Miguel Martín Suárez
Universidad de Granada
¿Dónde está el infinito?
Viernes, 21 de febrero de 2020, 19:30 Casa de la Cultura, Almuñecar
Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿A qu´e me dedico? ¿Qu´e estudio? Para saber m´as
Organizaci´ on de la conferencia
1 Preliminares
2 Los procesos infinitos y sus paradojas
3 ¿Cu´antos infinitos hay?
4 ¿A qu´e me dedico? ¿Qu´e estudio?
5 Para saber m´as
Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿A qu´e me dedico? ¿Qu´e estudio? Para saber m´as
Presentaci´ on
Miguel Mart´ın Su´arez
Catedr´atico del Departamento de An´alisis Matem´atico de la Universidad de Granada
Campo de trabajo:
An´alisis Funcional en espacios de Banach dedimensi´on infinita Y,¿qu´e es eso de la dimensi´on infinita?
Pero antes,¿qu´e es el infinito?
Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿A qu´e me dedico? ¿Qu´e estudio? Para saber m´as
Presentaci´ on
Miguel Mart´ın Su´arez
Catedr´atico del Departamento de An´alisis Matem´atico de la Universidad de Granada
Campo de trabajo:
An´alisis Funcional en espacios de Banach dedimensi´on infinita Y,¿qu´e es eso de la dimensi´on infinita?
Pero antes,¿qu´e es el infinito?
Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿A qu´e me dedico? ¿Qu´e estudio? Para saber m´as
Presentaci´ on
Miguel Mart´ın Su´arez
Catedr´atico del Departamento de An´alisis Matem´atico de la Universidad de Granada
Campo de trabajo:
An´alisis Funcional en espacios de Banach dedimensi´on infinita Y,¿qu´e es eso de la dimensi´on infinita?
Pero antes,¿qu´e es el infinito?
Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿A qu´e me dedico? ¿Qu´e estudio? Para saber m´as
Presentaci´ on
Miguel Mart´ın Su´arez
Catedr´atico del Departamento de An´alisis Matem´atico de la Universidad de Granada
Campo de trabajo:
An´alisis Funcional en espacios de Banach dedimensi´on infinita
Y,¿qu´e es eso de la dimensi´on infinita?
Pero antes,¿qu´e es el infinito?
Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿A qu´e me dedico? ¿Qu´e estudio? Para saber m´as
Presentaci´ on
Miguel Mart´ın Su´arez
Catedr´atico del Departamento de An´alisis Matem´atico de la Universidad de Granada
Campo de trabajo:
An´alisis Funcional en espacios de Banach dedimensi´on infinita Y,¿qu´e es eso de la dimensi´on infinita?
Pero antes,¿qu´e es el infinito?
Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿A qu´e me dedico? ¿Qu´e estudio? Para saber m´as
Presentaci´ on
Miguel Mart´ın Su´arez
Catedr´atico del Departamento de An´alisis Matem´atico de la Universidad de Granada
Campo de trabajo:
An´alisis Funcional en espacios de Banach dedimensi´on infinita Y,¿qu´e es eso de la dimensi´on infinita?
Pero antes,¿qu´e es el infinito?
Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿A qu´e me dedico? ¿Qu´e estudio? Para saber m´as
¿Qu´ e es el infinito?
. . . intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir sobre el infinito, asign´andole propiedades que damos a lo finito y limitado; pero pienso que esto es incorrecto, dado que no podemos hablar de cantidades infinitas como si fuesen mayores, menores o iguales a otras.
Galileo Galilei(1564–1642) Para m´ı, el infinito comienza a partir de mil pesetas [6€].
Julio Rey Pastor(1888–1962) El infinito tiene poco respeto por la l´ogica. De hecho, establece una frontera que separa las matem´aticas de la l´ogica (. . . ) El infinito es como un nido de v´ıboras, y al intelecto humano le ha llevado varios milenios y muchas picaduras poder meter mano ah´ı.
Antonio J. Dur´an(1962–)
Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿A qu´e me dedico? ¿Qu´e estudio? Para saber m´as
¿Qu´ e es el infinito?
. . . intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir sobre el infinito, asign´andole propiedades que damos a lo finito y limitado; pero pienso que esto es incorrecto, dado que no podemos hablar de cantidades infinitas como si fuesen mayores, menores o iguales a otras.
Galileo Galilei(1564–1642)
Para m´ı, el infinito comienza a partir de mil pesetas [6€].
Julio Rey Pastor(1888–1962) El infinito tiene poco respeto por la l´ogica. De hecho, establece una frontera que separa las matem´aticas de la l´ogica (. . . ) El infinito es como un nido de v´ıboras, y al intelecto humano le ha llevado varios milenios y muchas picaduras poder meter mano ah´ı.
Antonio J. Dur´an(1962–)
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¿Qu´ e es el infinito?
. . . intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir sobre el infinito, asign´andole propiedades que damos a lo finito y limitado; pero pienso que esto es incorrecto, dado que no podemos hablar de cantidades infinitas como si fuesen mayores, menores o iguales a otras.
Galileo Galilei(1564–1642) Para m´ı, el infinito comienza a partir de mil pesetas [6€].
Julio Rey Pastor(1888–1962)
El infinito tiene poco respeto por la l´ogica. De hecho, establece una frontera que separa las matem´aticas de la l´ogica (. . . ) El infinito es como un nido de v´ıboras, y al intelecto humano le ha llevado varios milenios y muchas picaduras poder meter mano ah´ı.
Antonio J. Dur´an(1962–)
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¿Qu´ e es el infinito?
. . . intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir sobre el infinito, asign´andole propiedades que damos a lo finito y limitado; pero pienso que esto es incorrecto, dado que no podemos hablar de cantidades infinitas como si fuesen mayores, menores o iguales a otras.
Galileo Galilei(1564–1642) Para m´ı, el infinito comienza a partir de mil pesetas [6€].
Julio Rey Pastor(1888–1962) El infinito tiene poco respeto por la l´ogica. De hecho, establece una frontera que separa las matem´aticas de la l´ogica (. . . ) El infinito es como un nido de v´ıboras, y al intelecto humano le ha llevado varios milenios y muchas picaduras poder meter mano ah´ı.
Antonio J. Dur´an(1962–)
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Definiciones de infinito I
Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿A qu´e me dedico? ¿Qu´e estudio? Para saber m´as
Definiciones de infinito II
Algebra Applied Mathematics Calculus and Analysis Discrete Mathematics Foundations of Mathematics Geometry History and Terminology Number Theory Probability and Statistics Recreational Mathematics Topology
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13,044 entries Last updated: Fri Feb 25 2011
Foundations of Mathematics>Set Theory>Cardinal Numbers>
History and Terminology>Mathematica Commands>
Infinity
Infinity, most often denoted as , is an unbounded quantity that is greater than every real number. The symbol had been used as an alternative to M ( ) in Roman numerals until 1655, when John Wallis suggested it be used instead for infinity.
Infinity is a very tricky concept to work with, as evidenced by some of the counterintuitive results that follow from Georg Cantor's treatment of infinite sets.
Informally, , a statement that can be made rigorous using the limit concept,
Similarly,
where the notation indicates that the limit is taken from the positive side of the real line.
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Infinity
unbounded quantity greater than everyreal number.
very tricky concept to work with,
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Definiciones de infinito II
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Foundations of Mathematics>Set Theory>Cardinal Numbers>
History and Terminology>Mathematica Commands>
Infinity
Infinity, most often denoted as , is an unbounded quantity that is greater than every real number. The symbol had been used as an alternative to M ( ) in Roman numerals until 1655, when John Wallis suggested it be used instead for infinity.
Infinity is a very tricky concept to work with, as evidenced by some of the counterintuitive results that follow from Georg Cantor's treatment of infinite sets.
Informally, , a statement that can be made rigorous using the limit concept,
Similarly,
where the notation indicates that the limit is taken from the positive side of the real line.
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Infinity
unbounded quantity greater than everyreal number.
very tricky concept to work with,
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En Espa˜nol:
El infinito es una cantidad no acotada mayor que todos los n´umeros reales.
Es un concepto dif´ıcil de trabajar.
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Definiciones de infinito III
Infinito
El símbolo de infinito (Unicode U+221E), también llamado lemniscata, Para el canal de televisión por cable, véase Infinito (canal de
televisión).
Para el grupo español del mismo nombre, véase Infinito (banda).
El concepto de infinito (símbolo: ) aparece en varias ramas de la matemática, la filosofía1 y la astronomía,2 en referencia a una cantidad sin límite o sin final, contrapuesto al concepto de finitud.3
En matemáticas el infinito aparece de diversas formas: en geometría, el punto al infinito en geometría proyectiva y el punto de fuga en geometría descriptiva; en análisis matemático, los límites infinitos; y en teoría de conjuntos como números transfinitos . Todos estos conceptos son diferentes y no corresponden todos ellos a la misma noción de infinitud.
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son diferentes y no corresponden t a la misma noción de infinitud.
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Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿A qu´e me dedico? ¿Qu´e estudio? Para saber m´as
Sobre el s´ımbolo ∞
Origen incierto
Tiene la forma de lalemniscata (x2+ y2)2= x2− y2 que no tiene principio ni fin
FueJohn Wallis(1616–1703) el primero en utilizarlo. Lo llam´o ellazo del amor Pudo tomar el s´ımbolo deln´umero romano M (1000) que en etrusco ten´ıa cierto parecido,
o de laletra griegaomega
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Sobre el s´ımbolo ∞
Origen incierto
Tiene la forma de lalemniscata (x2+ y2)2= x2− y2 que no tiene principio ni fin
FueJohn Wallis(1616–1703) el primero en utilizarlo. Lo llam´o ellazo del amor Pudo tomar el s´ımbolo deln´umero romano M (1000) que en etrusco ten´ıa cierto parecido,
o de laletra griegaomega
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Sobre el s´ımbolo ∞
Origen incierto
Tiene la forma de lalemniscata (x2+ y2)2= x2− y2 que no tiene principio ni fin
FueJohn Wallis(1616–1703) el primero en utilizarlo. Lo llam´o ellazo del amor Pudo tomar el s´ımbolo deln´umero romano M (1000) que en etrusco ten´ıa cierto parecido,
o de laletra griegaomega
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Sobre el s´ımbolo ∞
Origen incierto
Tiene la forma de lalemniscata (x2+ y2)2= x2− y2 que no tiene principio ni fin
FueJohn Wallis(1616–1703) el primero en utilizarlo. Lo llam´o ellazo del amor
Pudo tomar el s´ımbolo deln´umero romano M (1000) que en etrusco ten´ıa cierto parecido,
o de laletra griegaomega
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Sobre el s´ımbolo ∞
Origen incierto
Tiene la forma de lalemniscata (x2+ y2)2= x2− y2 que no tiene principio ni fin
FueJohn Wallis(1616–1703) el primero en utilizarlo. Lo llam´o ellazo del amor Pudo tomar el s´ımbolo deln´umero romano M (1000) que en etrusco ten´ıa cierto parecido,
o de laletra griegaomega
⊂ p ⊃
ω
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Sobre el s´ımbolo ∞
Origen incierto
Tiene la forma de lalemniscata (x2+ y2)2= x2− y2 que no tiene principio ni fin
FueJohn Wallis(1616–1703) el primero en utilizarlo. Lo llam´o ellazo del amor Pudo tomar el s´ımbolo deln´umero romano M (1000) que en etrusco ten´ıa cierto parecido, o de laletra griegaomega
⊂ p ⊃
ω
Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿A qu´e me dedico? ¿Qu´e estudio? Para saber m´as
Definici´ on actual del infinito matem´ atico (¡mejor no mirar!)
Bernard Bolzano (1781–1848):
Unamultitud infinitaes aquella de la cual cualquier multitud finita solamente puede ser parte y no el total.
Richard Dedekind (1831–1916):
Un sistema S se llamainfinitocuando es semejante a una parte propia de s´ı mismo; en caso contrario se dice que S esfinito.
Georg Cantor (1845–1918):
Primer estudio sistem´atico delinfinito, aritm´etica del infinito, n´umeros transfinitos. . .No todos los infinitos son iguales.
Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿A qu´e me dedico? ¿Qu´e estudio? Para saber m´as
Definici´ on actual del infinito matem´ atico (¡mejor no mirar!)
Bernard Bolzano (1781–1848):
Unamultitud infinitaes aquella de la cual cualquier multitud finita solamente puede ser parte y no el total.
Richard Dedekind (1831–1916):
Un sistema S se llamainfinitocuando es semejante a una parte propia de s´ı mismo; en caso contrario se dice que S esfinito.
Georg Cantor (1845–1918):
Primer estudio sistem´atico delinfinito, aritm´etica del infinito, n´umeros transfinitos. . .No todos los infinitos son iguales.
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Definici´ on actual del infinito matem´ atico (¡mejor no mirar!)
Bernard Bolzano (1781–1848):
Unamultitud infinitaes aquella de la cual cualquier multitud finita solamente puede ser parte y no el total.
Richard Dedekind (1831–1916):
Un sistema S se llamainfinitocuando es semejante a una parte propia de s´ı mismo; en caso contrario se dice que S esfinito.
Georg Cantor (1845–1918):
Primer estudio sistem´atico delinfinito, aritm´etica del infinito, n´umeros transfinitos. . .No todos los infinitos son iguales.
Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿A qu´e me dedico? ¿Qu´e estudio? Para saber m´as
Definici´ on actual del infinito matem´ atico (¡mejor no mirar!)
Bernard Bolzano (1781–1848):
Unamultitud infinitaes aquella de la cual cualquier multitud finita solamente puede ser parte y no el total.
Richard Dedekind (1831–1916):
Un sistema S se llamainfinitocuando es semejante a una parte propia de s´ı mismo; en caso contrario se dice que S esfinito.
Georg Cantor (1845–1918):
Primer estudio sistem´atico delinfinito, aritm´etica del infinito, n´umeros transfinitos. . .No todos los infinitos son iguales.
Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿A qu´e me dedico? ¿Qu´e estudio? Para saber m´as
Pero. . . ¿existe el infinito?
Hay controversia cient´ıfica sobre si el Universo es finito o infinito, hay diversas teor´ıas e hip´otesis sobre esto.
Pero, en cualquier caso, nuestra aritm´etica lleva inmediatamente a la existencia de conjuntos infinitos:
los n´umeros naturales son infinitos: sumemos uno al m´as grande que conozcamos y obtenemos otro mayor. los n´umeros pares, los n´umeros impares, las potencias de 2. . . son todos conjuntos infinitos.
Hay otro conjunto importante cuya infinitud no es tan obvia:
el conjunto de losn´umeros primos.
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Pero. . . ¿existe el infinito?
Hay controversia cient´ıfica sobre si el Universo es finito o infinito, hay diversas teor´ıas e hip´otesis sobre esto.
Pero, en cualquier caso, nuestra aritm´etica lleva inmediatamente a la existencia de conjuntos infinitos:
los n´umeros naturales son infinitos: sumemos uno al m´as grande que conozcamos y obtenemos otro mayor. los n´umeros pares, los n´umeros impares, las potencias de 2. . . son todos conjuntos infinitos.
Hay otro conjunto importante cuya infinitud no es tan obvia:
el conjunto de losn´umeros primos.
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Pero. . . ¿existe el infinito?
Hay controversia cient´ıfica sobre si el Universo es finito o infinito, hay diversas teor´ıas e hip´otesis sobre esto.
Pero, en cualquier caso, nuestra aritm´etica lleva inmediatamente a la existencia de conjuntos infinitos:
los n´umeros naturales son infinitos: sumemos uno al m´as grande que conozcamos y obtenemos otro mayor. los n´umeros pares, los n´umeros impares, las potencias de 2. . . son todos conjuntos infinitos.
Hay otro conjunto importante cuya infinitud no es tan obvia:
el conjunto de losn´umeros primos.
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Pero. . . ¿existe el infinito?
Hay controversia cient´ıfica sobre si el Universo es finito o infinito, hay diversas teor´ıas e hip´otesis sobre esto.
Pero, en cualquier caso, nuestra aritm´etica lleva inmediatamente a la existencia de conjuntos infinitos:
los n´umeros naturales son infinitos:
sumemos uno al m´as grande que conozcamos y obtenemos otro mayor.
los n´umeros pares, los n´umeros impares, las potencias de 2. . . son todos conjuntos infinitos.
Hay otro conjunto importante cuya infinitud no es tan obvia:
el conjunto de losn´umeros primos.
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Pero. . . ¿existe el infinito?
Hay controversia cient´ıfica sobre si el Universo es finito o infinito, hay diversas teor´ıas e hip´otesis sobre esto.
Pero, en cualquier caso, nuestra aritm´etica lleva inmediatamente a la existencia de conjuntos infinitos:
los n´umeros naturales son infinitos:
sumemos uno al m´as grande que conozcamos y obtenemos otro mayor.
los n´umeros pares, los n´umeros impares, las potencias de 2. . . son todos conjuntos infinitos.
Hay otro conjunto importante cuya infinitud no es tan obvia:
el conjunto de losn´umeros primos.
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Pero. . . ¿existe el infinito?
Hay controversia cient´ıfica sobre si el Universo es finito o infinito, hay diversas teor´ıas e hip´otesis sobre esto.
Pero, en cualquier caso, nuestra aritm´etica lleva inmediatamente a la existencia de conjuntos infinitos:
los n´umeros naturales son infinitos:
sumemos uno al m´as grande que conozcamos y obtenemos otro mayor.
los n´umeros pares, los n´umeros impares, las potencias de 2. . . son todos conjuntos infinitos.
Hay otro conjunto importante cuya infinitud no es tan obvia:
el conjunto de losn´umeros primos.
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Los n´ umeros primos son infinitos
Recordemos que un n´umero natural esprimosi es mayor que 1 y no tiene m´as divisores exactos que 1 y ´el mismo:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. . . Observemos que si un n´umero no es primo, entonces tiene un divisor exacto que es primo. Euclides de Alejandr´ıa(330 a.C.–275 a.C.) demostr´o queel conjunto de n´umeros primos es infinito:
tomemos un conjunto finito p1, p2, . . . , pn
de n´umeros primos y consideremos el n´umero M = p1× p2× · · · × pn + 1;
Entonces, M no es divisible por ninguno de los primos p1, p2, . . . pn,
pero M tiene que tener un divisor exacto que sea primo, con lo que obtenemos un nuevo n´umero primo.
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Los n´ umeros primos son infinitos
Recordemos que un n´umero natural esprimosi es mayor que 1 y no tiene m´as divisores exactos que 1 y ´el mismo:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. . .
Observemos que si un n´umero no es primo, entonces tiene un divisor exacto que es primo. Euclides de Alejandr´ıa(330 a.C.–275 a.C.) demostr´o queel conjunto de n´umeros primos es infinito:
tomemos un conjunto finito p1, p2, . . . , pn
de n´umeros primos y consideremos el n´umero M = p1× p2× · · · × pn + 1;
Entonces, M no es divisible por ninguno de los primos p1, p2, . . . pn,
pero M tiene que tener un divisor exacto que sea primo, con lo que obtenemos un nuevo n´umero primo.
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Los n´ umeros primos son infinitos
Recordemos que un n´umero natural esprimosi es mayor que 1 y no tiene m´as divisores exactos que 1 y ´el mismo:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. . . Observemos que si un n´umero no es primo, entonces tiene un divisor exacto que es primo.
Euclides de Alejandr´ıa(330 a.C.–275 a.C.) demostr´o queel conjunto de n´umeros primos es infinito:
tomemos un conjunto finito p1, p2, . . . , pn
de n´umeros primos y consideremos el n´umero M = p1× p2× · · · × pn + 1;
Entonces, M no es divisible por ninguno de los primos p1, p2, . . . pn,
pero M tiene que tener un divisor exacto que sea primo, con lo que obtenemos un nuevo n´umero primo.
Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿A qu´e me dedico? ¿Qu´e estudio? Para saber m´as
Los n´ umeros primos son infinitos
Recordemos que un n´umero natural esprimosi es mayor que 1 y no tiene m´as divisores exactos que 1 y ´el mismo:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. . . Observemos que si un n´umero no es primo, entonces tiene un divisor exacto que es primo.
Euclides de Alejandr´ıa(330 a.C.–275 a.C.) demostr´o queel conjunto de n´umeros primos es infinito:
tomemos un conjunto finito p1, p2, . . . , pn
de n´umeros primos y consideremos el n´umero M = p1× p2× · · · × pn + 1;
Entonces, M no es divisible por ninguno de los primos p1, p2, . . . pn,
pero M tiene que tener un divisor exacto que sea primo, con lo que obtenemos un nuevo n´umero primo.
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Los n´ umeros primos son infinitos
Recordemos que un n´umero natural esprimosi es mayor que 1 y no tiene m´as divisores exactos que 1 y ´el mismo:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. . . Observemos que si un n´umero no es primo, entonces tiene un divisor exacto que es primo.
Euclides de Alejandr´ıa(330 a.C.–275 a.C.) demostr´o queel conjunto de n´umeros primos es infinito:
tomemos un conjunto finito p1, p2, . . . , pn
de n´umeros primos
y consideremos el n´umero M = p1× p2× · · · × pn + 1;
Entonces, M no es divisible por ninguno de los primos p1, p2, . . . pn,
pero M tiene que tener un divisor exacto que sea primo, con lo que obtenemos un nuevo n´umero primo.
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Los n´ umeros primos son infinitos
Recordemos que un n´umero natural esprimosi es mayor que 1 y no tiene m´as divisores exactos que 1 y ´el mismo:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. . . Observemos que si un n´umero no es primo, entonces tiene un divisor exacto que es primo.
Euclides de Alejandr´ıa(330 a.C.–275 a.C.) demostr´o queel conjunto de n´umeros primos es infinito:
tomemos un conjunto finito p1, p2, . . . , pn
de n´umeros primos y consideremos el n´umero M = p1× p2× · · · × pn + 1;
Entonces, M no es divisible por ninguno de los primos p1, p2, . . . pn,
pero M tiene que tener un divisor exacto que sea primo, con lo que obtenemos un nuevo n´umero primo.
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Los n´ umeros primos son infinitos
Recordemos que un n´umero natural esprimosi es mayor que 1 y no tiene m´as divisores exactos que 1 y ´el mismo:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. . . Observemos que si un n´umero no es primo, entonces tiene un divisor exacto que es primo.
Euclides de Alejandr´ıa(330 a.C.–275 a.C.) demostr´o queel conjunto de n´umeros primos es infinito:
tomemos un conjunto finito p1, p2, . . . , pn
de n´umeros primos y consideremos el n´umero M = p1× p2× · · · × pn + 1;
Entonces, M no es divisible por ninguno de los primos p1, p2, . . . pn,
pero M tiene que tener un divisor exacto que sea primo, con lo que obtenemos un nuevo n´umero primo.
Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿A qu´e me dedico? ¿Qu´e estudio? Para saber m´as
Los n´ umeros primos son infinitos
Recordemos que un n´umero natural esprimosi es mayor que 1 y no tiene m´as divisores exactos que 1 y ´el mismo:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. . . Observemos que si un n´umero no es primo, entonces tiene un divisor exacto que es primo.
Euclides de Alejandr´ıa(330 a.C.–275 a.C.) demostr´o queel conjunto de n´umeros primos es infinito:
tomemos un conjunto finito p1, p2, . . . , pn
de n´umeros primos y consideremos el n´umero M = p1× p2× · · · × pn + 1;
Entonces, M no es divisible por ninguno de los primos p1, p2, . . . pn,
pero M tiene que tener un divisor exacto que sea primo, con lo que obtenemos un nuevo n´umero primo.
Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿A qu´e me dedico? ¿Qu´e estudio? Para saber m´as
Los procesos infinitos y sus paradojas
Preliminares Los procesos infinitos y sus paradojas ¿Cu´antos infinitos hay? ¿A qu´e me dedico? ¿Qu´e estudio? Para saber m´as
La paradoja de Aquiles y la tortuga
Aquiles, el de los pies ligeros, nunca alcanzar´a ala tor- tugaque avanza lentamente unos cuantos metros por delante de ´el. Pues cuando Aquiles alcance el punto donde estaba la tortuga, ´esta ya estar´a un poco m´as adelante; y cuando de nuevo Aquiles alcance ese lugar, la tortuga habr´a avanzado un poco m´as. Sin desani- marse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco m´as. . . De este modo, la tortuga estar´a siempre por delante de Aquiles.
Zen´on de Elea(490 ac – 425 ac)
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La paradoja de Aquiles y la tortuga
Aquiles, el de los pies ligeros, nunca alcanzar´a ala tor- tugaque avanza lentamente unos cuantos metros por delante de ´el. Pues cuando Aquiles alcance el punto donde estaba la tortuga, ´esta ya estar´a un poco m´as adelante; y cuando de nuevo Aquiles alcance ese lugar, la tortuga habr´a avanzado un poco m´as. Sin desani- marse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco m´as. . . De este modo, la tortuga estar´a siempre por delante de Aquiles.
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La paradoja de Aquiles y la tortuga
Aquiles, el de los pies ligeros, nunca alcanzar´a ala tor- tugaque avanza lentamente unos cuantos metros por delante de ´el. Pues cuando Aquiles alcance el punto donde estaba la tortuga, ´esta ya estar´a un poco m´as adelante; y cuando de nuevo Aquiles alcance ese lugar, la tortuga habr´a avanzado un poco m´as. Sin desani- marse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco m´as. . . De este modo, la tortuga estar´a siempre por delante de Aquiles.
Zen´on de Elea(490 ac – 425 ac)
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La paradoja de Aquiles y la tortuga
Aquiles, el de los pies ligeros, nunca alcanzar´a ala tor- tugaque avanza lentamente unos cuantos metros por delante de ´el. Pues cuando Aquiles alcance el punto donde estaba la tortuga, ´esta ya estar´a un poco m´as adelante; y cuando de nuevo Aquiles alcance ese lugar, la tortuga habr´a avanzado un poco m´as. Sin desani- marse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco m´as. . . De este modo, la tortuga estar´a siempre por delante de Aquiles.
Zen´on de Elea(490 ac – 425 ac)
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Aquiles y la tortuga II
Zen´on, disc´ıpulo deParm´enides, pretend´ıa demostrar que
el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.
La paradoja de Zen´on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:
Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto), se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto),
La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, es decir, no puede alcanzarse(¡falso!)
Arist´otelestild´o defalacias las paradojas de Zen´on, pero no pudo refutarlas con la l´ogica.
Hay que saber que
una “suma infinita” de cantidades positivas puede ser finita.
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Aquiles y la tortuga II
Zen´on, disc´ıpulo deParm´enides, pretend´ıa demostrar que
el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.
La paradoja de Zen´on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:
Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto), se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto),
La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, es decir, no puede alcanzarse(¡falso!)
Arist´otelestild´o defalacias las paradojas de Zen´on, pero no pudo refutarlas con la l´ogica.
Hay que saber que
una “suma infinita” de cantidades positivas puede ser finita.
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Aquiles y la tortuga II
Zen´on, disc´ıpulo deParm´enides, pretend´ıa demostrar que
el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.
La paradoja de Zen´on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:
Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto), se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto),
La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, es decir, no puede alcanzarse(¡falso!)
Arist´otelestild´o defalacias las paradojas de Zen´on, pero no pudo refutarlas con la l´ogica.
Hay que saber que
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Aquiles y la tortuga II
Zen´on, disc´ıpulo deParm´enides, pretend´ıa demostrar que
el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.
La paradoja de Zen´on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:
Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto),
se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto),
La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, es decir, no puede alcanzarse(¡falso!)
Arist´otelestild´o defalacias las paradojas de Zen´on, pero no pudo refutarlas con la l´ogica.
Hay que saber que
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Aquiles y la tortuga II
Zen´on, disc´ıpulo deParm´enides, pretend´ıa demostrar que
el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.
La paradoja de Zen´on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:
Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto), se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto),
La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, es decir, no puede alcanzarse(¡falso!)
Arist´otelestild´o defalacias las paradojas de Zen´on, pero no pudo refutarlas con la l´ogica.
Hay que saber que
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Aquiles y la tortuga II
Zen´on, disc´ıpulo deParm´enides, pretend´ıa demostrar que
el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.
La paradoja de Zen´on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:
Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto), se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto),
La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, es decir, no puede alcanzarse(¡falso!)
Arist´otelestild´o defalacias las paradojas de Zen´on, pero no pudo refutarlas con la l´ogica.
Hay que saber que
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Aquiles y la tortuga II
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La paradoja de Zen´on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:
Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto), se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto),
La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, es decir, no puede alcanzarse(¡falso!)
Arist´otelestild´o defalacias las paradojas de Zen´on, pero no pudo refutarlas con la l´ogica.
Hay que saber que
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Aquiles y la tortuga II
Zen´on, disc´ıpulo deParm´enides, pretend´ıa demostrar que
el ser es uno, eterno, continuo, indivisible e inmutable, cuyos cambios son meras apariencias que no responden a realidad alguna.
La paradoja de Zen´on se basa en la idea de que el “infinito” no puede ser alcanzado:
Cada movimiento de Aquiles es una distancia positiva(cierto), se necesita una cantidad infinita de movimientos(cierto),
La suma de todas esas distancias tiene necesariamente que ser infinita, es decir, no puede alcanzarse(¡falso!)
Arist´otelestild´o defalacias las paradojas de Zen´on, pero no pudo refutarlas con la l´ogica.
Hay que saber que
una “suma infinita” de cantidades positivas puede ser finita.
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Sumando porciones de pizza I
Teorema
1 =1 2+1
4+1 8+ 1
16+ 1 32+ 1
64+ · · ·
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Sumando porciones de pizza I
Teorema
1 =1 2+1
4+1 8+ 1
16+ 1 32+ 1
64+ · · ·
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Sumando porciones de pizza I
Teorema
1 =1 2+1
4+1 8+ 1
16+ 1 32+ 1
64+ · · ·
Gr´aficamente:
Demostraci´on: Tomamos una piza
y la vamos partiendo. . .
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Sumando porciones de pizza I
Teorema
1 =1 2+1
4+1 8+ 1
16+ 1 32+ 1
64+ · · ·
Gr´aficamente: Demostraci´on:
Tomamos una piza
y la vamos partiendo. . .
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Sumando porciones de pizza I
Teorema
1 =1 2+1
4+1 8+ 1
16+ 1 32+ 1
64+ · · ·
Gr´aficamente: Demostraci´on:
Tomamos una piza
y la vamos partiendo. . .
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Sumando porciones de pizza I
Teorema
1 =1 2+1
4+1 8+ 1
16+ 1 32+ 1
64+ · · ·
Gr´aficamente: Demostraci´on:
Tomamos una piza
y la vamos partiendo. . .
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Sumando porciones de pizza I
Teorema
1 =1 2+1
4+1 8+ 1
16+ 1 32+ 1
64+ · · ·
Otra demostraci´on:
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Sumando porciones de pizza I
Teorema
1 =1 2+1
4+1 8+ 1
16+ 1 32+ 1
64+ · · ·
Otra demostraci´on:
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Sumando porciones de pizza II
Teorema 1 2+1
3+1 4+1
5+1 6+1
7+1
8+ · · · vale infinito.
Demostraci´on: 1 2+1
3+1 4+1
5+1 6+1
7+1 8+ · · ·
=1 2+
1 3+1
4
+
1 5+1
6+1 7+1
8
+ · · ·
>1 2+1
4+1 4
+1
8+1 8+1
8+1 8
+ · · ·
=1 2+1
2+1 2+ · · ·
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Sumando porciones de pizza II
Teorema 1 2+1
3+1 4+1
5+1 6+1
7+1
8+ · · · vale infinito.
Demostraci´on: 1 2+1
3+1 4+1
5+1 6+1
7+1 8+ · · ·
=1 2+
1 3+1
4
+
1 5+1
6+1 7+1
8
+ · · ·
>1 2+1
4+1 4
+1
8+1 8+1
8+1 8
+ · · ·
=1 2+1
2+1 2+ · · ·
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Sumando porciones de pizza II
Teorema 1 2+1
3+1 4+1
5+1 6+1
7+1
8+ · · · vale infinito.
Demostraci´on:
1 2+1
3+1 4+1
5+1 6+1
7+1 8+ · · ·
=1 2+
1 3+1
4
+
1 5+1
6+1 7+1
8
+ · · ·
>1 2+1
4+1 4
+1
8+1 8+1
8+1 8
+ · · ·
=1 2+1
2+1 2+ · · ·
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Sumando porciones de pizza II
Teorema 1 2+1
3+1 4+1
5+1 6+1
7+1
8+ · · · vale infinito.
Demostraci´on:
1 2+1
3+1 4+1
5+1 6+1
7+1 8+ · · ·
=1 2+
1 3+1
4
+
1 5+1
6+1 7+1
8
+ · · ·
>1 2+1
4+1 4
+1
8+1 8+1
8+1 8
+ · · ·
=1 2+1
2+1 2+ · · ·
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Teorema 1 2+1
3+1 4+1
5+1 6+1
7+1
8+ · · · vale infinito.
Demostraci´on:
1 2+1
3+1 4+1
5+1 6+1
7+1 8+ · · ·
=1 2+
1 3+1
4
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1 5+1
6+1 7+1
8
+ · · ·
>1 2+1
4+1 4
+1
8+1 8+1
8+1 8
+ · · ·
=1 2+1
2+1 2+ · · ·
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3+1 4+1
5+1 6+1
7+1
8+ · · · vale infinito.
Demostraci´on:
1 2+1
3+1 4+1
5+1 6+1
7+1 8+ · · ·
=1 2+
1 3+1
4
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1 5+1
6+1 7+1
8
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>1 2+1
4+1 4
+1
8+1 8+1
8+1 8
+ · · ·
=1 2+1
2+1 2+ · · ·
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5+1 6+1
7+1
8+ · · · vale infinito.
Demostraci´on:
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3+1 4+1
5+1 6+1
7+1 8+ · · ·
=1 2+
1 3+1
4
+
1 5+1
6+1 7+1
8
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>1 2+1
4+1 4
+1
8+1 8+1
8+1 8
+ · · ·
=1 2+1
2+1 2+ · · ·
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Una ´ ultima cita sobre Aquiles y la Tortuga
Aquiles alcanz´o a la tortuga y se sent´o con- fortablemente sobre su espalda. ¿De modo que has llegado al final de nuestra carre- ra? – dijo la tortuga –. ¿A pesar de que realmente consiste en unaserie infinitade distancias?
Yo cre´ıa que alg´un necio hab´ıa demostrado que esto no pod´ıa hacerse.
Lewis Carroll, Lo que la Tortuga le dijo a Aquiles, 1894
