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(1)

RESERVA _ 2 _ 2013

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13

3

O OppcciióónnAA 1 1..--

a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 3I - 2X + XA = B, suponiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad).

b) Si A = 2 0

-5 -3 , calcula la matriz X que cumple AX = I, donde I es la matriz identidad de orden 2.

3I-2X +XA=B  -2X +XA=B-3I X(-2+A) =B-3I X(-2+A)(-2+A)-1=(B-3I)(-2+A)-1  X·I=(B-3I)(-2+A)-1 X = (B-3I) (-2+A)-1

AX = I  A-1·AX= A-1·I I·X= A-1 X = A-1

A = 2 0 -5 -3 =-6 → ≠0 →∃ A -1 A-1= 1 A A d t Ad= -3 -5 0 2 → Ad t = -3 0 -5 2 → A-1 = 1 -6 · -3 0-5 2 → A-1= 1 2 0 5 6 -1 3 → X = 1 2 0 5 6 -1 3 2

2..-- Una empresa tiene delegaciones en Albacete, Cuenca y Toledo. La empresa tiene 24 empleados en total. El número de empleados en la delegación de Albacete es igual a la suma de los empleados en Cuenca y Toledo. Y el número de empleados en Cuenca es el triple del número de empleados en Toledo.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita calcular el número de empleados en cada delegación. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.

 x = nº de empleados en Albacete  y = nº de empleados en Cuenca  z = nº de empleados en Toledo x+y+z=24 x=y + z y=3z → (y + z)+ y+z=24 y=3z → (3z) + z+(3z)+z=24 → 8z=24 → x=12 y=9 z=3 Es decir, en Albacete hay 12 empleados, en Cuenca 9 y en Toledo 3.

3 3..-- Se considera la función f x = x + 2 2 si x<0 0 si x=0 x - 2 2 si x>0 a) Estudia su continuidad en x = 0.

b) Calcula los extremos relativos de la función f(x) en el intervalo (0,+).

c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en (0,+).

Para que sea continua lim

x → 0-f(x) =limx → 0+f(x)=f(0) lim x → 0-f(x) =x lim→ 0- x+2 2 = 4 lim x → 0+f(x)= x lim→ 0+ x-2 2 = 4 f(0)= 0 Por tanto, en x=0, f(x) no es continua.

En el intervalo (0, +), la función tiene la expresión f(x) = (x - 2)2

 f’(x) = 2 (x - 2)  f’(x) = 2x - 4

 f’(x) = 0  2x - 4 = 0 x = 2

 f’’(x) = 2 f’’(x) > 0

f (2) = 0

Por tanto, existe unmínimo relativoen el punto(2, 0) Para los intervalos de crecimiento, estudiamos el signo de f’(x):

 f’(x) > 0  2x – 4 > 0  x > 2  la función es creciente en (2, +)

(2)

4

4..-- Calcula el valor de los parámetros a y b para que la función f(x) = x3 + ax2 + bx, tenga un mínimo relativo en

el punto de abscisa x = 2. Y tenga un punto de inflexión en el punto de abscisa x = 1.

 f’(x) = 3x2 + 2ax + b = 0

f’’(x) = 0 6x + 2a = 0 f’’(1) = 0  6 + 2a = 0 a = -3

 f(x) = x3 - 3x2 + bx f’(x) = 3x2 - 6x + b f’(2) = 0  12 - 12 + b = 0 b = 0

 f’(2) = 0  4a + b = -12  4a + b = -12 Por tanto, la función queda: f(x) = x3 - 3x2

5

5..-- Se piensa que un estudiante de universidad que estudie normal, sobre 15 horas aparte de las clases, tiene una probabilidad de 0.9 de aprobar una materia. Suponiendo que la probabilidad de aprobar cada materia es independiente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe dos materias de dos que ha estudiado normal? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no apruebe ninguna materia de tres que ha estudiado normal? c) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe al menos una materia de dos que ha estudiado normal?  Suceso A1 = aprobar la materia 1 estudiada  p(A1)=0.9

 Suceso A2 = aprobar la materia 2 estudiada  p(A2)=0.9

 Suceso A3 = aprobar la materia 3 estudiada  p(A3)=0.9 La probabilidad de aprobar 2 de 2: P(A1  A2)

P(A1  A2) = P(A1) · P(A2) = 0.9 · 0.9 P(A1 A2) = 0.81 La probabilidad de aprobar 0 de 3: P A1 ∩ A2 ∩ A3

P A1 ∩ A2 ∩ A3 = 0.1 · 0.1 · 0.1 → P A1A2A3 = 0.001 La probabilidad de aprobar al menos 1 de 2: P(A1  A2)

P(A1  A2) = 1 - PA1 ∩ A2 = 1 – (0.1·0.1) P(A1 A2) = 0.99

6

6..-- En un tramo peligroso de una carretera, se sabe que la velocidad a la que circulan los vehículos sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 15 Km/h. Se tomó una muestra aleatoria de 400 vehículos que circulaban por dicho punto peligroso, y se comprobó que la velocidad media de los vehículos de dicha muestra era de 110 Km/h.

a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional de la velocidad de circulación en el tramo peligroso, con un nivel de confianza del 95%.

b) Explica razonadamente el efecto que tendría sobre el intervalo de confianza el aumento o la disminución del nivel de confianza.

El intervalo de confianza para la media es: P x-Zα

2· σ n < μ < x +Zα2· σ n =1-α  x = 110   = 15  n = 400  1 -  = 0.95   = 0.05 α2= 0.025 1 - α2 = 0.975  El valor crítico Zα

2 es aquel que cumple, en la distribución normal estándar P (Z  Zα2)  1 - α2  buscamos en la tabla P (Z  Zα 2)  0.975  Zα2 = 1.96 P 110 –1.96 · 15 400, 110 + 1.96 · 15 400 = 108.53, 111.47 Si aumentamos el nivel de confianza entonces disminuye, α2 disminuye y Zα

2 aumenta con lo que el radio del intervalo de confianza aumenta y por tanto el intervalo también. Si disminuimos el nivel de confianza ocurre lo contrario el intervalo disminuye.

(3)

RESERVA _ 2 _ 2013 O

OppcciióónnB B 1

1..-- Considera el siguiente problema de programación lineal:

Maximiza la función z = 4x + y sujeta a las siguientes restricciones: x - y  2

x + y  4 x  0 y  0

a) Dibuja la región factible.

b) Determina los vértices de la región factible.

c) Indica la solución óptima del problema dado y su valor.

x–y≤2 x+y≤4 x≥0 y≥0 → xx+–yy==24xy==31 x+y=4 x=0 → x=0 y=4 x–y=2 y=0 → x=2 y=0 x=0 y=0

Los valores que toma la función z = 4x + yen cada uno de los vértices:

 En el vértice A : z (3, 1) = 13

 En el vértice B : z (0, 4) = 4

 En el vértice C : z (2, 0) = 8

 En el vértice D : z (0, 0) = 0

Por tanto la solución óptima se encuentra en el vértice A, es decir, para x=3 e y=1, z toma un valor máximo de 13

2

2.- Una ONG solicita un médico, un enfermero y un maestro como voluntarios en un campo de trabajo. En total se presentan 200 voluntarios. Se sabe que el número de maestros que se presentan es igual a la suma del número de médicos más el doble del número de enfermeros voluntarios. Y el número de médicos voluntarios es la quinta parte del número de maestros.

a) Plantea el sistema que permita averiguar el número de médicos, enfermeros y maestros que se presentan como voluntarios.

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.  x = nº médicos  y = nº enfermeros  z = nº maestros x + y + z = 200 z = x + 2y x = z 5 → x + y + z = 200 z = z 5 + 2y → x + y + z = 200 y = 2z 5 → z 5 + 2z 5 + z = 200 → x = 25 y = 50 z = 125 Es decir, se presentaron como voluntarios 25 médicos, 50 enfermeros y 125 maestros.

3

3..-- Se considera la función f x =

-x – 5 2 si x≤-1 t si -1<x≤1 x - 5 2 si x>1

a) ¿Para qué valor de t la función f(x) es continua en x = 1? b) Para t=3, representa gráficamente la función f(x).

Para que sea continua lim

x → 1-f(x) =limx → 1+f(x)=f(1) 4 – – 3 – – 2 – – 1 – – 0 – 0 – – 1 – – 2 – – 3 – – 4 – B (0,4) D (0,0) A (3,1) C (2,0)

(4)

lim x → 1-f(x)=x lim 1-t = t lim x → 1+f(x)=x lim→ 1+ x - 5 2= 16 f(1)= t → t=16 Para t = 3: f x= -x – 5 2 si x≤-1 3 si -1<x≤1 x - 5 2 si x>1  Para x-1: f(x)=(-x-5)2 =(x+5)2 f(x)= x2 + 10x + 25  Vértice: Vx= -b2a=-5  Vy= 0 : (-5, 0)  Para -1<x1: f(x)=3  Para x-1: f(x)=( x-5)2 f(x)= x2 - 10x + 25  Vértice: Vx= 5  Vy= 0 : (5, 0) 4

4..-- La función f(t) = t3 - 15t2 + 48t + 292, representa la altura, medida en metros, alcanzada por un globo

aerostático, durante un trayecto de 10 horas, siendo t el tiempo medido en horas, 0  t  10. a) ¿Cuándo alcanza el globo la altura máximo y cuál es este valor?

b) ¿Cuál es la altura mínima a la que baja el globo, y en qué momento (t) se produce?

Para que haya un máximo f’(t)=0 y f’’(t)<0:

f’(t) = 0 3t2 – 30t + 48 = 0 t=8

t=2

f’’(t) < 0  f’’(t) = 6t -30

 t=8  f’’(8) = 18 > 0

 t=2  f’’(2) = -18 < 0  f(2)= 336  máximo

Por tanto, el globo alcanza su altura máxima a las 2 horas siendo esta altura de 336m.

Para que haya un mínimo f’(t)=0 y f’’(t)>0. Y como hemos visto, f’’(8) = 18 > 0  f(8)= 228. Por tanto, el globo alcanza su altura mínima a las 8 horas siendo esta altura de 228m

5

5..-- En un municipio el 40% de los habitantes son aficionados a la lectura, el 50% al cine, y al 60% les gusta el cine o la lectura o ambas cosas.

a) Se elige un habitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que le guste la lectura y el cine

b) Si elegimos un habitante al azar y le gusta el cine, ¿cuál es la probabilidad de que le guste la lectura?

Suceso A = lectura  P(A)=0.4 Suceso B = cine  P(B)=0.5 Suceso (AB) = 0.6 La probabilidad de que sea defectuoso: P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0.4 + 0.5 – 0.6 P(AB) = 0.3 La probabilidad de que si no es defectuoso, sea del modelo A: P A B

P A B = P A∩B P(B) = 0.3 0.5 → P A B = 0.6 16 – 14 – 12 – 10 – 8 – 6 – 4 – 2 – 0 – -2 – -4 – -5 – -4 – -3 – -2 – -1 – 0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 –

(5)

RESERVA _ 2 _ 2013 6

6..-- Una empresa, dedicada a la cría de gusanos de la harina como cebo de pesca, sabe que la duración en estado larvario de este insecto se distribuye según una normal de media desconocida y desviación típica 4 días. Se tomó una muestra aleatoria de 10 huevos y se comprobó que la duración en estado larvario de estos gusanos fue de 50, 58, 59, 60, 62, 63, 64, 65, 68 y 71 días respectivamente.

a) Halla el intervalo de confianza para la duración media poblacional en estado larvario de estos insectos, con un nivel de confianza del 95 %.

b) Explica razonadamente, cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza, con el mismo nivel de confianza.

El intervalo de confianza para la media es: P x-Zα

2· σ n < μ < x +Zα2· σ n =1-α  x =50+58+59+60+62+63+64+65+68+71 10 → x =62   = 4  n = 10  1 -  = 0.95   = 0.05 α2= 0.025 1 - α2 = 0.975  El valor crítico Zα

2 es aquel que cumple, en la distribución normal estándar P (Z  Zα2)  1 - α2  buscamos en la tabla P (Z  Zα 2)  0.975  Zα2 = 1.96 P 62 –1.96 · 4 10, 62 + 1.96 · 4 10 = 59.52, 64.48

Si queremos obtener un intervalo de anchura menor manteniendo el nivel de confianza, podemos aumentar el tamaño de la muestra, lo que hace disminuir el radio del intervalo al aumentar el denominador:

n' ≥ n → 1 n' ≤ 1 n → Zα2· σ n' ≤ Zα2· σ n

Figure

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