MATEMÁTICAS FINANCIERAS
ECON. SILVIA VELASCO
SEPTIEMBRE DE 2019
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
CÓDIGO DE ÉTICA / VESTIMENTA /DIRECTRICES GENERALES
• Puntualidad
• Vestimenta
• Reglamentos disponibles en Atrium
• Máximo 10 minutos retraso
• Fechas y horarios Exámenes definidos
• Al día en obligaciones económicas
EVALUACIÓN
• Examen Primer parcial 20 puntos
• Examen Segundo parcial 20 puntos
• Desempeño actividades 30 puntos*
• Examen Final 30 puntos
* Incluye ensayo de 10 a 12 páginas con referencias a bibliografía disponible en la Universidad.
OBJETIVOS General
Identificar la naturaleza de las matemáticas financieras, sus objetivos y el papel que juega en el
mundo de las finanzas y de los negocios ampliando el conocimiento e importancia en los estudiantes, explicando a través del planteamiento y resolución de casos prácticos la importancia de las
matemáticas financieras para la toma de decisiones informadas.
Específicos
• Determinar el valor del dinero en el tiempo y las distintas alternativas de su uso.
• Plantear y resolver ejemplos de cálculo de valor actual y futuro con interés simple y compuesto, tasa de interés nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes.
• Identificar, definir y explicar los diferentes tipos de anualidades.
• Explicar el significado de amortización y fondo de amortización y calcular depósitos, pagos, tasa de interés y plazo.
CONTENIDOS
CAPITULO 1 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 1. Los números, redondeo de números.
2. Exponentes y leyes de los exponentes 3. Radicales y Leyes de los radicales
4. Expresiones algebraicas 5. Ecuaciones Lineales
6. Logaritmos y sus propiedades
7. Conversión de números naturales en porcentaje
8. Ejercicio Práctico: Conocimientos Básicos y Elementales de las Matemáticas
CAPITULO 2 CONCEPTOS GENERALES 1. Definición de las matemáticas financieras 2. Valor del dinero en el Tiempo
3. Proceso de Toma de Decisiones.
4. Diagrama de tiempo
CAPITULO 3 INTERÉS SIMPLE Y DESCUENTO SIMPLE 1. Definición de Interés Simple
2. Cálculo del Interés Simple
3. Valor presente a interés simple 4. Valor Futuro a interés simple 5. Definición Descuento Simple 6. Tipos de Descuento Simple
7. Ejercicios prácticos aplicando interés y descuento simple.
CAPITULO 4 INTERÉS COMPUESTO 1. Definición de Interés Compuesto
2. Capitalización
3. Periodo de Capitalización
4. Valor presente a interés compuesto 5. Valor Futuro a interés compuesto.
6. Interpolación Lineal.
CAPITULO 5 TASAS DE INTERÉS Y EQUIVALENCIA DE TASAS 1. Definición de Tasa de interés
2. Tipos de Tasa de Interés- Nominal y Efectiva
3. Ejercicios prácticos aplicando tasa nominal y efectiva 4. Definición de Tasas Equivalentes
5. Ejercicio Práctico Tasas Equivalentes- Caso Tasa Efectiva a Efectiva 6. Ejercicio Práctico Tasas Equivalentes- Caso Tasa Efectiva a Nominal 7. Ejercicio Práctico Tasas Equivalentes- Caso Tasa Nominal a Efectiva 8. Ejercicio Práctico Tasas Equivalentes- Caso Tasa Nominal a Nominal
CAPITULO 6 ANUALIDADES
1. Definición Renta o pago y Período de renta
2. Condiciones para que una serie de pagos sea una anualidad 3. Clases de anualidades
4. Anualidad vencida 5. Anualidad anticipada 6. Anualidad diferida 7. Anualidad perpetua
8. Ejercicios prácticos de anualidades vencidas, anticipadas, diferida y perpetua
CAPITULO 7 GRADIENTES 1. Definición
2. Condiciones para que una serie de pagos sea un gradiente 3. Gradiente Lineal o Aritmético
4. Gradiente Geométrico o exponencial 5. Ejercicios prácticos de gradientes.
CAPITULO 8 AMORTIZACION
1. Definición
2. Composición de los Pagos 3. Tabla de Amortización
4. Amortización Sistema de Saldo Insoluto 5. Ejercicios prácticos de amortización
CAPITULO 9 HERRAMIENTAS DE VALORACIÓN FINANCIERA
1. Tasa mínima aceptable de rendimiento o tasa de descuento: TMAR 2. Factibilidad Financiera de Proyectos Económicos
1.Tasa Interna de Retorno :TIR 2.Valor Actual Neto: VAN
3. Ejercicios Prácticos analizando los resultados de un proyecto.
CAPITULO 10 ACCIONES, BONOS Y OBLIGACIONES 1. Definición
2. Valor presente 3. Valor cupón 4. Valor a la par
5. Ejercicios Prácticos
Sugerencias para practicar lo aprendido:
Tablas de amortización de préstamo quirografario:
www.biess.fin.ec
Simulador de crédito hipotecario o de ahorros:
https://tusfinanzas.ec/glossary/tabla-de-amortizacion/
Recomendaciones de lectura y seguimiento:
Cuenta financiera de Twitter:
https://tranquifinanzas.com
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
TEXTO AUTOR EDITORIAL
Matemáticas Financieras DIAZ MATA, ALFREDO;
AGUILERA GOMEZ, VICTOR M.
MC GRAW HILL. 4TA Edición, 2000
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
Matemáticas Financieras LINCOYAN
PORTUS GOVINDEN
MC GRAW-HILL, Cuarta Edición, 1997
Matemáticas Financieras ALVAREZ A., ALBERTO A.
MC GRAW HILL. 2da Edición, 2005
DIAGNÓSTICO
1. Redondear a 4 decimales los siguientes números
2. Exprese en decimales y en potencias los siguientes números 3. A cuánto equivale (−𝟐)
𝟒4. Si con una inversión de $5000 se obtiene un rendimiento de
$300, ¿qué rendimiento corresponde a una inversión de
$100?
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS
¿Qué es "redondear"?
Redondear un número quiere decir reducir el número de cifras manteniendo un valor parecido. El resultado es menos exacto, pero más fácil de usar.
Ejemplo: 73 redondeado a la decena más cercana es 70, porque 73 está más cerca de 70 que de 80.
Ejemplos Porque ...
3,1416 redondeado a las centésimas es 3,14 ... la cifra siguiente (1) es menor que 5 1,2635 redondeado a las décimas es 1,3 ... la cifra siguiente (6) es 5 o más
1,2635 redondeado a 3 cifras decimales es 1,264 ... la cifra siguiente (5) es 5 o más
Redondear decimales
Primero tienes que saber si estás redondeando a décimas, centésimas, etc. O a lo mejor a "tantas cifras decimales". Así sabes cuánto quedará del número cuando hayas terminado.
Redondear a 2 decimales 3,1416
21,345678
33,219876
2,09876321
1,9870651
3,1416 3,14 21,345678 21,35 33,219876 33,22 2,09876321 2,10 1,9870651 1,99
EJERCICIOS EN EXCEL
Redondear a 2 decimales
Qué es un exponente?
Indica las veces que se va a multiplicar la base por sí misma.
Ejemplos:
PRIMERO:
(𝟓)
𝟑= 5*5*5 = 125 SEGUNDO:
(−𝟐)
𝟒= TERCERO:
𝛼 + cos
𝛽+ Δ 3
2
=
Las Leyes de los Exponentes
Las Leyes de los Radicales
Expresiones algebraicas
Símbolos algebraicos: Números y letras (estas últimas representan cantidades desconocidas y son llamadas variables o incógnitas)
Signos algebraicos: Operación, agrupación y relación
Expresiones algebraicas: Se conoce como Expresiones algebraicas a la combinación de símbolos y signos en las operaciones
matemáticas.
Expresiones algebraicas
Términos algebraicos: Los términos se construyen con cuatro elementos.
1. Signo
2. Coeficiente 3. Literal
4. Potencia o exponente o grado
De acuerdo con el número de términos que componen una expresión algebraica, estas
se clasifican en: monomios (un término) y multinomios (dos términos o más).
Expresiones algebraicas
Ecuaciones lineales
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.
Las ecuaciones lineales o de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esa expresión.
En general para resolver una ecuación lineal o de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:
1. Quitar paréntesis.
2. Quitar denominadores.
3. Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.
4. Reducir los términos semejantes.
5. Despejar la incógnita.
Ejemplos:
1.
2.
2x=6
Despejamos la incógnita x= 6/2 x=3
2x-3 = 6+x
Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:
2x-x = 6+3 x=9
Ejemplos:
3.
2(2x-3) = 6 + x
Quitamos paréntesis:
4x – 6 = 6 + x
Agrupamos términos y sumamos:
4x – x = 6 + 6 3x = 12
Despejamos la incógnita:
X = 12/3 x= 4
Ejemplos:
4.
Quitamos paréntesis y simplificamos:
6/4 x + 12/4 = x + 19 3/2 x + 3 = x + 19
Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:
3x + 6= 2x + 38 3x – 2x = 38 – 6 X = 32
Ejemplos:
5.
Quitamos corchetes:
Quitamos paréntesis:
Quitamos denominadores:
Ejemplos:
5.
Quitamos paréntesis:
Agrupamos términos:
Sumamos:
Dividimos los 2 miembros por -9:
-9x = - 27
x = 3
Ejemplos:
Ejemplos:
Logaritmo
El logaritmo de un número real positivo (en una base de logaritmo determinada) es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo en base 10 de 1000 es 3,
porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.
Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: logb x = n, lo que permite obtener n.
(Esto se lee así: logaritmo en base b de x es igual a n) (b elevado a la n da por resultado x)
Logaritmo
log 2 8 = 3 log 3 9 = 2 log 5 1 = 0 log 10 = 1
2 3 = 8 3 2 = 9 5 0 = 1 10 1 = 1
Logaritmo
Logaritmo
log 100 =
Logaritmo
2 1 2
2 3 5
log 100 = 2
1
0
3
Logaritmo
Logaritmo
Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. La base b tiene que ser positiva y distinta de 1 (b> 0 y b ≠ 1), x tiene que ser un número positivo x > 0 y n puede ser cualquier número real (n ∈ R).
Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo en base 10 de 100 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.
Logaritmo
Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; logb b = 1 ya que b1 = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); logb 1=0 ya que b0 = 1.
Si el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 < a < 1 entonces logb a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo.
Si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞).
También usando la identidad logarítmica logb(x/y)=logb x - logb y; puesto que a pertenece al intervalo 0 < a < 1, su inverso a-1 será mayor que uno, con lo que logb(a)=logb(1/a-1) = logb 1 - logb(a-1)= -logb(a-1).
Logaritmo
Logaritmo
log 7 ( 1
7 ) = -1
Logaritmo
log 7 ( 1
7 ) = -1
Logaritmo
= -4
= -3
Matemáticas financieras
Es la aplicación de las matemáticas a las finanzas, centrándose en el estudio del valor del dinero en el tiempo, combinando capital, tasa de interés y tiempo para obtener un rendimiento o interés, a
través, de métodos de valuación que permitan tomar decisiones.
Sus áreas de aplicación son diversas:
Administración de empresas, contabilidad, Instituciones
financieras, resolución de problemas económicos, entre otros.
Valor del dinero en el tiempo
• En administración financiera, el valor del dinero en el tiempo es un concepto económico y financiero que se basa en la premisa de que un inversionista prefiere recibir un pago de una suma fija de dinero hoy, en lugar de recibir el mismo valor nominal en una fecha futura,
debido a la posibilidad que el dinero crezca en valor durante un período de tiempo determinado.
• El interés compensa al depositante o al prestamista por el valor del dinero en el tiempo.
• El valor del dinero en el tiempo está relacionado con los conceptos de inflación y poder de compra. Ambos factores deben tomarse en consideración junto con la tasa de rendimiento que se puede obtener al invertir el dinero.
Toma de decisiones en la administración financiera
• Administración financiera se refiere a la adquisición, financiamiento y administración de activos.
• La función de los administradores financieros en relación a la toma de decisiones se divide en 3 áreas principales: decisiones de inversión, de financiamiento y administración de los activos.
• La decisión de inversión es la más importante, cuando se trata de crear valor. Se debe determinar el total de activos que necesita la empresa para operar y crecer.
• Seguidamente, los administradores financieros deben analizar las distintas
combinaciones y opciones de financiamiento mejor a los intereses de la empresa.
• Una vez que se adquieren activos con el financiamiento adecuado, también es
necesario administrarlos con eficiencia.
Diagramas de tiempo-valor
Diagrama de flujo de caja
Proyectivo
Retrospectivo
Interés Simple
• Por un dinero tomado en préstamo es necesario pagar un precio. Este precio se expresa mediante una suma que se debe pagar por cada unidad de dinero prestada, en una unidad de tiempo convencionalmente estipulada.
• Se refiere a los intereses que produce un capital inicial en un período de tiempo, el cual no se acumula al capital para producir los intereses del siguiente período; concluyéndose que el interés simple generado o pagado por el capital invertido o prestado será igual en todos los períodos de la inversión o préstamo mientras la tasa de interés y el plazo no cambien.
• La expresión del precio es la tasa de operación comercial. La unidad de tiempo que
acostumbra a utilizarse es el año. La tasa se expresa en tanto por ciento y este es el tipo de interés de la operación.
• Cuando se trata de dineros invertidos en un negocio, el inversionista espera recuperar una suma mayor que la invertida; de esta operación surge el concepto de tasa de retorno.
Interés Simple
• La tasa de interés refleja la relación que existe entre los intereses y el capital. El interés simple ee utiliza generalmente para periodos cortos.
• El interés simple de una operación de US$100,000 al 10% anual es de US$10,000:
I = C * i * t
I = 100,000 * 0,10 * 1
I = 10,000 Observe que tanto la tasa de interés como el plazo están expresados en términos anuales.
Interés Simple
En el siguiente ejemplo identifique claramente cada una de las variables del ejercicio:
El señor López obtiene un préstamo por US$20,000 que solicitó a un banco, y acuerda pagarlo después de 2 meses, entregando al banco US$21,400.
Se puede observar que el dinero aumenta su valor con el tiempo: obtuvo inicialmente
US$20,000 y pagó 2 meses después US$21,400, esto es US$20,000 que obtuvo inicialmente más US$1,400 de intereses que corresponde a la cantidad que aumentó el valor del préstamo original en 2 meses.
C = Capital que se invierte t = tiempo o plazo
I = Interés simple
M = Monto (Capital + intereses) i = tasa de interés
US$20,000 2 meses US$1,400 US$21,400 x
Dado que la tasa de interés refleja la relación entre los intereses y el capital, entonces:
i = 1400/20000 = 0,07
Multiplicado por 100, este cociente indica que el capital ganó 7% de interés en 2 meses.
Interés Simple
Para mantener la homogeneidad de expresiones, se acostumbra expresar tanto la tasa de interés i como l tiempo t en unidades de año, por lo que:
t = 2 meses = 2/12 año = 1/6 año
La tasa de interés, si es de 0,07 por 2 meses (un bimestre),en 6 bimestres (que corresponden a 1 año), será:
i = 0,07 (6) = 0,42
La tasa de interés de 0,42 (expresada en decimales), si la multiplico por 100 se convierte en el tipo de interés del 42% (expresado en porcentaje).
Interés Simple
C = Capital que se invierte t = tiempo o plazo
I = Interés simple
M = Monto (Capital + intereses) i = tasa de interés
M = C + I
M = 20,000 + 1400 M = 21,400
I = C*i*t
I = 20,000 * 0,42*1/6 I = 1,400
M = C + C*i*t
M = 20,000 + 1,400 M = 21,400
US$20,000 1/6
US$1,400 US$21,400 0,42
M = C (1 + i*t) C = M/ (1 + i*t) C = M (1 + i*t)-1
Al factor (1 + i*t) se lo conoce como
factor de acumulación con interés simple.
Ejemplos
Una persona obtiene un préstamo de US$50,000.00 y acepta liquidarlo en un año y medio después.
Acuerda que mientras exista el adeudo, pagará un interés simple mensual de 3,5%. ¿Cuánto deberá pagar de intereses cada mes?
a) Identifique claramente cada una de las variables del ejercicio
b) Calcule el interés a pagar cada mes usando la tasa de interés mensual c) Calcule el interés a pagar cada mes usando la tasa de interés anual a) C = 50,000
t = 1 mes i = 0,035
b) I = 50,000 (0,035) (1) = 1,750
Deberá pagar US$1,750 mensuales c) C = 50,000
t = 1/12
i = (0,035) (12) = 0,42 anual I = 50,000 (0,42) (1/12) = 1,750
Monto y Valor presente a interés simple
Monto
Replanteamos el ejemplo 1 anterior, donde el Señor López obtuvo un préstamo de US$20,000 y pagó al banco después de 2 meses, la cantidad de US$21,400:
El Señor Chávez tiene una deuda de US$21,400 que debe pagar dentro de 2 meses. Si la
operación está pactada al 42% anual de interés simple, ¿cuánto debería pagar para saldar su deuda el día de hoy?
La respuesta es desde luego, US$20,000 razón por la cual también se llama a esa cantidad Valor actual de la deuda o de la operación.
Monto y Valor presente a interés simple
Monto
Monto y Valor presente a interés simple
Monto
Monto y Valor presente a interés simple
Valor presente
Monto y
Valor presente a interés simple
Valor presente
Descuento simple
• El descuento es una operación de crédito que se lleva a cabo principalmente en instituciones bancarias, y consiste en que estas adquieren letras de cambio o pagarés, de cuyo valor nominal descuentan una suma equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la fecha en que se recibe y la fecha del vencimiento. Con esto se anticipa el valor actual del documento.
• Es una operación financiera que tiene por objeto la sustitución de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente. Es una operación inversa a la de capitalización.
• Se trata de un instrumento de financiación bancaria a corto plazo. Consiste en la anticipación por parte de la entidad bancaria del importe de un crédito del que es acreedor la empresa y que
todavía no ha vencido.
• El descuento por pronto pago es un incentivo que se concede por un vendedor a un comprador por pagos realizados con anterioridad al vencimiento programado de las deudas contraídas.
• Es la diferencia establecida entre valor nominal y el valor que se recibe, al momento de descontar el pagaré.
Descuento simple
• Existen básicamente dos formas de calcular el descuento:
El descuento real o justo El descuento comercial
Descuento Comercial: En este caso la cantidad que se descuenta se calcula sobre el valor nominal del documento.
Descuento real: A diferencia del descuento comercial, el descuento justo se calcula sobre el valor real que se anticipa, y no sobre el valor nominal.
Su fórmula viene dada por:
D = M*i*t = M*d*t
D es el valor del descuento M representa el valor nominal d es la tasa de descuento
t es el tiempo que dura la inversión
Descuento simple
Descuento Comercial
Descuento simple
D= US$18,518.52
Y el valor del pagaré en su fecha de vencimiento es:
166,666.67 + 18,518.52 = US$185,185.19
Descuento simple
Descuento simple
Descuento real
Descuento simple
INTERÉS COMPUESTO
• En el interés simple el capital original sobre el que se calculan los intereses
permanece sin variación alguna durante todo el tiempo que dura la operación. En el interés compuesto en cambio, los intereses que se van generando se van
incrementando al capital original en períodos establecidos, y a su vez, van a generar un nuevo interés adicional para el siguiente lapso.
• Habíamos hablado de que en períodos cortos por lo general se utiliza el interés simple, mientras que en períodos largos se utilizará casi exclusivamente el interés compuesto.
• Se dice entonces que el interés se capitaliza y que se está en presencia de una operación de interés compuesto.
• En estas operaciones, el capital no es constante a través del tiempo, pues aumenta al final de cada período por la adición de los intereses ganados de acuerdo con la tasa convenida.
Ejemplo: Interés compuesto (Monto compuesto)
Ejemplo: Interés compuesto (Monto compuesto)
Período de capitalización
El interés puede ser convertido en capital anual, semestral, trimestral y mensualmente, etc. Dicho período es denominado “período de capitalización”. Al número de veces que el interés se capitaliza durante un año se denomina frecuencia de conversión.
Tasa de interés compuesto
La tasa de interés se expresa comúnmente en forma anual indicando, si es necesario, su período de capitalización:
20% anual capitalizable mensualmente 18% anual capitalizable semestralmente 10% anual capitalizable trimestralmente
Monto compuesto
Monto compuesto
Valor presente
Valor presente
Valor presente
Tasas de interés y equivalencia de tasas
Cuando se realiza una operación financiera, se pacta una tasa de interés
anual que rige durante el lapso que dure la operación. Esta es la denominada tasa nominal de interés.
Sin embargo, si el interés se capitaliza en forma semestral, trimestral o mensual, la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se
compone en forma anual. Cuando esto sucede se puede determinar una tasa efectiva anual.
Dos tasas de interés anuales con diferentes períodos de capitalización serán equivalentes si al cabo de un año producen el mismo interés
compuesto.
Tasas de interés y equivalencia de tasas
Tasas de interés y equivalencia de tasas
Tasas de interés y equivalencia de tasas
Tasas de interés y equivalencia de tasas
Determinar la tasa nominal i convertible trimestralmente, que produce un
rendimiento de 40% anual.
Anualidades
En general, se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos
iguales de tiempo. Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el tema, aunque no siempre se refieran a periodos anuales de pago.
Ejemplos:
• Pagos mensuales por tenta
• El cobro quincenal o semanal de sueldos
• Los abonos mensuales a una cuenta de crédito
• Los pagos anuales de primas de pólizas de seguros
Se conoce como intervalo o periodo de pago al tiempo que transcurre entre un pago y otro, y se denomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el inicio del primer periodo de pago y el final del último.
Tipos de Anualidades
La variación de los elementos que intervienen en las anualidades hacen que
existan diferentes tipos de ellas. Conviene por ello, clasificarlas de acuerdo con
diversos criterios:
ANUALIDADES
R = La renta o pago por período que se realiza con intervalos iguales de tiempo
C = El valor actual o capital de la anualidad. Es el valor total de los pagos en el momento presente
M = El valor en el momento de su vencimiento, o monto. Es el valor de todos los pagos al final de la operación
n = El plazo o tiempo de una anualidad se calcula por medio del número de períodos de pago n
ANUALIDAD VENCIDA
Vencida, Cierta, Simple, Inmediata
MONTO
M = 𝑅
1+ⅈ 𝑛−1ⅈ
VALOR ACTUAL C = 𝑅
𝟏− 1+ⅈ −𝑛ⅈ
= A
RENTA R =
𝑨ⅈ𝟏− 1+ⅈ −𝑛
ANUALIDAD VENCIDA
Monto
ANUALIDAD VENCIDA
Valor actual
ANUALIDAD VENCIDA
Renta
ANUALIDAD VENCIDA
ANUALIDAD ANTICIPADA
Anticipada, Cierta, Simple, Inmediata
MONTO
M = 𝑅
1+ⅈ 𝑛−1ⅈ
(𝟏 + ⅈ)
VALOR ACTUAL
C = 𝑅 𝟏 +
𝟏− 1+ⅈ −𝑛+𝟏ⅈ
RENTA
R =
𝑪𝟏+𝟏− 1+ⅈ −𝑛+𝟏 ⅈ
ANUALIDAD ANTICIPADA
Monto
ANUALIDAD ANTICIPADA
Valor Actual
ANUALIDAD ANTICIPADA
Valor Actual
ANUALIDAD ANTICIPADA
Renta
ANUALIDAD DIFERIDA
Diferida, Cierta, Simple, Vencida
Las anualidades diferidas son aquellas en las que el inicio de los cobros o depósitos se
pospone para un período posterior al de la formalización de la operación. Al igual que con las anualidades anticipadas, tampoco se requieren nuevas fórmulas, ya que se manejan con las mismas expresiones que se han venido utilizando y que se obtuvieron para las anualidades
vencidas, simples, ciertas e inmediatas.
Solo es necesario hacer las modificaciones pertinentes para considerar el posponer el inicio de los pagos o depósitos.
En las anualidades diferidas se encuentra el Valor Actual o el Monto de la anualidad vencida e inmediata, y luego se la traslada tantos períodos hacia atrás como sea necesario.
ANUALIDAD
DIFERIDA
ANUALIDAD
DIFERIDA
ANUALIDAD PERPETUA Simples, vencidas
Una renta perpetua es una anualidad cuyo plazo no tiene fin. Dado que los pagos de una renta perpetua nunca cesarán, resulta imposible calcular su monto.
Por su parte, se deduce que el valor actual de la renta perpetua es aquella cantidad A que, en un período, produce como intereses la suma R, o sea
R = Ai, es decir que A = R * 1/i
Al igual que las anualidades, son pagos realizados en intervalos de tiempo iguales, la diferencia se debe a que el valor de los pagos van aumentando o disminuyendo en cada periodo. La variación del valor de los pagos es constante.
¿Qué es un Gradiente Aritmético?
• Diego ha empezado a ahorrar en el banco. La idea que tiene es ahorrar durante 5 años en abonos mensuales. El primer abono será de $200 USD y el valor del abono se irá incrementando cada mes en $5 USD. Si la tasa de interés que paga el banco es del 6% Nominal Anual con capitalización mensual.
• Preguntas
• ¿Cuanto tendrá ahorrado al final de los 5 años?
• ¿Cuál es el valor de la cuota 56?
EJEMPLO
FÓRMULAS
HALLAR VALOR FUTURO
CN= C+(N-1) G HALLAR CUOTA EN ESPECIFICO
HALLAR VALOR PRESENTE
(1+i)^n R
R
Nomenclatura en Excel
AMORTIZACIÓN
Amortización implica un proceso financiero mediante el cual se
extingue gradualmente una deuda por medio de pagos periódicos, que pueden ser iguales o diferentes.
Cada pago o cuota efectuado para abonar a la deuda, sirve para pagar los intereses y reducir el importe de la deuda.
Amortizar por tanto es el proceso de cancelar una deuda y los
intereses que esta genera por medio de pagos periódicos.
Para la amortización de deudas, se aplican diversos sistemas, y dentro de cada sistema, hay numerosas variantes.
Su aplicación al campo financiero da origen a planes de amortización que surgen de la creatividad de los financieros.
Todos estos sistemas son aplicaciones de las anualidades
previamente estudiadas, ya sean de pagos constantes o de pagos
variables.
Aspectos a considerar en las amortizaciones de deuda:
• Economía dolarizada / Desvalorización monetaria
• Tasas nominales y efectivas
• Abonos a capital en un período intermedio de la deuda
• Reajustes de tasas en un período intermedio de la deuda
Sistemas de amortización
Un sistema de amortización es un método por el cual un capital cedido en préstamo es devuelto por una sucesión de pagos o cuotas.
Estas cuotas periódicas constituyen una renta cuyo valor actual deberá ser igual
al préstamo otorgado.
Los sistemas de amortización más usados son los siguientes:
• Sistema francés: Todas sus cuotas o pagos son iguales.
• Sistema alemán: Amortizaciones de capital iguales.
• Sistema americano: Las amortizaciones de capital son
todas nulas, excepto la última que es igual al valor del
préstamo.
PRÉSTAMO (CAPITAL) $75.000,00
TASA DE INTERÉS 8,00% ANUAL
NÚMERO DE PERÍODOS 6 AÑOS
CASO PRÁCTICO:
Asumiremos las siguientes hipótesis: n períodos constantes, iguales a la unidad de tiempo. Tasa de interés constante i. Pagos al vencimiento.
Bajo estas hipótesis:
Un préstamo de $75,000 es amortizable en 6 años, con el 8% de interés anual.
Los siguientes cuadros resumen los pagos a efectuar según los sistemas
alemán, francés e inglés, respectivamente.
PERÍODO CUOTA INTERÉS AMORTIZ
SALDO INSOLUTO
DEUDA EXTINGUIDA
0 75.000,00
1 16.223,65 6.000,00 10.223,65 64.776,35 10.223,65 2 16.223,65 5.182,11 11.041,55 53.734,80 21.265,20 3 16.223,65 4.298,78 11.924,87 41.809,93 33.190,07 4 16.223,65 3.344,79 12.878,86 28.931,07 46.068,93 5 16.223,65 2.314,49 13.909,17 15.021,90 59.978,10
6 16.223,65 1.201,75 15.021,90 - 75.000,00
97.341,92 22.341,92 75.000,00
Método francés
Se caracteriza por tener todas sus cuotas iguales: Constituyen una renta cierta de cuotas constantes.
Las cuotas de interés decrecen.
Las cuotas de amortización de capital crecen.
constante
PERÍODO CUOTA INTERÉS AMORTIZ
SALDO INSOLUTO
DEUDA EXTINGUIDA
0 75.000,00
1 18.500,00 6.000,00 12.500,00 62.500,00 12.500,00 2 17.500,00 5.000,00 12.500,00 50.000,00 25.000,00 3 16.500,00 4.000,00 12.500,00 37.500,00 37.500,00 4 15.500,00 3.000,00 12.500,00 25.000,00 50.000,00 5 14.500,00 2.000,00 12.500,00 12.500,00 62.500,00
6 13.500,00 1.000,00 12.500,00 - 75.000,00
96.000,00 21.000,00 75.000,00
Método alemán
Se caracteriza por tener todas sus cuotas de amortización real iguales: Constituyen una renta cierta en progresión aritmética decreciente.
Las cuotas de interés decrecen en la misma progresión.
constante
Método inglés
PERÍODO CUOTA INTERÉS AMORTIZ
SALDO INSOLUTO
DEUDA EXTINGUIDA
0 75.000,00
1 6.000,00 6.000,00 - 75.000,00 -
2 6.000,00 6.000,00 - 75.000,00 -
3 6.000,00 6.000,00 - 75.000,00 -
4 6.000,00 6.000,00 - 75.000,00 -
5 6.000,00 6.000,00 - 75.000,00 -
6 81.000,00 6.000,00 75.000,00 - 75.000,00
111.000,00 36.000,00 75.000,00
Se caracteriza por tener las primeras n−1 cuotas de amortización de capital nulas.
Las cuotas de interés son constantes.
La desventaja es que el último pago o cuota es muy alta.
constante constante
Composición de las cuotas
Para cualquier sistema de amortización se verifica:
• El valor actual de la renta es igual al préstamo otorgado K.
• La suma de las cuotas de amortización real es igual a K.
• El capital adeudado en el momento x, VAx, es igual al valor actual de las cuotas que restan pagar y a la suma de las cuotas de
amortización que restan pagar.
• La cuota de interés es el interés sobre el capital adeudado
durante el x-ésimo período de la renta.
FRANCÉS
PERÍODO CUOTA INTERÉS AMORTIZ
SALDO INSOLUTO
DEUDA EXTINGUIDA
6 16.223,65 1.201,75 15.021,90 - 75.000,00
97.341,92 22.341,92 75.000,00 ALEMÁN
PERÍODO CUOTA INTERÉS AMORTIZ
SALDO INSOLUTO
DEUDA EXTINGUIDA
6 13.500,00 1.000,00 12.500,00 - 75.000,00
96.000,00 21.000,00 75.000,00 AMERICANO
PERÍODO CUOTA INTERÉS AMORTIZ
SALDO INSOLUTO
DEUDA EXTINGUIDA
6 81.000,00 6.000,00 75.000,00 - 75.000,00
111.000,00 36.000,00 75.000,00
COMPARATIVO DE SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN
Herramientas de valoración financiera Valor actual neto (VAN)
El VAN es un indicador financiero que mide los flujos de los futuros ingresos y egresos que tendrá un proyecto, para determinar, si luego de descontar la inversión inicial, nos quedaría alguna
ganancia. Si el resultado es positivo, el proyecto es viable.
Basta con hallar VAN de un proyecto de inversión para saber si dicho proyecto es viable o no. El VAN también nos permite determinar cuál proyecto es el más rentable entre varias opciones de
inversión. Incluso, si alguien nos ofrece comprar nuestro negocio, con este indicador podemos
determinar si el precio ofrecido está por encima o por debajo de lo que ganaríamos de no venderlo.
La fórmula del VAN es:
VAN = BNA – Inversión
Donde el beneficio neto actualizado (BNA) es el valor actual del flujo de caja o beneficio neto proyectado, el cual ha sido actualizado a través de una tasa de descuento.
