Modelos de ecuaciones simult ´aneas

(1)

Modelos de ecuaciones simult ´aneas

Rom án Salmer ón G ómez

Grado en Econom´ıa

(2)

Contenidos

Introducci ´on

Modelos de Ecuaciones simult ´aneas:

especificaci ´on e identificaci ´on

Estimaci ´on por m´ınimos cuadrados indirectos y biet ´apicos

Introducci ´on

Modelos de Ecuaciones simult áneas: especificaci ón e identificaci ón Estimaci ón por m´ınimos cuadrados indirectos y biet ápicos

(3)

Introducci ´ on

Contenidos Introducci ´on

(4)

Introducci ´ on

Contenidos

Introducci ´on

Consideremos el siguiente modelo econ ´omico multiecuacional:

Modelo 1:

P = f (V, HD, S), V = f (P, RAM ),

donde, en primer lugar, se pretende explicar el precio de un ordenador port ´atil,

P

, a partir de su velocidad,

V

, el tama ˜no del disco duro,

HD

, y el tama ˜no de la pantalla,

S

; y, en segundo lugar, la velocidad del port ´atil a partir de su precio y tama ˜no de la memoria RAM,

RAM

^.

Especificando que la relaci ón es lineal, aleatoria y que no hay t érmino constante, se tiene el siguiente modelo econom étrico multiecuacional:

P

_i

= α

₁

· V

_i

+ α

₂

· HD

_i

+ α

₃

· S

_i

+ u

_1i

,

(1)

V

_i

= β

₁

· P

_i

+ β

₂

· RAM

_i

+ u

_2i

.

⁽²⁾

Sustituyendo la segunda ecuaci ´on en la primera se obtiene:

P

_i

= α

₂

1 − α

₁

· β

₁

· HD

_i

+ α

₃

1 − α

₁

· β

₁

· S

_i

+ α

₁

· β

₂

1 − α

₁

· β

₁

· RAM

_i

+ α

₁

· u

_2i

+ u

_1i

,

(5)

Introducci ´ on

Contenidos

Introducci ´on

mientras que sustituyendo la primera en la segunda:

V

_i

= β

₁

· α

₂

1 − α

₁

· β

₁

· HD

_i

+ β

₁

· α

₃

1 − α

₁

· β

₁

· S

_i

+ β

₂

1 − α

₁

· β

₁

· RAM

_i

+ β

₁

· u

_1i

+ u

_2i

1 − α

₁

· β

₁

.

⁽⁴⁾

Advi ´ertase que se ha de verificar que

α

₁

· β

₁

6= 1

^.

En ambos casos se obtiene que

P

_i ^y

V

_i dependen tanto de

u

_1i ^{como de}

u

_2i^{, lo}

cual implica que si se estima de forma individual los modelos (1) y (2) por m´ınimos cuadrados ordinarios se estar´ıa incumpliendo el principio de exogeneidad ya que a) en la ecuaci ´on (1) se tiene que

V

_i est ´a relacionado con

u

_1i y b) en la ecuaci ´on (2) se tiene que

P

_i est ´a relacionado con

u

_2i^.

Si la estimaci ón de dichas ecuaciones por MCO no es adecuada, ¿c ómo se podr´ıan estimar dichas ecuaciones de manera m ás eficiente?

(6)

Modelos de Ecuaciones simult ´aneas:

especificaci ´ on e identificaci ´ on

Contenidos

Introducci ´on

Conceptos iniciales Forma estructural y reducida

Identificaci ´on

¿Por qu ´e la

identificaci ´on es un problema?

Identificaci ´on con restricciones de nulidad

Identificaci ´on con restricciones de linealidad

(7)

Conceptos iniciales

Contenidos

Introducci ´on

Identificaci ´on

¿Por qu ´e la

En los estudios de modelos econom ´etricos realizados hasta este momento se presentan relaciones entre las variables explicativas, normalmente denotadas por

X

, y explicativas,

Y

, en una única direcci ón. M ás concretamente, de

X

^hacia

Y

^.

Sin embargo, existen situaciones en las que se presenta una influencia en los dos sentidos entre las distintas variables, es decir, una variable que act úa como explicativa en una ecuaci ón puede hacerlo como explicada en otra. Por tanto, b ásicamente, la diferencia entre un modelo de ecuaciones simult áneas y otro de regresi ón consiste en que haya variables explicadas en el segundo miembro de alguna de las ecuaciones.

Se establece entonces la siguiente clasificaci ´on de variables:

Variables end ´ogenas, que son aquellas variables que vienen explicadas den- tro del modelo y que podr ´an aparecer como explicativas,

Variables predeterminadas, que son aquellas cuyos valores deben ser pre- viamente conocidos para determinar el valor de las variables end ógenas (y por tanto, aparecen como explicativas). Se clasifican en ex ógenas corrientes, ex ógenas retardadas y end ógenas retardadas.

Es decir, las variables end ´ogenas son aquellas cuyos valores corrientes (referidos al momento actual t) son explicados por el modelo.

(8)

Conceptos iniciales

Contenidos

Introducci ´on

Identificaci ´on

¿Por qu ´e la

Por otro lado, las variables predeterminadas son aquellas cuyos valores o bien est án determinados por el comportamiento pasado del modelo (end ógenas retardadas y ex ógenas retardadas) o se fijan fuera del modelo en el momento actual (ex ógenas corrientes). Por tanto, las variables ex ógenas son las predeterminadas que no son end ógenas.

Consideremos el siguiente modelo de ecuaciones simult ´aneas (Ejemplo 1):

C

_t

= α

₀

+ α

₁

Y

_t

+ u

t

,

I

_t

= β

₀

+ β

₁

Y

_t

+ β

₂

Y

_t−1

+ v

t

, Y

_t

= C

t

+ I

t

+ G

t

,

donde

C

es el consumo privado,

Y

la demanda agregada,

I

la inversi ´on y

G

^el

gasto p ´ublico.

En este modelo,

C

_t^,

I

_t ^e

Y

_t son variables end ´ogenas (que a su vez aparecen tambi ´en como explicativas) y

G

_t ^e

Y

_t−₁ son variables predeterminadas, la primera ex ´ogena corriente y la segunda end ´ogena retardada.

¿Cu ál ser´ıa la clasificaci ón de las variables presentes en el modelo de ecuaciones simult áneas constituido por las ecuaciones (1) y (2)?

(9)

Forma estructural y reducida

Contenidos

Introducci ´on

Identificaci ´on

¿Por qu ´e la

Escribiendo todas las variables de las ecuaciones (1) y (2) en un ´unico miembro se obtiene la forma estructural del sistema de ecuaciones simult ´aneas:

−P

_i

+ α

₁

· V

_i

+ α

₂

· HD

_i

+ α

₃

· S

_i

+ u

_1i

= 0,

−V

_i

+ β

₁

· P

_i

+ β

₂

· RAM

_i

+ u

_2i

= 0,

mientras que la forma reducida consiste en expresar las variables ´endogenas en funci ´on de las predeterminadas, es decir, lo obtenido en las ecuaciones (3) y (4).

Para

g

variables end ógenas (advi értase que hay tantas ecuaciones en el modelo como variables end ógenas) y

k

variables predeterminadas, denotando como

y

^,

x

^y

u

a los vectores columna formados por las variables end ´ogenas, predeterminadas y perturbaciones, respectivamente, se tiene la forma estructural se puede expresar como:

y

^t

· Γ + x

^t

· B + u

^t

= 0

^t

,

donde

0

es un vector de ceros de dimensiones adecuadas. La forma reducida se expresar ´a como:

y

^t

= x

^t

· Π + v

^t

,

verific ´andose que

Π = −B · Γ

⁻¹ ^y

v

^t

= −u

^t

· Γ

⁻¹^.

(10)

Forma estructural y reducida

Contenidos

Introducci ´on

Identificaci ´on

¿Por qu ´e la

La forma estructural del sistema de ecuaciones simult ´aneas formado por las ecuaciones (1) y (2) viene dado por:

y

^t

= (P

_i

, V

_i

), Γ =

−1 β

₁

α

₁

−1

,

x

^t

= (HD

i

, S

_i

, RAM

_i

), B =





α

₂

0 α

₃

0 0 β

₂



 .

Advi ´ertase que

Γ

y

B

contiene (por columnas) los coeficientes de las variables end ´ogenas y predeterminadas, respectivamente.

La forma reducida se obtendr´ıa teniendo en cuenta que:

Γ

⁻¹

= 1

1 − α

₁

· β

₁

· −1 −β

₁

−α

₁

−1

.

En tal caso se obtendr´ıan las ecuaciones (3) y (4).

(11)

Forma estructural y reducida

Contenidos

Introducci ´on

Identificaci ´on

¿Por qu ´e la

T ´engase en cuenta que la forma reducida se puede expresar como:

P

_i

= γ

₁

· HD

_i

+ γ

₂

· S

_i

+ γ

₃

· RAM

_i

+ v

_1i

,

⁽⁵⁾

V

_i

= δ

₁

· HD

_i

+ δ

₂

· S

_i

+ δ

₃

· RAM

_i

+ v

_2i

,

⁽⁶⁾

donde no se incumple el principio de exogeneidad, por lo que ser´ıa l´ıcito su estimaci ón por MCO. Ahora bien, ¿la estimaci ón por MCO de las ecuaciones (5) y (6) ser´ıa útil para estimar los coeficientes de las ecuaciones iniciales (1) y (2)? Es decir, ¿la estimaci ón de la forma reducida puede ser útil para la estimaci ón de la forma estructural?

De forma intuitiva, una vez obtenidas las estimaciones de los coeficientes de las ecuaciones (5) y (6) y teniendo en cuenta la relaci ón de éstos con los de las ecuaciones (3) y (4) se puede establecer la siguiente identificaci ón:

α

₂

1 − α

₁

· β

₁

= bγ

¹

, α

₃

1 − α

₁

· β

₁

= bγ

²

, β

₂

· α

₁

1 − α

₁

· β

₁

= bγ

³

, α

₂

· β

₁

1 − α

₁

· β

₁

= b δ

₁

, α

₃

· β

₁

1 − α

₁

· β

₁

= b δ

₂

, β

₂

1 − α

₁

· β

₁

= b δ

₃

.

(12)

Forma estructural y reducida

Contenidos

Introducci ´on

Identificaci ´on

¿Por qu ´e la

Es decir, para obtener las estimaciones de los coeficientes de las ecuaciones (1) y (2) habr´ıa que resolver un sistema, dado por

Π b = −B · Γ

⁻¹, de 6 ecuaciones y 5 inc ´ognitas (

α

₁^,

α

₂^,

α

₃^,

β

₁ ^y

β

₂). Por tanto, se est á ante un sistema que no tiene por qu é tener soluci ón única.

Considerando, las siguientes modificaciones del sistema de ecuaciones simult ´aneas inicial:

Modelo 2:

P = f (V, HD, S), V = f (P, HD, RAM ),

Modelo 3:

P = f (V, HD, S, RAM ), V = f (P, HD, RAM ),

¿es posible obtener las estimaciones de los coeficientes de la forma estructural a partir de las estimaciones de la forma reducida?

¿Es eficiente tener que resolver cada vez el sistema

Π b = −B · Γ

⁻¹^{? ¿Qu ´e}

ocurre en aquellos casos d ónde no hay soluci ón? ¿O con los que hay m ás de una? ¿Con cu ál quedarse?

(13)

Identificaci ´ on

Contenidos

Introducci ´on

Identificaci ´on

¿Por qu ´e la

La identificaci ón de un modelo de ecuaciones simult áneas consiste en la posibi- lidad o imposibilidad de obtener una estimaci ón de los coeficientes de la forma estructural a partir de la estimaci ón de los coeficientes de la forma reducida. Es decir, ¿a partir de

Π b

se puede obtener

Γ b

y

B b

?

Como se ha visto con anterioridad, esto se puede abordar resolviendo el sistema de ecuaciones

Π b = −B · Γ

⁻¹, de manera que pueden darse las siguientes situaciones.

Una ecuaci ón de la forma estructural se dice que est á identificada si, y solamente si, todos sus par ámetros pueden obtenerse a partir de las estimaciones de la forma reducida. Ahora bien, hay dos casos de identificaci ón:

Una ecuaci ón de la forma estructural est á exactamente identificada si existe una única forma de obtener sus par ámetros a partir de la forma reducida.

Una ecuaci ón de la forma estructural est á sobreidentificada cuando se dispone de m ás de un conjunto de estimaciones para uno o m ás par ámetros.

Finalmente, el sistema ser ´a identificado en su conjunto si lo est ´an todas y cada una de las ecuaciones del mismo.

(14)

Identificaci ´ on

Contenidos

Introducci ´on

Identificaci ´on

¿Por qu ´e la

Por otro lado, en el caso en el que no sea posible obtener una estimaci ón de los par ámetros de la forma estructural a partir de los de la estimaci ón de la forma reducida, se dir á que dicha ecuaci ón est á subidentificada. Y en tal caso, el modelo estar á subidentificado.

Tras lo expuesto hasta el momento surgen las siguientes cuestiones que ser ´an abordadas a continuaci ´on:

Tradicionalmente se referencia a la identificaci ón como el problema de la identificaci ón ya que no siempre es posible estimar los coeficientes de la forma estructural a partir de la estimaci ón de los coeficientes de la forma reducida.

¿Por qu ´e ocurre esto? ¿Por qu ´e unas veces s´ı y otras no?

¿Para clasificar el sistema de ecuaciones simult ´aneas en identificado o subidentificado hay que resolver siempre el sistema de ecuaciones

Π b =

−B · Γ

⁻¹? ¿Existen m étodos que faciliten la clasificaci ón de cada ecuaci ón del sistema de ecuaciones simult áneas?

(15)

¿Por qu ´e la identificaci ´ on es un problema?

Contenidos

Introducci ´on

Identificaci ´on

¿Por qu ´e la

Para analizar la identificabilidad de un sistema de ecuaciones simult áneas hace- mos un recuento de inc ógnitas para la relaci ón que liga la forma estructural con la forma reducida.

En la forma estructural los par ´ametros a estimar son ^g·(g+1)₂

+ k · g + (g

²

− g),

mientras que en la forma reducida los par ´ametros a estimar son ^g·(g+1)₂

+ k · g

. Por tanto, la diferencia entre el n úmero de par ámetros a estimar de la forma estructural y el n úmero de par ámetros a estimar en la forma reducida viene dado por

g · (g − 1)

^.

Como es evidente, necesitamos que la diferencia anterior sea cero, ya que en tal caso se tendr á el mismo n úmero de par ámetros a estimar en una forma como en la otra y entonces ser á posible obtener de forma única la estimaci ón de la forma estructural a partir de la reducida.

La manera m ás com ún de obtener informaci ón que haga que

g · (g − 1)

^sea

cero, es imponer restricciones de nulidad (es decir, que no aparezcan todas las variables end ógenas o predeterminadas, para lo cual sus correspondientes coeficientes han de ser cero) o de linealidad (es decir, que combinaciones lineales de los par ámetros a estimar sean nulas) sobre los par ámetros en estudio.

Por tanto, el problema de identificaci ´on radica en la cantidad de informaci ´on disponible sobre cada una de las ecuaciones.

(16)

Identificaci ´ on con restricciones de nulidad

Contenidos

Introducci ´on

Identificaci ´on

¿Por qu ´e la

Una regla general de identificaci ´on de una ecuaci ´on ser´ıa:

rg(A

h

) < g − 1 k − k

_h

< g

_h

− 1

=⇒

ecuaci ´on subidentificada

rg(A

h

) = g − 1 k − k

_h

= g

h

− 1

=⇒

ecuaci ´on exactamente identificada

rg(A

h

) = g − 1 k − k

_h

> g

_h

− 1

=⇒

ecuaci ´on sobreidentificada

donde

g

_h ^y

k

_h son, respectivamente, el n úmero de variables end ógenas y predeterminadas presentes en dicha ecuaci ón y

A

_h es la submatriz formada, sin m ´as que observar la matriz

A =

Γ B

, por los coeficientes de las variables end ógenas/predeterminadas de las restantes ecuaciones que acompa ñan a los coeficientes nulos de las variables end ógenas/predeterminadas de la ecuaci ón

h

en estudio.

(17)

Identificaci ´ on con restricciones de nulidad

Contenidos

Introducci ´on

Identificaci ´on

¿Por qu ´e la

Para el Modelo 1 se tiene que:

A =



 



−1 β

₁

α

₁

−1 α

₂

0 α

₃

0 0 β

₂



 

 ,

de forma que claramente

g = 2

^y

k = 3

. Entonces, observando los elementos no nulos de

A

, la primera ecuaci ´on es exactamente identificada ya que:

A

₁

= β

₂, por lo que

rg(A

₁

) = 1 = g − 1

^.

g

₁

= 2

^,

k

₁

= 2

, por lo que

k − k

₁

= 1 = g

₁

− 1

^.

Mientras que la segunda es sobreidentificada ya que:

A

₂

=

α

₂

α

₃

, por lo que

rg(A

₂

) = 1 = g − 1

^.

g

₂

= 2

^,

k

₂

= 1

, por lo que

k − k

₂

= 2 > 1 = g

₂

− 1

^.

Por tanto, el modelo es sobreidentificado.

(18)

Identificaci ´ on con restricciones de nulidad

Contenidos

Introducci ´on

Identificaci ´on

¿Por qu ´e la

Para el Modelo 2 se tiene que:

A =



 



−1 β

₁

α

₁

−1 α

₂

β

₂

α

₃

0 0 β

₃



 

 .

Se observa que en la primera ecuaci ón no hay cambios con respecto al caso anterior, por lo que su identificaci ón no va a cambiar. Por otro lado, se tiene que la segunda ecuaci ón es exactamente identificada ya que:

A

₂

= α

₃, por lo que

rg(A

₂

) = 1 = g − 1

^.

g

₂

= 2

^,

k

₂

= 2

, por lo que

k − k

₂

= 1 = g

₂

− 1

^.

Por tanto, el modelo es exactamente identificado.

¿Qu é ocurrir á en el Modelo 3? En este caso, compar ándolo con el Modelo 2, s ólo se modifica la primera ecuaci ón, por lo que la segunda sigue siendo exactamente identificada. En cuanto a la primera, puesto que no existe la matriz

A

₁ y

k −k

₁

=

3 − 3 = 0 < 1 = g

₁

− 1

se tiene que dicha ecuaci ´on, al igual que el sistema, es

(19)

Identificaci ´ on con restricciones de linealidad

Contenidos

Introducci ´on

Identificaci ´on

¿Por qu ´e la

Supongamos que las combinaciones o restricciones lineales entre los par ´ametros las podemos expresar de la siguiente forma:

(Φ

h

)

_rh×(g+k)

· (a

h

)

_(g+k)×1

= 0

rh×1

,

donde

Φ

_h es una matriz con tantas filas como restricciones,

r

_h, y columnas como par ´ametros tenga la ecuaci ´on

h

en estudio, y el vector

a

_h contiene todos los par ´ametros de dicha ecuaci ´on (columna

h

de la matriz

A

^).

En tal caso, si:

rg(Φ

h

A ) < g − 1 =⇒

la ecuaci ´on no es identificable.

rg(Φ

_h

A) = g − 1

^y

rg(Φ

_h

) = g − 1 =⇒

la ecuaci ´on es exactamente identificada.

rg(Φ

_h

A) = g − 1

^y

rg(Φ

_h

) > g − 1 =⇒

la ecuaci ´on es sobreidentificada.

(20)

Identificaci ´ on con restricciones de linealidad

Contenidos

Introducci ´on

Identificaci ´on

¿Por qu ´e la

En este caso, no existen restricciones de linealidad como tales en los Modelos 1, 2 y 3, si no que se han de considerar las restricciones de nulidad como casos particulares de restricciones de linealidad.

As´ı, para el Modelo 1 se tiene que la primera ecuaci ´on es exactamente identificada ya que:

Φ

₁

= (0 0 0 0 1)

y, entonces,

rg(Φ

₁

) = 1 = g − 1

^.

Φ

₁

· A = (0 β

₂

)

y, entonces,

rg(Φ

₁

· A) = 1 = g − 1

^.

Mientras que la segunda es sobreidentificada:

Φ

₂

=

0 0 1 0 0 0 0 0 1 0

y, entonces,

rg(Φ

₂

) = 2 > 1 = g − 1

^.

Φ

₂

· A =

α

₂

0 α

₃

0

y, entonces,

rg(Φ

₂

· A) = 1 = g − 1

^.

Para el Modelo 2 se tiene que las dos ecuaciones son exactamente identificadas ya que la primera ecuaci ´on no ha cambiado y para la segunda se verifica que:

Φ

₂

= (0 0 0 1 0)

y, entonces,

rg(Φ

₂

) = 1 = g − 1

^.

Φ

₂

· A = (α

₃

0)

y, entonces,

rg(Φ

₂

· A) = 1 = g − 1

^.

(21)

Identificaci ´ on con restricciones de linealidad

Contenidos

Introducci ´on

Identificaci ´on

¿Por qu ´e la

Supongamos que en el Modelo 3 se verifica que el tama ño del disco duro deber´ıa tener el mismo efecto sobre el precio del ordenador que el tama ño de la memoria RAM. ¿C ómo afecta esta informaci ón a la identificaci ón del modelo?

En primer lugar, puesto que esta restricci ón afecta exclusivamente a la primera ecuaci ón, se tiene que la identificaci ón de la segunda coincide con la del Modelo 3, es decir, exactamente ientificada.

Por otro lado, la restricci ´on anterior se puede expresar como

α

₂

− α

₄

= 0

^{, es}

decir,

Φ

₁

= (0 0 1 0 − 1)

, por lo que

rg(Φ

₁

) = 1 = g − 1

. Adem ´as, como en este caso se tiene que:

A =



 



−1 β

₁

α

₁

−1 α

₂

β

₂

α

₃

0 α

₄

β

₃



 

 ,

se verifica que

Φ

₁

· A = (α

₂

− α

₄

β

₂

− β

₃

) = (0 β

₂

− β

₃

)

y, entonces,

rg(Φ

₁

· A) = 1 = g − 1

. Es decir, la ecuaci ´on (al igual que el modelo) es exactamente identificada.

(22)

Estimaci ´ on por m´ınimos cuadrados indirectos y biet ´apicos

Contenidos

Introducci ´on

Enfoques de estimaci ´on

M´ınimos Cuadrados Ordinarios

M´ınimos Cuadrados Indirectos

M´ınimos Cuadrados en Dos Etapas

(23)

Enfoques de estimaci ´ on

Contenidos

Introducci ´on

Despu és de haber estudiado la naturaleza de los modelos de ecuaciones simult áneas el siguiente paso es el de la estimaci ón de los par ámetros de dichos modelos.

Tradicionalmente, los enfoques para llevar a cabo la estimaci ´on de modelos multi- ecuacionales se clasifican en:

Enfoque directo: cada ecuaci ón del modelo se estima como si estuviera ais- lada, sin considerar el resto de ecuaciones del modelo y sin distinguir entre variables end ógenas y predeterminadas. Por tanto, el m étodo id óneo es el de MCO.

Enfoque con informaci ón limitada: se hace distinci ón entre variables end ógenas y predeterminadas, pero al igual que en el m étodo anterior, las ecuaciones se estiman de manera individual. En este caso, por ejemplo, dos de los m étodos para la estimaci ón bajo este enfoque son el de MCI y MC2E.

Enfoque con informaci ón completa: se estiman en su conjunto y de manera simult ánea todas las ecuaciones del modelo. Un m étodo a usar para la estimaci ón en este caso es el de MC3E.

(24)

Enfoques de estimaci ´ on

Contenidos

Introducci ´on

La elecci ón del m étodo de estimaci ón a usar en cada caso depende de la naturaleza de cada ecuaci ón y del modelo. As´ı, en el caso de ecuaciones y modelos subidentificados se usar án los MCO, en el caso de ecuaciones exactamente identificadas los MCI o MC2E (conducen a los mismos resultados) y en las sobreiden- tificadas los MC2E.

A continuaci ón se describen cada uno de estos m étodos de estimaci ón as´ı como algunas de sus propiedades m ás relevantes.

(25)

M´ınimos Cuadrados Ordinarios

Contenidos

Introducci ´on

Aunque se incumpla la hip ótesis de exogeneidad, cuando una ecuaci ón es subidentificada, no queda otro remedio que estimar dicho modelo por MCO ya que no es posible obtener la estimaci ón de los coeficientes de la forma estructural a partir de las estimaciones de los coeficientes de la forma reducida.

As´ı, la estimaci ón de la primera ecuaci ón del Modelo 3 se obtendr´ıa a partir de la expresi ón:

b

α = Z

^t

Z

⁻1

· Z

^t

P,

donde

Z = [V HD S RAM]

^.

Una vez m ´as, destacar que

Z

estar ´a relacionado con

u

₁ y, por tanto, los estimadores obtenidos no ser ´an insesgados:

E [ α b ] = α + E[ Z

^t

Z

⁻1

· Z

^t

u

₁

] 6= α.

Tampoco son consistentes.

Teniendo en cuenta la informaci ´on que viene a continuaci ´on se tiene que:

b α =



 



0.0052495505

−0.0005796375 0.1062399713



 

 .

(26)

M´ınimos Cuadrados Ordinarios

Contenidos

Introducci ´on

En el paquete Ecdat del entorno de programaci ón R se dispone de la siguiente informaci ón sobre el precio de 6259 ordenadores (medidos en miles de d ólares), de su velocidad (medida en MHz), del tama ño del disco duro (medido en MB), del tama ño de la pantalla (medida en pulgadas) y de la memoria RAM (medida en MB):

P V HD S RAM

P

^32946.12 ^745699.8 ^6191898 ^203923.1 ^127870.9

V

^745699.82 ^19732905 ^148364402 ^4778339 ^2872742

HD

^6191898.05 ^148364402 ^1504623476 ^38433324 ^28694236

S

^203923.12 ^4778339 ^38433324 ^1340890 ⁷⁶⁴³⁹⁰

RAM

^127870.91 ^2872742 ^28694236 ⁷⁶⁴³⁹⁰ ⁶²⁸²⁶⁴

Tabla 1: Informaci ´on muestral sobre los 6259 ordenadores port ´atiles

(27)

M´ınimos Cuadrados Indirectos

Contenidos

Introducci ´on

El m étodo de M´ınimos Cuadrados Indirectos se aplica cuando tras el proceso de identificaci ón de la ecuaci ón, ésta es exactamente identificada.

Consiste en obtener las estimaciones de los par ´ametros estructurales a partir de las estimaciones MCO,

Π b = (x

^t

x )

⁻¹

x

^t

y

, de los par ´ametros de la forma reducida, considerando la relaci ´on:

Π b · γ

_h

= −b

h

,

donde

γ

_h y

b

_h son las columnas

h

de las matrices

Γ

y

B

, respectivamente.

Advi ´ertase que en

Π b

se tiene por columnas las estimaciones de cada ecuaci ´on de la forma reducida.

Por tanto, las estimaciones buscadas,

γ b

_h ^y

b b

_h, se obtienen al resolver el sistema que queda tras realizar las operaciones pertinentes en la expresi ´on anterior.

Si en la expresi ´on para obtener

Π b

se tiene que en

x

s ólo hay variables ex ógenas, se tiene que los estimadores as´ı obtenidos son insesgados. En caso, contrario, ser án sesgados. Por otro lado, dichos estimadores ser án consistentes.

(28)

M´ınimos Cuadrados Indirectos

Contenidos

Introducci ´on

Se tiene que la primera ecuaci ´on del Modelo 1 es exactamente identificada, por lo que ha de ser estimada por MCI. Teniendo en cuenta:

Π b =



 −0.0003823116 0.0375891 0.1209426957 2.8007587 0.0738442121 −0.5518705



 ,

el sistema a resolver es:



 −0.0003823116 0.0375891 0.1209426957 2.8007587 0.0738442121 −0.5518705



 ·

−1 α

₁

= −



 α

₂

α

₃

0 

 .

En tal caso:

α

₁

= − 0.0738442121

0.5518705 = −0.1338071,

α

₂

= −0.0003823116 + 0.0375891 · 0.1338071 = 0.004647377, α

₃

= 0.1209426957 + 2.8007587 · 0.1338071 = 0.4957041.

Esto es,

P b = −0.1338071 · V + 0.004647377 · HD + 0.4957041 · S .

(29)

M´ınimos Cuadrados Indirectos

Contenidos

Introducci ´on

¿Son las estimaciones obtenidas insesgadas? ¿Y las de la segunda ecuaci ón del Ejemplo 1? Advi értase que en este segundo caso las variables end ógenas son

C

^,

I

^e

Y

y las predeterminadas son la constante,

G

y el retardo de

Y

^.

¿Qu é ocurrir á si aplicamos este m étodo a la segunda ecuaci ón del Modelo 1 (que es sobreidentificada)? ¿Y a la primera ecuaci ón del Modelo 3 (que es subidentificada)?

(30)

M´ınimos Cuadrados en Dos Etapas

Contenidos

Introducci ´on

El m étodo de M´ınimos Cuadrados en dos Etapas se puede aplicar cuando la ecuaci ón en estudio sea exactamente identificada (proporcionando la misma estimaci ón que los MCI) o sobreidentificada.

Las dos etapas a las que hace referencia el nombre de este m ´etodo se pueden resumir como sigue:

Primera Etapa: Estimar la forma reducida del modelo,

Π b

^.

Segunda Etapa: Sustituir las variables end ógenas que aparecen en el segundo miembro de cada ecuaci ón por sus estimaciones obtenidas a partir de la forma reducida y aplicar MCO a la nueva ecuaci ón obtenida.

As´ı, por ejemplo, las estimaciones por MC2E de las ecuaciones del Modelo 1 responden a las expresiones:

b

α

_{1,M C2E}

=

Z b

^t₁

Z b

₁

⁻1

Z b

^t₁

P, β b

_{2,M C2E}

=

Z b

^t₂

Z b

₂

⁻1

Z b

^t₂

V,

donde el sub´ındice hace referencia a la ecuaci ´on, por lo que

b

Z₁

= b

^V

,

HD

,

S

y

b

Z₂

= b

^P

,

^RAM

siendo

b

V y P las estimaciones obtenidas a partir de las expre-

b

siones (5) y (6).

(31)

M´ınimos Cuadrados en Dos Etapas

Contenidos

Introducci ´on

Teniendo en cuenta que la estimaci ´on (que en este caso es com ´un para los modelos 1, 2 y 3) de la forma reducida es:

P b

_i

= −0.0003823116 · HD

i

+ 0.1209426957 · S

i

+0.0738442121 · RAM

_i

,

(7)

V b

_i

= 0.0375891 · HD

i

+ 2.8007587 · S

i

− 0.5518705 · RAM

i

,

⁽⁸⁾

se tiene que:

Z b

^t₁

Z b

₁

=



 17374480 148364406 4778339 148364406 1504623476 38433324

4778339 38433324 1340890



 ,

Z b

^t₁

P =



 733319.1 6191898.05

203923.12



 ,

donde se ha tenido en cuenta que

V b

^t

· b V = 17374480

^,

V b

^t

·HD = 148364406

^,

V b

^t

· S = 4778339

^y

V b

^t

· P = 733319.1

^.

(32)

M´ınimos Cuadrados en Dos Etapas

Contenidos

Introducci ´on

Tambi ´en se verifica que:

Z b

^t₂

Z b

₂

=

31737.03 127870.9 127870.9 628264

, Z b

^t₂

V =

733319.1 2872742

,

donde se ha tenido en cuenta que

P b

^t

· b P = 31737.03

^,

P b

^t

· RAM = 127870.9

y

P b

^t

· V = 733319.1

. En tal caso se tiene que:

b

α

_{1,M C2E}

=



 −0.133792384 0.004646962 0.495663550



 , b β

_{2,M C2E}

=

26.0231201

−0.7239915

.

Esto es:

P b

_i

= −0.133792384 · V

i

+ 0.004646962 · HD

i

+ 0.495663550 · S

i

, V b

_i

= 26.0231201 · P

i

− 0.7239915 · RAM

i

.

Advi ´ertase que las estimaciones de la primera ecuaci ´on coinciden (salvo errores

(33)

M´ınimos Cuadrados en Dos Etapas

Contenidos

Introducci ´on

¿En qu é consisten las dos etapas de este m étodo de estimaci ón? La idea es muy sencilla, consideremos, por ejemplo, la primera ecuaci ón (1) del Modelo 1:

P

_i

= α

₁

· V

_i

+ α

₂

· HD

_i

+ α

₃

· S

_i

+ u

_1i

.

Como se ha ilustrado a lo largo del tema, se desaconseja la estimaci ón por MCO de esta ecuaci ón debido a la relaci ón entre

V

_i ^y

u

_1i. Sin embargo, al estimar

V

_i

a partir de la forma reducida donde s ´olo hay variables ex ´ogenas se tiene que

V b

_i

no est ´a relacionado con

v

_1i y, por extensi ´on, con

u

_1i ^y

u

_2i. Es decir, cuando en la forma estructural se sustituye

V

_i ^por

V b

_i de alguna manera se ha eliminado la relaci ´on inicial con la perturbaci ´on aleatoria.

Por tal motivo, al igual que en el caso de los MCI, si s ´olo hay variables ex ´ogenas en las predeterminadas se tendr´ıan que los estimadores obtenidos son insesgados.

Si no se da esta situaci ´on ser ´an sesgados.

As´ı, por ejemplo, se tiene que la primera ecuaci ´on del Ejemplo 1 es sobreidentificada y la segunda exactamente identificada, por lo que ambas se pueden estimar por MC2E. ¿Los estimadores as´ı obtenidos ser´ıan insesgados?

Los estimadores por MC2E son consistentes.