Colegio Diocesano Asunción de Nuestra Señora Ávila Tema 7

Para conocer la sabiduría de Thales de Mileto (646–546 a.C.), se cuenta que los sacerdotes de Egipto lo sometieron a una dura prueba: averiguar la altura de la pirámide de Kéops.

Cuentan que Thales se tendió en el suelo, donde marcó con dos estacas la longitud de su estatura. Cuando observó que su sombra era igual a la distancia marcada en el suelo, midió la sombra que proyectaba la famosa pirámide y dijo a los sacerdotes: “Ahora que mi sombra y mi altura son iguales, la longitud de la sombra de la pirámide tiene que coincidir con su altura”.

Actualmente, utilizando la trigonometría, esta espera es innecesaria. En esta unidad vamos a dar respuesta a este y a otros problemas análogos, resolviendo triángulos rectángulos y no rectángulos, o lo que es lo mismo, calculando los elementos desconocidos del triángulo a partir de otros datos.

Puede ocurrir que las condiciones de partida sean tan débiles que den lugar a una infinidad de triángulos. En estos casos se dice que el triángulo está indeterminado.

Por el contrario, si las condiciones son muy restrictivas, llegan a veces a ser contradictorias y no definen triángulo alguno.

Finalmente, si con los datos iniciales sólo se puede construir un triángulo decimos que éste está determinado.

Los datos utilizables para definir un triángulo podrían ser variopintos: bisectrices, alturas, radio de la circunferencia circunscrita, ..., lo que complicaría desmesuradamente el problema.

1.- Resolución de triángulos rectángulos.

Dado el triángulo rectángulo de la figura, que es recto en A, las relaciones entre sus elementos son las siguientes:

 Relaciones entre los lados. Teorema de Pitágoras.

2 2 2

a b c

 Relaciones entre los ángulos. 180º A  B C

o también:

90º

B C

 Relaciones entre los lados y ángulos. Relaciones trigonométricas. cos b sen B C a   cosB c sen C a   tg B b c  tg C c b 

De los 6 elementos, tres lados y tres ángulos, de un triángulo rectángulo ABC, el ángulo recto A es el único de sus elementos que es siempre conocido.

Para resolver un triángulo rectángulo es necesario conocer, como mínimo, dos elementos distintos del ángulo recto A.

Hay solamente cuatro formas de determinar un triángulo rectángulo, que son las siguientes:

 Conocida la hipotenusa y un ángulo. Ejemplo 1:

Resuelve el triángulo rectángulo ABC siendo: a15 y B20º.

90º 90º 70º B C  C  B · 5'13 b sen B b a sen B a     cosB c c a· cosB 14 '09 a     15 a A90º 5'13 b B20º 14'09 c C 70º Observación:

Para hallar elementos desconocidos se deben utilizar siempre fórmulas en las que intervienen los datos y un elemento desconocido. Procediendo así, los errores de aproximación que pueden darse al hallar los elementos desconocidos no influyen en los cálculos posteriores.

B c a A b C B c a A b C

 Conocidos un cateto y un ángulo. Ejemplo 2:

Resuelve el triángulo rectángulo ABC siendo: b102' 4 y B55º.

90º 90º 35º B C  C  B 125'007 b b sen B a a _{sen B}     71'701 b b tg B c c _{tg B}     125'007 a A90º 102' 4 b B55º 71'701 c C 35º

 Conocidos la hipotenusa y un cateto. Ejemplo 3:

Resuelve el triángulo rectángulo ABC siendo: a25 y b20.

2 2 2 2 2

15

a b c  c a b 

53º 7 ' 48''.37

b b

sen B B arc sen

a a

 

   _{ }

 

cosC b C arccos b 36º 52 ' 11''.63

a a      _{ }   25 a A90º 20 b B53º 7 ' 48''.37 15 c C 36º 52' 11''.63

 Conocidos los dos catetos. Ejemplo 4:

Resuelve el triángulo rectángulo ABC siendo: b8 y c24.

2 2 2 2 2 25' 298 a b c  a b c  18º 26 ' 5''.82 b b tg B B arc tg c c      _{ }   71º 33' 54 ''.18 c c tg C C arc tg b b      _{ }   25' 298 a A90º 8 b B18º 26' 5''.82 24 c C 71º 33' 54''.18 B c a A b C B c a A b C B c a A b C

Observación:

Si sólo conociésemos los dos ángulos agudos entonces podríamos construir infinitos triángulo, es decir, el triángulo sería indeterminado, por el Teorema de Thales.

En la figura se observan dos triángulos rectángulos que tienen los mismos ángulos.

Ejercicios: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

2.- Aplicaciones a la geometría.

Si queremos calcular distancias o áreas de figuras geométricas regulares podemos utilizar las expresiones anteriores siempre y cuando podamos obtener triángulos rectángulos. Lo más típico es resolver polígonos regulares: pentágonos, octógonos, ...

Como un polígono regular se descompone en triángulos isósceles, al unir los vértices con su centro, el problema de resolver un polígono regular queda reducido a resolver triángulos isósceles y por lo tanto a triángulos rectángulos.

Hay que recordar que la apotema divide a cada triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos iguales.

Debemos conocer siempre de que polígono se trata, pues así sabremos la medida del ángulo central O. Hay que recordar que la medida del ángulo central de un polígono regular es O 360º

n

 , donde n es el número de lados de dicho polígono regular.

Ejemplo 1:

Calcular el radio y la apotema de un octógono regular de lado 10 cm.

10 5 5 22º 30 ' 12 '07 22º 30 ' tg a a tg     5 5 22º 30 ' 13'06 22º 30 ' sen r r sen     Radio: 13'06 cm Apotema: 12'07 cm r a r a Radior Apotemaa Ángulo central: 360º 45º 8    22º 30 ' 2  _

Ejemplo 2:

Los catetos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 m. Hallar la altura correspondiente a la hipotenusa.

a

Como es un triángulo rectángulo, aplicando el teorema de Pitágoras:

2 2 2

3 4 25 5

a    a 

En el primer triángulo (triángulo grande) tenemos la razón trigonométrica:

4 4

53º 7 ' 48''.37

5 5

sen    arc sen _{ }

 

En el segundo triángulo (triángulo pequeño) tenemos la razón trigonométrica:

4 12

3 · 3 · 2 ' 4

3 5 5

h

sen   h sen    La altura sobre la hipotenusa mide 2 ' 4 m Observación:

Por lo tanto, no era necesario calcular el ángulo .

Ejemplo 3:

Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24 '6 m tiene como arco correspondiente uno de 70º.

Ejemplo 4:

Hallar el área de un triángulo ABC conocidos a10 cm y c8 cm y el ángulo comprendido entre ellos B43º.

a 3 4 h  r 12 '3 12 '3 35º 21' 44 35º sen r r sen    

El radio de la circunferencia mide 21' 44 m

Trazamos la altura desde el vértice A al lado a, para así construir un triángulo rectángulo, y poder aplicar las expresiones trigonométricas: 43º 8 · 43º 8 h sen   h sen 10 · 10 ·8 · 43º 27 ' 279 2 2 h sen Área  

Ejemplo 5:

Hallar el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 10 cm.

Área del pentágono 5 · · 5 ·20 · 36º ·10 · cos 36º 237 '764

2 2

a h sen

  

El área del pentágono es 237 '764 cm 2 Ejemplo 6:

Hallar el área de un octógono regular de lado 10 cm.

10 5 5 22º 30 ' 12 '07 22º 30 ' tg h h tg    

Área del octógono

5 10 · 10 · 22º 30 ' 40 · 5 8 · 8 · 482 '84 2 2 22º 30 ' h tg tg    

El área del octógono es 482'84 cm2

Ejercicio: 10

3.- Aplicaciones a la topografía.

La medición “directa” de alturas y distancias es una operación que resulta a menudo difícil y, a veces, imposible. No sucede lo mismo cuando se trata de ángulos, ya que su medida se logra con facilidad y exactitud, merced a aparatos especiales, como el GRAFÓMETRO (mide ángulos horizontales) y el TEODOLITO (mide ángulos horizontales y verticales).

a Ángulo central: 360º 72º 5    36º 2  _

Para calcular el área del pentágono basta con calcular el área de un triángulo y multiplicarla por 5.

2 36º 20 · 36º 11'755 10 20 a a sen    a  sen  cos 36º 10 · cos 36º 8'09 10 h h     h h Ángulo central: 360º 45º 8    22º 30 ' 2  _

Para calcular el área del octógono basta con calcular el área de un triángulo y multiplicarla por 8.

Sin embargo, es posible la medición “indirecta” de distancias (como una de las aplicaciones prácticas de la Trigonometría) basándonos en la resolución de triángulos. Por esta razón, destacamos la importancia de la Trigonometría en Topografía, Agrimensura, etc.

Ejemplo:

Se desea calcular el área de una parcela triangular. Dos de sus lados miden 80 m y 130 m. Con un teodolito se mide el ángulo que forman estos lados, que es 70º. ¿Cuánto mide el área?.

Observación:

Con las fórmulas que conocemos hasta ahora sólo podemos resolver triángulos rectángulos, aunque si nos ponemos un poco pesados y pensando mucho podemos resolver también triángulos no rectángulos. Pero existen otras fórmulas que nos permiten resolver cualquier tipo de triángulos sin pensar demasiado. Para ello tenemos que obtenerlas a partir de una serie de teoremas.

4.- Teorema de los senos.

El teorema de los senos sirve para relacionar los lados de un triángulo con los ángulos opuestos, y dice así:

En todo triángulo las longitudes de sus lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos respectivos.

a b c

sen C sen A sen B

 

Demostración:

Sea el triángulo ABC y h la altura correspondiente al vértice C, por lo que se nos forman dos triángulos rectángulos: · · · · h sen A h b sen A b a b b sen A a sen B h _{sen B sen A} sen B h a sen B a     _          

Calculamos la altura del triángulo:

70º 80 · 70º 80 h sen   h sen 130 · 130 ·80 · 70º 4886 ' 4 2 2 h sen Área   El área de la parcela es 4886' 4 2 m A _B b C h a c

' ' · · · ' ' · h sen C h b sen C b c b b sen C c sen B h _{sen B sen C} sen B h c sen B c     _          

Juntando las dos expresiones que hemos obtenido nos queda:

a b c

sen C

sen A sen B

 

justo lo que teníamos que demostrar.

5.- Teorema del coseno.

El teorema del coseno dice que en todo triángulo se verifica:

El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.

2 2 2 2· · ·cos a b c  b c A 2 2 2 2· · ·cos b a c  a c B 2 2 2 2· · ·cos c a b  a b C Demostración: A B b C ' h a c

Del mismo modo, si trazamos la altura h' correspondiente al vértice A, obtenemos dos triángulos rectángulos:

Si en el triángulo ABC de la figura, trazamos la altura desde el vértice B, obtenemos el triángulo rectángulo

BCH , y aplicando el teorema de Pitágoras:

2 2

2

Consideramos el triángulo rectángulo ABH y aplicando el teorema de Pitágoras:

2 2 2 2

2 2

c BH AH  BH c AH

sustituyendo en la expresión obtenemos:









Ahora nos fijamos en el ángulo A del triángulo rectángulo ABH y obtenemos:













cos 180º A AH AH c· cos 180º A c· cosA c· cosA c

        

sustituyendo en la expresión obtenemos:





Análogamente se demuestran las otras igualdades para los lados b y c.

Observación:

Como caso particular del teorema del coseno, resulta el conocido teorema de Pitágoras. Cuando A90º, la fórmula se convierte en:

2 2 2 2 2 2 2

2· · · cos 90º 2· · · 0

a b c  b c b c  b c b c

Observación:

Por comodidad para demostrar el teorema del coseno hemos considerado el triángulo obtusángulo. Si queremos demostrar las fórmulas para los lados b y c basta con situar el ángulo

B y el ángulo C como ángulos obtusos, respectivamente.

6.- Resolución de triángulos no rectángulos.

Para hallar elementos desconocidos se deben utilizar siempre fórmulas en las que intervienen los datos y un elemento desconocido. Procediendo así, los errores de aproximación que pueden darse al hallar los elementos desconocidos no influyen en los cálculos posteriores.

Como utilizaremos el teorema de los senos y el del coseno, a veces para calcular elementos desconocidos, es imposible hacerlo utilizando únicamente los datos, y debemos echar mano de elementos hallados previamente.

Para resolver un triángulo no rectángulo es necesario conocer, como mínimo, tres elementos del triángulo. Como esto es una cuestión muy práctica, la mejor manera de aprender es hacerlo a base de ejemplos, como los que se te facilitan a continuación.

 Conocidos un lado y dos ángulos cualesquiera. Ejemplo 1:

Resuelve el triángulo ABC siendo: a6, B45º y C 105º.

180º 180º 30º A  B C  A   B C · 8' 48 a sen B a b b

sen A sen B sen A

    · 11'59 a sen C a c c sen C sen A sen A     6 a A30º 8' 48 b B45º 11'59 c C 105º

 Conocidos los tres lados. Ejemplo 2:

Resuelve el triángulo ABC siendo: a15, b22 y c17.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2· · · cos 2· · · cos cos 42º 53' 36 ''.54 2 a b c b c A b c A b c a b c a A A b c            2 2 2 2 2 2 2 2 2 2· · · cos 2· · · cos cos 86º 37 ' 39 ''.77 2 b a c a c B a c B a c b a c b B B a c            2 2 2 2 2 2 2 2 2

2· · · cos 2· · · cos cos

2 a b c c a b a b C a b C a b c C a b            50º 28' 43''.69 C  15 a A42º 53' 36''.54 22 b B86º 37 ' 39''.77 17 c C 50º 28' 43''.69 B a c A b C B a c A b C

 Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Ejemplo 3:

Resuelve el triángulo ABC siendo: a10, b7 y C 30º.

2 2 2 2· · · cos 5' 268 c a b  a b C  c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2· · · cos 2· · · cos cos 108º 22 ' 7 ''.64 2 a b c b c A b c A b c a b c a A A b c            2 2 2 2 2 2 2 2 2

2· · · cos 2· · · cos cos

2 a c b b a c a c B a c B a c b B a c            41º 37 ' 52''.36 B 10 a A108º 22' 7 ''.64 7 b B41º 37 ' 52''.36 5' 268 c C 30º

 Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Ejemplo 4:

Resuelve el triángulo ABC siendo: a42, b32 y B40º 32 '.

· a sen B a b sen A b sen A  sen B  

existen dos posibles valores para el ángulo A: 58º 32 ' 14 ''.65 ' 180º 121º 27 ' 45''.35 A A A   _     _ 180º 180º 80º 55' 45''.35 ' ' 180º ' 180º ' 18º 0 ' 14 ''.65 A B C C A B A B C C A B          _          _ B a c A b C B a c A b C

· 48'62 · ' ' ' 15' 219 ' b sen C b c c sen C sen B sen B b sen C b c c

sen B sen C sen B

             _ 

Vemos que tiene dos soluciones:

42 a A58º 32' 14''.65 a42 A'121º 27 ' 45''.35 32 b B40º 32 ' b32 B40º 32 ' 48'62 c C 80º 55' 45''.35 c'15' 219 C'18º 0' 14''.65 Observación:

Cuando los datos para la resolución de un triángulo ABC, son dos lados y uno de sus ángulos opuestos, entonces es un problema que puede tener una, dos o ninguna solución.

Observación:

Siempre que sea posible hay que evitar la utilización del teorema de los senos para calcular ángulos, ya que con el seno se obtienen dos ángulos menores de 180º y por lo tanto pueden existir dos soluciones. Esto no se puede evitar en este último caso.

Observación:

Lógicamente, en la resolución de triángulos no pueden salir resultados negativos (lados ni ángulos negativos). En el caso de que esto sucediese entonces significaría que ese valor no sería solución del triángulo.

Observación:

Si sólo conociésemos los tres ángulos entonces obtendríamos infinitos triángulos (triángulos semejantes), es decir, tendríamos un triángulo indeterminado (por el teorema de Thales).

7.- Aplicaciones a la topografía de triángulos no rectángulos.

Hay muchos problemas topográficos en los cuales hay que utilizar los teoremas anteriores para poder resolver los triángulos no rectángulos que se obtienen. Vamos a estudiar los modelos más comunes con los que nos vamos a encontrar.

Ejemplo 1:

María, Martín y Eduardo van a escalar un montículo del que desconocen la altura. A la salida del pueblo han medido el ángulo de elevación, que mide 30º. Han avanzado 200 m hasta la base del montículo y han vuelto a medir el ángulo de elevación, siendo ahora 45º. Calcular la altura del montículo.

Del triángulo no rectángulo tenemos como datos:

200

c , A30º , B180º 45º 135º 

180º 180º 15º

A  B C  C   A B

Para calcular la altura h necesitamos calcular la longitud a o la longitud b; mejor la a que es más pequeña: · 386 '37 c sen A a c a sen C sen C sen A    

Ahora consideramos el triángulo rectángulo BCP tal que:

C b a A c B a h 45º 45º h · 45º 273' 205 sen h a sen a    

Ejemplo 2:

Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia de A a B es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman las carreteras AB y BC es 120º. ¿Cuánto distan A y C?.

Ejemplo 3:

Se observa un globo cautivo desde dos puntos situados a 1 km, con ángulos de elevación de 45º y 60º, respectivamente. Calcular la altura a que está ese globo sabiendo que se encuentra entre ellos.

Para calcular la altura h necesitamos calcular la longitud c o la longitud a; yo he decidido calcular la longitud c: · 0 '896 b sen C b c c sen C sen B    sen B 

Ahora para calcular la altura h consideramos el triángulo rectángulo de la izquierda:

45º h · 45º 0 '63

sen h c sen

c

   

La altura del globo es de 0 '63 km.

Ejercicios: 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 Ejercicio voluntario: 22

2 2 2

9 6 2·9·6·cos120º 13'076

b     b

La distancia entre los pueblos A y C es de 13'076 km.

b

B

c h a

A b C

El globo se encuentra en el punto B.

Conocemos los siguientes datos del triángulo:

1 b , A45º , C 60º 180º 180º 75º A B C B A C       

EJERCICIOS

1.- Calcula la longitud de la sombra de la torre Eiffel (altura, 300 m) cuando la inclinación de los rayos solares medida sobre el horizonte es de 14º.

2.- La construcción de la famosa torre de Pisa concluyó en el año 1284. Al terminar se comprobó que la parte más alta de la torre se separaba de la vertical unos 90 cm. En la actualidad, la separación es de unos 5 m y la altura de la torre unos 55 m. Calcula el ángulo que forma la torre con la vertical.

3.- Una moneda mide 2 ' 4 cm de diámetro. Halla el ángulo que forman las tangentes a dicha moneda desde un punto situado a 6 cm del centro.

4.- Desde una nave espacial se ve la Tierra bajo un ángulo de 20º. Siendo el radio de la Tierra 6.370 kilómetros, halla la distancia de la nave a la superficie terrestre.

5.- Desde un faro colocado a 40 m sobre el nivel del mar se ve un barco bajo un ángulo de depresión de 55º. ¿A qué distancia del pie del faro se halla el barco?.

6.- Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45º y si se apoya sobre la otra fachada forma un ángulo de 30º. Halla la anchura de la calle. ¿Qué altura se alcanza con dicha escalera sobre cada una de las fachadas?.

7.- Ana y Pedro quieren medir la altura de la torre de un castillo. El ángulo de elevación de la veleta de una torre es de 45º 15', a una distancia de 72 m de la torre. Si la mira del teodolito de encuentra a 1'1 m sobre el suelo, calcula la altura de la torre.

8.- Prueba que en todo triángulo rectángulo se verifica:

cos cos sen B C tg B B sen C  _ 

9.- En un triángulo cualquiera, prueba las siguientes relaciones:

a) sen Asen B













d) sen A sen









10.- Halla la fórmula general del área de un polígono regular de lado a. Aplícala a un octógono regular con lado a10 m.

11.- En un triángulo ABC se conoce el lado BC 10 m, el ángulo ABC que vale 105º y el ángulo ACB que vale 30º. Halla los lados y el área del triángulo.

12.- Sea ABC un triángulo tal que a5 cm, b6 cm y C 60º. Calcular cuánto mide el otro lado, los otros ángulos y el área.

13.- Resuelve los siguientes triángulos: a) a12 m , b8 m , A150º b) a72 m , b57 m , C75º 47 ' c) c3'78 m , A105º , B38º 47 ' d) a6 cm , b8 cm , c9 cm e) a40 m , b60 m , A42º f) a112'5 , b138'9 , A33º 27 '

14.- Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 75 m hacia el pie de la torre, ese ángulo mide 60º. Halla la altura de la torre.

15.- Dos amigos han creído ver un ovni, desde dos puntos situados a 800 m, con ángulos de elevación de 30º y 75º, respectivamente. ¿Sabrías hallar la altura a la que está el ovni sabiendo que se encuentra entre ellos?.

16.- Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de 45º, y si se retrocede 40 m, se ve bajo un ángulo de 30º. Halla la altura del árbol y el ancho del río.

17.- Una antena de 1'5 m de altura se ha colocado en el tejado de un edificio. Desde un punto de la calle medimos los ángulos de elevación de la base y del extremo superior de la antena, que son 46º y 50º respectivamente. ¿Qué altura tiene el edificio?.

18.- Desde cierto lugar se ve el punto más alto de una torre bajo un ángulo de 35º. Si se retrocede 200 m, se ve la misma torre pero bajo un ángulo de 20º. Calcula la altura de la torre.

19.- Pedro y Ana ven desde las puertas de sus casas una torre de televisión bajo ángulos de 45º y 60º. La distancia entre sus casas es de 126 metros y la antena está situada entre sus casas. Halla la altura de la torre.

20.- Dos personas distantes 200 m entre sí observan una cometa con ángulos de elevación de 35º y 52º respectivamente. Si la cometa se encuentra entre las dos personas, calcular las distancias de la cometa a cada una de ellas.

21.- Una persona de 180 cm de estatura ve la copa de un pino bajo un ángulo de 40º. Si se aleja 10 m del pino, ve dicha copa bajo un ángulo de 20º. Calcula la altura del árbol.

22.- Se desea conocer la distancia entre dos cúspides con objeto de construir un teleférico. Desde el valle se obtienen por medición directa los datos que aparecen en la figura. Calcula la distancia entre las banderas.

CUESTIONES

1.- Los cables que sujetan una torre de una emisora de radio tienen sus anclajes en una circunferencia de 10 m de radio. Cada cable forma con la horizontal un ángulo de 45º. ¿Podrías indicar la altura de la torre sin realizar cálculos?.

2.- Si en un triángulo rectángulo conoces la hipotenusa y un cateto, ¿qué fórmulas emplearías para resolver el triángulo?.

3.- De un triángulo se sabe que tiene dos ángulos que miden A60º y B70º. ¿Se puede resolver?.

4.- Thales se tendió en el suelo, donde marcó con dos estacas la longitud de su estatura. Cuando observó que su sombra era igual a la distancia marcada en el suelo, midió la sombra que proyectaba la famosa pirámide y dijo a los sacerdotes: “Ahora que mi sombra y mi altura son iguales, la longitud de la sombra de la pirámide tiene que coincidir con su altura”. ¿Sabrías explicar las razones de Thales de Mileto para poder hacer la anterior afirmación?.