ELEMENTOS FINITOS

(1)

Fundamentos del M´

etodo

de Elemento Finito

Primera Edici´

on

Jaime G. Molina P.

Catedr´atico Em´erito

Ingenier´ıa Mec´anica U. M. S. A.

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La presentación y disposición en conjunto de: “ fundamentos del método de elemento finito ” incluye materia preliminar, cuerpo de texto y materia posterior.

Además también incluye un cd en la contratapa, que contiene archivos electrónicos complementarios al documento.

La propiedad intelectual de este trabajo se transfiere a la U.M.S.A. La Instituci´on patrocinante y el autor conceden licencia para copiar, distribuir y/o modificar este documento seg´un las condiciones

de Licencia de Documentación Libre GNU, Versión 1.2 o posterior; sin las Secciones Invariantes del documento, ningún texto de las

P´aginas Preliminares, y ning´un texto de Materia Posterior. Toda copia literal de parte(s) de este documento que aparezca en otro

cualquiera, requiere obligatoriamente referencia del autor. Derechos No Reservados:

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Dedicatoria

A quien fué el primero en mostrarme el método de elemento finito, y se convirtió luego en mi amigo y principal mentor : PhD.Eng. J. Roger Saravia Luna†.

A todos ustedes quienes con sacrificio y tal vez noches de desvelo, estudien este documento con el ´animo de aprender algo nuevo.

A mi hermano y amigos de mi entorno m´as cercano, por com-prender mi aislamiento de ellos necesario para escribir esta obra.

A la eterna memoria de mis padres, quienes me dieron la oportu-nidad de haberme educado para alcanzar mis metas anheladas.

Jaime

G. Molina

P.

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Fundamentos del M´etodo de Elemento Finito

Primera Edici´on Jaime G. Molina P.

Catedrático Emérito Ingenier´ıa Mecánica U. M. S. A.

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_{Indice de Contenido}

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1. Conceptos b´asicos 1

1.1. Introducci´on . . . 1

1.2. Concepci´on del m´etodo de elemento finito ? . . . 2

1.2.1. Convergencia del m´etodo . . . 4

1.2.2. El m´etodo de diferencias finitas . . . 7

1.3. Procedimiento general . . . 9

1.3.1. Pre–procesamiento . . . 10

1.3.2. Procesamiento o Soluci´on . . . 10

1.3.3. Post–procesamiento . . . 10

1.4. Breve historia del m´etodo de elemento finito . . . 11

1.5. Ejemplos de an´alisis de elemento finito . . . 12

1.6. Objetivos del documento . . . 14

2. An´alisis uni–dimensional 17 2.1. Introducci´on . . . 18

2.2. El resorte linealmente el´astico . . . 18

2.2.1. Ensamble del sistema en coordenadas globales . . . 21

2.3. El elemento barra . . . 30

2.4. Energ´ıa de deformaci´on el´astica . . . 36

2.4.1. Primer teorema de Castigliano . . . 37

2.5. Energ´ıa potencial m´ınima . . . 42

2.6. Resumen . . . 45

Problemas propuestos . . . 45

3. El método dirécto de rigidez 49 3.1. Introducción . . . 49

3.2. Ecuaciones de equilibrio nodal . . . 51

(6)

3.3. Transformaci´on de elemento . . . 56

3.3.1. Cosenos directores . . . 58

3.4. Ensamble de la matriz de rigidez global . . . 59

3.5. Condiciones de borde, y fuerzas de restricci´on . . . 64

3.6. Deformaciones y tensiones de elemento . . . 65

3.7. Un ejemplo completo . . . 69 3.8. Cerchas tri–dimensionales . . . 74 3.9. Resumen . . . 78 Problemas propuestos . . . 78 4. Elementos de f lexi´on 85 4.1. Introducci´on . . . 85

4.2. Teor´ıa elemental de vigas . . . 86

4.3. El elemento viga . . . 88

4.4. Matriz de rigidez de elemento viga . . . 92

4.5. Vector de carga de elemento . . . 94

4.6. Cargas nodales equivalentes . . . 98

4.7. El elemento marco . . . 106

4.8. El elemento rectil´ıneo general . . . 111

4.9. Comentarios finales . . . 115

5. El m´etodo de residuos ponderados 123 5.1. Introducci´on . . . 123

5.2. El m´etodo de residuos ponderados . . . 124

5.3. El m´etodo de elemento finito Galerkin . . . 131

5.3.1. Formulaci´on de elemento . . . 133

5.4. Aplicaci´on en elementos estructurales . . . 138

5.4.1. El elemento barra . . . 139

5.4.2. El elemento viga . . . 140

5.5. Conducci´on de calor uni–dimensional . . . 142

6. Funciones de interpolaci´on 153 6.1. Introducci´on . . . 153

6.2. Requisitos de compatibilidad e integridad . . . 154

6.2.1. Compatibilidad . . . 155

6.2.2. Integridad . . . 156

6.3. Formas polinomiales: Elementos uni–dimensionales . . . 156

6.3.1. Elementos unidimensionales de orden–superior . . . 159

6.4. Formas polinomiales: isotrop´ıa geom´etrica . . . 162

6.5. Elementos triangulares . . . 164

6.5.1. Coordenadas de ´area . . . 166

6.5.2. Elemento triangular de seis–nodos . . . 168

6.5.3. Integraci´on en coordenadas de ´area . . . 169

6.6. Elementos rectangulares . . . 170

6.7. Elementos tri–dimensionales . . . 173

6.7.1. Elemento tetra´edrico de cuatro–nodos . . . 174

6.7.2. Elemento ladrillo de ocho–nodos . . . 176

(7)

vii

6.9. Elementos de simetr´ıa axial . . . 184

6.10. Integraci´on num´erica: Cuadratura Gaussiana . . . 188

7. Transmisi´on del calor 201 7.1. Introducci´on . . . 201

7.2. Conducci´on uni–dimensional: elemento cuadr´atico . . . 202

7.3. Conducci´on uni–dimensional con convecci´on . . . 205

7.3.1. Formulaci´on de elemento finito . . . 206

7.3.2. Condiciones de borde . . . 208

7.4. Transmisi´on de calor bi–dimensional . . . 212

7.4.3. Condiciones de simetr´ıa . . . 227

7.4.4. Resultantes de elemento . . . 229

7.4.5. Generaci´on interna de calor . . . 233

7.5. Transferencia de calor con transporte de masa . . . 235

7.6. Transmisi´on de calor tri–dimensional . . . 239

7.6.1. Ensamble del sistema y condiciones de borde . . . 241

7.7. Transmisi´on de calor con simetr´ıa axial . . . 243

7.8. Transmisi´on de calor transitoria . . . 248

7.8.1. M´etodos de diferencias finitas para respuesta transiente: Condiciones iniciales . . . 250

7.8.2. M´etodos de diferencia central y diferencia regresiva . . . 254

8. Mec´anica de fluidos 263 8.1. Introducci´on . . . 263

8.2. An´alisis de flujo incompresible . . . 265

8.2.1. Flujo rotacional e irrotacional . . . 266

8.3. La funci´on de corriente . . . 267

8.3.3. La funci´on potencial de velocidad . . . 273

8.3.4. Flujo alrededor de m´ultiples cuerpos . . . 280

8.4. Flujo viscoso incompresible . . . 282

8.4.1. Flujo de Stokes . . . 283

8.4.2. Flujo viscoso con inercia . . . 288

8.5. Resumen final . . . 289

9. Mecánica de sólidos 293 9.1. Introducción . . . 293

9.2. Tensi´on plana . . . 294

9.2.2. Evaluaci´on de la matriz de rigidez . . . 299

9.2.3. Cargas distribu´ıdas y fuerzas de cuerpo . . . 300

(8)

9.4. Formulaci´on isoparam´etrica . . . 310

9.5. An´alisis de tensiones en simetr´ıa axial . . . 317

9.5.2. Cargas de elemento . . . 321

9.6. Elementos de tensi´on tri–dimensionales generales . . . 324

9.7. Evaluaci´on de deformaciones y tensiones . . . 327

9.8. Consideraciones pr´acticas . . . 331

9.9. Torsi´on no–circular . . . 333

9.9.2. Torque . . . 336

9.10. Resumen . . . 340

10.Din´amica estructural 345 10.1. Introducci´on . . . 345

10.2. El oscilador arm´onico simple . . . 346

10.2.1. Vibraci´on forzada . . . 350

10.3. Sistemas con m´ultiples grados de libertad . . . 352

10.3.1. Sistemas con varios grados de libertad . . . 357

10.4. El elemento barra: matriz de masa consistente . . . 360

10.5. El elemento viga . . . 365

10.6. Matriz de masa para un elemento general . . . 369

10.7. Ortogonalidad de los modos principales . . . 374

10.8. Respuesta arm´onica mediante superposici´on modal . . . 378

10.9. Disipaci´on de energ´ıa: amortiguamiento estructural . . . 380

10.9.1. Amortiguamiento estructural general . . . 382

10.10.Respuesta din´amica transitoria . . . 386

10.11.An´alisis din´amico estructural . . . 388

10.12.Consideraciones pr´acticas . . . 395

10.13.Resumen . . . 396

A. Temas de ´Algebra Lineal 401 A.1. Definiciones . . . 402

A.2. Operaciones algebr´aicas . . . 403

A.3. Determinantes . . . 404

A.4. Inversi´on matricial . . . 405

A.5. Partici´on matricial . . . 407

B. Ecuaciones de elasticidad 409 B.1. Relaciones desplazamiento–deformaci´on . . . 410

B.2. Relaciones tensi´on–deformaci´on . . . 413

B.3. Ecuaciones de equilibrio . . . 414

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ix C. Solución de ecuaciones 417 C.1. Método de Cramer . . . 418 C.2. Eliminación de Gauss . . . 419 C.3. Descomposición L–U . . . 421 C.4. Solución frontal . . . 423 C.5. Exactitud de la solución . . . 425 D. El programa FEPC 427 D.1. El programa computacional FEPC . . . 428

D.2. Pre–procesamiento . . . 428

D.3. Soluci´on . . . 429

D.4. Post–procesamiento . . . 429

D.5. Detalles del paquete . . . 430

E. Problemas de proyecto 431 E.1. Cap´ıtulo 3 . . . 431 E.2. Cap´ıtulo 4 . . . 434 E.3. Cap´ıtulo 7 . . . 437 E.4. Cap´ıtulo 9 . . . 439 E.5. Cap´ıtulo 10 . . . 442

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_{Indice de contenido}

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Prefacio

La presente obra: “Fundamentos del Método de Elemento Finito”, tiene pretensión de ser libro de texto para un curso terminal de pre–grado o inicial de nivel–superior (post–grado), diseñado para ser inclu´ıdo en los programas de estudio de ingenier´ıa. La orientación temática de su contenido se adapta muy apropiadamente a los programas de estudio de ingenier´ıa mecánica e ingenier´ıa civil, aunque podr´ıa ser considerado también como libro de consulta en otros campos de la ingenier´ıa o en un curso de matemática aplicada.

El método de elemento finito es una técnica de análisis y diseño ampliamente utilizada actual-mente, que es esencial para los estudiantes de ingenier´ıa que poseen rudimentos básicos de la teor´ıa y aplicaciones de los métodos discretos de análisis. Persiguiendo el objetivo de aprender algo más sobre el método, a finales del año 2006 en la Universidad de Calghary — en Canadá — fu´ı invitado para elaborar y enseñar una serie de “temas especiales” como parte de un simposio de charlas complemen-tarias al curso extraordinario de modalidad electiva del método de elemento finito, implementado el segundo semestre de dicho año en la universidad mencionada. El curso estaba compuesto de aproxi-madamente tres–cuartas partes de teor´ıa y una cuarta parte de uso de software comercial destinado a la resolución de los problemas asignados a lo largo del curso. Subsecuentemente, desde dicha época, el curso se ha convertido en uno regularmente ofrecido como asignatura de especialidad de modalidad obligatoria en el programa de ingenier´ıa mecánica, y generalmente posee una demanda muy alta de estudiantes interesados en aprender esta materia (incluso como asignatura electiva, para ser cursada por estudiantes pertenecientes a otras carreras de ingenier´ıa).

Durante el proceso de desarrollo para el curso, los responsables de impartirlo nunca estuvimos satisfechos con cualquier texto que se usó en el mismo, y nosotros probamos muchos libros escritos sobre el tema, por cierto. Encontramos que los textos disponibles se ubicaban a un extremo u otro de nuestras pretensiones; a saber, en algunos esencialmente ninguna teor´ıa y mucha aplicación de software; o toda la teor´ıa y ninguna aplicación de software. Los planteamientos pedagógicos anteriores, en mi opinión, representan: el primero, entrenamiento extensivo usando programas computacionales (adecuado para quien domina la teor´ıa y se inmiscuye exclusivamente con las aplicaciones del método); mientras que el segundo pretende desarrollo extensivo teórico sin acercamiento al software asociado al método (adecuado para quien pretende dominar la teor´ıa, sin inmiscuirse en la aplicación práctica).

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En esa época esperaba que la experiencia que relato en anteriores párrafos se replicara en la uni-versidad donde imparto enseñanza. Y afortunadamente, en la actualidad, por la apertura del ciclo de Postgrado con el Programa de Maestr´ıa en Ciencias de la Ingenier´ıa Mecánica, tengo la oportunidad de hacer el intento de replicar de alguna manera la experiencia académica antes comentada.

Es pretensión de éste documento ubicarse en lo posible en un punto medio donde ciertamente se dé preferencia a la elaboración teórica, pero sin omitir los aspectos de tipo práctico mediante utilización de software adecuado para ello. Esto porque consideramos este documento como un libro de texto adecuado a un curso introductorio al método de elemento finito. En tal virtud, los problemas propuestos para ser resueltos computacionalmente no son de un gran volumen de datos de entrada, de modo que para resolverlos podr´ıa utilizarse incluso un paquete de caracter académico (existen muchos de descarga gratuita en diversos portales de la red Internet).

Pedagógicamente, yo creo que proporcionar entrenamiento práctico al estudiante pre–graduado en el uso de un paquete de software particular, sin proporcionarle conocimiento de la concepción teórica subyascente en los programas computacionales que conforman el paquete, es un perjuicio al estudiante y puede ser hasta peligroso para sus futuros empleadores. Me considero que soy agudamente consciente que la mayor´ıa de los programas de estudio en ingenier´ıa, tienen un paquete espec´ıfico de software de elemento finito disponible para el uso del estudiante; y simultáneamente yo no creo que el texto que los estudiantes usen sólo deba exclusivamente atarse en su desarrollo teórico a ese espec´ıfico software. Por consiguiente, he escrito este texto para que sea considerado independiente de cualquier software en particular. Doy énfasis a la teor´ıa básica del método de elemento finito, en un contexto que pueda entenderse por cualquier estudiante común de ingenier´ıa, y dejo las porciones espec´ıficas de utilización de software a la curiosidad e inquietud del lector, para que él mismo complemente su aprendizaje incorporando la parte práctica de utilización de ésta herramienta computacional de manera individual y autodidacta.

Como el texto está elaborado para un curso introductorio al método de elemento finito, los requisitos de conocimiento previo comprenden: los principios de la mecánica general en sus partes componen-tes estática y dinámica, la mecánica de materiales, la mecánica de fluidos, la termodinámica y la transmisión de calor, y finalmente el cálculo infinitesimal en concepción de las operaciones básicas de integración y derivación de funciones, juntamente con la aplicación a la solución de las ecuaciones di-ferenciales. Por necesidad, y cuando sea ineludible, se introducen ecuaciones diferenciales en derivadas parciales al interior del desarrollo teórico presentado; pero de una manera que pueda entenderse sin mayor dificultad, basado en los requisitos previos declarados.

Las aplicaciones del método de elemento finito a la transmisión del calor y la mecánica del medio fluido son incluidas en Cap´ıtulos espec´ıficos, pero las deducciones necesarias son tales que los cursos anteriores en esos temas se requieren solamente por los conceptos fundamentales de definición que fue-ron supuestamente elaborados en dichos cursos precedentes. Seguramente, muchos estudiantes habrán tomado cursos regulares previos de transferencia de calor y mecánica de fluidos, y los temas aqu´ı pre-sentados pueden suponerse que resultarán ser extensión natural de aquellos temas fundamentales que los estudiantes poseen como conocimiento previo a este curso.

Advierto que esta obra no es completamente inédita en autor´ıa; mucha parte de su contenido es traducción e interpretación libre del texto: “Fundamentals of the Finite Element Analysis” de David D. Hutton (McGraw Hill – Higher Education Publications, 1st. Ed., 2004c , International Edition), con la autorización del autor para efectuar una traducción no literal de las partes de interés. Otras partes de desarrollo teórico sobretodo, son también traducciones no–literales de diversos documentos (art´ıculos y partes menores de otros libros descargados desde la red Internet), y una parte algo menor es de autor´ıa propia en concepción y redacción, la cual se ha incorporado en forma de párrafos intermedios de explicación más detallada de los temas que son tratados.

El contenido del presente documento, seccionado siguiendo un formato estandar pre–establecido, incluye los temas siguientes:

Cap´ıtulo 1 — es una introducción general al método del elemento finito, e incluye una descripción del concepto básico de dividir un dominio en una serie de sub–dominios de tamaño finito. El

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xiii

método de diferencias finitas se presenta para comparación con el método de elemento finito. Un procedimiento general en la secuencia de definición, solución, y la interpretación de resultados asociados con el modelo matemático de análisis se discute, y se relaciona a la serie generalmente aceptada de: pre–procesamiento, solución, y post–procesamiento. También se incluye una historia breve del método de elemento finito, como también algunos ejemplos que ilustran la aplicación del método.

Cap´ıtulo 2 — introduce el concepto de matriz de rigidez de elemento finito, y la ecuación del campo de desplazamientos asociado, en términos de las denominadas funciones de interpolación, usando el resorte lineal como un elemento finito. Este elemento mecánico (el resorte lineal elástico) es conocido por la mayor´ıa de estudiantes pre–graduados, por lo que su comportamiento mecánico no debe ser nuevo para ellos. Sin embargo, la representación del resorte lineal como un elemento finito es nueva, y la virtud de éste enfoque es que proporciona un ejemplo simple y conciso del método de elemento finito. La premisa de formulación del elemento resorte es extendida al elemento barra, y se introducen los métodos de concepción energética. El primer teorema de Castigliano es aplicado, como representación del principio de energ´ıa potencial m´ınima. El teorema de Castigliano es un método simple para introducir al estudiante pre–graduado a los principios de minimización funcional sin el uso expl´ıcito del cálculo variacional.

Cap´ıtulo 3 — utiliza el elemento barra del Cap´ıtulo anterior para ilustrar el ensamble global de las ecuaciones de equilibrio para una estructura compuesta de muchos elementos finitos. Se desarrolla la transformación de las ecuaciones gobernantes de comportamiento mecánico desde las coorde-nadas del elemento hacia las coordecoorde-nadas globales (de la estructura), y se ilustra el procedimiento con ejemplos bi y tri–dimensionales. El método directo de rigidez se utiliza y se presentan dos métodos para el ensamble de la matriz de rigidez global. Se discute la aplicación de condiciones de borde l´ımite y la solución de las ecuaciones de restricción. Se muestra también el uso de la solución básica del desplazamiento para obtener la tensión interna del elemento, y se muestra a la tensión como una importante operación de la etapa de post–procesamiento.

Cap´ıtulo 4 — introduce el elemento viga como un elemento flexible y temáticamente como puente a los requisitos de continuidad para los elementos de orden–superior. Se introduce el concepto de continuidad de la derivada espacial y esto requiere un ajuste a las funciones de interpolación asumidas, para asegurar la continuidad requerida por la solución. Se discuten los vectores de carga nodales en el contexto de cargas discretas y distribu´ıdas, usando el método de equivalencia del trabajo mecánico.

Los Cap´ıtulos 2, 3, y 4, introducen los procedimientos básicos de elemento–finito modelando los sistemas considerados en el contexto de elementos estructurales simples que deben ser muy conocidos por el estudiante desde el requisito previo de su curso de mecánica de materiales. As´ı, el énfasis en la parte inicial del curso en que el texto es usado puede estar enmarcado en la aplicación del método de elemento finito hacia situaciones simples, sin la introducción de nuevos conceptos f´ısicos. Los elementos barra y viga pueden usarse para proporcionar al estudiante problemas prácticos de estructuras reticuladas compuestas de elementos rectil´ıneos, cuya solución deba ser hallada aplicando el software disponible para el método de elemento finito. Cuando el alumno adquiera dominio (en el contexto bidimensional) de manejo de los elementos barra y viga, este conocimiento proporciona un ámbito adecuado para que se pueda combinar este desarrollo teórico y generar el elemento marco, adecuado para el análisis o diseño de estructuras tipo pórtico. Cap´ıtulo 5 — es el trampol´ın hacia los conceptos más avanzados de análisis por aplicación del método

de elemento finito. El método de residuos ponderados se introduce como la técnica fundamental que será utilizada en el resto del texto. El método de Galerkin se utiliza exclusivamente desde que particularmente he encontrado que este método es comprensible para el estudiante, y es dócil a la formulación de una gama amplia de problemas que se presentan en los diversos campos de la ingenier´ıa. El material en este Cap´ıtulo repite los desarrollos de los elementos barra y viga presentados anteriormente desde una perspectiva diferente, pero también extiende el concepto de

(14)

elemento finito a la trasferencia de calor uni–dimensional. La aplicación a los elementos barra y viga ilustran que el método está de acuerdo con el desarrollo teórico presentado previamente en los Cap´ıtulos 2–4. La introducción de los procesos de transferencia de calor expone al estudiante a aplicaciones adicionales del método de elemento finito, que probablemente sean nuevas para él. Cap´ıtulo 6 — es una descripción plena de los requisitos a cumplir por las funciones de interpolación usadas en modelos de elemento finito, asociados con cualquier problema f´ısico. Se delinean los requisitos de continuidad e integridad. Se definen las coordenadas naturales (polinomiales), las coordenadas superficiales, y las coordenadas de volumen; todas ellas se usan para desarrollar las funciones de interpolación para varios tipos de elementos en dos y tres dimensiones. El concep-to de mapeo isoparamétrico se introduce en el contexto del elemento cuadrilátero plano. Como un aspecto precursor a los Cap´ıtulos siguientes, se introduce el concepto de integración num´ eri-ca usando la cuadratura Gaussiana, y se incluyen varios ejemplos de muestra de aplieri-cación de ´

estos conceptos. Tambi´en se incluye el uso de elementos bidimensionales para modelar dominios tridimensionales que poseen simetr´ıa axial.

Cap´ıtulo 7 — se presenta el método de Galerkin para desarrollar las ecuaciones de elemento finito para varias situaciones normalmente encontradas en procesos de transferencia de calor. Se discuten las formulaciones uni, bi, y tri–dimensionales para la transferencia de calor por conducción y convección. Aspectos asociados con el fenómeno de radiación no son incluidos, por el hecho que esta forma particular de transmisión de calor introduce términos de carácter no–lineal en las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema, aspecto para el que los estudiantes pre– graduados no están preparados por el nivel de los temas abordados en éste documento. Pero, en compensación se incluye la transmisión de calor con transporte de masa. El método de diferencias finitas junto con el método del elemento finito se utiliza para presentar métodos para analizar y resolver problemas de transferencia de calor transitorio, es decir dependientes del tiempo. Cap´ıtulo 8 — presenta las aplicaciones del elemento finito a la mecánica de fluidos. Las ecuaciones

generales gobernantes del flujo fluido son muy complejas y no–lineales, de modo que el tema se introduce por medio del estudio del flujo ideal. Se ilustra el uso de las funciones de corriente y potencial de velocidad, y se advierten las restricciones aplicables para casos diversos. Se incluyen problemas de ejemplo para hacer notar la analog´ıa con la transferencia de calor y se usan soluciones de elemento finito de procedimientos de transmisi´on de calor para resolver problemas de flujo ideales. Una discusi´on breve acerca del flujo viscoso muestra la presencia de efectos no–lineales cuando se considera el comportamiento de un flujo fluido real (no ideal).

Cap´ıtulo 9 — aplica el método de elemento finito a los problemas de la mecánica del medio sólido deformable bajo la condición que la respuesta del material a una solicitación externa es linealmente elástica y la deformación producida es muy pequeña. Se definen formulaciones de elemento finito para los problemas de tensión y deformación planas, y se desarrollan soluciones para cada caso. Se incluyen los estados tridimensionales generales de tensión y también estados de tensión con simetr´ıa axial. As´ı mismo, se desarrolla un modelo para la torsión de secciones no–circulares usando la función de tensiones de Prandtl. El propósito de la sección dedicada al problema de torsión es que el estudiante tome conciencia que todos los objetos solicitados torsionalmente no siempre son de sección transversal circular, y que el análisis a usarse en tales situaciones debe ajustarse para satisfacer la geometr´ıa real que posee dicho elemento.

Cap´ıtulo 10 — introduce el concepto de movimiento dinámico de estructuras. No se presume que el estudiante ha tomado un curso formal de vibraciones mecánicas; como resultado, este Cap´ıtulo incluye una introducción básica a la teor´ıa de vibración. La mayor´ıa de este material resume lo es-trictamente necesario para comprender la aplicación del método de elemento finito a la mecánica de vibraciones. El concepto de la matriz de masa o de inercia se desarrolla mediante una serie de ejemplos de simple comprensión, como los sistemas masa–resorte; y entonces se extienden los con-ceptos yá desarrollados hacia el estudio de los cuerpos continuos sólidos deformables. Se definen las matrices de masa consistentes y se usan en los ejemplos presentados. El análisis modal es el

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xv

método básico presentado para hallar la respuesta dinámica; de modo que una cantidad conside-rable de material del texto se consagra a la determinación de los modos naturales de vibración, la ortogonalidad de los mismos, y la superposición modal para establecer la respuesta del sistema debida a la perturbación aplicada. Se incluye la combinación del método de diferencias finitas y el método de elementos finitos para resolver problemas estructurales dinámicos transitorios, o sea variables en el tiempo.

Hacia el final del libro se incluye una serie de Apéndices, en los cuales se provee material a los estudiantes que podr´ıa ser nuevo para ellos, o que pueden tener la condición de material yá conocido en forma previa y que de alguna manera constituyan conceptos teóricos que hayan sido yá olvidados debido a su escasa utilización en el transcurso del tiempo hasta llegar a esta instancia de aprendizaje del método de elemento finito. Esta serie se compone de los siguientes temas:

Apéndice A — es una revisión del álgebra matricial y debe ser material conocido por el estudiante desde un curso de álgebra lineal, común en todos los programas de estudio de ingenier´ıa. Apéndice B — establece las relaciones constitutivas tridimensionales generales para un material

elástico, homogéneo, e isótropo. Yo he encontrado durante los años que imparto clases de mecánica de sólidos, que los estudiantes de pre–grado no tienen un dominio firme de estas relaciones. En general, el estudiante ha sido expuesto a tantos casos especiales que las ecuaciones tridimensionales no son comprendidas de verdad.

Apéndice C — cubre tres métodos para resolver ecuaciones algebraicas lineales. Algunos estudian-tes pueden usar este material como algoritmos para programar métodos de solución. Sólamente inclu´ımos éste Apéndice para que el lector sea consciente de los algoritmos que tienen presencia debajo del software que usarán en el proceso de resolver computacionalmente los problemas de elemento finito que les sean planteados.

Apéndice D — describe las capacidades computacionales básicas del software denominado FEPC. El programa de elemento finito para computador personal — FEPC (Finite Element Personal Computer) — fué desarrollado por el Dr. Charles Knight en el Instituto Politécnico de Virginia y la Universidad Estatal; y se usa junto con este texto haciendo uso del permiso de registro de pro-piedad. Los programas del Dr. Knight permiten el análisis de problemas bi–dimensionales usando elementos: barra, viga y superficiales planos. El Apéndice describe en general las capacidades y limitaciones del software. El programa FEPC está disponible para el estudiante mediante el portal de sitio en Internet: www.mhhe.com/hutton.

Apéndice E — incluye los problemas (tipo mini–proyecto simulado) para varios cap´ıtulos del texto que deben ser resueltos mediante software de elemento finito. La dimensión de los problemas planteado no es tan grande, existiendo posibilidad de ser resueltos también mediante un pequeño paquete de caracter´ıstica académica (existen algunos que pueden descargarse desde la red Inter-net). Adicionalmente, en el transcurrir del tiempo se agregarán problemas de esta clase a éste Apéndice (en ediciones posteriores del libro) y también a algún sitio WEB a ser creado, en la perspectiva de continuar la base de ejercicios propuestos que fueron puestos en este Apéndice. El presente libro fué escrito para servir de material bibliográfico principal (libro de texto) en el curso regular del método de elemento finito, que se dicta en el programa de Postgrado de Maestr´ıa en Ciencias de la Ingenier´ıa Mecánica, de la Universidad Mayor de San Andrés (UMSA) – La Paz, bolivia.

Agradezco a las autoridades de la carrera de Ingenier´ıa Mecánica de la UMSA por depositar su confianza y brindarme total respaldo para cumplir las funciones de docente de esta asignatura. Asimis-mo, agradezco la orientación de mi amigo: PhD.Eng. J. Roger Saravia Luna (†), en la estructuración del contenido temático y sus sabios consejos para abordar la redacción de éste documento.

Jaime

G. Molina

P.

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(17)

fundamentos del m´

etodo

de elemento finito

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(19)

Capítulo

1 Conceptos b´

asicos

El método de elemento finito es un método numérico general para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales (ordinarias y parciales) muy utilizado en diversos problemas principalmente de ingenier´ıa y f´ısica–matemática aplicada.

T´ıpicamente el método de los elementos finitos se programa computacionalmente para calcular el campo de la variable dependiente del problema y, posteriormente, a través de relaciones generales y constitutivas se calculan las variables secundarias de interés luego que se ha obtenido la solución para el modelo de elemento finito que ha sido formulado. Esta técnica tuvo su origen en el tratamiento de problemas planteados por la mecánica de sólidos deformables, pero en la actualidad es más gene-ralmente aplicable a cualquier problema de la mecánica de medios continuos (que involucra a todos los estados agregados de la materia). El método de los elementos finitos es muy usado debido a su generalidad y a la facilidad de introducir dominios de cálculo complejos (en dos o tres dimensiones). Además el método es fácilmente adaptable a problemas de transmisión de calor, de mecánica de fluidos para calcular campos de velocidades y presiones (fluidodinámica) o de campo electromagnético. Dada la imposibilidad práctica de encontrar la solución anal´ıtica de estos problemas, con frecuencia en la práctica ingenieril los métodos numéricos y, en particular, los elementos finitos, se convierten en la ´

unica alternativa pr´actica de c´alculo.

Una importante propiedad del método es la convergencia; si se consideran particiones de elementos finitos sucesivamente más finas, la solución numérica calculada converge rápidamente hacia la solución exacta del sistema de ecuaciones.

1.1. Introducci´

on

El método de elemento finito (MEF), a veces llamado análisis de elemento finito (AEF), es una técnica computacional usada para obtener soluciones aproximadas de problemas con valores l´ımite en diversos campos de la ingenier´ıa. Declarado de manera simple, los problemas con valores l´ımite son problemas matemáticos en los cuáles una o más variables dependientes deben satisfacer una ecuación diferencial en todas partes dentro de un dominio conocido de variables independientes y satisfacer

(20)

condiciones espec´ıficas en el l´ımite del dominio de definición del problema. Los problemas de valores l´ımite también se llaman a veces problemas de campo. El campo es el dominio de interés y a menudo representa una estructura f´ısica. Las variables de campo son las variables dependientes de interés gober-nadas por la ecuación diferencial. Las condiciones l´ımite son los valores especificados de las variables de campo (o variables relacionadas como sus derivadas) sobre los l´ımites del campo. Dependiendo del tipo de problema f´ısico que se analiza, las variables de campo pueden incluir desplazamiento f´ısico, temperatura, flujo de calor, y velocidad de flujo, para mencionar sólamente algunas variables que se presentan.

1.2. Concepci´

on del m´

etodo de elemento finito ?

Se introducirán las técnicas y terminolog´ıa generales del análisis de elemento finito con referencia a la Figura 1.1, desarrollando el concepto básico del método. La figura mencionada muestra un volumen de algún material o materiales que poseen propiedades f´ısicas conocidas. El volumen representa el dominio de un problema de valor l´ımite a ser resuelto. Por simplicidad, en este punto, asumimos un caso bi–dimensional con una sola variable de campo φ(x, y) para ser determinada en cada punto P (x, y) tal que una ecuación gobernante conocida (o ecuaciones) se satisfagan exactamente en cada uno de tales puntos pertenecientes al dominio espacial para la variable φ en cuestión (en la Figura 1.1(a) mostramos el dominio al que nos estamos refiriendo). Note que esto implica que se obtiene una solución matemática exacta; es decir, la solución es una expresión algebráica de forma–cerrada de las variables independientes y talvez algunos parámetros del dominio. En los problemas prácticos, el dominio puede ser geométricamente complejo, como sucede a menudo; como también resulta engorrosa la ecuación gobernante del problema y es muy baja la probabilidad de obtener una solución exacta de forma– cerrada para la situación as´ı planteada. Por consiguiente, soluciones aproximadas basadas en técnicas numéricas y el cómputo digital son más a menudo obtenidas en análisis de ingenier´ıa para los problemas complejos. El análisis de elemento finito es una técnica basada en un proceso de discretización del dominio de definición del problema, que es muy poderosa para obtener tales soluciones aproximadas con una exactitud muy buena cuando la discretización del dominio es refinada.

P(x,y) x

y (x,y)



(a) Dominio de definici´on de la variable de campo φ(x, y) x y (x,y)  1 2 3

(b) Elemento finito triangular con nodos v´ertice

x

y (x,y)



(c) Discretizaci´on parcial del dominio mediante elementos finitos

(21)

1.2. CONCEPCI ´ON DEL M ´ETODO DE ELEMENTO FINITO ? 3

Un pequeño elemento triangular que encierra un sub–dominio de tamaño–finito del área de interés se muestra en la Figura 1.1(b). Que este elemento no sea un elemento diferencial de tamaño dx×dy hace del mismo un elemento finito; es decir, un elemento de dimensiones finitas (nó infinitesimales !). Cuando nosotros tratamos este ejemplo como un problema bi–dimensional, se supone que el espesor en la dirección z es constante y la dependencia según esta dirección no se indica en la ecuación diferencial. Los vértices del elemento triangular se numeran para indicar que estos puntos son los nodos del elemento finito. Un nodo es un punto espec´ıfico perteneciente al elemento finito en el que el valor de la variable de campo va a ser calculado expl´ıcitamente. Los nodos exteriores son localizados en los l´ımites del elemento finito y podr´ıan usarse para conectar un elemento dado a elementos finitos adyacentes. Los nodos que no se ubican en los l´ımites del elemento son nodos interiores y no pueden ser conectados a los nodos de cualquier otro elemento. El elemento triangular de la Figura 1.1(b) tiene sólo nodos en sus vértices, y por ello los mismos son nodos exteriores.

Si sólo se computan los valores de la variable de campo en los nodos del elemento, cómo se obtienen los valores en otros puntos dentro de un elemento finito?. La respuesta a esta crucial pregunta contiene la esencia del método de elemento finito: Los valores de la variable de campo calculados para los nodos se usan para aproximar los valores en los puntos no–nodales (es decir, en todos los puntos al interior del elemento) mediante un procedimiento de interpolación usando los valores nodales yá calculados en forma previa. Para el ejemplo del elemento triangular con nodos en sus vértices, en el que los nodos son todos exteriores, la variable de campo en cualquier otro punto dentro del elemento y en sus aristas limitantes, se describe por la relación aproximada

φ(x, y) = N1(x, y)φ1+ N2(x, y)φ2+ N3(x, y)φ3 (1.1)

donde φ1, φ2, y φ3 son los valores de la variable de campo en los puntos nodales, y N1, N2, y N3 son

las funciones de interpolación, también conocidas como funciones de forma o funciones de mezcla. En el ámbito del método de elemento finito, los valores nodales de la variable de campo se tratan como constantes desconocidas que serán determinadas. Las funciones de interpolación son más a menudo formas polinómicas de las variables independientes, deducidas para satisfacer ciertas condiciones re-queridas en los nodos. Estas condiciones son discutidas en detalle en los cap´ıtulos subsecuentes. El punto relevante a ser enunciado aqu´ı es que las funciones de interpolación son predeterminadas, con formas de funciones conocidas de las variables independientes; y estas funciones describen la variación de la variable de campo dentro del elemento finito.

Se dice que el elemento triangular descrito por la Ecuación (1.1) tiene 3 grados de libertad, en virtud que se requieren tres valores nodales de la variable de campo para describir a la variable dependiente en todos los puntos que conforman el elemento. Éste ser´ıa el caso si la variable de campo representa una cantidad escalar, como la temperatura en un problema de trasmisión de calor , por ejemplo (véase el Cap´ıtulo 7). Si el dominio de Figura 1.1 representa un cuerpo sólido delgado, sujeto a un estado de tensión plana (véase el Cap´ıtulo 9); la variable de campo se adopta como el vector desplazamiento interno y en éste caso deben computarse los valores de dos componentes en cada nodo. En este último caso, el elemento triangular con nodos en sus tres vértices tiene 6 grados de libertad. En general, el número de grados de libertad asociados con un elemento finito es igual al producto del número de nodos y el número de valores del campo variable (y posiblemente sus derivadas) que deben calcularse en cada nodo.

En esta instancia surge otra pregunta: Cómo este procedimiento basado en el elemento, puede ser ahora aplicado sobre el dominio entero de interés ?. Como se bosqueja en la Figura 1.1(c), cada elemento se conecta mediante sus nodos exteriores a los otros elementos circundantes a él. Las ecua-ciones de elemento finito se formulan de modo que, en las conexiones nodales, el valor de la variable en cualquier punto de conexión común es el mismo para cada elemento que concurre a dicha ubicación y está conectado al nodo. As´ı, se asegura la continuidad de la variable de campo (variable dependiente en el problema) en los puntos nodales. De hecho, las formulaciones de elemento finito son tales que la continuidad del campo variable lo largo de los l´ımites de elementos aledaños que comparten dicho l´ımite también se asegura. Este rasgo de imposición sobre el método en cuanto a la continuidad de la

(22)

variable que está siendo modelada y aproximada mediante el método de elemento finito, evita la posi-bilidad f´ısicamente inaceptable de existencia de huecos o discontinuidades en el dominio considerado. En problemas estructurales, tales huecos f´ısicamente representar´ıan la separación del material. En los procesos de transmisión de calor, un “hueco” se manifestar´ıa en s´ı–mismo en la forma de posibilidad de valores de magnitud de temperaturas diferentes correspondientes al mismo punto f´ısico, lo cual por cierto es una completa aberración.

Aunque la continuidad del campo variable de elemento a elemento adyascente es inherente a la formulación de elemento finito, la continuidad de los gradientes (i.e., derivadas) del campo de la variable dependiente generalmente no existe. Ésta es una observación cr´ıtica hacia el método de elemento finito. En la mayor´ıa de los casos, dichas derivadas son de más interés que los valores del campo variable en s´ı–mismo. Por ejemplo, en los problemas estructurales la variable de campo es el desplazamiento, pero el verdadero interés está más a menudo en la deformación y la tensión. Como la deformación unitaria (al igual que la tensión interna) está definida en términos de las primeras derivadas espaciales de las componentes de desplazamiento, por lo que se refiere a esta variable mecánica resultará que no es cont´ınua sobre la frontera l´ımite del elemento (exceptuando sus puntos nodales exteriores). Sin embargo, las magnitudes de las discontinuidades de las derivadas de la función que se esté manipulando pueden ser usadas para evaluar la exactitud de la solución y su convergencia hacia la solución real (o exácta) a medida que el número de elementos se incrementa, como se ilustra a través del ejemplo que a continuación mostraremos.

1.2.1. Convergencia del m´

etodo

El proceso de representar un dominio f´ısico con elementos finitos es referido como un proceso de discretización, y la serie resultante de elementos es conocida como la malla de elemento finito. Como la mayor´ıa de las geometr´ıas de elemento normalmente usadas tienen como fronteras lados rectos, generalmente es imposible incluir el dominio f´ısico entero en la malla de elementos, si el dominio incluye l´ımites curvados. Tal situación se muestra en la Figura 1.2(a), donde un dominio f´ısico superficial de l´ımite–curvo se discretiza (bastante groseramente) usando elementos cuadrados, siendo el número de ellos 45. Una malla más refinada en el proceso de partición para el mismo dominio se muestra en Figura 1.2(b), usando pequeños, y más numerosos elementos del mismo tipo (la malla contiene 83 elementos). Se nota a simple vista que la malla refinada incluye significativamente una mayor superficie del dominio f´ısico en la representación de elemento finito, y los l´ımites curvados son más estrechamente aproximados (elementos triangulares podr´ıan aproximar los l´ımites aún de mejor manera).

(a) Modelo discreto elaborado median-te uso de elementos cuadrados

(b) Malla de elemento finito refinada usando elementos m´as peque˜nos

Figura 1.2: Dominio bi–dimensional arbitrario con l´ımite curvado

Si las funciones de interpolación satisfacen ciertos requisitos matemáticos (véase el Cap´ıtulo 6), una solución de elemento finito para un problema particular converge hacia la solución exacta del problema a medida que el modelo utilizado sea asociado a una malla de elementos de menor tamaño. Es decir, a manera que el número de elementos se incrementa y se disminuyen las dimensiones f´ısicas

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de los mismos, la solución de elemento finito cambia incrementalmente hacia la solución correcta. Los cambios incrementales decrecen con el proceso de refinamiento de la malla y la aproximación hacia la solución exacta se verifica que tiene forma asintótica.

Para ilustrar la convergencia del método, consideraremos un problema relativamente simple que tiene una solución conocida. La Figura 1.3(a) muestra un cuerpo sólido de forma cil´ındrica tronco– cónica, empotrado en un extremo y sujeto a una carga de tracción en su otro extremo libre. Asumiendo que el desplazamiento del punto de la carga aplicada sea de interés en su evaluación, se obtiene una primera aproximación de solución considerando el cuerpo como cil´ındrico de sección transversal uniforme, teniendo ésta variable magnitud igual al valor medio del área transversal del cuerpo original (véase la Figura 1.3b). L r0 rL x P

(a) Esquema del sistema f´ısico

A=A +A0 L

2

(b) Modelo de un elemento finito

(c) Modelo de dos elementos finitos (d) Modelo de cuatro elementos finitos

Figura 1.3: Barra cil´ındrica tronco–c´onica solicitada axialmente y su modelado

La varilla uniforme gruesa de la Figura 1.3(b) es un elemento finito barra (véase el Cap´ıtulo 2); as´ı, nuestra primera aproximación es un modelo de un solo elemento finito. La solución es obtenida usando la teor´ıa de la mecánica de materiales. Luego, modelamos el cilindro de sección transversal linealmente– variable mediante dos barras uniformes en serie, como se muestra en la Figura 1.3(c). En el modelo de dos elementos, cada uno de ellos es de longitud igual a la mitad de la longitud total del cilindro original y tienen un área de sección transversal igual al área media de la correspondiente mitad de longitud del cuerpo sólido original; las cuales puede obtenerse en base a la ecuación: r(x) = r0− (x/L)(r0− rL), que

describe la variación del radio con respecto a la ubicación según dirección axial para el cuerpo tronco– cónico original. El proceso de refinamiento de la malla se continúa, elaborando un modelo de cuatro elementos como se ve en la Figura 1.3(d), y as´ı sucesivamente. En el modelo de cuatro elementos, la longitud de los mismos es la cuarta parte de la longitud del cuerpo original y su sección transversal

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tiene área idéntica al área media del pedazo correspondiente del objeto cil´ındrico tronco–cónico, como se vé en la Figura recién mencionada. En todos los modelos presentados en la Figura 1.3, en trazo punteado mostramos el objeto sólido cil´ındrico tronco–cónico original.

Para este problema simple, el desplazamiento del extremo inferior del cilindro δ(x = L) para cada uno de los modelos de elementos finitos es como se muestra en la Figura 1.4(a), dónde la l´ınea sólida representa la solución exacta (conocida). La convergencia de las soluciones de elemento finito hacia la solución exacta se indica claramente en la gráfica mencionada mediante una l´ınea curva segmentada.

Solución exacta Número de elementos 0 1 2 3 4 5 ( x   L )

(a) Convergencia seg´un el n´umero de elementos

0 0.25 0.5 0.75 1.0 x/L  ( x / L ) Solución exacta Solución aproximada (cuatro elementos)

(b) Comparaci´on de soluciones obtenidas

Figura 1.4: Prueba de convergencia del m´etodo de elemento finito

Por otra parte, si trazamos el desplazamiento como una función de la posición a lo largo de la longitud del cilindro, podemos observar la convergencia as´ı como también la naturaleza aproximada de las soluciones de elementos finitos. La Figura 1.4(b) muestra la solución exacta y la solución del des-plazamiento para el modelo de cuatro-elementos. En primer lugar, podemos notar que la variación del desplazamiento en cada elemento es una aproximación lineal a la verdadera solución no–lineal. La va-riación lineal en los sub–dominios es directamente atribuible al hecho que las funciones de interpolación para un elemento–barra son lineales. Segundo, notamos que cuando la malla es refinada, la solución del desplazamiento converge hacia la solución no–lineal en cada punto del dominio de definición del problema.

El párrafo anterior discutió la convergencia del desplazamiento del extremo del cilindro tronco–c´ oni-co. Como se verá en el Cap´ıtulo 2, el desplazamiento es la variable de campo primaria en los problemas estructurales. En la mayor´ıa de los problemas, sin embargo, estamos interesados principalmente en las tensiones inducidas por las cargas especificadas. Las tensiones deben ser calculadas a través de las rela-ciones tensión–deformación apropiadas (ley de Hocke generalizada), y las componentes de deformación unitaria se obtienen de la solución del campo de desplazamientos. De aqu´ı, tensiones y deformaciones se refieren, por guardar esta dependencia, como variables derivadas.

Por ejemplo, si trazamos la variación teórica de las tensiones internas para el ejemplo del cuerpo ci´ındrico tronco–cónico recién citado, obtenida desde la solución exácta, como también las soluciones de elemento finito para los modelos de dos y cuatro elementos como se muestra en la Figura 1.5 (donde σ0 = P/A0), observamos que las tensiones son constantes en el interior de cada elemento y

representan una solución discontinua del problema por lo que se refiere a las tensiones y deformaciones. También notamos que, a medida que aumenta el número de los elementos en el modelo, los saltos de las discontinuidades en la tensión interna disminuyen en su magnitud. Este fenómeno es caracter´ıstico del método de elemento finito. La formulación del método de elemento finito para un problema dado es tal que la variable de campo primaria es continua de elemento al elemento adyascente, pero las variables derivadas (como la tensión interna, por ejemplo) no necesariamente poseen continuidad. En

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el proceso l´ımite de refinamiento de la malla, las variables derivadas se ponen cada vez m´as cercanas al estado de continuidad si el n´umero de elementos de la malla se incrementa.

0 0.25 0.5 0.75 1.0 x/L 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 0 Solución exacta Dos elementos Cuatro elementos 

Figura 1.5: Comparaci´on de soluciones para la tensi´on interna

Nuestro ejemplo muestra cómo la solución de elemento finito converge a la solución exacta conocida (la exactitud de la solución en este caso es aquella marcada por la teor´ıa de la mecánica de los materiales). Si nosotros conocemos la solución exacta, no estar´ıamos aplicando el método de elemento finito !. As´ı, se plantea la interrogante: Cómo aseguramos nosotros la exactitud de una solución obtenida mediante el método de elemento finito para un problema con una solución teórica desconocida ?. La respuesta a esta pregunta no es simple. Si nosotros no tuviéramos la l´ınea sólida en la Figura 1.5 que representa la solución exacta, todav´ıa podr´ıamos discernir la convergencia hacia la solución. La convergencia de un método numérico (como el método de elemento finito) no está dada por ninguna convicción de que los medios utilizados indiquen que la convergencia es precisamente hacia la solución correcta (porque podr´ıa suceder que la aproximación sea hacia un valor erróneo). Una persona que usa la técnica de análisis de elemento finito, debe examinar la solución muy metódicamente por lo que se refiere a: (1) la convergencia numérica, (2) la racionalidad (el resultado obtenido, tiene sentido f´ısico ?), (3) si las leyes f´ısicas del problema están satisfechas (La estructura está en equilibrio ? Existe balance entre el calor de entrada y el calor de salida ?), y (4) si los valores de las discontinuidades de las variables derivadas en los l´ımites inter–elementos son razonables. Deben proponerse muchas de tales preguntas y deben examinarse prioritariamente las respuestas antes de aceptar los resultados de un análisis de elemento finito como representativos de una solución correcta y útil para los propósitos del diseño.

1.2.2. El m´

etodo de diferencias finitas

El método de diferencias finitas es otra técnica numérica frecuentemente usada para obtener solu-ciones aproximadas de problemas gobernados por ecuasolu-ciones diferenciales. Se discuten detalles de la técnica en el Cap´ıtulo 7, en el contexto de trasmisión de calor transitorio (variable en el tiempo). El método también se ilustra en el Cap´ıtulo 10 para el análisis dinámico transitorio de estructuras. Aqu´ı, presentamos los conceptos básicos del método de diferencias finitas por propósitos de comparación con el método de elemento finito.

El método de diferencias finitas está basado en la definición de la derivada de una función cualquiera f (x), esto es

df (x)

dx = l´ım∆x→0

f (x + ∆x) − f (x)

(26)

donde x es la variable independiente. En el método de diferencias finitas, como su nombre implica, las derivadas son calculadas mediante la Ecuación (1.2) usando pequeños, pero finitos, valores del incremento de la variable independiente ∆x para obtener

df (x)

dx ≈

f (x + ∆x) − f (x)

∆x (1.3)

Una ecuaci´on diferencial tal como df

dx+ x = 0 0 ≤ x ≤ 1

es expresada como

f (x + ∆x) − f (x)

∆x + x = 0

según el método de diferencias finitas. Esta ecuación puede ser re–escrita de la manera siguiente

f (x + ∆x) = f (x) − x∆x (1.4)

donde debemos advertir que la igualdad debe ser tomada como “aproximadamente igual ”. De la teor´ıa de ecuaciones diferenciales, nosotros sabemos que la solución de una ecuación diferencial de primer– orden contiene una constante de integración. La constante de integración debe ser determinada de modo que una condición pre–establecida (una condición l´ımite o una condición inicial) sea satisfecha. En el actual ejemplo, asumiremos que la condición especificada es x(0) = A (cte). Si escogemos un paso de integración ∆x que sea un valor constante y pequeño (no se exige que el paso de integración sea necesariamente constante), entonces podemos escribir

xi+1= xi+ ∆x i = 0, 1, . . . , N (1.5)

donde N es el número total de pasos requeridos para cubrir el dominio de definición de la variable independiente. La Ecuación (1.4) entonces puede escribirse como

fi+1= fi− xi∆x f0= A i = 0, 1, . . . , N (1.6)

La Ecuación (1.6) es conocida como una relación de recurrencia y provee una aproximación al valor de la función desconocida f (x) en un número determinado de puntos discretos en el dominio del problema. Para ilustrar este método alternativo, la Figura 1.6 muestra la solución exacta f (x) = 1 − x2_{/2 , y}

una solución de diferencias finitas obtenida con ∆x = 0,1 y considerando como valor de la constante f0= A = 1. La solución de diferencias finitas sólo es mostrada en los puntos discretos de evaluación

de la función. La manera de variación de la función entre los puntos calculados no es conocida en el método de diferencias finitas; pero, mostramos una curva de ajuste en trazo segmentado que pasa a través de los puntos calculados. Uno puede, sin embargo, interpolar linealmente los valores hallados para producir una aproximación a la curva de la solución exacta; pero, la manera de efectuar este proceso de interpolación no es algo relevante, ni de determinación “a priori ” en el método de diferencias finitas.

Para contrastar el método de diferencias finitas con el método de elemento finito, notamos que, en el método de elemento finito, la variación de la variable de campo en el dominio f´ısico es una parte in-tegral del procedimiento. Es decir, basados en las funciones de interpolación seleccionadas, la variación de la variable de campo a lo largo de un elemento finito se especifica como una parte integral de la formulación del problema. En el método de diferencias finitas, éste no es el caso: La variable de campo se computa sólo en puntos especificados. La ramificación mayor de este contraste es que las derivadas (hasta un cierto nivel) pueden evaluarse en el procedimiento de elemento finito, considerando que en contraposición el método de diferencias finitas sólo proporciona datos en la propia variable (y nó en cantidades que provengan de ella). En un problema estructural por ejemplo, ambos métodos propor-cionan las soluciones del desplazamiento, pero la solución de elemento finito puede usarse para calcular

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1.3. PROCEDIMIENTO GENERAL 9 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x f ( x) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Solución exacta Solución mediante diferencia finitas

Figura 1.6: Comparaci´on de soluciones

las componentes de tensión directamente (en términos de la primera derivada). Para obtener datos de tensión en el método de diferencias finitas se requieren consideraciones adicionales no inherentes al modelo matemático mismo.

Hay también ciertas similitudes entre los dos métodos. Los puntos de integración en el método de diferencias finitas son análogos a los nodos en un modelo de elemento finito. La variable de interés se evalúa expl´ıcitamente en dichos puntos. También, como el paso de integración (el tamaño del paso) en el método de diferencias finitas es muy reducido si se desea un grado aceptable de exactitud, se espera que la solución obtenida por éste método tenga convergencia hacia la solución exacta. Esto es similar a la convergencia esperada de una solución de elemento finito del modo en el que la malla de elementos es refinada. En ambos casos, el refinamiento representa la reducción del modelo matemático desde términos finitos hasta infinitesimales. Y en ambos casos, las ecuaciones diferenciales son reducidas a ecuaciones algebráicas.

Probablemente la manera más descriptiva de contrastar los dos métodos es notar que el método de diferencias finitas modela la ecuacion diferencial del problema y usa la integración numérica para obte-ner la solución en los puntos de discretización. El método de elemento finito modela el dominio entero del problema y usa principios f´ısicos conocidos para desarrollar ecuaciones algebráicas que describen las soluciones aproximadas. As´ı, el método de diferencias finitas modela las ecuaciones diferenciales gobernantes del fenómeno en estudio, mientras que el método de elemento finito puede decirse que modela el problema f´ısico más estrechamente desde el principio. Como se observará en el resto de este texto, hay casos en que una combinación de los métodos de elemento finito y diferencias finitas es muy ´

util y eficaz para obtener soluciones a los problemas que plantea la ingenier´ıa, particularmente donde los efectos din´amicos (transitorios) son importantes.

1.3. Procedimiento general

Ciertos pasos en la formulación de un análisis de elemento finito de un problema f´ısico son comunes a todos los análisis de caracter´ıstica discreta, sea éste estructural, transmisión de calor, flujo fluido, o algún otro problema. Estos pasos son incluidos en los paquetes comerciales de elemento finito (algunos se mencionan en los párrafos siguientes) y son impl´ıcitamente incorporados en este texto, aunque nosotros no necesariamente nos referiremos expl´ıcitamente a estos pasos en los cap´ıtulos siguientes. Los pasos se describen como sigue:

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1.3.1. Pre–procesamiento

El paso de pre–procesamiento es, muy generalmente, descrito como el proceso de definir al modelo e incluye las siguientes acciones a ejecutar:

Definir el dominio geom´etrico del problema.

Definir el tipo del elemento a ser utilizado (v´ease el Cap´ıtulo 6). Definir las propiedades materiales de los elementos.

Definir las propiedades geom´etricas de los elementos (la longitud, el ´area, etc). Definir las conectividades de los elementos (el modelo de la malla).

Definir las restricciones f´ısicas (condiciones de borde l´ımite). Definir la solicitaci´on o perturbaci´on externa.

El paso de pre–procesamiento (la definición del modelo) es realmente cr´ıtico. En ningún caso es más apropiado el ejemplo del axioma relacionado con los procesos relacionados con el uso de la computadora “basura entrante, resulta en basura saliente”. Una solución de elemento finito perfectamente calculada numéricamente no posee absolutamente ningún valor si corresponde a un pésimo proceso de modelado, o a un problema erróneamente planteado.

1.3.2. Procesamiento o Soluci´

on

Durante la fase de solución, el software de elemento finito ensambla las ecuaciones algebráicas gobernantes en forma matricial y calcula los valores desconocidos de las variables primarias del campo involucrado en el problema. Los valores computados se usan luego por substitución regresiva para evaluar las variables adicionales, derivadas o secundarias, como las fuerzas de reacción, tensiones de elemento, flujo de calor, velocidades y aceleraciones de movimiento, etc.

Como no es raro para el modelo de elemento finito el ser representado por miles de ecuaciones en un problema ampuloso, se usan técnicas especiales de solución para reducir los requisitos del alma-cenamiento de datos y el tiempo de cómputo. Para problemas lineales, que presenta por ejemplo la estática, tenemos un algoritmo muy eficiente que está basado en un procedimiento de eliminación de Gauss (véase el Apéndice C), que normalmente se usa. Aunque una discusión completa de los varios algoritmos de solución está fuera del alcance de este texto, el lector interesado encontrará una dis-cusión completa en cualquier libro avanzado del método de elemento finito (por ejemplo, recomiendo consultar el libro de K.J. Bathe [27]).

1.3.3. Post–procesamiento

El análisis y la evaluación de los resultados de la solución es denominado como post–procesamiento. El software asociado a este proceso importante del método de elemento finito contiene rutinas sofisti-cadas usadas para ordenar, imprimir, y trazar los resultados seleccionados de una solución que haya sido obtenida. Los ejemplos de operaciones que puede lograrse en esta fase incluyen

Clasificar las tensiones internas de elemento en orden de magnitud. Verificar el equilibrio est´atico estructural.

Calcular factores de seguridad de dise˜no. Bosquejar la deformaci´on estructural producida.

Producir esquemas din´amicos de la respuesta del modelo.

Producir gr´aficas de color–codificado para el campo de temperaturas.

Puesto que los datos de la solución pueden manipularse de muchas maneras en la fase final de post–procesamiento, el objetivo más importante es aplicar de modo leg´ıtimo el juicio de ingenier´ıa con el objetivo de determinar las condiciones bajo las cuales los resultados de la solución obtenida son f´ısicamente razonables.

(29)

1.4. BREVE HISTORIA DEL M ´ETODO DE ELEMENTO FINITO 11

1.4. Breve historia del m´

etodo de elemento finito

Las ra´ıces matemáticas del método de elemento finito se remontan hacia atrás por lo menos hacia mediados del siglo pasado. Los métodos aproximados para resolver ecuaciones diferenciales que usan soluciones de ensayo son aún más antigüos en origen. Lord Rayleigh [49] y Ritz [55] usaron las funciones de ensayo (en nuestro contexto, funciones de interpolación) para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales. Galerkin [19] usó el mismo concepto para la solución. La desventaja en todos los proce-dimientos más primigenios, comparados al método de elemento finito moderno, son que las funciones de ensayo deben aplicarse sobre el dominio entero del problema de interés. Mientras que el método de Galerkin provee una base muy fuerte para el método de elemento finito (véase el Cap´ıtulo 5). No fué hasta los años cuarenta del siglo anterior, cuando Courant [44] introdujo el concepto de funciones continuas–por–tramos en un sub–dominios, lo cual hizo que el elemento finito tenga su partida de nacimiento e impulso inicial de desarrollo real.

Hacia finales de 1940, ingenieros aeronáuticos estaban tratando con la invención del motor de reacción y las necesidades para efectuar análisis más sofisticados de estructuras del armazón de los aeroplanos para que resista cargas más grandes asociadas con las velocidades más elevadas. Estos ingenieros, sin el beneficio del uso de computadoras modernas, desarrollaron los métodos matriciales de análisis de fuerzas, colectivamente conocidos como el método de flexibilidad, en el que las variables desconocidas son las fuerzas y las variables conocidas son los desplazamientos. El método de elemento finito, en su forma más a menudo usada, corresponde al método de desplazamientos en el que las variables desconocidas son los desplazamientos del sistema en respuesta a los conjuntos de fuerza aplicados. En este texto, nosotros nos adherimos exclusivamente al método de desplazamiento. Como se verá a medida que avancemos en el desarollo teórico, el término desplazamiento es bastante general en el método del elemento finito y puede representar al desplazamiento f´ısico, la temperatura, o la velocidad de un fluido, por ejemplo. El término “elemento finito” fué usado por primera vez por Clough [54] hacia fines del año 1960, en el contexto del análisis plano de tensiones y ha estado en uso común desde esa época.

Durante las décadas de 1960 y 1970, el método de elemento finito fué extendido hacia las aplicaciones en la flexión de placas, pandeo de cáscaras, recipientes de presión, y los problemas tridimensionales generales en el análisis estructural elástico [33, 34] como también problemas de flujo fluido y trasmisión de calor [8, 17]. También ocurrieron durante este per´ıodo de tiempo extensiones del método al estudio de las grandes deformaciones y el análisis dinámico [35, 50]. Una excelente historia del método de elemento finito y bibliograf´ıa detallada es dada por Noor [36].

El método de elemento finito es intensivo en su uso con computador, por la caracter´ıstica de requerir para su funcionamiento efectuar operaciones con matrices muy grandes. En los primeros años, se realizaron las aplicaciones usando los sistemas informáticos grandes que estaban disponibles en el momento, se consideraba que era un método muy poderoso y la herramienta de gran velocidad óptima para el uso en el análisis y diseño en ingenier´ıa.

Hacia mediados de los años 1960, el código de software de elemento finito NASTRAN [41] se desa-rrolló junto con el programa de exploración espacial de los Estados Unidos en la NASA. Reconociendo este hecho, NASTRAN fue el primer paquete de elemento finito capáz de abordar problemas de gran magnitud. Era, y todav´ıa es, capaz de manipular centenares de miles de grados de libertad asociados con el campo nodal de la variable de interés. Después del acontecimiento de la publicación de este pa-quete computacional, a lo largo de los años posteriores se han introducido muchos paquetes de software comerciales para el análisis de elemento finito. Entre éstos podemos mencionar a: ANSYS [5], ALGOR [3], COSMOS/M [4]; SIMULIA–ABAQUS [2]; y LISA [38]; como simplemente una pequeña muestra. En el ambiente computacional de hoy, la mayor´ıa de éstos paquetes pueden usarse en computadoras de escritorio, portátiles y en las máquinas en estaciones de trabajo en empresas consultoras para ob-tener soluciones a problemas grandes en la estática y el análisis estructural dinámico, transferencia de calor, flujo fluido, electromagnetismo, y respuesta s´ısmica de edificaciones, como algunos ejemplos de aplicación del método.