CUADRÁTICAS a b c f(x) 1 2x 2x 17 2 = − + − − 1 2 2 −17 f(x) x 2 5x 2 = − 1 − 2 5 0
Recuerda que el valor de “a” es el coeficiente numérico del término cuadrático de la función, el de “b” es el coeficiente del término lineal y el de “c” es el término constante de dicha función.
17. Gráfica: y 2 1 x’ x 0 1 2 3 4 5 6 7 Imagen: I = {y ∈ R / −8 ≤ y ≤ 1} -3 -8 y’
La gráfica la puedes construir mediante una tabulación de valores o mediante las características de los coeficientes de la función cuadrática. Recuerda que el rango de la función es el conjunto de valores correspondientes a la variable dependiente.
18. Gráfica: y
6
Concavidad:
La curva es cóncava hacia arriba
2
Intersección de la curva con los ejes: x’ x Únicamente intersecta con el eje de -2 0 2 las ordenadas en el punto P(0,2)
y’
A partir de la construcción gráfica de la función, puedes analizar el comportamiento de la parábola y de ésta forma ver su concavidad y obtener las coordenadas del punto donde se intersecta con uno de los ejes.
C
19. La parábola es cóncava hacia abajo.
Intersección con el eje “x” P1(−3,0) y P2(5,0).
Intersección con el eje “y” P(0,15).
Vértice V(1,16)
Valor Máximo y = 16
Ecuación del eje de simetría x = 1
Recuerda que todas las características de la parábola de una función, las puedes obtener mediante la construcción gráfica o mediante las características de las constantes de la función cuadrática y la relación que existe entre dichas constantes.
20. f(x) = 2 (x + 1)2 − 6 ; V (−1,−6)
Para llegar a la forma de la función que se pide es necesario realizar ciertos procedimientos algebraicos de factorización y trasposición de términos de un miembro a otro. Una vez establecida la forma de la función, podrás obtener las coordenadas del vértice de la curva.
21. f(x) = −x2 + 50x
Es importante que plantees correctamente la incógnita a partir de las condiciones del enunciado, ya que teniendo dicha incógnita, podrás establecer el modelo algebraico de la función que describe al problema.
22. La máxima altura que alcanza el objeto es de 147 metros en un tiempo de 5 segundos.
Para obtener la solución del problema, debiste haber obtenido el vértice de la función que describe la trayectoria del objeto,ya que la abscisade dichovértice representael tiempo y la ordenada la altura. 23. A) x1 = 2 ; x2 = − 2 B) x1 = 2/3 ; x2 = −2/3 C) x1 = 7/6 ; x2 = −7/6 24. A) x1 = 0 ; x2 = 7 B) x1 = 0 ; x2 = −5 C) x1 = 0 ; x2 = 3/2 25. A) x1 = −2 ; x2 = 5 B) x1 = 1/4 ; x2 = −1/3 26. x1 3 33 4 = − + ; x2 3 33 4 = − − 27. x1 = 1/2 ; x2 = 3 28. Una raíz, x1 = −3
29. La intersección de la parábola y la recta, son los puntos P1(−2,4) y P2(1,1); las
abscisas de dichos puntos son los valores correspondientes a la solución de la ecuación cuadrática, x1 = −2 y x2 = 1.
Para resolver los ejercicios que van del 23 al 29, en cada uno de ellos se especifica el método que se debe aplicar para llegar a la solución de la ecuación cuadrática. Recuerda
30. La pelota tarda 4 segundos en llegar al suelo.
Al resolver la ecuación del problema, obtienes el valor del tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo. El valor que se considera para la solución del problema es la raíz positiva de la ecuación, ya que la negativa se desprecia porque no se puede tener tiempo transcurrido negativo en la trayectoria de la pelota.
31. P(−1,7/3)
El punto de intersección de las dos parábolas se obtiene al igualar las dos funciones cuadráticas y resolver la ecuación resultante para “x”. Posteriormente se sustituye el valor de “x” en una de las funciones y se obtiene el valor de “y”.
32. A) Función Cúbica. B) Función Constante. C) Función Cuadrática. D) Función Polinomial. D) Función Lineal.
Para indicar el nombre de una función de acuerdo a su regla de correspondencia, se debe analizar el valor máximo del exponente que contenga la variable independiente y partir de esto, indicar el nombre, según su grado.
33. Intersección con el eje “x” P1(a,0) , P2 (0,0) y P3(f,0)
Intersección con el eje “y” P(0,0) PMAX(b,c) y PMIN(e,d)
De la gráfica, debes analizar su comportamiento y establecer las coordenadas de los puntos que se especifican en el ejercicio. 34. A) Gráfica: B) Gráfica: y y 6 2 1 x’ x x’ 0 x -2 -1 1 2 -2 -1 -1 1 2 -1 -2 -3 -2 y’ -10 y’
Las gráficas de las funciones polinomiales las puedes construir evaluando la función para los valores correspondientes al dominio, y así obtener los valores del rango, posteriormente cada par de valores se ubican en el plano y se unen para formar la gráfica de la función.
35. A) Intersección con los ejes: eje “x” P1(−2,0) , P2(0,0) y P3(2,0) ; eje “y” P(0,0)
B) Intersección con los ejes: eje “x” P1(−1,0) y P2(1,0) ; eje “y” P(0,1)
Las coordenadas de los puntos de intersección de una curva con los ejes del plano las puedes obtener desde la tabulación de la función polinomial, ya que ahí se puede establecer que la curva intersecta con el eje “x” en aquellos puntos donde la ordenada es cero y con el eje “y” en aquellos donde la abscisa es cero.
36. Si “x” es el largo del envase; entonces la función que describe su volumen, es:
( )( )
f x( )= x x x 2 1 2 f x( )= x 3Debes analizar las condiciones del enunciado del problema para que puedas establecer correctamente el modelo de la función que lo describe. Te puedes apoyar mediante la interpretación del lenguaje común al lenguaje algebraico.
37. Gráfica:
y Toda función constante tiene como representación gráfica una recta horizontal que intersecta al eje de las ordenadas en el valor correspondiente a f(x) = y; y la
recta tiene una longitud establecida por el 4 intervalo de valores especificado en el
dominio de la función.
x’ x -
5 0 5
y’
38. Al conjunto de los número reales
Para que la gráfica de una función sea continua, su dominio y rango debe corresponder al conjunto de los números reales, ya que en éste conjunto es donde se encuentran todos los números representados en la recta numérica.
39. Gráfica: y
Recuerda que la función es discreta cuando su gráfica es una sucesión de puntos aislados, esto quiere decir que hay una separación entre un valor y el que le sigue correspondiente a su dominio. La función es decreciente si al aumentar su dominio, su rango disminuye.
x’ x 0
40. 30 12 1 ) (x =− x + f 41. P(3.5,1.05) 42. f(n) = 2n-1 43. f(t)) = 5000 (3)t
Para resolver los problemas 42, y 43, debes analizar el enunciado y relacionar los datos para poder establecer el modelo algebraico (función) que permita encontrar la solución mediante la sustitución de valores y su desarrollo de los mismos.
44. 45.