Ejercicios de Algebra Lineal (Tema 2)

Ejercicios de Algebra Lineal (Tema 2)

1. Hallar todas las soluciones simultneas de los sistemas de ecuaciones lineales.  8 < : x1+ 2x2 x3 = 3 3x1+ 7x2+ 2x3 1 4x1 2x2+ x3 2   x1 2x2= 3 3x1 x2= 14  8 < : x1 3x2+ x3 = 2 3x1 8x2+ 2x3 = 5 3x1 7x2+ x3 = 4  8 < : x1+ 4x2 2x3 = 4 2x1+ 7x2 x3 = 2 2x1+ 9x2 7x3 = 1  8 < : x1 2x3+ x4 = 6 2x1 x2+ x3 3x4 = 0 9x1 3x2 x3 7x4 = 4   x1 3x2+ 2x3 x4 = 8 3x1 7x2+ x4 = 0  8 > > < > > : x1 3x2+ x3+ 2x4 = 2 x1 2x2+ 2x3+ 4x4 = 1 2x1 8x2 x3 = 3 3x1 9x2+ 4x3 = 7   x1+ 2x2 3x3+ x4 = 2 3x1+ 6x2 8x3 2x4 = 1 Solucion

2. Hallar todos los posibles valores de las incognitas para que las ecuaciones sean validas.  4 (x1; x2) + 2 (x1; 3) = ( 6; 18)  (x1; x2; x3) 2 4 2_{3 0}1 1 4 3 5 = (5; 1)  (x1; x2) :  3 1 2 4  = (0; 14)  (x1; x2) :  1 3  = (2).   x1 x2 x3 x4  :  1 1 1 0  =  0 1 3 1    1 5 3 2   x1 x2  =  13 5    x1 x2 x3 x4   3 5 2 3  =  1 0 0 1   (x1; x2) :  3 0 4 2 1 1  = (3; 3; 7).

Solucion

3. Sea A una matriz de n  n y sea B una matriz de 1  n . Se podra esperar que exista un vector X de 1  n unico, tal que XA = B? Porque?

4. Sea A = 2

4 1_{1 1 2}0 1 2 1 1

3

5 una matriz de 3  3. Seleccione, convenientemente, un vector b 6= 0, tal que, un sistema de la forma AX = b tenga solucion.

5. Encuentre condiciones para a; b; c y d de forma que el sistema de ecuaciones  ax + by = c bx + dy = d  No tenga solucion.  Tenga soluciones. Solucion

6. Dado el sistema de ecuaciones lineales 

ax + by = 0

cx + dy = 0 . Demuestre que: si x = x0, y = y0; x = x1,

y = y1son soluciones simultaneas del sistema dado, entonces x = x0+ x1, y = y0+ y1 son tambien

solucion del sistema. Solucion

7. En un sistema de ecuaciones lineales de la forma AX = B, con n ecuaciones lineales y n incognitas, consistente y con todos los elementos de A y de B reales, Debe X tener tambien solo elementos reales?

Solucion

8. En un sistema de ecuaciones lineales de la forma AX = B, con n ecuaciones lineales y n incognitas, consistente y con todos los elementos de A y de B complejos de parte imaginaria distinta de cero, Debe X tener tambien solo elementos complejos de parte imaginaria distinta de cero?

Solucion

9. Dado un sistema de ecuaciones lineales que tiene una sola solucion. Es posible a~nadir otra ecuacion de tal manera que el sistema que resulte no tenga soluciones simultaneas o tenga mas de una solucion simultanea?

Solucion

10. Dado un sistema de ecuaciones lineales que tiene mas de una sola solucion. Es posible a~nadir otra ecuacion de tal manera que el sistema que resulte no tenga soluciones simultaneas?

Solucion

11. Diga que condiciones deben satisfacer los bipara que el sistema de ecuaciones dado sea consistente.

 8 < : x1 x2+ 3x3 = 3x1 3x2+ 9x3 = 2x1+ 2x2 6x3 = b1 b2 b3  8 < : x1+ x2+ 2x3 = 3x1+ x2+ 4x3 = 2x + x + 3x = b1 b2 b

 8 > > < > > : 2x1+ 3x2 x3+ x4 = b1 x1+ 5x2+ x3 2x4 = b2 2x1+ 3x2 x3+ x4 = b3 3x1+ x2 3x3+ 4x4 = b4 Solucion

12. Determine los valores que toma el parametro  para que el sistema de ecuaciones tenga: i) ninguna solucion

ii) solucion nica iii) innitas soluciones

 8 < : x1+ x2 x3 = 2 2x1+ 3x2 = 5 2x1+ 2x2+ (2 6)x3 =  + 2 .   x1+ (2 8)x2 = 3 x1+ (2 8)x2 =  .  8 < : x1+ x2+ x3 = 2 x1+ 3x2+ 2x3 = 5 x1+ 2x2+ (2 2)x3 =  2  8 < : x1+ x2+ x3 = 2 2x1+ 5x2+ 2x3 = 7 x1+ x2+ (2 5)x3 =  Solucion

13. Cuales de los siguientes sistemas de ecuaciones homogneos tienen solucin no trivial?  8 < : x1+ 2x2+ 3x3 = 2x2+ 2x3 = x1+ 2x2+ 3x3 = 0 0 0 .  8 < : 2x1+ x2 x3 = x1 2x2 3x3 = 3x1 x2+ 2x3 = 0 0 0 .  8 < : 3x1+ x2+ 3x3 = 2x1+ 2x2 4x3 = 2x1 3x2+ 5x3 = 0 0 0 . Solucion

14. Estudie las soluciones del sistema para que:

i) si el valor de  es tal que el grado de dependencia del sistema sea igual a cero, calcule la solucion en terminos de ;

ii) el sistema no tenga solucion, halle 

iii) el sistema se resuelve mediante un parametro, halle el valor de .  8 < : x1+ x2+ (1 )x3=  + 2 (1 + )x1 x2+ 2x3= 0 2x1 x2+ 3x3=  + 2

 8 < : 2x1+ (1 + )x2+ 2x3= 3 2x1+ 3x2+ x3= 3 x1+ x2+ 3x3= 2  8 < : x1 3x3 = 3 2x1+ x2 x3= 2 x1+ 2x2+ x3= 1  8 > > < > > : x1 2x2+ x3+ x4= 2 3x1+ ( 5)x2+ 2x3 2x4= 6 ( 1)x1+ 4x2 x3 x4= 2 5x1+ ( 9)x2+ 3x3 x4= 0 Solucion

15. Para que valores de  el sistema de ecuaciones homogeneo, 8 < : 2x1 3x2+ 7x3= 0 x1 7x2+ x3= 0 4x1 19x2+ x3= 0 tiene soluciones distintas a la trivial?

Solucion

16. Suponga que la matriz A se reduce por las en la matriz R: A = 2 4 1₂2 1 _{1 8} fila3 3 5 Y R = 2 4 1 2 0 3_{0 0 1 2} 0 0 0 0 3 5.

Que puede usted decir de la la 3 de A? Que son los numeros  y ? Solucion

17. Una farmacia vende 100 unidades de vitamina A, 50 unidades de vitamina C y 25 unidades de vitamina D por un total de Bs. 37.625,00; 200 unidades de vitamina A, 100 unidades de vitamina C y 100 unidades de vitamina D por Bs. 96.750,00; 500 unidades de vitamina A, 80 unidades de vitamina C y 50 unidades de vitamina D por Bs.137.600,00. Encuentre el costo por unidad de cada una de las vitaminas vendidas.

Solucion

18. Cada renglon de la tabla

Tama~no Cantidad de columnas

pivote

3 x 5 3

4 x 4 4

4 x 4 3

5 x 3 3

indica el tama~no y la cantidad de columnas pivote de la matriz aumentada de algun sistema de ecuaciones lineales. Que puede decirse de las soluciones del sistema?

Solucion

19. Una compaa de transporte tiene tres tipos distintos de camiones A, B y C. Los camiones estan equipados para transportar dos clases de maquinaria. El numero de maquinas que puede transportar cada camion viene dado por:

CAMIONES

Mquinas A B C

Clase 1 2 1 1

Clase 2 0 1 2

La compa~na consigue una orden para transportar 32 maquinas de la clase 1 y 10 maquinas de la clase 2. Encuentre el numero de camiones de cada tipo a ser utilizado para transportar exactamente la cantidad de maquinas de cada clase, al costo mas economico para el cliente, si operar cada camion tiene el mismo costo para la compa~na.

Solucion

20. Un carpintero fabrica sillas, mesas de centro y mesas de comedor. Se necesitan 10 minutos para lijar una silla, 6 para echarle sellador y 12 para laquearla. Para una mesa de de centro, se requieren 12 minutos para lijarla, 8 para echarle sellador y 12 para laquearla. Y, para la mesa de comedor se necesitan 15 minutos para lijarla, 12 para echarle sellador y 18 para laquearla. El taller de lijado esta disponible solo 16 horas a la semana, el de sellado 11 horas y el de barnizado 18 horas. Cuntas unidades de cada mueble deben fabricarse por semana de modo que el taller se utilice en toda su capacidad?

Solucion

21. Determine una matriz X de 4  1 cuyas entradas no sean todas nulas, tal que AX = X, donde: A = 2 6 6 4 1 2 1 3 1 0 1 2 4 4 5 8 5 3 4 0 3 7 7 5 Solucion 22. Sea A = 2 6 6 4 1 0 1 2 1 1 2 1 2 0 4 6 0 3 3 3 3 7 7

5 una matriz 4  4, seleccione convenientemente una matriz B, tal que, un sistema de la forma AX = B tenga solucion.