Econometría. Ejercicios para el tema 7. Profesores: Amparo Sancho Guadalupe Serrano

Econometría

Ejercicios para el tema 7

Profesores:

Amparo Sancho

Guadalupe Serrano

1.- Test de causalidad de Granger entre la demanda de dinero y el tipo de interés para España, Francia, Japón y USA.

Pairwise Granger Causality Tests Date: 02/28/05 Time: 13:09 Sample: 1980:1 2004:4 Lags: 2

Null Hypothesis: Obs F-Statistic Probability ME does not Granger Cause IE 95 6.34877 0.00263 IE does not Granger Cause ME 2.32747 0.10339

Pairwise Granger Causality Tests Date: 02/28/05 Time: 13:13 Sample: 1980:1 2004:4 Lags: 2

Null Hypothesis: Obs F-Statistic Probability MF does not Granger Cause IF 95 4.18062 0.01836 IF does not Granger Cause MF 0.24261 0.78509

Pairwise Granger Causality Tests Date: 02/28/05 Time: 13:14 Sample: 1980:1 2004:4 Lags: 2

Null Hypothesis: Obs F-Statistic Probability MJ does not Granger Cause IJ 74 7.78057 0.00090 IJ does not Granger Cause MJ 2.36162 0.10185

Pairwise Granger Causality Tests Date: 02/28/05 Time: 13:15 Sample: 1980:1 2004:4 Lags: 2

Null Hypothesis: Obs F-Statistic Probability MUSA does not Granger Cause IUSA 96 5.41319 0.00601 IUSA does not Granger Cause MUSA 0.37452 0.68867

2.- Con los datos del fichero satsuma\profesor\ejer71 que contienen información sobre la industria del vino en Australia desde 1955-1956 hasta 1971-1975, se estima un modelo de oferta-demanda de vino. Las ecuaciones establecidas de demanda y oferta para una situación de equilibrio de mercado sería:

Q_t = a₀ + a₁P_t^w + a₂P_t^b + a₃Y_t + a₄A_t + u_t Qt = b0 + b1Ptw + b2St + vt

Qt : logaritmo del consumo de vino per cápita.

P_t^w : logaritmo del precio del vino.

P_t^b : logaritmo del precio de la cerveza.

Y_t : logaritmo del ingreso disponible real per cápita A_t :logaritmo del gasto real en publicidad.

St : índice de costes de almacenaje.

Q_t y P_t^w son dos variables endógenas, el resto de variables son exógenas.

La estimación por Mínimos Cuadrados Ordinarios de la función de demanda nos da los siguientes resultados:

Q t = -23.651 + 1.158 Ptw - 0.275 Ptb - 0.603 At + 3.212Yt R² = 0.99772 (-6.04) (4.0) (-0.45) (-1.3) (4.50)

Sabemos que esta estimación no es adecuada dado la existencia de una variable endógena que actúa como explicativa P_w. Se puede utilizar en ese caso mínimos cuadrados en dos etapas o bien variables instrumentales. Se puede utilizar como instrumento la variable S obteniéndose los siguientes resultados:

Q = -26.195 + 0.643P_w - 0.140P_b - 0.985A + 4.082Y R² = 0.9724 (-5.09) (0.98) (-0.20) (-1.51) (3.28)

Los resultados obtenidos utilizando el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios y el de variables instrumentales para la ecuación de oferta, utilizando diversos instrumentos para la variable endógena Ptw , como son Pb, A, Y P

)

_w

Variables Instrumentales

Método MCO Pb A Y P

)

_w

Constante -15.57 -10.76 -17.65 -16.98 -16.82 (-18.36) (-0.28) (-6.6) (-14.56) (-15.57) Pw 2.145 0.336 2.928 2.676 2.616

(8.99) (0.02) (3.02) (7.30) (7.89) S 1.383 2.131 1.058 1.163 1.188

(8.95) (0.36) (2.47) (5.72) (6.24)

R2 0.9632 0.8390 0.9400 0.9525 0.9548

Analice los resultados obtenidos y determine qué estimación consideraría más adecuada.

3. Intriligator considera un modelo para el mercado monetario donde la demanda de dinero depende del tipo de interés y de la población, mientras que el tipo de interés depende de la cantidad de dinero, el tipo de descuento y el exceso de reservas. Se supone que el mercado está en equilibrio . Las relaciones son lineales pero no tienen término constante, midiendo las variables en desviaciones respecto a las medias

a) Formular el modelo. Obtener la forma estructural y reducida y expresarla en términos matriciales.

b) Estudiar la identificación de las relaciones del modelo.

c) Realizar el estudio de estática comparativa, determinando el efecto que sobre las variables endógenas tendrá una variación en las exógenas.

Solución

Siguiendo las indicaciones se escribe el modelo de la siguiente forma:

t t t t

t r N u

m

= β

₁₁

+ γ

₁₂

+

₁

t t t

t

t m d R u

r

= β

₂₂

+ γ

₂₂

+ γ

₂₃

+

₂ donde

M es la demanda de dinero r tipo de interés

d es tasa de descuento R exceso de reservas N Población

Estas ecuaciones se pueden escribir de forma matricial como sigue:

[ ]

_{t t t}

t t t

u X Y

U X BY

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

− + −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

−

= Γ +

23 22

11 22

11

0

0 0

1 1

γ γ

γ β

β

Forma estructural

Para obtener la forma reducida se despeja Y:

t t t

t

t t t

t t

t

v X v X

v X Y

u B X Y

+ Π

= +

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

=

⎥ +

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

−

⎥ −

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− −

=

⎥ +

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

−

⎥ −

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

− −

=

⁻

−

22 11 23 22

11 22 22

11 11 22

22 11

23 11 22

11 22 11 22

11 11

23 22

11 22

11 22

11

1 23

22 11

1

22

11

1 1

1

1 1

1

0

0 0

1 1 1

1

0

0 0

1 1

β β γ β

β γ β

β γ

β β β

γ β β

β γ β β

β γ

γ γ

γ β

β β

β

γ γ

γ β

β

4. Considerar el siguiente modelo:

Demanda:

β

₁₁p_t

+ β

₁₂q_t

= γ

₁₁X_1t

+ γ

₁₂X_2t

+

u_1t Oferta:

β

₂₁p_t

+ β

₂₂q_t

= γ

₂₁X_1t

+ γ

₂₂X_2t

+

u_2t

Bajo el supuesto de que las u_t se distribuyen normal e independientemente con vector de medias cero y matriz varianza y covarianza Σ, obtener la identificación de las relaciones del modelo bajo las siguientes condiciones:

a) γ₁₁ = γ₁₂ = 0 b) γ21 = γ11 = 0 c) γ11 = 0 d) β₂₁ = γ₂₁ = 0

e) ¿ Qué método de estimación utilizaría en cada caso?

5.- Considerar el siguiente modelo de relaciones simultáneas:

t t t

t y X u

y₁

= β

_{11 2}

+ γ

_{11 1}

+

₁

t t t

t

t y X X u

y₂

= β

_{21 1}

+ γ

_{22 2}

+ γ

_{23 3}

+

₂

siendo y₁ e y2 las variables endógenas y X₁, X₂ y X₃ las variables exógenas, medidas en desviaciones a la media.

a) Analice las condiciones de ídentificabilidad de las ecuaciones y determine el método de estimación adecuado en cada una de ellas.

6. Determine si éstas afirmaciones son ciertas o no:

a) En un modelo de ecuaciones simultaneas es mejor incluir el mayor número de variables exógenas posibles.

b) Los estimadores por mínimos cuadrados indirectos y por mínimos cuadrados en dos etapas son siempre idénticos.

c) Una variable puede ser endógena en una ecuación y exógena en otra.

d) Si el R² de la estimación por mínimos cuadrados en dos etapas es negativo o muy pequeño y el R² de la estimación por m.c.o es muy alto, se puede concluir que algo está funcionando mal en la especificación del modelo o en la identificación de dicha ecuación.

e) Algunos sistemas de ecuaciones simultaneas pueden ser estimados por mínimos cuadrados ordinarios.

7. Se ha estimado por MC2E el modelo de ecuaciones simultáneas siguiente para la economía española de 1971 a 1997:

Ct = β0 + β1Yt + β2Ct-1 + β3Tt

I_t = λ₀ + λ₁Y_t – λ₂Y_t-1 Yt = Ct + It

Donde:

C_t es el consumo (variable endógena), It es la Inversión (variable endógena), Y_t es la renta (variable endógena), T_t son los impuestos.

La estimación de la forma reducida.

Estimación del modelo por MC2E.

Se estima la forma estructural sustituyendo iesp y cesp por sus estimaciones de la forma reducida (iespf y cesf). Se realiza el ejercicio para la ecuación de consumo.

Para la ecuación de inversión

Test de Hausman.

Dependent Variable: CESP Method: Least Squares Date: 02/25/05 Time: 12:04 Sample(adjusted): 1972 1997

Included observations: 26 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 2680143. 420408.5 6.375092 0.0000 IESPF 0.489810 0.091929 5.328119 0.0000 CESP(-1) 0.585066 0.057823 10.11818 0.0000 TESP 3.335911 0.565475 5.899307 0.0000 V2 0.461366 0.067908 6.794011 0.0000 R-squared 0.998100 Mean dependent var 26107568 Adjusted R-squared 0.997738 S.D. dependent var 5284618.

S.E. of regression 251342.6 Akaike info criterion 27.87806 Sum squared resid 1.33E+12 Schwarz criterion 28.12000 Log likelihood -357.4148 F-statistic 2757.713 Durbin-Watson stat 1.423915 Prob(F-statistic) 0.000000

Dependent Variable: IESP Method: Least Squares Date: 02/25/05 Time: 12:02 Sample(adjusted): 1972 1997

Included observations: 26 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -20576606 4752511. -4.329628 0.0003 CESPF -15.03036 3.444124 -4.364059 0.0002 YESP(-1) 13.03692 2.933276 4.444492 0.0002 V1 1.377656 0.248898 5.535013 0.0000 R-squared 0.922077 Mean dependent var 7647318.

Adjusted R-squared 0.911451 S.D. dependent var 1713651.

S.E. of regression 509935.4 Akaike info criterion 29.26259 Sum squared resid 5.72E+12 Schwarz criterion 29.45615 Log likelihood -376.4137 F-statistic 86.77615 Durbin-Watson stat 0.802732 Prob(F-statistic) 0.000000

Donde v₁ y v₂ son los residuos de la estimación por m.c.o de la forma reducida de la primera y segunda ecuación respectivamente.

8.-Dado el modelo siguiente para el mercado monetario:

t t t

t t

t t t

v Y m

m r

v m r

m

2 5 1 4 2

1

1 1 2 1 1 0

+ + +

+

=

+ +

+

=

−

−

δ δ

δ δ

β β β

donde m es la demanda de dinero, r el tipo de interés, Y la renta.

a) Estudie la identificabilidad de los parámetros del modelo.

Nº de restricciones = g – 1

1ª Ecuación -Æ 1= 2 -1 -Æ 1 = 1 -Æ EXACTAMENTE IDENTIFICADO 2ª Ecuación Æ 0 = 2 – 1Æ 0 < 1 Æ NO IDENTIFICADO

No podemos resolver el modelo, ya que tenemos una ecuación que esta NO IDENTIFICADA.

b) Obtener la forma reducida.

c) Obtenga la estimación de la forma estructural para la primera ecuación.

9. Argumente la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

a) Una ecuación perteneciente a un modelo de ecuaciones simultáneas no se puede estimar consistentemente por mínimos cuadrados ordinarios

b) Si la condición de orden da como resultado el que la ecuación se encuentra no identificada no es necesario aplicar la condición de rango.

c) Si el sistema se encuentra identificado, entonces para cada coeficiente de la forma reducida se puede recuperar su correspondiente coeficiente en la forma estructural.

d) Si el sistema se encuentra exactamente identificado, las estimaciones por mínimos cuadrados bietápicos coinciden con las de mínimos cuadrados indirectos.

10.- Plantee la forma estructural del modelo de ecuaciones simultáneas que se expone a continuación:

ƒ la oferta de trabajo (L_t) es función de la tasa salarial (w_t) y la renta no salarial (I_t)

ƒ la tasa salarial (wt) es función de la productividad (Pt) y la oferta de trabajo (Lt)

ƒ la productividad (P_t) es función del nivel educativo (N_t)

ƒ La renta no salarial (It) y el nivel educativo (Nt) son variables exógenas

Una vez hecho esto, determine la identificabilidad del modelo planteado y exponga brevemente el método de estimación que considere más adecuado para el mismo.

11. Para estimar el comportamiento del mercado de automóviles propulsados por motor de gasolina se dispone del siguiente modelo:

q_t^d = a₀ +a₁ p_t + a₂ y_t + ε1t

qts = b0 + b1pt + b2zt + ε2t

donde q^d y q^s son las unidades demandadas y ofrecidas respectivamente, p es le precio medio del vehículo propulsado con motor de gasolina, y es la renta familiar media, z es el precio relativo del litro de gasolina respecto del gasóleo, y ε_{1 y} ε₂ son perturbaciones aleatorias. (z e y son variables predeterminadas).

A partir de las estimaciones que se ofrecen a continuación, se pide:

a) Estime los coeficientes del modelo anterior por mínimos cuadrados indirectos b) Compare los resultados con los coeficientes estimados por mínimos cuadrados

bietápicos. Comente.

GRUPOS DE ESTIMACIONES

MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS

ECUACIÓN ESTIMADA: Q = C_o + C₁ Y + C₂ Z

Variable Coef-icient Std. Error t-ratio Prob|t|óx Mean of X Std. Dev. Of X

Constant 97.133 69.26 1.402 0.18613

Y 22.561 10.44 2.160 0.05169 4.9139 0.33822

Z -72.542 47.16 -1.538 0.14996 1.2967 0.07489

MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS

ECUACIÓN ESTIMADA: P = Co + Cl Y + C2 Z

Variable Coef-icient Std. Error t-ratio Prob|t|óx Mean of X Std. Dev. Of X

Constant 2.2953 0.6998 3.280 0.00658

Y -0.40823 0.1055 -3.869 0.00223 4.7139 0.33822

Z 1.0739- 0.4765 2.254 0.04371 1.2967 0.07489

MÍNIMOS CUADRADOS BIETAPICOS

ECUACIONES ESTIMADAS: Q = Co + C1 P1 + C2 Y Q = Co + C1 P1 + CZ Z

(P1: Estimación por MCO de P a partir de la forma reducida)

Variable Coef-icient Std. Error t-ratio Prob|t|óx meanX td.Dev.Of X

Constant 252.19 157.1 1.606 0.13435

P1 -57.553 43.92 -1.538 0.14796 1.6817 0.14112 Y -5.016 18.33 -0.274 0.78395 4.9139 0.33822

Variable Coef-icient Std. Error t-ratio Prob|t|óx Mean of X Std. Dev. Of X

Constant 223.93 63.52 3.526 O.O0417

P1 -55.266 25.58 -2.160 0.05169 1.6817 0.14112

Z -13.193 48.20 -0.274 0.78895 1.2967 0.07489

12. Supongamos que la función de oferta de trabajo se especifica mediante la ecuación:

L = β W + γI + u

donde W es la tasa de salarios e I es renta no salarial (que se supone exógenamente determinada). A menudo la demanda de trabajo a nivel individual se supone perfectamente elástica. En ese caso el salario puede depender de alguna medida de productividad como por ejemplo en la especificación:

W = α N + v

donde N es el nivel educativo, que se supone exógeno, y v se distribuye idéntica e independientemente con media cero.

ƒ Suponga que cov(u,v) = 0, ¿Cómo podría estimarse la función de oferta?

ƒ Suponga ahora que cov(u.v) ≠ 0 ¿Cómo podría ahora estimar la función de oferta? ¿cómo podría estimar la función de demanda?

Ahora suponga que N es una variable explicativa para la oferta de trabajo, es decir,

L = βW + γI + δN + u´

Conteste a) y b) para este nuevo modelo.

13.- En un sistema de oferta y demanda

qs = αp + βw + θl +u q_d = γp + δl + v

Las u se distribuyen idéntica e independientemente con media 0 y varianza σ² y las v idéntica e independientemente con media 0 y varianza τ² e independientes de las u.

Tanto w como I son exógenas respecto de u y v.

Supongamos dos investigadores, cada uno de ellos maneja las siguientes hipótesis:

Investigador 1: "La demanda es completamente ine!ástica"

Investigador 2: "La demanda es perfectamente elástica"

¿Qué parámetros estarían identificados de acuerdo con las hipótesis hechas por cada investigador y cómo podrían estimarse? ¿Existe alguna posibilidad para averiguar qué investigador está en lo cierto sobre la base de los datos?

14. Supongamos el modelo de telaraña siguiente:

d t s t

t t t d t

t t t s t

q q

v z p q

u x p q

=

+ +

=

+ +

=

₋

δ α

γ β

₁

Las u y v son cada una idéntica e independientemente distribuidas con media 0 e independientes la una de la otra.

a) Escriba la forma reducida. ¿Qué parámetros están identificados?

b) Si se tuvieran datos relativos a cantidades intercambiadas, precio, x y z,

¿cómo podrían estimarse los parámetros identificados? ¿cuáles serían las propiedades de esos indicadores?

Ejercicio hecho en clase

Comente los cuadros siguientes:

15.- Modelo presentado es un modelo basado en la relación entre desempleo y precios. Modelo de Friedman donde el desempleo (UESP) depende de variaciones de la inflación esperada (PESP) y los precios del desempleo y del crecimiento del uso de capital (CUESP) :

UESP_t = α0 + α1 PESP_t + α2 PESP(-1) + u_1t PESP_t = β0 + β1 UESP_t + β2 CUESP + u_2t

Estimación de la forma reducida Primera ecuación

Segunda etapa