LISTA DE EJERCICIOS: Del Libro Conceptos y Contextos de James Stewart
Primer ejercicio, número 10 de la pág. 102 :
Use la gráfica de la función f para expresar el valor de cada límite, si existe.
Si no existe, explique porque.
f(x) = x
2 + x
√x3+ x2
Resolución:
F(x) = x
2+ x
√x3+ x2 =
x(x + 1)
√x2(x + 1)=
x(x + 1)
x√(x + 1)∙
√x + 1 √x + 1=
x + 1 ∙ √x + 1
x + 1 = √x + 1
Conclusión:
Los limites laterales tienes valores diferentes; por lo tanto el limite no existe.
Segundo ejercicio: Número 18 de la pág. 111 :
Encuentre el siguiente límite:
lim
ℎ→0
√1 + ℎ − 1 ℎ
Resolución:
Aplicamos su conjugada:
lim
ℎ→0
√1 + ℎ − 1
ℎ (
√1 + ℎ + 1 √1 + ℎ + 1)
lim
ℎ→0(
(√1 + ℎ)2− (1)2 ℎ(√1 + ℎ + 1) )
Nos queda una serie de sumas, así que eliminamos:
lim
ℎ→0
1 + ℎ − 1 ℎ(√1 + ℎ + 1)
Reemplazamos el valor de “h”, para obtener nuestro resultado:
𝟏
(√𝟏 + 𝟏 + 𝟏) = 𝟏 𝟐
Tercer ejercicio: Número 24 de la pág. 111 :
Resolución:
Evalué el límite, si existe:
lim
x→−4
√𝑥2+ 9 − 5
𝑥 + 4
Reemplazando -4 en la ecuación obtenemos 0
0 , esto es una indeterminada; por
lo tanto tenemos que levantar la indeterminación.
Para levantar la indeterminación aplicamos la conjugada:
lim
x → −4(
√𝑥2+ 9 − 5
𝑥 + 4 ) (
√𝑥2+ 9 + 5
√𝑥2+ 9 + 5)
lim
x → −4
lim
x →−4
𝑥2−16
(𝑥+4)(√𝑥2+9 +5)=
(𝑥+4)(𝑥−4) (𝑥+4)(√𝑥2+9 +5)=
(𝑥−4) (√𝑥2+9 +5)
Reemplazando -4 en la nueva ecuación para obtener nuestro resultado:
= (−𝟒−𝟒)
(√(−𝟒)𝟐+𝟗 +𝟓)= −𝟖 𝟏𝟎 = −
𝟒 𝟓
Cuarto ejercicio: Número 36 de la pág. 122 :
Encuentre los valores de “A” y “b” que hagan F continua en todas partes:
f(x) = {
𝑥2−4
𝑥−2 , 𝑠𝑖 𝑥 < 2
𝑎𝑥2− 𝑏𝑥 + 3, 2 < 𝑥 < 3 2𝑥 − 𝑎 + 𝑏, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
Resolución:
Cuando x=2, Si F va ser continua en todas partes por definición de continuidad existe lim de f(x).
Como es una función por tramos resolvemos con límites laterales:
lim
Para hacer esta resolución más precisa lo resolvemos por partes, empezaremos con el límite cuando 𝑥 → 2+:
lim
𝑥→2+𝑓(𝑥)
lim
𝑥→2+𝑎𝑥
2− 𝑏𝑥 + 3……….. (I).
Después resolvemos con el límite cuando 𝑥 → 2−:
lim
𝑥→2−𝑓(𝑥) = 𝑥→2lim− 𝑥2−4
𝑥−2
Luego, operamos la diferencia de cuadrado en el numerador:
lim
𝑥→2−
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) 𝑥 − 2
Reemplazamos el valor de “x” cuando tiende a 2 para obtener la respuesta:
𝑥 + 2
(2) + 2 = 4………(II)
Teniendo en cuenta de que los límites laterales son iguales entonces igualamos la (I) con la (II):
ax2− bx + 3 = 4
4a − 2b = ecuacion 1
Por otro lado, cuando x=3; de nuevo resolvemos con límites laterales:
lim
𝑥→3+𝑓(𝑥) = lim𝑥→3−𝑓(𝑥)
lim
𝑥→3+𝑓(𝑥)
2𝑥 − 𝑎 + 𝑏 … . . (I)
Ahora empezaremos con el límite cuando 𝑥 → 3−:
lim
𝑥→3−𝑓(𝑥)=𝑎𝑥
2 − 𝑏𝑥 + 3…….. (II)
E igualamos las ecuaciones, la (I) con la (II):
2𝑥 − 𝑎 + 𝑏 = 𝑎𝑥2− 𝑏𝑥 + 3
3 = 10𝑎 − 4𝑏………. ecuación 2
Formamos un sistema de ecuaciones para hallar los valores:
−2𝑥(4𝑎 − 2𝑏 = 1)…….. (I)
{−8𝑎 + 4𝑏 = −2 10𝑎 − 4𝑏 = 3 }
2𝑎 = 1
𝐚 =𝟏 𝟐
Reemplazamos “a” en (I) y obtenemos “b”, obteniendo ambos valores:
Quinto ejercicio: Número 28 de la pág. 133 :
Encuentre el límite:
lim
𝑥→∞√𝑥
2+ 𝑎𝑥 – √𝑥2 + 𝑏𝑥
Resolución:
Al reemplazar los valores x = ∞, nos encontramos con una indeterminación de caso ∞ – ∞. Por ello, procederemos a levantar la ecuación, aplicando la
conjugada:
lim
𝑥→∞=
(√𝑥2+ 𝑎𝑥 – √𝑥2+ 𝑏𝑥)( √𝑥2+ 𝑎𝑥 + √𝑥2+ 𝑏𝑥)
( √𝑥2+ 𝑎𝑥 + √𝑥2+ 𝑏𝑥 )
Luego, nos encontramos con una diferencia de cuadrados en el numerador:
lim
𝑥→∞=
𝑥2+ ax − 𝑥2+ bx ( √𝑥2+ 𝑎𝑥 + √𝑥2+ 𝑏𝑥 )
Factorizamos, el término en común en el numerador:
lim
𝑥→∞=
𝑥 (𝑎 – 𝑏 )
( √𝑥2+ 𝑎𝑥 + √𝑥2+ 𝑏𝑥 )
lim
𝑥→∞=
𝑥 (𝑎 – 𝑏 ) 𝑥
( √𝑥2+ 𝑎𝑥 + √𝑥2+ 𝑏𝑥 )
𝑥
lim
𝑥→∞=
(𝑎 – 𝑏 )
(√𝑥2 𝑥2+
𝑎𝑥
𝑥2 ) + (√
𝑥2
𝑥2+
𝑏𝑥 𝑥2 )
lim
𝑥→∞=
(𝑎 –𝑏 ) (√1+ 𝑎
𝑥 )+( √1+ 𝑏 𝑥)
= (𝑎 –𝑏 )
( √1+0 )+( √1+0 ) = 𝑎 –𝑏
2
Obteniendo como resultado:
𝒂 – 𝒃 𝟐
Ejercicios Adicionales
Sexto ejercicio: Número 26 de la pág. 133 :
Encontrar el límite:
lim
𝑥→∞
Resolución:
Dividimos entre “x” al numerador y al denominador:
lim
𝑥→∞
𝑥 + 2
𝑥
√9𝑥2 + 1
𝑥2
lim
𝑥→∞
1 +2𝑥
√9 + 1 𝑥2
Evaluando en el límite, tenemos:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟏 +∞𝟐
√𝟗 + 𝟏 ∞𝟐
= 𝟏 + 𝟎 √𝟗 + 𝟎=
𝟏 𝟑
Séptimo ejercicio: Número 24 de la pág. 133 :
Encuentra el límite:
lim
𝑡→∞
𝑡2 + 2
𝑡3 + 𝑡2 + 1
Resolución:
Cuando la función es polinómica, en el límite se aplican las siguientes condiciones:
n<m→ 0
𝑓(𝑡) = 𝑎1𝑡𝑛+𝑎2𝑡𝑛−1+⋯+𝑎𝑛
𝑏1𝑡𝑚+𝑏2𝑡𝑚−1+⋯+𝑏𝑚 → n>m→±∞
n=m → 𝑎
𝑏
Por lo tanto:
lim
𝑡→∞
𝑡2 + 2 𝑡3 + 𝑡2 + 1
Los exponentes del numerador y denominador se comparan:
𝒕𝟐 → 𝟐
𝒕𝟐 → 𝟑
2 < 3 → 0
Obteniendo:
𝐥𝐢𝐦
𝒕→∞ 𝑭(𝒕) = 0
Octavo ejercicio: Número 24 de la pág. 133 :
Efectuar el siguiente límite:
lim
𝑥→2
√5𝑥 − 2
3
Resolución:
Aplicamos en el numerador los artificios +2 y -2 ya que al sumarlos ambos es cero y no varía en nada:
lim
𝑥→2
√5𝑥 − 2
3
− √𝑥 + 63 (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
lim
𝑥→2
√5𝑥 − 2
3
− 2 + 2− √𝑥 + 63 (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
Para facilitar la resolución asociamos los artificios:
lim
𝑥→2
√5𝑥 − 2
3
− 2 + 2 − √𝑥 + 63 (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
lim
𝑥→2
( √5𝑥 − 23 − 2) − ( √𝑥 + 63 − 2) (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
Dividimos tanto en el numerador como en el denominador entre (𝑥 − 2):
lim
𝑥→2
√5𝑥 − 2
3
− 2
𝑥 − 2 −
√𝑥 + 6
3
− 2
𝑥 − 2
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
𝑥 − 2
lim 𝑥→2 (√𝟓𝒙−𝟐 𝟑 −𝟐 𝒙−𝟐 )( √(𝟓𝒙−𝟐)𝟐 𝟑
+𝟐 √𝟓𝒙−𝟐𝟑 +𝟐𝟐
√(𝟓𝒙−𝟐)𝟐 𝟑
+𝟐 √𝟓𝒙−𝟐𝟑 +𝟐𝟐
)−(√𝒙+𝟔 𝟑 −𝟐 𝒙−𝟐 )( √(𝒙+𝟔)𝟐 𝟑
+𝟐 √𝒙+𝟔𝟑 +𝟐𝟐
√(𝒙+𝟔)𝟐 𝟑
+𝟐 √𝒙+𝟔𝟑 +𝟐𝟐 )
𝒙+𝟐
Al resolver el trinomio al cuadrado del numerador obtenemos:
lim
𝑥→2
√(5𝑥 − 2
3
)3− 23
(𝑥 − 2)( √(5𝑥 − 2)3 2+ 2√5𝑥 − 23 + 22)−
√(𝑥 + 6
3
)3 − 23
(𝑥 − 2)( √(𝑥 + 6)3 2
+ 2√𝑥 + 63 + 22)
𝑥 + 2
lim
𝑥→2
5𝑥 − 2 − 23 (𝑥 − 2)( √(5𝑥 − 2)3 2
+ 2√5𝑥 − 23 + 22)−
𝑥 + 6 − 23 (𝑥 − 2)( √(𝑥 + 6)3 2
+ 2√𝑥 + 63 + 22)
𝑥 + 2
lim
𝑥→2
5(𝑥 − 2) (𝑥 − 2)( √(5𝑥 − 2)3 2
+ 2√5𝑥 − 23 + 22)−
𝑥 − 2 (𝑥 − 2)( √(𝑥 + 6)3 2
+ 2√𝑥 + 63 + 22)
𝑥 + 2
lim
𝑥→2
5 √(5𝑥 − 2
3
)2+ 2 √5𝑥 − 23 + 4−
1 √(𝑥 + 6
3
)2+ 2 √𝑥 + 63 + 4
𝑥 + 2
Reemplazamos el valor de “x” en la función:
𝟓 𝟒+𝟒+𝟒 −
𝟏 𝟒+𝟒+𝟒
𝟐+𝟐 =
(𝟓
𝟏𝟐 − 𝟏 𝟏𝟐)
𝟒
