EJERCICIOS DEL CAPITULO 4

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Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Control Estadístico

EJERCICIOS DEL CAPITULO 4

EJERCICIO 13:

En un problema similar al del ejercicio 11 es necesario garantizar que la

resistencia minima que tienen un envase de plástico en posición vertical sea de 20kg. Para evaluar esto se obtuvieron los siguientes datos mediante pruebas destructivas: 28.3 26.8 26.6 26.5 28.1 24.8 27.4 26.2 29.4 28.6 24.9 25.2 30.4 27.7 27.0 26.1 28.1 26.9 28.0 27.6 25.6 29.5 27.6 27.3 26.2 27.7 27.2 25.9 26.5 28.3 26.5 29.1 23.7 29.7 26.8 29.5 28.4 26.3 28.1 28.7 27.0 25.5 26.9 27.2 27.6 25.5 28.3 27.4 28.8 25.0 25.3 27.7 25.2 28.6 27.9 a) Análisis exploratorio (histograma y las estadísticas descriptivas, diagrama

de caja)

b) Estime un intervalo de confianza para la media al 95%

c) Un estudio suponía que la µ=25. Dada la evidencia de los datos , ¿tal supuesto es correcto

d) Estime un intervalo de confianza para la desviación estándar al 95% SOLUCION

X: RESISTENCIA ENVASE PLASTICO (KG)

Del análisis exploratorio podemos concluir lo siguiente:

Los datos se encuentran muy por encima de la especificación inferior (20Kg) se cumple con la calidad exigida

Media y mediana están alrededor de 27 kg, además su desviación es 1,43kg Coef Var= 5,25%

Los límites reales se encuentra el 97,3% entre 22,93 y 31,51Kg

El diagrama de caja nos señala cierta simetría de la información y que se encuentra los bigotes alejados de la especificación inferior.

Estadísticas descriptivas: resistencia(kg)

Conteo

Variable total Media Desv.Est. CoefVar Mínimo Q1 Mediana resistencia(kg) 55 27,220 1,430 5,25 23,700 26,200 27,300 N para Variable Q3 Máximo Rango IQR Modo moda resistencia(kg) 28,300 30,400 6,700 2,100 26,5. 27,6. 27,7. 28,1 3

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Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Control Estadístico Variable Sesgo Kurtosis

resistencia(kg) -0,12 -0,32 30 28 26 24 22 20 re si st e n ci a (k g ) 20 27,3

Gráfica de caja de resistencia(kg)

30,4 28,8 27,2 25,6 24,0 22,4 20,8 14 12 10 8 6 4 2 0 resistencia(kg) Fr e cu e n ci a 20 22,93 31,51 Media 27,22 Desv.Est. 1,430 N 55 1 4 6 14 11 8 7 3 1 Histograma de resistencia(kg) Normal Inferior Especificación Inferior Lim. Real Superior Lim. Real

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Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Control Estadístico Ho: µ=25 kg

Ha: µ≠25 kg

Como no se conoce la desviación estándar poblacional y el parámetro a probar es la Media Poblacional µ entonces se escoge la distribución 1 T

b y c)

T de una muestra: resistencia(kg)

Prueba de mu = 25 vs. no = 25

Media del Error

Variable N Media Desv.Est. estándar IC de 95% T resistencia(kg) 55 27,220 1,430 0,193 (26,833. 27,607) 11,52

Variable P resistencia(kg) 0,000

Valor p < Alfa (0,05) entonces se rechaza ho la media es diferente de 25 El intervalo de confianza:

“Con una confianza del 95% se puede afirmar que la media verdadera de la resistencia de los envases se encuentra entre 26,833 y 27,607 Kg”

d) Determinar el intervalo de confianza para la desviación estándar para lo cual primero hay que saber si los datos siguen distribución normal o no

31 30 29 28 27 26 25 24 23 99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 resistencia(kg) P o rc e n ta je Media 27,22 Desv.Est. 1,430 N 55 KS 0,059 Valor P >0,150

Gráfica de probabilidad de resistencia(kg)

ALFA=0.05 Ha: los datos no siguen una distrb, normal

HO: los datos siguen una distrb, normal

valorp > alfa

Los datos son normales Se acepta Ho

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Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Control Estadístico Los datos son normales

Prueba e IC para una desviación estándar: resistencia(kg)

Método

El método estándar se utiliza sólo para la distribución normal. El método ajustado se utiliza para cualquier distribución continua. Estadísticas

Variable N Desv.Est. Varianza resistencia(kg) 55 1,43 2,04 Intervalos de confianza de 95%

IC para IC para Variable Método Desv.Est. varianza resistencia(kg) Estándar (1,20. 1,76) (1,45. 3,10) Ajustado (1,22. 1,73) (1,49. 2,99)

El intervalo de confianza:

“Con una confianza del 95% se puede afirmar que la desviación estándar verdadera de la resistencia de los envases se encuentra entre 1,20 y 1,76 Kg”

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En la fabricación de discos compactos una variable de interés es la densidad mínima (grosor) de la capa de metal, la cual no debe ser menor de 1.5 micras. Por experiencia se sabe que la densidad minima del metal casi siempre ocurre en los radios 24 y 57, aunque en el método actual también se miden los radios 32,40 y 48. Se realizan siete lecturas en cada radio, lo cuál da un total de 35 lecturas, de las cuales solo se usa la mínima. A continuación se presente una muestra

histórica de 18 densidades mínimas.

TABLA DE DENSIDADES

a) Argumente en términos estadísticos si las densidades mínimas individuales cumplen con la especificación de 1.5 micras. Sugerencia aplique la regla empírica.

b) Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la media de la densidad mínima.

c) Proporcione un intervalo de confianza de 99% para la desviación estándar. d) Dibuje el diagrama de cajas para los datos e interprete los resultados.

Solución:

X: densidad mínima (grosor) micras Variable Aleatoria Continua (MEDICION)

Especificación Inferior: Ei= 1,5 micras

Regla Empírica: µ ± 3 σ ( Es lo mismo que los limites reales)

El proceso es capaz ya que los datos se encuentran muy por encima de la especificación inferior tanto así aplicando 6 sigma se obtiene un limite µ±6σ de 1.5522 es decir que de 1 millón de CD existen “0” que no cumple esa calidad. Como se puede apreciar en el siguiente gráfico:

1.81 1.97 1.93 1.97 1.85 1.99 1.95 1.93 1.85

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Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Control Estadístico 2.04 1.92 1.80 1.68 1.56 7 6 5 4 3 2 1 0 Densidad Fr e cu e n ci a 1.5 1.5522 1.746 2.1338 Media 1.94 Desv.Est. 0.06463 N 18 2 7 5 3 1 Histograma de Densidad Normal Inferior Especificación Inferior

Lim. Real _SuperiorLim. Real

De acuerdo a los resultados los datos cumple con la especificación mínima dado el 99.7% de los datos es superior 1.75 micras

b) Para hallar el intervalo de confianza de la “µ”

Como la varianza poblacional es desconocida se aplica “1T” Utilizando el Minitab:

T de una muestra: Densidad

Media del Error

Variable N Media Desv.Est. estándar IC de 99% Densidad 18 1.9400 0.0646 0.0152 (1.8959, 1.9841)

Interpretación: “ Se puede afirmar con un 99% de confianza que la media verdadera de la densidad mínima se encuentra entre 1.8959 y 1.9841 micras”

C) Para hallar el intervalo de confianza de la “σ”, para lo cual es necesario determinar si los datos siguen o no una distribución NORMAL para lo cual

utilizamos la prueba o TEST de NORMALIDAD prueba de KOLMOGOROV como se observa a continuación:

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Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Control Estadístico 2.10 2.05 2.00 1.95 1.90 1.85 1.80 99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 Densidad P o rc e n ta je Media 1.94 Desv.Est. 0.06463 N 18 KS 0.161 Valor P >0.150

Ha: Los datos no siguen distribución normal Ho: Los datos son normales

Valor p > Alfa Los datos son normales Acepta Ho

Se concluye que los datos siguen una DISTRIBUCIÓN NORMAL Hallando el intervalo de confianza para la σ se obtiene

Prueba e IC para una desviación estándar: Densidad

Método

El método estándar se utiliza sólo para la distribución normal. El método ajustado se utiliza para cualquier distribución continua. Estadísticas

Variable N Desv.Est. Varianza Densidad 18 0.0646 0.00418 Intervalos de confianza de 99% IC para

Variable Método Desv.Est. IC para varianza Densidad Estándar (0.0446, 0.1116) (0.00199, 0.01246) Ajustado (0.0441, 0.1144) (0.00194, 0.01310)

Interpretación: “ Se puede afirmar con un 99% de confianza que la σ verdadera de la densidad mínima se encuentra entre 0.0446 y 0.1116 micras”

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D) Diagrama de CAJAS o BOXPLOT Se observa que el 50% de los datos es superior o Inferior a 1.94 micras, los datos se encuentran muy por encima de la

Especificación Inferior. 2.1 2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 D e n si d a d 1.5 1.94

Gráfica de caja de Densidad

EJERCICIO 23:

Bajo condiciones controladas, en un laboratorio se evaluó en 10 hombres y 10 mujeres, la temperatura que cada persona encontró más confortable. Los resultados en grados Fahrenheit fueron los siguientes:

MUJER HOMBRE 75 74 77 72 78 77 79 76 77 76 73 73 78 75 79 73

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78 74

80 75

a) ¿Cuáles son en realidad los tratamientos que se comparan en este estudio? b) ¿Las muestras son dependientes o independientes?

c) ¿La temperatura promedio más confortable es igual para hombres que para mujeres?

SOLUCIÓN

X: Las temperaturas Mujeres (°F) Y: Las temperaturas Hombres (°F) Son poblaciones independientes

PRIMER PASO SI SON NORMALES O NO APLICANDO KOLMOGOROV

SE CONCLUYE QUE SON NORMALES COMO SE OBSERVA EN LOS SIGUIENTES GRÁFICOS Y VALORES P

79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 HOMBRE P o rc e n ta je Media 74.5 Desv.Est. 1.581 N 10 KS 0.129 Valor P >0.150

Gráfica de probabilidad de HOMBRE Normal

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Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Control Estadístico 82 80 78 76 74 72 99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 MUJER P o rc e n ta je Media 77.4 Desv.Est. 2.066 N 10 KS 0.223 Valor P >0.150

Gráfica de probabilidad de MUJER Normal

LOS DATOS HOMBRES Y MUJERES SON NORMALES

PASO 2 PROBAR SI LAS VARIANZAS SON IGUALES HO: VAR 1 = VAR 2

HA: VAR 1 ≠ VAR2

HOMBRE MUJER 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0

Intervalos de confianza de Bonferroni de 95% para Desv.Est.

HOMBRE MUJER 80 78 76 74 72 Datos Estadística de prueba 1.71 Valor P 0.438 Estadística de prueba 0.03 Valor P 0.860 Prueba F Prueba de Levene

Prueba de igualdad de varianzas para MUJER, HOMBRE

Ha: Varianza 1 diferente Varianza2 Ho: Varianza 1= Varianza2

Ademas se intersectan sus intervalos de confianza Es decir las varianzas son iguales

Acepto Ho 0.438 > 0.05 Valor p > alfa Como son Normales

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Prueba de varianzas iguales: MUJER, HOMBRE

Intervalos de confianza de Bonferroni de 95% para desviaciones estándares N Inferior Desv.Est. Superior

MUJER 10 1.35115 2.06559 4.15938 HOMBRE 10 1.03426 1.58114 3.18387 Prueba F (distribución normal)

Estadística de prueba = 1.71, valor p = 0.438 Prueba de Levene (cualquier distribución continua) Estadística de prueba = 0.03, valor p = 0.860

Como son NORMALES se selecciona la PRUEBA F

Valor p (0.438 ) > alfa

Acepto HO LAS VARIANZAS SON IGUALES

Ho: µ

X

=µ

Y

Ha: µ

X

≠µ

Y

Realizando la prueba 2T porque son independientes

Prueba T e IC de dos muestras: MUJER, HOMBRE

T de dos muestras para MUJER vs. HOMBRE Media del Error N Media Desv.Est. estándar MUJER 10 77.40 2.07 0.65 HOMBRE 10 74.50 1.58 0.50 Diferencia = mu (MUJER) - mu (HOMBRE) Estimado de la diferencia: 2.900

IC de 95% para la diferencia: (1.172, 4.628)

Prueba T de diferencia = 0 (vs. no =): Valor T = 3.53

Valor P = 0.002

GL = 18

Ambos utilizan Desv.Est. agrupada = 1.8394

Conclusión:

Valor p < alfa SE RECHAZA HO es decir las medias de las temperaturas de los hombres y las mujeres es diferente.

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Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Control Estadístico Además se puede afirmar que la media de las mujeres es mayor ya que el intervalo de confianza para la diferencia de las medias es positivo.

EJERCICIO 24:

Se prueban 10 partes en cada nivel de temperatura y se mide el encogimiento sufrido en unidades de porcentaje multiplicado por 10. Los resultados fueron los siguientes TEMPERATURA BAJA TEMPERATURA ALTA 17.2 21.4 17.5 20.9 18.6 19.8 15.9 20.4 16.4 20.6 17.3 21 16.8 20.8 18.4 19.9 16.7 21.1 17.6 20.3

Descriptive Statistics: T. Baja; T. Baja

Descriptive Statistics: T. Baja; T. Alta

Variable N N* Mean SE Mean StDev Variance CoefVar Minimum Q1 T. Baja 10 0 17,240 0,266 0,842 0,709 4,89 15,900 16,625 T. Alta 10 0 20,620 0,165 0,520 0,271 2,52 19,800 20,200 N for

Variable Median Q3 Maximum Range IQR Mode Mode Kurtosis T. Baja 17,250 17,800 18,600 2,700 1,175 * 0 -0, 39 T. Alta 20,700 21,025 21,400 1,600 0,825 * 0 -0,81

Two-Sample T-Test and CI

Sample N Mean StDev SE Mean 1 10 17,240 0,842 0, 27 2 10 20,620 0,520 0, 16 Difference = mu (1) - mu (2) Estimate for difference: -3,380

95% CI for difference: (-4,037; -2,723)

T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -10,80 P-Value = 0,000 DF = 18 Both use Pooled StDev = 0,6998

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Retrieving project from file: 'C: \DOCUMENTS AND SETTINGS\PC1ESCRITORIO \ EJERCICIO 24 CAP 4.MPJ'

Box Plot Of. T. Baja; T. Alta

EJERCICIO 25:

Una compañía de transporte de carga desea escoger la mejor ruta para llevar la mercancía de un depósito a otro. La mayor preocupación es el tiempo de viaje. En el estudio se seleccionaron al azar 5 chóferes de un grupo de 10 y se asignaron a la ruta A; los cinco restantes se asignaron a la ruta B. Los datos obtenidos fueron:

RUTA TIEMPO DE VIAJE

A 18 24 30 31 32

B 22 29 34 25 35

a) ¿Existen diferencias significativas entre las rutas? Plantee y pruebe las hipótesis estadísticas correspondientes?

b) En caso de rechazar la hipótesis del inciso a), dibuje los diagramas de cajas simultáneos para determinar cuál ruta es mejor.

Descriptive Statistics: A; B 18.5 18.0 17.5 17.0 16.5 16.0 21.6 21.2 20.8 20.4 20.0 T. Baja T. Alta

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Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Control Estadístico Variable N * Mean SE Mean StDev Minimum Q1 Median Q3 Maximum A 5 0 27,00 2,65 5,92 18,00 21,00 30,00 31,50 32,00 B 5 0 29,00 2,51 5,61 22,00 23,50 29,00 34,50 35,00

* NOTE * Graphs cannot be made with summarized data. Sample N Mean StDev SE Mean

1 5 27, 00 2, 65 1, 2 2 5 29, 00 2, 51 1, 1 Difference = mu (1) - mu (2) Estimate for difference: -2,00 95% CI for difference: (-5,86; 1,86)

T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -1,23 P-Value = 0,260 DF = 7

EJERCICIO 26:

Se tiene dos proveedores de una pieza metálica cuyo diámetro ideal o valor objetivo es igual a 20.25 cm. Se toman dos muestras de 14 piezas a cada proveedor y los datos obtenidos se muestran a continuación:

PROVEEDOR DIAMETROS DE LAS PIEZAS DE CADA PROVEEDOR 1 21.38 20.13 19.12 19.85 20.54 18 22.24 21.94 19.07 18.6 21.89 22.6 18.1 19.25 2 21.51 22.22 21.49 21.91 21.52 22.06 21.51 21.29 22.71 22.65 21.63 22.22 21.92 20.82

a) Prueba la hipótesis de igualdad de los diámetros de los proveedores en cuánto a sus medias.

b) Prueba la hipótesis de igualdad de varianza.

c) Si las especificaciones para el diámetro son 20.25 mm +/- 2.25 mm, ¿Cuál proveedor produce menos piezas defectuosas?

d) Con cuál proveedor se quedaría usted

PROVEEDOR 1 PROVEEDOR 2 VAR S1 VAR S2

21.38 21.51 2.507 * 18 22.06 0.276 * 21.89 21.63 *

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Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Control Estadístico 20.13 22.22 0.36980 22.4 21.51 * 22.60 22.22 * 19.12 21.49 * 21.94 21.92 * 18.01 21.91 * 19.85 22.71 3.05045 19.07 20.82 * 19.25 21.52 * 20.54 22.65 * 18.6

Descriptive Statistics: Proveedor 1; Proveedor 2

Variable N N* Mean SE Mean StDev Variance CoefVar Minimum Q1 Proveedor 1 14 0 20,194 0,423 1,583 2,507 7,84 18,000 18,953 Proveedor 2 14 0 21,819 0,140 0,525 0,276 2,41 20,820 21,505 N for

Variable Median Q3 Maximum IQR Mode Mode Kurtosis Proveedor 1 19,990 21,903 22,600 2,950 * 0 -1,44 Proveedor 2 21,770 22,220 22,710 0,715 21,51; 22,22 2 -0,18

Sample N Mean StDev SE Mean 1 14 20,19 1,58 0,42 2 14 21,819 0,525 0,14 Difference = mu (1) - mu (2) Estimate for difference: -1,625

95% CI for difference: (-2,541; -0,709)

T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -3,65 P-Value = 0,001 DF = 26 Both use Pooled StDev = 1,1793

Test for Equal Variances 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations Sample N Lower StDev Upper 2 1 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs

Test Statistic 9.08 P-Value 0.000

F-Test

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EJERCICIO 27:

En Kocaoz, S. Samaranayake, V.A. Nanni A. (2005), se presenta una

investigación donde se estudian dos tipos de barra de polímero, cuya tensión se refuerza con Fibra de vidrio(FRP). Estas barras, en sustitución de las vigas de acero son utilizadas para reforzar concreto por lo que su caracterización es importante para fines de diseño, control y optimización para los ingenieros

estructurales. Las barras se sometieron a tensión hasta registrarse su ruptura (en Mpa). Los datos para dos tipos de barra se muestran a continuación:

TIPO DE BARRA RESISTENCIA A 939 976 1025 1034 1015 1015 1022 815 22,71 22,65 22,22 22,06 21,92 21,91 21,63 21,52 21,51 21,49 21,29 20,82 120 100 80 60 40 20 0 P ro ve ed or 2

22,71 22,65 22,22 22,06 21,92 21,91 21,63 21,52 21,51 21,49 21,29 20,82 23 22 21 20 19 18 P ro ve ed or 2 Proveedor 1 Test Statistic 0.12 P-Value 0.427 F-Test

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B 1025 938 1015 983 843 1053 1038 938

a) Formule la hipótesis para probar la igualdad de medias de los tratamientos b) Anote la fórmula del estadístico de prueba para demostrar la hipótesis c) Pruebe la hipótesis a un nivel de significancia del 5%. Para rechazar o no la

hipótesis apóyese tanto ene l criterio de valor-p como en el valo0r crítico de tablas

d) Explique como se obtiene el valor-p de inciso anterior

e) Pruebe la hipótesis de igualdad de varianzas entre tratamientos f) ¿Existe algún tratamiento mejor?

Descriptive Statistics: A; B

Variable N N* Mean SE Mean StDev Variance Minimum Q1 Median A 8 0 980,1 26,1 73,8 5439,6 815,0 948,3 1015,0 B 8 0 979,1 24,7 69,9 4891,8 843,0 938,0 999,0 N for

Variable Q3 Maximum IQR Mode Mode Kurtosis MSSD A 1024,3 1034,0 76,0 1015 2 3,96 3365,0 B 1034,8 1053,0 96,8 938 2 0,79 6317,6

SE Sample N Mean StDev Mean 1 8 980,1 73,8 26 2 8 979,1 69,9 25 Difference = mu (1) - mu (2) Estimate for difference: 1,0

95% CI for difference: (-76,1; 78,1)

T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 0,03 P-Value = 0,978 DF = 14 Both use Pooled StDev = 71,8765

Test for Equal Variances

95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations Sample N Lower StDev Upper

1 8 46,1412 73,7536 168,931 2 8 43,7562 69,9414 160,200 F-Test (Normal Distribution)

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Test for Equal Variances

2 1 175 150 125 100 75 50

Test Statistic 1.11 P-Value 0.892

F-Test