Programación Internet con Lenguajes Declarativos Multiparadigma. PARTE I: Fundamentos

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Curso de Doctorado:

Programación Internet con Lenguajes

Declarativos Multiparadigma.

PARTE I: Fundamentos

Pascual Juli ´an Iranzo

[email protected]

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Lenguajes Integrados

Multiparadigma: Fundamentos

Indice

1.- Introducción.

⇒ Sistemas ecuacionales.

3.- Sistemas de reescritura de términos.

(3)

Sistemas ecuacionales y sistemas de

reescritura

Objetivos y Motivaci ´on

• _{Estudiar la} _{lógica ecuacional} _{y su mecanización}

mediante los sistemas de reescritura de términos.

• _{Motivaci ´}_on:

1. Introducir la programación funcional (aproxima-ción algebraica).

2. Servir de fundamento a la integración de para-digmas declarativos (punto de vista: funcional

(4)

Lógica Ecuacional

Introducci ´on

• _La _{lógica ecuacional} _{es un subconjunto de la}

lógica de 1er orden con igualdad.

• _{Observaci ´}_on

1. Por simplicidad expositiva no consideraremos signaturas con varios géneros (sorts).

2. Por suficiencia expresiva no consideraremos el caso condicional.

(5)

Lógica Ecuacional

Sintaxis: Vocabulario

• _Una _signatura_, _F_{, es un conjunto finito de}

símbolos de función

• _{Cada símbolos de función tiene una} _aridad

asociada: arF : F → N.

• _Si _ar_F_{(f ) = 0}_, _f _{es un símbolo de} _constante_.

• _{f, g, h, . . .} _{denotarán funciones de aridad distinta}

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Lógica Ecuacional

Metas´ımbolos y Notaciones

• _F0_{: conjunto de las constantes de} _F_.

• _Fn_{: conjunto de los símbolos de función de} _F _cuya

aridad es n.

• _Ejemplo_{: Dada la signatura} _{F = {cero, suc, pred, mas}}

(7)

Lógica Ecuacional

• _F0_{: conjunto de las constantes de} _F_.

• _Fn_{: conjunto de los símbolos de función de} _F _cuya

aridad es n.

• _Ejemplo_{: Dada la signatura} _{F = {tt, f f, neg, and, or}}

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Lógica Ecuacional

Sintaxis: Vocabulario

• _{Conjunto infinito numerable de variables} _X_:

F ∩ X = ∅

• _{x, y, z, . . .} _{denotarán variables.} • _{El único} _{símbolo de predicado}_: _≈

(posteriormente interpretado como la identidad).

• _{El resto de los símbolos del alfabeto serán:}

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Lógica Ecuacional

Sintaxis: T ´erminos

• _{La expresión} _t _{es un término:}

1. Si t ≡ x ∈ X (i.e., t es una variable). 2. Si t ≡ c ∈ F0 (i.e., t es una constante).

3. Si t ≡ f (t₁, t₂, . . . t_n), f ∈ Fn y t₁, t₂, . . . t_n son términos.

(10)

Lógica Ecuacional

• _Var(s)_{: conjunto de las variables que aparecen en}

el objeto sintáctico s.

• _Si _{Var(t) = ∅}_{, decimos que} _t _{es un} _{término básico}_.

• _o_n_{: secuencia de objetos} _o₁_{, . . . , o}_n_.

(11)

Lógica Ecuacional

Ocurrencias o Posiciones

• _Una _ocurrencia _u _{es una cadena de enteros}

positivos: u ∈ N∗ = {Λ} ∪ {i.v | i ∈ N+ ∧ v ∈ N∗}

• _{Monoide libre generado por} N+ : hN∗, . , Λi.

• _Λ _{: cadena vacía;} _{‘.’ : concatenación (asociativa).}

• _Ejemplos_: _Λ_; ₃_; ₁_.₃_.₁

• _{u ≤ v} _si _{(∃w) v = u.w}_; _{(orden prefijo)}

(12)

Lógica Ecuacional

Dominios de Posiciones

• D ⊆ N∗ es un dominio de posiciones si

1. _Λ ∈ D;

2. (∀u, v ∈ N∗) (u.v ∈ D ⇒ u ∈ D); (cierre por prefijo)

3. (∀u ∈ N∗) (∀j, k ∈ N) (u.j ∈ D ∧ (1 ≤ k ≤ j) ⇒

u.k ∈ D);

• _Ejercicio_{: Comprobar que} _D _{es un dominio:}

(13)

Lógica Ecuacional

T ´erminos, Posiciones y Representaci ´on Arborescente

• _Un _término _{sobre una signatura} _F_:

t : D ⊂ N∗ −→ F ∪ X

1. D es un dominio no vacío.

(14)

Lógica Ecuacional

T ´erminos, Posiciones y Representaci ´on Arborescente

• _{Representación del término} _{t = f (g(a), h(X, b))}_:

" " " b b b HH f Λ h 2 g 1 a 1.1 _X 2.1 _b 2.2 t(Λ) = f t(1) = g t(1.1) = a t(2) = h t(2.1) = X t(2.2) = b • _{Notaci ´}_{on alternativa}_: _t[1_._{1] = a}_.

(15)

Lógica Ecuacional

T ´erminos, Posiciones y Representaci ´on Arborescente: Metas´ımbolos y Notaciones

• _Pos(t) ₍_FPos(t)_{): conjunto de las posiciones (}_no

variables) de t.

• _{Root(t) = t(}_Λ₎ _{(Raíz del término} _t_). • _t|_p _{: subtérmino de} _t _{en la posición} _p_.

• _t[s]_p _{: término resultado de reemplazar} _t|_p _por _s _en

la posición p.

(16)

Lógica Ecuacional

T ´erminos, Posiciones y Representaci ´on Arborescente: Metas´ımbolos y Notaciones

• _Ejercicio_{: Dado el término} _{t = f (g(a), h(X, b))}

determinar:

1. FPos(t) y Root(t).

(17)

Lógica Ecuacional

Sustituciones

• _Una _sustitución _{es una aplicación}

σ : X −→ T (F, X ) X ,→ σ(X)

• _{Es habitual representar las sustituciones como}

conjuntos finitos de la forma

σ = {X₁/t₁, X₂/t₂, . . . , X_n/t_n}

(18)

Lógica Ecuacional

Sustituciones

• _{X₁_{, X}₂_{, . . . , X}_n_} _{es el} _dominio ₍_Dom(σ)_).

• _{t₁_{, t}₂_{, . . . , t}_n_} _{es el} _rango ₍_Ran(σ)_).

• _la _{sustitución identidad}_, _id_{, se representa}

mediante el conjunto vacío de elementos: {}

(19)

Lógica Ecuacional

Sustituciones

• _{Una sustitución donde los términos} _t_i _{son básicos}

se denomina sustitución básica.

• _{Ejemplos de sustituciones:} • _θ₁ _{= {X/f (Z), Z/Y }}_;

• _θ₂ _{= {X/a, Y /g(Y ), Z/f (g(b))}}_;

(20)

Lógica Ecuacional

Sustituciones: Aplicaci ´on de una sustituci ´on

• _La _{aplicación de una sustitución} _{σ = {X}_n_/t_n_} _{a una}

expresión E [denotado σ(E)] se obtiene reemplazando

simultaneamente

cada

ocurrencia de X_i en E por el correspondiente t_i.

• _{Se dice que} _σ(E) _{es una} _instancia _de _E_.

(21)

Lógica Ecuacional

Sustituciones: (Pre)orden de m ´axima generalidad para t ´erminos • _E₁ _{≤ E}₂ _{⇔ (∃σ) σ(E}₁_{) = E}₂_. • _Ejemplo_: _{E ≡ f (X, Y, f (b))} _y _{θ = {Y /X, X/b}}_. • _{θ(E) = f (b, X, f (b))}_. • _{f (b, X, f (b))} _{es una instancia de} _{f (X, Y, f (b))}_. • _{f (X, Y, f (b)) ≤ f (b, X, f (b))}_.

(22)

Lógica Ecuacional

Sustituciones: Composici ´on de sustituciones

• _La _composición _{de dos sustituciones} _σ _y _θ _{es la}

aplicación σ ◦ θ tal que

(σ ◦ θ)(E) = σ(θ(E)).

• _{Propiedades de la composición de sustituciones:} • _Asociativa_: _{(ρ ◦ σ) ◦ θ = ρ ◦ (σ ◦ θ)}_.

(23)

Lógica Ecuacional

Sustituciones: Composici ´on de sustituciones

• _Ejercicio_{: Dadas las sustituciones}

θ = {X/f (Y ), Y /Z} y σ = {X/a, Y /b, Z/Y }

obtener:

σ ◦ θ y θ ◦ σ.

• _{Observaci ´}_on_{: Si} _{Var(σ) ∩ Var(θ) = ∅} _entonces

(24)

Lógica Ecuacional

Sustituciones: Idempotencia

• _{Una sustitución} _σ _{se dice} _idempotente _sii _{σ ◦ σ = σ}_.

• _Ejercicio_{: Comprobad que} _θ₁ _{= {X/f (Z), Z/Y }} _y

θ₂ = {X/a, Y /g(Y ), Z/f (g(b))} no son idempotentes.

• _Ejercicio_{: Una substitución} _σ _{es idempotente si}

(25)

Lógica Ecuacional

Sustituciones: Renombramientos y variantes

• _{Una sustitución} _ρ _{se denomina} _{renombramiento}_{, si}

existe la sustitución inversa ρ−1 tal que

ρ ◦ ρ−1 = ρ−1 ◦ ρ = id.

• _{Las expresiones} _E₁ _y _E₂ _son _variantes _{si existen}

dos renombramientos σ y θ, tales que

(26)

Lógica Ecuacional

Sustituciones: (Pre)orden de m ´axima generalidad

• _{Dadas dos sustituciones} _σ _y _θ_{. Decimos que} _σ _es

más general que θ, denotado σ ≤ θ, sii

• _{existe una sustitución} _λ _{tal que} _{θ = λ ◦ σ}_.

• _Ejemplo_{: Sean} _{σ = {X/a}} _y _{θ = {X/a, Y /b}}_.

(27)

Lógica Ecuacional

Sintaxis: Ecuaciones

• _Una _ecuación _{es una expresión}

s ≈ t

donde s y t es un par de términos no ordenados.

• _{Las variables de una ecuación se suponen}

cuantificadas universalmente

• _{Cuando no contienen variables es una}

(28)

Lógica Ecuacional

Sintaxis: Ecuaciones

• _{Una ecuación expresa que dos términos}

sintácticamente distintos deben considerarse iguales.

f (X) ≈ 0

• _{Un conjunto de ecuaciones puede entenderse}

como la definición de una función:

0 + X ≈ 0

(29)

Lógica Ecuacional

C ´alculo deductivo: Razonamiento Ecuacional

• _E_{: conjunto de ecuaciones.}

• _Una _{teoría ecuacional} _{es el conjunto de}

ecuaciones que pueden obtenerse por

razonamiento ecuacional, usando las ecuaciones de E como axiomas y el siguiente conjunto de

(30)

Lógica Ecuacional

• _{Reglas de Inferencia de la Lógica Ecuacional:}

1. Reflexiva t≈t 2. Simétrica s≈t t≈s 3. Transitiva s≈r,r≈t s≈t

(31)

Lógica Ecuacional

4. Sustitución s1≈t1,...,sn≈tn

f (s₁,...,sn)≈f (t1,...,tn)

(32)

Lógica Ecuacional

5. Instanciación s≈t

σ(s)≈σ(t)

(33)

Lógica Ecuacional

6. Ecuaciones

s≈t

(34)

Lógica Ecuacional

• _{Dado un conjunto de ecuaciones} _E_{, una} _deducción

es una secuencia de ecuaciones

t₁ ≈ s₁, t₂ ≈ s₂, . . . , t_k ≈ s_k, . . . , t_n ≈ s_n

tal que, para todo k: 1. (t_k ≈ s_k) ∈ E, o bien

2. t_k ≈ s_k inferida de ecuaciones anteriores aplicando reglas del sistema deductivo

(35)

Lógica Ecuacional

• _{La sustitución de variables por términos y la}

noción de “reemplazamiento de iguales por

iguales” conduce a una definición más compacta del sistema de inferencia de la lógica ecuacional en el que las reglas 4 y 5 se fusionan en:

l≈r,u∈Pos(t)

t[σ(l)]

_u

≈t[σ(r)]

_u

(36)

Lógica Ecuacional

• _Ejemplo _{(Axiomas de Grupo): Dado un conjunto de}

ecuaciones, E,

X + 0 ≈ X (e₁) −X + X ≈ 0 (e₃) 0 + X ≈ X (e₂) X + (Y + Z) ≈ (X + Y ) + Z (e₄)

puede comprobarse que E ` −(−X) ≈ X

−(−X) ≈ − (−X) + 0 ≈ − (−X) + (−X + X) ≈ (−(−X) + −X) + X ≈ 0 + X ≈ X

(37)

Lógica Ecuacional

Sem ´antica Algebraica: Interpretaci ´on

• _{Las construcciónes sintácticas de la lógica}

ecuacional cobran significado cuando se las interpreta

• _Una _{interpretación} _{de una signatura} _F _{consiste en}

asociarle una estructura matemática denominada

(38)

Lógica Ecuacional

• _Una _F_{–álgebra es un conjunto con estructura.}

• _{Dada una signatura} _F_{, una} _F_–álgebra _{es un par}

hA, F_Ai, donde

• _A _{es un conjunto, denominado} _soporte

• _F_A _{es un conjunto de operaciones: por cada}

f ∈ F, existe una operación f_A : Aar(f ) → A en

(39)

Lógica Ecuacional

• _Ejemplo_{: Dada la signatura} _{F = F}0 _{∪ F}1 _{∪ F}2_{, donde}

F0 = {cero}; F1 = {suc, pred}; F2 = {mas}.

Entonces, hN, F_Ni es la F–álgebra tal que: N es el conjunto de los números naturales

ceroN : −→ N ceroN = 0

sucN : N −→ N sucN(n) = n + 1;

predN : N −→ N predN(0) = 0, predN(n + 1) = n;

(40)

Lógica Ecuacional

• _Ejemplo_{: Dada una signatura} _F_{, un tipo especial de}

F–álgebra es la F–álgebra (libre) de términos

hT , FT i (generada por X):

• _{T = T (F, X )} _{es el conjunto soporte;}

• _F_T _{= {f}_T _{| f ∈ F ∧ f}_T _{: T (F, X )}ar(f ) _{→ T (F, X )}}

fT (t_{ar(f )}) = f (t_{ar(f )})

• _Cuando _{X = ∅} _{se obtiene la} _F_{–álgebra (inicial) de}

(41)

Lógica Ecuacional

• _{La elección de una} _F_{–álgebra basta para dar}

significado a los términos básicos generados a partir de F.

• _Ejemplo_{: Para la signatura} _F _{y la} _F_–álgebra _hN, F_Ni

del ejemplo anterior:

• _{El significado de} _{pred(mas(suc(cero), suc(cero)))}

es

(42)

Lógica Ecuacional

• _{El álgebra de términos interpreta los términos en}

ellos mismos.

• _Ejemplo_{: Para la signatura} _F _{del ejemplo anterior y}

la F–álgebra hT , FT i:

• _{El significado de} _{pred(mas(suc(cero), suc(cero)))}

es

(43)

Lógica Ecuacional

• _{Para poder formalizar el anterior resultado}

introducimos el concepto de F–homomorfismo, que son funciones que preservan la estructura de un F–álgebra.

• _{Dada una signatura} _F _{y las} _F_–álgebras _{hA, F}_A_i _y

hB, F_Bi, una aplicación h : A −→ B es un

F–homomorfismo si y sólo si

(44)

Lógica Ecuacional

• _{Proposici ´}_on_{: Para cada} _F_–álgebra _{hA, F}_A_i_{, existe}

un único F–homomorfismo i_A : T (F) −→ A.

• _{Observaci ´}_on_: _i_A _{puede entenderse como una}

función de interpretación que a cada término básico le asigna un único significado.

i_A(t) = (

f_A si t ≡ f ∈ F0 es una constante

(45)

Lógica Ecuacional

Sem ´antica Algebraica: Asignaci ´on

• _{Para dar significado a los términos con variables}

de T (F, X ), además de la elección de una

F–álgebra se requiere una asignación de valor a las variables

• _{Dado un conjunto de variables} _X _{y una} _F_–álgebra

hA, F_Ai, una A–asignación es una aplicación

(46)

Lógica Ecuacional

• _{Observaci ´}_on_{: una sustitución es una} _{T (F, X )}

–asig-nación.

• _{Proposici ´}_on _{(Freeness): Dada una} _A_{–asignación} _ρ_A

para X en una F–álgebra hA, F_Ai, existe un único

F–homomorfismo ρˆ_A : T (F, X ) −→ A tal que

(∀x ∈ X ) ˆρ_A(x) = ρ_A(x)

• _{Decimos que} _ρ_ˆ_A _extiende _ρ_A _{al álgebra de}

(47)

Lógica Ecuacional

• _{Observaci ´}_on_: _ρ_ˆ_A _{generaliza la} _{función de}

interpretación i_A ˆ ρ_A(t) =      f_A si t ≡ f ∈ F0 es una constante ρ_A(t) si t ≡ x ∈ X es una variable f_A(ˆρ_A(t_n)) si t ≡ f (t_n) y t_i ∈ T (F, X )

(48)

Lógica Ecuacional

• _Ejemplo_{: Para la signatura} _F _{y la} _F_–álgebra _hN, F_Ni

del ejemplo anterior y la N–asignación ρˆ_N tal que

ˆ

ρN(X) = 2:

• _{El significado de} _{pred(mas(suc(X), suc(cero)))} _es

(49)

Lógica Ecuacional

Sem ´antica Algebraica: Verdad y validez

• _{Una ecuación} _{s ≈ t} _es _verdadera _{en un} _F_–álgebra

A si y sólo si, ∀ˆρ_A, ρˆ_A(s) = ˆρ_A(t);

• _{Los términos} _s _y _t _{representan el mismo}

elemento en A cualquiera que sea la

A–asignación.

• _Si _{s ≈ t} _{es verdadera en} _A_{, también decimos que}

A es modelo de la ecuación t ≈ s y escribimos

(50)

Lógica Ecuacional

Sem ´antica Algebraica: Verdad y validez

• _Un _F_–álgebra _A _es _modelo _{de un conjunto de}

ecuaciones E si es modelo de cada una de las ecuaciones que lo forman.

• _{Notaci ´}_on_: _{M od(E)}_{, conjunto de todas las}

F–álgebras que son modelo de E.

• _{Una ecuación} _{t ≈ s} _es _válida _{si es verdadera en}

toda F–álgebra A ∈ M od(E) (M od(E) |= t ≈ s). [La ecuación t ≈ s es consecuencia lógica de E]

(51)

Lógica Ecuacional

Correcci ´on y Completitud

• _Teorema_{: (}_{Teorema de la Lógica Ecuacional —}

Birkhoff) Para todo conjunto de ecuaciones E y para todo par de términos s y t en T (F, X ) se cumple:

1. (Corrección)

Si E ` (s ≈ t) entonces M od(E) |= (s ≈ t);

2. (Completitud)

(52)

Lógica Ecuacional

Sem ´antica Algebraica: Inicialidad y congruencias

• _Problema_{: ¿Cuál es el significado de un conjunto}

de ecuaciones E?

• _Respuesta_{: Identificar un álgebra prototípica que}

sea modelo de E y permita dar significado al conjunto de ecuaciones.

(53)

Lógica Ecuacional

• _Un _F_–álgebra _I _es _inicial _{en una clase} _Class _de

F–álgebras si y sólo si 1. I ∈ Class y,

2. (∀A ∈ Class), existe un único F–homomorfismo

h : I → A.

• _{Proposici ´}_on_{: Si} _I₁ _e _I₂ _{son iniciales en} _Class_{, son}

isomorfas.

• _{Un álgebra inicial puede emplearse para estudiar}

(54)

Lógica Ecuacional

• _{Proposici ´}_on_: _{hT (F), F}_T _(F)_i _{es inicial en la clase de}

todas las F–álgebras.

• _{hT (F), F}_T _(F)_i _{no es útil para dar significado a un}

conjunto de ecuaciones E ya que no es modelo de

E.

• _Ejercicio_{: Mostrar que} _{hT (F), F}_T _(F)_i _{no puede ser}

(55)

Lógica Ecuacional

• _{Una relación sobre la} _F_-álgebra _A _{es una} F–congruencia, ∼, si y sólo si

• _∼ _{es una relación de equivalencia y} • _{(∀f ∈ F)(∀a}_i_{, . . . , a}_n_{, b}₁_{, . . . , b}_n _{∈ A)}

[a₁ ∼ b₁ ∧ . . . ∧ a_n ∼ b_n ⇒ f (a_n) ∼ f (b_n)].

• ₍_{Teoria Ecuacional Inducida por} _E₎

≈E= {hs, ti ∈ T (F, X )2 | E ` (s ≈ t)} es una

(56)

Lógica Ecuacional

• _Ejercicio_{: Dado} _{F = {a, b, c, e, f }} _y _{E = {a ≈ b,}

b ≈ c, e ≈ f } hallar ≈E.

• _Ejercicio_{: Comprobar que} _≈_E _{es la mínima}

congruencia sobre T (F, X ) que contiene al conjunto de ecuaciones E y es estable bajo substituciones.

(57)

Lógica Ecuacional

• ₍_F_{–álgebra cociente}_{) Dada una signatura} _F_,

hT (F)/≈E, FT _(F)/≈E i es un F–álgebra:

• _{hT (F)/≈}_E_{i = {[t]}_≈_E _{| t ∈ T (F)}} _{el conjunto de}

clases de equivalencia inducido por ≈E; • _F_T _(F)/≈ E = {fT (F)/≈E | f ∈ F∧ fT _(F)/≈E : (T (F, X )/≈E) ar(f ) _{→ (T (F, X )/≈} E)} fT _(F)/≈E([tar(f )]≈E) = [f (tar(f ))]≈E

(58)

Lógica Ecuacional

• _{hT (F)/≈}_E_{, F}_T _(F)/≈

E i es inicial para M od(E).

• _{hT (F)/≈}_E_{, F}_T _(F)/≈

E i es el modelo inicial canónico o

estándar que se asocia como significado de E.

• _Ejercicio_{: Dado} _{F = {a, b, c, e, f }}_{, hallar el modelo}

inicial para E = {a ≈ b, b ≈ c, e ≈ f }.

• _Ejercicio_{: Dado} _{F = {cero, suc, mas}}_{, hallar el}

modelo inicial para E = {mas(cero, X) ≈ X, mas(suc(X), Y ) ≈ suc(mas(X, Y ))}.

(59)

Lógica Ecuacional

• _Teorema_{: (}_{Teorema de la Lógica Ecuacional —}

Birkhoff)

1. (Corrección) para todo s y t en T (F, X ),

Si E ` (s ≈ t) entonces (T (F)/≈E) |= (s ≈ t);

2. (Completitud) para todo s y t en T (F),

(60)

Lógica Ecuacional

• _{Observaci ´}_on_{: Para el álgebra inicial} _{T (F)} _el

razonamiento ecuacional solamente es completo cuando se restringe a términos básicos.

• _{En general es posible establecer que}

(T (F)/≈E) |= (s ≈ t) mediante técnicas

inductivas, aún cuando no sea posible establecerlo por métodos deductivos.

(61)

Lógica Ecuacional

El Problema de la Validez y la Satisfacibilidad

• _{Razonar con ecuaciones conlleva dos actividades}

prioritarias:

1. Establecer si una ecuación s ≈ t es

consecuencia de un conjunto de ecuaciones E

(o equivalentemente si es derivable a partir de

E): Problema de la Validez.

2. Encontrar los valores de las variables que

satisfacen una ecuación s ≈ t: Problema de la Satisfacibilidad.

(62)

Lógica Ecuacional

• _{En un contexto formal el} _{Problema de la Validez}

consiste en decidir si dado un conjunto de ecuaciones E:

1. M od(E) |= (∀x)(s ≈ t)

[Esta es una notación alternativa a:

M od(E) |= s ≈ t o bien s ≈E t]

• _{Nomenclatura alternativa}_: _{word problem} _{[si la}

ecuación s ≈ t es básica, hablamos del ground word problem]

(63)

Lógica Ecuacional

• _{En un contexto formal el} _{Problema de la}

Satisfacibilidad consiste en decidir si dado un conjunto de ecuaciones E:

• _{M od(E) |= (∃x)(s ≈ t)}

• _{Una formulación alternativa es el} _{Problema de la} E-unificación: si existe una sustitución σ tal que

(64)

Lógica Ecuacional

•

En los próximos capítulos

estudiaremos como solucionar el

(ground) word problem

y el

problema

de la satisfacibilidad

presentando

técnicas de semidecisión para casos

concretos.

(65)

Lógica Ecuacional

Bibliograf´ıa

• _{Huet G. y Oppen D.}_{, 1980. Equations and Rewrite}

Rules: a Survey. En Formal Languages:

perspectives and open problems, págs. 349–405.

Academic Press.

• _{Baader F. y Nipkow T.}_{, 1998. Term Rewriting and All}