊_z2₌_a2_,_y_{= 0.}

9. Hallar la ecuación de todas las superficies z =u(x, y) que tengan planos tangentes que inter-cepten al ejeX enx= 1. Hallar también la ecuación de la superficie particular que pasa por la circunferenciax= 0, y2₊_z2_{= 25.}

10. Hallar la ecuaci´on de una superficie para la que se cumpla

xy∂z ∂y −x

2∂z

∂x =y

2

y que satisface la condici´on ∂z_∂x =∂z_∂y cuando x= 1.

11. Considere la ecuaci´on

ut+ux=tx

(a) ¿Existe una soluci´on particular de la formau(t, x) =F(x)G(t) para (t, x)∈R2?. Si existe,

d´e un ejemplo; si no, justifique.

(b) Obtenga la soluci´on general de esta ecuaci´on.

(c) Entre las siguientes condiciones iniciales dadas en forma param´etrica, encuentre una que d´e unicidad de soluciones y resuelva el problema de valor inicial:

• x=s, t=s,u=−s3_/_3.

• x=s, t=s,u=s3_/_3.

• x=s, t=−s,u=s3_/_3.

2.- Formas Normales de EDP de Segundo Orden

1. Considere la Ecuaci´on de Tricomi

uxx+xuyy = 0

(a) Encuentre las regiones de hiperbolicidad, parabolicidad y elipticidad de esta ecuaci´on.

(b) En el caso hiperb´olico escriba la forma can´onica.

uxx+uxy+λuyy= 0

(a) Determine el tipo de ecuaci´on paraλ1= 1/2,λ2= 3/16,λ3= 1/4.

(3)

3. Pruebe que la ecuaci´on

2uxx+ 8uxy+ 10uyy=xyu

es el´ıptica y encuentre su forma can´onica.

4. Hallar la soluci´onz=z(x, y) de la ecuaci´on

∂2_z

∂x∂y =x+y

que cumple las condicionesz(x,0) =x,z(0, y) =y2_.

uxx−2uxy+uyy = 0

(a) Determine a qu´e tipo pertenece esta EDP.

(b) Demuestre que una soluci´on de esta ecuaci´on viene dada poru(x, y) =yϕ(x+y), donde

ϕ es una función dos veces diferenciable. Recuerde que una verificación NO es una de-mostración.

(c) Verifique que u(x, y) = xψ(x+y) es otra solución de la EDP. ¿Cómo podr´ıamos haber hallado anal´ıticamente esta otra solución?

(d) ¿Cu´al es la soluci´on general de la EDP?

6. Transforme las siguientes ecuaciones de las coordenadas (x, y) a las nuevas coordenadas (u, v):

(a) x2_z

xx+ 2xyzxy+y2zyy = 0, six=ucosv,y=usinv.

(b) x2_z

xx−y2zyy = 0, siu=xy,v=x/y.

(c) zxx−yzyy =1₂zy (y >0), siu=x−2

√

y, v=x+ 2√y.

7. Demuestre que la forma de la ecuaci´on de Laplace

∆z≡ ∂

2_z

∂x2+

∂2_z

∂y2 = 0

no var´ıa al hacer cualquier transformaci´on de coordenadas

x=ϕ(u, v), y=ψ(u, v)

que cumpla con las condiciones

∂ϕ ∂u =

∂ψ ∂v,

∂ϕ ∂v =−

∂ψ ∂u

3.- Soluci´

on de D’Alembert de la Ecuaci´

on de Onda

1. Encuentre una soluci´on de la EDP no-homog´enea

uxx−1₉uyy = 3y2−2x , y≥0

u(x,0) = sinx uy(x,0) = cosx.

2. Seau=u(x, t) y considere la EDP

xuxx+ 2ux=

x

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(a) Introduzca en la EDP la sustituci´onv(x, t) =xu(x, t).

(b) Escriba la EDP obtenida en a) en su forma normal.

(c) Encuentre la soluci´on de la EDP planteada, tal que satisfaga las condiciones iniciales de Cauchy:

u(x,0) = x ut(x,0) = 2c.

3. Considere la ecuaci´on de onda unidimensional

∂2_z

∂t2 =

∂2_z

∂x2, −∞< x <∞, t≥0.

(a) ¿Cu´al es la soluci´on que satisface las condiciones iniciales de Cauchy?

z(x,0) = 1−x2

ut(x,0) = 0.

(b) En el plano XZhaga un bosquejo de la soluci´on parat= 0 yt= 1.

(c) En el planoXZ, ¿para qu´e tiempo t >0 la soluci´on encontrada en a) pasa por el punto (x, y) = (0,−4)?. Haga un bosquejo de la onda.

(d) ¿Existe alg´un instantet tal que la soluci´on encontrada en a) pasa, en el planoXZ por el punto (x, y) = (1,1₂)?

4. Estudie la solución del problema siguiente por la fórmula de d’Alambert y encuentre los puntos en que la solución no es dos veces diferenciable:

utt = 25uxx, −∞< x <∞,−∞< t <∞

u(x,0) = 0

ut(x,0) = 1, x >0

ut(x,0) = 0, x≤0.

5. Sea el problema

utt= 4uxx,x≥0, y para todot,

u(0, t) = 0 para todot,

u(x,0) = m´ax{1− |x−2|,0}, para todox≥0,

ut(x,0) = 0, para todox≥0.

Calculeu(x,4).

4.- EDP de Segundo Orden con Condiciones de Borde

1. Resuelva la Ecuaci´on de Calor con condiciones de frontera y condiciones iniciales:

ut = c2uxx, x∈[ 0, l], t≥0

ux(t,0) = 0

ux(t, l) = 0

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2. Encuentreu=u(x, t) tal que

ut = a2uxx−au , 0< x <4, t≥0, a∈R

u(t,0) = 0

u(t,4) = 0

u(0, x) = sin(πx) + sin(2πx).

3. Resuelva el problema de la Cuerda Vibrante Amortiguada:

utt = uxx−ut, 0< x < π, t≥0

ux(t,0) = u(t, π) = 0,

u(0, x) = 0

ut(0, x) = cos(3x₂).

4. Resuelva la siguiente EDP no-homog´enea

ut = α2uxx+ sin(3πx), 0< x <1, t≥0

u(t,0) = 0

u(t, l) = 0

u(0, x) = sin(πx).

5. Resuelva la Ecuaci´on de Calor unidimensional con condiciones de borde peri´odicas

ut = c2uxx, 0< x < L, t≥0

u(t,0) = u(t, L)

ux(t,0) = ux(t, L)

u(0, x) = 1 + 2 sin 4πx_L

.

6. Resolver el siguiente problema de contorno para la Ecuaci´on de Onda

utt = uxx−hut, 0< x < π, t≥0, h constante, h >0

u(t,0) = 0, u(t, π) = 1, u(0, x) = f(x), ut(0, x) = g(x).

¿Cu´al es la soluci´on para el caso en que

f(x) =−g(x) =

  

x, 0≤x≤L/2

L−x, L/2< x≤L?

7. Considere la Ecuaci´on de Laplace

∆u= 0

Se sabe que esta ecuaci´on en coordenadas polares admite una soluci´on de la forma

u(r, θ) =R(r) sin(nθ), n∈_N

DetermineR(r) si se sabe que

u(a, θ) = sin(3θ), a >0, u(0+, θ) = 0

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8. Resuelva la ecuaci´on de Laplace ∆u= 0, en el cuarto de disco 0< r < 1, 0 ≤θ ≤π/2, con

uθ(r,0) = 0, u(r, π/2) = 0,para 0< r <1 yu(1, θ) =f(θ) para 0≤θ≤π/2.

9. Resuelva la ecuaci´on de Laplace en el semidisco 0< r <1, 0≤θ≤πconu(1, θ) =g(θ), u(r,0) = 0 yu(r, π) = 0 para 0< r <1.

10. Determine la temperatura u = u(r, θ) en estado estacionario de la regi´on r > a (a > 0), 0≤θ≤2πen una l´amina plana “infinita”, donde (r, θ) son las coordenadas polares, y tal que se satisfagan las condiciones:

u(r, θ) = u(r,−θ), r > a, 0≤θ≤2π, ur(a, θ) = 0, 0≤θ≤2π,

limr→∞(u(r, θ)−U0rcosθ) = 0, U0: constante.

11. Seauuna función armónica en el interior de un rectángulo del planoXY, es decir,usatisface:

∆u=uxx+uyy = 0, , 0< x < a, 0< y < b.

Suponga queuadem´as satisface en el contorno del rect´angulo:

u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, u(x,0) =f(x), u(x, b) = 0

Use el m´etodo de separaci´on de variables para probar que

u(x, y) =

∞

X n=1

Ansinh

_nπ₍_b₋_y₎

a

sinnπx

a

,

con

An=

2

asinh(nπb_a )

Z a 0

f(x) sinnπx

a

dx.

12. Encuentre la soluci´on u(t, x, y) del siguiente problema no homog´eneo para una membrana cuadrada:

utt= ∆u−x

u(t,0, y) = 1, u(t,1, y) = 13/6

u(t, x,0) =u(t, x,1) = x

3

6 +x+ 1

u(0, x, y) = x

3

6 +x+ 1 + sin(πx) sin(πy)