Capítulo 7 - Fuerzas Internas en Vigas - Copia (1)

(1)

Universidad Nacional de Ingeniería Universidad Nacional de Ingeniería

FUERZAS INTERNAS EN VIGAS

“Un científico debe tomarse la libertad de plantear cualquier cuestión,

de dudar de cualquier afirmación, de

de dudar de cualquier afirmación, de corregir errores”corregir errores”..

Julius Robert Oppenheimer

(2)

E

ES

ST

TÁ

ÁT

TIIC

CA

A

-

- IInngg.

. S

Seerrggiio

o H

Heerrrreerra

a

22

Universidad Nacional de Ingeniería Universidad Nacional de Ingeniería 



7

7 .1

.1

D

E

FI

N

IC

IÓ

N

D

E

V

IG

A

Elemento estructural proyectado o diseñado para soportar cargas aplicadas

en diversos puntos a lo largo del mismo.

Elemento estructural con sección transversal cualquiera, con una dimensión

mucho

mucho mayor

mayor que

que la o

la otra.

tra.

L L b b h h L L >>>>>> b , hb , h

(3)

Universidad Nacional de Ingeniería Universidad Nacional de Ingeniería 



7

7 .1

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D

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A

Elemento estructural proyectado o diseñado para soportar cargas aplicadas

en diversos puntos a lo largo del mismo.

Elemento estructural con sección transversal cualquiera, con una dimensión

mucho

mucho mayor

mayor que

que la o

la otra.

tra.

L L b b h h L L >>>>>> b , hb , h

(4)

E

ES

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ÁT

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-

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33 T

T

ipos

de

ap

oy

os:

T

ipos

de

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rga

s:



 PaPara ra detdetermierminar nar las las reareacciccioneones, s, pupuedeedenn

sustit

sustituirse las uirse las cargacargas s repartrepartidas idas por por cargacargass concentradas

concentradas equivaequivalentes.lentes.



 Para calcular las fuerzas internas en una viga,Para calcular las fuerzas internas en una viga,

se

se puepuede de hahacer cer esa sustitesa sustituciución ón perpero o concon especial cuidado especial cuidado.. Q Q V V Rótula Rótula Fijo Fijo M M M

Móóvviill EEmmppoottrraammiieennttoo

H H H H V V R R P P22 PP33 P P11 Carga

Cargas s concentradasconcentradas

(tn) (tn) m m22 m m11 Momentos concentrados o p

Momentos concentrados o paresares

(t (tn-n-m)m) Cargas repartidas Cargas repartidas W W11 W W22(tn/m)(tn/m)

V

igas

está

ticame

nte

dete

rminadas

(ISOSTÁTICA)(ISOSTÁTICA)

:

Cuando el número de las reacciones excede el número de ecuaciones de

equilibrio; para determinar las reacciones será necesario usar ecuaciones

basadas

basadas en la deformación

en la deformaciónde la viga.

de la viga.

Cuando se pueden determinar las reacciones de los apoyos utilizando las

ecuacion

ecuaciones del eq

es del equilibrio

uilibrio estático.

estático.

Viga

s

está

ticame

nte

indete

rminada

s

(HIPERESTÁTICA)(HIPERESTÁTICA)

:

VigadeGalileo

(5)

V

Vi gi gaas s ees ts táát it ic ac am em en tn te e d ed et et er mr mi ni naad ad ass VVi gi gaas s eesst át át it iccaam em en tn te e i ni nddeet et errm im in an ad ad ass

L

L:: luz luz (distancia entre apoyos)(distancia entre apoyos)

L L

Una estructura es estable cuando puede soportar cualquier sistema de carga,

resistiendo

sus ele

mentos en forma

elástica la a

plicación

de las cargas.



Esta

bilidad

exte

rna

: Número de reacciones mayores a dos, no concurrentes

en un punto, ni paralelas.



Esta

bilida

d

inte

rna

: Referido a los elementos que conforman la estructura,

siendo nece

sario que

las deformaciones

sean peque

ñas.

Nota

(6)

ESTÁTICA

- Ing. Sergio Herrera

5

Universidad Nacional de Ingeniería

Se dice que una estructura se encuentra en equilibrio estático, cuando ante la

acción de fuerzas externas, la estructura permanece en estado de reposo.

Nota

02

:

Se dice que una estructura se encuentra en equilibrio dinámico, cuando ante la

acción de cargas generadas por sismo, viento, motores, etc., la estructura

responde (se deforma) con un movimiento o vibración (aceleración) controlado

de cada una de sus partes; mas no así sus soportes o apoyos.

El equilibrio estático se puede aplicar a toda una estructura en sí, como también

a cada una de sus partes o componentes.

7.2 FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR EN VIGAS

Se pretende determinar las fuerzas internas que mantienen juntas las

diversas partes de una viga.

En esta parte presentaremos lo que han denominado “Fuerza Cortante” y

“Momento Flector” en cualquier sección de la viga.

P X X Y Y h b X X Y Y X X Y Y e

a

b

c

X X Y Y P P P

(7)

Universidad Nacional de Ingeniería P X X Y Y h b X X Y Y P

Caso

a

:

Si las cargas están contenidas en el plano de simetría de

la sección, entonces se produce flexión y fuerza cortante.

R1 R2

P h b X X Y Y

Caso

b

:

Si la carga es excéntrica, entonces, adicionalmente, se

produce momento torsional.

X X

Y Y

e

(8)

ESTÁTICA

- Ing. Sergio Herrera

7

P h b X X Y Y

Caso

c

:

Si la carga es centroidal e inclinada, entonces se produce

cortante y flexión en dos planos (

X

e

Y

).

X X

Y

Y P

Caso

d

:

P X Y Y X h b X Y Y X P

Si la carga es inclinada en el plano longitudinal, entonces,

adicionalmente a la fuerza cortante y flexión, se producen

fuerzas axiales en la viga (tracción y compresión).

P

Compresión

(9)

Universidad Nacional de Ingeniería F A B F C F F F F F A B F C F F F F

 FUERZAS INTERNAS EN BARRAS DE UN RETICULADO:

Si cortamos un elemento que está en equilibrio, para que cada subsistema o sub-elemento se mantenga en equilibrio, debe “haber” en la sección del corte fuerzas internas que generen acciones opuestas a las que se producen las fuerzas externas.

P P A B D C P P V M Q V Q M

(10)

ESTÁTICA

- Ing. Sergio Herrera

9

 FUERZAS INTERNAS EN UNA VIGA:

Tenemos una viga como la que se muestra en la figura (apoyada en sus extremos y con cargas concentradas).

P2 P3 P1 b a Y X R1 R2 R1 P1 P2 (x-a) (x-b) M V X 1 1 Efectos internos

Si hacemos el corte 1-1 a la viga, a una distancia “X” metros del apoyo izquierdo, para mantener el equilibrio aparecerán los efectos internos que se indican: V y M.

El objetivo es determinar el valor de esas fuerzas internas.

(Si consideramos el equilibrio en la zona izquierda del corte, entonces habrá que tener en cuenta las fuerzas internas del lado derecho del corte). X

1 1

 Apl icando las ecuacion es de equilibrio en el sub sistema:

(en el lugar del corte)

(+)   F y = 0

:

+

 M

_1-1

= 0

:

R

₁

– P

₁

– P

₂

– V = 0

_Fuerza cortante

V = R

₁

– P

₁

– P

₂



-R

1

(x) + P

1

(x-a) + P

2

(x-b) + M = 0

 M = R

₁

(x) – P

₁

(x-a) – P

₂

(x-b)

Momento flector

Momento flector (M): Suma algebraica de los efectos de momento producido por las fuerzas externas situadas a un lado de la sección en estudio.

Fuerza cortante (V): Suma algebraica de las fuerzas verticales situadas a un lado de la sección en estudio.

(11)

Universidad Nacional de Ingeniería F A B F C F F F F P P A B D C P P V M Q V Q M

CRITERIO DE SIGNOS:

Cuando las fuerzas externas (cargas y reacciones) que actúan sobre una viga, tienden a cortar o doblar a la viga como se muestra, se considera el signo indicado.

L X dx Momento positivo Momento negativo dx dx

+

(12)

-ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

11

L X dx Cortante positivo Cortante negativo

Parte derecha Parte izquierda

C

T C

T

Momento positiv o Momento negativo

M M

Cortante positivo Cortante negativo

Normal positiva Normal negativa

+

V V V

-V

+

Q Q

-Q Q L X dx dx dx

(13)

7.3 DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR

o V X + -o M X -+ 1.

Cálculo de las reacciones en los apoyos.

2.

Determinación del corte y momentogenérico para toda la viga.

3.

Diagrama de fuerza cortante:

Diagrama de momentoflector:

7.4

RELACIÓN ENTRE CARGA, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR

W(Tn/m) a b R1 R2 1 2 L(m) X















V : V V _ wdx dx d

w _b _a x_x b_a (Área bajo la curva de cargas_{entre los puntos “a” y “b”).}











  vdx M M : M dx d v x b a x a b

(Área bajo la curva de fuerza cortante entre los puntos “a” y “b”). i

(14)

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

13

Ecuación (i): La variación en la fuerza cortante entre dos puntos es igual a menos el área comprendida bajo la curva de carga entre los mismos dos puntos.

Válida sólo para cargas repartidas, las cargas concentradas mostrarán cambios bruscos (discontinuidades en la curva o función).

Ecuación (ii): El área entre dos puntos bajo la curva de fuerza cortante es igual a la variación en el momento flector entre estos mismos puntos.

También muestra que la fuerza cortante es n ul a en los puntos donde el momento flector es máximo, facilitando la determinación de las secciones en la que la viga podría f allar debido a la flexión. Aplicable para cargas repartidas y concentradas pero no para pares (momentos concentrados).

PROBLEMA 1:

Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector en la viga mostrada.

A B

300 Lb/pie _{2 000 Lb-pie}

10 pies 5 pies 5 pies

(15)

Universidad Nacional de Ingeniería  Cálculo de reacciones: M1-1 = RAx – 300 x2/2



A _R_B R A B 1 1 2 2 3 3 P = (300 Lb/pie) (10 pie) = 3000 Lb 300 Lb/pie _{2 000 Lb-pie}

X 1 866,67 - 1 133,33 X X V (Lb) M (Lb-pie)

+

3 666,7 R A 1 X V 1 300 (x) M

+

300 Lb/pie X / 2 +  MA = 0 : RB= 1 133,33 Lb +   FY = 0 : RA= 1 866,67 Lb

- Cálculo de las fuerzas internas:

corte 1-1: 0 x  10 (izq.) V1-1 = RA – 300 x X = 0  V1-1 = 1 866,67 Lb X = 10  V1-1 = -1 133,33 Lb X = 0  M1-1 = 0 X = 10  M1-1 = 3 666,7 Lb-pie

A _R_B R A B 1 1 2 2 3 3 300 Lb/pie _{2 000 Lb-pie}

X 1 866,67 - 1 133,33 X X V (Lb) M (Lb-pie)

+

3 666,7 - 2 000

-corte 2-2: 10 x  15 (izq.) R A 2 X V 2 300 (10) pie Lb 300 M 5 (X – 5)

+

V2-2 = RA – 3 000 = -1 133,33 Lb M2-2 = RA x – 3 000 (x – 5)



X = 10  M = 3 666,7 Lb-pie X = 15  M = -2 000 Lb-pie

(16)

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

15

A _R_B R A B 1 1 2 2 3 3 300 Lb/pie _{2 000 Lb-pie}

X 1 866,67 - 1 133,33 X X V (Lb) M (Lb-pie)

+

3 666,7 - 2 000

-(derch.) corte 3-3: 0 x  5 X 3 X V 3 M 2 000 Lb-pie M3-3 = – 2 000 Lb-pie V3-3 = 0

+

A _R

B

R A B

300 Lb/pie

2 000 Lb-pie

1 866,67 6,22 - 1 133,33 X X V (Lb) M (Lb-pie)

+

-+

-6,22 - 2 000 3 666,7 5 807,4 (M máx) T C T C

Determinación del momento máximo: M máx

NOTA:

Si la curva de cargas es una línea recta horizontal, la de las fuerzas cortantes será una línea recta oblicua (1er. grado), y la de los momentos flectores será una parábola (2do. grado). Estas dos últimas curvas son siempre un grado y dos grados, respectivamente, mayores que la curva de la carga.

0 M dx d V



pie Lb 807,4 5 M Mmáx



_X _6,22







_ pies 6,22 x





x 300 866,67 1 V11







 6,22 X M Mmáx



_



2 (6,22) 2 300 (6,22) 866,67 1





(17)

PROBLEMA 2:

Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector.

A B Rótula 2 tn/m 2 m C D 2m 3m

 Cálculo de reacciones: M1-1 = 2 x – 2 x (x/2) X = 0  V = 2 tn X = 1  V = 0 X = 2  V = - 2 tn X = 4  V = - 6 tn X = 0  M = 0 X = 1  M = 1 tn-m X = 2  M = 0 (Rótula) X = 4  M = - 8 tn-m A RB R A B 1 1 Rótula 2 tn/m 2 m C RC 2 2 D 2m 3m R A 1 X V 1 2 x M

+

X X / 2 2 tn/m RA = 2 tn RB = 11,67 tn RC = 0,33 tn

 Cálculo de fuerzas internas:

corte 1-1

V1-1 = 2 - 2x

(izq.) 0 x  4

(18)

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

17

corte 2-2: V2-2 = 2 x - RC



X = 0  V = - 0,33 tn X = 3  V = 5,67 tn



X = 0  M = 0 X = 3  M = - 8 tn-m RC 2 X V 2 2 x M

+

X / 2 2 tn/m A RB R A B 1 1 Rótula 2 tn/m 2 m C RC 2 2 D 2m 3m X X 0 x 3 (derch.) M2-2 = – 2 x (x/2) + RC(x) 2 X V (tn) - 2 - 6 - 0,33 5,67 0

+

0

-X + +

-- 8 1 0 0 0,027 0 M (tn-m)

PROBLEMA 3:

A B

2 tn-m

2 m

4 tn-m

(19)

(20)

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

19 PROBLEMA 4:

A B 2 tn/m 2m 2m 1m 2 tn/m 2 m 1 m 3 tn-m _{3 tn-m}

 Cálculo de reacciones:



X = 0  M = 3 tn-m X = 2  M = - 1 tn-m



X = 0  V = 0 X = 2  V = - 4 tn A RB R A B 3 3 _{2 tn/m} 2 m 2 2 2 m 1 m 4 4 1 1 5 5 2 tn/m 2 m 1 m 1 X V 1 2 x M 2 tn/m 3 tn-m

+

3 tn-m _{3 tn-m} X x / 2 Por Simetría: RA = RB = 6 tn

 Cálculo de fuerza internas:

corte 1-1: 0 x 2 (izq.)

V = - 2 x

(21)

Universidad Nacional de Ingeniería corte 2-2: 2 x  3 (izq.) V = - 2x + 6 M = 3 + 6 (x-2) – x2



X = 2  M = - 1 tn-m X = 3  M = 0 corte 3-3: 3 x  5 (izq.) V = - 6 + 6 = 0 M = 3 + 6 (x-2) – 6 (x – 1,5) = 0



X = 2  V = 2 tn X = 3  V = 0 2 X V 2 2 x M 2 tn/m 3 tn-m 6tn x - 2 6tn 3 X V 3 6tn M x – 1.5 x – 2 3 tn-m 2 tn/m

+

x / 2

corte 5-5: 0x  2 (derch) V = + 2x M = + 3 - 2x (x/2)



X = 0_{X = 2} _ M = 3 tn-m_{M = - 1 tn-m} corte 4-4: 2 x  3 (derch) V = + 2x - 6 M = 3 – 2x (x/2) + 6 (x – 2)



X = 0  V = 0 X = 2  V = 4 tn



X = 2  M = - 1 tn-m X = 3  M = 0



X = 2  V = - 2 tn X = 3  V = 0 5 X V 5 2 x M 2 tn/m 3 tn-m 6tn 4 V 4 2 x M x – 2 2 tn/m 3 tn-m

+

x / 2 x / 2 A RB R A B 2 tn/m 2m 2m 1m 4 4 5 5 2 tn/m 2 m 1 m 3 tn-m 3 tn-m X

(22)

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

21

A RB R A B 3 3 _{2 tn/m} 2 m 2 2 2 2 m 1 m X - 4 - 2 4 0 ₀ X - 1 - 1 3 4 4 1 1 5 5 2 tn/m 2 m 1 m 0 DFC V (tn) DMF M (tn-m) 3 3 tn-m _{3 tn-m} X X

PROBLEMA 5:

A B 2 tn-m 2m 2m 1m 1 tn/m 1 m 1 tn/m 4 tn

(23)

Universidad Nacional de Ingeniería  Cálculo de reacciones:



X = 0  V = 0 X = 1  V = - 1 tn



X = 0  M = 0 X = 1  M = - 0,5 tn-m A RB R A B 3 3 2 tn-m 2 m 2 2 2m 1m 4 4 1 1 _{1 tn/m} 1 m X 1 X 1V 1(x) M 1 tn/m 1 tn/m 4 tn

+

x / 2

corte 1-1: 0 x 1 (izq.) V = - x M = - x (x / 2) tn 1,625 R : 0 F tn 3,375 R : 0 M A Y B A         

corte 2-2: 1 x  3 (izq) V = RA - x = 1,625 - x M = RA (x-1) – x (x/2)



X = 1  M = - 0,5 tn-m X = 3  M = - 1,25 tn-m corte 3-3: 3 x  5 (izq) V = RA – 3 + (x-3) M = RA (x-1) – 3 (x – 1.5) + (x-3)



X = 1  V = 0,625 tn X = 3  V = - 1,375 tn



X = 3  V = - 1,375 tn X = 5  V = 0,625 tn



X = 3  M = - 1,25 tn-m X = 5  M = - 2 tn-m        2 3 x R A 2 V 2 M X x – 1 1 tn/m 3 (x -3) V 3 1(3) M 1 tn/m 1 tn/m R A

+

x / 2 1(x) x - 1 x - 3 2 3 x  x – 1.5

(24)

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

23

corte 4-4: 0 x 1 (derch) V = + 4 tn M = – 4 (x)



X = 0  M = 0 X = 1  M = - 4 tn-m 4 X V 4 M 4 tn

+

A RB R A B 3 3 2 tn-m 2 m 2 2 2m 1m 4 4 1 1 _{1 tn/m} 1 m X X 1 tn/m 4 tn - 1 - 1,375 4 0 - 4 - 0,5 0 0 DFC V (tn) DMF M (tn-m) 0 4 0,625 0,625 - 1,2 - 2,196 - 2 - 0,305

PROBLEMA 6:

A B 5 tn/m 1 m 1 m 4 tn/m 2m 2m 3m 2m 6 tn 4 tn

(25)

Universidad Nacional de Ingeniería  Cálculo de reacciones:



X = 0  V = 0 X = 2  V = - 8 tn



X = 0  M = 0 X = 2  M = - 8 tn-m A RB R A B 3 3 5 tn/m 1 m 2 2 1 m 6 6 1 1 4 tn/m 2 m X 4 4 5 5 2m 3m 2m 1 X 1V 4x M 4 tn/m

+

x / 2 6 tn 4 tn

corte 1-1: 0 x 2 (izq.) V = - 4x M = - 4x ( x / 2 ) tn 16,24 R : 0 F tn 18,26 R : 0 M B Y A B         

corte 2-2: 2 x  3 (izq) V = RA - 4x M = RA (x - 2) – 4x ( x / 2)



X = 2  M = - 8 tn-m X = 3  M = 0,26 tn-m corte 3-3: 3x  4 (izq) V = RA – 12 = 6,26 tn M = RA (x - 2) – 12 (x – 1,5)



X = 2  V = 10,26 tn X = 3  V = 6,26 tn



X = 3  M = 0,26 tn-m X = 4  M = 6,52 tn-m R A 2 V 2 4x M X x – 2 4 tn/m

+

3 V 3 M 4 tn/m X R A x – 2 x – 1.5 12tn x / 2

(26)

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

25

corte 4-4: 4 x  6 (izq) V = RA – 12 – 6 = 0,26 tn M = RA (x-2) – 12 (x-1,5) – 6 (x-4)



X = 4  M = 6,52 tn-m X = 6  M = 7,04 tn-m corte 5-5: 6 x  9 (izq) V = RA 12 6 4 -M = RA (x2) 12 (x1,5) 6 (x4) 4 (x6)

-

X = 6  M = 7,04 tn-m X = 9  M = - 8,66 tn-m



X = 6  V = - 3,74 tn X = 9  V = - 8,24 tn 2 6) (x_ 2        3 6 x . 5 V 5 M X R A x – 2 x – 4 x - 6 (x –6) 2 2 6) (X 4 V 4 M 4 tn/m X R A x – 2 x – 1.5 12tn 6tn x - 4

+

2 6) (x_ 2 12tn x – 1.5 4 tn/m 6tn 4tn 3 6 X 5 tn/m x - 6 x - 6 5 m

corte 6-6:



X = 0  M = 0 X = 2  M = - 8,66 tn-m



X = 0  V = 0

X = 2  V = 8 tn

Nota: Para analizar una carga trapezoidal, se puede emplear:

6 V 6 M (5 –x) x 5 tn/m (5 - x) 2 (x)(x) x X

+

2 x 3 2 x 0 x 2 (derch.) A RB R A B 3 3 5 tn/m 1 m 2 2 1 m 6 6 1 1 4 tn/m 2 m 4 4 5 5 2m 3m 2m 6 tn 4 tn X V = (5 - x) x + 2 2 x M = - (5 - x) x              _x 3 2 2 x 2 x 2

(27)

Universidad Nacional de Ingeniería A RB R A B 3 3 5 tn/m 1 m 2 2 1 m - 8 - 3,74 8 0 - 8,66 - 8 0 6 6 1 1 4 tn/m 2 m 0 DFC V (tn) DMF M (tn-m) 0 6,26 10,26 X X 0,26 6,52 7,04 4 4 5 5 2m 3m 2m 0,26 - 8,24 6 tn 4 tn

PROBLEMA 7:

4 tn/m 3m 4m 3 tn-m 2 m 4 tn Rótula

(28)

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

27 

X = 0  M = 0 X = 2  M = - 8 tn-m RB 3 3 4 tn/m 3 m 2 2 4 m 1 1 3 tn-m 2 m X 4 tn R A MB Rótula 1 X V 1 M 4T

+

RA = 5,67 tn RB = 14,33 tn MB = 25,32 tn-m

corte 1-1: 0 x 2 (izq.)

V = - 4 tn

M = - 4 x

corte 2-2: 2 x  5 (izq) V = - 4 + 5,67 = 1.67 tn M = - 4x + 5,67 (x – 2) + 3



X = 2_{X = 5} _ M = - 5 tn-m_{M = 0} corte 3-3: 5 x  9 (izq) V = - 4 + 5,67 – 4 (x – 5) M = - 4 (x) + 3 + 5,67 (x - 2) – 4 (x – 5)



X = 5  M = 0 X = 9  M = - 25,32 tn-m



X = 5  V = 1,67 tn X = 9  V = - 14,33 tn        2 5 x 2 V 2 M 4 tn X 5,67 x - 2 3 tn-m 3 V 3 M 4 tn X 5.67 x – 2 x - 5 2 5 x  3 tn-m 4 (x - 5)

+

(29)

Universidad Nacional de Ingeniería RB 3 3 4 tn/m 3 m 2 2 4 m - 4 - 25,32 - 0.5 1 1 3 tn-m 2 m DFC V (tn) DMF M (tn-m) 0 1,67 X - 5 0 4 tn R A MB Rótula - 14,33 - 8 0,35

PROBLEMA 8:

Hallar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector de la siguiente viga:

A B 3 m 2 tn 1m 4m 2m 3 tn _{2 tn/m} 4 tn-m 3 tn 3 tn/m

(30)

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

29 

X = 0  M = 0 X = 1  M = - 2 tn-m A RB R A B 3 3 2 2 3 m 1 1 2 tn 1 m X 4 4 4m 2m 3 tn _{2 tn/m} _{4 tn-m} 3 tn 1 X V 1 M 2tn

+

3 tn/m

corte 1-1: 0 x 1 (izq.) V = - 2 tn M = - 2 x tn 3,71 R : 0 F tn 1,29 R : 0 M A Y B A         

corte 2-2: 1x  4 (izq) V = RA 2 3 -M = RA (x 1) 2x 3 (x 1)

-

X = 1  M = - 2 tn-m X = 4  M = - 8,86 tn-m corte 3-3: 2 x  6 (derch) V = 3 - RB M = - 3 (x) + RB(x - 2)



X = 2  M = - 10 tn-m X = 6  M = - 8,86 tn-m



X = 2  V = 1,71 tn X = 6  V = - 4,29 tn



X = 1  V = - 1,29 tn X = 4  V = - 4,29 tn





2 2 x 8 3  





4 3 2 x 2 x 2           8 3 1 V 1 M X R A x – 1 3 tn 2 tn 2 3 1) (x  31 x  3 V 3 M X RB x – 2 3 tn 3 2 x 4 tn-m

+

3 1) (x_ 2 3 1) (x_ 2 3 1) (x .  3 1) 2 (x

+

42) 3 (x 8 2)2 3 (x

(31)

corte 4-4: 0x  2 (derch)

V = + 3 tn

M = - 3 (x)



X = 0_{X = 0} _ M = 0_{M = - 6 tn-m}

NOTA: Para 2 x  6 (derch)

- 12,44 tn-m M 4,138 x 0 2) (x 8 3 R - 3 M dx d V 4,138 X 2 B            4 X V 4 M 3 tn

+

A RB R A B 3 3 2 2 3 m 3,00 - 2 - 12,44 - 2 0 1 1 2 tn 1 m DFC V (tn) DMF M (tn-m) - 1,29 X X - 8,86 4 4 4m 2m 1,71 - 4,29 3 tn _{2 tn/m} 4 tn-m 3 tn - 10 - 6 3 tn/m

(32)

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

31 PROBLEMA 9:

Determinar las cargas a las cuales debe estar sometida la siguiente viga, si el diagrama de fuerza cortante es el que se muestra. Asimismo, trazar el diagrama de momento flector. A B 2 m 1m 2m 5m 5m V = −1 2 x − 10 _{+ 12.5} V = − 1 2 x − 10 ₋_1.2 −15 −5 −3.7 6.3 12.5 0 −13.7 DFC V (kN) −1.2

Universidad Nacional de Ingeniería V = − 1 2 x − 10 _{+ 12.5} V = −1 2 x − 10 _− 1.2 −15 −5 −3.7 6.3 12.5 0 −13.7 DFC V (Kn) −1.2 A B 2 m 1m 2m 5m 5m La fuerza cortante en x = 0 es - 5 kN Por tanto existe una carga puntual en x = 0 de 5 kN (↓)

Desde x = 0 a x = 1 m la fuerza cortante varía linealmente, entonces hay una carga distribuida de valor igual a la pendiente, m = - 10 kN/m con dirección (↓).

5 kN

10 kN/m

(33)

Universidad Nacional de Ingeniería V = − 1 2 x − 10 _{+ 12.5} V = − 1 2 x − 10 _− 1.2 −15 −5 −3.7 6.3 12.5 0 −13.7 DFC V (Kn) −1.2 A B 2 m 1m 2m 5m 5m En x = 1 (apoyo fijo) se ve un “salto” de 21.3 kN (↑),

que corresponde al valor de la reacción 5 kN 10 kN/m 21.3 kN Desde x = 1 a x = 3 la fuerza cortante es constante, entonces no hay cargas en ese tramo

En x = 3 se ve un salto de 10 kN (↓), debido a

una carga puntual

10 kN

Desde x = 3 a x = 5 hay una carga distribuida de valor igual a la pendiente m = - 5 kN/m con dirección (↓)

5 kN/m

Universidad Nacional de Ingeniería V = − 1 2 x − 10 _{+ 12.5} V = −1 2 x − 10 _− 1.2 −15 −5 −3.7 6.3 12.5 0 −13.7 DFC V (Kn) −1.2 A B 2 m 1m 2m 5m 5m De x = 5 a x = 10, derivamos la ecuación de V :  = −  − 10 , que corresponde a una carga distribuida lineal de 5 kN/m (↑) en x = 5 a 0 kN/m en x = 10 5 kN 10 kN/m 21.3 kN 10 kN 5 kN/m En x = 10 (apoyo móvil) se ve un “salto” de 13.7 kN (↑), que se debe al valor de la reacción

De x = 10 a x = 15, derivamos la ecuación de V : 



= −  − 10 _{, que corresponde} a una carga distribuida lineal de 0 kN/m en x = 10 a - 5 kN/m (↓) en x = 15

5 kN/m

13.7 kN

(34)

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

33

A B 2 m 1m 2m 5m 5m 5 kN 10 kN/m 21.3 kN 10 kN 5 kN/m 5 kN/m 13.7 kN 5 kN/m X

+

 Cálculo de fuerza internas (Momento Flector):

corte 1-1: 0 x 1 (izq.) M = - 5 x - 5 x2 1 1 3 3 2 2 4 4 5 5

+

corte 2-2: 1 x 3 (izq.) M = + 6.3 x - 16.3

+

corte 3-3: 3 x 5 (izq.) M = - 2.5 x2_{+ 11.3 x - 8.8} corte 4-4: 5 x  10 (derch)

+

X M = + 0.167 x3_{- 2.5 x}2_{+ 13.7 x - 68.5} corte 5-5: 0 x  5 (derch)

+

M = + 0.167 x3_{- 2.5 x}2

V = −1 2 x − 10 _{+ 12.5} V = −1 2 x − 10 ₋_1.2 −15 −5 −3.7 6.3 12.5 0 −13.7 DFC V (Kn) −1.2 A B 2 m 1m 2m 5m 5m 5 kN 10 kN/m 21.3 kN 10 kN 5 kN/m 5 kN/m 13.7 kN 5 kN/m - 10 2.6 - 14.8 - 41.7 DMF M (Kn/m) 0

(35)

Universidad Nacional de Ingeniería W L L M 2 L P Rótula P _W A _B

PROBLEMA 10:

Hallar el valor de las cargas “W (tn/m)”, “P (tn)” y “M (tn-m)”,así como también la longitud “L (m)”; si:

 La fuerza cortante y el momento flector en el extremo del volado es 12 tn y 12 tn-m,  la fuerza cortante en el empotramiento (apoyo A) es - 8 tn, y

 el momento flector en el apoyo móvil (apoyo B) es - 30 tn-m.

Tenemos 4 incógnitas: “W (tn/m)”, “P (tn)”, “M (tn-m)” y “L (m)”; así que procedemos a formular ecuaciones que involucren dichas incógnitas.

DEL DATO: La fuerza cortante y el momento flector en el extremo del volado es 12 tn y 12 tn-m.



(parte derecha)

+

M = 12 tn - m P = 12 tn

DEL DATO: La fuerza cortante en el empotramiento (apoyo A) es - 8 tn.



(36)

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

35

DEL DATO: El momento flector en el apoyo móvil (apoyo B) es - 30 tn-m.

(parte derechadel apoyo B)

+

Mapoyo B = - 30 = 12 - 12 ( L ) - W L L _{... (}_I₎



Fv0 = - 8 + W ( 2L ) - 12 + RB - 12 - W ( 2L )

2 2

+

_



Fverticales0

Tomando (para no incluir en la ecuación los momentos concentrados)

POR EQUILIBRIO EN EL SISTEMA:

2 ( 3 )



W L

2 _{= 252 - 72 ( L )}

RB = 32 tn ( )

Además, sabemos que el momento flector en la rótula es nulo

Mrótula = 0 = 12 - 12 ( 2L ) + 32 ( L ) - W ( 2L ) ( L )

2

(parte derecha de la rótula)

+

... (II)



W L2 _{= 12 + 8 ( L )}

El problema podría complementarse con las siguientes interrogantes: “Así también determinar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores y el máximo momento flector y su ubicación en la estructura.”

NOTA:

Igualando las expresiones (I) y (II) :

252 - 72 ( L ) = 12 + 8 ( L )

_

L = 3 m

(37)

PROBLEMA 11:

Hallar el valor de las cargas “W1 (tn/m)”, “W2 (tn/m)” y “M (tn-m)”,así como también la

longitud “L (m)”; si: Rótula A B C 2 M M L 2L L 2L W 1 W 2 W 1 R_A R_B R_C

 La fuerza cortante en la rótula es de -1,17 tn,

 el momento flector en el apoyo B es de 27,67 tn-m, y

 la reacción en el apoyo A, B y C es 0.83 tn ,10,25 tn y 13,42 tn, respectivamente.

Tenemos 4 incógnitas: “W1 (tn/m)”, “W2 (tn/m)”, “M (tn-m)” y “L (m)”; así que

procedemos a formular ecuaciones que involucren dichas incógnitas.

DEL DATO: La fuerza cortante en la rótula es de -1,17 tn.

(parte izquierda de la rótula)

+

Además, sabemos que el momento flector en la rótula es nulo.

Vrótula = -1,17 = 0,83 – W1L 2



W1L = 4 ... (I) Mrótula = 0 = M + 0,83 L – W1L L 2 ( 3 ) 2

Reemplazando el valor de (I), tenemos:

M = L 2

(38)

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

37

DEL DATO: El momento flector en el apoyo B es de 27,67 tn-m.

(parte derechadel apoyo B)

+

Mapoyo B = 27,67 = - 2 M + 13,42 ( 2L ) – ( W2 ) ( 2L ) L ... (III)



Fv0 = 0,83 - W1L + W1( 2L ) + W1L - 10,25 - W2 ( 2L ) + 13,42 2 2 + W1L - W2L = - 2



Reemplazando el valor de (I), tenemos:

W2L = 6 ... (IV)



Fverticales0

Tomando (para no incluir en la ecuación al momento externoM)

POR EQUILIBRIO EN EL SISTEMA:

El problema podría complementarse con las siguientes interrogantes: “Así también determinar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores y el máximo momento flector y su ubicación en la estructura.”

NOTA:

Reemplazando el valor de (II) y (IV) en la expresión (III) :

27,67 = - 2 L + 13,42 ( 2L ) – ( 6 ) ( 2L ) 2



L = 2 m Reemplazando en (II) : M = 1 tn - m Reemplazando en (I) : W1 = 2 tn / m Reemplazando en (IV) : W2 = 3 tn / m

(39)

PROBLEMA 12:

Determinar la longitud “L1” (en función de L), de manera que se reduzca al mínimo el

momento flector máximo de la viga ( Mmáx). Asimismo indicar el correspondiente valor

del Mmáx(en función de W y L).

A B

L1

W

L1

L

X X X V M A B ( L –2 L1) L1 W L1

+

-+

-RB R A 2 2 1 1 - W L1 + W L1 + W ( L / 2 -L1) - W ( L / 2 - L1)  Cálculo de reacciones: Por Simetría: RA = RB = W L / 2

+

corte 1-1: 0 x L1 (izq.)



X = 0  M = 0 X = L1  M2 = - W ( L1)2/ 2



X = 0  V = 0 X = L1 V = - W L1 V = - W x M = - W x (x/2)

+

corte 2-2: L1 x L / 2 (izq.)



X = L1  M = - W ( L1)2/ 2 X = L / 2  M = W ( L )2_{/ 8 - W (L ) (L}_{) / 2}



X = L1 V = W (L / 2 - L1 ) X = L / 2  V = 0 V = - W x + W L / 2 M = - W x ( x/2 ) + W L / 2 ( x - L1 )

(40)

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

39

Para el sistema tenemos: Momento máximo positivo: Momento máximo negativo:

M1 = W ( L )2 - W (L ) (L1 )

M2 = - W ( L1)2

8 2

2

Debemos minimizar estas dos expresiones (al mismo tiempo), a fin que se reduzca al mínimo el momento flector máximo de la viga ( Mmáx).

Notamos que el momento f lector máximo (Mmáx), es el mayor momento entre M1 y M2.

L1

Se observa que al querer minimizar M1, incrementamos M2, y al querer minimizar M2

incrementamos M1.

Entonces, el menor valor que podría tener M1 y M2; se dará cuando estos sean de

igual magnitud.

Es decir, debemos establecer la relación: l M1 I = l M2 I

W ( L )2 _{- W (L ) (L}₁₎ ₌ _{W ( L} 1)2

8 2 2



L1 = 0,207 ( L )

Para calcular el valor del momento flector máximo de la viga ( Mmáx), bastará con

reemplazar L1 ( = 0,207L ), en la expresión de M1 o M2:

Mmáx = M2 = W ( L1)2 = W ( 0,207 L )2

2 2

(41)

PROBLEMA 13:

Si la viga homogénea AB pesa 120 lb y la viga homogénea CD pesa 800 lb, determinar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector de las vigas:

3 pies 6 pies 7 pies 300 lb 80 lb/pie B C A D

 Cálculo de Reacciones: lb 780 R : 0 F lb 200 1 R : 0 M 2 Y 1 B          R2 R1 3 pies 7 pies 300 lb B A Viga AB: 5 pies 5 pies 120 lb 3 pies 6 pies 80 lb/pie C D Viga CD: 780 lb 1 200 lb 4,5 pies 4,5 pies 800 lb R3 M F 0 : R 1460 lb pie -lb 200 10 M : 0 M 3 Y D         

(42)

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

41

 Cálculo de Fuerza Internas:

0 x  7 (izda.)

+

Viga AB: 780 lb 1 200 lb 3 pies 7 pies 300 lb B A 120/10 lb/pie X V = - 300 – 12 x



X = 0  M = 0 X = 7  M = - 2 394lb-pie



X = 0  V = - 300lb X = 7  V = - 384lb       2 x M = - 300 x – 12 x X 0 x  3 (dcha.)

+

V = + 780 + 12 x



X = 0  M = 0 X = 3  M = - 2 394lb-pie



X = 0  V = 780 lb X = 3  V = 816 lb       2 x M = - 780 x – 12 x

3 3) (x  Viga CD: 3 pies 6 pies 80 lb/pie C D 780 lb 1 200 lb 1 460 lb 10 200 lb-pie 800/9 lb/pie X 0 x  3 (izda.)

+

V = - 1 200 – 88.9 x



X = 0  M = 0 X = 3  M = - 4 000 lb-pie



X = 0  V = - 1 200 lb X = 3  V = - 1 466,7lb       2 x M = - 1 200 x – 88.9 x       2 x 3 x  9 (izda.)

+

V = - 1 200 + 780 – 88,9 x – 6,7 (x – 3)2



X = 3  M = - 4 000 lb-pie X = 9  M = - 10 200 lb-pie



X = 3  V = - 686,7lb X = 9  V = - 1 460 lb M = - 1 200 x + 780 (x – 3) – 88,9 x – 6,7 (x – 3)2