Sucesiones

(1)

SUCESIONES

Ver ´onica Brice ˜no V.

(2)

SUCESIONES

En esta Presentaci ´on veremos:

Definici ´on de Sucesici ´on

Conceptos de Acotada, Creciente /Decreciente, Convergencia

Subsucesiones Propiedades

(3)

SUCESIONES

(4)

SUCESIONES

Subsucesiones

Propiedades

(5)

SUCESIONES

(6)

SUCESIONES

(7)

SUCESIONES

Sucesi ´on

Definici ´on

Una sucesi ón de n úmeros reales es una funci ón:

x :N → R

n → x(n) =xn

que asocia a cada n úmero naturalnun n úmero realx(n)que denotaremos porxny que llamamos el n- ésimo t érmino de la

sucesi ´on.

Importante:

Cada t ´ermino lleva una doble informaci ´on: su valor,xny el

lugar quenocupa. Notaci ´on:

(8)

SUCESIONES

Sucesi ´on

Definici ´on

x :N → R

n → x(n) =xn

sucesi ´on.

Importante:

(9)

SUCESIONES

Sucesi ´on

Definici ´on

x :N → R

n → x(n) =xn

sucesi ´on.

Importante:

(10)

SUCESIONES

Sucesi ´on

Definici ´on

x :N → R

n → x(n) =xn

sucesi ´on.

Importante:

(11)

SUCESIONES

Sucesi ´on

Definici ´on

x :N → R

n → x(n) =xn

sucesi ´on.

Importante:

(12)

SUCESIONES

Sucesi ´on

Definici ´on

x :N → R

n → x(n) =xn

sucesi ´on.

Importante:

(13)

SUCESIONES

Ejemplos

x :N → R

n → x(n) = (−1)n

Distinguir de:{−1,1}

{2,4,6,8, ...}y{2n}n∈Ndefinen la misma sucesi ´on.

x1=1,x2=1,xn+1=xn+xn−1,∀n≥2

Se llama sucesi ´on de Fibonacci.

Observaci ´on:

En estos ejemplos hemos mostrados las diferentes formas en que se puede definir una sucesi ´on:

(14)

SUCESIONES

Ejemplos

x :N → R

n → x(n) = (−1)n

x1=1,x2=1,xn+1=xn+xn−1,∀n≥2

Observaci ´on:

(15)

SUCESIONES

Ejemplos

x :N → R

n → x(n) = (−1)n

x1=1,x2=1,xn+1=xn+xn−1,∀n≥2

Observaci ´on:

(16)

SUCESIONES

Ejemplos

x :N → R

n → x(n) = (−1)n

x1=1,x2=1,xn+1=xn+xn−1,∀n≥2

Observaci ´on:

(17)

SUCESIONES

Ejemplos

x :N → R

n → x(n) = (−1)n

x1=1,x2=1,xn+1=xn+xn−1,∀n≥2

Observaci ´on:

Extensi ´on

(18)

SUCESIONES

Ejemplos

x :N → R

n → x(n) = (−1)n

x1=1,x2=1,xn+1=xn+xn−1,∀n≥2

Observaci ´on:

Extensi ´on Comprensi ´on

(19)

SUCESIONES

Ejemplos

x :N → R

n → x(n) = (−1)n

x1=1,x2=1,xn+1=xn+xn−1,∀n≥2

Observaci ´on:

(20)

SUCESIONES

Mas Ejemplos

Las progresiones geom ´etricas corresponden a una sucesi ´on del tipo:

x :N → R

n → x(n) =arn−1

y las progresiones aritm ´eticas corresponden a una sucesi ´on de la forma:

x :N → R

n → x(n) =a+ (n−1)d

Escribir el t érmino n-esimo de{1,0,1,0,1,0, ...}. Encontrar el d écimo t érmino de la sucesi ón:{1_n}.

(21)

SUCESIONES

Mas Ejemplos

x :N → R

n → x(n) =arn−1

x :N → R

n → x(n) =a+ (n−1)d

Escribir el t ´ermino n-esimo de{1,0,1,0,1,0, ...}.

Encontrar el d écimo t érmino de la sucesi ón:{1_n}.

(22)

SUCESIONES

Mas Ejemplos

x :N → R

n → x(n) =arn−1

x :N → R

n → x(n) =a+ (n−1)d

(23)

SUCESIONES

Mas Ejemplos

x :N → R

n → x(n) =arn−1

x :N → R

n → x(n) =a+ (n−1)d

(24)

SUCESIONES

Algebra de Sucesi ´on

SeaX ={xn}yY ={yn}dos sucesiones,α∈R. Se define:

αX como la sucesi ´on{αxn}

X +Y como la sucesi ´on{xn+yn}

X ·Y como la sucesi ´on{xn·yn}

Siyn6=0, entoncesX/Y como la sucesi ´on

n

xn

yn

o

Ejemplos:

(25)

SUCESIONES

Algebra de Sucesi ´on

n

xn

yn

o

Ejemplos:

(26)

SUCESIONES

Algebra de Sucesi ´on

n

xn

yn

o

Ejemplos:

(27)

SUCESIONES

Algebra de Sucesi ´on

n

xn

yn

o

Ejemplos:

(28)

SUCESIONES

Algebra de Sucesi ´on

n

xn

yn

o

Ejemplos:

(29)

SUCESIONES

Algebra de Sucesi ´on

n

xn

yn

o

Ejemplos:

(30)

SUCESIONES

Algebra de Sucesi ´on

n

xn

yn

o

Ejemplos:

(31)

SUCESIONES

Sucesi ´on acotada

Una sucesi ´onX ={xn}se dice:

Acotada superiormente, si existeM ∈Rtal quexn≤M

para todon.

Acotada inferiormente, si existem∈Rtal quexn≥mpara

todon.

(32)

SUCESIONES

Sucesi ´on acotada

para todon.

todon.

(33)

SUCESIONES

Sucesi ´on acotada

para todon.

todon.

(34)

SUCESIONES

Ejemplos

Estudiar si son acotadas o no, las siguientes sucesiones:

{1

n}

{(−1)n}

xn = (1+1_n)n

xn =sen(n2+1)

(35)

SUCESIONES

Ejemplos

{1

n}

{(−1)n}

xn = (1+1_n)n

xn =sen(n2+1)

(36)

SUCESIONES

Ejemplos

{1

n}

{(−1)n}

xn = (1+1_n)n

xn =sen(n2+1)

(37)

SUCESIONES

Ejemplos

{1

n}

{(−1)n}

xn = (1+1_n)n

xn =sen(n2+1)

(38)

SUCESIONES

Ejemplos

{1

n}

{(−1)n}

xn = (1+1_n)n

xn =sen(n2+1)

(39)

SUCESIONES

Sucesi ´on Creciente o Decreciente

Creciente si para cadanse verifica:xn≤xn+1

Estrictamente creciente si para cadanse verifica:

xn <xn+1

Decreciente si para cadanse verifica:xn≥xn+1

Estrictamente decreciente si para cadanse verifica:

xn >xn+1

(40)

SUCESIONES

Sucesi ´on Creciente o Decreciente

xn <xn+1

xn >xn+1

(41)

SUCESIONES

Sucesi ´on Creciente o Decreciente

xn <xn+1

xn >xn+1

(42)

SUCESIONES

Sucesi ´on Creciente o Decreciente

xn <xn+1

xn >xn+1

(43)

SUCESIONES

Sucesi ´on Creciente o Decreciente

xn <xn+1

xn >xn+1

(44)

SUCESIONES

Ejemplos

Estudiar si son crecientes o decrecientes las siguientes sucesiones:

{1

n}

{(−1)n}

xn = (1+1_n)n

xn =sen(n)

{1,2,3,4,5...}

(45)

SUCESIONES

Ejemplos

{1

n}

{(−1)n}

xn = (1+1_n)n

xn =sen(n)

{1,2,3,4,5...}

(46)

SUCESIONES

Ejemplos

{1

n}

{(−1)n}

xn = (1+1_n)n

xn =sen(n)

{1,2,3,4,5...}

(47)

SUCESIONES

Ejemplos

{1

n}

{(−1)n}

xn = (1+1_n)n

xn =sen(n)

{1,2,3,4,5...}

(48)

SUCESIONES

Ejemplos

{1

n}

{(−1)n}

xn = (1+1_n)n

xn =sen(n)

{1,2,3,4,5...}

(49)

SUCESIONES

Ejemplos

{1

n}

{(−1)n}

xn = (1+1_n)n

xn =sen(n)

{1,2,3,4,5...}

(50)

SUCESIONES

Convergencia

Intuitiva

El concepto de convergencia indica que a partir de un

determinadonen adelante (a medida quencrece), los valores que toma la sucesi ón est án muy cerca un n úmeroL.

Se dice que la sucesi ´on converge a esteL.

Formal

SeaL∈_R.Una sucesi ´on{xn}es CONVERGENTE, si

∀ >0,∃N∈N,n≥N ⇒ |xn−L|<

Notaci ´on:

(51)

SUCESIONES

Convergencia

Intuitiva

Formal

∀ >0,∃N∈N,n≥N ⇒ |xn−L|<

Notaci ´on:

(52)

SUCESIONES

Convergencia

Intuitiva

Formal

∀ >0,∃N∈N,n≥N ⇒ |xn−L|<

Notaci ´on:

(53)

SUCESIONES

Convergencia

Intuitiva

Formal

∀ >0,∃N∈N,n≥N ⇒ |xn−L|<

Notaci ´on:

(54)

SUCESIONES

Convergencia

Intuitiva

Formal

∀ >0,∃N∈N,n≥N ⇒ |xn−L|<

Notaci ´on:

(55)

SUCESIONES

Convergencia

Intuitiva

Formal

∀ >0,∃N∈N,n≥N ⇒ |xn−L|<

Notaci ´on:

(56)

SUCESIONES

Convergencia

Intuitiva

Formal

∀ >0,∃N∈N,n≥N ⇒ |xn−L|<

Notaci ´on:

(57)

SUCESIONES

Observaciones

1 |_x

n−L|< ssixn∈]L−,L+[

Luego, la definici ´on de convergencia nos dice que a partir deN en adelante los valores dexnse encuentran en

{xN,xN+1,xN+2, ...}.

(58)

SUCESIONES

Observaciones

1 |_x

n−L|< ssixn∈]L−,L+[

Luego, la definici ´on de convergencia nos dice que a partir deN en adelante los valores dexnse encuentran en

{xN,xN+1,xN+2, ...}.

(59)

SUCESIONES

Convergencia

Definici ´on

Una sucesi ´on que posee l´ımite se dir ´a convergente, en caso contrario se dice divergente.

Teorema

Teorema:

(60)

SUCESIONES

Convergencia

Definici ´on

Teorema

Teorema:

(61)

SUCESIONES

Convergencia

Definici ´on

Teorema

Teorema:

(62)

SUCESIONES

Convergencia

Definici ´on

Teorema

Teorema:

(63)

SUCESIONES

Convergencia

Definici ´on

Teorema

Teorema:

(64)

SUCESIONES

Ejemplos

Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones:

{1_n}

{(−1)n}

xn = (1+1_n)n

xn =sen(n)

xn =an,a∈R

xn = _n₊n₁

{22

5, 32

10, 42

17, 52

(65)

SUCESIONES

Ejemplos

{1_n} {(−1)n}

xn = (1+1_n)n

xn =sen(n)

xn =an,a∈R

xn = _n₊n₁

{22

5, 32

10, 42

17, 52

(66)

SUCESIONES

Ejemplos

{1_n} {(−1)n}

xn = (1+1_n)n

xn =sen(n)

xn =an,a∈R

xn = _n₊n₁

{22

5, 32

10, 42

17, 52

(67)

SUCESIONES

Ejemplos

{1_n} {(−1)n}

xn = (1+1_n)n

xn =sen(n)

xn =an,a∈R

xn = _n₊n₁

{22

5, 32

10, 42

17, 52

(68)

SUCESIONES

Ejemplos

{1_n} {(−1)n}

xn = (1+1_n)n

xn =sen(n)

xn =an,a∈R

xn = _n₊n₁

{22

5, 32

10, 42

17, 52

(69)

SUCESIONES

Ejemplos

{1_n} {(−1)n}

xn = (1+1_n)n

xn =sen(n)

xn =an,a∈R

xn = _n₊n₁

{22

5, 32

10, 42

17, 52

(70)

SUCESIONES

Ejemplos

{1_n} {(−1)n}

xn = (1+1_n)n

xn =sen(n)

xn =an,a∈R

xn = _n₊n₁

{22

5, 32

10, 42

17, 52

(71)

SUCESIONES

Algebra de L´ımites:

Si{xn} →Ay{yn} →B. Entonces:

{xn+yn} →A+B

{xn·yn} →A·B

(72)

SUCESIONES

Algebra de L´ımites:

{xn+yn} →A+B

{xn·yn} →A·B

(73)

SUCESIONES

Algebra de L´ımites:

{xn+yn} →A+B

{xn·yn} →A·B

(74)

SUCESIONES

Algebra de L´ımites:

{xn+yn} →A+B

{xn·yn} →A·B

(75)

SUCESIONES

Ejemplo

Calcular el l´ımite de la sucesi ´on que tiene t ´ermino general:

xn =log(1_n)

xn = 3n 4₊₂_n₊₁

(76)

SUCESIONES

L´ımites Infinitos

Definici ´on

Sea(xn)una sucesi ´on. Se dice que{xn}:

Tiende (o converge) a infinito cuandontiende a infinito, si para todoK >0,∃N ∈_Ntal quen≥N⇒xn>K.

En tal caso, escribiremoslimn→∞xn=∞

Tiende (o converge) a menos infinito, cuandontiende a infinito, si para todoK <0,∃N ∈Ntal que

n≥N⇒xn<K.

(77)

SUCESIONES

L´ımites Infinitos

Definici ´on

n≥N⇒xn<K.

(78)

SUCESIONES

L´ımites Infinitos

Definici ´on

Sea(xn)una sucesi ´on.

Se dice que{xn}:

n≥N⇒xn<K.

(79)

SUCESIONES

L´ımites Infinitos

Definici ´on

n≥N⇒xn<K.

(80)

SUCESIONES

L´ımites Infinitos

Definici ´on

n≥N⇒xn<K.

(81)

SUCESIONES

L´ımites Infinitos

Definici ´on

n≥N ⇒xn<K.

(82)

SUCESIONES

L´ımites Infinitos

Definici ´on

n≥N ⇒xn<K.

(83)

SUCESIONES

L´ımites Infinitos

Definici ´on

n≥N ⇒xn<K.

(84)

SUCESIONES

Ejemplos

{(−1)n2}

xn = n 2

5n

Observaci ´on

(85)

SUCESIONES

Ejemplos

{(−1)n2}

xn = n 2

5n

Observaci ´on

(86)

SUCESIONES

Ejemplos

{(−1)n2}

xn = n 2

5n

Observaci ´on

(87)

SUCESIONES

Ejemplos

{(−1)n2}

xn = n 2

5n

Observaci ´on

(88)

SUCESIONES

Ejemplos

{(−1)n2}

xn = n 2

5n

Observaci ´on

(89)

SUCESIONES

Teorema:

Si{xn},{yn}sucesiones. Entonces:

Silimx→∞xn=∞;{yn}, es una sucesi ´on acotada

inferiormente entonces

limx→∞(xn+yn) =∞

Silimx→∞xn=∞; y existeα >0 tal queyn> α,∀n∈N

entonces

limx→∞(xn·yn) =∞

Silimx→∞xn=0;xn>0∀n∈N, y existeα >0 tal que

yn> α,∀n∈Nentonces

limx→∞(

xn

(90)

SUCESIONES

Teorema:

Silimx→∞xn=∞; y existeα >0 tal queyn> α,∀n∈N

entonces

yn > α,∀n∈Nentonces

limx→∞(

xn

(91)

SUCESIONES

Teorema:

Silimx→∞xn=∞; y existeα >0 tal queyn > α,∀n∈N

entonces

limx→∞(

xn

(92)

SUCESIONES

Teorema:

Silimx→∞xn=∞; y existeα >0 tal queyn > α,∀n∈N

entonces

limx→∞(

xn

(93)

SUCESIONES

Subsucesi ´on

Definici ´on

Sea{xn}una sucesi ´on.

Entonces una subsucesi ´on{x_nk}de{xn}es una nueva

sucesi ´on que se forma considerando algunosndigamos

n1,n2,n3...que cumplenn1<n2<n3< ....

Una subsucesi ón de una sucesi ón corresponde a efectuar una composici ón (por la derecha) de la sucesi ón original con una funci ónϕ:N→Nque sea estrictamente creciente.

Ejemplos

Dada a la sucesi ´on{xn}, extraer una subsucesi ´on de la forma

{x1,x3,x5, ...}.

Qu ´e forma tieneϕ?

(94)

SUCESIONES

Subsucesi ´on

Definici ´on

Ejemplos

{x1,x3,x5, ...}.

(95)

SUCESIONES

Subsucesi ´on

Definici ´on

Ejemplos

{x1,x3,x5, ...}.

(96)

SUCESIONES

Subsucesi ´on

Definici ´on

Ejemplos

{x1,x3,x5, ...}.

(97)

SUCESIONES

Subsucesi ´on

Definici ´on

Ejemplos

{x1,x3,x5, ...}.

(98)

SUCESIONES

Subsucesi ´on

Definici ´on

Ejemplos

{x1,x3,x5, ...}.

(99)

SUCESIONES

Subsucesi ´on

Definici ´on

Ejemplos

{x1,x3,x5, ...}.

(100)

SUCESIONES

Teoremas

Si(xn)es una sucesi ón convergente aL, entonces toda subsucesi ón(xnk)converge y tambi én aL.

(xn)→L1; (yn)→L2;xn<yn,∀n∈NEntonces,L1<L2

Toda sucesi ´on convergente es acotada.

(101)

SUCESIONES

Teoremas

(102)

SUCESIONES

Teoremas

(103)

SUCESIONES

Teoremas

(104)

SUCESIONES

Teoremas

Toda sucesi ´on creciente y acotada superiormente

converge. De manera similar, toda sucesi ´on decreciente y acotada inferiormente converge.

Sandwich: Sean sucesiones(xn),(yn),(zn). Supongamos quelimn→∞xn=L=limn→∞yny que se cumple

xn ≤zn≤ynparan≥N. Entonces(zn)converge y

limn→∞zn=L.

Silimx→∞f(x) =L, y consideramos la sucesi ´onxn=f(n),

entonceslimn→∞xn=L.

Si(xn)es una sucesi ´on que converge a cero y(yn)es una sucesi ´on acotada entonces(xn·yn)converge a cero.

SeaA⊂_Run conjunto que es uni ón de intervalos abiertos. Seaf :A→Runa funci ón ya∈A. La funci ónf

es continua enasi y solo si para toda sucesi ´on(an)con

(105)

SUCESIONES

Teoremas

limn→∞zn=L.

(106)

SUCESIONES

Teoremas

limn→∞zn=L.

(107)

SUCESIONES

Teoremas

limn→∞zn=L.

(108)

SUCESIONES

Teoremas

limn→∞zn=L.