TEORIA DA ELASTICIDADE NÃO LINEAR
Márcio André Araújo Cavalcante
Universidade Federal de Alagoas – UFAL Centro de Tecnologia – CTEC
Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil - PPGEC
Maceió - Alagoas
CARACTERÍSTICAS DE UMA ANÁLISE
LINEAR ELÁSTICA:
Relações Cinemáticas que desprezam os
Movimentos de Corpo Rígido
:
Relações Constitutivas Lineares (
Lei de Hooke
Generalizada
):
Condições de contorno que não mudam durante o processo de
deformação do corpo:
Imposição do Equilíbrio utilizando a
Configuração Inicial
ou
Indeformada
:
onde xj são coordenadas referentes à configuração inicial ou indeformada do corpo.
CARACTERÍSTICAS DE UMA ANÁLISE
LINEAR ELÁSTICA:
FONTES DE NÃO LINEARIDADE:
e
Não linearidade física Não linearidade geométricaDESCRIÇÕES
LAGRANGEANA
E
EULERIANA
DO MOVIMENTO:
C
t = Configuração do corpo no tempot
Descrição Lagrangeana do Movimento:Xj são denominadas coordenadas materiais
ou Lagrangeanas.
xi são pontos do espaço ocupados pela partícula Xj durante o movimento.
DESCRIÇÕES
LAGRANGEANA
E
EULERIANA
DO MOVIMENTO:
C
0 = Configuração inicial do corpoC
t = Configuração do corpo no tempot
Descrição Euleriana do Movimento:xj são denominadas coordenadas espaciais
ou Eulerianas.
MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA
DO CONTÍNUO:
onde:
Deformação do elemento infinitesimal
dX
:
Tensor Gradiente de Deformação:
Movimento do ponto
P
:
MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA
DO CONTÍNUO:
Densidade do Material e Variação de Volume:
Conservação da massa (
Física Newtoniana
):
onde:
Tempo 0
MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA
DO CONTÍNUO:
MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA
DO CONTÍNUO:
Densidade do Material e Variação de Volume:
O material do corpo não pode penetrar ele mesmo, e o volume final
não pode ser comprimido a um ponto ou expandido para um volume
infinito durante o movimento.
MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA
DO CONTÍNUO:
Decomposição polar do tensor gradiente de deformação:
onde
U
,
V
e
R
existem e são únicos.
U
e
V
são tensores simétricos positivo-definidos:
R
é um tensor ortogonal próprio:
MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA
DO CONTÍNUO:
Decomposição polar do tensor gradiente de deformação:
Como
U
é um tensor simétrico positivo-definido, existe um
conjunto de eixos, denominados
eixos principais
, para os quais
U
é
diagonal
. Para estes eixos, tem-se:
U
isão denominados
alongamentos principais
, onde:
(representa um
alongamento simples
na direção
X
i)
(representa um
encurtamento simples
na direção
X
i)
(representa
nenhuma mudança
na direção
X
i)
MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA
DO CONTÍNUO:
Decomposição polar do tensor gradiente de deformação:
Decomposição do movimento do elemento
dX
:
1) Translação de
X
para
x
2) Deformação (
alongamento
ou
encurtamento
) definida por
U
MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA
DO CONTÍNUO:
Decomposição polar do tensor gradiente de deformação:
Para a decomposição:
A
rotação
vem antes do
alongamento
ou
encurtamento
.
Os tensores
U
e
V
são conhecidos como
tensores de alongamento à
direita e à esquerda
, respectivamente.
Embora
muito úteis
, o cálculo dos tensores
U
e
V
pode ser
bastante
complicado
, mesmo para as deformações mais simples.
MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA
DO CONTÍNUO:
Tensores de deformação de Cauchy-Green:
Tensor de deformação de Cauchy-Green à direita:
Relação com o tensor de alongamento à direita:
Características dos tensores de deformação de Cauchy-Green:
1) São tensores simétricos e positivo definidos.
2) Resultam em um tensor identidade para movimentos de corpo
rígido.
Tensor de deformação de Cauchy-Green à esquerda:
MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA
DO CONTÍNUO:
Tensores de deformação de Cauchy-Green:
Interpretação alternativa
do tensor de deformação de
Cauchy-Green à direita:
Comprimento do vetor linha
dX
:
Comprimento do vetor linha
dx
:
MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA
DO CONTÍNUO:
Tensores de deformação de Cauchy-Green:
Interpretação alternativa
do tensor de deformação de
Cauchy-Green à esquerda:
MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA
DO CONTÍNUO:
Tensor de deformação de Green-Lagrange:
Definição:
Características do tensor de deformação de Green-Lagrange:
1) É um tensor simétrico.
2) Resulta em um tensor nulo para movimentos de corpo rígido.
3) Tensor de deformação Lagrangeano.
MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA
DO CONTÍNUO:
Tensor de deformação de Almansi:
Definição:
Características do tensor de deformação de Almansi:
1) É um tensor simétrico.
2) Resulta em um tensor nulo para movimentos de corpo rígido.
3) Tensor de deformação Euleriano.
MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA
DO CONTÍNUO:
Componentes de
deslocamento para uma descrição Lagrangeana
do movimento:
MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA
DO CONTÍNUO:
Tensores de deformação em termos das componentes de
deslocamento (Descrição Lagrangeana)
:
Tensor de Deformação de Cauchy-Green à direita:
Tensor de Deformação de Green-Lagrange:
Tensor de Deformação de Engenharia (
Infinitesimal
):
MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA
DO CONTÍNUO:
Componentes de
deslocamento para uma descrição Euleriana do
movimento:
MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA
DO CONTÍNUO:
Tensores de deformação em termos das componentes de
deslocamento (Descrição Euleriana)
:
Tensor de Deformação de Cauchy-Green à esquerda:
Tensor de Deformação de Almansi:
Tensor de Pequenas Deformações Euleriano (
Infinitesimal
):
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Forças de Superfície e Forças de Corpo
:
Análise do volume
V
tlimitado pela superfície
S
tna configuração
deformada do corpo:
1) Na mecânica do contínuo nós consideramos a interação entre
porções vizinhas do corpo deformável de forma bastante simplificada.
2) Na realidade, tais interações ocorrem de maneira bastante complexa
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Forças de Superfície e Forças de Corpo
:
Na mecânica do contínuo o efeito de todas as
forças interatômicas
através de uma dada superfície
S
té representado por um simples
campo vetorial
t(x,n)
definido em
S
t.
Além disso, o efeito de
forças externas
tal como a
gravidade
é
representado por um outro campo vetorial
b(x)
definido no volume
V
t.
Em pontos onde St está no interior do corpo, t(x,n) representa a força
por unidade de área em St exercida pelo material fora do volume Vt .
Em pontos onde St coincide com a superfície do corpo, t(x,n) pode
representar uma força por unidade de área exercida em St por um agente
externo.
b(x) representa uma força distribuída por unidade de volume causada
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Forças de Superfície e Forças de Corpo
:
onde:
t(x,n)
= vetor de tensão ou força de superfície;
b(x)
= força de corpo e
n
= vetor unitário saindo da superfície S.
Desta forma:
(Força resultante no volume Vt )
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Princípio da conservação do momento linear
:
“A resultante das forças externas atuando num sistema é igual à taxa de variação total do momento linear do sistema.”
Densidade de momento linear:
Momento linear total no volume Vt :
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Interação entre partes do corpo deformado
:
Suponha o volume Vt sendo cortado por uma superficie S’t em duas
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Desta forma:
Como e
Tem-se:
O que resulta em:
Uma vez que Vt e S’t são arbitrários!
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Fórmula de Cauchy
:
Considere um tetraedro infinitesimal com três faces paralelas aos
planos de coordenadas e passando por um ponto arbitrário P. A quarta
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Fórmula de Cauchy
:
Relações geométricas utilizadas:
onde dh é a altura do tetraedro definida pela distância de P até a quarta
face dAt .
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Fórmula de Cauchy
:
Onde sij são as componentes de um tensor de segunda ordem
conhecido como tensor de tensão de Cauchy.
s
ij representa a componente na direção j da força por unidade deárea atuando no elemento de superfície da configuração deformada que
tem normal na direção i.
Fórmula de Cauchy: Fazendo-se:
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Tensor de Tensão de Cauchy
:
Representação no cubo infinitesimal das componentes do tensor de
tensão de Cauchy, também conhecido como tensor das tensões
verdadeiras, por ser definido utilizando a configuração final ou
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Equações diferenciais de equilíbrio
:
Princípio da conservação do momento linear:
Utilizando-se a fórmula de Cauchy:
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Equações diferenciais de equilíbrio
:
Uma vez que a igualdade abaixo vale para qualquer região Vt:
Tem-se as seguintes equações diferenciais do movimento para uma
descrição Euleriana do movimento:
Considerando-se um carregamento quanse-estático, tem-se as seguintes
equações diferenciais de equilíbrio:
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Princípio da conservação do momento angular
:
“O momento resultante das forças externas atuando num sistema em relação a um ponto fixo é igual à taxa de variação total do momento angular do sistema em relação a este ponto.”
Densidade do momento angular em relação à origem:
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Princípio da conservação do momento angular
:
Em notação indicial tem-se:
Produto vetorial utilizando-se o símbolo de permutação:
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Simetria do tensor de tensão de Cauchy:
Princípio da conservação do momento angular
:
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Simetria do tensor de tensão de Cauchy:
Princípio da conservação do momento angular
:
Como:
e:
Tem-se:
Uma vez que a igualdade anterior vale para qualquer região Vt , tem-se:
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Princípio da conservação do momento angular
:
Simetria do tensor de tensão de Cauchy:
Da equação acima pode-se deduzir:
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Relação de Nanson
:
Elemento de área orientado na configuração indeformada:
Elemento de área orientado na configuração deformada:
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Relação de Nanson
:
Onde:
logo:
Relação de Nanson: ou
Elemento de volume na configuração indeformada:
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Tensões de Piola-Kirchhoff
:
Componentes da força atuante no elemento de superfície dSt da
configuração deformada do corpo:
Primeiro tensor de tensão de Piola-Kirchhoff:
ou ou
Também conhecido como tensor de tensão de engenharia.
É a tensão geralmente medida em ensaios experimentais.
t(X,N) é o primeiro vetor de tensão de Piola-Kirchhoff que atua na
superfície indeformada do corpo.
É um tensor de tensão energeticamente conjugado ao tensor
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Tensões de Piola-Kirchhoff
:
Componentes da força atuante no elemento de superfície dSt da
configuração deformada mapeada até a configuração indeformada do corpo usando o tensor gradiente de deformação:
Segundo tensor de tensão de Piola-Kirchhoff:
Logo:
Não apresenta significado físico.
É um tensor de tensão simétrico energeticamente conjugado ao
tensor de deformação de Green-Lagrange.
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Tensões de Piola-Kirchhoff
:
Princípio da conservação do momento linear usando como referência a configuração indeformada do corpo:
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Tensões de Piola-Kirchhoff
:
Uma vez que a igualdade abaixo vale para qualquer região V0:
Tem-se as seguintes equações diferenciais do movimento para uma
descrição Lagrangeana do movimento:
Considerando-se um carregamento quanse-estático, tem-se as seguintes
MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO
CONTÍNUO:
Tensões de Piola-Kirchhoff
:
Usando a simetria do tensor de tensão de Cauchy obtida aplicando-se o princípio da conservação do momento angular à configuração deformada do corpo, tem-se: