semigrupos y aproximaciones en el
sentido de Trotter-Kato
por
Federico Arboleda Bradford
Una tesis
presentada al departamento de Matemáticas
como parte de los requisitos para el grado de
Magíster en Matemáticas
Director: Ahmed Ould Khaoua
Universidad de los Andes Bogotá, Colombia
Introducción II
1. Teoría de operadores 1
2. Teoría de semigrupos 20
2.1. Semigrupos . . . 20
2.2. Seudorresolventes . . . 48
3. Aproximaciones 57
3.1. Teoremas originales de Trotter-Kato . . . 58
3.2. Sucesiones de espacios de Banach . . . 65 3.3. Aplicación . . . 81
4. Conclusiones 91
Introducción
En áreas como las ciencias físicas, la mecánica de medios continuos, las ciencias biológicas o la economía, varios problemas que involucran ecuaciones con deriva-das parciales se pueden estudiar con la teoría clásica de semigrupos. Sin embargo, en muchos de estos casos la complejidad de los operadores y los semigrupos invo-lucrados impide el uso directo de la teoría clásica; en estas situaciones se recurre al concepto de aproximaciones de manera natural. Para ilustrar dicho problema, se considera la ecuación diferencial
∂
∂tu(t) =Au(t),
dondeA es un operador diferencial en un espacio de Banach X. Si el operadorA
o el espacioXno satisfacen las hipótesis requeridas por los teoremas de existencia y unicidad de la solución, se estudian problemas de tipo
∂
∂tun(t) = Anun(t),
donde An es un operador sobre un espacio de Banach Xn. Se espera que las soluciones del segundo problema se aproximen, en cierto sentido, a la solución del problema original.
Este trabajo consiste en una introducción a la teoría básica de los semigrupos fuertemente continuos, seguida de una exposición de unos resultados de la teoría de las aproximaciones de semigrupos, en el sentido de la teoría de Trotter-Kato. Estos resultados se resumen en los teoremas 3.1 y 3.2, que son los resultados principales expuestos aquí, y la generalización presentada en [IK98]. Finalmente se verá cómo esta teoría se puede aplicar a problemas como los antes descritos, y a mostrar la convergencia de las soluciones numéricas a la solución analítica del problema.
Hay dos maneras de ver la teoría de las aproximaciones: una de ellas, la más simple, concierne semigrupos definidos sobre el mismo espacio en el cual el grupo original
está definido; la otra, que se puede considerar una generalización, concierne una sucesión de espacios, y operadores definidos sobre éstos, junto con una noción de aproximación de éstos al espacio original, como se ve por ejemplo en [Tro58] y en [IK98].
El documento se presentará en la siguiente forma:
En el primer capítulo se presentará, y hasta donde fuere posible se explicará, la teoría de operadores necesaria; estos son resultados conocidos del análisis funcional que se exponen en favor de la completitud y, hasta cierto punto, autosuficiencia del documento.
En el segundo capítulo se presentarán los resultados principales de la teoría básica de semigrupos, basándose mayormente en el libro [EN99].
En el tercer capítulo se desarrollará la teoría de las aproximaciones y se verá un ejemplo de cómo se puede usar para solucionar problemas de ecuaciones diferenciales parciales.
Para que esta exposición sea más fácil de entender, a lo largo del documento se presentarán numerosos ejemplos ilustrativos.
Notaciones
Para facilitar la lectura del documento, se presentan a continuación las notaciones utilizadas.
SiX es un espacio vectorial yS ⊆X, elespacio generadoporS se denotará por gen(S).
SiX es un espacio vectorial yY es un subespacio deX, se escribiráY ≤X. Dado un operador lineal A entre dos espacios vectoriales, el dominio de A
se denota por D(A), su rango por Rg(A) y su grafo porgr(A).
Si X es un espacio vectorial, se dirá queA es un operador lineal sobre X si
Se dice que un operador lineal Aestá densamente definido sobre un espacio vectorial normadoX si D(A)⊆X y D(A) = X.
Si A y B son dos operadores lineales entre espacios vectoriales tales que D(A) ⊆ D(B) y, para todo x ∈ D(A), Ax = Bx (o equivalentemente, gr(A)⊆ gr(B)), se dice que B es una extensión de A, lo que se denota por
A⊆B.
Dada una funciónf :A→B y C ⊆A,f↾C denota la restricción de f a C. Dadox∈R, ⌊x⌋ es la parte entera de x.
Dada una funciónf :X →R,sop(f) := f−1[R\ {0}]es el soporte de f.
Dado un espacio vectorial normado X, L(X) es el conjunto de operadores lineales continuos de X enX.
DadoC ⊆X, su envolvente convexa se define como
co(C) := { n
∑
i=0 αixi
n ∈N, xi ∈C, αi ≥0, n ∑
i=0
αi = 1 }
,
Teoría de operadores
En este capítulo se demostrarán varios resultados del análisis funcional que, aun-que son conocidos, no se encuentran típicamente en un curso tradicional de análisis funcional. Estos resultados serán luego necesarios para desarrollar la teoría de los semigrupos.
Teorema 1.1 (Teorema de Eberlein-Šmulyan). Sea X un espacio de Banach, y sea A ⊆ X. Las siguientes afirmaciones son equivalentes en la topología débil de X:
i. A es compacto.
ii. A es sucesionalmente compacto. iii. A es compacto por punto límite.
La siguiente proposición aparece, sin demostración, en [EN99, prop. A1].
Proposición 1.2. Sea X un espacio de Banach y sea A⊆X.
i. Si A es convexo, las clausuras débil y fuerte de A coinciden: A¯=Ad. ii. Si A es débilmente compacto, co(A)d es débilmente compacto (teorema de
Krein-Šmulyan).
Parte fundamental de la teoría de los semigrupos es la integración en los espacios de Banach. En este caso se requiere una generalización de la integral de Lebesgue, denominada integral de Bochner y definida de forma análoga a aquélla, como límite de sumas finitas correspondientes a funciones simples.
No es el objetivo de este documento explicar por completo la teoría de la inte-gración de Bochner; para ello puede referirse al lector a [Coh80, apéndice E]. Se presentarán a continuación, sin embargo, algunas muy importantes generalizacio-nes de resultados análogos para la integral de Lebesgue.
La siguiente proposición [Coh80, prop. E.5] se deduce inmediatamente de la defi-nición de la integral de Bochner.
Proposición 1.3. Dados un espacio de medida⟨Ω,A, µ⟩ y un espacio de Banach X, si f : Ω→X es integrable, entonces
∫Ωf dµ≤
∫
Ω∥ f∥dµ.
Usando la anterior proposición se puede demostrar el siguiente teorema [Coh80, teo. E.6], que es una generalización del teorema de convergencia dominada de Lebesgue a espacios de Banach.
Teorema 1.4 (convergencia dominada en espacios de Banach). Dados un espacio de medida ⟨Ω,A, µ⟩ y un espacio de Banach X, sea g : Ω → [0,∞] integrable, y sean f, fn : Ω → X para n ∈ N fuertemente medibles (esto es, medibles con
respecto al álgebra de Borel en X y tales que f[Ω], fn[Ω] ⊆ X sean separables).
Supóngase que para µ-casi todo ω ∈Ω se tiene que f(ω) = l´ım
n→∞fn(ω) y ∥fn(ω)∥ ≤g(ω).
Entonces f y fn son integrables para todo n∈N y l´ım
n→∞ ∫
Ω
fndµ= ∫
Ω f dµ. Demostración. Puesto que
∫
Ω
f dµ ≤
∫
Ω∥
f∥dµ≤
∫
Ω
sup
n ∥fn∥dµ≤ ∫
Ω
g dµ <∞,
tanto f como fn son integrables para todo n ∈ N. Ahora bien, para µ-casi todo
ω ∈Ω, ∥fn(ω)−f(ω)∥ ≤ 2g(ω), así que por el teorema de la convergencia domi-nada de Lebesgue (véase [Coh80, teo. 2.4.4])
0≤l´ım sup n→∞
∫Ω(fn−f)dµ
≤ l´ım n→∞
∫
Ω∥
fn−f∥dµ= 0. Se deduce que
l´ım n→∞
∫
Ω
fndµ= ∫
Ω
f dµ. qed
El siguiente teorema [Rud91, teo. 3.26] se utilizará más adelante para demostrar que todo semigrupo débilmente continuo es fuertemente continuo.
Teorema 1.5. SeanX un espacio vectorial topológico en el queX′ separa puntos, Qun espacio compacto de Hausdorff, µuna medida sobre los conjuntos borelianos de Q tal queµ(Q) = 1 yf :Q→X continua tal que co(f[Q]) es compacto en X. Bajo estas hipótesis existe y ∈co(f[Q]) tal que, para todo x′ ∈X′,
x′(y) = ∫
Q
Observación 1.6. Dados dos espacios vectorialesX yY, es claro queA:X →Y
es lineal si y sólo si el grafo de A es subespacio deX×Y.
Definición 1.7. Sean X, Y espacios vectoriales normados. Un operador lineal
A : D(A) → Y, donde D(A) ⊆ X, se dice cerrado si su grafo es un subconjunto cerrado de X×Y, y cerrablesigr(A)⊆X×Y es el grafo de algún operador entre
X y Y.
Este segundo operador se denomina clausura deA, y se denotará por A¯.
Observación 1.8. A la luz de la observación 1.6, es evidente que la clausura de un operador lineal cerrable es de nuevo un operador lineal.
No es difícil demostrar (véase por ejemplo [AL10, coro. 1.5.4] o [Rud91] en la discusión posterior al teorema 2.15) que un operador lineal Aes cerrado si y sólo si, dada cualquier sucesión (xn)n∈N ⊆ D(A) convergente, tal que (Axn)n∈N sea también convergente,
l´ım
n→∞Axn=A (
l´ım n→∞xn
)
.
Con este hecho se demostrará un criterio similar para determinar operadores ce-rrables.
Lema 1.9. Un operador lineal A entre X y Y es cerrable si y sólo si, para cual-quier sucesión (xn)n∈N ⊆D(A) convergente a0X tal que (Axn)n∈N converja en Y,
l´ım
n→∞Axn= 0Y.
Demostración. (Suficiencia) SiA es cerrable,(xn)n∈N ⊆D (
¯
A
)
y Ax¯ n =Axn que converge. Como A¯ es cerrado,0Y = ¯A0X = l´ımn→∞Axn como se quería. (Necesidad) Sean (x, y1),(x, y2) ∈ gr(A). Entonces (0X, y) ∈ gr(A), donde se
define y := y1 − y2; sea
(
(xn, Axn) )
n∈N ⊆ gr(A) convergente a (0X, y), en particular xn → 0. Pero como (Axn)n∈N es convergente, por hipótesis
y= l´ım
n→∞Axn = 0Y. Se concluye quey1 =y2, y por lo tantogr(A)es el grafo
de un operador. qed
Lema 1.10. Dado un espacio de Banach X, si A es un operador lineal cerrado sobre X yB ∈ L(X), A+B : D(A)→X es cerrado.
Demostración. Sea (xn)n∈N una sucesión en D(A) convergente a x tal que
y:= l´ım
n→∞(A+B)xn
esté definido; como(A+B)xn=Axn+Bxn yB es continuo,(Axn)n∈N converge a
y−Bx, y comoAes cerrado,x∈D(A)yAx=y−Bx. Por lo tanto(A+B)x=y,
Ejemplo 1.11. Considérese el espacio X := ℓ2(C). Sea x := (xn)n∈N ∈ X, y defínanse los siguientes operadores:
(Ax)n:=
n2x
n sin >0, 0 sin = 0,
(Bx)n:=
−n2x
n sin >0,
∞
∑
i=1
ixi sin = 0,
en el dominio
D(A) = D(B) := {
x∈X
∞ ∑ n=0
n4|xn|2 <∞ }
.
Se tienen entonces los siguientes hechos:
A y B están bien definidos sobre el dominio dado.
Es evidente que A lo está. En cuanto a B, aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz,
∞
∑
n=1
|nxn|=
∞ ∑ n=1 1 n n2xn
≤
(∞ ∑
n=1
n2xn
2) 1 2 (∑∞
n=1
1
n2
)1 2
= √π 6
(∞ ∑
n=1
n4|xn|2 )1
2 <∞
por hipótesis; por lo tanto
∞
∑
n=1
−n2xn
2 + ( ∞ ∑ n=1 nxn )2 ≤ ( 1 + π
2
6 ) ∞
∑
n=1
n4|xn|2 <∞, demostrando que Bx∈ℓ2(C) para todox∈D(A).
A es cerrado.
Sea (xn)n∈N ⊆ D(A) una sucesión convergente, tal que (Axn)n∈N converge también. Defínanse, pues,
x:= l´ım n→∞x
n
y y:= l´ım
n→∞Ax n
.
Sea m ∈Z+ fijo. Como xn→ x en la norma de X, en particular xn
m →xm, y por lo tanto,
ym = l´ımn→∞(Axn)m = l´ımn→∞m2xnm =m2xm; por otro lado, dado que(Axn)
0 = 0,y0 = 0. Se concluye quey =Ax, lo que
B es cerrado. Sea (xn)
n∈N ⊆ D(A) una sucesión convergente, tal que (Bxn)n∈N converge también. Defínanse, pues,
x:= l´ım n→∞x
n y y:= l´ım
n→∞Bx n.
Repitiendo el razonamiento anterior se obtiene que ym = −m2xm; puesto que y∈ℓ2(C), x∈D(B) por definición.
Sea, ahora, n∈N arbitrario. Se tiene que
|(Bxn)0−(Bx)0|= ∞ ∑ m=0
mxnm−
∞ ∑ m=0 mxm = ∞ ∑ m=0
m(xnm−xm)
≤ ∑∞
m=0
m|xnm−xm|,
y de nuevo por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, ( ∞
∑
m=1
m|xnm−xm| )2 ≤ ( ∞ ∑ m=1 1 m2 ) ( ∞ ∑ m=1 (
m2|xnm−xm| )2)
,
de donde
l´ım sup n→∞ |
(Bxn)0−(Bx)0| 2 ≤ ( ∞ ∑ m=1 1 m2 ) l´ım n→∞ ( ∞ ∑ m=1 (
m2|xnm−xm| )2)
≤ π2
6 ( l´ım n→∞ ∞ ∑ m=1 (
m2|xnm−xm| )2)
≤ π2
6 nl´ım→∞∥Bx n−
y∥22 = 0; como (Bxn)
0 →y0, se sigue que y0 = (Bx)0 y por lo tanto Bx =y, lo que
demuestra que B es cerrado. D(A) = D(B)es denso en X. Esto es claro, pues
c00(C) :={x∈X |xn̸= 0 sólo para finitos n ∈N} ⊆D(A), y c00(C) es denso en ℓ2(C).
A+B : D(A)→X no es ni siquiera cerrable. Sea xn := 1
ne
n∈X, para n >0. Entonces, claramente, l´ım
n→∞x n =0.
Por otro lado,
(A+B)xn =e0
∞
∑
i=0 ie
n i
n =e 0
,
y por lo tanto((A+B)en)
n∈N es convergente, pero su límite no es0. Por el lema 1.9, A+B no es cerrable.
Lema 1.12. Sea A un operador cerrable entre X yY. SiA es continuo, entonces
A¯ =∥A∥.
Demostración. Es claro que A¯≥ ∥A∥, pues A¯es una extensión de A. Sea x ∈ D(A¯). Por definición existe una sucesión de puntos ((xn, Axn)
)
n∈N en gr(A) que converge a (x,Ax¯ ) en la norma de X ×Y. En particular, xn → x y
Axn→Ax¯ . Como A es continuo,
Ax¯ = l´ım
n→∞∥Axn∥ ≤nl´ım→∞∥A∥∥xn∥=∥A∥∥x∥. qed
Proposición 1.13. Dados dos espacios normadosX yY, sea A: D(A)→Y con
D(A) ⊆ X un operador lineal, densamente definido y continuo en su dominio. Entonces A es cerrable.
Si Y es de Banach, A¯ es la única extensión continua de A a X. Demostración. Sea (xn)n∈N⊆D(A) convergente a 0X. Entonces
∥Axn∥ ≤ ∥A∥ ∥xn∥
con lo cual(Axn)n∈Nconverge a0Y; por el lema 1.9,Aes cerrable. Por el lema 1.12, ¯
A es continuo.
Si Y es de Banach, sean x ∈ X y (xn)n∈N ⊆ D(A) convergente a x. Entonces
∥Axm−Axn∥ ≤ ∥A∥∥xm−xn∥, con lo cual la sucesión(Axn)n∈Nes de Cauchy, y por tanto convergente; por definición de A¯, x∈D(A¯). Se concluye que D(A¯)=X. Finalmente, si B : X → Y es una extensión continua (no necesariamente lineal) deA, como Y es un espacio de Hausdorff, gr(B)es cerrado y por definición de A¯, gr(B)⊇gr(A¯). Puesto que D(A¯)=X, necesariamente B =A. qed Proposición 1.14. Dada una sucesión (Tn)n∈N⊆ L(X) tal que para todo n∈N,
∥Tn∥ ≤M, las siguientes afirmaciones son equivalentes:
a) (Tn)n∈N converge fuertemente (puntualmente sobre X).
b) (Tn)n∈N converge puntualmente sobre un subconjunto denso D de X.
c) (Tn)n∈N converge uniformemente sobre todos los precompactos de X.
Demostración. (a⇒b) Es trivial.
(b ⇒c) Supóngase que(Tn)n∈Nconverge puntualmente sobreD, y seaT su límite. Para todo y ∈Dse tiene entonces
∥T y∥=l´ım n→∞Tny
≤l´ım sup n→∞ ∥
Tny∥ ≤M∥y∥,
con lo cual, por el lema 1.12, T¯ ≤ M y por la proposición 1.13, T es cerrable y D
( ¯
T
)
=X. Por simplicidad se escribirá T en lugar de T¯.
Sean K ⊆X precompacto y ε >0. Primeramente, ya que K es compacto, es acotado en X; necesariamente
K ⊆K ⊆BΘ(0X), para algún Θ>0.
Por otro lado, como D es denso, tomandoδ := 4MεΘ, la colección
{Bδ(y)|y∈D}
es un cubrimiento abierto de K (y de K), y por lo tanto se puede finitizar:
K ⊆
m ∪
k=0
Bδ(yk);
ahora bien, como Tn → T sobre D, existe un N ∈ N tal que, para todo
n > N y todo k entre 0y m, ∥Tnyk−T yk∥< ε2.
Finalmente, dado x∈K arbitrario, sea k tal que ∥yk−x∥< δ. Entonces
∥Tnx−T x∥ ≤ ∥Tn(x−yk)∥+∥Tnyk−T yk∥+∥T(yk−x)∥
≤M∥x−yk∥+M∥x−yk∥+∥Tnyk−T yk∥
< ε
4+
ε
4+
ε
2 =ε para n > N, como se quería.
(c⇒a) Para todo x ∈ X, {x} es un conjunto precompacto; si (Tn)n∈N converge uniformemente a T sobre éste, entonces (Tnx)n∈N converge a T x. qed
Definición 1.15. Dado un operador lineal A sobre un espacio de Banach X,
D ≤ D(A) se dice dominio definitorio de A (denominado core en inglés) si D es denso en D(A) con respecto a la norma del grafo:∥x∥A:=∥x∥+∥Ax∥.
Observación 1.16. Si A es cerrable, es claro que D es un dominio definitorio de A si y sólo si la clausura de A↾D es A¯. Esto motiva el nombre de dominio
definitorio.
Es evidente que ∥x∥A ≥ ∥x∥ y ∥Ax∥ para todo x ∈ D(A). Esto tiene la conse-cuencia de que los dominios definitorios de un operador sean espacios en cierto sentido «grandes», como se verá en el siguiente lema.
Proposición 1.17. SeaA un operador lineal cerrable sobre un espacio de Banach X y D un dominio definitorio de A. Entonces D es denso en D(A) y(λI −A)D es denso en Rg(λI−A), para todo λ ∈C. En particular:
Si D(A) =X, D es denso en X.
Si A es cerrado y Rg(λI−A) =X, (λI −A)D es denso en X.
Demostración. Por las consideraciones anterioresDes obviamente denso enD(A). Por otro lado, dados x ∈ D(A) y ε > 0, existe y ∈ D tal que ∥x−y∥A < |λ|ε+1. Entonces
∥(λI−A)x−(λI−A)y∥ ≤ ∥λ(x−y)∥+∥A(x−y)∥
≤ |λ|∥x−y∥A+∥x−y∥A < ε,
demostrando que (λI −A)D es denso en Rg(λI −A). Las otras conclusiones se
deducen inmediatamente tomando clausuras. qed
Proposición 1.18. Sean X y Y espacios de Banach. Si A : D(A) → Y con
D(A)⊆X, D es un dominio definitorio de A, y existe un B ∈ L(Y, X) inyectivo tal que BAx = x para todo x ∈ D, entonces A es cerrable y BAx¯ = x para todo x∈D(A¯).
Demostración. Sea (xn)n∈N⊆D(A) una sucesión convergente a 0X tal que
y := l´ım n→∞Axn
esté definido en Y. Para cada n ∈ N, sea wn ∈ D tal que ∥wn−xn∥A < 1n; en consecuencia ∥xn−wn∥ < n1 y ∥A(xn−wn)∥ < n1, así que l´ımn→∞wn = 0X y
l´ım
n→∞Awn=y.
Como B es continuo,
By=B
( l´ım n→∞Awn
)
= l´ım
n→∞BAwn= l´ımn→∞wn= 0X, y como B es inyectivo, y= 0Y. Por el lema 1.9, A es cerrable.
Finalmente, dado x ∈ D( ¯A), como D es también un dominio definitorio de A¯, existe una sucesión (xn)n∈N que converge a x en ∥ · ∥A. Entonces, como B es continuo,
BAx¯ =B
( l´ım n→∞
¯
Axn )
= l´ım
n→∞BAxn = l´ımn→∞xn =x. qed A continuación se da una generalización natural de las definiciones de [AL10].
Definición 1.19. Dados un espacio de BanachX y un operador cerrado A sobre
El conjunto resolvente de A es
ρ(A) :={λ ∈C|λI −A: D(A)→X es biyectivo}.
Un resolvente deA es R(λ;A) := (λI −A)−1 :X →D(A)para λ ∈ρ(A).
El espectro deA es σ(A) :=C\ρ(A). Éste se divide en:
• El espectro puntual de A, que consiste de aquellos λ ∈ C tales que
λI−A: D(A)→X no es inyectiva. Se denota por σp(A).
• El espectro continuo de A, que consiste de aquellos λ ∈ C tales que
λI−A: D(A)→X es inyectiva y no sobreyectiva, pero Rg(λI−A)es denso en X. Se denota por σc(A).
• El espectro residual de A, que consiste de aquellos λ ∈ C tales que
λI −A : D(A) → X es inyectiva y Rg(λI−A) no es denso en X. Se denota por σr(A).
Observación 1.20. Es claro que el inverso (si existe) de un operador cerrado A
es también cerrado, pues su grafo es {(y, x) | (x, y) ∈ gr(A)}. Esto, junto con el lema 1.10, implica que para todo λ ∈ ρ(A), R(λ;A) es cerrado, luego continuo por el teorema de la gráfica cerrada [Rud91, teo. 2.15] [AL10, teo. 1.5.3].
Proposición 1.21. Sea A un operador cerrado sobre X y sean λ ∈ ρ(A), D ≤
D(A). Entonces D es un dominio definitorio de A si y sólo si (λI −A)[D] es denso en X.
Demostración. SiD es un dominio definitorio de A la conclusión se demostró en la proposición 1.17.
Supóngase que(λI−A)[D]es denso enX; seanx∈D(A)yε >0. Entonces existe un y ∈ (λI −A)[D] tal que ∥y−(λI −A)x∥ < ε. Si se toman xε := R(λ;A)y y
M :=∥R(λ;A)∥,
∥xε−x∥=R(λ;A) (
y−(λI −A)x)
≤ ∥R(λ;A)∥∥y−(λI −A)x∥ < M ε,
de donde
∥xε−x∥A=∥xε−x∥+∥Axε−Ax∥
< M ε+∥(λI−A)x−(λI−A)xε∥+|λ|∥xε−x∥
<(M +|λ|M) ε+∥(λI −A)x−y∥ <(M +|λ|M + 1) ε.
Proposición 1.22. Sea A un operador cerrado y densamente definido sobre el espacio de Banach X, tal que ρ(A)̸=∅. Entonces para todo k ∈N, D(Ak) es un
dominio definitorio de A.
Demostración. Se procede por inducción en k. Si k = 1, el resultado es evidente. Supóngase que es cierto parak−1≥1. Entonces, para todo λ ∈ρ(A),
(λI−A)[D(Ak)]= (λI−A)[Rg(R(λ;A)k)]= Rg(R(λ;A)k−1)=D(Ak−1),
que es un dominio definitorio deA por hipótesis, luego denso en X por la propo-sición 1.17. Por la propopropo-sición 1.21,D(Ak) es un dominio definitorio deA. qed Proposición 1.23. Sea A un operador lineal cerrado sobre X. Entonces para cualesquiera µ ∈ ρ(A) y λ ∈ C tales que |µ− λ| < ∥R(µ1;A)∥, necesariamente λ∈ρ(A) y
R(λ;A) =
∞
∑
k=0
(µ−λ)nR(µ;A)n+1,
donde la convergencia de la serie es en la norma de L(X). Como consecuencia, ρ(A) es abierto, R(λ;A) es una función localmente analítica de λ (esto es, para todo λ ∈ ρ(A) se puede expresar como una serie de potencias centrada en λ y convergente en un entorno de λ), y
dn
dλnR(λ;A) = (−1)
nn!R(λ;A)n+1.
Demostración. Sea λ ∈ C tal que |µ−λ| < ∥R(µ1;A)∥, o lo que es equivalente,
∥(λ−µ)R(µ;A)∥<1; se puede escribir
λI−A =λI −µI +µI −A = [(λ−µ)R(µ;A) +I](µI −A),
y comoµ∈ρ(A), el anterior operador es biyectivo (véase [Rud91, teo. 10.7]), con lo cualλ ∈ρ(A)también. Su inverso se puede entonces calcular como
R(λ;A) =R(µ;A)[I−(µ−λ)R(µ;A)]−1 =R(µ;A)
∞
∑
n=0
(µ−λ)nR(µ;A)n
=
∞
∑
n=0
(µ−λ)nR(µ;A)n+1,
y esta serie converge en la norma de L(X), como se quería.
De aquí se deduce que la función dada por λ7→R(λ;A) es analítica (y por tanto suave) en la bola abierta de radio ∥R(µ1;A)∥ en torno a µ, y sus derivadas son
dn
dλnR(λ;A) = (−1)
nn!R(λ;A)n+1.
Corolario 1.24. Dado un operador lineal cerradoA sobre X, σ(A) es cerrado, y para todo λ∈ρ(A),
∥R(λ;A)∥ ≥ 1
d(λ, σ(A)).
Proposición 1.25. Sea A un operador lineal cerrado sobre X, y (λn)n∈N⊆ρ(A)
una sucesión convergente a λ ∈C. Entoncesλ∈σ(A) si y sólo si
l´ım
n→∞∥R(λn;A)∥=∞.
Demostración. (Suficiencia) Por la proposición 1.23, para todon ∈N, 1
|λn−λ| ≤ ∥
R(λn;A)∥, pues de lo contrario, λ∈ρ(A). Entonces
l´ım inf
n→∞ ∥R(λn;A)∥ ≥l´ım infn→∞ 1
|λn−λ| =∞,
como se quería.
(Necesidad) De nuevo por la proposición 1.23, la funciónµ7→R(µ;A)es continua por ser analítica (en su dominio ρ(A)), con lo cual µ7→ ∥R(µ;A)∥ también lo es. Si λ∈ρ(A),
l´ım sup n→∞ ∥
R(λn;A)∥=∥R(λ;A)∥<∞,
contradiciendo la hipótesis. Se concluye que λ ∈σ(A). qed
Ejemplo 1.26. [Win12, ejem. 5.17]
i. Considérese el espacio de BanachX :=C[0,1] con la norma del supremo, y
el operador A dado por (Af)(t) := d dtf(t).
Por el teorema de aproximación de Weierstraß, D(A) =C1[0,1] es denso en X; por otro lado, si (fn)n∈N es una sucesión convergente (a f) en D(A) y
∥Afn−g∥ →0 parag ∈X,f es diferenciable y dtdf(t) =g(t), con lo cual A es cerrado.
Sea λ ∈ C arbitrario, y fλ(t) := eλt ∈ X. Entonces (λI −A)fλ = 0, pero
fλ ̸= 0; se sigue que λ ∈σp(A)y ρ(A) =∅.
ii. Considérese el subespacio de BanachY :={f ∈X |f(0) = 0}, y el operador B := A ↾Y (es decir, D(B) = {f ∈ Y | Bf ∈Y}). Por las mismas razones que antes, B es cerrado y de dominio denso en Y.
Sean λ∈Cy g ∈Y. La ecuación diferencialλf(t)−dtdf(t) = g(t)tiene una única solución con f(0) = 0, a saber:
f(t) := −eλt
∫ t
0
e−λτg(τ)dτ.
Esto significa que λI−B es sobreyectivo e inyectivo; se sigue que λ∈ρ(B) y σ(B) =∅.
Los anteriores ejemplos ilustran que un operador cerrado y densamente definido sobre un espacio de Banach puede tener espectro vacío o conjunto resolvente vacío, mientras no sea continuo.
Ejemplo 1.27. [EN99, prop. 4.2]
SeaΩun espacio topológico localmente compacto (según la definición de [Mun02, §29]), de Hausdorff y no vacío, y considérese el espacio de Banach
X :=C0(Ω) ={f : Ω→C|f es continua y se anula en el infinito}
(téngase en cuenta que una funciónf : Ω→Cse anula en el infinitosi para todo
ε > 0 existe un Kε ⊆ Ω compacto tal que |f(λ)| < ε para todo λ ∈ Ω\Kε), de nuevo con la norma del supremo. Dada una función continua q : Ω → C, se definirá el operador linealMq por
(Mqf)(z) := q(z)f(z),
D(Mq) := {f ∈X |q·f ∈X}. Se tienen los siguientes hechos:
Mq es cerrado.
Si(fn)n∈N⊆X tal que nl´ım→∞fn=f ∈X y nl´ım→∞Mqfn =g ∈X, entonces l´ım
n→∞|q(z)fn(z)−q(z)f(z)|=|q(z)|nl´ım→∞|fn(z)−f(z)|
≤ |q(z)| l´ım
n→∞∥fn−f∥= 0 para todoz ∈Ω; se sigue que Mqf =g.
D(Mq)es denso en X.
Es claro que Z :={f : Ω→C |f es continua y de soporte compacto} está contenido en D(Mq). Se demostrará entonces que Z (y por ende D(Mq)) es denso en X.
Sean f ∈ X, ε > 0 y Kε ⊆ Ω compacto tal que |f(z)| < ε fuera de Kε. ComoΩes localmente compacto, para todox∈Kε existe un abiertoVx ∋x cuya clausura es compacta. Ahora bien,{Vx |x∈Kε}es un cubrimiento de
Kε, con lo cual existe {x0, . . . , xn} ⊆Kε tal que
Kε ⊆ n ∪
i=0
Vxi =:K
′.
Ahora bien,Ωtiene una compactificación por un puntoΩ¯ [Mun02, teo. 29.1] que, por ser compacta y de Hausdorff, es normal. Ya que( ¯Ω\K′)∩Kε=∅,
por el lema de Urysohn existe h: ¯Ω→[0,1] continua tal queh[Kε] ={1} y
h[ ¯Ω\K′] ={0}; considéreseg :=f·h↾Ω. Entoncesg ∈Z, pues
sop(g)⊆K′ = n ∪
i=0 Vxi,
que es compacto por ser la unión de un número finito de compactos; por otro lado
∥f −g∥= sup z∈Ω|
f(z)|(1−h(z))≤ sup z∈Ω\Kε
|f(z)|< ε.
Se concluye, pues, que Z es denso enX, como se quería.
Mq es continuo si y sólo siq es acotada; en tal caso,D(Mq) = X y
∥Mq∥= sup z∈Ω|
q(z)|.
Si q es acotada,
∥Mqf∥= sup z∈Ω|
q(z)f(z)| ≤sup z∈Ω|
q(z)| · ∥f∥,
de dondeMq es acotado y∥Mq∥ ≤sup z∈Ω|
q(z)|. Como es cerrado,D(Mq) =X. Por otro lado, siMqes acotado, para cadaz ∈Ωse puede usar como antes el lema de Urysohn para hallar fz : Ω→[0,1]continua y de soporte compacto con fz(z) = 1 (de donde obviamente ∥fz∥= 1); en ese caso
∥Mq∥ ≥ ∥Mqfz∥ ≥ |q(z)f(z)|=|q(z)|; como z era arbitrario, q es acotada y ∥Mq∥ ≥sup
z∈Ω|
q(z)|, como se quería.
σ(Mq) =q[Ω].
Si λ ∈ C\q[Ω], la función r(1z) := λ−1q(z) es obviamente acotada y por lo tanto (λI −Mq)−1 =Mr−1 =M1
r es acotado; se sigue que λ∈ρ(Mq).
Siλ∈ρ(Mq), searcomo antes; entonces∥f∥ ≤ ∥R(λ;Mq)∥∥Mrf∥para toda
f ∈D(Mq). Si, además, ∥f∥ = 1, ∥Mrf∥ ≥ ∥R(λ1;Mq)∥ =: δ > 0. Supóngase, por contradicción, que
´ınf
z∈Ω|r(z)|= 0.
Entonces existeU ⊆Ωabierto tal que|r(u)|< δ2 para todou∈U. De nuevo por el lema de Urysohn, existe f0 : Ω → [0,1] continua tal que f0(z) = 0
para todo z ∈Ω\U y ∥f0∥= 1. Por lo tanto,
sup z∈Ω|
r(z)f0(z)| ≤ δ
lo cual contradice la definición de δ. Se concluye que ´ınf
z∈Ω|λ−q(z)|>0,
de donde λ /∈q[Ω].
Es posible, de hecho, ir más allá:
• λ ∈ σp(Mq) si y sólo si existe un abierto no vacío U ⊆ Ω tal que
f[U] ={λ}.
Si λ ∈ σp(Mq), entonces existe f ∈ n´uc(λI −Mq)\ {0X}, es decir, para todo z ∈ Ω, q(z) · f(z) = λf(z); en consecuencia, para todo
z ∈U :=f−1[C\ {0}],q(z) = λ, y U ̸=∅ pues f ̸= 0.
Si existe un tal U, hay un abierto V no vacío tal que V ⊆ U y es compacto [Mun02, teo. 29.2]. Dado x ∈V, como Ω es completamente regular, existeh: Ω→[0,1]continua tal queh(x) = 1yh[Ω\V] ={0}. Entonces sop(h)⊆V que es compacto, y para todo z ∈Ω,
(
(λI−Mq)h )
(z) = (λ−q(z))·h(z) = (
λ−q(z))·0 siz /∈V
0·h(z) siz ∈V
= 0,
con lo cual h∈n´uc(λI −Mq).
• q[Ω]\σp(Mq)⊆σr(Mq).
Si λ = q(z) para z ∈ Ω, Rg(λI −Mq) ⊆ {f ∈ X | f(z) = 0. Como Ω es completamente regular, de nuevo se puede hallar h : Ω → [0,1] continua, de soporte compacto, conh(z) = 1. Entonces, dada cualquier
f ∈Rg(λI−Mq), ∥f −h∥ ≥ 1, con lo cual Rg(λI −Mq) no es denso en X. Se sigue que siλ /∈σp(Mq), λ∈σr(Mq).
• q[Ω]\q[Ω]⊆σc(Mq).
Si λ /∈ q[Ω] y f : Ω → C es continua y de soporte compacto, sea
g(z) := 1
λ−q(z)f(z). Entoncesg es continua ysop(g) = sop(f), de donde g ∈X. Se sigue queZ ⊆Rg(λI−Mq)que por lo tanto es denso enX. Ahora bien, si λ ∈q[Ω]\q[Ω], λ /∈σp(Mq)peroλ ∈σ(Mq), con lo cual
λ ∈σc(Mq).
Finalmente, como σp(Mq), σr(Mq) y σc(Mq) son disjuntos, se sigue que
q[Ω] =σp(Mq)⊔σr(Mq) y q[Ω]\q[Ω] = σc(Mq).
En particular, si Ω⊆C es cerrado y q(z) :=z, σ(Mq) =σr(Mq) = Ω. Lo anterior ilustra que cualquier subconjunto cerrado de C es el espectro de al-gún operador cerrado y densamente definido sobre alal-gún espacio de Banach. En particular:
El conjunto resolvente puede ser vacío, como en el ejemplo 1.26.
El espectro puede no ser acotado, y en consecuencia, puede no ser compacto.
Se sabe, por el contrario, que si el operador en cuestión es continuo, σ(A) es un subconjunto compacto y no vacío de C; de hecho σ(A) ⊆ B∥A∥(0) (véase por ejemplo [Rud91, teo. 10.13] o [AL10, prop. 3.1.2]). El último ejemplo muestra que también lo recíproco es cierto: todo subconjunto compacto y no vacío de C es el espectro de algún operador continuo sobre algún espacio de Banach.
Proposición 1.28. SeaXun espacio de Banach, y seanAyB operadores lineales sobre X con D(A) = D(B). Entonces
i. R(λ;A)−R(µ;A) = (µ−λ)R(λ;A)R(µ;A) para cualesquiera λ, µ∈ρ(A). ii. R(λ;A)−R(λ;B) = R(λ;A)(A−B)R(λ;B)para cualquierλ∈ρ(A)∩ρ(B). Demostración.
i. R(λ;A)−R(µ;A) =R(λ;A)
(
I−(λI −A)R(µ;A))
=R(λ;A)(I(µI −A)−(λI−A)I)R(µ;A)
=R(λ;A)(µ−λ)IR(µ;A) = (µ−λ)R(λ;A)R(µ;A). ii. R(λ;A)−R(λ;B) = R(λ;A)
(
I−(λI−A)R(λ;B))
=R(λ;A)(I(λI−B)−(λI −A)I)R(λ;B) =R(λ;A)(A−B)R(λ;B).
qed
La siguiente definición es estándar en análisis funcional y se puede encontrar por ejemplo en [AL10, Obs. 3.1.1].
Definición 1.29. Dado un espacio de BanachX y un operador lineal cerrado A
sobre X, el espectro aproximado de A es el conjunto de aquellos λ∈C tales que, para todoε >0existexε ∈D(A)tal que∥xε∥= 1 y∥(λI−A)xε∥< ε; o de forma equivalente, aquellosλ∈C para los cuales no exista unM >0tal que, para todo
x∈D(A), ∥(λI−A)x∥ ≥M∥x∥. Este conjunto se denota por σap(A).
Proposición 1.30. Dado un operador lineal y cerrado A sobre el espacio de Ba-nach no trivial X, σap(A) =σp(A)∪ {λ∈C|Rg(λI−A) no es cerrado}.
Demostración. (⊆) Dado λ ∈ σap(A), supóngase que λI −A es inyectivo (pues de lo contrario, λ ∈σp(A)). Entonces (λI −A)−1 : Rg(λI −A)→ D(A) es un operador cerrado (observación 1.20) e inyectivo; y si Rg(λI −A) fuera
cerrado y por tanto de Banach,(λI−A)−1 sería continuo por el teorema de la gráfica cerrada. Pero entonces, para todo x∈D(A),
∥x∥=(λI −A)−1(λI −A)x≤(λI−A)−1∥(λI −A)x∥,
con lo cual, como∥(λI−A)−1∥>0,
∥(λI −A)x∥ ≥ 1
∥(λI−A)−1∥∥x∥;
esto es imposible porque λ ∈ σap(A). Se concluye que Rg(λI −A) no es cerrado.
(⊇) Si λ ∈ σp(A), claramente hay un xε ∈ n´uc(λI −A) con ∥xε∥ = 1, pero
∥(λI −A)xε∥= 0.
Si λ /∈ σp(A), (λI −A)−1 : Rg(λI −A) → D(A) es un operador cerrado; como Rg(λI −A) no es cerrado, se concluye que (λI −A)−1 no se puede
extender continuamente a Rg(λI−A), y por lo tanto no es continuo, es decir, existe una sucesión (yn)n∈N ⊆ Rg(λI − A) tal que ∥yn∥ = 1 pero
∥xn∥ :=∥(λI −A)−1yn∥ > n. Si se toma x′n := xn
∥xn∥, obviamente ∥xn∥= 1
pero∥(λI−A)x′n∥= ∥yn∥
∥xn∥ < 1
n, con lo cual λ∈σap(A) por definición.
qed Corolario 1.31. Dado un operador lineal y cerradoA sobre un espacio de Banach no trivial, σp(A)∪σc(A)⊆σap(A).
Demostración. Si λ ∈ σp(A), λ ∈ σap(A) por la proposición 1.30. Si λ ∈ σc(A), Rg(λI−A) ̸=X pero Rg(λI−A) = X, por lo tanto Rg(λI−A) no es cerrado; se deduce que λ∈σap(A)por la proposición 1.30. qed Ejemplo 1.32. Considérese de nuevo el ejemplo 1.27, y sea λ∈q[Ω].
Siλ /∈q[Ω], entonces λ∈σc(Mq)⊆σap(Mq).
Si λ ∈ q[Ω], sean ε > 0 y zλ ∈ Ω tal que λ = q(zλ). Como q es continua,
U := q−1[B
ε/2(zλ)] es abierto en Ω, y como Ω es localmente compacto, existe un entorno V de z tal que V ⊆ U y es compacto. Dado que Ω es completamente regular, existe hε : Ω → [0,1] continua tal que h(zλ) = 1 y h[Ω\V] = {0}; por ende sop(hε) ⊆ V que es compacto y hε ∈ X con
∥hε∥= 1. Por otro lado,
∥(λI −Mq)hε∥= sup v∈V
(λ−q(v))hε(v)
≤sup v∈V
(λ−q(v))∥hε∥
≤ ε
2 < ε, y como ε era arbitrario, λ∈σap(Mq).
Se concluye que σ(Mq) =σap(Mq).
En particular, si Ω⊆C es cerrado y q(z) :=z, σap(Mq) =σr(Mq) = Ω. Este ejemplo ilustra que, en general, σap(A)̸=σp(A)∪σc(A).
Proposición 1.33. Sea A un operador lineal cerrado y densamente definido en el espacio de Banach X. Si existen ω ∈ R y M > 0 tales que [ω,∞[ ⊆ ρ(A) y ∥λR(λ;A)∥ ≤M para todo λ≥ω, entonces
i. Para todo x∈X,
l´ım
λ→∞λR(λ;A)x=x.
ii. Para todo x∈D(A),
l´ım
λ→∞λAR(λ;A)x= l´ımλ→∞λR(λ;A)Ax=Ax.
Demostración. Sea x∈D(A). Entonces
λR(λ;A)x=R(λ;A)(λI−A+A)x=x+R(λ;A)Ax.
Ahora bien, para λ lo bastante grande,
∥R(λ;A)Ax∥ ≤ ∥R(λ;A)∥∥Ax∥ ≤ M λ ∥Ax∥,
de donde
l´ım
λ→∞λR(λ;A)x=x. Se sigue entonces:
i. Puesto que ∥λR(λ;A)∥ ≤ M para λ ≥ ω y D(A) es denso en X, por la
proposición 1.14,
l´ım
λ→∞λR(λ;A)x=x, para todo x∈X.
ii. Ya queA y R(λ;A) conmutan sobreD(A), se puede aplicar el resultado i.:
l´ım
λ→∞λAR(λ;A)x= l´ımλ→∞λR(λ;A)(Ax) = Ax,
para todo x∈D(A). qed
Proposición 1.34. Sea X un espacio normado, y sean A, B ∈ L(X) operadores que conmutan y satisfacen que, para todo n ∈ N, ∥An∥,∥Bn∥ ≤ M. Entonces, para todo x∈X y n ∈N, (An−Bn)x ≤nM2(A−B)x.
Demostración. Como A y B conmutan, se puede escribir
(An−Bn)x= (n−1
∑
i=0
AiBn−1−i
)
(A−B)x,
de donde
∥(An−Bn)x∥ ≤
n∑−1
i=0
AiBn−1−i
(A−B)x
≤n∑−1
i=0
AiBn−1−i(A−B)x
≤nM2(A−B)x. qed
Proposición 1.35. Sea A un operador cerrado y densamente definido en el es-pacio de Banach X, y sea Λ ⊆ ρ(A). Si existe M > 0 tal que ∥λR(λ;A)∥ ≤ M para todo λ∈Λ, entonces, para todo x∈D(A) yλ ∈Λ,
(λR(λ;A)−I)x≤ M
λ ∥Ax∥.
Demostración. Para todo x∈D(A) y λ∈Λ, (
λR(λ;A)−I)x=R(λ;A)(λ−(λ−A))x=R(λ;A)Ax,
de donde
(λR(λ;A)−I
)
x≤ ∥R(λ;A)∥∥Ax∥ ≤ M
λ ∥Ax∥. qed Proposición 1.36. Si A es un operador que satisface las mismas hipótesis del lema anterior y λ,2λ∈Λ, entonces para todo x∈D(A2),
(λR(λ;A)−(2λR(2λ;A))2 )
x ≤
(
M
2λ
)2
A2x.
Demostración. Por la proposición 1.28,
Entonces, para todo x∈D(A2),
λR(λ;A)x−(2λR(2λ;A))2x=(λR(λ;A)−I)x
−(2λR(2λ;A) +I)(2λR(2λ;A)−I)x
=R(λ;A)Ax−(2λR(2λ;A) +I)R(2λ;A)Ax
=(R(λ;A)−R(2λ;A)−2λR(2λ;A)2)Ax
=R(2λ;A)(λR(λ;A)−2λR(2λ;A))Ax
=R(2λ;A)(λR(λ;A)−I−2λR(2λ;A) +I)Ax
=R(2λ;A)(AR(λ;A)−AR(2λ;A))Ax
=R(2λ;A)A(λR(λ;A)R(2λ;A))Ax
=λR(λ;A)R(2λ;A)2A2x,
de donde
λR(λ;A)x−(2λR(2λ;A))2x ≤ ∥λR(λ;A)∥R(2λ;A)2A2x
≤M M
(2λ)2
A2x
= (
M
2λ
)2
A2x,
Capítulo 2
Teoría de semigrupos
En este capítulo se exponen los principales resultados de la teoría clásica de se-migrupos, con muchos ejemplos ilustrativos.
El texto que sirvió de referencia para casi todo el capítulo fue [EN99].
2.1 Semigrupos
Definición 2.1. Dado un espacio de BanachX, una familia de operadores conti-nuos(T(t))
t≥0 sobre X se denomina semigrupo monoparamétrico(o simplemente semigrupo) sobre X si satisface las siguientes condiciones:
T(t+s) = T(t)T(s), para t, s∈[0,∞[, T(0) =I.
Si la primera condición se cumple además para todo t, s ∈ R, la familia se deno-mina grupo monoparamétrico (o simplemente grupo) sobre X.
Ejemplo 2.2.
La ecuación de semigrupo recuerda una de las propiedades de la función exponencial, y con buena razón: dado z ∈ C, la función T(t) := etz define evidentemente un semigrupo (de hecho un grupo) monoparamétrico sobre el espacio C.
Más generalmente, siAes una matriz den×n, la exponencialt 7→etAforma un semigrupo (de hecho un grupo) monoparamétrico sobre el espacio Cn. A continuación se verá que, bajo ciertas hipótesis de continuidad, estas son de alguna manera las únicas soluciones posibles.
Proposición 2.3. Sea X un espacio de Banach, y sea A∈ L(X). Defínase T(t) :=etA =
∞
∑
n=0
(tA)n
n! , t≥0.
Entonces:
i.
(
T(t))
t≥0 es un semigrupo sobre X.
ii. T : [0,∞[ → L(X) es una función continua en la topología de la norma (o
uniforme).
iii. T es una función diferenciable, y satisface la siguiente ecuación diferencial: d
dtT(t) =AT(t), t≥0 T(0) =I.
iv. La única función S : [0,∞[ → L(X) que satisface la anterior ecuación diferencial es S(t) = T(t).
Demostración.
i. Ya que tA conmuta con sA, T(t +s) = e(t+s)A = etAesA = T(t)T(s); y T(0) =e0A=I.
ii. T(·) es la composición de la función exp : L(X) → L(X) con la función t 7→tA, ambas continuas en la topología de la norma.
iii. Dado h≥0,
T(h)−I
h −A
≤
∞
∑
k=2
|h|k−1∥A∥k k! =
e|h|∥A∥−1
|h| − ∥A∥ →0,
cuando h→0. Entonces, para todo t≥0,
d
dtT(t) = l´ımh→0
T(t+h)−T(t)
h = l´ımh→0
T(h)−I
h T(t) =AT(t),
como se quería.
iv. SeaS(t)otra solución a la anterior ecuación diferencial, y seat >0. Defínase Qt(s) :=T(s)S(t−s)para s ∈[0, t]. Entonces
d
dsQt(s) =
(
d dsT(s)
)
S(t−s) +T(s) (
d
dsS(t−s)
)
=AT(s)S(t−s) +T(s)(−A)S(t−s) = 0,
ya que A conmuta con T(s) = esA. Entonces T(t) = Q
t(t) = Qt(0) = S(t) para todot >0, yT(0) =S(0) =I. Se concluye queS =T, como se quería.
qed Definición 2.4. Un semigrupo (T(t))
t≥0 sobre el espacio X se denomina unifor-memente continuo si la función T : [0,∞[→ L(X)es continua en la topología de la norma deL(X).
Teorema 2.5. Todo semigrupoT(·)uniformemente continuo sobre un espacio de Banach X es de la formaT(t) = etA, para algún A∈ L(X).
Demostración. Defínase, para t≥0,
V(t) := ∫ t
0
T(τ)dτ.
Puesto que T(t)es uniformemente continuo, V(t) es diferenciable, yV˙(t) =T(t). En particular,
l´ım t→0+
V(t)
t = ˙V(0) =T(0) =I;
como la convergencia es en la norma de L(X), existe un δ > 0 tal que 1tV(t) (y por lo tantoV(t)) es invertible para t ∈]0, δ]. Se tiene entonces:
T(t) =V(δ)−1V(δ)T(t) =V(δ)−1 (∫ δ
0
T(τ)dτ
)
T(t) = V(δ)−1 ∫ δ
0
T(t+τ)dτ
=V(δ)−1 ∫ t+δ
t
T(τ)dτ =V(δ)−1(V(t+δ)−V(t)).
Se sigue queT(t)es diferenciable. Dado t≥0, la derivada deT se puede calcular como
d
dtT(t) = l´ımh→0+
T(t+h)−T(t)
h = l´ımh→0+
T(h)−I
h T(t) = ˙T(0)T(t).
Sea A := ˙T(0). Entonces dtdT(t) = AT(t) y T(0) = I. Por la proposición 2.3,
T(t) =etA, como se quería. qed
Nota. A la luz del teorema anterior, todo semigrupo uniformemente continuo (
T(t))
t≥0 puede extenderse a todo R o incluso a todo C, preservando tanto la
continuidad uniforme como la ecuación del semigrupo, porque t 7→ etA es una función continua en la topología de la norma para t∈C.
Definición 2.6. Dado un semigrupo uniformemente continuo T(t) =etA, el ope-rador A= ˙T(0) se denomina el generador del grupo.
Cabe preguntarse a este punto si la exigencia de continuidad uniforme es dema-siado restrictiva para los semigrupos. Evidentemente hay, en cualquier espacio de Banach, una solución discontinua:T(t) = 0para t >0.Rno admite otra solución
de forma natural: toda función f : [0,∞[ → R que sea aditiva, discontinua, y distinta de la solución f(t >0) = 0 es inmedible (véase [EN99, ejer. 1.7.(2)]). Por otro lado, en varios espacios de Banach de dimensión infinita es posible de-finir de manera «natural» semigrupos que, sin embargo, no son uniformemente continuos, y por lo tanto no se ajustan a los resultados obtenidos anteriormente.
Ejemplo 2.7. Considérese el espacio de Banach X := C0(Ω) como en el
ejem-plo 1.27, y sea q: Ω→C una función continua tal que
Rq := sup z∈Ωℜ
q(z)<∞.
Dados f ∈X y t ≥0, defínase (
T(t)f)(z) :=etq(z)f(z).
Es claro de la definición que T(·)satisface las dos ecuaciones de semigrupo. Para ver que T(t)∈ L(X) para todot ≥0, basta notar que
(T(t)f)(z)=etq(z)|f(z)|=et·ℜq(z)|f(z)| ≤etRq|f(z)|,
con lo cual T(t)f ∈X, y ∥T(t)∥ ≤etRq.
Si q es acotada, como Mq ∈ L(X) (por el ejemplo 1.27), para toda f ∈X y toda
z ∈Ω se cumple que (
etMqf
) (z) =
( ∞ ∑
n=0
(tMq)n
n! f )
(z) =
∞
∑
n=0 tn
n!(M n qf)(z)
=
∞
∑
n=0
(
t·q(z))n
n! f(z) =etq(z)f(z) =(T(t)f)(z),
de donde T(t) = etMq; se puede aplicar la proposición 2.3 para concluir que T(·)
es un semigrupo uniformemente continuo.
Si, por el contrario, q no es acotada, T(·) no es uniformemente continuo: sea (zn)n∈N⊆Ω una sucesión tal queq(zn)̸= 0 para todo n∈N, y
l´ım
n→∞|q(zn)|=∞.
Sea (fn)n∈N ⊆X una sucesión tal quefn(zn) = 1 =∥fn∥. Entonces
T
( 1
|q(zn)| )
−T(0) ≥
T
( 1
|q(zn)| )
fn−T(0)fn ≥
e|q(zn)q(zn)| −1≥1−1 e >0;
como |q(1z
Sin embargo, cualquiera que seaq : Ω→C(mientras sea continua yRq <∞), las aplicaciones t7→ T(t)f son continuas en la norma de X para todo f ∈ X: dados
f ∈X con ∥f∥ ≤1y ε >0, sea K ⊆Ω compacto tal que, para todoz ∈Ω\K,
|f(z)|< ε
2 (e|Rq|+ 1).
Ya que[0,1]×q[K]es compacto, la función(t, s)7→ets es uniformemente continua para (t, s)∈ [0,1]×q[K]; por lo tanto existe un t0 >0 tal que, para todo z ∈K
y t∈[0, t0], etq(z)−1< ε2. Por este motivo, para todo t∈[0, t0], ∥T(t)f −f∥= sup
z∈Ω
(etq(z)−1)f(z)
≤ ∥f∥sup z∈K
etq(z)−1+(e|Rq|+ 1) sup
z∈Ω\K
|f(z)|
≤ε,
como se quería.
Ejemplo 2.8. Dada una función f : R → C y t ∈ R, se define la traslación a izquierda de t unidades de f como
(
Ti(t)f
)
(x) := f(t+x).
Es evidente que Ti(·) satisface las dos ecuaciones de semigrupo. Las propiedades analíticas deTi(·)dependerán del espacio sobre el cual se defina:
i. Considérese el espacio de Banach
L∞(R) = {f :R→C|f es medible y esencialmente acotada},
con la norma
∥f∥∞:= ´ınf{c≥0 µ({x∈R| |f(x)|> c}) = 0}.
Dado que los únicos requisitos sobre las funciones de L∞(R) son la me-dibilidad y la acotación esencial, no es para nada sorprendente que Ti(·) no sea continuo de ninguna manera: en efecto, sea f := χ[0,∞[, la función
característica. Entonces, para todot >0,
∥Ti(t)f−T(0)f∥∞ ≥ (
Ti(t)f−f ) (
−t
2
)= 1,
demostrando que la aplicación t 7→ Ti(t)f no es continua en la norma de
