El Teorema de Thom en Cobordismo.

El Teorema de Thom en Cobordismo.

Maribel de Avila Mart´ınez 10 de enero de 2012

´ Indice general

1. Homolog´ıa y Cohomolog´ıa 5

1.1. Simplejos . . . 5

1.2. Grupos de Homolog´ıa Singular . . . 7

1.3. Ejemplos . . . 11

1.4. Cohomolog´ıa . . . 13

1.5. Ejemplos . . . 13

2. Clases de Stiefel-Whitney 15 2.1. Haces Vectoriales . . . 15

2.2. Clases de Stiefel-Whitney. . . 16

2.3. Variedades y mapeos suaves . . . 21

2.4. Inmersiones . . . 22

2.5. N´umeros de Stiefel-Whitney . . . 23

3. Teor´ıa de intersecci´on m´odulo 2 27 3.1. El teorema de la funci´on inversa e inmersi´on . . . 27

3.2. Sumersiones . . . 28

3.3. Transversalidad . . . 29

3.4. Variedades con frontera . . . 30

3.5. Variedades de dimensi´on uno . . . 31

3.6. Transversalidad . . . 33

3.7. Teor´ıa de intersecci´on m´odulo 2 . . . 35

3

Cap´ıtulo 1

Homolog´ıa y Cohomolog´ıa

En este cap´ıtulo definiremos y comenzaremos el estudio de los grupos de homolog´ıa singular de un espacio topol´ogico. El primer paso ser´a estudiar el concepto de “simplejo singular” que generaliza a dimensiones superiores la noci´on de arco en un espacio to- pol´ogico. As´ı como un arco es un segmento deformado, un 2-simplejo ser´a un tri´angulo deformado, un 3-simplejo un tetraedro deformado, etc. Los grupos de homolog´ıa de un espacio depender´an del modo en que es posible ensamblar los simplejos de cada dimensi´on para formar ciclos y fronteras.

1.1. Simplejos

Dados dos puntos x, y ∈ Rⁿ, el segmento de x a y se define como el conjunto [x, y] = {(1 − t)x + ty|t ∈ I}

donde I = [0, 1] ⊂ R. As´ı, cada intervalo cerrado en la recta real puede ser visto como un segmento con esta definici´on. De acuerdo con esto, podemos pensar en segmentos de la forma [a, b] ⊂ R para a ≤ b. Escribimos

[b, a] = −[a, b]

para denotar el cambio de orientaci´on.

Un conjunto C ⊆ Rⁿse dice convexo cuando para todo x, y ∈ C tenemos que [x, y] ⊆ C.

Definici´on 1.1.1 La cerradura convexa de un conjunto A ⊆ Rⁿ se define como la inter- secci´on de todos los conjuntos convexos que contienen a A. La cerradura convexa de un conjunto A se denota por hAi.

Proposici´on 1.1.1 Si A ⊆ Rⁿ, la cerradura convexa hAi es un conjunto convexo.

5

Demostraci´on. Sea x, y ∈ hAi dos puntos arbitrarios. Si C ∈ Rⁿ es un conjunto conve- xo con A ⊆ C entonces x, y ∈ C y as´ı [x, y] ⊆ C. Puesto que C es arbitrario, entonces [x, y] ⊆ hAi, mostrando la convexidad.

Pensemos en un conjunto finito A = {x₀, . . . , x_k} ⊂ Rⁿ, decimos que A es un con- junto af´ınmente independiente si el conjunto B = {x₁ − x₀, . . . , x_k− x₀} es linealmente independiente. Un k-simplejo s en R² es la cerradura convexa de un conjunto af´ınmente independiente A = {x0, . . . , x_k} ⊂ Rⁿ. Esto se denota por

s = hAi = hx₀, . . . , x_ki.

Proposici´on 1.1.2 Dado el conjunto {x0, . . . , xk} ⊂ Rⁿ, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. El conjunto {x1− x₀, . . . , x_k− x₀} es linealmente independiente.

2. Si α₀x₀+ . . . + α_kx_k= β₀x₀+ . . . + β_kx_k y α₀+ . . . + α_k= β₀+ . . . + β_k, entonces α_i = β_i para i = 0, . . . , k.

Demostraci´on. Sup´ongase que {x₁− x₀, . . . , x_k− x₀} es un conjunto linealmente inde- pendiente, que α₀x₀+ . . . + α_kx_k= β₀x₀+ . . . + β_kx_k y que α₀+ . . . + α_k= β₀+ . . . + β_k, entonces

0 = (α₀− β₀)x₀+ . . . + (α_k− β_k)x_k= 0 y as´ı, puesto que (α0− β₀) + . . . + (αk− β_k) = 0, entonces

0 = (α1− β₁)(x1− x₀) + . . . + (α_k− β_k)(x_k− x₀) = 0 por lo que αi= βi para i = 1, . . . , k y finalmente, como

α₀+ (α₁+ . . . + α_k) = β₀+ (α₁+ . . . + α_k),

tenemos tambi´en que α₀ = β₀. Por el contrario, si tomamos λ₁(x₁−x₀)+. . .+λ_k(x_k−x₀) = 0, obtenemos λ₀= −(λ₁+ . . . + λ_k) de donde

λ0x0+ λ1x1+ . . . + λkxk= 0.

Adem´as, si µi = 0 para i = 0, . . . , k tenemos que

λ0+ . . . + λk= µ0+ . . . + µk= 0,

y por hip´otesis λi= µi = 0 para i = 0, . . . , k probando la independencia lineal.

Una combinaci´on lineal con coeficientes no negativos se dice una combinaci´on convexa, y los puntos x0, . . . , x_k son llamados los v´ertices del k-simplejo hx0, . . . , x_ki. Los puntos en un simplejo que no son v´ertices se dice que son puntos interiores.

1.2. GRUPOS DE HOMOLOG´IA SINGULAR 7 Corolario 1.1.1 Todo punto en un simplejo admite una ´unica combinaci´on convexa de sus v´ertices. 

Por el resultado anterior podemos definir un mapeo f : s → R^k+1 dado por f (α0x0+ . . . + α_kx_k) = (α0, . . . , α_k) que tambi´en es un homeomorfismo sobre su imagen. La imagen de f se conoce como el k-simplejo est´andar y se denota por ∆^k.

La siguiente figura muestra el 1-simplejo est´andar y el 2-simplejo est´andar como subes- pacios de sus respectivos espacios euclidianos.

-q 6

q - q

@

@

@

@

@

@

@

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pppppp

pppppp pppppp pp

p p pp p pp p pp - 6

q q

q

@

@

@

@

@























Definici´on 1.1.2 Llamaremos k-simplejo est´andar al k-simplejo ∆^k ⊂ R^k determinado por los v´ertices

x0 = (0, . . . , 0), x1 = (1, 0, . . . , 0), x2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , x_k = (0, . . . , 1).

1.2. Grupos de Homolog´ıa Singular

Desde ahora la palabra mapeo significa aplicaci´on continua. Dado un espacio topol´ogico de Hausdorff X, un k-simplejo singular en X es un mapeo σ : ∆^k→ X. Denotaremos por S_k(X) al grupo libre abeliano cuyos generadores son los k-simplejos singulares de X. Este grupo libre abeliano S_n(X) es llamado el grupo de k-cadenas singulares de X. Un elemento de Sk(X) es una k-cadena en X.

'

&

$

% X

J J J JJ

σ -

e₁ e₂

e₃

σ(e1) σ(e2) σ(e3)

q q

q

q q

q

Para todo k-simplejo σ en X y para cada i ∈ {0, 1, . . . , k} definimos el (k-1)-simplejo

∂_iσ : ∆^k−1→ X por

∂_iσ(t₀, . . . , t_k−1) = σ(t₀, . . . , t_i−1, 0, t_i, . . . , t_k−1)

el cual decimos que es la i-´esima cara de σ. La frontera de un k-simplejo est´a definida como una (k-1)-cadena singular que es la suma orientada de sus caras, esto es:

∂σ =

k

X

i=0

(−1)^k∂_iσ.

Extendiendo ∂i por linealidad obtenemos un homomorfismo de grupos muy interesante

∂_i : S_n(X) → S_n−1(X) llamado el operador frontera. La inclusi´on f_i^k : ∆^k−1 → ∆^k dada por la introducci´on de un 0 en la i-´esima coordenada para i = 0, . . . , k se conoce como la i-´esima cara del mapeo identidad 1 : ∆^k → ∆^k visto como un k-simplejo singular sobre el k-simplejo est´andar ∆^k.

Notemos que los mapeos f_i^k : ∆^k−1 → ∆^k son (k − 1)-simplejos sobre ∆^k, as´ı f_i^k ∈ S_k−1(∆^k) para i = 0, . . . , k. Y entonces si definimos ∂_iσ = σ ◦ f_i^k, obtenemos la conmuta- tividad del siguiente diagrama.

∆^{k σ //}X

∆^k−1

f_i^k

OO

∂iσ

==

El operador frontera queda ahora definido como sigue:

∂σ =

k

X

i=0

(−1)^kσ ◦ f_i^k,

as´ı la frontera de un k-simplejo singular es una (k − 1)-cadena singular.

Proposici´on 1.2.1 El operador frontera satisface que ∂² = ∂ ◦ ∂ = 0.

Demostraci´on. Los k-simplejos en X son los generadores de S_k(X), por lo que es sufi- ciente probar que ∂²σ = 0 para todo k-simplejo singular σ. Usando el ejercicio anterior es

1.2. GRUPOS DE HOMOLOG´IA SINGULAR 9 f´acil ver que

∂²σ = ∂

k

X

i=0

(−1)^lσ ◦ f_i^k

!

=

k−1

X

i=0

(−1)ⁱ

k−1

X

j=0

(−1)^jσ ◦ f_i^k◦ f_j^k−1

= X

0≤i≤j≤k−1

(−1)^i+jσ ◦ f_i^k◦ f_j^k−1+ X

0≤j<i≤k

(−1)^i+jσ ◦ f_i^k◦ f_j^k−1

= X

0≤i≤j≤k−1

(−1)^i+jσ ◦ f_j+1^k ◦ f_i^k−1+ X

0≤j<i≤k

(−1)^i+jσ ◦ f_i^k◦ f_j^k−1

= X

0≤i<j≤k

(−1)^i+j−1σ ◦ f_j^k◦ f_i^k−1+ X

0≤j<i≤k

(−1)^i+jσ ◦ f_i^k◦ f_j^k−1

= 0

ya que ambos sumandos son inversos aditivos.

Si α ∈ S_k(X) y ∂α = 0, decimos que α es un k-ciclo, y si existe β ∈ S_k+1(X) tal que

∂β = α, entonces α es una k-frontera. Por el resultado anterior tenemos que toda frontera es un ciclo.

Un grupo graduado G∗ es una colecci´on {G_k|k ∈ Z} y decimos que un grupo graduado G∗ tal que G_i = 0 para i < 0 es un grupo N-graduado. Puesto que todos los grupos graduados que usaremos a continuaci´on son graduados por los n´umeros naturales, a partir de ahora, un grupo graduado significara un grupo N-graduado. El primer ejemplo en este cap´ıtulo es el grupo graduado de cadenas singulares S∗(X) = {S_k(X)|k ∈ N} asociado a un espacio topol´ogico dado X.

Dados dos grupos graduados abelianos G∗y H∗, un homomorfismo graduado de grupos de grado m es una colecci´on graduada de homomorfismos f = {f_k|k ∈ N} tales que

f_k: G_k−→ H_k+m.

Claramente, el operador frontera es un endomorfismo de grupos graduados de grado −1.

Un endomorfismo de grupos graduados D de grado −1 con la propiedad de que D² = 0 se dice que es un codiferencial. El operador frontera es un operador codiferencial. Un par de la forma (G∗, ∂) donde G∗ es un grupo graduado y ∂ es un codiferencial decimos que es un complejo de cadenas.

Un grupo graduado en un complejo de cadenas (G∗, ∂) tiene algunos subgrupos gradua- dos interesantes tales como el grupo de ciclos Z∗ = ker ∂ y el grupo de fronteras B∗= im ∂.

Puesto que el operador frontera se anula cuando es iterado, entonces B∗< Z∗, lo que sig- nifica que B_k < Z_k para todo k ∈ N. M´as aun, puesto que todos los grupos que nosotros

trabajaremos son abelianos el grupo cociente

H∗ = Z∗

B∗

= {H_k|k ∈ N} = Z_k

B_k |k ∈ N



est´a bien definido y es tambi´en un grupo graduado, llamado el grupo de homolog´ıa del complejo de cadenas (G∗, ∂).

Dado un espacio topol´ogico X, el complejo de cadenas (S∗(X), ∂) es conocido como el complejo de cadenas singulares de X. Los grupos graduados de ciclos y fronteras singulares de X satisfacen

B_k(X) < Z_k(X) < S_k(X)

para todo k ∈ N como en cualquier complejo. El grupo de homolog´ıa singular de X queda definido como

H_k= Zk(X) B_k(X).

Dados dos espacios topol´ogicos de Hausdorff X y Y y un mapeo f : X → Y tenemos que para todo k-simplejo singular σ en X, la composici´on f ◦ σ es un k-simplejo singular en Y . Si denotamos f_#(σ) = f ◦ σ para σ ∈ ∆_k(X). Tenemos entonces que el mapeo f induce un homomorfismo de grupos graduados de grado cero, esto es, un homomorfismo de la forma f_#: S_k(X) → S_k(Y ) que se obtiene extendiendo por linealidad.

∆^{k σ //}

f#(σ)=f ◦σ

X

f



Y

Proposici´on 1.2.2 Para todo mapeo f : X → Y se satisface que f_#◦ ∂ = ∂ ◦ f_#.

Demostraci´on. Es suficiente observar que para i = 0, . . . , k tenemos que

∂_i(f_#σ) = ∂_i(f ◦ σ) = (f ◦ σ) ◦ f_i^k= f ◦ (σ ◦ f_i^k) = f_#(∂_iσ), y por linealidad se sigue la afirmaci´on.

El resultado anterior implica la conmutatividad del siguiente diagrama.

1.3. EJEMPLOS 11

Sk(X) ^{f# //}

∂



Sk(Y )

∂



Sk−1(X)

f_# //Sk−1(Y ) De aqu´ı obtenemos lo siguiente y sus ´utiles consecuencias.

Corolario 1.2.1 Para todo mapeo f : X → Y se sigue que:

1. f_#(Z_k(X)) < Z_k(Y ).

2. f_#(B_k(X)) < B_k(Y ).

para todo k ∈ N. 

1.3. Ejemplos

Tomemos un espacio de un solo punto X = {x0} y tenemos para toda dimensi´on un

´

unico k-simplejo σ_k: ∆^k→ {x₀}, entonces

σ_k◦ f_i^k= σ_k−1

para i = 0, . . . , k. As´ı ∂σ_2k = σ_2k−1 y ∂σ_2k−1 = 0 para todo k ∈ N. En cada dimensi´on S_k({x₀}) = Z[x0] ∼= Z, as´ı si el dominio tiene dimensi´on par ∂ : Z → Z es el homomor- fismo identidad y es el homomorfismo trivial cuando el dominio tiene dimensi´on impar.

El complejo de cadenas singulares asociado al espacio de un solo punto tiene el siguiente aspecto.

Z^{oo 0} Z^{oo 1} Z^{oo 0} Z^{oo 1} Z^{oo 0} Z^oo · · ·

Para k = 0 tenemos que Z₀({x₀}) = S₀({x₀}) = Z y B0({x₀}) = 0 de donde H₀({x₀}) = Z. Para k > 0 par tenemos que Zk({x₀}) = 0 y B_k({x₀}) = 0 y en este caso H_k({x0}) = 0. Para k impar es f´acil ver que Z_k({x0}) = Z y Bk({x0}) = Z de donde concluimos que H_k({x₀}) = 0.

H_k({x0}) =

 Z si k = 0 0 si k 6= 0

Proposici´on 1.3.1 Un espacio de un solo punto tiene homolog´ıa trivial en dimensiones positivas y su grupo de homolog´ıa 0-dimensional es libre en un solo generador. 

Ahora si X es conexo por trayectorias, cada 1-simplejo singular en X puede verse como una trayectoria y cada 0-simplejo como un punto en X. As´ı S₁(X) es el grupo libre generado porC(I, X) y S0(X) es el grupo libre cuyos generadores son los puntos de X. El grupo de 0-ciclos es todo S₀(X), y el grupo de 0-fronteras es el grupo libre generado por las formas diferenciales vistas como x − y para x, y ∈ X.

Si asumimos que

α =

m

X

i=1

t_i(x_i− y_i)

es una 0-frontera, entonces claramente la suma de sus coeficientes es cero. Por otro lado, si

α = t1x1+ . . . + tmxm

es una 0-cadena tal que t₁+ . . . + t_m = 0, podemos escribir α = t1(x1− x₀) + . . . + tm(xm− x₀),

para x0 ∈ X. La conclusi´on obvia es que cualquier 0-cadena cuya suma de sus coeficientes es cero es una 0-frontera, puesto que por hip´otesis el espacio X es conexo por trayectorias.

Si α, β ∈ S0(X) tienen cadenas con la misma suma de coeficientes, entonces α − β ∈ B0(X). Como una consecuencia tenemos que dos 0-ciclos son hom´ologos si y s´olo si tienen la misma suma de coeficientes. Podemos ahora definir

Φ : H₀(X) −→ Z dado por

Φ(t₁x₁+ . . . + t_mx_m) = t₁+ . . . + t_m que es claramente un isomorfismo.

Proposici´on 1.3.2 Si X es conexo por trayectorias, entonces H₀(X) = Z.

Como ´ultimo ejemplo de esta secci´on calcularemos los grupos de homolog´ıa de un espacio con m´as de una componente conexa por trayectorias. Asumimos que {Xα|α ∈A}

es una colecci´on de las componentes conexas por trayectorias de un espacio topol´ogico dado X. Es claro por continuidad que el grupo S_k(X) es el producto directo de los grupos Sk(Xα) para todo k ∈ N. An´alogamente Zk(X) y Bk(X) se relacionan con Zk(Xα) y B_k(Xα) respectivamente. Es suficiente aplicar el primer teorema del isomorfismo para obtener el siguiente resultado.

1.4. COHOMOLOG´IA 13 Proposici´on 1.3.3 La homolog´ıa de un espacio es el producto directo de la homolog´ıa de sus componentes conexas. 

Si X tiene componentes conexas finitas el ´ultimo resultado tiene la siguiente forma.

Corolario 1.3.1 Si X tiene componentes conexas finitas, su homolog´ıa es la suma directa de la homolog´ıa de sus componentes. 

1.4. Cohomolog´ıa

Sea X un espacio topol´ogico de Hausdorff, definimos el grupo de cocadenas S^k(X; Z/2) como el m´odulo dual Hom _Z/2(S_k(X; Z/2), Z/2) que consiste de todos los mapeos Z/2- lineales de Sk(X; Z/2) a Z/2. El valor de una cocadena α en una cadena γ se denota por hα, γi ∈ Z/2. La cofrontera de una cocadena α ∈ S^k(X; Z/2) se define como la cocadena δα ∈ S^k+1(X; Z/2) como indica el siguiente diagrama.

Sk+1(X) ^{∂ //}

δα=α◦∂ %%

Sk(X)

α

Z/2 Y obtenemos los m´odulos correspondientes

H^k= Z^k(X; Z/2)

B^k(X; Z/2) = ker δ δS^k−1(X; Z/2) el cual llamamos el grupo de cohomolog´ıa singular de X.

1.5. Ejemplos

H^k(Sⁿ; Z/2) =

 Z/2 si k = 0, n 0 si k 6= 0, 2 H^k(RP²; Z/2) =

 Z/2 si k ≤ 2 0 si k > 2

Cap´ıtulo 2

Clases de Stiefel-Whitney

2.1. Haces Vectoriales

Sea B un espacio topol´ogico fijo, el cual llamaremos el espacio base.

Definici´on 2.1.1 Un haz vectorial real ξ sobre B consiste de lo siguiente:

1. Un espacio topol´ogico E = E(ξ) llamado espacio total;

2. Una funci´on (continua) π : E −→ B llamada funci´on proyecci´on, y

3. para cada b ∈ B, el conjunto π⁻¹(b) tiene la estructura de espacio vectorial sobre los n´umeros reales.

Condici´on de trivialidad local. Para cada punto b ∈ B existe una vecindad U ⊂ B, un entero n > 0 y un homeomorfismo

h : U × Rⁿ→ π⁻¹(U )

tales que, para cada b ∈ U , la correspondencia x 7→ h(b, x) define un isomorfismo entre el espacio vectorial Rⁿ y el espacio vectorial π⁻¹(b).

El par (U, h) es llamado el sistema de coordenadas locales para ξ sobre b. Si es posible elegir U igual a todo el espacio base, entonces ξ es llamado un haz trivial. El espacio vectorial π⁻¹(b) es llamada la fibra sobre b. Esta se denota por F_b o F_b(ξ). Notar que F_b nunca es vacio.

Consideremos ahora dos haces vectoriales ξ y η sobre el mismo espacio base B.

Definici´on 2.1.2 ξ es isomorfo a η, ξ ∼= η, si existe un homeomorfismo f : E(ξ) −→ E(η)

15

entre los espacios totales que manda cada espacio vectorial Fb(ξ) de manera isomorfa sobre el espacio vectorial correspondiente F_b(η).

Definici´on 2.1.3 E es un espacio universal si F act´ua libremente en E.

Proposici´on 2.1.1 E es un espacio universal si y s´olo si el haz es trivial

2.2. Clases de Stiefel-Whitney.

Las clases de Stiefel-Whitney de un haz vectorial ζ son clases de cohomolog´ıa m´odulo 2 del espacio B(ζ), que satisfacen el siguiente cuerpo de axiomas:

Axioma 1 (Identidad) Para cada k ∈ N, la k-´esima clase de Stiefel-whitney del haz vectorial ζ = (V, E, p, B) es una clase de cohomolog´ıa

ωk(ξ) ∈ H^k(B; Z/2), de manera que

ω₀(ξ) = 1 ∈ H⁰(B; Z/2), y adem´as ωk(ξ) = 0 si k > dim V = dim ξ.

Axioma 2 (Naturalidad) Dados dos haces ξ₁ = (V_i, E_i, p_i, B_i) para i = 1, 2, y una aplicaci´on continua f : B₁−→ B₂ cubierta por una aplicaci´on de haces F : E₁ −→ E₂, se satisface que

ω_k(ξ₁) = f^∗(ω_k(ξ₂)).

E(ξ1) ^{F //}

pξ1



E(ξ2)

pξ1



B(ξ₁)

f //B(ξ₂)

Axioma 3 (Teorema del producto de Whitney) Dados dos haces ξ y η con B(ξ) = B(η) se satisface que

ωk(ξ ⊕ η) =

k

X

i=0

ωi(ξ) ^ ωk−i(η) =

k

X

i=0

ωi(ξ)ωk−i(η) para todo k ∈ N.

Axioma 4 (La recta proyectiva) Si γ₁¹ es el haz de rectas sobre el c´ırculo RP¹, entonces ω(γ₁¹) 6= 0.

Como una consecuencia inmediata del Axioma 2 tenemos lo siguiente:

2.2. CLASES DE STIEFEL-WHITNEY. 17 Proposici´on 2.2.1 Si ξ y η son haces isomorfos, entonces ωk(ζ) = ωk(η) para todo k ∈ N.

Proposici´on 2.2.2 Si ξ es un haz trivial (E = F × B), entonces ω_k(ξ) = 0 para todo k > 0.

En efecto, si ε es trivial entonces existe un mapeo de ε a un haz vectorial sobre un punto. Combinando esta informaci´on con el teorema del producto de Whitney, se obtiene:

Proposici´on 2.2.3 Si ε es trivial, entonces ω_k(ε ⊕ ξ) = ω_k(ξ) para todo k ∈ N.

Proposici´on 2.2.4 Si ξ es un Rⁿ-haz con una m´etrica euclidiana que no posee fibras que se anulen, entonces ω_n(ξ) = 0. Si ξ posee k fibras linealmente independientes, entonces

ωn−k+1(ξ) = ωn−k+2(ξ) = . . . = ωn(ξ) = 0.

Un caso interesante del teorema del producto de Whitney ocurre cuando la suma de Whitney ξ ⊕ η es trivial. Entonces las relaciones

w₁(ξ) + w₁(η) = 0

w2(ξ) + w1(ξ)w1(η) + w2(η) = 0

w₃(ξ) + w₂(ξ)w₁(η) + w₁(ξ)w₂(η) + w₃(η) = 0 ,etc.,

se pueden resolver intuitivamente, as´ı que wi(η) se expresa como un polinomio de las clases de Stiefel-Whitney de ξ.

Definici´on 2.2.1 H^Π(B; Z/2) denota el anillo que consiste de todas las series infinitas a = a₀+ a₁+ a₂+ · · ·

con a_i ∈ Hⁱ(B; Z/2). El producto est´a dado como sigue (a0+ a₁+ a₂+ · · · )(b₀+ b₁+ b₂+

· · · ) = (a₀b0) + (a1b0+ a0b1) + (a2b0+ a1b1+ a0b2) + · · · . Este producto es conmutativo y asociativo.

La Clase total de Stiefel-Whitney de un haz n-planar ξ sobre B se define por el elemento ω(ξ) = 1 + ω1(ξ) + ω2(ξ) + · · · + ωn(ξ) + 0 + · · ·

de este anillo.

Lema 2.2.1 La colecci´on de todas las series infinitas

ω = 1 + ω1+ ω2+ · · · ∈ H^Π(B; Z/2)

con termino independiente 1 forman un grupo conmutativo bajo multiplicaci´on.

Demostraci´on. El inverso

ω = 1 + ω₁+ ω₂+ ω₃· · ·

de un elemento dado ω puede construirse intuitivamente por el algoritmo

ωn= ω1ωn−1+ ω2ωn−2+ · · · + ωn−1ω1+ ωn.

De aqu´ı se obtiene:

ω₁ = ω₁ ω₂ = ω₁²+ ω₂ ω3 = ω₁³+ ω3

ω₄ = ω₁⁴+ ω²₁ω₂+ ω₂²+ ω₄,

y esto completa la prueba.

Teorema 2.2.1 El haz tangente τ de RPⁿ es isomorfo a Hom(γ_n¹, γ^⊥).

Demostraci´on. Sea L una linea en Rⁿ⁺¹ que pasa por el origen, que interseca a Sⁿ en los puntos ±x y sea L^⊥ ⊂ Rⁿ⁺¹ el n-plano complementario. Sea f : Sⁿ → RPⁿ el mapeo can´onico, f (x) = {±x}. Notar que los dos vectores tangentes (x, v) y (−x, −v) en DSⁿ ambos tienen la misma imagen bajo el mapeo Df : DSⁿ → DRPⁿ inducido por f . As´ı la variedad tangente DRPⁿ puede identificarse con el conjunto de todos los pares {(x, v), (−x, −v)} que satisfacen

x · x = 1, x · v = 0.

2.2. CLASES DE STIEFEL-WHITNEY. 19

Pero cada par determina, y esta determinado por un mapeo lineal

` : L −→ L^⊥, donde

`(x) = v.

As´ı el espacio tangente de RPⁿ en {±x} es can´onicamente isomorfo al espacio vectorial Hom (L, L^⊥). De aqu´ı que el haz tangente τ es isomorfo con el haz Hom (γ_n¹, γ^⊥).

Sea ε¹ el haz trivial de rectas sobre RPⁿ.

Teorema 2.2.2 La suma de Whitney τ ⊕ ε¹ es isomorfa a la (n + 1) suma de Whitney γ_n¹ ⊕ γ_n¹⊕ . . . ⊕ γ_n¹. Por lo tanto la clase total de Stiefel-Whitney de RPⁿ est´a dada por

ω(Pⁿ) = (1 + a)ⁿ⁺¹= 1 +n + 1 1



a +n + 1 2



a²+ . . . +n + 1 n

 aⁿ.

Demostraci´on. El haz Hom (γ_n¹, γ_n¹) es trivial puesto que es un haz de l´ıneas con una secci´on can´onica que no se anula. Por lo tanto

τ ⊕ ε¹ ∼= Hom (γ_n¹, γ^⊥) ⊕ Hom (γ_n¹, γ_n¹).

Esto es isomorfo con

Hom (γ_n¹, γ^⊥⊕ γ_n¹) ∼= Hom (γ¹_n, εⁿ⁺¹), y entonces es isomorfo con las n + 1 sumas

Hom (γ_n¹, ε¹⊕ . . . ⊕ ε¹) ∼= Hom (γ_n¹, ε¹) ⊕ . . . ⊕ Hom (γ_n¹, ε¹).

Pero el haz Hom (γ¹_n, ε¹) es isomorfo con γ_n¹, puesto que γ_n¹ tiene una m´etrica euclidiana.

Esto prueba que

τ ⊕ ε¹ ∼= γ_n¹⊕ · · · ⊕ γ_n¹.

El teorema del producto de Whitney implica que ω(τ ) = ω(τ ⊕ ε¹) es igual a ω(γ¹_n) . . . ω(γ_n¹) = (1 + a)ⁿ⁺¹.

Extendiendo por el teorema del binomio, se completa la prueba.

Esta es una tabla de los coeficientes binomiales n + 1 i



m´odulo 2, para n ≤ 12.

1

1 1

RP¹ : 1 0 1

RP² : 1 1 1 1

RP³ : 1 0 0 0 1

RP⁴ : 1 1 0 0 1 1

RP⁵ : 1 0 1 0 1 0 1

RP⁶ : 1 1 1 1 1 1 1 1

RP⁷ : 1 0 0 0 0 0 0 0 1

RP⁸ : 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1

RP⁹ : 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1

RP¹⁰: 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

RP¹¹: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

RP¹²: 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

El lado derecho de este triangulo puede ser ignorado puesto que Hⁿ⁺¹(Pⁿ; Z/2) = 0. Como ejemplo se tiene:

ω(RP²) = 1 + a + a² ω(RP³) = 1

ω(RP⁴) = 1 + a + a⁴ ω(RP⁹) = 1 + a²+ a⁸.

2.3. VARIEDADES Y MAPEOS SUAVES 21 Corolario 2.2.1 La clase ω(RPⁿ) es igual a 1 si y s´olo si n + 1 es una potencia de 2.

As´ı los ´unicos espacios proyectivos que pueden ser paralelizables son RP¹, RP³, RP⁷, RP¹⁵, . . . Demostraci´on. La identidad (a + b)² ≡ a²+ b²(mod 2) implica que

(1 + a)^2r = 1 + a^2r. Por lo tanto si n + 1 = 2^r entonces

ω(RPⁿ) = (1 + a)ⁿ⁺¹= 1 + aⁿ⁺¹= 1.

Inversamente si n + 1 = 2^rm con m impar, m > 1, entonces ω(RPⁿ) = (1 + a)ⁿ⁺¹= (1 + a^2r)^m

= 1 + ma^2r +^m(m−1)₂ a^2·2r + . . . 6= 1, puesto que 2^r< n + 1. Esto completa la prueba.

2.3. Variedades y mapeos suaves

Definici´on 2.3.1 Un mapeo f de un conjunto abierto U ⊂ Rⁿa R^m se dice suave si tiene todas sus derivadas parciales de todos los ´ordenes y son continuas.

Definici´on 2.3.2 Un mapeo f : X → R^m definido sobre un conjunto arbitrario X en Rⁿ es llamado suave si puede ser extendido localmente a un mapeo suave sobre conjuntos abiertos; esto es; si alrededor de cada punto x ∈ X existe un conjunto abierto U ⊆ Rⁿ y un mapeo suave F : U → R^m tal que F = f en U ∩ X.

Definici´on 2.3.3 Un mapeo suave f : X −→ Y de subconjuntos de espacios euclidianos es un difeomorfismo si est´e es 1 − 1 y sobreyectivo, y si el mapeo inverso

f⁻¹: Y −→ X es tambi´en suave. En este caso decimos que X y Y son difeomorfos.

Definici´on 2.3.4 X es una variedad k-dimensional si est´a es localmente difeomorfa a R^k, es decir, cada punto x ∈ X posee una vecindad V en X que es difeomorfa a un conjunto abierto U ⊆ R^k. φ : U → V es llamada una parametrizaci´on local de la vecindad V . El difeomorfismo inverso φ⁻¹ : V → U es llamado carta coordenada sobre V .

Ejemplo 2.3.1 S¹= {(x, y) ∈ R²| x²+ y² = 1} es una 1-variedad.

Supongamos que X y Y son variedades en R^N y R^M respectivamente, as´ı X × Y es un subconjunto de R^N×R^N = R^{N +M}. Si dim X = k y x ∈ X, podemos encontrar un conjunto abierto W ⊂ R^k y una parametrizaci´on local φ : W → X alrededor de x. Similarmente, si dim Y = l y y ∈ Y , existe un conjunto abierto U ⊂ R^l y una parametrizaci´on local psi : U → Y alrededor de y. Definimos un mapeo φ × ψ : W × U → X × Y como sigue

φ × ψ : W × U −→ X × Y (w, u) 7→ (φ(w), ψ(u)).

W × U es un conjunto abierto de R^k× R^l = R^k+l, y φ × ψ es una parametrizaci´on local de X × Y alrededor de (x, y). De aqu´ı el siguiente resultado.

Teorema 2.3.1 Si X y Y son variedades, entonces tambi´en lo es X × Y , y dim X × Y = dim X + dim Y.

2.4. Inmersiones

Si una variedad M de dimensi´on n puede ser encajada en el espacio euclidiano R^n+k entonces el teorema de la dualidad de Whitney

ω_i(ν) = ¯ω_i(M )

implica que el dual de las clases de Stiefiel-Whitney ¯ωi(M ) son cero para i > k.

Ejemplo 2.4.1 Consideremos el espacio real proyectivo RP⁹. Puesto que ω(RP⁹) = (1 + a)¹⁰= 1 + a²+ a⁸

y tenemos que

ω(RP¯ ⁹) = 1 + a²+ a⁴+ a⁶.

As´ı, si RP⁹ puede ser encajado en R^9+k, entonces k debe ser a lo menos 6.

El caso m´as interesante para RPⁿ se obtiene cuando n es una potencia de 2. Si n = 2^r entonces

ω(RPⁿ) = (1 + a)ⁿ⁺¹ = 1 + a + aⁿ, por lo tanto

ω(RP¯ ⁿ) = 1 + a + a²+ . . . + aⁿ⁻¹. As´ı:

Teorema 2.4.1 Si RP^2r puede ser encajado en R^2r+k, entonces k debe ser al menos 2^r− 1.

2.5. N ´UMEROS DE STIEFEL-WHITNEY 23

2.5. N´ umeros de Stiefel-Whitney

A continuaci´on describiremos una herramienta que nos permitir´a comparar las clases de Stiefel- Whitney de dos variedades diferentes. Sea M una n-variedad suave, cerrada y posiblemente disconexa. Usando coeficientes mod2 existe una ´unica clase de homolog´ıa

µ_M ∈ H_n(M ; Z/2).

Entonces para cualquier clase de cohomolog´ıa ν ∈ Hⁿ(M ; Z/2), el ´ındice de Kronecker hν, µ_Mi ∈ Z/2

esta definido. Algunas veces se usa la notaci´on ν[M ] para el ´ındice de Kronecker.

Sean r₁, . . . , r_n enteros no negativos con r₁+ 2r₂+ . . . + nr_n= n. Entonces correspon- diente a cualquier haz vectorial podemos formar el monomio

ω₁(ξ)^r1· · · ω_n(ξ)^rn

En Hⁿ(B(ξ); Z/2). Se puede hacer esta construcci´on si ξ es el haz tangente de la variedad M .

Definici´on 2.5.1 El n´umero entero correspondiente modulo 2

hω₁(τ_M)^r1· · · ω_n(τ_M)^rn, µ_Mi, o bien ω₁^r1· · · ω_n^rn[M ],

es llamado el n´umero de Stiefel-Whitney de M asociado con el monomio ω₁^r1· · · ω_n^rn. De ahora en adelante estaremos interesados en la colecci´on de todos los posibles n´ume- ros de Stiefel-Whitney para una variedad dada. As´ı, dos variedades M y M⁰ tienen el mismo n´umero de Stiefel-Whitney si ω₁^r1· · · ω_n^rn[M ] = ω₁^r1· · · ω_n^rn[M⁰] para todo monomio ω₁^r1· · · ω_n^rn de dimensi´on total n.

Como un ejemplo, intentaremos calcular los n´umeros de Stiefel-Whitney del espacio proyectivo RPⁿ. Sea τ el haz tangente de RPⁿ. Si n es par, entonces la clase de cohomolog´ıa ωn(τ ) = (n + 1)aⁿ es no cero y se sigue que su n´umero de Stiefel-Whitney ωn[RPⁿ] es no cero. Similarmente, puesto que ω₁(τ ) = (n + 1)a 6= 0, se sigue que ω₁ⁿ[RPⁿ] 6= 0. Si n es una potencia de 2, entonces ω(τ ) = 1 + a + aⁿ, y entonces los n´umeros restantes de Stiefel- Whitney de RPⁿson cero. En todo caso, aunque n no sea una potencia de 2, los n´umeros de Stiefel-Whitney restantes pueden calcularse como producto de los coeficientes binomiales.

Por otro lado si n es impar, digamos n = 2k − 1, entonces ω(τ ) = (1 + a)^2k = (1 + a²)^k, y de aqu´ı que ωj(τ ) = 0 siempre que j sea impar. Puesto que todo monomio de dimensi´on total 2k − 1 contiene un factor ω_j de dimensi´on impar, se sigue que todos los n´umeros de Stiefel-Whitney de RP^2k−1 son cero.

La importancia de los n´umeros de Stiefel-Whitney se muestra en el siguiente teorema y su reciproco.

Teorema 2.5.1 [Pontrjagin]. Si B es una variedad de dimensi´on n+1, suave y compacta con frontera igual a M , entonces los n´umeros de Stiefel-Whitney de M son todos cero.

Demostraci´on. Denotamos la clase fundamental de homolog´ıa del par por µB∈ H_n+1(B, M ),

se entiende que el grupo de coeficientes es Z/2. Entonces el homomorfismo natural

∂ : H_n+1(B, M ) → H_n(M )

manda µ_B a µ_M. Para cualquier clase ν ∈ Hⁿ(M ) tenemos la siguiente identidad hν, ∂µ_Bi = hδν, µ_Bi,

donde δ denota el homomorfismo natural de Hⁿ(M ) sobre Hⁿ⁺¹(B, M ). Considerar el haz tangente τ_B restringido a M , as´ı como el sub-haz τ_M. Eligiendo una m´etrica euclidiana sobre τ_B, existe un ´unico campo vectorial normal a lo largo de M , que cubre un haz trivial de l´ıneas ¹, y se sigue que

τ_B|M ∼= τ_M ⊕ ¹.

Puesto que las clases de Stiefel-Whitney de τ_B restringido a M , son iguales a las clases de Stiefel-Whitney ω_j de τ_M. Usando la sucesi´on exacta

Hⁿ(B) ^{i∗ //}Hⁿ(M ) ^{δ //}Hⁿ⁺¹(B, M ) donde i^∗ es el homomorfismo de restricci´on, se sigue que

δ(ω₁^r1· · · ω_n^rn) = 0, y por lo tanto

hω₁^r1· · · ω_n^rn, ∂µBi = hδ(ω^r₁¹· · · ω^r_nⁿ), µBi = 0.

As´ı, todos los n´umeros de Stiefel-Whitney de M son cero.

El reciproco de este teorema es enunciado por Ren´e Thom.

Teorema 2.5.2 [Thom]. Si todos los n´umeros de Stiefel-Whitney de M son cero, enton- ces M puede ser vista como la frontera de alguna variedad compacta suave.

Dos variedades M y N se dice que son cobordantes si existe una tercera variedad W tal que

∂W = M t N.

Se dice entonces que W es un cobordismo entre M y N , y que la terna (W ; M, N ) es un cobordismo.

2.5. N ´UMEROS DE STIEFEL-WHITNEY 25 Ejemplo 2.5.1 Un punto es cobordante con un conjunto de tres puntos.

Ejemplo 2.5.2 Un c´ırculo es cobordante con una uni´on ajena de dos c´ırculos.

Proposici´on 2.5.1 La relaci´on de cobordismo es una relaci´on de equivalencia.

Demostraci´on. La terna (M × I; M, M ) es claramente un cobordismo para toda variedad compacta M . Si (W ; M, N ) es un cobordismo, entonces tambi´en lo es (W ; N, M ). Final- mente, sup´ongase que (W ; M, P ) y (Z; P, N ) son cobordismos, entonces (W ∪P Z; M, N ) es tambi´en un cobordismo.

La relaci´on de cobordismo es entonces una relaci´on de equivalencia. Si M y N son cobordantes escribimos M ∼ N , y si [M ] representa la clase de cobordismo de la variedad M , entonces [M ] = [N ]. Una variedad que es cobordante con la variedad vac´ıa ∅ se dice que es 0-cobordante, de forma entonces que toda frontera es 0-cobordante. Denotamos [∅] = 0. Si M y N son cobordantes, entonces [M t N ] = 0. Las clases de equivalencia bajo la relaci´on de cobordismo se llaman clases de cobordismo.

Lema 2.5.1 Una variedad es una frontera si y s´olo si es 0-coborante.

Demostraci´on. Basta notar que ∂M = ∂M t ∅ para toda variedad compacta M . Denotemos por Ω_nla colecci´on de todas las clases de cobordismo de variedades cerradas de dimensi´on n, y sobre Ωn definamos la suma mediante

[M ] + [N ] = [M t N ],

lo que provee de estructura algebraica a las clases de cobordismo en una dimensi´on dada.

Proposici´on 2.5.2 La operaci´on de adici´on sobre Ωn est´a bien definida.

Demostraci´on. Supongamos que [M ] = [M1] y [N ] = [N1], sean adem´as (W ; M, M1) y (Z; N, N₁) cobordismos dados, entonces claramente (W t Z; M t N, M₁t N₁) es tambi´en un cobordismo, de donde [M t N ] = [M1t N₁].

Proposici´on 2.5.3 El par (Ωn, +) es un grupo abeliano para todo n ∈ N.

Demostraci´on. La operaci´on es obviamente conmutativa. Claramente adem´as, la clase de cobordismo de la variedad vac´ıa es un elemento neutro para la operaci´on de adici´on definida. Por otra parte, dado que M es cobordante consigo misma, entonces M t M es una frontera y en consecuencia 0-cobordamte, es decir 0 = [M t M ] = [M ] + [M ] de donde

−[M ] = [M ]. Basta observar finalmente que la operaci´on de uni´on ajena es asociativa.

Corolario 2.5.1 El grupo Ωn es un Z/2-m´odulo.

Consideremos ahora el grupo graduado

Ω_O= ⊕_k∈NΩ_k, y sobre ´el el producto graduado dado por

[M ] · [N ] = [M × N ],

para variedades compactas M y N de dimensiones m y n respectivamente.

Proposici´on 2.5.4 El producto sobre Ω_O est´a bien definido.

Demostraci´on. El producto de variedades compactas es, por el teorema de Tychonnoff, una variedad compacta, una demostraci´on puede consultarse en [2]. Adem´as, el producto de variedades cerradas es claramente una variedad cerrada. Por otra parte, si (W ; N, N₁) es un cobordismo, entonces

∂(M × W ) = (∂M × W ) ∪ (M × ∂W ) = M × ∂W,

para toda variedad cerrada M , dado que entonces ∂M = ∅. Tenemos as´ı que

∂(M × W ) = M × (N t N1) = (M × N ) t (M × N1),

de manera entonces que (M × W ; M × N, M × N1) es un cobordismo para toda variedad cerrada M. An´alogamente, si (Z; M, M1) es un cobordismo, entonces (Z ×N1; M ×N1, M1× N ) es un cobordismo para toda variedad cerrada N₁. La transitividad garantiza entonces que la multiplicaci´on propuesta est´a bien definida.

Proposici´on 2.5.5 La terna (Ω_O, +, ·) es un anillo conmutativo graduado con unidad.

Demostraci´on. La gradaci´on es evidente, as´ı como que la clase de cobordismo de un punto cumple el rol de identidad multiplicativa. La conmutatividad y la asociatividad salvo homeomorfismo del producto cartesiano, garantizan la conmutatividad y la asociatividad del producto de clases de cobordismo. Finalmente, dado que el producto cartesiano se distribuye respecto de la uni´on ajena, entonces el producto de clases de cobordismo se distribuye respecto de la correspondiente adici´on.

Proposici´on 2.5.6 El anillo de cobordismo es un dominio entero.

Demostraci´on. Si [M × N ] = 0, entonces ∂X = M × N para alguna variedad compacta X

Los Teoremas 2.5.1 y 2.5.2 nos dan la siguiente consecuencia importante

Corolario 2.5.2 Dos n-variedades cerradas y suaves est´an en la misma clase de cobor- dismo si y s´olo si todos sus n´umeros de Stiefel-Whitney son iguales. 

Cap´ıtulo 3

Teor´ıa de intersecci´ on m´ odulo 2

3.1. El teorema de la funci´ on inversa e inmersi´ on

Si X y Y variedades suaves de la misma dimensi´on, entonces el comportamiento m´as sencillo que podr´ıa exhibir una transformaci´on suave f : X → Y en torno de un punto x es llevar una vecindad de x de manera difeomorfa sobre una vecindad de y = f (x). Se dice que f es un difeomorfismo local en x. Una condici´on necesaria para que f sea un difeomorfismo local en x es que su transformaci´on derivada dfx : Tx(X) → Ty(Y ) sea un isomorfismo.

Teorema 3.1.1 (de la funci´on inversa) Supongamos que f : X → Y es una trans- formaci´on suave cuya derivada dfx en el punto x es un isomorfismo. Entonces f es un difeomorfismo local en x.

Puesto que el teorema de la funci´on inversa es un resultado local, aunque f fuese no singular para cada x ∈ X, uno no puede concluir que f sea globalmente un difeomorfismo de los espacios X y Y .

Podemos reformular el teorema de la funci´on inversa utilizando coordenadas locales:

si df_x es un isomorfismo, entonces uno puede elegir coordenadas polares en torno de x y de y de modo que f parezca ser la identidad. Es decir, existen parametrizaciones locales φ : U → X, ψ : U → Y con el mismo dominio abierto en R^k, tales que el siguiente diagrama conmuta:

X ^{f //}Y

U

φ

OO

Identidad ^//U

ψ

OO

27

Definici´on 3.1.1 Decimos que dos transformaciones f : X → Y y f⁰ : X⁰ → Y⁰ son equivalentes si existen difeomorfismo α y β tales que el siguiente diagrama conmuta:

X ^{f //}Y

U

α

OO

f⁰

//U

β

OO

Para aplicar el teorema de la funci´on inversa, las dimensiones de X y Y deben ser iguales. Cuando dim X < dim Y lo m´as que podemos pedir es que df_x : T_x(X) → T_y(Y ) sea inyectiva. En ese caso, se dice que f es una inmersi´on en x. Si f es una inmersi´on en cada punto, se dice que f es una inmersi´on.

Definici´on 3.1.2 Una transformaci´on f : X → Y es propia si la imagen inversa de todo conjunto compacto en Y es compacta en X.

Una inmersi´on que es inyectiva y propia es un encaje.

3.2. Sumersiones

Continuaremos con el caso en el que dim X > dim Y . Si f : X → Y lleva x en y, la condici´on m´as fuerte que podemos imponer sobre su derivada dfx : Tx(X) → Ty(Y ) es la sobreyectividad.

Si y es un punto de Y y f : X → Y , las soluciones de la ecuaci´on f (x) = y forman un subconjunto de X llamado la imagen inversa de y, que se denota f⁻¹(y). Supongamos que f es una sumersi´on en un punto x ∈ f⁻¹(y). Elegimos coordenadas locales en torno de x y de y de modo que

f (x1, . . . , xk) = (x1, . . . , xl),

y y corresponde a (0, . . . , 0). As´ı, cerca de x, f⁻¹(y) es justamente el conjunto de puntos (0, . . . , o, x_l+1, . . . , x_k). M´as precisamente, sea V la vecindad de x en la cual est´a definido el sistema de coordenadas (x₁, . . . , x_k). Entonces f⁻¹(y) ∩ V es el conjunto de puntos donde x₁ = 0, . . . , x_l = 0. Por lo tanto, las funciones x_k+1, . . . , x_l forman un sistema de coordenadas sobre el conjunto f⁻¹(y) ∩ V , que es un subconjunto (relativamente) abierto de f⁻¹(y).

Definici´on 3.2.1 Para una transformaci´on suave entre variedades f : X → Y , un punto y ∈ Y es un valor regular de f si dfx : Tx(X) → Ty(Y ) es sobreyectiva en cada punto x tal que f (x) = y.

3.3. TRANSVERSALIDAD 29 Teorema 3.2.1 (de la imagen inversa.) Si y es un valor regular de f : X → Y , entonces la imagen inversa f⁻¹(y) es una subvariedad de X, con dim f⁻¹(y) = dim X − dim Y .

Un punto y ∈ Y que no es valor regular de f es un valor cr´ıtico. Cualquier punto y ∈ Y que no pertenezca a la imagen de f califica autom´aticamente como un valor regular.

Cuando dim X > dim Y , la regularidad de un valor y significa que f es una sumersi´on en cada punto de la imagen inversa x ∈ f⁻¹(y). Cuando dim X = dim Y , esto significa que f es un difeomorfismo local en cada punto de la imagen inversa. Si dim X < dim Y entonces cada punto en f (X) es un valor cr´ıtico.

3.3. Transversalidad

f⁻¹(Z) es una variedad si y s´olo si cada punto x ∈ f⁻¹(Z) tiene una vecindad U en X tal que f⁻¹∩ U es una variedad.

Definici´on 3.3.1 Sean X, Y variedades y Z una subvariedad de Y . La transformaci´on f : X → Y es transversal a Z si la siguiente ecuaci´on es v´alida para todo punto x ∈ f⁻¹(Z)

Im(df_x) + T_y(Z) = T_y(Y ).

Teorema 3.3.1 Si la transformaci´on suave f : X → Y es transversal a una subvariedad Z ⊂ Y , entonces la imagen inversa f⁻¹(Z) es una subvariedad de X. Si f⁻¹(Z) no es vac´ıa, la codimensi´on de f⁻¹(Z) en X es igual a la codimensi´on de Z en Y .

Si las dimensiones de X y Z no suman al menos la dimensi´on de Y , entonces s´olo podr´ıan intersecarse transversalmente si su intersecci´on es vac´ıa.

Teorema 3.3.2 (de Sard.) Si f : X → Y es cualquier transformaci´on suave entre variedades, entonces casi todo punto de Y es un valor regular de f .

Un subconjunto arbitrario C ⊂ Y tiene medida cero si, para cada parametrizaci´on local ψ de Y , la imagen inversa ψ⁻¹(C) tiene medida cero en el espacio euclidiano.

Teorema 3.3.3 (de Sard Segunda versi´on.) El conjunto de valores cr´ıticos de una transformaci´on suave entre variedades f : X → Y tiene medida cero.

Definici´on 3.3.2 Si f : X → Y es una transformaci´on suave, un punto x ∈ X es un punto regular de f si dfx : Tx(X) → Ty(Y ) es sobreyectiva; tambi´en se puede decir que f es regular en x. Si dfx no es sobreyectiva, x es un punto cr´ıtico de f .

[Nota: y es un valor regular si cada x ∈ f⁻¹(y) es un punto regular. y es un valor cr´ıtico si al menos un x ∈ f⁻¹(y) es un punto cr´ıtico.]

3.4. Variedades con frontera

En esta secci´on estudiaremos variedades con frontera. El ejemplo m´as sencillo es el semiespacio superior H^k en R^k, que consta de todos los puntos cuya ´ultima coordenada es no negativa.

Definici´on 3.4.1 Un subconjunto X de R^N es una variedad de dimensi´on k, con frontera, si cada punto de X posee una vecindad difeomorfa a un conjunto abierto en el espacio H^k. Tal difeomorfismo se llama una parametrizaci´on local de X. La frontera de X, que se denota ∂X, consta de aquellos puntos que pertenecen a la imagen de la frontera de H^k bajo alguna parametrizaci´on local.

Tenemos que el producto de dos variedades con frontera no es en general otra variedad con frontera, como muestra el cuadrado [0, 1] × [0, 1]. De aqu´ı la siguiente proposici´on.

Proposici´on 3.4.1 El producto de una variedad sin frontera X y una variedad con fron- tera Y es otra variedad con frontera. Adem´as

∂(X × Y ) = X × ∂Y, y

dim(X × Y ) = dimX + dimY.

Demostraci´on. Si U ⊂ R^k y V ⊂ H^l son abiertos, entonces U × V ⊂ R^k× H^l= H^k+l

es abierto. Adem´as, si φ : U → X y ψ : V → Y son parametrizaciones locales, tambi´en lo es φ × ψ : U × V → X × Y .

Si X ⊂ R^N es una variedad de dimensi´on k con frontera, definimos su espacio tangente T_x(X) en un punto x ∈ X como la imagen de la derivada de cualquier parametrizaci´on lo- cal en torno de x. Tenemos que Tx(X) es un subespacio lineal de dimensi´on k de R^N. Para una transformaci´on suave f : X → Y entre dos variedades con frontera, la derivada en cualquier punto se puede definir como una transformaci´on lineal df_x : T_x(X) → T_{f (x)}(Y ).

Proposici´on 3.4.2 Si X es una variedad con frontera de dimensi´on k, entonces ∂X es una variedad sin frontera de dimensi´on k − 1.

Demostraci´on. Sea x ∈ ∂X, entonces existe una parametrizaci´on local φ : U → V donde U y V son subconjuntos abiertos de H^ky X respectivamente. Basta mostrar que φ(∂U ) =

∂V ya que entonces φ se restringe a un difeomorfismo de ∂U = U ∩ ∂H^k, un conjunto

3.5. VARIEDADES DE DIMENSI ´ON UNO 31 abierto de R^k−1, con ∂V = ∂X ∩V , una vecindad de x en ∂X. Por definici´on, φ(∂U ) ⊂ ∂V , de modo que debemos mostrar que φ(∂U ) ⊃ ∂V . Si ψ es cualquier parametrizaci´on local que transforma un conjunto abierto W de H^ken V , debemos mostrar que φ(∂U ) ⊃ ψ(∂W ), o, en forma equivalente, ∂U ⊃ φ⁻¹◦ ψ(∂W ). Sea g = φ⁻¹◦ ψ : W → U , y supongamos que alg´un w ∈ ∂W va a un punto interior u = g(w) de U . Como φ y ψ son ambos difeomorfismos, g debe ser un difeomorfismo de W sobre alg´un subconjunto abierto g(W ) de U . La regla de la cadena implica que la derivada de su inversa, d(g⁻¹)u, es biyectiva.

Pero como u ∈ Int (U ), g(W ) contiene una vecindad de u que es abierta en R^k. As´ı el teorema de la funci´on inversa, aplicado a la transformaci´on g definida en este subconjunto abierto de R^k, implica que la imagen de g⁻¹ contiene una vecindad de w que es abierta en R^k. Esto contradice la hip´otesis w ∈ ∂W .

Teorema 3.4.1 (de Sard.) Para cualquier transformaci´on suave f de una variedad X con frontera en una variedad sin frontera Y , casi cualquier punto de Y es una valor regular de f : X → Y y ∂f : ∂X → Y .

Demostraci´on. Puesto que la derivada de ∂f en x ∈ ∂X es la restricci´on de dfx al subespacio T_x(∂X) ⊂ T_x(X) tenemos que si ∂f es regular en x, tambi´en lo es f . Tenemos que y ∈ Y no es un valor regular de ambas funciones f : X → Y y ∂f : ∂X → Y s´olo cuando es un valor critico de f : Int(X) → Y o de ∂f : ∂X → Y . Pero como Int(X) y

∂X son variedades sin frontera, ambos conjuntos de valores cr´ıticos tienen medida cero.

As´ı, el complemento del conjunto de valores regulares comunes para f y ∂f tiene medida cero.

3.5. Variedades de dimensi´ on uno

Teorema 3.5.1 (La clasificaci´on de variedades de dimensi´on uno.) Toda variedad compacta, conexa, de dimensi´on uno y con frontera, es difeomorfa a [0, 1] o S¹.

Demostraci´on. Sea X una 1-variedad compacta y conexa. Tomemos un atlas {Uα | α ∈ A} tal que Uα es conexo para todo α ∈ A. Por ser Uα conexo tenemos que este es homeomorfo a un intervalo en R; como X es compacto y C = {Uα | α ∈A} es una cubierta abierta de X, elijamos una subcubierta finita Cn = {U1, U2, . . . , Un}, puede suponerse que Ui 6⊆ U_j para i 6= j pues en caso contrario, la cubierta puede reducirse a´un m´as.

Consideremos los siguientes casos:

1. ∂X = ∅;

2. ∂X 6= ∅.