Lógica 2 (2013-1)
Mtro. Cristian A. Gutiérrezhttp://espanol.groups.yahoo.com/group/logicaUNAM2013/ Tarea 4
(Grupo 0004 entrega el jueves 28 de febrero) (Grupo 0022 entrega el viernes 01 de marzo)
Nombre:____________________________________________ Grupo:________________
INSTRUCCIONES: La tarea debe estar completamente resuelta, tiene que ser contestada a computadora, tiene que ser entregada el día que se indica arriba y tiene que estar engrapada.
Nuestro sistema de reglas de lógica proposicional es el siguiente:
Reglas de Introducción Reglas de Eliminación
⊃ α sup. .... β α⊃β α⊃β α β ∧ α β α∧β α∧β α α∧β β ∨ α α∨β α β∨α α sup. α∨β ... γ β sup. ... γ γ ≡ [(α⊃β) ∧ (β⊃α)] α≡β [(α∧β) ∨ (∼α∧∼β)] α≡β α≡β [(α⊃β) ∧ (β⊃α)] α≡β [(α∧β) ∨ (∼α∧∼β)] ∼ α sup. ... ⊥ ∼α ∼α sup. ... ⊥ α ⊥ α ∼α ⊥ ⊥ α
NOTA: Recuerden que la única forma de introducir supuestos (que es lo mismo que hipótesis) es usando una regla que lo permita, de tal forma que no puedes probar cosas simplemente suponiéndolas, tienen que respetar la forma de la regla. Las reglas que requieren de introducir supuestos son la Introducción de la Condicional (I⊃), la Eliminación de la Disyunción (E∨), la Introducción de la Negación (I~) y la Eliminación de la Negación (E~). NOTA 2: Esto son otros nombre usuales para algunas de nuestra reglas.
Introducción del Condicional (I⊃): Prueba condicionada, Metateorema de la deducción. Eliminación del Condicional (E⊃): Modus Ponens o Modus Ponendo Ponens.
Introducción de la Conjunción (I∧): Conjunción. Eliminación de la Conjunción (E∧): Simplificación. Introducción de la Disyunción (I∨): Adición.
Eliminación de la Disyunción (E∨): Prueba por casos.
Nuestras reglas para la construcción de árboles de verdad son las siguientes: ∧ α∧β α β ∼(α∧β) ∼α ∼β ∨ α∨β α β ∼(α∨β) ∼α ∼β ⊃ α⊃β ∼α β ∼(α⊃β) α ∼β ≡ α≡β α ∼α β ∼β ∼(α≡β) α ∼α ∼β β ~ Doble Negación α ≡ ~ ~ α ⊥ Introducción de la contradicción ~ α α ⊥
1. Considera la siguiente afirmación: La democracia es la mejor forma de gobierno. Da un argumento a favor de esta afirmación y uno en contra (se espera que sean buenos argumentos) los argumentos pueden ser del tipo que quieras, indica de qué tipo de argumento se trata (1/2 punto por cada argumento, en total 1 punto)
Argumento a favor: __________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ Tipo de argumento:___________________________________________________________________ Argumento en contra:_________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ Tipo de argumento:___________________________________________________________________
2. Completa las siguientes pruebas por deducción natural (.2 punto cada espacio completado, en total 3 puntos): a) 1. P ∧ (R ∧ S) 2. P ⊃ (S ⊃ T) /∴ R ∧ T 3. P E∧ (1) 4. S ⊃ T E⊃ (2,3) 5. R ∧ S E∧ (1) 6. S E∧ (5) 7. T E⊃ (4,6) 8. R E∧ (5) 9. R ∧ T I ∧ (7,8) b) 1. R ∧ P 2. Q ∧ S 3. (R ∧ S) ⊃ T / ∴ (T ∧ Q) ∧ P 4. R E∧ (1) 5. S E∧ (2) 6. R ∧ S I∧ (4,5) 7. T E⊃ (3,6) 8. Q E∧ (2) 9. P E∧ (1) 10. T ∧ Q I∧ (7,8) 11. (T ∧ Q) ∧ P I∧ (9,10) c) 1. R ∧ T /∴ P ⊃ (S ⊃ T) 2. P hip. 3. S hip. 4. T E∧ (1) 5. S ⊃ T I⊃ (3-4) 6. P ⊃ (S ⊃ T) I⊃ (2-5) d) 1. S ⊃ (T ∧ P) /∴ S ⊃ P 2. S hip. 3. T ∧ P E⊃(1,2) 4. P E∧ (3) 5. S ⊃ P I⊃ (2-4)
3. Analiza los siguientes argumentos usando el método de árboles de verdad, en cada caso indica si se trata de un argumento válido o inválido, si el argumento es inválido da la asignación de valores que muestra que podemos tener premisas verdaderas y conclusión falsa. (1 punto cada una, en total 4 putos)
e) 1. ~(P ∧ ~(R ∧ S)) El argumento es: Inválido
2. P ⊃ (S ⊃ T) /∴ R ∧ T ~(P ∧ ~(R ∧ S)) P ⊃ (S ⊃ T) ~(R ∧ T) ~P ~~(R ∧ S) R ∧ S R S ~P S ⊃ T ~P S ⊃ T ~S T ~S T ⊥ ~R ~T ~R ~T ~R ~T ~R ~T ~R ~T ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
Se pueden construir las siguientes asignaciones que muestran la invalidez del argumento: 1) v(P)=F, v(R)=F 2) v(P)=F, v(T)=F 3) v(P)=F, v(S)=F, v(R)=F 4) v(P)=F, v(S)=F, v(T)=F 5) v(P)=F, v(T)=V, v(R)=F 6) v(P)=F, v(T)=F, v(S)=V, v(R)=V
f) 1. ~R ∧ P El argumento es: Inválido 2. ~(Q ∧ S) 3. ~(R ∧ S) ⊃ T / ∴ (T ∧ Q) ∧ P ~R ∧ P ~(Q ∧ S) ~(R ∧ S) ⊃ T ~((T ∧ Q) ∧ P) ~R P ~Q ~S ~~(R ∧ S) T ~~(R ∧ S) T R ∧ S R ∧ S R R S S ⊥ ~(T ∧ Q) ~P ⊥ ~(T ∧ Q) ~P ~T ~Q ⊥ ~T ~Q ⊥ ⊥ ⊥
Se pueden construir las siguientes asignaciones que muestran la invalidez del argumento: 1) v(P)=V, v(Q)=F, v(R)=F, v(T)=V
2) v(P)=V, v(Q)=F, v(R)=F, v(T)=V, v(S)=F
g) 1. ~(R ∨ ~T) El argumento es: Válido
/∴ ~P ⊃ (S ⊃ T) ~(R ∨ ~T) ~(~P ⊃ (S ⊃ T)) ~R ~~T T ~P ~(S ⊃ T) S ~T ⊥
Prueba por deducción natural 1. ~(R ∨ ~T) /∴ ~P ⊃ (S ⊃ T) 2. ~P hip. 3. S hip. 4. ~T hip. 5. R ∨ ~T I∨ (4) 6. ⊥ I⊥ (1,5) 7. T E~ (4-6) 8. S ⊃ T I⊃ (3-7) 9. ~P ⊃ (S ⊃ T) I⊃ (2-8)
h) 1. P ∨ Q El argumento es: válido
2. P ⊃ R 3. ~Q ∨ T 4. ~T /∴ R ∧ P P ∨ Q P ⊃ R ~Q ∨ T ~T ~(R ∧ P) ~Q T ⊥ P Q ⊥ ~P R ⊥ ~R ~P ⊥ ⊥ Prueba de validez por deducción natural
1. P ∨ Q 2. P ⊃ R 3. ~Q ∨ T 4. ~T /∴ R ∧ P 5. P hip. 6. R E⊃ (2,5) 7. R ∧ P I∧ (5,6) 8. Q hip. 9. ~Q hip. 10. ⊥ I⊥ (8,9) 11. T hip. 12. ⊥ I⊥ (4,11) 13. ⊥ E∨ (3,9-12) 14. R ∧ P E⊥ (13) 15. R ∧ P E∨ (1,5-14)
4. Responde las siguientes preguntas (.5 puntos cada una, en total 2 puntos):
I. ¿Cuál de las siguientes asignaciones de valores muestra que la siguiente fórmula es consistente: ~(R ⊃ ~R) ∧ ~[~(W ∧ W) ∨ ~(~P ∧ ~P)]? (una fórmula es consistente si es verdadera por lo menos una línea de su tabla de verdad)
a) v(R)= V, v(W)= V, v(P)= V b) v(R)= F, v(W)= F, v(P)= F c) v(R)= V, v(W)= V, v(P)= F d) v(R)= F, v(W)= V, v(P)= F e) v(R)= V, v(W)= F, v(P)= F
II. ¿Cuál asignación de valores prueba que la siguiente proposición no es una tautología: [(S ⊃ S) ⊃ (~P ∧ ~P)] ≡ {[(Q ∨ ~Q) ≡ ~P] ∧ R)}? a) v(S)= F, v(P)= F, v(Q)= V, v(R)= V. b) v(S)= V, v(P)= F, v(Q)= F, v(R)= V. c) v(S)= F, v(P)= V, v(Q)= V, v(R)= F. d) v(S)= V, v(P)= V, v(Q)= F, v(R)= V. e) v(S)= F, v(P)= F, v(Q)= V, v(R)= F. III. Dado el siguiente argumento:
1. P ⊃ Q
2. (Q ∧ P) ≡ R /∴ ~(~P ≡ ~R)
¿cuál de las siguientes asignaciones de valores de verdad muestra que el argumento es inválido? a) v(P)= F, v(Q)=V, v(R)=V
b) v(P)= V, v(Q)=F, v(R)=V c) v(P)= V, v(Q)=V, v(R)=F d) v(P)= F, v(Q)=F, v(R)=F IV. Dado el siguiente argumento:
1. P ≡ (P ∧ T) 2. ~P ⊃ P /∴ ~T ∧ T
¿cuál de las siguientes asignaciones de valores de verdad muestra que el argumento es inválido? a) v(P)= F, v(T)=F
b) v(P)= V, v(T)=F c) v(P)= F, v(T)=V d) v(P)= V, v(T)=V
4. Bonus para ñoños (1/2 punto extra para la tarea): Existe en el Pacífico Sur una isla conocida como la Isla de los caballeros y los bribones. En esta isla existen dos tipos de personas los caballeros que siempre dicen la verdad y los bribones que siempre mienten. Hace unos años se levanto un censo de población. En una ocasión uno de los encuestadores llegó a una casa en donde sólo habitaba una pareja. El encuestador tocó a la puerta y salió el esposo. El encuestador le pregunto si él o su esposa eran caballeros o bribones. El esposo le contestó: yo soy un caballero si y sólo si mi esposa es un caballero. Inmediatamente después cerró la puerta. ¿Qué tipos de personas eran el esposo y la esposa?
a) Ambos eran bribones. b) Ambos eran caballeros.
c) No sé sabe que era el esposo, pero la esposa era una caballera. d) No sé sabe que era el esposo, pero la esposa era una bribona.
5. Ejercicio para medio punto extra: Presentar un argumento filosófico deductivo, indicar de dónde fue extraído, indicar de manera clara cuáles son las premisas y cuál es la conclusión. (½ punto para el examen 2)
