MATEMÁTICAS II. (Versión preliminar)

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MATEMÁTICAS II

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V

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,

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(Versión preliminar)

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MATEMÁTICAS II

Coordinador General del Proyecto

• Álvaro Álvarez Barragán

Dirección Técnica

• Uriel Espinosa Robles

Coordinación:

• Luis Antonio López Villanueva

Elaboración:

• Juan Pérez Rodríguez

Revisión de Contenido:

• Mario Ulises Alvarado Hernández

• Pedro Arrazola Calva

• Joel Díaz Guadarrama

• Ricardo Garnica Juárez

• Daniel González Frías

• José Carlos López Jiménez

• Miguel Ángel Marrufo Chan

• Sergio Muñoz Martínez

• Conrado Octaviano Pacheco Gasca

• José Javier Tecuapetla Díaz

• José Luis Pérez Coss

• Ernesto Manzano Méndez

• Elitania Hernández Zepeda

Asesoría Pedagógica:

• Obdulia Martínez Villanueva

Diseño Editorial

• Rosa Maria Cedillo Aguilar

• Julia Mary Soriano Saenz

Asistencia Técnica:

• Esteban Hernández Salazar

 Copyright en trámite para el Colegio de Bachilleres, México. Colegio de Bachilleres, México

Rancho Vista Hermosa No. 105

Ex-Hacienda Coapa, 04920, México, D.F.

La presente obra fue editada en el procesador de palabras Word 97. Word 97, es marca registrada por Microsoft Corp.

Ninguna parte de esta publicación, incluido el diseño de la cubierta, puede reproducirse, almacenarse o transmitirse en forma alguna, ni tampoco por medio alguno, sea este eléctrico, electrónico, químico, mecánico, óptico, de grabación o de fotocopia, sin la previa autorización escrita por parte del Colegio de Bachilleres, México.

(3)

PRESENTACIÓN 4

INTRODUCCIÓN 5

I. OBJETIVOS DE EVALUACIÓN SUMATIVA 6

II. TEMAS FUNDAMENTALES 7

III. RETROALIMENTACIÓN Y VERIFICACIÓN DE APRENDIZAJES 8

3.1 COMPENDIO FASCÍCULO 1. FUNCIÓN LINEAL Y ECUACIÓN DE PRIMER

GRADO CON DOS INCÓGNITAS. 9

3.2 COMPENDIO FASCÍCULO 2. FUNCIONES POLINOMIALES Y SU

REPRESENTACIÓN GRÁFICA. 23

3.3 COMPENDIO FASCÍCULO 3. ANÁLISIS DE FUNCIONES: EJEMPLOS

INTERESANTES. 50

IV. HOJA DE COTEJO DE EVALUACIÓN 75

V. EVALUACIÓN MUESTRA 85

5.1 HOJA DE RESPUESTA 103

5.2 HOJA DE COTEJO DE LA EVALUACIÓN MUESTRA 105

VI. SÍMBOLOGÍA 106

VII. GLOSARIO 107

BIBLIOGRAFÍA 108

(4)

El presente Cuaderno de Actividades de Aprendizaje, Consolidación y Retroalimentación ha sido elaborado tomando en cuenta los diferentes aspectos que caracterizan a los estudiantes del Sistema de Enseñanza Abierta del Colegio de Bachilleres.

El cuaderno ha sido estructurado de tal forma que facilite la verificación de los aprendizajes obtenidos a través del estudio de tu compendio fascicular.

Los elementos didácticos que lo estructuran son los siguientes:

• Objetivos de evaluación sumativa que te informa acerca de lo que se pretende lograr con el estudio del compendio fascicular.

• Temas fundamentales donde se mencionan los contenidos que a nivel general se abordan en el Cuaderno.

• Retroalimentación y verificación de aprendizajes en el cual encontrarás instrucciones generales y del compendio fascicular la síntesis de cada tema, ejemplos y evaluación a contestar.

• Hoja de cotejo de evaluación en la cual identificarás las respuestas correctas de la evaluación que respondiste.

• Evaluación muestra donde se te presentan reactivos semejantes a los que te vas a encontrar en tu evaluación final de la asignatura.

• Bibliografía que te apoya en la ampliación del conocimiento independientemente del compendio fascicular.

Esperando te sirva de apoyo para tu aprendizaje:

¡ TE DESEAMOS SUERTE !

PRESENTACIÓN

(5)

El Departamento de Evaluación de la CAESA como parte de su actividad y basado en la concepción de evaluación que se tiene“...como un proceso integral, sistemático, continuo y flexible, que valora aspectos y elementos... por medio de la aplicación de distintas técnicas, procedimientos e instrumentos que proporcionan información... que permite tomar decisiones...”1_{, ha elaborado el} siguiente Cuaderno de Actividades de Aprendizaje, Consolidación y Retroalimentación.

El Cuaderno tiene el propósito de apoyar al estudiante en su proceso de asesoría que desarrolla en el Sistema de Enseñanza Abierta, en él se da cuenta de la totalidad de objetivos de evaluación sumativa de la asignatura a la que está dirigida; (cabe señalar que es un documento para uso del estudiante y del asesor).

Asimismo tiene como finalidad apoyar el aprendizaje del estudiante, además de prepararlo para la evaluación sumativa, ya que resolviendo los ejercicios que se presentan, se reafirmarán e identificarán aquellos avances y/o problemáticas que se tienen de uno o más contenidos de la asignatura.

La asignatura de Matemáticas II tiene como objetivo general, continuar con el estudio del Álgebra, abordando todo lo correspondiente al tema de funciones matemáticas (algebraicas, trascendentes y sucesiones), tanto sus comportamientos gráficos como sus aplicaciones en la solución de problemas; todo esto con el fin de generar en el estudiante una metodología de estudio propio, útil en el desempeño académico general.

Matemáticas II integra junto con Matemáticas I, III y IV la materia de Matemáticas que a su vez tiene relación con Cálculo Diferencial e Integral I y II, Estadística Descriptiva e Inferencial I y II, así como el Laboratorio de Informática I y II.

Matemáticas II recibe servicio de la asignatura de Taller de Lectura y Redacción y Métodos de Investigación en el desarrollo de habilidades para el manejo y comprensión del lenguaje, así como el manejo de la lógica y el estudio del método científico. A su vez da servicio a las asignaturas del Área de Ciencias Naturales (Física, Química y Biología) en el apoyo de desarrollo de procedimientos, habilidades de análisis, observaciones y abstracción del conocimiento.

Con base a lo anterior, éste Cuaderno de Actividades de Aprendizaje, Consolidación y Retroalimentación apoyará:

Al asesor.

• Para emplear las propuestas del Cuaderno como un apoyo más para el proceso formativo de los estudiantes , conjuntamente con los compendios fasciculares y materiales que haya dasarrollado como parte de su práctica educativa.

¡ ESPERAMOS LE SEA DE UTILIDAD !

Al estudiante.

• Para utilizarlo como un apoyo en su estudio independiente, proceso formativo y su evaluación sumativa.

¡ ÉXITO !

(6)

1.1 Conocerá el concepto de función lineal y la relación que tiene con la ecuación de primer grado con dos incógnitas, para ver el comportamiento de las dos variables interrelacionadas.

1.2 Interpretará la representación gráfica de una función lineal de la forma: f(x)= ax y

f(x)= ax b+ , advirtiendo el análisis de la constante y el parámetro de la función.

1.3 Planteará y resolverá problemas mediante la obtención del modelo matemático de la función lineal y su representación gráfica.

2.1 Planteará y resolverá el modelo matemático de la función polinomial cuadrática que interpreta al enunciado de un problema.

2.2 Reconocerá los elementos y los coeficientes de la función polinomial cuadrática, a partir del concepto de función.

2.3 Interpretará la representación gráfica de la función polinomial cuadrática, advirtiendo las características de dichas gráficas.

2.4 Planteará y resolverá el modelo algebraico de la ecuación cuadrática que representa al enunciado de un problema.

2.5 Determinará la solución o las raíces de una ecuación cuadrática por el método más adecuado, según las características de dichas ecuaciones.

2.6 Interpretará la representación gráfica de las funciones polinomiales, advirtiendo las características de las mismas.

2.7 Reconocerá las funciones algebraicas de acuerdo al concepto, clasificación y gráfica de las mismas.

2.8 Planteará y resolverá el modelo matemático de la función algebraica que representa al enunciado de un problema.

3.1 Reconocerá el modelo de la función exponencial que representa al enunciado de un problema. 3.2 Reconocerá los diferentes tipos de funciones algebraicas y trascendentes.

3.3 Interpretará la representación gráfica de la función exponencial y la función logarítmica.

3.4 Determinará el valor de la base y el exponente en expresiones exponenciales y logarítmicas, realizando las transformaciones correspondientes.

3.5 Interpretará la representación gráfica de sucesiones numéricas sencillas.

3.6 Obtendrá el resultado de problemas por medio de las sucesiones aritméticas sencillas. 3.7 Obtendrá el resultado de problemas por medio de las sucesiones geométricas sencillas.

3.8 Interpretará las características de las iteraciones mediante la representación gráfica de las sucesiones como casos particulares de las funciones.

I. OBJETIVOS DE EVALUACIÓN SUMATIVA

C

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2

2 C

C

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3

3 C

C

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O

1

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I. FUNCIÓN LINEAL : SU RELACIÓN CON LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS.

II. FUNCIÓN POLINOMIAL CUADRÁTICA : SU RELACIÓN CON LA ECUACIÓN CUADRÁTICA O DE 2º GRADO. III. OTRASFUNCIONESPOLINOMIALES: SUS REPRESENTACIONES GRÁFICAS.

IV. ANÁLISIS DE FUNCIONES: SU GENERALIZACIÓN.

V. FUNCIONES DISCRETAS, SUCESIONES, ITERACIÓN Y RECURSIVIDAD.

C

O

M

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1

1 II. TEMAS FUNDAMENTALES

C

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C

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2

2 C

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A continuación se presenta el nombre de cada tema con sus características generales y uno o más ejemplos dependiendo de su amplitud. Dentro de cada ejemplo se especifican los pasos, propiedades y leyes que se aplican en el desarrollo para llegar a la solución correcta. Es importante señalar que se trabaja con situaciones correspondientes a la realidad que se representan por diversas funciones a través de sus representaciones gráficas que implican el conocimiento de procesos operativos de la aritmética y el álgebra elemental aprendidos en la asignatura anterior, y que el estudiante debe dominar para permitirle el desarrollo del razonamiento y visualizar las aplicaciones prácticas de las asignaturas siguientes.

Posteriormente, en el apartado de evaluación se presenta una serie de ejercicios correspondientes a los temas especificados; es importante señalar que para resolver dichos ejercicios, debiste haber adquirido los conocimientos, habilidades y actitudes necesarios de los contenidos temáticos de tu compendio fascicular; si no fue así te pedimos que consultes dicho compendio fascicular y a tu asesor de contenido. En este mismo apartado podrás verificar tus respuestas y resultados con los que te proporcionamos en la hoja de cotejo.

Por último, debes contestar la evaluación muestra eligiendo la respuesta correcta de cada reactivo, dicha evaluación es semejante a la evaluación global de la asignatura. Al final podrás verificar tus resultados en la hoja de respuestas.

Las fórmulas que se aplican a lo largo del contenido, únicamente se mencionan y se aplican, ya que sus deducciones las puedes consultar en tu compendio fascicular.

III. RETROALIMENTACIÓN Y VERIFICACIÓN DE

APRENDIZAJES

(9)

En el compendio fascículo 1 conociste el concepto y el modelo de la función lineal, su representación gráfica y la relación que tiene con la ecuación de primer con dos incógnitas; además aprendiste a obtener dichas funciones a partir del enunciado de un problema para ver el comportamiento de las dos variables interrelacionadas.

FUNCIONES.

La función es una regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que asocia a cada elemento del 1er conjunto con uno y sólo un elemento del 2do conjunto; y = f(x). El 1er conjunto es el dominio de la función y sus elementos son los valores de “x” (variable independiente),

{

}

D = x x/ ∈R . El 2do_{conjunto es la imagen, recorrido, contradominio o codominio de la} función y sus elementos son los valores de “y” (variable dependiente), I =

{

y y/ =f x( )

}

.

CONSTRUCCIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES.

1. Se construye una tabulación de valores: se asignan valores arbitrarios a la variable independiente (x), se evalúa la función sustituyendo cada valor de “x” para obtener cada valor de “y” y se forman puntos de pares ordenados P(x,y).

2. Se construye la gráfica en el plano cartesiano: se representan los puntos en el plano y se unen para formar la gráfica de la función.

FUNCIÓN LINEAL.

Es lineal porque su variable independiente “x” tiene como máximo exponente la unidad (1).

De la ecuación de primer grado con dos incógnitas, se obtiene la regla de correspondencia de la función lineal mediante la aplicación de las propiedades de igualdad en la transposición de términos: si Ax+By+C = 0 entonces f(x) = ax+b y si Ax+By = 0 entonces

f(x) = ax; donde y= f(x), con a y b constantes y a≠ 0

* Transformar la ecuación, 6x −2y = 0en una función lineal.

- Se aplican las propiedades de campo de los números reales y de igualdad para despejar a la variable “y”, dejándola en el primer miembro de la igualdad.

−2y = −6x y = − x

−

6

2 ∴ y = 3x

3.1 COMPENDIO FASCÍCULO 1. FUNCIÓN LINEAL Y ECUACIÓN

DE PRIMER GRADO CON DOS

INCÓGNITAS

E

(10)

- Se obtiene el modelo de la función lineal. Como

y

=

f x

( )

; entonces la función, es: f(x)= 3x

* Transformar la ecuación, 2

3y− −x 2= 0 en una función lineal.

- Se aplican las propiedades de campo de los números reales y de igualdad para despejar a la variable “y”, dejándola en el primer miembro de la igualdad.

2 3y = x+ 2 y = 3

(

x+

)

2 2 ∴ y 3 2x 3 = +

- Se obtiene el modelo de la función lineal. Como y =f x( ), entonces la función, es: f(x) 2

3x 3

= +

* Obtener el modelo de la función lineal que corresponde a la siguiente tabulación de valores.

x 1 2 3 4

y 4 8 12 16

- En la tabulación hay dos conjuntos de valores, el dominio “x” y el rango “y”; de esto se establece que a cada elemento de “x” le corresponde uno de “y”; por lo tanto, existe una correspondencia de valores, donde la constante o razón de cambio se obtiene despejándola del modelo general de la función lineal, y = ax con _a x

y

= y sustituyendo dichos valores.

- Se sustituyen valores en cada correspondencia. _a= 4 =

1 4 ; a= = 8 2 4 ; a= = 12 3 4 ; a= = 16 4 4 En cada caso el valor de la constante es igual; por lo tanto, la tabulación es de números proporcionales y está representada por una función lineal que se obtiene sustituyendo el valor de a en el modelo general, resultando la expresión, f(x) = 4x.

* Obtener el modelo de la función lineal que corresponde a la siguiente tabulación de valores.

x −6 −4 4 6

y 3 2 −2 −3

- Se obtiene el valor de la constante o razón de cambio despejándola en el modelo general de la función lineal,

y

=

ax

, con _a x

y

=

- Se sustituyen valores en cada correspondencia.

a= − = − 3 6 1 2 ; a= − = − 2 4 1 2 ; a= − = − 2 4 1 2 ; a= − = − 3 6 1 2

(11)

Como el valor de “a” es constante, entonces la tabulación está representada por una función que se obtiene sustituyendo el valor de a en el modelo general, resultando la expresión,

f(x) 1

2x

= − .

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LINEAL DE LA FORMA f(x)= ax Y f(x) = ax+b.

La gráfica de la función lineal es una línea recta.

Obtención de la recta mediante la construcción gráfica de la función.

* Dada la función, f(x) = 2x con dominio D = {−2, −1, 0, 1, 2}; obtener: A) Su representación gráfica.

B) La notación del conjunto de valores para el dominio y la imagen.

C) La correspondencia de valores entre los elementos del dominio y la imagen.

- Se construye la tabulación, sustituyendo los valores del dominio en la variable independiente de la función para obtener los valores de la variable dependiente y formar los puntos coordenados.

x f(x) = 2x y P(x,y) −2 −1 0 1 2 f(−2) = 2(−2) f(−1) = 2(−1) f (0) = 2 (0) f (1) = 2 (1) f (2) = 2 (2) −4 −2 0 2 4 P(−2,−4) P(−1,−2) P(0,0) P(1,2) P(2,4)

- Se representan los puntos en el plano y se unen para obtener la gráfica correspondiente. A) Gráfica: y 4 3 2 1 x’ 0 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 -3 -4 y’

E

J

E

M

P

L

O

(12)

B) Notación. Son los valores comprendidos para el dominio y el rango de la función. Dominio D=

{

x∈R / 2− ≤ x ≤ 2

}

; Imagen I=

{

y∈R / 4− ≤ ≤y 4

}

C) La correspondencia de valores. Es la relación existente entre cada elemento del dominio y cada elemento que le corresponde en la imagen.

D I x f f(x) −2 −4 −1 −2 0 0 1 2 2 4

La correspondencia indica que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento de la imagen; con esto se concluye que en los pares ordenados de una función, a una misma abscisa no le pueden corresponder dos ordenadas distintas.

Obtención de la recta por medio de su intersección con los ejes coordenados.

La intersección de la recta con el eje “x” (abscisas) es en el punto P(x,0) y con el eje “y” (ordenadas)es en el punto P(0,y).

* Dada la ecuación, x+ 2y+ 2 = 0; obtener: A) Su representación gráfica de la función.

B) La notación del conjunto de valores para el dominio y el recorrido de la función. C) La correspondencia de valores entre los elementos del dominio y el rango.

- Se transforma la ecuación en una función lineal mediante la aplicación de las propiedades de campo de los números reales y de igualdad.

2y = − −x 2 y = − 1x− 2 2 2 ∴ f(x) 1 2x 1 = − −

- Se sustituye la variable dependiente (y) por el cero y se resuelve la ecuación para obtener el punto de intersección de la recta con el eje de las abscisas (eje x).

0 1 2 1 = − x− 2 0 2 1 2 1 ( )= − −    x 0 = − −x 2

x = −2 ∴ el punto de intersección con el eje de las abscisas es P(−2,0)

E

(13)

- Se sustituye la variable independiente (x) por el cero y se resuelve la ecuación para obtener el punto de intersección de la recta con el eje de las ordenadas (eje y).

_{f x}_{( )}_{= −}1

( )

₋ 2 0 1

y = −1 ∴ el punto de intersección con el eje de las ordenadas es P(0,−1)

- Se representan las coordenadas de los puntos en el plano y se traza una recta que pase por dichos puntos para obtener la gráfica correspondiente.

A) Gráfica: y 3 2 1 x’ x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -2 -3 y’ B) Notación. Como no se da la condición de valores para el dominio, entonces en dicho dominio se puede considerar a los números reales, ya que la recta es continua en el plano. D = {x / x ∈ R}; y el rango es, I = {y / y = f(x)}. C) Correspondencia de valores: D I x f f(x) −2 −1 0 0

Obtención de la recta mediante las características de la constante “a” y el parámetro “b” de la función.

La constante “a” indica la inclinación de la recta; si

a 0

>

, se inclina hacia la derecha y si

a 0

<

, se inclina hacia la izquierda.

El parámetro “b” es el valor de la intersección de la recta con el eje “y”; si

b 0

>

, la recta pasa arriba del origen del plano; si

b 0

=

, la recta intersecta en el origen, y si

b 0

<

, la recta pasa abajo del origen.

(14)

* Obtener la representación gráfica de la función, f x( )= −2x +1

- Se obtienen las características de la constante y el parámetro de la función.

La función f(x) = −2x+1 es de la forma f(x)= ax+ b, donde a = −2 y b = 1; como

a

<

0

, la recta se inclina hacia la izquierda, y como b = 1, entonces dicha recta pasa arriba del origen del plano en la ordenada y = 1.

- Se asigna un valor arbitrario a “x” y se sustituye en la función para obtener el valor de “y”; con esto se forma un par ordenado P(x,y) que satisface a la recta de la función.

Se asigna x = 2 f x( )= −2x+1 f x( )= −2 2( )+1

f(x) = −3 ∴ el punto que satisface a la recta es P(2,−3) - Se obtiene la gráfica ubicando el punto en el plano y tomando en cuenta las características de la constante y el parámetro de la función.

y 3 2 1 x’ x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 y’

Como el valor del parámetro “b” indica la intersección de la recta con el eje “y”; entonces se concluye que el valor de “b” es la ordenada al origen de la función lineal en el punto P(0,b).

Obtención de la función a partir de su recta determinada por un punto P(x,y) y su ordenada al origen P(0,b).

Se sustituyen las coordenadas del punto P(x,y) y el parámetro “b” en el modelo general de la función, para obtener la constante “a” y representar la función correspondiente a la gráfica.

E

(15)

* Obtener la función lineal correspondiente a la siguiente gráfica. y 2 1 x’ x -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 y’

- Se sustituyen las coordenadas del punto P(2,-2) y el parámetro b = -3 en la función

f(x)= ax b+ , y se obtiene la constante “a” mediante la transposición de términos y las operaciones indicadas en la expresión.

(−2)=a( ) (2 + −3) 2a = −3 2 ∴ a 1

2

=

- Se representa el modelo de la función correspondiente a la gráfica especificada. f(x) 1 2x 3

= −

Obtención de la función lineal a partir de la gráfica representada por dos puntos.

Se obtiene la constante “a” dividiendo el desplazamiento de la ordenada entre el desplazamiento de la abscisa (desplazamiento hacia arriba y a la derecha es positivo, hacia abajo y a la izquierda es negativo); Posteriormente se obtiene el parámetro “b” sustituyendo las coordenadas de uno de los puntos y la constante “a” en el modelo general de la función.

E

(16)

* Obtener la expresión de la función lineal que está representada por la siguiente recta. y 2 A(5,2) 1 x’ x -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5 6 -2 B(1,-2) -3 y’

- Se realizan los desplazamientos de la ordenada (y) y la abscisa (x) de un punto a otro en la recta. y 2 A(5,2) 1 x’ x -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5 6 -2 B(1,-2) C -3 y’

La ordenada se desplaza 4 unidades hacia abajo, por lo tanto AC= −4

La abscisa se desplaza 4 unidades hacia la izquierda, por lo tanto CB = −4

- Se obtiene el valor de la constante “a” , dividiendo el desplazamiento de la ordenada entre el desplazamiento de la abscisa. a AC CB = =− − 4 4 ∴ a =1

- Se sustituye el valor de la constante “a” y las coordenadas de uno de los puntos en el modelo de la función lineal. [En este caso se trabaja con el punto A (5,2)].

f x( )=ax+b 2 =1 5( )+b

- Se resuelve la ecuación para obtener el valor del parámetro “b”. 1 5( )+b = 2

5 +b = 2

b = 2−5 ∴ b = −3

E

(17)

- Se sustituye el valor de “a” y de “b” en el modelo general de la función lineal y se obtiene la función correspondiente a la gráfica.

f x( )= ax+b f(x) = x −3

Obtención de la función lineal a partir de la tabulación de dos o más puntos.

Se representan gráficamente dos puntos de la tabulación para formar la recta, posteriormente se obtiene la función lineal a partir de la recta representada en el plano.

* Obtener la función lineal que corresponde a la siguiente tabulación de valores.

x 0 3

y 1 7

- Se representan los dos puntos en el plano formándose la recta de la función; también se realizan los desplazamientos de la abscisa y la ordenada en dicha recta.

y 7 P P2(3,7) 6 5 4 3 2 P1(0,1) 1 x’ x -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1 y’

La ordenada se desplaza 6 unidades hacia arriba, por lo tanto P P₁ =6

La abscisa se desplaza 3 unidades hacia la derecha, por lo tanto PP₂ =3

- Se obtiene el valor de la constante “a”, dividiendo el desplazamiento de la ordenada entre el desplazamiento de la abscisa. _a PP PP = 1 = 2 6 3 ∴ a = 2

E

J

E

M

P

L

O

(18)

- Se obtiene el valor del parámetro “b” a partir de la intersección de la recta con el eje “y”. Como el punto de intersección es P(0,1), entonces el valor del parámetro es, b = 1

- Se sustituye el valor de “a” y de “b” en el modelo de la función lineal y se obtiene la función correspondiente a la tabulación dada.

f x( )=ax+b f(x) = 2x+1

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, CUYA INTERPRETACIÓN ALGEBRAICA ES UNA FUNCIÓN LINEAL.

El modelo de la función lineal se obtiene a partir de las condiciones del enunciado mediante la interpretación del lenguaje común al lenguaje algebraico, posteriormente se determinan las cantidades que nos pide el problema y se representan mediante la gráfica de la función.

• Resolver el siguiente problema.

El promedio de goleo de un futbolista profesional es de 0.5 por partido. De acuerdo con esto, determinar:

A) La expresión de la función lineal que determina el número de goles anotados en función del número de partidos jugados.

B) ¿Cuántos goles anota si juega 2, 4, 6 u 8 partidos?

C) La tabulación y la gráfica de los resultados obtenidos en el inciso anterior.

Solución

A) - Se obtiene la función lineal mediante las condiciones del problema. Del análisis del enunciado se establece que,

Nº de goles anotados = Promedio de goleo, por Nº de partidos jugados.

Traducido al lenguaje algebraico se obtiene la función lineal, f(x) = 0.5x

B) - Se sustituye el número de partidos jugados, para obtener el número de goles anotados. Si juega 2 partidos, f( )2 =0 5 2. ( ) f( )2 =1; entonces anota 1 gol.

Si juega 4 partidos, f( )4 =0 5 4. ( ) f( )4 =2; entonces anota 2 goles. Si juega 6 partidos, f( )6 =0 5 6. ( ) f( )6 =3; entonces anota 3 goles.

Si juega 8 partidos, f( )8 =0 5 8. ( ) f( )8 =4; entonces anota 4 goles.

E

(19)

C) - Se construye la tabulación con los valores obtenidos y se representa la gráfica. x y y (goles) 2 1 4 4 2 6 3 3 8 4 2 1 x’ x -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 y’

* Resolver el siguiente problema.

Un vendedor de automóviles gana $1500.00 a la semana más $500.00 por cada vehículo que venda. De acuerdo con esto, determinar:

A) La expresión de la función lineal que determina la cantidad ganada en función del número de autos vendidos semanalmente.

B) ¿Cuánto gana si vende 2, 3, 4 ó 5 autos?

C) La tabulación y la gráfica de los resultados obtenidos en el inciso anterior? D) ¿Cuántos vehículos debe vender para ganar $5500.00 en una semana?

Solución.

A) - Se obtiene la función lineal mediante las condiciones del problema. Del análisis del enunciado se establece que,

Sueldo total semanal = Sueldo base, más la Comisión de cada auto vendido por el Nº de autos vendidos.

Traducido al lenguaje algebraico se obtiene la función, f(x) 1500 500x= + ó f(x)=500x 1500+

B) - Se sustituye el número de autos vendidos, para obtener el sueldo total semanal.

Si vende 2 autos, f( )2 = 500 2( )+1500 f( )2 = 2500; entonces gana $2500.00. Si vende 3 autos, f( )3 = 500 3( )+1500 f( )3 = 3000; entonces gana $3000.00. Si vende 4 autos, f( )4 = 500 4( )+1500 f( )4 = 3500; entonces gana $3500.00. Si vende 5 autos, f( )5 = 500 5( )+1500 f( )5 = 4000; entonces gana $4000.00.

(20)

C) - Se construye la tabulación con los valores obtenidos y se representa la gráfica. y (sueldo) x y 4000 2 2500 3500 3 3000 4 3500 3000 5 4000 2500 2000 1500 x’ x -1 0 1 2 3 4 5 6 y’

D) - Como “x” es el número de autos que se venden, entonces se sustituye el valor de 5500 en la función lineal y se resuelve la ecuación para “x”, y así obtener el número de autos vendidos. f(x) = 500x + 1500 5500 = 500x + 1500 5500 − 1500 = 500x 4000 = 500x x= 4000=8

(21)

Contesta lo que se te pide en cada ejercicio.

1. Transforma la ecuación, Ax+By+C= 0 en el modelo de una función lineal.

2. Representa la ecuación, 3x+ =y 6 mediante el modelo de una función lineal.

3. Obtén el modelo de la función lineal que tiene como razón de cambio el valor de _a 1 3

= y como parámetro el valor de b = −3.

4. Determina la función lineal de la siguiente tabulación de números proporcionales.

x 2.5 3.5 5 7 9.5

y −18 −25.2 −36 −50.4 −68.4

5. Construye la gráfica de la función, f(x) x 2= − con dominioD= − −

{

2, 1,0,1,2

}

.

6. Representa la regla de correspondencia de valores entre los elementos del dominio y el rango de la función, f(x) = −2x +5 con dominio D=

{

0,1,2,3

}

.

7. Indica las coordenadas de los puntos donde intersecta la recta de la función, f(x) 4 3x 4

= +

con los ejes coordenados del plano.

8. Bosqueja la gráfica de una función lineal, cuya constante “a” y parámetro “b” son negativos.

9. Determina el modelo de lafunción lineal de la recta que pasa por los puntos P(4,−5) y P’(0,5) del plano.

10. Obtén la función lineal de la siguiente tabulación de valores.

x 0 3 6

y −1 5 11

E

(22)

11. Determina la función lineal de la recta que se representa en el siguiente plano. y 3 2 P(0,1) 1 P(-5,0 x’ x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -1 y’

12. Si sabemos que el banco nos paga el 12% de interés anual por “x” cantidad depositada y recibimos “y” intereses generados; entonces, ¿Cuál es la función lineal que describe las condiciones del enunciado?

13. Si el sueldo de un obrero es de $480.00 semanales, más $15.00 por cada hora extra que trabaja; entonces, ¿Cuál es la función lineal que describe el sueldo semanal del obrero si trabaja “x” horas extras?

14. Resuelve el siguiente problema mediante la obtención del modelo de la función lineal. Una avioneta realiza su recorrido a una velocidad constante de 220 km/hr. De acuerdo con esto, determinar:

A) La expresión de la función lineal que determina la distancia recorrida en función del tiempo transcurrido.

B) ¿Cuántos kilómetros recorre si transcurren 1, 3 ó 5 horas?

C) ¿La gráfica de la función lineal que se obtiene con los valores especificados en el inciso anterior?

15. Resuelve el siguiente problema mediante la obtención del modelo de la función lineal. Un camión de carga tiene un rendimiento de 3 km/lts y la capacidad de su tanque de gasolina es de 210 lts . De acuerdo con esto, determinar:

A) La función lineal que describe la cantidad de gasolina que hay en el tanque después de recorrer “x” kilómetros.

B) ¿Cuántos litros quedan en el tanque, si el camión recorre 150 , 300 ó 450 Km.?

C) ¿La gráfica de la función lineal que se obtiene con los valores especificados en el inciso anterior?

(23)

En el compendio fascículo 2, conociste los modelos de las distintas funciones polinomiales, sus características, elementos, representaciones gráficas y aplicaciones. También aprendiste a resolver las ecuaciones de segundo grado aplicando métodos algebraicos, tales como fórmula general, factorización, completar el trinomio cuadrado perfecto y gráficamente.

FUNCIÓN POLINOMIAL CUADRÁTICA.

Es cuadrática porque su variable independiente “x” tiene como máximo exponente el dos (2). Su regla de correspondencia es f(x) ₌ ax2 ₊ bx₊ c_{; donde a, b y c son constantes, con a}_≠_0.

Las constantes a, b y c son valores reales correspondientes a los coeficientes de la función

* La siguiente tabla muestra por separado a los coeficientes de algunas funciones cuadráticas.

FUNCIONES COEFICIENTES CUADRÁTICAS a b c f(x) ₌ 2x2 ₂ ₀ ₀ f(x) ₌ x2 ₋3 ₁ ₀ ₋₃ f(x) _{= −}3x2 ₊x ₋₃ ₁₀ f(x) x 4x 1 2 2 = − + + −1 4 ½

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN POLINOMIAL CUADRÁTICA.

La gráfica de la función cuadrática es una parábola que tiene concavidad, vértice, intersección con los ejes, eje de simetría y valor máximo o mínimo.

Obtención de la parábola mediante la construcción gráfica de la función.

* Dada la función f(x)₌ x2 ₋6x_{con dominio}_D_{= −}

{

_{1,0,1,2,3,4,5,6,7}

}

_{; obtener:}

A) La representación gráfica (la parábola).

B) El conjunto de valores asociados a la imagen si el dominio es D=

{

x R∈ / 1− ≤ ≤x 7

}

. C) Lascoordenadasdelvértice,lainterseccióndelacurva con los ejes coordenados, la ecuación del eje de simetría y la concavidad de la parábola.

3.2 COMPENDIO FASCÍCULO 2. FUNCIONES POLINOMIALES Y SU

REPRESENTACIÓN GRÁFICA.

E

J

E

M

P

L

O

E

(24)

- Se construye la tabulación, sustituyendo los valores del dominio en la variable independiente de la función para obtener los valores de la variable dependiente y formar los puntos coordenados.

x f(x) = x2− 6x y P(x,y) −1 0 1 2 3 4 5 6 7 f(−1) = (−1)2− 6(−1) f (0) = (0)2₋_{6 (0)} f (1) = (1)2 − 6 (1) f (2) = (2)2 − 6 (2) f (3) = (3)2₋_{6 (3)} f (4) = (4)2 − 6 (4) f (5) = (5)2₋_{6 (5)} f (6) = (6)2 − 6 (6) f (7) = (7)2 − 6 (7) 7 0 −5 −8 −9 −8 −5 0 7 P(−1,7) P (0,0) P(1,−5) P(2,−8) P(3,−9) P(4,−8) P(5,−5) P (6,0) P (7,7)

- Se representan los puntos en el plano y se unen para obtener la gráfica correspondiente. A) Gráfica: y 7 x’ 0 x -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -5 -8 -9 y’

B) El rango de la función para los valores comprendidos del dominio, es: I=

{

y R / 9 y 7∈ − ≤ ≤

}

. C) - El vértice es el punto más alto (punto máximo) o el punto más bajo (punto mínimo) de la parábola, es decir, el punto donde la curva cambia la dirección de crecimiento o decrecimiento. En este caso es un punto mínimo y sus coordenadas son V(3,−9).

La abscisa del vértice es igual a la abscisa del punto medio del segmento que une un par cualquiera de puntos simétricos.

- La intersección con los ejes. La parábola intersecta con el eje “y” en el punto P(0,0) y con el eje “x” en los puntos P(0,0) y P(6,0).

- La ecuación del eje de simetría. En una función cuadrática el eje de simetría es la recta paralela al eje “y” que pasa por el vértice y divide a la parábola en dos partes iguales. Por lo tanto la ecuación de dicho eje es igual al valor de la abscisa del vértice: x = 3

(25)

- La concavidad es la abertura de la parábola y en este caso la concavidad es hacia arriba. * Dada la función f(x)_{= −}x2 ₊4x 3₋ _{con dominio}_f(x)_{= −}

{

₁_,_0,1,2,3,4_,₅

}

_{; obtener:}

A) La representación gráfica (la parábola).

B) El conjunto de valores asociados a la imagen si el dominio es D=

{

x R∈ / 1− ≤ ≤x 5

}

. C) Las coordenadas del vértice, la intersección de la curva con los ejes coordenados, la ecuación del eje de simetría y la concavidad de la parábola.

- Se construye la tabulación, sustituyendo los valores del dominio en la variable de la función para obtener los valores de la variable dependiente y formar los puntos coordenados.

X f(x) = −x2 + 4x − 3 y P(x,y) −1 0 1 2 3 4 5 f(−1) = −(−1)2_{+ 4(}₋₁₎₋₃ f(0) = −(0)2 + 4(0) − 3 f(1) = −(1)2_{+ 4(1)}₋₃ f(2) = −(2)2 + 4(2) − 3 f(3) = −(3)2 + 4(3) − 3 f(4) = −(4)2_{+ 4(4)}₋₃ f(5) = −(5)2 + 4(5) − 3 −8 −3 0 1 0 −3 −8 P(−1,−8) P(0,−3) P (1,0) P(2,1) P(3,0) P(4,−3) P(5,−8)

- Se representan los puntos en el plano y se unen para obtener la gráfica correspondiente. A) Gráfica: y 1 x’ x -2 -1 1 2 3 4 5 6 -3 -8 y’

B) El rango de la función para los valores comprendidos del dominio, es: I=

{

y R /∈ − ≤ ≤8 y 1

}

. C) Vértice P(2,1) (Punto máximo).

La parábola intersecta con el eje “y” en el punto P(0,−3) y con el eje “x” en los puntos P(1,0) y P(3,0).

La ecuación del eje de simetría es: x = 2 . Y la parábola es cóncava hacia abajo.

(26)

Obtención de los elementos de la parábola a partir del análisis de los coeficientes a, b y c de la función cuadrática.

Las características de las constantes, son:

(+) Abre hacia arriba (cóncava hacia arriba). “a” Indica la concavidad y la abertura de la gráfica (−) Abre hacia abajo (cóncava hacia abajo).

− > >

1 a

1

es contraída.

− < <

1 a

1

es expandida (con a ≠ 0). (+) intersecta al eje arriba del origen. “c” Indica la intersección de la curva con el eje “y” (0) intersecta en el origen.

(−) intersecta abajo del origen.

Vértice: _V b 2a, 4ac b 4a 2 − −       ó        − − a b c a b V 4 , 2 2

* Dada la función, f(x) ₌ x2 ₋ 8x₊17_{. Determinar:}

A) La concavidad de la parábola.

B) Las coordenadas del vértice de dicha parábola. C) La intersección de la curva con el eje de las ordenadas. D) La ecuación del eje de simetría de dicha curva.

E) El valor máximo o mínimo de la función, según su gráfica.

- De la función se establece que los valores de las constantes, son: a = 1 , b = −8 y c = 17

A) Como la constante “a” es positiva, entonces la abertura de la parábola es hacia arriba, esto quiere decir que es cóncava hacia arriba.

- Para obtener el vértice se sustituyen los valores de los coeficientes en la siguiente fórmula y se desarrollan las operaciones indicadas.

B) _V b a ac b a − −       2 4 4 2 , V− − − −      ( ) ( ) , ( )( ) ( ) ( ) 8 2 1 4 1 17 8 4 1 2 V(4,1)

C) Como la constante c = 17; entonces el punto donde intersecta la curva con el eje “y” es arriba del origen y dicho punto es P(0,17).

D) La ecuación del eje de simetría es el valor de la abscisa del vértice de la curva; por lo tanto dicha ecuación es: x = 4

E) Elvalormáximoo mínimodelafunción es el valor de la ordenada del vértice. Como en este caso la concavidad es hacia arriba, entonces la función tiene valor mínimo, el cual es, Vmín = 1

E

(27)

Obtención del vértice de la parábola mediante procesos algebraicos.

Una función cuadrática de la forma, f(x)₌ ax2 ₊bx₊c_{se puede transformar en la expresión,}

(

)

f(x) = a x+h 2 +k donde a , h y k son constantes y a ≠ 0 con vértice en el punto V(−h,k).

* Dada la función, f(x) _{= −}x2 ₊2x₊ 8_{; transformarla a su forma,}_f(x) _{a x}

(

_h

)

2 _k

= + + y

obtener las coordenadas del vértice de su parábola.

- La transformación de la expresión se realiza mediante los siguientes procedimientos algebraicos.

f x( )− = −8 x2 +2x_{(Se aplican las propiedades correspondientes para dejar el término}

constante en el 1º miembro de la igualdad)

f x( )− = −8 1(x2 −2x)_{(Se factoriza el 2º miembro por factor común, para dejar al término}

cuadrático positivo).

f x( )− = −8 1(x2 −2x+1) _{(Se completa el binomio del 2º miembro en un trinomio cuadrado}

perfecto, agregando el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal, −

  =

2

2 1

2 ₎

f x( )− − = −8 1 1(x2 −2x+1)_{(El término que se agrega en el 2º miembro, también se agrega}

en el 1º miembro para no afectar la igualdad).

f x( )− = −9 1(x−1)2_{(Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto, y se realiza la} operación del 1º miembro).

f(x)_{= −}1(x 1)₋ 2 ₊9_{(Se aplican las propiedades correspondientes para dejar el}

término constante del 1º miembro en el 2º miembro y así obtener la expresión deseada).

- Una vez que se obtuvo la expresión, se procede a obtener el vértice de la parábola, sustituyendo los valores de h y k .

V(−h, k) V[−(−1),9] V(1,9)

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, CUYA INTERPRETACIÓN ALGEBRAICA ES UNA FUNCIÓN POLINOMIAL CUADRÁTICA.

El modelo de la función cuadrática se obtiene a partir de las condiciones del enunciado, mediante la interpretación del lenguaje común al lenguaje algebraico, posteriormente se obtiene las cantidades (valor máximo o mínimo de la función) que nos pide el problema y se representan mediante la gráfica de la función.

E

J

E

M

P

L

O

E

(28)

En un terreno de cultivo, se destina una parte rectangular para sembrar rabano y se dispone de 68 metros lineales de malla de acero para cercar la parte que se va a sembrar; se desea que la parte cercada sea una máxima área sembrada. De acuerdo con esto; determinar:

A) La función cuadrática que permite obtener la máxima área a sembrar, que se puede abarcar con los 68 metros lineales de malla.

B) El valor de la máxima área obtenida con la función del inciso anterior. C) El comportamiento gráfico de las condiciones del problema.

Solución.

A) - Se obtiene la función cuadrática mediante las condiciones del enunciado.

De las condiciones, se establece que con los 68 m lineales de malla se formará un rectángulo de área máxima, y que dicho rectángulo tiene un perímetro de 68 m, por lo tanto la suma de su base y su altura es la mitad del perímetro, es decir 34 m.

Si se denomina “x” a la base del rectángulo, entonces la altura es 34 − x . Y como el área de dicha figura es base por altura, entonces la función que la describe es f(x)= x(34−x), desarrollando el producto, se obtiene la función cuadrática del problema. f(x)_{= −}x2 ₊34x

B) - La máxima área se obtiene con el vértice de la parábola de la función anterior, aplicando la expresión: _V b 2a, 4ac b 4a 2 − −      

- Sustituyendo valores y realizando operaciones, se obtienen las coordenadas del vértice. _V b a ac b a − −       2 4 4 2 , V − − − − −       ( ) ( ), ( )( ) ( ) ( ) 34 2 1 4 1 0 34 4 1 2 V(17,289)

- Del vértice se deduce que la parte sembrada tiene una área máxima de 289 m2 cuando la base de la figura mide 17 m.

Si la base mide 17 m entonces la altura también mide 17 m y se concluye que la parte sembrada debe ser un cuadrado.

C) - Como la variable independiente “x” indica la longitud de la base medida en metros, entonces se establece que dicha variable adquiere valores reales continuos entre 0 y 34; cuando esto sucede, se dice que la función es continua, por lo tanto su gráfica será una parábola sin interrupciones. De la gráfica se establece el dominio y el rango de la función.

y 289 D = {x ∈ R / 0 ≤ x ≤ 34} I = {y ∈ R / 0 ≤ y ≤ 289} x’ x 0 17 34 y’

(29)

Un agente de bienes y raíces estima que la ganancia mensual de un edificio está descrita por la funciónf(x)_{= −}250x2 ₊3000x_{, donde “}_x_{” es el número de pisos y}_f(x)_{es la ganancia en pesos.}

De acuerdo con esto, determinar:

A) El número de pisos del edificio que arroje una máxima ganancia mensual. B) El comportamiento gráfico de las condiciones del problema.

Solución.

A) - La máxima ganancia se obtiene con el vértice de la parábola de la función establecida en el problema, aplicando la expresión: _

    − − a b ac a b V 4 4 , 2 2

- Sustituyendo valores y realizando operaciones, se obtienen las coordenadas del vértice.

V b a ac b a − −       2 4 4 2 , _     − − ) 250 ( 4 ) 3000 ( ) 0 )( 250 ( 4 , ) 250 ( 2 ) 3000 ( 2 V V(6,9000)

- Del vértice se deduce que con 6 pisos del edificio se obtiene una ganancia máxima que es de $9000.00

B) - Como la variable independiente “x” indica el número de pisos del edificio, entonces se

Establece que dicha variable adquiere únicamentevaloresenteros,yaqueno se puede tener fracciones de piso.Cuandoestosucede,sediceque la función es discreta, por lotantosu gráficaseráuna parábola de un conjunto de puntos aislados.

y De la gráfica se establece el dominio y el rango de la función. 9000_{D =}_{_x_∈_R_/₀_≤_x_≤₁₂_} I = {y ∈ R / 0 ≤ y ≤ 9000} x’ x 0 6 12 y’

En los dos problemas anteriores, únicamente se está bosquejando las gráficas, de acuerdo con esto, el estudiante debe construir su tabulación de valores para representar exactamente los puntos correspondientes a dichas gráficas.

(30)

Obtención de las intersecciones de la parábola con el eje de las abscisas (Ceros de la función).

La ordenada de los puntos de intersección de la parábola con el eje horizontal vale cero. Como y = f(x), entonces f(x) = 0, y al igualar la función a cero, ésta se transforma en una ecuación de segundo grado de la forma ax2 ₊bx₊c ₌ 0_{, donde}_a_,_b_y_c_{son constantes y}_a_≠₀_.

SOLUCIÓNDEECUACIONES CUADRÁTICAS (DE 2º GRADO) CON UNA INCÓGNITA.

La solución de la ecuación cuadrática es el valor o valores reales de la incógnita “x” que satisfacen la igualdad, dichos valores de “x” son los correspondientes a las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con el eje horizontal del plano.

Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma, ax2 ₊ c ₌ 0_.

Se deja la incógnita en el 1º miembro y el término constante en el 2º miembro, aplicando las propiedades de campo de los números reales y de igualdad.

* Resolver la ecuación, 3x2 ₋48 ₌ 0

- Se trasponen términos, aplicando las propiedades de campo de los números reales y de igualdad. 3_x2 ₌ 48 _x2 48 3 = x2 ₌₁₆ x2 _{= ±} ₁₆

x = ±4 ∴ Las soluciones o raíces de la ecuación, son: x1 = 4 y x2 = −4

De lo anterior se establece que toda ecuación cuadrática de la forma

ax

2

+ =

c 0

tiene como solución, dos valores reales, los cuales son simétricos entre si, (de signo contrario).

Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma, ax2 ₊bx ₌ 0_.

Se factoriza el 1º miembro de la igualdad y cada factor se iguala a cero para obtener el valor de las incógnitas.

* Resolver la ecuación, 3x2 ₊45x ₌ 0

E

J

E

M

P

L

O

(31)

- Se factoriza el primer miembro de la igualdad por factor común. 3_x2 ₋ 45_x ₌ 0₃_{x x}₍ ₋₁₅₎₌₀

- Como el 1º miembro de la igualdad es igual a cero, entonces cada factor de dicho miembro se iguala a cero y se resuelven las igualdades para obtener el valor de las raíces (solución) de la ecuación.

3x = 0 ∴ x₁ =0 ; x −15 = 0 ∴ x₂ =15

De lo anterior se establece que toda ecuación cuadrática de la forma ax2 ₊bx ₌ 0_{tiene como}

solución, dos valores reales: el cero y otro diferente de cero.

Solución de ecuaciones cuadráticas completas de la forma, ax2 ₊bx ₊c ₌ 0_.

Se resuelven aplicando cualquiera de los siguientes métodos: factorización, completando el trinomio cuadrado perfecto, fórmula general y gráficamente.

Factorización. Se aplican las factorizaciones de los trinomios cuadrado perfecto y de la forma

x2 ₊bx ₊c_y_ax2 ₊ _bx ₊_c_{, dependiendo las características de la ecuación.}

* Resolver la ecuación, x2 ₋10x₊25 ₌ 0

- Del análisis de la ecuación, se deduce que el 1º miembro de la igualdad es un trinomio cuadrado perfecto, ya que el término cuadrático y el término constante tienen raíz cuadrada exacta y el doble producto de ambas raíces es igual al término lineal; por lo tanto el trinomio se factoriza representando la diferencia de sus raíces elevada al cuadrado.

x2 ₋₁₀x ₊₂₅ ₌ ₀₍

)

x −5 2 = 0₍_x ₋₅₎₍_x ₋₅₎ ₌ ₀

- Como los factores del trinomio son iguales, entonces uno de ellos se iguala a cero y se obtiene el valor de la raíz correspondiente a la solución de la ecuación.

x − =5 0 ∴ x = 5

De lo anterior se establece que si el 1º miembro de la ecuación cuadrática es un trinomio cuadrado perfecto, entonces la solución o raíz de la ecuación es un sólo valor real diferente de cero.

* Resolver la ecuación, x2 ₋ 4x₋ 21₌ 0

- Del análisis de la ecuación, se deduce que el 1º miembro de la igualdad es un trinomio de la forma x2 ₊ bx ₊c_{; entonces se factoriza buscando dos valores que multiplicados resulten la}

constante “c” y que sumados resulten la constante “b”; dichos valores se representan con la variable lineal en un producto de factores.

x2 ₋₄x ₋ ₂₁₌ ₀₍_x ₊₃₎₍_x ₋₇₎₌ ₀