B.Gómez. DID. MAT.U.V. 1
El n
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ú
ú
mero y el c
mero y el c
á
á
lculo
lculo
Departamento de Matemática Educativa. CINVESTAV del IPN. de México.
Bernardo Gómez Alfonso
Maestría en educación. Especialidad Matemáticas Departamento de Didáctica de las matemáticas.
•
Análisis de los algoritmos escritos
•
El cálculo pensado y el cálculo mental. Estrategias
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Objetivo: Diferenciar los distintos tipos de cálculo aritmético. Caracterizar su evolución histórica en los libros de texto. Hacer el análisis de los algoritmos, poniendo de relieve los hechos del sistema de numeración y las propiedades aritméticas que los sustentan.
Objetivo, método y finalidad
Metodología: Presentación y análisis de distintas situaciones numéricas que involucran el cálculo aritmético. De este análisis se derivan las tareas que se proponen para ser resueltas en el “taller” posterior, con el objetivo de completar la reflexión y consolidar las ideas más relevantes.
C
Cáálculo, lculo, del latín calculus, que quiere decir «guijarro» y, por extensión «bola» , «ficha» y «peón».
Hace referencia no sólo a las antiguas técnicas de cálculo sobre el ábaco, sino también al método, todavía más primitivo, del montón de piedras ...
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El cálculo mental no debe confundirse con el cálculo estimado y éste no debe confundirse con el cálculo aproximado. Se diferencian en que:
• El cálculo mental trabaja con datos exactos.
• El cálculo estimado y el cálculo aproximado no.
El cálculo estimado y el cálculo aproximado se diferencian en que:
1. El cálculo estimado trabaja con datos que proceden de un juicio o valoración. Suelen ser números redondos, acabados en cero, para aprovechar las ventajas de nuestro sistema de numeración
2. El cálculo aproximado trabaja con datos que proceden de la medición. Están condicionados por la inexactitud de los instrumentos de medida, lo que obliga a trabajar con números decimales
Nota de prensa: El Partido de la oposición llevó 4,000,000 de firmas en 10 camionetas a la Cámara de los Diputados.
¿Es razonable usar 10 camionetas para 4,000,000 de firmas? ¿Llevaban cajas de paquetes de papeles sin firmas?
¿Cuántas?
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En una hoja de firmas hay, como mínimo, 10 firmas por hoja. Supondremos que hay 10 firmas por hoja y que las hojas NO SON A DOBLE CARA
Pues: 4,000,000 firmas / 10 firmas por hoja = 400,000 hojas 1º ¿Cuántas hojas se necesitarán?
Pues: 400,000 hojas / 500 hojas = 800 paquetes de 500 hojas 2º ¿Cuántos paquetes de 500 hojas se necesitarán?
3º ¿Cuánto ocupa un paquete de 500 hojas de DIN-A4? Pues: 297 x 210 x 55 mm = 0.0034 m3
Una furgoneta de segmento medio tiene una
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5º ¿Cuántas camionetas de 7,3 m
3se necesitan para
transportar 2,74 m
3que ocupan las firmas?
Si para transportar 2.74 m3 necesitaron 10 camionetas de 7.3 m3 de
capacidad,
Los métodos de cálculo mental no son en esencia diferentes de los métodos de cálculo escritos.
Nada hay en ellos que permita decir “éste es un método de cálculo mental” o “éste es un método de cálculo escrito”.
Esto es así, porque los métodos de cálculo de la aritmética elemental se basan en los mismos principios, hechos y propiedades.
Son los mismos métodos, es el uso mental o escrito que se hace de ellos lo que los denomina.
B.Gómez. DID. MAT.U.V. 11 ¿Mental o escrito?
728. Cuando uno de los factores se compone de un número formado por uno o más nueves, la operación de multiplicar puede suplirse por una resta.
ANAYA (1993).
1.1) Base diez, 9 cifras, el cero.
1.2) Doble valor de la cifra: forma/posición
1.3) Representaciones alternativas: Posicional, Multiplicativas,
Polinómica/Científica, Orden de unidad, Equivalencias: 5= 10/2; …
Los principios que rigen el cálculo
1. Los hechos del sistema de numeración:
99=100-1
3. El principio director.
Usar números redondos. 2. Los propiedades de
las operaciones:
Distributiva: 42x(100-1).
B.Gómez. DID. MAT.U.V. 13 Los métodos de cálculo de la aritmética elemental han sido presentados en los libros de texto bajo enfoques diferentes:
• Reglas
• Cálculo abreviado
• Aritmética mental
• Cálculo mental
• Algorítmos
Enfoques de los métodos de cálculo elemental y su
Hasta mediado del siglo XIX, la enseñanza del cálculo aritmético tenía un nivel de exigencia que hoy consideraríamos excesivo.
Se necesitaban expertos calculistas que resolvieran con rapidez y seguridad las cuentas que se les plantearan.
Estos calculistas, eran profesionales que conocía diferentes algorítmos de tal modo que podían usar el más adecuado en cada operación y situación.
La enseñanza, reflejada en los libros de texto, consistía en presentar varios algoritmos para cada una de las operaciones, de forma reglada y retórica.
En esta época no se hace mención al cálculo de “memoria” o “mental”.
Las reglas
B.Gómez. DID. MAT.U.V. 15
La forma reglada y retórica
Pérez de Moya, 1563)
REGLA PARA EL SEIS
Cuando multiplicares un número dígito por otro, si el uno de ellos fuere 6, o ambos,
añade al número menor tantos dieces como unidades hubiere en la mitad del número menor.
Ejemplo, ¿2 veces 6 cuánto es?
B.Gómez. DID. MAT.U.V. Pérez de Moya, 1563. 16 REGLA PARA EL NUEVE
Todas las veces que multiplicando un número dígito por sí mismo, o por otor, el uno, o ambos fueren nueves, se tendrá esta regla.
Quita uno del número menor, y los que quedare serán dieces, y mira desto que quedare cuanto falta para nueve, y lo que faltare serán unidades, y juntase han con los dieces,
como por los ejemplos mejor entenderás.
B.Gómez. DID. MAT.U.V. 17 La implantación del sistema general y público de educación, en el siglo XIX, obligó a establecer un contenido común que se tradujo en un programa que limitaba la enseñanza del cálculo a “las cuatro reglas”.
Bajo la forma de métodos alternativos, algunos libros de aritmética, reformularon los viejos métodos reglados como métodos particulares para el cálculo abreviado.
En ningún caso formaron parte de la enseñanza común.
729. Multiplicar un número cualquiera por 45; por ejemplo 864.
864 x 100 ………..………. 86400 Mitad de 86400 ………..……….. 43200 Esta 1/2, corriendo un lugar a la derecha … - 43200 Diferencia, que es el producto ……… 38880
Dalmau Carles. 1900.
B.Gómez. DID. MAT.U.V. 19 Una vieja teoría, que consideraba que la mente se constituía por facultades, que como músculos se fortalecen y forman con el entrenamiento.
Llevó a considerar la "disciplina mental" como un objetivo educativo, algo que se concretó, a finales del XIX, en una enseñanza con materias apropiadas para este fin.
Entre ellas, destacó la Aritmética mental.
Bajo este nombre se reproducían en los libros de texto largos listados de operaciones con números para ser resueltos una y otra vez de cabeza.
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La aritmética
mental en un
texto de
comienzos del XX
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Poco a poco se irá abandonando la teoría de las facultades hasta llegar a otra más orientada al utilitarismo y a las aplicaciones de la vida real.
Bajo esta idea se asocia el término “cálculo mental” a un tipo de cálculo que pretende desarrollar la “agilidad mental y el “cálculo rápido”.
Se enmarca en un programa de enseñanza de la aritmética que asume a el lenguaje simbólico, horizontal, de igualdades y paréntesis del álgebra.
Este lenguaje unifica la descripción, el ejemplo y el fundamento de los métodos de cálculo, como realización de las propiedades de las operaciones
Anaya. Azimut., 1987. p. 116 y 117
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Hoy, se entiende por cálculo mental un tipo de cálculo con números de pocas cifras que utiliza métodos alternativos.
Se puede justificar su enseñanza en un programa de cálculo flexible. Esto es, cálculo mental, estimado, con calculadora o con algoritmos estándar, según convenga a la situación numérica (momento, tamaño y características de los números involucrados).
Se trataría de disminuir el énfasis puesto en el cálculo escrito mecánico y rígido para favorecer la disponibilidad de métodos basados en el conocimiento y la compresión de los conceptos relacionados con la operatoria.
La enseñanza del cálculo flexible plantea la necesidad de integrar la enseñanza del cálculo mental con la del algoritmo escrito.
Esta idea va dirigida contra la práctica escolar de ejercitar el cálculo mental después del cálculo escrito, ya que esto produce que muchos alumnos tiendan a resolver el problema de cálculo mental emulando las técnicas del cálculo escrito.
Un programa de integración de la enseñanza del cálculo mental, no debería buscar la rapidez, la inmediatez, o la uniformidad en los procedimientos, sino el análisis de las situaciones numéricas basado en los hechos del sistema de numeración, en el significado y en las propiedades de las cuatro operaciones.
B.Gómez. DID. MAT.U.V. 25 ¿De qué maneras diferentes se puede resolver 25 x 48?
Descomponiendo y distribuyendo:
25x48 = 25 x (40 + 8) = 25 x 40 + 25 x 8 = ... 25x48 = (20 + 5) x 48 = 20 x 48 + 5 x 48 = ...
25x48= (20+5)x(40+8) =20x40+5x40+20x8 + 5x8
Transformando el producto en división: 25x48 = 100x(48:4) = ...
Redondeando : 25x48=25x (50-2) =25x50-25x2= ...
Factorizando: 25x48= 5x5x6x8 =5x6x5x8=30x40 = ...
“Doble y mitad”: 25x48= 50x24 = 100x12 = …
Promediando: 25x48= (20x48+30x48):2 = …
Como en el algoritmo usual
B.Gómez. DID. MAT.U.V. 27 El análisis de la suma
Usando el lenguaje horizontal del álgebra se ven las propiedades (asociativa) y los hechos de la numeración (descomposición por orden de unidad) que sustentan la operatoria.
Se hace por
Conteo ascendente,
Conmutación: 8+3 en vez de 3+8
Descomposición: 6+7= (6+6)+1; 6+7=(6+4)+3
Compensación: 7+7 en vez de 6+8; 10+7 en vez de 9+8
1er Caso.
Suma de dos números de una cifra.
2º Caso.
Suma de dos números, al menos uno de más de una cifra
Se reduce al caso anterior, descomponiendo los sumandos por órdenes de unidad, para hacer sumas parciales de una cifra:
La práctica de la suma se puede optimizar usando columnas
80 + 3 = 83 70 + 10+3 = 70 + 13 = + 30 + 8
40 + 5
B.Gómez. DID. MAT.U.V. 29 486 +758 13 11 14 1244 486 +758 11 13 14 1244
Otras formas de usar columnas
3435 +3635 70 70 7070 486 +758 111 134 1244
¿Qué reglas se han seguido en estos algoritmos de columnas?
1 2 3 4
El análisis de la resta
Se hace por
Conteo descendente, cuando la diferencia es grande: 14 -3.
Conteo ascendente, cuando la diferencia es pequeña: 12 -9.
No es posible la conmutativa.
Descomposición: 12-6=(6+6)–6=6+(6-6)
Compensación: 17-9=(17+1)-(9+1)=18-10 1er Caso.
Resta de un número de una cifra.
2º Caso.
Resta de un número de más de una cifra.
2.1) Todas las cifras del minuendo son mayores que las del sustraendo.
Se reduce al caso anterior descomponiendo los datos por órdenes de unidad, para hacer restas parciales de una cifra:
67-41=(60+7)-(40+1)=(60-40)+(7-1)=20+6
B.Gómez. DID. MAT.U.V. 31 La conservación
Da lugar al método de compensación con dos variantes:
2.2) Hay cifras en el substraendo mayores que las correspondientes del minuendo: 54 -27
El complemento
54 + 3 57
- 27 + 3 - 30
El doble valor de 1 50 + 14 5 414
- 30 + 7 -21 7
La descomposición Da lugar al método de reagruparmiento natural
El préstamo
54 40 + 14 4 14 -27 -20 + 7 -2 7 54 + 10
Preguntas y problemas
¿Qué reglas se han seguido en este algoritmo de columnas?
3043 -2139 04 09 0904
1654321654321
-876543876543
B.Gómez. DID. MAT.U.V. 33 El análisis de la multiplicación
Se hace
Conmutando: 7 x 8 en vez de 8 x 7
Doblando: 2 x 2 x 6 en vez de 4 x 6
Descomponiendo y distribuyendo. 6x5 = (5+1)x5
98x101=9898
Compensando: 5x6=10x3;
9x8=(10-1)x8=10x8-8
49x51=50x50-1 1er Caso.
Números de una cifra.
2º Caso.
Algún número es de varias cifras
Se reduce al caso anterior descomponiendo los factores por órdenes de unidad, para obtener productos parciales de una cifra.
2.2). Los dos números son de varias cifras
23x27 = (20+3) x (20+7) =
= 20x20+ 20x7 + 3x20 + 3x7 2.1). Un número es de una cifra y el otro de varias.
La práctica de la multiplicación se puede optimizar usando tablas de doble entrada y columnas :
Ejemplo: 27 x 23 = (20 + 7) x (20 + 3) =400+60+140+21=
Los cuatro productos
20 + 3
7 7x20 7x3
+
20 20x20 20x3 1
Productos parciales
20 + 3
7 140 21
+
20 400 60 2
Suma por columnas Sumando por filas
20 + 3
7 140 + 21 = 161
+ +
20 400 + 60 = 460
621 3 Estándar 23 x 27 161 7 46 2 621 5 4 Posicional 2 3
1 6 1 7
4 6 0 2
B.Gómez. DID. MAT.U.V. 35 23 27 140 400 21 60 621 23 27 14 4 21 6 621 23 27 21 4 14 6 621 234 67 134 201 268 15678
Otras formas de usar “columnas” en la multiplicación
Pérez de Moya, 1563
¿Qué reglas se han seguido en estos algoritmos para multiplicar 7435 x 327?
¿Cómo se puede hacer esta multiplicación con una calculadora normal de ocho dígitos?
43214321 X 43214321
B.Gómez. DID. MAT.U.V. 37 El análisis de la división
1. Cociente y divisor de una cifra.
Adición. Se suma el divisor consigo mismo hasta obtener el dividendo
Sustracción. Se resta el divisor del dividendo tantas veces como se pueda
Multiplicación. Se busca en la
tabla de multiplicar de modo inverso o por tanteo
3. Cociente de varias cifras
Se reduce al caso 2.
2. Cociente de una cifra, divisor de varias
Ejemplo : 3456 : 789.
El divisor termina en ceros: 435 ÷ 70
¿Cuánto vale el cociente y cuanto el resto en las siguientes divisiones
Preguntas
El dividendo termina en ceros: 4350 ÷ 7
Dividendo y divisor terminan en ceros:
B.Gómez. DID. MAT.U.V. 39 3. Cociente de varias cifras. Los ceros
El dividendo termina en ceros: 4350 ÷ 7
Se divide con los ceros
4350 7
15 621
10
3
Dividendo y divisor terminan en ceros:
4350 ÷ 70
Se quita el mismo número de ceros en el dividendo y en el divisor y se divide.
Explicación 10D÷10d = D÷d.
435 7
15 62
1
Atención al cociente y al resto:
D=dq+r ↔ 10D= 10dq+10r.
El cociente q es el mismo, pero el resto no. En un caso es r y en el otro 10r.
El divisor termina en ceros: 435 ÷ 70
Se quitan los ceros, se pone la coma decimal …
Explicación D÷d=D/10÷d/10
43’5 7
1 5 6’2
1
Atención al cociente y al resto:
D/10=d/10·q+r ↔ D=dq+r/10
Ejemplo: 844:4
(800+40+4):4 = 800:4+40:4+4:4
= 200 + 10 + 1 =211
Al descomponer el dividendo en una suma de números acabados en sucesión decreciente de ceros, el cociente será una suma de números acabados en sucesión decreciente de ceros.
Por lo tanto será la descomposición decimal de un número cuyas cifras son las cifras significativas de cada uno de los sumandos.
Las divisiones parciales son enteras y exactas
Extendido 844 4
-800 200+10+1 44 -40 4 -4 Abreviado 844 4 -8 211
4 -4
4 -4 40 4
-40 10 Expandido
800 4 -800 200
B.Gómez. DID. MAT.U.V. 41 Las divisiones parciales no son enteras y exactas
Ejemplo: 765:4 = (700+60+5):4 = 700:4 + 60:4 + 5:4 Aparecen restos parciales
700 4 -400 100
300
60 4 -40 10
20
5 4 -4 1
1
Se puede reagrupar antes de seguir dividiendo:
700+60+5 4 -400 100
300+60 70 - 280
80+5
Si al resto parcial obtenido se le añade la siguiente suma parcial de la descomposición del dividendo, se obtiene un nuevo dividendo parcial que termina con un cero menos, lo que permite sacar un cociente parcial también con un cero menos que el anterior, lo que es fundamental para obtener la suma de números acabados en sucesión decreciente de ceros, cuyas cifras significativas son una a una las cifras del cociente total.
La división larga se puede abreviar con la regla de multiplicar y restar a un tiempo
3
“3x5, 15 y 1, 16, a 19 son 3 5
“3x4, 12 y 1, 13, a 18 son 5 Se procede cifra a cifra,
1987654 543
8 3
B.Gómez. DID. MAT.U.V. 43 Explica qué tipos de calculo haces para responder : estimado, aproximado, mental o escrito. ¿Usas alguna estrategia?
• Una determinada ciudad reclama 400 hm3 de agua para cubrir sus necesidades. Para dar una idea de la magnitud de esta petición tómese como referencia el estadio Azteca e Imagínese que es un recipiente que se puede llenar de agua. ¿Sería suficiente para atender la demanda o se necesitarían más estadios? Nota: Las medidas oficiales de un campo de fútbol son : 105x68 m2
• Imaginemos que la Avenida Reforma se vuelve en un recipiente en forma de prisma. ¿Cuánta agua cabría?
• El partido de la oposición llevó 4,000,000 de firmas en 10 furgonetas llenas de “palets” con cajas de paquetes de hojas de firmas. ¿Cuántos paquetes estaban llenos de papeles falsos sin firmas?
Usando el lenguaje horizontal explica las siguientes reglas:
• Regla del 6. añade al número menor tantos dieces como unidades hubiere en la mitad del número menor.
• Regla del 9. Quita uno del número menor, y los que quedare serán dieces, y
mira desto que quedare cuanto falta para nueve, y lo que faltare serán unidades, y juntase han con los dieces.
• Para multiplicar un número cualquiera por 45, toma la mitad del número, y le restas de sí misma corriendo un lugar a la derecha. El resultado es el
producto.
B.Gómez. DID. MAT.U.V. 45 Preguntas
9458 72
-7 131
24 -2 225 -21
15 -6
98 -7
28 -2 26
Referencias
ANAYA (Serie de libros de texto. Ed. de 1993). Matemáticas 4º Primaria. L. Ferrero, I. Gaztelu, Mª J. Luelmo, P. Mastín y L. Martínez. Grupo Anaya. Madrid.
ANAYA (Serie de libros de texto. Ed. de 1987). Azimut. Matemáticas 4º Primaria. Equipo Signo: Manuela A. Gómez Vázquez, Juan Alvaro Muñoz Gómez. Grupo Anaya. Madrid.
Bruño. Serie
Dalmáu Carles. J. (Serie. Ed de 1944). Aritmética razonada y Nociones de álgebra. Tratado teórico-práctico demostrado con aplicación a las diferentes cuestiones mercantiles para uso de las Escuelas Normales y de las de Comercio. Nueva Edición corregida y aumentada. Libro del alumno. Grado profesional. Ed. Dalmáu Carles. 1898. Gerona.
Gómez, B. (1986). Numeración y cálculo. Síntesis. Madrid.
Gómez, B. (1995). Los métodos de cálculo mental en el contexto educativo: un análisis en la formación de profesores. Mathema. Ed. Comares. Granada.
Gómez, B. (2006). La enseñanza del cálculo mental. Unión. Revista Latinoamericana de Educación Matemática. Diciembre de 2005. Nº 4. Pág 17-29. ISBN 1815-0640
