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Tema 2: El lenguaje GOTO

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Academic year: 2022

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(1)

Tema 2:

El lenguaje GOTO

Antonio de J. P´erez Jim´enez

Dpto. Ciencias de la Computaci´on e Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla

Computaci´on Curso 2007–08

(2)

Modelos de Computaci´ on

Un Modelo de Computaci´on proporciona una definici´on matem´atica precisa del concepto de algoritmo.

Un Programa es la expresi´on formal de un algoritmo en un modelo.

Caracter´ısticas generales:

1 Especificaci´on:

Datos de entrada y salida (suelen ser del mismo tipo).

Operaciones b´asicas.

Acciones primitivas que act´uan sobre los datos de entrada.

2 Implementaci´on e Interpretaci´on:

Sintaxis: reglas gramaticales para la construcci´on, a partir de las operaciones b´asicas, de los procedimientos mec´anicos (programas).

Sem´antica: definici´on l´ogico-matem´atica de las funciones o relaciones que definen los procedimientos.

(3)

Funciones Computables

Un modelo de computaci´on, M, viene dado por:

Un conjunto de datos de entrada y salida, DM.

Un conjunto de programas PM (descrito por la sintaxis de M) Una descripci´on del modo en que cada programa calcula una funci´on.

Sea P un programa en un modelo de computaci´on M.

Asociamos a P una funci´on sobre la estructura de datos [[P]]M : D− −→ D donde, D = [

k∈N−{0}

Dk [[P]]M(d )= resultado de ejecutar P sobre el dato d . Donde para cada aridad k, [[P]](k)M = [[P]]M Dk

Una funci´on k-aria f : Dk− −→ D es M–computable si existe un M-programa p, [[P]](k)= f . Designaremos por M–COMP al conjunto de funciones M–computables

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Modos de Computaci´ on

Asocian a la sem´antica del modelo una definici´on de soluci´on.

Modo secuencial-determinista.

La ejecuci´on sobre un dato es ´unica. Resuelve el problema de manera exacta.

Modo paralelo. Ejecuta diversas tareas en procesadores distintos. Resuelve el problema de manera exacta.

Modo no determinista.

Admite instrucciones que pueden elegir entre dos o m´as opciones. Resuelve un problema si entre sus posibles soluciones proporciona una soluci´on exacta del mismo.

Modo probabilista.

Los programas son deterministas, pero se admite como soluciones programas que, con cierta probabilidad, proporcionan una soluci´on exacta del problema.

(5)

El Lenguaje GOTO

Es un modelo secuencial y determinista con conjunto de datos: N.

Sintaxis:

1 Variables:

De entrada: X1(= X ), X2, X3, ...

De salida: Y

Auxiliares: Z1(= Z ), Z2, Z3, ...

2 Etiquetas: A1, B1, C1, D1, E1, A2, B2, C2, D2, E2, . . . Notaci´on: A = A1, B = B1, C = C1, D = D1, E = E1.

3 Instrucciones: Para cada variable V y cada etiqueta L:

Incremento: V ←− V + 1 Decremento: V ←− V − 1 Condicional: IF V 6= 0 GOTO L Skip: V ←− V

Instrucciones etiquetadas: Para cada etiqueta K : [K ] V ←− V + 1

[K ] V ←− V − 1 [K ] IF V 6= 0 GOTO L [K ] V ←− V

(6)

Programas GOTO

Un programa GOTO (un G–programa) es una sucesi´on finita de instrucciones del lenguaje GOTO, P = I1, I2, .., In, cuya

´

ultima instrucci´on NO es Y ←− Y .

Si P = I1, . . . , In es un programa GOTO el n´umero n se denomina longitud del programa y se denota por |P|.

Caso l´ımite: el Programa Vac´ıo (con 0 instrucciones).

Notaci´on: Denotaremos por GOTOP al conjunto de G-programas.

Ejemplo:

p

[A] X ←− X − 1 Y ←− Y + 1 IF X 6= 0 GOTO A

Cada programa expresa un procedimiento para calcular una cierta funci´on (parcial) de Nk en N. El modo en que cada programa lleva a cabo esto se determina mediante la sem´antica del lenguaje GOTO.

(7)

Descripciones instant´ aneas

Sea P un programa GOTO.

var (P) conjunto de variables que aparecen en P.

Un estado de P es una aplicaci´on σ : VAR → N tal que para cada variable V /∈ var (P), σ(V ) = 0.

Un estado es, esencialmente, una tabla variable–valor que guarda el valor de las variables del programa en un momento dado. Por ello, a veces, escribiremos V = m en lugar de σ(V ) = m.

Una descripci´on instant´anea, (d.i.) de P, es un par s = (i , σ) donde 1 ≤ i ≤ |P| + 1 y σ es un estado de P.

Cuando i = 1, la d.i. se denomina inicial.

Cuando i = |p| + 1, la d.i. se denomina terminal.

Si s = (i , σ), escribiremos s(V ) en lugar de σ(V ).

(8)

Sem´ antica

Sea P un programa y s = (j , σ) y s0= (j0, σ0) descripciones instant´aneas de P con j 6= |p| + 1.

Diremos que s0 es la siguiente de s en la computaci´on de P, y escribimos s `p s0, si:

Caso 1: Ij ≡ V ←− V + 1, s(V)=m. Entonces j0 = j + 1 y σ0 es σ sustituyendo V = m por V = m + 1.

Caso 2: Ij ≡ V ←− V − 1, s(V)=m. Entonces j0 = j + 1 y Si m > 0, σ0 es σ sustituyendo V = m por V = m − 1.

Si m = 0, σ0= σ

Caso 3: Ij es de tipo SKIP. Entonces j0 = j + 1 y σ0= σ.

Caso 4: Ij ≡ IF V 6= 0 GOTO L. Entonces σ0 = σ y Si s(V ) = 0, entonces j0= j + 1

Si s(V ) 6= 0

Si existe k tal que Ik es la primera instrucci´on etiquetada con L, entonces j0= k

Si no existe tal k, j0= |p| + 1

(9)

Computaci´ on de un programa

Una computaci´on de un programa P es una sucesi´on de d.i. de P, s = s1, . . . , sk, . . . tal que:

s1= (1, σ);

Para todo k, con sk no terminal, existe k + 1 tal que sk `psk+1

Una computaci´on s de p es finita si y s´olo si existe k tal que sk es terminal. En tal caso, escribiremos P(s) ↓ y diremos que dicha computaci´on para. En caso contrario, la computaci´on s es infinita;

escribiremos P(s) ↑ y diremos que no para.

Lema. Para todo P ∈ GOTOP se verifica:

Ausencia de bloqueo: Para toda d .i ., s, no terminal, existe s0 tal que s `ps0.

Determinismo: Para cada d .i . inicial existe una ´unica computaci´on.

(10)

Ejemplo

[A] IF X 6= 0 GOTO B Z −→ Z + 1 IF Z 6= 0 GOTO E [B] X −→ X − 1

Y −→ Y + 1 IF X 6= 0 GOTO A

s1= (1, {X = 3, Y = 0, Z = 0}) s2= (4, {X = 3, Y = 0, Z = 0}) s3= (5, {X = 2, Y = 0, Z = 0}) s4= (6, {X = 2, Y = 1, Z = 0}) s5= (1, {X = 2, Y = 1, Z = 0}) s6= (4, {X = 2, Y = 1, Z = 0}) s7= (5, {X = 1, Y = 1, Z = 0}) s8= (6, {X = 1, Y = 2, Z = 0}) s9= (1, {X = 1, Y = 2, Z = 0}) s10= (4, {X = 1, Y = 2, Z = 0}) s11= (5, {X = 0, Y = 2, Z = 0}) s12= (6, {X = 0, Y = 3, Z = 0}) s13= (7, {X = 0, Y = 3, Z = 0})

(11)

Funciones GOTO–computables

Sea P un G–programa. La funci´on de aridad n calculada por P es la funci´on [[P]](n): Nn − → N definida como sigue:

Dado ~a = (a1, . . . , an) ∈ Nn,

1 Sea σ el estado de P dado por:

σ(Xi) = ai (1 ≤ i ≤ n)

σ(V ) = 0 para toda V ∈ var (P) \ {X1, . . . , Xn}.

2 Sea ahora s1 = (1, σ). Entonces [[P]](n)(~a) =

sk(Y ) si existe s1, . . . , sk finita de p a partir de s1

↑ e.c.o.c.

Definici´on. Diremos que una funci´on f : Nn − → N es GOTO–computable (f ∈ G –COMP), si existe un programa GOTO, P tal que f = [[P]](n).

Designaremos por G –COMP(n) al conjunto de funciones computables de aridad n.

(12)

Ejemplos

La funci´on identidad IdN : N → N es GOTO–computable.

IF X 6= 0 GOTO B Z ←− Z + 1 IF Z 6= 0 GOTO E [B] X ←− X − 1

Y ←− Y + 1 IF X 6= 0 GOTO B La funci´on vac´ıa f es GOTO–computable:

[A] Z ←− Z + 1 IF Z 6= 0 GOTO A La funci´on nula O : N −→ N O(x) = 0 es GOTO–computable.

La funci´on nula es calculada por cualquier programa que pare siempre y en el que no aparezca la variable de salida Y .

(13)

Macros

Existen bloques de instrucciones que podemos considerar como

“nuevas instrucciones” ya que podemos utilizarlos en cualquier programa para realizar una cierta subtarea. Veamos algunos ejemplos de esto:

El bloque de instrucciones:

Z ←− Z + 1 IF Z 6= 0 GOTO L

nos permite realizar un salto incondicional a la instrucci´on etiquetada por L (o terminar la ejecuci´on del programa).

Podemos poner a cero una variable V mediante el siguiente bloque de instrucciones:

[L] V ←− V − 1 IF V 6= 0 GOTO L

(14)

Macros (II)

Es ´util introducir abreviaturas para poder usar c´omodamente los bloques anteriores en la descripci´on de un programa.

Dichas abreviaturas se denominan macros y para poder usarlas debemos especificar con precisi´on la forma en que dichas abreviaturas se reemplazan por verdadero c´odigo.

GOTO L

| {z } MACRO

=⇒ Zk ←− Zk + 1 IF Zk 6= 0 GOTO L



| {z }

EXPANSION V ←− 0

| {z } MACRO

=⇒

 [K ] V ←− V − 1 IF V 6= 0 GOTO K

| {z }

EXPANSION

En el primer caso Zk debe ser una variable que no aparece ne el programa en que realizamos la expansi´on. En el segundo caso K es una etiqueta que no aparece en dicho programa.

(15)

Macros. Asignaci´ on

La macro V ←− V0 asigna a V el valor de V0, conservando V0 su valor.

V ←− 0

[A] IF V0 6= 0 GOTO B GOTO C

[B] V0 ←− V0− 1 V ←− V + 1 Z ←− Z + 1 GOTO A





Copia V0 en V y en Z y

Pone V0 a cero [C ] IF Z 6= 0 GOTO D

GOTO L [D] Z ←− Z − 1

V0←− V0+ 1 GOTO C









Copia Z en V0 Pone Z a cero

(16)

Uso de las macros

La funci´on suma: Sum : N2−→ N Sum(x, y) = x + y

P+

















Y ←− X1 Z ←− X2

[B] IF Z 6= 0 GOTO A GOTO E

[A] Z ←− Z − 1 Y ←− Y + 1 GOTO B

Ejercicio: Prueba de la correcci´on para la suma.

(∀x , y ∈ N)([[P+]](2)(x , y ) = x + y ) (por inducci´on d´ebil sobre la segunda variable).

(17)

Uso de macros (II)

La funci´on producto. Prod : N2 −→ N ·(x, y) = x·y

p×

















Z2 ←− X2

[B] IF Z26= 0 GOTO A GOTO E

[A] Z2 ←− Z2− 1 Z1 ←− X1+ Y Y ←− Z1

GOTO B

Nota: Z1 ←− X1+ Y es una macro ejecuta el programa Suma y asigna el resultado a la variable Z1.

(18)

Expansi´ on de macros (I)

Sean f ∈ GCOMP(n) y P ∈ GOTOP tales que [[P]](n)= f . Veamos una expansi´on para la macro: W ←− f (V1, . . . , Vn).

1 Renombrando las etiquetas de P si fuese necesario, podemos suponer que la ´unica etiqueta de salida de P es E y todas las dem´as etiquetas de P son A1, .., Ar.

2 Renombrando variables podemos suponer que las ´unicas variables de entrada que aparecen en P son X1, . . . , Xn y las

´

unicas variables auxiliares Z1, . . . , Zk.

3 Podemos expresar la situaci´on anterior escribiendo P ≡ P(Y , X1, . . . , Xn, Z1, . . . , Zk; E , A1, . . . , Ar)

4 Dado m ∈ N podemos obtener un nuevo programa

Qm ≡ P(Zm, , Zm+1, .., Zm+n, Zm+n+1, .., Zm+n+k; Em, Am+1, .., Am+r) sustituyendo en P cada variable y cada etiqueta por la

correspondiente de Qm.

(19)

Expansi´ on de macros (II)

Para expandir la macro en un programa P0, tomamos m ∈ N suficientemente grande para que Qm y P0 no tengan variables ni etiquetas comunes. Una vez determinado m reemplazamos la macro por:

W ←− f (V1, . . . , Vn)





































Zm←− 0 Zm+1←− V1 ...

Zm+n←− Vn ...

Zm+n+1←− 0 ...

Zm+n+k ←− 0 Qm

[Em] W ←− Zm

(20)

Macros condicionales

Si P(V1, . . . , Vn) es un predicado G-computable:

macroexpansi´on macro Z ←− P(V1, . . . , Vn)

IF Z 6= 0 GOTO L



IF P(V1, . . . , Vn) 6= 0 GOTO L Ejemplo: IF V = 0 GOTO L

V = 0 ≡ P(v ) =

 1 si v = 0 0 si v 6= 0

donde P(v ) es G-computable:

 IF X 6= 0 GOTO E Y ←− Y + 1

Referencias

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