Estudio de la Frontera de la Estabilidad en los Convertidores DC DC Buck y Boost con Control PWM

(1)

INGENIERÍA TÉCNICA EN ELECTRÓNICA INDUSTRIAL

PROYECTO FINAL DE CARRERA

Estudio de la Frontera de la Estabilidad en los Convertidores DC DC Buck y Boost con Control PWM

Alumno: Gonçal Pellicena Terroba Profesor ponente: Abdelali El Aroudi Curso: 2002/03

(2)

ÍNDICE.

Índice. i

1 Objetivo del Proyecto. 1 2 Introducción. 2 3 Convertidores DC-DC con Control PWM. 4 3.1 Descripción del Control PWM. 4

3.2 Normalización de los Parámetros del Circuito. 8

3.3 Descripción del Convertidor DC-DC Buck. 14 3.3.1 Modo de Conducción Continua. 15 3.3.2 Frontera entre el Modo de Conducción Continua 20 y el Modo de Conducción Discontinua. 3.3.3 Modo de Conducción Discontinua. 20 3.4 Descripción del Convertidor DC-DC Boost. 24 3.4.1 Modo de Conducción Continua. 24 3.4.2Frontera entre el Modo de Conducción Continua 28 y el Modo de Conducción Discontinua. 3.4.3 Modo de Conducción Discontinua. 30 4 Descripción de los Tipos de Modelos Utilizados. 32 4.1 Modelo Conmutado. 32 4.1.1 Expresión del Modelo Conmutado para el Convertidor Buck. 34 4.1.2 Expresión del Modelo Conmutado para el Convertidor Boost. 35

4.2 Modelo Promediado. 36

4.2.1 Modelo Promediado del Convertidor Buck. 37

4.2.2 Modelo Promediado del Convertidor Boost. 38

4.2.3 Definición de la Curva Característica para Convertidores DC-DC 39

(3)

4.2.3.1 Definición de Punto de Equilibrio 39 4.2.3.2 Curva Característica a partir del Modelo

Promediado en el Convertidor Buck. 39

4.2.3.3 Curva Característica a partir del Modelo

Promediado en el Convertidor Boost. 41

4.3 Modelo Discreto. 43

5 Estudio de la Estabilidad. 47

5.1 Criterios de Estabilidad para el Modelo promediado 47 5.1.1 Cálculo del Punto de Equilibrio en el Convertidor Buck. 49 5.1.2 Cálculo de la matriz Jacobiana en elConvertidor Buck. 50 5.1.3 Cálculo del Punto de Equilibrio en el Convertidor Boost. 51 5.1.4 Cálculo de la matriz Jacobiana en elConvertidor Boost. 52 5.2 Criterios de Estabilidad para el Modelo Discreto 53

5.2.1 Definición de Mapa de un Intervalo. 53

5.2.2 Definición de Órbita y de Gráfico. 53

5.2.3 Tipos de Órbitas 54

5.2.3.1 Punto Fijo 54

5.2.3.2 Órbita p-periódica 55

5.2.3.3 Órbita de Punto Fijo con Preperíodo. 55 5.2.3.4 Órbita Periódica con Preperíodo. 56

5.2.3.5 Punto Asintóticamente Fijo. 56

5.2.3.6 Órbita Asintóticamente p-periódica. 56

5.2.3.7 Órbita Aperiódica. 57

5.2.4 Estabilidad de un Punto Fijo: Multiplicador. 57

5.2.5 Mapa Lineal Bidimensional. 58

5.2.5.1 Mapa Lineal 2D 58

(4)

5.2.5.2 Forma de Suma y Producto de Autovalores 59 5.2.5.3 Forma de Ecuación en Diferencias de Segundo Grado. 59

5.2.5.4 Punto Fijo 59

5.2.6 Mapa no lineal Bidimensional 60

5.2.6.1 Mapa no lineal de dos Dimensiones 60 5.2.6.2 Cálculo del Jacobiano a partir del Modelo Discreto 60 5.2.6.3 Autovalores Reales y Diferentes. 65

5.2.6.4 Autovalores Reales e Iguales. 66

5.2.6.5 Autovalores Complejos 66

5.2.6.6 Estabilidad del Mapa 2D según la Posición de sus

Autovalores. 67

5.2.7 Definición de Bifurcación. 68

5.2.8 Teoría de las Bifurcaciones. 68

5.2.9 Tipos de Bifurcaciones. 69

5.2.9.1 Bifurcación Transcrítica. 69

5.2.9.2 Bifurcación Tangente. 70

5.2.9.3 Bifurcación Horca. 71

5.2.9.4 Bifurcación Horca en la Cascada de

Doblamiento de Periodo. 72

5.2.9.5 Bifurcación de Autovalores Complejos Conjugados 72 6 Búsqueda de la Frontera de la Región Estable en el Convertidor Buck mediante

la Simulación del Sistema. 74

6.1 Estudio de la Frontera a partir del Modelo Promediado del Circuito 74 6.2 Estudio de la Frontera a partir del Modelo Discreto del Circuito 75

6.2.1Búsqueda de la Frontera de la Región Estable dependiente

de R y Vin para familias de kv. 76

(5)

6.2.1.1 Comprobación de la frontera obtenida para el

Parámetro de Familia kv=0.9 78

Parámetro de Familia k_v=1 84

Parámetro de Familia k_v=1.1 90

6.2.2 Búsqueda de la Frontera de la Región Estable dependiente

de R y Vin para familias de Vref. 97 6.2.2.1 Comprobación de la frontera obtenida para el

Parámetro de Familia Vref =11V 99 6.2.2.2 Comprobación de la frontera obtenida para el

Parámetro de Familia Vref =11.5V 105 6.2.2.3 Comprobación de la frontera obtenida para el

Parámetro de Familia Vref =12V 111 7 Búsqueda de la Frontera de la Región Estable en el Convertidor Boost mediante

la Simulación del Sistema. 118

7.1Búsqueda de la Frontera de la Región Estable dependiente

de VR y z, para familias de Q, mediante la traza del jacobiano. 119 7.1.1 Comprobación de la frontera obtenida para el Parámetro

de Familia Q=6.5263 121

7.1.2 Comprobación de la frontera obtenida para el Parámetro

7.2Búsqueda de la Frontera de la Región Estable dependiente de VR y z,

para familias de Q, mediante el determinante del jacobiano. 145 7.2.1 Comprobación de la frontera obtenida para el Parámetro

(6)

8 Conclusiones. 156

9 Anexos. 158

9.1 Anexo A. 158

9.2 Anexo B. 165

10 Bibliografía. 190

(7)

1 OBJETIVO DEL PROYECTO.

El Objetivo principal de este proyecto es realizar un programa informático que simule el comportamiento de sistemas dinámicos no lineales convertidores DC-DC buck y boost controlados mediante un control de anchura de pulsos, PWM. No se realiza el estudio del convertidor buck-boost porque el comportamiento de éste es muy parecido al del convertidor boost. Para poder simular estos circuitos, se deberá modelar primero su comportamiento, ya que sino, no podría llevarse a cabo este estudio. Los modelos que se utilizaran para este efecto serán el modelo promediado y el modelo discreto. Tanto de los modelos como de los circuitos se hará una explicación más detallada en posteriores apartados.

Una vez obtenidos los modelos de los dos sistemas, se podrá ver que para el convertidor buck, solo se puede obtener frontera utilizando el modelo discreto. El tipo de bifurcación que se encuentra es la de tipo de doblamiento de periodo, Flip. Con el convertidor boost, utilizando el modelo promediado se podrá ver que se puede encontrar dos tipos de bifurcación, una por la desaparición del unto de equilibrio, Saddle Node, y la otra por seguir una órbita quasi-periódica, Hopf. Esto es debido a que en este convertidor con el modelo promediado, el jacobiano depende del punto de equilibrio en el cual se está evaluando el sistema.

El siguiente paso es realizar un programa que simula su comportamiento teniendo en cuenta los parámetros que caracterizan dichos circuitos. De esta familia de parámetros, se escogerá uno de ellos, para realizar un barrido en un intervalo acotado, y posteriormente, se escogerá otro de ellos para que sea calculado su valor, en el cual se produce un cambio en la estabilidad del sistema.

Este procedimiento es interesante realizarlo para diferentes valores de un tercer parámetro del circuito, para así, obtener una familia de curvas que delimitarán la frontera entre la región estable y la región inestable del sistema.

Una vez realizada está operación para cada uno de los convertidores, y haber obtenido diferentes gráficas de familias para variaciones de diferentes parámetros, se verificarán las fronteras obtenidas evaluando, con una aplicación informática de gran precisión, los puntos de las fronteras obtenidas.

Para realizar estas comprobaciones, evaluaremos la dinámica del sistema, tanto en el dominio temporal como en el plano de fase, para ver que en un lado de la frontera, la dinámica es estable y en el otro lado es inestable o viceversa.

Con las fronteras obtenidas y, con las correspondientes comprobaciones, se podrán sacar las conclusiones pertinentes sobre el comportamiento de estos circuitos, y así facilitar el posible diseño de los mismos, ya que se habrá acotado su región de funcionamiento.

(8)

2 INTRODUCCIÓN.

Los convertidores continua-continua son circuitos que tienen como principal uso regular la tensión proporcionada por una fuente de energía continua a una carga conocida.

Para que estos circuitos no funcionen en ciclo abierto y se desestabilicen fácilmente, se les suele añadir un circuito de control como puede ser el PWM.

La topología de estos circuitos es bastante simple ya que están formados bien con osciladores LCR o con filtros paso bajo LR y CR. Estos circuitos no tienen un comportamiento lineal ya que se caracterizan por tener dos estados de funcionamiento. La conmutación entre estos estados viene determinada por dos interruptores, un transistor y un diodo.

El interruptor principal es el transistor ya que es el que permite que en el primer estado de conmutación, ON, la energía que proporciona la fuente se transfiera a la bobina, produciendo su carga. Cuando el transistor está en estado OFF, la energía que ha acumulado la bobina es transferida a la carga. El interruptor normalmente es gobernado por la lógica de control, que provocará que conmute de un estado a otro.

El segundo interruptor utilizado es el diodo que realiza la acción opuesta al transistor.

Cuando el transistor está en estado ON el diodo está en estado OFF. Cuando los dos interruptores conmutan entre los dos estados antes citados, el convertidor trabaja en el modo de conducción continua. Pero se puede dar el caso que los dos interruptores estén en estado OFF ya que el diodo no soporta tensiones inversas. Cuando esto sucede, se dice que el convertidor trabaja en modo de conducción discontinua.

El control que se utiliza, consiste en amplificar el error producido entre el valor de las variables de salida y su valor deseado, obteniendo una tensión de control. Esta tensión es comparada con una forma de onda repetitiva produciendo una señal de conmutación que es la que gobierna al interruptor.

Como ya se ha especificado antes, el comportamiento de estos circuitos siguen una dinámica no lineal, de hecho, cada estado por separado es lineal, pero la acción de conmutar entre un estado y otro produce un fuerte no-linealidad. Este hecho hace que el análisis del sistema esté fuera del alcance de las teorías conocidas para el tratamiento de sistemas dinámicos.

Los convertidores básicos son sistemas de dos dimensiones, pero la señal de conmutación produce que el sistema sea no autónomo. Como ya es conocido, los sistemas de dos dimensiones no autónomos tienen propiedades comunes a los sistemas de tres dimensiones.

El comportamiento de estos sistemas puede producir una amplia variedad de dinámicas con sus correspondientes bifurcaciones. Estas dinámicas incluyen puntos de equilibrio, orbitas periódicas y quasiperiodicas y por supuesto el caos. Las posibles bifurcaciones que nos podemos encontrar son, por ejemplo, una bifurcación del tipo Hopf seguida de una ruta quasiperiodica al caos, o una bifurcación del tipo Flip seguida de una ruta de desdoblamiento de periodo al caos, o una bifurcación del tipo Saddle Node o bifurcación tangente y el fenómeno implicado cuando se produce mas de una conmutación durante un periodo. Además de estas bifurcaciones, nos podemos encontrar con otras de más complejas relacionadas con los límites de los circuitos de control por ejemplo, cuando se alcanza el modo de conducción discontinua o cuando el control evita la conmutación al valor máximo o mínimo de la señal de modulación. Este caso puede llevar a que la dinámica del convertidor se sitúe en uno de los dos estados de conmutación, sin volver a conmutar o que pueda parar de conmutar durante algunos de los periodos de la señal de modulación.

(9)

En este proyecto se realizará un análisis de este tipo de bifurcaciones, ya que el hecho de buscar una frontera de la región estable, posibilita el estudio de las mismas. Un análisis cuantitativo es difícil de tratar debido a la dependencia de las variables del sistema con el tiempo. Por tanto, será más factible si se realizan aproximaciones de la dinámica en pequeños periodos de tiempo, teniendo en cuenta las constantes de tiempo del circuito.

Para este efecto, si se utiliza el modelo promediado, se pueden obtener aproximaciones bastante reales de sistemas conmutados. Para que los resultados sean lo más fiables posible, nos ayudaremos de herramientas gráficas y analíticas como son la curva característica y la impedancia crítica del circuito que se lleva a estudio. Tanto una como la otra, están asociadas al punto de equilibrio obtenido a partir del modelo promediado. Además, estas herramientas nos facilitarán entender las diferentes bifurcaciones que se puedan obtener.

El análisis a través del modelo promediado, se limita al estudio de los puntos de equilibrio del sistema, los cuales corresponden a la órbita de un periodo. Por tanto, se analizará la matriz jacobiana alrededor del punto para que, según sus autovalores, se pueda conocer la región de trabajo del circuito.

Este estudio, se realizará para dos de los convertidores básicos, buck y el boost, pero nos encontramos con el inconveniente que el modelo promediado del convertidor buck es lineal y su comportamiento es bastante simple, en detrimento del convertidor boost, el cual su modelo es no lineal.

Debido a que los sistemas promediados son sistemas autónomos de dos dimensiones (el tiempo ha sido suprimido de las ecuaciones del modelo), algunas de las dinámicas y de las bifurcaciones asociadas al sistema, como el comportamiento caótico o la bifurcación de Flip, con periodos grandes de modulación de señal, no se podrán explicar. Este es el principal inconveniente de utilizar el modelo promediado.

El inconveniente antes citado, nos lleva a la utilización de otro tipo de modelo para realizar el estudio de bifurcaciones o dinámicas donde el periodo de modulación de la señal sea alto. Este modelo es el llamado modelo discreto en el cual la señal de conmutación es esencialmente discreta.

Por tanto, se realizará la modelización discreta de los convertidores con un control PWM con una frecuencia de conmutación fija. Se propondrán las ecuaciones que describen el circuito en el modo de conducción continua para realizar el modelo. También se deberá modelar la función rampa que se utiliza en el control ya que es muy importante para el estudio de la dinámica del sistema. Para el estudio de la estabilidad, se realizará alrededor de un punto de la órbita de un periodo, por tanto, se deberá estudiar la matriz jacobiana para que según sus autovalores se pueda determinar la dinámica del sistema.

Cabe decir que las herramientas, tanto analíticas como gráficas, que se utilizan en el modelo promediado, también podrán ser muy útiles para entender las dinámicas y las bifurcaciones que se puedan hallar mediante su utilización

El uso de este modelo provoca que se pueda encontrar bifurcaciones del tipo Flip, ya que depende del periodo de modulación de la señal.

(10)

3 CONVERTIDORES DC-DC CON CONTROL PWM.

En este apartado se describen los dos convertidores DC-DC que se llevan a estudio y el control utilizado.

3.1 Descripción del Control PWM

En los convertidores DC-DC, la tensión continua de salida debe ser controlada para mantener un valor deseado de dicha tensión, frente a fluctuaciones de la tensión de entrada y de la carga.

Para ello, se puede controlar mediante el control de la duración de los estados ON y OFF de los interruptores (Ton y Toff). Este tipo de control es conocido como control por modulación de anchura de pulsos o PWM, en el cual, se varía la relación de conmutación.

Esta relación también es conocida por duty cycle, D, y se define como la relación entre la duración del estado ON del interruptor y su periodo de conmutación.

r on

T

D=T (1)

La conmutación en este tipo de control, a una frecuencia de conmutación constante, se genera comparando el voltaje de una señal de control con una forma de onda repetitiva, en este caso una diente de sierra. De esta comparación se determinará el estado de la conmutación (ON o OFF). La señal diente de sierra que utilizamos estará acotada entre dos valores de tensión fijos, uno para el máximo, V_u y otro para el mínimo V_l..

La señal de control se obtiene a partir de la siguiente expresión:

)

( _v _c _i _l _ref

control a k v k i V

v = ⋅ ⋅ + ⋅ − (2)

En la siguiente figura, se muestra el diagrama de bloques del circuito PWM.

Figura 1. Diagrama de bloques del modulador de anchura de pulsos.

La frecuencia de la señal en diente de sierra, con un valor de pico constante, es la que establece la frecuencia de conmutación, ésta suele escogerse entre unos pocos kHz y unos cientos kHz.

(11)

vcontrol > vrampa

OFF OFF

ON ON

0 t

vrampa vcontrol

vcontrol < vrampa

vu - vl

Ton

Toff

Tr

Cuando la señal amplificada del error, v_control, la cual varía muy poco respecto del periodo de conmutación, es mayor que la onda en diente de sierra, vrampa, la señal de control se pone en estado alto, causando la conmutación a estado ON, y viceversa. Lo comentado se puede ver en la siguiente figura.

Figura 2. Señales de comparación del modulador de anchura de pulsos.

En término de tensión de control, v_control, y de la tensión de pico de la señal en diente de sierra, V_u −V_l, el duty cycle se puede expresar como sigue:

l u

control r

on

V V

v T D T

= −

= (3)

La expresión del duty cycle como la relación entre la tensión de control definida en la ecuación (2) y la señal en diente de sierra definiendo la amplitud como Vu-Vl, teniendo en cuenta que Vl >0 y Vu>Vl, queda según la siguiente ecuación:

l u

ref l i c v u

r on

V V

V i k v k a V T D T

−

⋅ +

⋅

= −

= ( )

(4)

Ton en el eje de tiempo se corresponde a la diferencia entre el valor máximo de la tensión de la rampa y la tensión de control en el eje de tensión. El periodo de la rampa, T_r, en el eje de tiempo se corresponde a la amplitud de la rampa en el eje de tensión.

El hecho de tener la rampa acotada, nos permite introducir el concepto de la banda de conmutación ya que si la señal de conmutación, V_control-V_rampa, es mayor que el extremo superior de la función rampa o es menor que el extremo inferior, el convertidor no conmutará de estado quedándose en un estado permanentemente o durante unos ciclos de funcionamiento. Por tanto, para el estudio que llevaremos a cabo, el convertidor deberá

(12)

i

v bl

bh

El valor de los bordes de la banda de conmutación se pueden calcular si comparamos la expresión con cada uno de los extremos de la rampa.

a Vref i V

k v k V V

i k v k

a⋅( _v⋅ _c + _i ⋅ _l − _ref)<> _u ⇒ _v⋅ _c+ _i⋅ _l <> ^u + (5)

a Vref i V

k v k V V

i k v k

a⋅( _v⋅ _c + _i ⋅ _l − _ref)<> _l ⇒ _v⋅ _c + _i⋅ _l <> ^l + (6)

Los circuitos que simularemos, tratamos tanto con realimentación de tensión como con los dos tipos, de corriente y de tensión. A partir de las comparaciones anteriores, podemos calcular las expresiones de los extremos de la banda para cada uno de los dos casos.

El primer caso será cuando el control solo tenga realimentación de corriente, donde el valor de kv es igual a 0. Calcularemos cada uno de los bordes, llamando bh al borde correspondiente al valor máximo de la rampa, y bl al borde correspondiente al valor mínimo.

bh a Vref

V i k

a Vref i V

k ^u

i l u

l

i =



 



 +

⋅

=

⇒ +

<>

⋅ 1

(7)

bl a Vref

V i k

a Vref i V

k ^l

i l l

l

i =



 



 +

⋅

=

⇒ +

<>

⋅ 1

(8)

Si se representa la banda calculada en el plano (v,i), podemos ver que tienen la siguiente forma.

Figura 3. Representación en el plano (v,i) de la banda de conmutación para una realimentación de corriente.

(13)

i

v

bl bh

Si tratamos el circuito solo con realimentación de tensión, calcularemos los bordes de la banda correspondiente con la misma notación utilizada en el caso anterior.

bh a Vref

V v k

a Vref v V

k ^u

v c u

c

v =



 



 +

⋅

=

⇒ +

<>

⋅ 1

(9)

bl a Vref

V v k

a Vref v V

k ^l

v c l

c

v =



 



 +

⋅

=

⇒ +

<>

⋅ 1

(10)

Si se representa gráficamente:

Figura 4. Representación en el plano (v,i) de la banda de conmutación para una realimentación de tensión

En el caso en que el circuito tenga realimentación de corriente y de tensión, deberemos calcular las coordenadas (x,y) del punto inicial y del punto final de cada borde.

Llamaremos tanto a la coordenada del eje x como del eje y correspondiente al valor de la banda en el valor máximo de la rampa como bhx y bhy respectivamente, y, blx y bly, a las coordenadas de los ejes en el valor mínimo dela rampa. Como se puede ver solo calculamos un punto en cada coordenada porque el cálculo se realiza tomando como 0 una de las dos coordenadas.

⇒ +

<>

⋅ +

⋅ Vref

a i V k v

k_v _c _i _l ^u si i_l=0 Vref bhx

a V

v k ^u

v

c =



 



 +

⋅

=

⇒ 1

(11)

⇒ +

<>

⋅ +

⋅ Vref

a i V k v

k_v _c _i _l ^u si vc=0 Vref bhy

a V

i k ^u

i

l =



 



 +

⋅

=

⇒ 1

(12)

⇒ +

<>

⋅ +

⋅ Vref

a i V k v

k_v _c _i _l ^l si il=0 Vref blx

a V

v k ^l

v

c =



 



 +

⋅

=

⇒ 1

(13)

(14)

i

v

blx bhx

blx bly

⇒ +

<>

⋅ +

⋅ Vref

a i V k v

k_v _c _i _l ^l si vc=0 Vref bly

a V

i k ^l

i

l =



 



 +

⋅

=

⇒ 1

(14)

Si se representan las bandas a partir de los puntos calculados anteriormente,

Figura 5. Representación en el plano (v,i) de la banda de conmutación para realimentación de tensión y de corriente.

3.2 Normalización de los Parámetros del circuito.

El gran número de parámetros asociados a los convertidores DC-DC con control PWM es el mayor inconveniente para el estudio de todas las posibles dinámicas. Los parámetros asociados a estos circuitos sin tener en cuenta el modelo que se utilice, son Vin, R, L, C y Rs, para el circuito, y Vref, Vl, Vu, kv, ki, a y T, para el control PWM. Como se puede ver el elevado número de parámetros puede dificultar el estudio. Para solucionar este problema, definiremos parámetros adimensionales para reducir el número de parámetros independientes del circuito.

El primer paso será realizar una transformación lineal de las variables de estado para obtener como resultado final los nuevos parámetros adimensionales. Escogemos las variables Ts, Vs y Is como parámetros de escala con dimensiones físicas de tiempo, tensión y corriente, respectivamente.

La normalización de variables y parámetros de un sistema facilita el análisis del sistema, permite ver las diferencias entre los convertidores y muestra como el factor de calidad, que está relacionado con la resistencia de carga, y el factor de calidad asociado a la resistencia serie de la bobina intervienen en la dinámica del sistema.

(15)

De todas las posibilidades que se pueden adoptar, escogemos las siguientes expresiones para los parámetros de escala.

C L

T_s =2⋅π ⋅ ⋅ (15)

in

s V

V = (16)

LC

I_s = Vⁱⁿ (17)

Una vez definidos los parámetros de escala, definimos las variables de estado normalizadas del convertidor,

in c

V t t v

v ( )

)

( = (18)

) ( )

( i t

V LC t

i _l

in

⋅

= (19)

y los parámetros normalizados.

Ts

= t

τ (20)

LC

Q= R (21)

s

s R

LC

Q = (22)

Q es el factor de calidad asociado a la resistencia de carga del circuito, Q_s es el factor de calidad asociado a la resistencia serie de la bobina, y τ es una variable adimensional de tiempo.

El siguiente paso es normalizar las variables que pertenecen al control PWM.

Normalizando la condición de conmutación se obtiene que,

(

^v^,ⁱ^,^τ

)

⁼^v⁺^z^⋅ⁱ⁻⁽^V ⁺^V ^⋅^h⁽^τ⁾⁾⁼⁰

f_s _R _D (23)

El parámetro VR es la tensión de referencia normalizada. VD, es la amplitud de la tensión de la rampa normalizada. z, es la impedancia normalizada. h(τ), es una función diente de sierra de amplitud la unidad, con valor máximo de 1/2, y de valor mínimo –1/2, periodo TN.

(16)

h(τ)

τ

pT T

1/2

0 -1/2

Expresamos los anteriores parámetros normalizados en función de los parámetros del circuito y del control.

in v

l u v

in ref

R a k V

V V k

V V V

⋅

⋅ + +

= ⋅

2 (24)

in v

l u

D a k V

V V V

⋅

= − (25)

) ( LC k

z k

v i

= ⋅ (26)

T0

T_N = T (27)

Una vez se tienen todas las variables normalizadas, se puede definir nuevamente el duty cycle en función de estas nuevas variables, siendo por tanto,

D R

V

t i z t v t V

d ( ) ( )

2 ) 1

( = + − − ⋅ (28)

Al normalizar los parámetros del control, la banda de control también se normaliza, por tanto obtendremos las nuevas expresiones de los bordes para los nuevos parámetros.

En la siguiente figura se muestra la función rampa normalizada.

Figura 6. Representación de la rampa normalizada

(17)

i

v bl

bh

Si consideramos que la función h(τ) toma el valor de los extremos de la rampa, y utilizando la misma notación, para cada una de ellas, como cuando no estaba normalizada, sus expresiones serán las siguientes.

Para el caso que el control solo tiene realimentación de tensión.

V bh z V

i V

V i

z⋅ <> _R + _D⋅ ⇒ = ⋅ _R + ^D)= ( 2

1 2

1 (29)

V bl z V

i V

V i

z _R _D ⇒ = ⋅ _R − ^D =



 

−

⋅ +

<>

⋅ )

( 2 1 2

1 (30)

Representando gráficamente la banda de conmutación para parámetros normalizados.

Figura 7. Representación en el plano (v,i) de las banda normalizada para realimentación de corriente.

En el caso que solo haya realimentación de tensión, los bordes de la banda se expresarán como:

V bh V v V

V

v<> _R + _D⋅ ⇒ = _R + ^D = 2 2

1 (31)

V bl V v V

V

v _R _D ⇒ = _R − ^D =



 

−

⋅ +

<>

2 2

1 (32)

(18)

i

v

bl bh

Y expresada gráficamente:

Figura 8. Representación en el plano (v,i) de la banda normalizada para realimentación de tensión.

Realizamos la misma operación para una realimentación de corriente y de tensión.

⇒

⋅ +

<>

⋅

+ 2

1

D

R V

V i z

v si i=0 V bhx

V

v= _R + ^D =

⇒ 2 (33)

⇒

⋅ +

<>

⋅

+ 2

1

D

R V

V i z

v si v=0 V bhy

z V

i _R ^D=



 



 +

⋅

=

⇒ 2

1 (34)

⇒



 

−

⋅ +

<>

⋅

+ 2

1

D

R V

V i z

v si i=0 V blx

V

v= _R − ^D =

⇒ 2 (35)

⇒



 

−

⋅ +

<>

⋅

+ 2

1

D

R V

V i z

v si v=0 V bly

z V

i _R ^D=



 



 −

⋅

=

⇒ 2

1 (36)

(19)

i

v

blx bhx

bly bhy

i

v

blx bhx

bly bhy

Representamos gráficamente la nueva banda de conmutación con parámetros normalizados. Según el signo de la variable normalizada z, variará el signo de la pendiente de la banda, de esta forma, si z>0,

Figura 9. Representación en el plano (v,i) de la banda normalizada para realimentación de tensión y de corriente para z>0.

y en caso contrario,

Figura 10. Representación en el plano (v,i) de la banda normalizada para realimentación de tensión y de corriente para z>0.

(20)

3.3 Descripción del Convertidor DC-DC Buck.

Este tipo de circuito, convierte una tensión continua de entrada a una tensión continua de salida menor. En la siguiente figura se muestra el circuito básico que constituye este tipo de convertidor con una carga puramente resistiva.

Figura 11. Circuito básico de un convertidor DC-DC.

Suponiendo el interruptor ideal, el voltaje de salida depende de la posición del interruptor, de esta forma, se puede calcular el valor medio de dicha tensión en función del duty cycle.

in in

r on Tr

Ton Ton

in Tr

V D T V

dt T dt

t V dt t v

V =

∫

⁽ ⁾⋅ =

∫

⁽ ⁾⋅ +

∫

⁰⋅ = ⋅ = ⋅

0 0

0

0 (37)

De esta forma, se puede controlar la tensión de salida a partir de duty cycle. En el circuito anterior, existen dos inconvenientes para su utilización. En la práctica, se puede tener una carga resistiva con una fuerte componente inductiva. Este hecho, provoca que el interruptor tenga que absorber o disipar la energía de dicha bobina parásita y pueda ser destruido el interruptor. Por último, es que el voltaje de salida pueda fluctuar entre 0 V y Vin, siendo inaceptable en muchas aplicaciones.

Para solucionar estos dos inconvenientes, se introducen modificaciones en el circuito.

Si se introduce un diodo entre el interruptor y la carga provoca que la energía en la bobina se pueda transferir a la carga. Este efecto se explica ya que si el interruptor está en estado ON, el diodo no conduce y la entrada suministra energía a la carga y a la respectiva bobina.

Cuando el interruptor se encuentra en estado OFF, el diodo conduce, provocando que la corriente del inductor circule a través del diodo y se pueda transferir energía a la carga.

Para disminuir las fluctuaciones de la tensión de salida, se introduce un filtro paso bajo formado por una bobina y un condensador. La frecuencia de corte del filtro tiene que ser mucho mayor que la frecuencia de conmutación para así, eliminar el rizado provocado por dicha frecuencia en el voltaje de salida.

(21)

Tras las modificaciones antes descritas, el convertidor DC-DC del tipo buck, presenta la siguiente forma:

Figura 12. Convertidor DC-DC del tipo Buck.

Cabe decir que el valor del condensador deberá ser de un valor elevado para eliminar el rizado de la señal de salida y así obtener quev₀(t)=V₀.

También se puede observar que el promedio de la corriente en la bobina es igual al promedio de la corriente de salida. Esto es debido a que el promedio de la corriente en el condensador es 0 en el estado estacionario.

3.3.1 Modo de Conducción Continua.

Cuando el convertidor funciona en este modo de conducción, la corriente que pasa por la bobina fluye constantemente, siendo. Como se puede ver en la siguiente figura, tomando que Vd=Vin,

Figura 13. Gráfica de la corriente en la bobina en el convertidor buck trabajando en modo de conducción continua.

(22)

En el estado estacionario, la forma de onda se repite de un periodo a otro, siendo la integral del voltaje en la bobina igual a 0. así, de esta forma:

0

0 0

=

⋅ +

⋅

=

∫

⋅

∫ ∫

Tr Tr

Ton l Ton

l

l dt v dt v dt

v (38)

De la ecuación anterior, se puede concluir que las áreas A y B tienen que ser iguales, por tanto:

) (

)

(V_in −V₀ ⋅T_on =V₀⋅ T_r −T_on (39)

T D T V V

r on in

=

0 (40)

De este modo, la tensión de salida varía linealmente con el duty cycle del interruptor para un voltaje dado. Así no se depende de otro parámetro del circuito.

Para buscar las expresiones de las variables de estado del circuito, la corriente en la bobina y la tensión en el condensador, estudiamos cada una de las topologías por separado, para Ton, y para Toff.

Durante el periodo de tiempo Ton, el interruptor está en estado ON, suministrando corriente a la bobina, y el diodo se encuentra en estado de corte. Esto provoca que en la bobina, la tensión sea positiva, V_in-V₀.

Por tanto, el circuito queda de la siguiente manera,

Figura 14. Convertidor buck en estado ON.

Si aplicamos un KVL al circuito obtenemos que, ) (_l _c

l l s

in R i v R i i

V = ⋅ + + ⋅ − (41)

(23)

Consideramos que la expresión tanto de la tensión de una bobina como la corriente en un condensador son:

dt t L di v_l ^l( )

⋅

= (42)

y

dt t Cdv i_c ^c( )

= (43)

Sustituimos las expresiones (42) y (43) en la expresión (41).

dt t Cdv R i dt R

t L di i R

V_in _s _l ^l( ) _l ^c( )

⋅

−

⋅ +

⋅

= (44)

La expresión de la tensión en el condensador sabemos que tiene la siguiente expresión.

dt t Cdv R i R

v_c _l ^c( )

⋅

−

⋅

= (45)

Despejando la derivada de la tensión en el condensador.

l c

c i

v C C R dt

t

dv ⋅ + ⋅

− ⋅

= 1 1

)

( (46)

Sustituimos la expresión de la derivada de la tensión del condensador de la ecuación (46) en la ecuación (44), y despejamos la derivada de la corriente en la bobina, obteniendo.

⇒ +

⋅

−

⋅ +

⋅

−

⋅

−

=

⇒

⇒ +

⋅

−

⋅ +

⋅

=

⇒

⇒



 



 ⋅

− ⋅

⋅

−

⋅ +

⋅

=

L i V L i R L i R L v R L dt

t di

v i R i dt R

t L di i R V

C v i R

C C R i dt R

t L di i R V

in l l

l s c l

c l l l

l s in

c l

l l

l s in

) 1 (

) (

1 ) 1

(

L i V L v R L dt

t

di _in

l s c

l =− ⋅ − ⋅ +

⇒ ( ) 1

(47)

(24)

Por tanto, las ecuaciones de las variables de estado para el convertidor Buck, cuando está topología ON son:

l c

c i

v C C R dt

t

dv ⋅ + ⋅

− ⋅

= 1 1

)

( (48)

L i V L v R L dt

t

di _in

l s c

l( ) =−1⋅ − ⋅ +

(49) Si expresamos las ecuaciones anteriores, (48) y (49), con parámetros normalizados, las ecuaciones de estado quedan de la siguiente manera:

i Q v dt

t

dv( ) =− 1 ⋅ +

(50)

1 1 )

( =− − ⋅i+ v Q

dt t di

s

(51)

Ahora buscamos la expresión de las variables para la topología OFF. En esta topología el circuito presenta de la siguiente forma:

Figura 15. Convertidor buck en estado OFF.

El procedimiento que utilizaremos es el mismo que para buscar las expresiones de las ecuaciones de las variables de estado para la topología anterior. Si aplicamos un KVL al circuito obtenemos que,

) (

0=R_s⋅i_l +v_l +R⋅ i_l −i_c (52) Sustituimos las expresiones de la tensión en la bobina, (43), y la de la corriente en el condensador, (42), en la expresión (52).

dt t Cdv R i dt R

t L di i

R_s _l ^l( ) _l ^c( )

0= ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ (53)

(25)

La expresión de la tensión en el condensador sabemos que tiene la siguiente expresión.

dt t Cdv R i R

v_c _l ^c( )

⋅

−

⋅

= (54)

Despejando la derivada de la tensión en el condensador.

l c

c i

v C C R dt

t

dv ⋅ + ⋅

− ⋅

= 1 1

)

( (55)

Sustituimos la expresión anterior, (55), en la ecuación (53), y despejamos la derivada de la corriente en la bobina, obteniendo.

⇒

⋅

−

⋅ +

⋅

−

⋅

−

=

⇒

⇒ +

⋅

−

⋅ +

⋅

=

⇒

⇒



 



 ⋅

− ⋅

⋅

−

⋅ +

⋅

=

l l

l s c l

c l l l

l s

c l

l l

l s

L i i R L i R L v R L dt

t di

v i R i dt R

t L di i R

C v i R

C C R i dt R

t L di i R

) 1 (

) 0 (

1 ) 1

0 (

l s c

l i

L v R L dt

t

di =− ⋅ − ⋅

⇒ ( ) 1

(56) Por tanto, las ecuaciones de las variables de estado para el convertidor buck, cuando está topología OFF son:

l c

c i

v C C R dt

t

dv ⋅ + ⋅

− ⋅

= 1 1

)

( (57)

l s c

l i

L v R L dt

t

di ( ) =−1⋅ − ⋅

(58) Si expresamos las ecuaciones anteriores, (57) y (58), con parámetros normalizados, las ecuaciones de estado quedan de la siguiente manera:

i Q v dt

t

dv( ) =− 1 ⋅ +

(59)

Q i dt v

t di

s

⋅

−

= 1

)

( (60)

(26)

3.3.2 Frontera entre el Modo de Conducción Continua y el Modo de Conducción Discontinua.

En este apartado, se desarrollan las ecuaciones que muestran la influencia de varios parámetros del circuito a la corriente de la bobina en el modo de conducción continua o discontinua, y así, poder introducir la frontera entre ambos modos de conducción.

La forma de la onda de la corriente y la tensión en la bobina en la frontera entre ambos modos de conducción, tomando V_in=V_d es:

Figura 16. Forma de onda de la corriente en la bobina en la frontera delos dos modos de conducción

Como se puede ver, en la frontera entre el modo de conducción continua y discontinua, la corriente en la bobina, il, se hace 0 al final del tiempo Toff.

Teniendo en cuenta que el subíndice B se utiliza para referirse a la frontera, la ecuación que determina la corriente en la bobina en dicha frontera es:

B in

r in

on pico l

lB V V I

L T V D

L V i T

I _, ₀ ( ₀) ₀

) 2 2 (

2

1 = − =

⋅

= ⋅

−

⋅ ⋅

=

⋅

= (61)

Por tanto, si durante el modo de conducción, la corriente media en la bobina es menor que ILB, entonces, il se convertirá en discontinua y se situará en la frontera entre ambos modos de conducción.

3.3.4 Modo de Conducción Discontinua.

Dependiendo de la aplicación de estos convertidores, o la tensión de entrada V_in, o la tensión de salida V0 se controla ajustando el duty cycle, D.

El primer caso que tratamos es cuando se mantiene la tensión de entrada constante.

Este caso se puede encontrar, por ejemplo, en un control de velocidad de un motor DC, donde la tensión de entrada V_in permanece constante, mientras V₀ se controla ajustando el duty cycle, D.

De V0 =D⋅V_in, la corriente media en el inductor en la frontera del modo de conducción continua:

) 1

2 D ( D

L

I_LB T^r ⋅ ⋅ −

= ⋅ (62)

(27)

Usando esta ecuación, se puede mostrar en la siguiente figura, I_LB en función del duty cycle, manteniendo Vin (Vd) y todos los parámetros del circuito constantes.

Figura 17. Relación entre la corriente de la bobina en la frontera y el duty cycle para V_d constante.

Como se puede ver en la figura, la corriente de salida es máxima para un duty cycle de D=0.5 en el modo de conducción continua.

L V I_LB T^r ⁱⁿ

⋅

= ⋅

max 8

, (63)

De las ecuaciones (62) y (63):

D D I

I_LB =4⋅ _LB_,_max⋅(1− )⋅ (64) Se procede al cálculo de la relación V₀/V_in en el modo discontinuo. Inicialmente, se toma que el convertidor trabaja en la frontera del modo continuo con unos valores de T, L, Vin y D dados. Si se mantienen estos parámetros constantes, la salida se decrementa, la corriente en el inductor también se verá decrementada.

Como se muestra en la siguiente figura, el efecto antes descrito, produce un aumento de la tensión en la carga y una corriente discontinua en el inductor.

Figura 18. Modo de conducción discontinua en el convertidor Buck.

(28)

Durante el intervalo D₂T_r, donde la corriente en el inductor es 0, la potencia suministrada a la carga resistiva es suministrada por el filtro capacitivo. El voltaje en la bobina durante este intervalo es 0. también en este caso, la integral del voltaje en la bobina durante un periodo es 0.

r r

in V D T V T

V − 0)⋅ ⋅ − 0⋅∆1⋅

( (65)

Si se despeja:

1 0

∆

= + D

D V

V

in

(66)

Donde D+D₁ <1.0. De la figura anterior:

r pico

l T

L

i_, =V⁰ ⋅∆₁⋅ (67)

Por tanto:

2

1 ,

0

∆

⋅ +

= D

i

I _l_pico (68)

usando (68)

1 1

0 ( )

2 ⋅ +∆ ⋅∆

⋅

= ⋅ D

L T V _r

(69) usando (66)

2 ⋅ ⋅∆1

⋅

= ⋅ D

L T V_in _r

(70) usando (63)

1 max

4⋅ , ⋅ ⋅∆

= I_LB D (71)

si se despeja:

1 max

,

0 =4⋅I ⋅D⋅∆

I _LB (72)

se obtiene que:

max , 0

1 4 D I_LB

I

⋅

= ⋅

∆ (73)

(29)

de las ecuaciones (66) y (73):







⋅ +

=

max , 2 0

2 0

4 1

LB in

I D I

D V

V (74)

El segundo caso que tratamos será cuando se mantiene la tensión de salida constante.

En aplicaciones como la regulación del suministro de potencia DC, se puede encontrar este caso ya que la tensión de entrada, V_in, puede fluctuar, pero V₀ debe mantenerse constante ajustando el duty cycle.

De Vin=V0/D, la corriente media en el inductor en la frontera del modo de conducción continua es:

) 1 2 (

0 D

L V I_LB T^r ⋅ −

⋅

= ⋅ (75)

De esta ecuación, se puede sacar la conclusión que si V₀ se mantiene constante, el valor máximo de ILB ocurre cuando el duty cycle es 0.

L V I_LB T^r

⋅

= ⋅ 2

0 max

, (76)

Se puede ver que la operación correspondiente para un duty cycle igual a 0 y una V0

finita es hipotética, ya que, Vin tendría que ser infinito.

De las ecuaciones (71) y (72) se puede sacar:

max

) ,

1

( _LB

LB D I

I = − ⋅ (77)

Para el convertidor donde V0 se mantiene constantemente, puede ser útil obtener el duty cycle requerido como función de I0/ILB,max. Usando las ecuaciones (66), (67) y (76), para el caso de V₀ se mantiene constante.

d LB

in

V V I

I

V D V

0 max ,

0

1−

⋅

= (78)

(30)

3.4 Descripción del Convertidor DC-DC Boost.

Este tipo de circuito, convierte una tensión continua de entrada en una tensión continua de salida mayor. En la siguiente figura, se muestra el esquema de este tipo de circuitos:

Figura 19. Esquema del convertidor DC-DC del tipo boost.

Cuando el interruptor está en estado ON, el diodo está en corte, produciendo que la fuente de entrada suministre energía a la bobina. Cuando el interruptor está en estado OFF, el diodo conduce, y la carga recibe energía tanto de la fuente de entrada como de la bobina.

En el estado estacionario, presentado aquí, el condensador, que forma el filtro de salida, se toma lo suficientemente grande como para que la tensión de salida sea constante,

0 0(t) V

v ≅ .

3.4.1 Modo de Conducción Continua.

En la siguiente figura se muestra la forma de onda, tomando como Vd=Vin, en este tipo de modo de conducción donde la corriente en el inductor fluye constantemente (i_l(t)>0).

Figura 20. Gráfica de la corriente en la bobina en el convertidor boost trabajando en modo de conducción continua.

(31)

Como en el convertidor buck, en este convertidor en estado estacionario, la integral en el tiempo del voltaje en la bobina más allá de un periodo tiene que ser 0, por tanto:

0

0 0

=

⋅ +

⋅

=

⋅

∫ ∫

∫

^Tr

Ton l Ton

l Tr

l dt v dt v dt

v (79)

0 )

( − ₀ ⋅ =

+

⋅ _on _d _off

d T V V T

V (80)

Dividiendo cada uno por T_r y reordenando los términos, se tiene que:

D T

T V V

off r

d = = −

1

0 1

(81)

Para buscar las ecuaciones de estado del circuito, utilizaremos el mismo método que con el convertidor buck. Para ello, estudiamos cada una de las topologías del circuito por separado, para Ton, y para Toff.

Durante el periodo de tiempo T_on, el transistor está conduciendo y el diodo está en corte, por tanto toda la corriente que suministra la fuente, es transferida a la bobina. En esta topología el circuito queda de la siguiente forma.

Figura 21. Convertidor boost en estado ON.

Aplicando un KVL a cada malla del circuito, obtenemos las siguientes expresiones.

l l s

in R i v

V = ⋅ + (82)

c

c R i

v =− ⋅ (83)

Si sustituimos en las ecuaciones anteriores, la expresión de la tensión en la bobina, (42), y la expresión de la corriente en el condensador, (43),

dt t L di i R

V_in _s _l ^l( )

⋅ +

⋅

= (84)

(32)

dt t C dv R

v_c ^c( )

⋅

−

= (85)

Despejando las derivadas correspondientes, se obtienen las ecuaciones para cada una de las variables de estado.

in l

s

l V

i L L R dt

t

di ( ) =− ⋅ + 1⋅

(86)

c

c v

C R dt

t

dv ⋅

− ⋅

= 1

)

( (87)

Si normalizamos las expresiones anteriores, 1 1

)

( =− ⋅ _l +

s

l i

Q dt

t

di (88)

c

c v

Q dt

t

dv ( ) =− 1 ⋅

(89)

Durante el periodo de tiempo T_off, el transistor está en corte y el diodo conduce, esto produce que toda la energía almacenada por la bobina durante el periodo de tiempo ton, se transfiera al condensador, que se comporta como una fuente de tensión, y a la carga , al mismo que la fuente no deja de suministrarle energía. Durante T_off, la topología del circuito tiene la siguiente forma.

Figura 22. Convertidor Boost en estado OFF.

Aplicamos el mismo método que con la topología anterior, en este caso podemos ver que en la malla de entrada,

c l l s

in R i v v

V = ⋅ + + (90)