1. Expresiones algebraicas. Operaciones con polinomios 2. Factorización de polinomios de segundo grado

9.

Generalización

1. Expresiones algebraicas.

Operaciones con polinomios

2. Factorización de polinomios

1. Expresiones algebraicas. Operaciones con polinomios.

 NÚMEROS MÁGICOS

a) Introduce el número 142857 en tu calculadora. A continuación multiplícalo por 1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿Qué observas?.

b) Escribe la cifra que más te guste. Multiplícala por el número 123456789, y el resultado por 9. ¿Qué ocurre?. Hazlo con otra cifra distinta y observa el resultado. Explica porqué ocurre esto. c) Escribe un número de tres cifras. A continuación escríbelo otra vez y tendrás un número de seis

cifras. Divide por 7 el número obtenido. El cociente divídelo por 11 y el nuevo cociente por 13. ¿Qué ocurre?. Intenta explicar el motivo.

 OPERACIONES MÁGICAS

a) Utiliza la calculadora para efectuar los siguientes productos: 1  1 = 11  11 = 111  111 = 1111  1111 = 11111  11111 = 111111  111111 =

¿Observas alguna regularidad?. Si continuas añadiendo unos a los factores, ¿se mantendrá la regularidad observada?.

b) Utiliza la calculadora para efectuar los siguientes productos: 1  1 =

101  101 = 10101  10101 = 1010101  1010101 =

¿Observas alguna regularidad?. Si continuas el proceso, ¿se mantendrá la regularidad observada?.

 PROPIEDADES MÁGICAS

a) Los números 46 y 96 tienen una curiosa propiedad: su producto no se altera aunque cambiemos de orden las cifras que los componen. En efecto,

46



96



64



69

. Hay otros números de dos cifras con idéntica propiedad. ¿Puedes encontrar una regla general?. Escríbela si la encuentras. b) Te presentamos ahora dos números, el 12 y el 102, que cumplen una curiosa propiedad:

144

12

2

_

₂₁

2

_

₄₄₁

10404

102

2

_

₂₀₁

2

_

₄₀₄₀₁

¿De qué propiedad se trata?. ¿Será una propiedad muy general?. Busca otros números con la misma propiedad.

c) Hay muchos trucos para realizar cálculos de forma rápida. Aquí tienes uno:

“Para calcular el cuadrado de un número de dos cifras que termine en 5, por ejemplo el 35, basta con hacer

3



4



12

y poner a continuación 25; así:

35

2

_

1225

_{. Otro ejemplo: para hacer el}

cuadrado de 85, multiplico

8



9



72

y detrás pongo 25, con lo que queda 7225.”

Utiliza este truco con otros números de dos cifras. ¿Por qué funciona el truco?. Te servirá de ayuda no olvidar que 7254 no es más que la abreviatura de

7000



200



70



4

o bien de

4

10

7

10

2

10

7

_

3

_

_

2

_

_

_

_{.¿Funciona también con números de tres cifras acabados en 5, por}

ejemplo 125 ?.

 MÁS REGULARIDADES

a) Completa:

1



1



2



1



1



2



3



2



1



Escribe y comprueba tres igualdades más de este tipo.

b) Comprueba que:

1

3

_

1

₁

3

_

₂

3

_

₁

_

₂

₁

3

_

₂

3

_

₃

3

_

₁

_

₂

_

₃

Escribe y comprueba tres igualdades más de este tipo.

c) Realiza las siguientes operaciones:



1



8





1





12



8





2





123



8





3



 ÁREA Y VOLUMEN

Calcula el volumen de los siguientes sólidos. Calcula la suma de las áreas de todas sus caras.

 CUADRADO Y RECTÁNGULO

 ¿VERDADERO O FALSO?

a) Realizando los cálculos oportunos con tu calculadora, comprueba cuáles de las siguientes igualdades son verdaderas y cuáles falsas:



₃

_

₇



2

_

₃

2

_

₇

2



₅

_

₃

 

_

₅

_

₃



_

₅

2

_

₃

2



₇

_

₅



2

_

₇

2

_

₅

2



₃

_

₇



2

_

₃

2

_

₇

2

_

₂

_

₃

_

₇



7

_

5



2

_

7

2

_

5

2

_

2

_

5

_

7

8

6

8

6

2

_

2

_

_



₂

_

₄



3

_

₂

3

_

₄

3

5

9

5

9

2

_

2

_

_

b) Fijándote en las conclusiones del apartado anterior, dí cuáles de las siguientes relaciones son verdaderas o falsas:



_a

_

_b



2

_

_a

2

_

_b

2



_a

_

_b

 

_

_a

_

_b



_

_a

2

_

_b

2



_a

_

_b



2

_

_a

2

_

_b

2



_a

_

_b



2

_

_a

2

_

_b

2

_

₂

_

_a

_

_b



a

_

b



2

_

a

2

_

b

2

_

2

_

a

_

b

b

a

b

a

2

_

2

_

_



_a

_

_b



3

_

_a

3

_

_b

3

b

a

b

a

2

_

2

_

_

 DILATACIONES Y CONTRACCIONES

1) Imagina que dilatas un cuadrado de lado desconocido a, hasta que aumentas su lado en b. ¿Qué relación hay entre los rectángulos dibujados (incluidos el cuadrado antiguo y nuevo) ?.

2) Imagina que dilatas un cubo de arista desconocida a, hasta que aumentas su arista en b. ¿Qué relación hay entre los cuboides obtenidos (incluidos el cubo antiguo y el nuevo) ?.

3) Imagina que contraes un cuadrado de lado a desconocido, hasta que disminuyes su lado en b. ¿Qué relación hay entre los rectángulos dibujados (incluidos el cuadrado antiguo y el nuevo) ?.

4) Imagina que contraes un cubo de arista desconocida a, hasta que disminuyes su arista en b. ¿Qué relación hay entre los cuboides dibujados (incluidos el cubo antiguo y el nuevo) ?.

5) Imagina que dilatas uno de los lados de un cuadrado de lado desconocido a, hasta que aumentas su lado en b. Al mismo tiempo contraes los lados perpendiculares a los anteriores, hasta disminuirlos en b. De esta manera obtienes un rectángulo. ¿Qué relación existe entre este rectángulo y los cuadrados dibujados?.

Para resolver este problema puede serte de utilidad manipular cubitos engarzables y plantillas de cartón o cartulina.

 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Desarrolla las siguientes expresiones algebraicas:

1)



2x



3

 



x



1



2)



1



2a

 



3



2a



3)



x 

2



2 4)



2 

x



2 5)



3x



1

 



3x



1



6)



5x 

2



2 7) 2

x

3

2











 

8) 2

3

1

6x













_

9)



2x



y



z

 



a



3b



10)



2'5a



b

 



2'5a



b



11)

3x 



2

y



12)



2x 

y



3

 CUADRADOS MÁGICOS

1) En un cuadrado mágico 3  3 hay 9 casillas, que tienes que llenar con los números naturales del 1al 9. Debes situar un número distinto en cada casilla, de forma que las tres filas, las tres columnas y las dos diagonales sumen lo mismo.

2) Cuando hayas encontrado una solución, busca otras. Averigua cuántas soluciones distintas hay y explica por qué no hay más soluciones.

3) En lugar de utilizar los números del 1 al 9, vamos a utilizar números cualesquiera. Si utilizas una variable n conveniente como número fijo, verás que es posible expresar simultáneamente infinitos cuadrados mágicos. Escribe la expresión de esos infinitos cuadrados mágicos.

4) Para cada una de las soluciones encontradas en el apartado (2) generaliza utilizando la variable n del apartado anterior. Obtendrás así varias veces infinitas soluciones.

 TRENES NUMÉRICOS

Conocidos los dos primeros números de los cinco vagones, cada uno de los restantes se obtiene sumando los dos anteriores:

4

7

 4

7

11

18

29

3’2 8’1

 3’2 8’1 11’3 19’4 30’7

¿Cuáles son los tres vagones que faltan en cada uno de los siguientes casos?.

9

36

a

b

¡Ten cuidado!. El primero lo puedes resolver por tanteo. Pero el segundo no. Busca un método general que te permita resolver todos los casos a la vez.

 ÁREA Y PERÍMETRO

1) Seguro que sabes expresar matemáticamente el área y el perímetro del rectángulo que sigue:

¿Sabrías expresar el área de este otro?. ¿Y el perímetro?.

Si queremos que el perímetro valga 100, ¿cuánto ha de valer x?. Si queremos que el área valga 250, ¿cuánto ha de valer x?.

¿Hay algún valor de x para el que el rectángulo tenga su perímetro y área iguales?.

2) En un sistema de ejes cartesianos, dibuja algunos puntos representativos de las parejas (x, área) y (x, perímetro). Comenta las diferencias entre las gráficas.

3) Ahora hacemos variar también la altura en la misma cantidad x que la base. ¿Cómo puedes expresar el área y el perímetro del rectángulo?

Si queremos que el perímetro valga 100, ¿cuánto ha de valer x?. Si queremos que el área valga 250, ¿cuánto ha de valer x?.

¿Es posible conseguir un rectángulo que tenga su perímetro y área iguales?.

4) ¿Y si la variación de la altura no es igual que la variación de la base, como ocurre en el siguiente rectángulo?. Intenta responder las mismas cuestiones que en apartados anteriores.

 ENGRANAJES

a) Un engranaje está formado por dos ruedas dentadas de 27 y 45 dientes respectivamente. Cuando la rueda mayor haya dado 15 vueltas, ¿cuántas habrá dado la pequeña?.

b) En otro engranaje, una rueda tiene 15 dientes y da 40 vueltas por minuto. La otra rueda tiene 48 dientes. ¿Cuántas vueltas dará por minuto?.

c) Un engranaje está formado por dos ruedas dentadas, de m y n dientes, respectivamente. Cuando la primera da x vueltas, la segunda da y vueltas. Escribe una fórmula que relacione m, n, x e y. d) Suponiendo que m = 20 y n = 40, escribe la fórmula x y. Construye una tabla de valores y

 RELATIVIDAD

Algunos resultados de la relatividad especial de Einstein parecen ir contra la intuición. La longitud, por ejemplo, no es igual para una persona cuando se mueve que cuando está en reposo.

Cuando se avanza a una velocidad v, en m/s, se adelgaza en la dirección del avance según la fórmula:

L



L

_o



1





2 , siendo

c

v





, donde:

c = velocidad de la luz = 300000 km / s;

L

_o= longitud en reposo; L = longitud en movimiento. Suponiendo

L

_o



1

, para cada velocidad, v, habrá un valor de L. Construye la siguiente tabla:

v 0’001c 0’01c 0’1c 0’2c 0’3c 0’4c 0’5c ... L

a) Representa gráficamente la tabla anterior. ¿Qué ocurre cuando v = c ?. b) Escribe una fórmula que exprese v en función de L.

c) ¿A qué velocidad, en km/s, tendrá que viajar un astronauta para que pierda la mitad de su longitud, es decir, para que

2

1

 DOS CAJAS

1) Una caja de base cuadrada tiene dos metros más de profundidad que de anchura.

a) Expresa el volumen, V, de la caja en función de la longitud, x, del lado de la base. b) Expresa la superficie total de la caja en función de x.

c) Investiga cómo se ven afectados el volumen y la superficie de la caja cuando x se hace el doble, el triple, la mitad y la tercera parte. Completa la siguiente tabla y extrae conclusiones:

Lado de la base x

1

5

1

4

1

3

1

2

1

2

3

4

5

Volumen V Superficie S

2) En una cartulina de 30 cm  20 cm cortamos cuatro cuadrados, uno en cada esquina, y, plegando convenientemente, formamos una caja sin tapa.

a) Escribe la fórmula que exprese el volumen de la caja en función de x. b) Escribe la fórmula que exprese la superficie de la caja en función de x.

c) Si aumentamos x en una cierta cantidad a, ¿cómo se ve afectado el volumen?. ¿Y la superficie?. Para averiguarlo construye tablas como las siguientes y extrae conclusiones:

x=2 cm a (cm) 0’5 1 1’5 2 2’5 3 V (cm3₎ S (cm2₎ x=5 cm a (cm) 0’5 1 1’5 2 2’5 3 V (cm3) S (cm2) x= 8 cm a (cm) 0’5 1 1’5 2 2’5 3 V (cm3₎ S (cm2₎

 ATRACTORES

1) La gráfica de la siguiente figura es un arco de parábola cuya fórmula es

y



4ax



1



x



. Según los valores del parámetro a, la parábola será más o menos alta. Dibuja las parábolas en tres casos: a = 0’5 a = 0’7 y a = 0’9.

Observa que en estas parábolas los valores de x y de y están comprendidos entre 0 y 1.

2) Elige un valor inicial de x, que llamaremos semilla; por ejemplo, 0’6. Calcula el correspondiente valor de y; por ejemplo

y



4



0'5



0'6





1



0'6



para el caso a = 0’5. Este valor de y lo tomas como nuevo valor de x y calculas el nuevo valor de y... Y así sucesivamente. Completa la siguiente tabla: x 0’6 0’48 0’4992



1

x



0'5x

4

y







0’48 0’4992

Dibuja los puntos que vas obteniendo con esta iteración. ¿Observas alguna regularidad?. Prueba otras semillas. Explora los valores a = 0’7 y a = 0’9.

 CURVAS SUAVES Y CURVAS ANGULOSAS

Las dos figuras que siguen representan gráficas correspondientes a sendas funciones. La primera, que tiene una afilada cúspide, es un diente de sierra, mientras que la segunda es un arco de parábola, cuya cúspide es más suave.

Imagina algunas historias que se adapten a cada una de estas gráficas. ¿Podrías escribir las fórmulas que corresponden a cada una de las gráficas?.

 VALORES NUMÉRICOS

1) El período T de un péndulo simple viene dado por la fórmula

g L 2π

T  , donde L es la longitud del péndulo y g es la aceleración de la gravedad. Halla T cuando L = 0’65 m, g = 9’81 m/s2 y  = 3’142.

2) La superficie total de un cono está relacionada con el radio r de la base y la altura lateral o generatriz mediante la fórmula Aπr



rg



. Halla A cuando r = 7 m y g = 11 m.

3) La célebre ecuación de Einstein que relaciona la energía, la masa y la velocidad de la luz es

2

c m

E  . Halla E cuando m = 0’0001 kg y c = 3  108 _m/s.

 VELOCIDAD DEL SONIDO

La fórmula de la velocidad del sonido en el aire es v72 t273, donde v es la velocidad en km/h y t la temperatura del aire en grados centígrados.

a) Halla la velocidad del sonido cuando la temperatura es 26ºC. b) Halla la temperatura si la velocidad del sonido es 1200 km/h. c) Halla la velocidad del sonido cuando la temperatura es de 77 ºC.

 SUSTITUCIONES ENCADENADAS

En las siguientes fórmulas efectúa sucesivamente las siguientes sustituciones:

c 

2a

,

b 

3c

y expresa el resultado de la manera más simple posible, de forma que solo aparezca la letra a.

1)

a





b



c



2)

2





a



b



c



3)

a

2



b



c



4)





c

a

b

2a

2

_

5)

a

4b

b

c

2



6)

ab 

c

2

 MÁS SUSTITUCIONES ENCADENADAS

En las siguientes fórmulas efectúa sucesivamente las siguientes sustituciones: c=2 a, b=3c y expresa el resultado de la manera más simple posible, de forma que solo aparezca la letra a.



a b c



3c   b2



2a3c



b 2c a b2 _

 DESPEJA LETRAS

En las siguientes fórmulas despeja cada una de las letras que se indican:

MAGNITUD FÓRMULA DESPEJA LAS LETRAS... Período de un péndulo simple

g L 2π

T  L, g

Superficie total de un cono Aπr



rg



r, g Energía relativista _E_m_c2 m, c

 DESPEJA BLOQUES

En las siguientes fórmulas despeja los bloques de letras que se indican: FÓRMULA DESPEJA EL BLOQUE...

E D Aa B _ Aa





_T N b a M  _ Ma, a + b x p N M 3M    _{p + x}



AxB



2M Ax





_p y n y m  _ my, y + n

 DESPEJANDO LA T

En la siguiente fórmula despeja la letra que se indica:

MAGNITUD FÓRMULA DESPEJA LA LETRA... Velocidad del sonido en el aire v72 t273 t

 DESPEJANDO BLOQUES

En las siguientes fórmulas despeja los bloques de letras que se indican: FÓRMULA DESPEJA EL BLOQUE...

C b ak2  ak2 b e y a b y    ay





_t e a m b 2 _{ ba, bm}2

 POLINOMIOS

En el sistema decimal de numeración (base 10) se cumple que

110



1



10

2



1



10



0

. En

cambio, si utilizamos un sistema de numeración binario (base 2), se cumple que

0

2

1

2

1

110





2







. En general, en un sistema de numeración de base x, se cumple que:

0

x

1

x

1

110





2







. De la misma forma, en un sistema de numeración de base x, se

cumple que:

423



4



x

2



2



x



3

, siempre que x sea mayor de 4.

Las expresiones A=

1



x

2



1



x



0

y B=

4



x

2



2



x



3

se llaman polinomios, al igual que

otras expresiones más complicadas como C=

5x

3



3x

2



4

x



1

ó D=

6x

5

 4

x

3



3x



7

.

A y B son de grado 2, mientras que C es de grado 3 y D es de grado 5. Todos ellos tienen una única indeterminada x, pero también hay polinomios que tienen más de una

indeterminada, como por ejemplo,

27a

3

b



3ab

3.

Para sumar o restar polinomios se procede de forma parecida al sistema decimal:

SISTEMA DECIMAL POLINOMIOS

123+235=



1



10

2



2



10



3

 



2



10

2



3



10



5







1



X

2



2



X



3

 



2



X

2



3



X



5





Efectúa las siguientes operaciones con polinomios:

a)



4x

2



2x



3

 



5x

3



3x

2



4x



1



b)



5x

3



3x

2



4x



1

 



4x

2



2x



3



c)



6x

5



4x

3



3x



7

 



5x

3



3x

2



4x



1



d)



6x

5



4x

3



3x



7

 



5x

3



3x

2



4x



1



 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Para hallar el producto 2341102 en el sistema decimal, construimos una tabla como esta:





























2

10

1

102

1

10

4

10

3

10

2

2341

2 2 3 2341 102

2



10

3

3



10

2

4



10

1 PRODUCTOS PARCIALES 2

10

1

₂

_

₁₀

5

₃

_

₁₀

4

₄

_

₁₀

3

_1

₁₀

2

₂

_

₁₀

5

_

₃

_

₁₀

4

_

₄

_

₁₀

3

_

₁

_

₁₀

2 2

₄

_

₁₀

3

₆

_

₁₀

2

₈

_

₁₀

₂

₄

_

₁₀

3

_

₆

_

₁₀

2

_

₈

_

₁₀

_

₂

TOTAL

₂

_

₁₀

5

_

₃

_

₁₀

4

_

₈

_

₁₀

3

_

₇

_

₁₀

2

_

₈

_

₁₀

_

₂

Así también puedes hallar el producto de polinomios:

(2x

3



3x

2



4x



1)



(1x

2



2)



Efectúa los siguientes productos de polinomios:

a)



5x

3



3x

2



4x



1

 



2x

2



3x



5



b)



8a

3



5a

2



12

 



a

2



2a



5



 OPERACIONES

Dadas las funciones polinómicas y₁=2x33x2+3, y₂=x2+6x1 , calcula las funciones:

2 1 2 1 2 1+y b) y y c) y y y a)  

 DIVISIONES ENTRE MONOMIOS

Para efectuar cocientes de monomios, basta utilizar el cociente de números y de potencias de la misma base: 3 3 4 2 5 2 3 2 2 4 5 3 z 2xy = z z y y x x 7 14 = z y 7x z y 14x _{  }

Para dividir polinomios entre monomios hay que utilizar previamente la propiedad distributiva:

12 + 3x 4x = 3x 36x + 3x 9x 3x 12x = 3x 36x + 9x 12x3 2 3_ 2 2_

Efectúa las siguientes divisiones:

3 2 2 4 5 3 z y 3x z y 12x a) 3₂7₂5 b 12a z b 36a b) 3 5 5₂ 7₂ 12 6 y 3x y 48x y 18x + y 12x c) 

 RUFFINI

Para calcular el valor numérico del polinomio 5x4 3x34x2+6x1 para x=2, podemos

proceder de la siguiente forma, “sacando factor común 2” repetidas veces:











5 2 3 2 4 2 6



2 1







5 2 3



2 4



2 6



2 1 = 1 2 6 + 2 4 2 3 2 5 = 1 2 6 + 2 4 2 3 2 5 2 2 3 2 3 4                               

Si observas detenidamente la última expresión, verás que obtener el valor del polinomio en x = 2 se reduce a multiplicar el primer coeficiente por 2 y sumar el segundo coeficiente, volver a multiplicar por 2 el resultado y sumar el siguiente coeficiente, etc.

Este procedimiento se conoce con el nombre de algoritmo de Horner. Podemos disponer los cálculos de la siguiente forma:

1) Colocamos arriba los coeficientes del polinomio y abajo el 2, que es el valor de x para el

que queremos obtener el valor del polinomio:

5 3 4 6 1

2

Las operaciones que se efectúan en los pasos siguientes se dan de forma esquemática:

2) 5 3 4 6 1 3) 5 3 4 6 1 2 10 2 10 14 5 7 5 7 10 7 = 3 2 5  523



2410

4) 5 3 4 6 1 5) 5 3 4 6 1 2 10 14 20 2 10 14 20 52 5 7 10 26 5 7 10 26 51



2 4



2+6=26 2 3 5     523



24



2+6



21=51

Con una calculadora que disponga de memorias podemos proceder de la siguiente forma para efectuar los cálculos anteriores:

2 Min (ó

M

+ ) 5 = 5

x MR  3 = 7

x MR - 4 = 10

x MR + 6 = 26

x MR  1 = 51

Utilizando los resultados parciales ( 5, 7, 10 y 26 ) podemos formar un nuevo polinomio de

grado inferior en una unidad al del dividendo: 5x3+7x2+10x+26. Se verifica la expresión:



5x +7x +10x+26





x 2



+51 = 1 6x + 4x 3x 5x4  3 2  3 2  

Recuerda que en toda división se cumple: DIVIDENDO = DIVISOR x COCIENTE + RESTO. De manera que lo que hemos hecho es una división de polinomios en la que:

1 6x + 4x 3x 5x4 3 2  es el DIVIDENDO;x  es el DIVISOR; 2 5x3+7x2+10x+26 es el

COCIENTE; 51 es el RESTO. Es decir, hemos efectuado la división:



5x43x34x2+6x1



:



x2



El algoritmo de Horner sirve para dividir cualquier polinomio entre otros de la forma x - a. Los resultados parciales son los coeficientes del polinomio cociente (de grado inferior en una unidad al del dividendo) y el resto de la división es, precisamente, el valor del polinomio para x = a.

Este resultado es conocido como REGLA DE RUFFINI y permite hacer uso de la calculadora para dividir polinomios.

Efectúa las divisiones que se indican, aplicando la regla de Ruffini: 2) + (x : 2) + 3x + 4x (5x a) 3 2        2 1 x : 3) + 5x + (x b) 4 3       2 1 + x : 1) + (x c) 3 d)(x29) :(x+3)              _ 2 1 x : x e) 2 4 1             5 1 + x : 25 1 + 25 14x + 2x + x f) 3 2

2. Factorización de polinomios de segundo grado.

 FACTORIZA I

Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como producto de factores.

Ejemplo 1.- Para factorizar

2

x

2

_

4

x

_{, basta sacar factor común 2x.}

Así:

2

x

2

_

4

x

_

2

x

_



x

_

2



_.

Ejemplo 2.- Para factorizar la expresión

9

x

2

_

25

_{, basta tener el cuenta que una diferencia}

de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia, es decir:



a

b

 

a

b



b

a

2

_

2

_

_

_

_

_{. Por tanto:}

₉

_x

2

_

₂₅

_

 

₃

_x

2

_

₅

2

_



₃

_x

_

₅

 

_

₃

_x

_

₅



Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:

a) x25x b) 6y24y c) 3a 2b 2ab2 d) x3yx2y e) y 2 a2 f) 4x 2 y2 g) 9 1 x2  h) 2 s2 25 4 16t 

 FACTORIZA II

Para factorizar una expresión de segundo grado del tipo

ax

2

_

bx

_

c

_{, puedes resolver}

primero la ecuación

ax

2

_

bx

_

c

_

0

_{. Si m y n son las raíces entonces se cumple que:}



x

m

 

x

n



a

c

bx

ax

2

_

_

_

_

_

_

_

Factoriza las siguientes expresiones cuadráticas, hallando previamente las raíces: a) x27x10 b) x28x15 c) 2x25x3 d) 4x223x15

 FACTORIZA III

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:

1) 2abx2ab22a2b 2) ma2bmm2 3) 25x 2 4y2 4) 2 n2 9 4 9m 

 FACTORIZA IV

Factoriza, si es posible, cada uno de los siguientes polinomios:

a) x22x5 b) x22x1 c) x27x1 d) 3x24x1 e) 3x24x1 f) 3x26x

 ROMPECABEZAS DE FACTORES (*)

Construye en cartulina tarjetas como las de la siguiente figura y alternativamente con tu compañero, únelas de modo que concuerden los productos con sus factores correspondientes. Cada pieza puede unirse a otras por sus cuatro lados, tal como se muestra en la figura:

4 3x x2  x23x2 2 2x x 



x 1



x2 x x 



x 4





x6



x6





x1



x1



36 x2 9 x2



x2



x5





x2



x3



 SIMPLIFICA I

¡Ten cuidado a la hora de simplificar fracciones!.

Si tanto numerador como denominador están factorizados, es fácil simplificar la fracción, haciendo uso de las propiedades de las potencias.

Así:

25

12

5

3

4

5

3

4

5

3

5

4

3

4

15

20

9

16

2 2 1 2 1 2 2 2

























 

Pero si el numerador o el denominador contienen sumas o restas de productos, entonces la cosa es más difícil.

Así, en

2

3

2

2

_

no se puede simplificar un 2 del numerador con el 2 del denominador y decir

que el resultado es 2 + 3 = 5, porque, en realidad el resultado es

3

'

5

2

7 

.

Cuando aparezcan sumas o restas en el numerador o denominador, es conveniente factorizar previamente numerador y denominador, si ello es posible. Y recuerda que para factorizar puedes utilizar alguna de las estrategias vistas en problemas anteriores.

Simplifica las siguientes fracciones: a) ₂3 ₃2 ₂ 5 3 2 5 3 2     b) 2 ₂ 2₂ 5 3 5 3 4 5 3 5 3        c) ₂ a 10 a 15 b a 5      d) ₂ a 6 b a 3 a 18     

 SIMPLIFICA II

Simplifica las siguientes fracciones: a)

 

4x 8x 2x2 b) 10x 2x 4x x 2 2   c) 3 2x x 3x x 2 2    d) 2 x x 5 6x x 2 2    

 SIMPLIFICA III

Simplifica las siguientes fracciones: 1) 96 35 84 25   2) 3 2 3 2 3 23 2     3) 2 ₂ b a 35 b a 7     4) 3x x 2x x 2 2  

 UNA DEMOSTRACIÓN EJEMPLAR

¡No te fíes de las demostraciones!. Aquí tienes una “demostración” impecable de que 2 = 1.

Sean a y b dos números tales que a=b

Multiplica ambos lados de la igualdad por a:

a

2

_

a

_

b

Resta

b

2 de ambos lados:

a

2



b

2



a



b



b

2

Recuerda que

a

2

_

b

2

_



a

_

b

 

_

a

_

b



y saca factor común b en el segundo miembro:



a



b

 



a



b





b





a



b



Por tanto, dividiendo por

a 

b

:

a



b



b

Como es

a 

b

:

a



a



a

Es decir: 2 a = a

2 

a

a

Luego: 2 = 1

 LOS GAZAPOS

Aquí hay errores. A ver si los localizas:

1)



2xy



24x2y2 2)



ab



3a33abb3 3) a b b a b a2 2 _{ }   4) 3a2b6ab23ab



a2b



5) 3253515

 LOCALIZA ERRORES

Aquí hay errores. A ver si los localizas:

1) 3232 3 2 2) a2a2aa2a 3) a2a2 0 4) n m a n a m a2 _{ }   5) 2 4 3 2 33 52 5 3 2 5 3 2 _{  }    

 HISTORIAS PARA FÓRMULAS

Invéntate una historia para cada una de las siguientes fórmulas: 1) vuat 2) g L 2π T  3) Aπr



rg



4) n



n 1

 

2n 1



6 1 S      5) Emc2 6) a t2 2 1 t u S   

 MÁS HISTORIAS

Invéntate una historia para cada una de las siguientes fórmulas: 1) v72 t273 2)

2s u v