dt 1. Centro de masas de un sistema de partículas. 2. Movimiento del centro de masas. Momento lineal del centro de masas. Relación con la resultante

(1)

(

)

p p cte. 0 dt = ⇒ dt p p 0 + d p d dt p d 2 1 2 1 2 1 ₊ r r ₊ r ₌ _⇒ r r ₌ r

UNIDAD 3. DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS. ROTACIÓN DEL SÓLIDO RÍGIDO 1. Centro de masas de un sistema de partículas.

2. Movimiento del centro de masas. Momento lineal del centro de masas. Relación con la resultante de las fuerzas externas.

3. Sistema de referencia del centro de masas.

4. Energía de un sistema de partículas: energía cinética, energía potencial, conservación de la energía mecánica de un sistema, colisiones.

5. Sistemas en rotación. Momento de la fuerza resultante y momento angular del sistema de partículas. Relación entre ambos: ecuación fundamental de la dinámica de rotación, momento de inercia, momento angular de un sistema de partículas, teorema del momento cinético. 6. Conservación del momento angular: teorema de conservación del momento angular. 7. Energía cinética de un sólido en rotación.

(2)

deformable indeformable Fuerzas Interiores Exteriores 0 F_int = Σ r 3ª Ley de Newton Tipos de sistemas de partículas discreto continuo deformable

indeformable Sólido rígido

Nº partículas

Distancia entre partículas

cerrado abierto Fuerzas 0 Fr_ext = Σ 0 Fext ≠ r Σ Conjunto de partículas Sistema de 2 partículas cerrado

(

p +pr

)

0 p p cte. p p p ' p ' dt d 0 F dt p d 2 1 2 1 2 1 2 1 te tan resul r r r r r r r r r + = + ⇔ = + ⇒ = ⇒ = = 0 F_int = Σ r 0 Fr_ext = Σ Sistema de 2 partículas abierto

(

+

)

=

_∑

⇒ =

_∑

⇒ + =

= resultante 1 2 1 2 ext sist Fext dt p d F p p dt d F F F dt p dr r r r r r r r r 0 F_int = Σ r 0 Fr_ext ≠ Σ SISTEMA DE PARTÍCULAS

(3)

SISTEMA DE PARTÍCULAS

Punto en el que se supone situada toda la masa M del sistema y se aplica la Fr_resul_tan_te de Σ Fr_ext

∑

= = N i CM rr = N 1 i i 1 i i m r m r M y m y N 1 i i i CM

∑

= = M x m x N 1 i i i CM

∑

= = M z m z N 1 i i i CM

∑

= =

( )

M ) t ( v m t v N 1 i i i CM

∑

= = r r M F M F F m a m a N 1 i ext i N 1 i int i N 1 i ext i N 1 i i N 1 i i i CM

∑

= = = = = ₌ + = = r r r r dt p d F CM te tan l resu r r = 2 i i N 1 i N 1 i Ci CS m v 2 1 E E =

∑

=

∑

⋅ ⋅ = = 2 i i N 1 i 2 CM CS m u 2 1 v M 2 1 E = ⋅ ⋅r +

∑

⋅ ⋅r = CM i i r r ' rr = r −r CM i i v v ur = r −r 0 prSIST,CM = αr r ⋅ = I M I =m⋅r2 I

∑

I = ⋅ = N 1 i 2 i i r m r dm M 2

∫

= SIST. EN ROTACIÓN Teorema de conservación del momento angular

. cte L 0 M Si r = ⇒ r = I1⋅ω1 = I2⋅ω2

α

r r r ⋅ = =M I dt L d Teorema del momento cinético

∑

= = = × = ⋅ × = = N 1 i i i N 1 i N 1 i i i i O i O L r m v r p Lr r r r r r Lr = I⋅ωr 2 r , c I 2 1 E = ⋅ ⋅ω CM CM CM r p Lr = r × r CM N 1 i i N 1 i i S L L' L Lr =

∑

r =

∑

r + r = = COLISIONES Elásticas Inelásticas f , c i , c f i p E E p = = r r i , c f , c f i E E E p p − = = Δ r r

(

)

2 1 1 2 1 2 2 1 m m u m m u m 2 v + ⋅ − + ⋅ ⋅ =

(

)

2 1 2 1 2 1 1 2 m m u m m u m 2 v + ⋅ − + ⋅ ⋅ = CENTRO DE MASAS SIST. REF. DEL CM

(4)

∑

= =

( )

∑

= = = = = ₌ + = = r r r r CM N 1 i i i N 1 i i CM v M v m p p r r r r ⋅ = = =

∑

= = 2 i i N 1 i N 1 i Ci CS m v 2 1 E E =

∑

=

∑

⋅ ⋅ = = dt p d F CM te tan l resu r r = COLISIONES Elásticas Inelásticas f , c i , c f 2 i i N 1 i 2 CM CS m u 2 1 v M 2 1 E = ⋅ ⋅r +

∑

⋅ ⋅r = CM i i r r ' rr = r −r CM i i v v ur = r −r 0 prSIST,CM = i p E E p = = r r i p i , c f , c f E E E p − = = Δ r r

(

)

2 1 1 2 1 2 2 1 m m u m m u m 2⋅ v + ⋅ − + ⋅ =

(

)

2 1 2 1 2 1 1 2 m m u m m u m 2 v + ⋅ − + ⋅ ⋅ = CENTRO DE MASAS SIST. REF. DEL CM

(5)

SISTEMA DE PARTÍCULAS COLISIONES Elásticas Inelásticas f , c i , c f i E E p p = = r r i , c f , c f i E E E p p − = = Δ r r

(

)

2 1 1 2 1 2 2 1 m m u m m u m 2 v + ⋅ − + ⋅ ⋅ =

(

)

2 1 2 1 2 1 1 2 m m u m m u m 2 v + ⋅ − + ⋅ ⋅ = CM i i r r ' rr = r −r CM i v i v ur = r − r 0 prSIST,CM = SIST. REF. DEL CM 2 i i N 1 i 2 CM CS m u 2 1 v M 2 1 E = ⋅ ⋅r +

∑

⋅ ⋅r = 2 i i N 1 i N 1 i Ci m v 2 1 E E =

∑

=

∑

⋅ ⋅ = = CS cS N 1 i ci N 1 i N 1 i i S W W =

∑

=

∑∫

= = B Ami ⋅ai ⋅dri =

∑

₌ ΔE =ΔE r r

(

)

S,ext S,int N 1 i i ij i N 1 i i S W F F dr W W W =

∑

=

∑∫

+ ⋅ = + = = r r r pS ,int S ext , S N 1 i B A i i S F dr W W E W =

∑∫

⋅ = + =−Δ = r r Conservación de la energía mecánica m int , p c ext , S int , S ext , S S E E E W W W W Δ Δ Δ + = = ⇒ + = 0 E E E m i, m m = = Δ f , . cons no W m E = Δ c S E W =Δ p S E W =−Δ Fuerzas

conservativas conservativas Fuerzas no

(6)

∑

= =

( )

∑

= = = = = ₌ + = = r r r r CM N 1 i i i N 1 i i CM v M v m p p r r r r ⋅ = = =

∑

= = 2 i i N 1 i N 1 i Ci CS m v 2 1 E E =

∑

=

∑

⋅ ⋅ = = dt p d F CM te tan l resu r r = CENTRO DE MASAS COLISIONES Elásticas Inelásticas 2 i i N 1 i 2 CM CS m u 2 1 v M 2 1 E = ⋅ ⋅r +

∑

⋅ ⋅r = CM i i r r ' rr = r −r CM i i v v ur = r − r 0 prSIST,CM = αr r ⋅ = I M I =m⋅r2

∑

I = ⋅ = N 1 i 2 i i r m I r dm M 2

∫

= SIST. EN ROTACIÓN Teorema de conservación del momento angular

. cte L 0 M Si r = ⇒ r = I1⋅ω1 = I2⋅ω2

α

r r r ⋅ = = M I dt L d Teorema del momento cinético

∑

= = = × = ⋅ × = = N 1 i i i N 1 i N 1 i i i i O i O L r m v r p Lr r r r r r Lr = I⋅ωr 2 r , c I 2 1 E = ⋅ ⋅ω CM CM CM r p Lr = r × r CM N 1 i i N 1 i i S L L' L Lr =

∑

r =

∑

r + r = = i , c f , c f i E E E p p − = = Δ r r f , c i , c f i p E E p = = r r SIST. REF. DEL CM

(

)

2 1 1 2 1 2 2 1 m m u m m u m 2 v + ⋅ − + ⋅ ⋅ =

(

)

2 1 2 1 2 1 1 2 m m u m m u m 2 v + ⋅ − + ⋅ ⋅ =

(7)

1. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 1.1. SISTEMAS DE PARTÍCULAS

• Dinámica de una partícula: dinámica de una sola partícula o de objetos, cuyo comportamiento se puede describir como una masa puntual, ya que su tamaño y su forma es irrelevante en el problema concreto planteado.

• Aproximacion de punto material válida en movimientos de traslacion y en los que la precisión en la localización del cuerpo es del orden de las dimensiones de este.

• Hay fenómenos en los que las dimensiones del cuerpo deben considerarse, por ejemplo, aquellos en los que el cuerpo puede experimentar movimientos de rotación y de traslación. • Necesidad de otro modelo basado en considerar el cuerpo como un sistema de partículas. • Sistema de partículas: conjunto de partículas cuyas propiedades globales queremos estudiar. • Tipos de sistemas de partículas:

a) Sistema discreto: cuerpo formado por un nº finito de partículas. Pueden ser:

1. Indeformables: distancia relativa entre sus partículas permanece inalterable durante el

tiempo (modelo ideal).

2. Deformables: distancia relativa entre sus partículas puede cambiar durante el tiempo. b) Sistema continuo: cuerpo formado por una distribución continua de materia. Pueden ser:

deformables o indeformables, estos últimos también llamados sólidos rígidos. • Fuerzas que pueden actuar sobre un sistema de partículas:

a) Fuerzas interiores: fuerzas de acción y reacción entre las partículas del sistema. Actúan por parejas entre cada dos partículas del sistema de tal modo que la suma de todas las fuerzas interiores es nula.

0 F_int = Σr

b) Fuerzas exteriores: fuerzas ejercidas por cuerpos ajenos al sistema de partículas que actúan sobre todas y cada una de las partículas del sistema.

• Tipos de sistemas de partículas según el tipo de fuerzas que actúen sobre él:

a) Sistema de partículas cerrado: sistema formado por un grupo de partículas que interactúan entre sí por parejas mediante fuerzas de acción y reacción pero no interactúan con otros cuerpos del entorno, no actúan fuerzas exteriores al sistema. Ejemplo: las bolas de una mesa de billar (su peso es contrarrestado por la fuerza normal).

b) Sistema de partículas abierto: sistema formado por un grupo de partículas que interactúan entre sí por parejas mediante fuerzas de acción y reacción y también actúan fuerzas exteriores sobre todas y cada una de sus partículas. Ejemplo: el sistema Tierra-Luna; fuerzas interiores: fuerzas de atracción mutua; fuerzas exteriores: fuerzas del Sol y del resto de los planetas.

(8)

• El movimiento de una de las partículas de un sistema viene determinado por la resultante de las fuerzas interiores y exteriores que actúan sobre ella:

i i ext int F m a Fr +Σr = ⋅ r Σ

• En los sistemas de partículas existe un punto, llamado centro de masas que se mueve como si estuviera concentrada en él toda la masa del objeto y la resultante de las fuerzas externas. 1.2. SISTEMA DE DOS PARTÍCULAS

1.2.1. Sistema de 2 partículas cerrado

12 Fr

• : fuerza interior de acción de 2 sobre 1. 21

Fr

• : fuerza interior de reacción de 1 sobre 2.

21 12

21

12 F 0 F F

Fr + r = ⇒ r =−r • De acuerdo con la 3ª ley de Newton:

• Aplicando la ley fundamental de la dinámica (2ª ley de Newton):

dt p d r Fr =

(

p p

)

0 p p cte. dt d 0 dt p d dt p d 2 1 2 1 2 1 ₊ r ₌ _⇒ r ₊ r ₌ _⇒ r ₊ r ₌ r •

• Ley general de conservación del momento lineal en sistemas cerrados: la suma de los momentos lineales de un sistema de partículas permanece constante con el tiempo.

• Aplicación importante en las colisiones entre cuerpos: dados dos cuerpos de masas m1 y

m2, y velocidades v1 y v2, respectivamente. Si chocan y sus velocidades varían después del

choque, v’1 y v’2, y se cumple: . cte ' v m ' v m v m v m . cte ' p ' p p pr₁+ r₂ = r₁ +r₂ = ⇔ ₁⋅ ₁+ ₂⋅ ₂ = ₁⋅ ₁ + ₂ ⋅ ₂ = 1.2.2. Sistema de 2 partículas abierto

• Fuerzas que actúan sobre la partícula 1: 12

Fr : fuerza interior de acción de 2 sobre 1. ¾

1

Fr : fuerza exterior sobre 1. ¾

• Fuerzas que actúan sobre la partícula 2: 21

Fr : fuerza interior de reacción de 1 sobre 2. ¾

2

Fr : fuerza exterior sobre 2. ¾ 21 12 21 12 F 0 F F Fr + r = ⇒ r =−r • De acuerdo con la 3ª ley de Newton:

• Para cada partícula se cumple que la variación del momento lineal con el tiempo es igual la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada:

12 1 1 _F _F dt p dr r r + = ¾ 21 2 2 _F _F dt p dr r r + = ¾

(

+

)

₌ ₊ _⇒ ₌

_∑

⇒ + + + = + sist _ext 2 1 2 1 21 2 12 1 2 1 _F dt p d F F dt p p d F F F F dt p d dt p dr r r r r r r r r r r r ¾

(9)

1.3. CENTRO DE MASAS

• Todos los sistemas de partículas cumplen la ley de conservación de la masa: la suma de las masas de las N partículas de un sistema es constante e igual a la masa total del sistema M.

M m N 1 i i =

∑

=

• Dado un sistema con N partículas, cada una de ellas de masa mi y vector de posición r , se denomina centro de masas del sistema a un punto dado por el vector de posición:

r i M r m m r m m ... m m r m ... r m r m r N 1 i i i N 1 i i N 1 i i i N 2 1 N N 2 2 1 1 CM

∑

= = = ₌ = + + + + + + = r r r r r r

• Centro de masas de un sistema de partículas: punto en el que se supone situada toda la masa M del sistema y se aplica la fuerza resultante de todas las fuerzas exteriores.

• Es más sencillo el estudio del movimiento de un sistema de partículas como si se comportaran como un punto, el centro de masas, que posee la masa total del sistema, M.

• Coordenadas del vector de posición del centro de masas:

M z m z M y m y M x m x N 1 i i i CM N 1 i i i CM N 1 i i i CM

∑

= = = ₌ ₌ =

• Centro de masas de un sistema de partículas continuo: se descompone el cuerpo en porciones infinitesimales de masa dm situadas a una distancia r del origen de coordenadas.

M dm r dm dm r r_CM

∫

₌ = r r r

• Coordenadas del vector de posición del centro de masas:

M dm z z M dm y y M dm x x_CM =

∫

_CM =

∫

_CM =

∫

• Las simetrías de un sistema de partículas facilitan la determinación de su centro de masas: ¾ Coincide con su centro de simetría.

¾ Se sitúa sobre un eje o un plano de simetría.

• Ejemplo 1. Calcula el centro de masas de un sistema formado por dos partículas de masas iguales separadas entre sí una distancia d.

2 d m 2 d m 0 m m m x m x m M x m x 2 2 1 2 1 2 2 1 1 N 1 i i i CM _⋅ = ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ = =

∑

=

(10)

• Ejemplo 2. Calcula el centro de masas de un sistema formado por tres partículas de masas iguales situadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado a y altura h.

a 2 1 m 3 a 2 3 m m 3 2 a m a m 0 m m m m x m x m x m M x m x 3 2 1 3 3 2 2 1 1 N 1 i i i CM _⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + ⋅ + ⋅ + ⋅ = =

∑

= h 3 1 m 3 h m m 3 h m 0 m 0 m m m m y m y m y m M y m y 3 2 1 3 3 2 2 1 1 N 1 i i i CM ₊ ₊ = ⋅ + _⋅⋅ + ⋅ = _⋅⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = =

∑

=

El centro de masas coincide con el baricentro del triángulo por simetría. • Ejemplo 3. Calcula el centro de masas de una barra cilíndrica

y homogénea de longitud L.

Se divide la barra en cilindros infinitesimales de grosor dx.

L 2 1 L x 2 1 L dx x x L 0 2 L 0 CM ⎥⎦ = ⋅ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⋅ = =

∫

2. MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASAS. MOMENTO LINEAL DEL CENTRO DE MASAS. RELACIÓN CON LA RESULTANTE DE LAS FUERZAS EXTERNAS

• Sistema discreto de N partículas con interacción mutua y sometidas a la acción de fuerzas exteriores. • La posición de su centro de masas depende del tiempo:

( )

∑

= = = _N 1 i i N 1 i i i CM m t r m t r r r

• Ecuación de la velocidad del centro de masas:

( )

M ) t ( v m m dt t r d m dt t r d t v N 1 i i i N 1 i i N 1 i i i CM CM

∑

= = = ₌ = = r r r r ₍₁₎

• Momento lineal del centro de masas: multiplicando (1) por M el primer y el último miembro:

∑

= = = _⇔ _⋅ ₌ _⋅ _⇔ _⋅ ₌ ⋅ ⋅ = ⋅ N 1 i i CM N 1 i i i CM N 1 i i i CM M v (t) m v (t) M v (t) p(t) M ) t ( v m M ) t ( v M r r r r r r

¾ pr_i

( )

t : momento lineal de cada una de las partículas del sistema.

¾ cantidad de movimiento total del sistema, asociada al movimiento del centro de masas. Es la suma de los momentos lineales de cada una de las particulas que integran el sistema.

CM N 1 i i i N 1 i i S p m v (t) M v pr =

∑

r =

∑

r = ⋅r = =

(11)

• Ecuación de la aceleración del centro de masas:

( )

M F M F F m ) t ( a m m dt t v d m dt t v d t a N 1 i ext i N 1 i int i N 1 i ext i N 1 i i N 1 i i i N 1 i i N 1 i i i CM CM

∑

= = = = = = = ₌ + = = = = r r r r r r ₍₂₎

¾ : fuerza neta ejercida sobre cada partícula del sistema, resultante de las fuerzas interiores y exteriores. ) t ( a m_i ⋅r_i

• Alternativamente, multiplicando (2) por M el primer y el último miembro de la expresión anterior:

∑

= = _⇔ _⋅ ₌ _⋅ ⋅ = ⋅ N 1 i i i CM N 1 i i i CM M a (t) m a(t) M ) t ( a m M ) t ( a M r r r r

¾ Agrupando las fuerzas interiores y exteriores por separado para todas las partículas del sistema:

∑

= ⋅ = = + = ⋅ ext CM te tan resul int ext int CM F ) t ( a M F 0 F F F ) t ( a M r r r r r r

¾ El centro de masas se mueve como una sola partícula de masa M sometida a la acción de la fuerza resultante de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema.

• Ecuación de la dinámica de un sistema de partículas:

CM pr ¾ Si derivamos respecto al tiempo el momento lineal del sistema, :

CM N 1 i i i N 1 i i CM p m v (t) M v pr =

∑

r =

∑

r = ⋅r = = te tan resul r N 1 i ext i CM _F _F dt p dr ₌

_∑

r ₌ = dt p dr_CM Fresultante r =

¾ El movimiento de un sistema de partículas es equivalente al movimiento de su centro

de masas, comportándose como una partícula de masa M sometida a la acción de la fuerza resultante de las fuerzas exteriores.

¾ La fuerza resultante de las fuerzas exteriores aplicadas a un sistema coincide con la variacion del momento lineal con el tiempo del sistema de particulas.

¾ Si el sistema es cerrado: Fr_resul_tan_te =0⇒pr_S =cte. • Ley de conservación del momento lineal

¾ Sistema cerrado (sólo fuerzas interiores): Fr_resul_tan_te =0 ⇒ pr_CM =cte.

¾ En un sistema cerrado su momento lineal total se conserva. Si Fresultante =0⇒prS =cte. r

⇒

( )

t vr_CM cte.

(12)

• Ejemplo 4: dos cuerpos de masas mA = 2 kg y mB = 3 kg, están moviéndose en sentido positivo a

lo largo de los ejes X e Y, respectivamente, con velocidades vA = 3 m ⋅ s−1 y vB = 1 m ⋅ s−1. En un

instante determinado, el cuerpo A se encuentra a 1 m del origen y el cuerpo B a 2 m. Determina en ese instante: a) La posición del centro de masas; b) su velocidad; c) el momento lineal total.

a)

( )

m j 5 6 i 5 2 3 2 j 2 3 i 1 2 m m r m r m m t r m t r 2 1 2 2 1 1 N 1 i i N 1 i i i CM ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ = =

∑

= = r r r r r r r r b)

( )

s / m j 5 3 i 5 6 3 2 j 1 3 i 3 2 m m v m v m m t v m t v 2 1 2 2 1 1 N 1 i i N 1 i i i CM ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ = =

∑

= = r r r r r r r r c) j

(

6i 3 j

)

kg⋅m/s 5 3 i 5 6 5 v M p_CM _CM ⎟= + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ⋅ = ⋅ = r r r r r r

3. SISTEMA DE REFERENCIA DEL CENTRO DE MASAS

• Sistema de referencia ligado al centro de masas (sistema CM) del sistema de partículas alternativo a cualquier sistema de referencia inercial (sistema de referencia en el que las leyes del movimiento cumplen las leyes de Newton). Útil para describir colisiones entre objetos.

• Si la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema es 0 el sistema CM es inercial, y la velocidad del centro de masas es constante.

• Sistema CM:

¾ Posición de una partícula i respecto al CM: rr'_i =rr_i −rr_CM ¾ Velocidad del CM en el sistema CM: 0

¾ Velocidad de una partícula i del sistema con respecto al sistema CM: uri =vri −vrCM • Ejemplo 5. Sistema de dos partículas.

¾ 2 1 2 2 1 1 CM m m v m v m v + ⋅ + ⋅ = r r r

¾ Velocidad de la partícula 1 respecto del centro de masas:

(

)

2 1 2 1 2 CM 1 1 m m v v m v v u + − ⋅ = − = r r r r r

¾ Velocidad de la partícula 2 respecto del centro de masas:

(

)

2 1 2 1 1 CM 2 2 m m v v m v v u r + − ⋅ − = − = r r r r

¾ En el nuevo sistema de referencia, las dos partículas se mueven en direcciones opuestas. • Momento lineal respecto al sistema CM:

¾ Momento lineal total del sistema de partículas en el sistema de referencia de Laboratorio (L):

CM N 1 i i i N 1 i i S p m v (t) M v pr =

∑

r =

∑

r = ⋅r = =

(13)

¾

¾ Momento lineal total del sistema de partículas en el sistema CM:

(

)

0 u m 0 p v m v M v m m v v m v v m u m N 1 i i i N 1 i CM i i N 1 i CM i i N 1 i N 1 i i CM i i N 1 i CM i i N 1 i i i = ⇔ ⇔ = − = ⋅ − = − = − =

∑

= = = = = = = r r r r r r r r r r

¾ Conclusión: el momento lineal del sistema respecto del sistema CM es 0.

1 1 CM , 1 m u pr = ⋅r pr2,CM =m2⋅ur2 ¾ Para un sistema de dos partículas:

CM , 2 CM , 1 2 2 1 1 CM , 2 CM , 1 CM , SIST p p m u m u 0 p p pr = r + r = ⋅r + ⋅r = ⇒ r =−r

¾ El momento lineal de la partícula 1 respecto al sistema CM es igual y opuesto al momento lineal de la partícula 2 respecto del sistema CM.

• Ejemplo 6: Dos cuerpos de masas mA = 2 kg y mB = 4 kg, están moviéndose a lo largo de los

ejes X e Y, respectivamente: el cuerpo A se encuentra a 3 m del origen moviéndose con una velocidad vA = 3 m s−1 en sentido positivo del eje X; el cuerpo B se encuentra a −5 m del origen

moviéndose con una velocidad vB = −6 m s−1 en el eje Y. Determinar en ese instante: a) La

posición del centro de masas; b) la velocidad del centro de masas; c) la cantidad de movimiento total; d) La posición de cada partícula, respecto al centro de masas; e) La velocidad de cada partícula, respecto al centro de masas; f) el momento lineal, respecto al centro de masas.

( )

m j 3 10 i 4 2 j 5 4 i 3 2 m m r m r m m r m r 2 1 2 2 1 1 N 1 i i N 1 i i i CM ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + − ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ = =

∑

= = r r r r r r r r a)

( )

₍

_i ₄ _j

₎

_m_/_s 4 2 j 6 4 i 3 2 m m v m v m m v m b) v 2 1 2 2 1 1 N 1 i i N 1 i i i CM r r r r r r r r ₌ ₋ + − ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ = =

∑

= =

(

i 4 j

) (

6i 24 j

)

kg m/ s 6 v M pr_CM = ⋅ r_CM = ⋅ r− r = r− r ⋅ c)

( )

j m 3 10 i 2 j 3 10 i i 3 r r '₁ ₁ _CM ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − = r r r r r d) rr r r

( )

j m 3 5 i j 3 10 i j 5 r r ' r ₂ ₂ _CM ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛₋ ₋ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = − = r r r r r r r r

( ) (

3i i 4 j

) (

2i 4 j

)

m/s v v r e) u1 1 CM r r r r r r r ₌ ₋ ₌ ₋ ₋ ₌ ₊

( ) (

6 j i 4 j

) (

i 2 j

)

m/s v v ur₂ = r₂ − r_CM = − r − r − r = −r − r

(

2 i 4 j

) (

4 i 2 j

)

0 2 u m p N 1 i i i CM , sist =

∑

= ⋅ + + ⋅ − − = = r r r r r r f)

(14)

4. ENERGÍA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 4.1. ENERGÍA CINÉTICA

• La energía cinética de un sistema de partículas respecto de un sistema de referencia inercial O es igual a la suma de las energías cinéticas individuales de cada partícula respecto de dicho sistema:

2 i i N 1 i N 1 i Ci CS m v 2 1 E E =

∑

=

∑

⋅ ⋅ = =

• Relación entre la energía cinética de traslación de un sistema de partículas respecto a un sistema de referencia inercial O con la energía cinética del sistema respecto del CM y la energía del CM respecto a O. ¾ vri =uri +vrCM ¾

(

)

N _CM ⋅ _i ⋅ _i 1 i 2 i i N 1 i 2 CM 2 CM i N 1 i 2 i i N 1 i CS ₂ 2 v m u 1 u m 2 1 v M 2 1 u v m 2 1 v m 2 1 E =

∑

⋅ ⋅r =

∑

⋅ ⋅ r + r = ⋅ ⋅r +

∑

⋅ ⋅r +

∑

⋅ ⋅r r = = = = 0 u m N 1 i i i ⋅ =

∑

= r _⇒ 2 i i N 1 i 2 CM CS m u 2 1 v M 2 1 E = ⋅ ⋅r +

∑

⋅ ⋅r =

¾ Conclusión: la energía cinética de un sistema respecto a O es igual a la suma de la energía del CM respecto a O (energía cinética de traslación del sistema) y de la energía cinética del sistema respecto del CM (energía cinética interna del sistema).

• Sistema compuesto por dos partículas de masas m1 y m2:

¾ Fuerzas externas sobre las partículas: Fr₁ y Fr₂. ¾ Fuerzas internas sobre las partículas: Fr₁₂ y Fr₂₁. ¾ Partícula 1: se desplaza por la trayectoria C1 un drr₁

a una velocidad vr₁ en un instante determinado. ¾ Partícula 2: se desplaza por la trayectoria C2 un drr₂

a una velocidad vr₂ en un instante determinado.

• De acuerdo con la 3ª ley de Newton: Fr₁₂ +Fr₂₁ =0 ⇒Fr₁₂ =−Fr₂₁ • La ecuación del movimiento de cada partícula es (2ª ley de Newton):

21 2 2 12 1 1 _F _F dt p d F F dt p dr ₌ r ₊ r r ₌ r ₊ r

• Trabajo realizado por la resultante de las fuerzas que actúan sobre las partículas 1 y 2:

(

1 12

)

1 2

(

2 21

)

2

1 F F dr dW F F dr

dW = r + r ⋅ r = r + r ⋅ r

• Trabajo total de las fuerzas qua actúan sobre el sistema de partículas: igual a la suma del trabajo realizado por las fuerzas externas y el trabajo realizado por las fuerzas internas.

(

)

S,ext S,int N 1 i i ij i N 1 i i S W F F dr W W W =

∑

=

∑∫

+ ⋅ = + = = r r r

(15)

¾ Trabajo de las fuerzas interiores Fr₁₂ y Fr₂₁: siempre que haya un desplazamiento relativo de la partícula 1 respecto de la 2, ya que drr₁ −drr₂ =d

(

rr₁ −rr₂

)

=drr₁₂ (no necesariamente es nulo, solo en sistemas indeformables).

¾ Como que Fi mi ai r _r ⋅ = :

( )

=ΔEcS N 1 i ci N 1 i 2 i i 2 i i N 1 i B A i i i N 1 i i S m v A E 2 1 B v m 2 1 r d a m W W ⎟= Δ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _⋅ _⋅ ₋ _⋅ _⋅ = ⋅ ⋅ = =

∑

∑∫

∑

= = = = r r

¾ Conclusión: el trabajo realizado por las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas cuando evoluciona entre 2 puntos del campo es igual a la variación de la energía cinética del sistema.

4.2. ENERGÍA POTENCIAL

• La energía potencial es una energía asociada a la posición de las partículas dentro del campo. • Si las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema son conservativas (el trabajo

realizado por una fuerza conservativa al desplazar una partícula entre 2 puntos de un campo no depende de la trayectoria que siga la partícula, solo depende de las coordenadas de los puntos inicial y final; ejemplos: fuerzas elástica y gravitatoria) el trabajo realizado por estas fuerzas es

igual a la diferencia entre la energía potencial inicial y final:

pS E Δ − ,int S ext , S N 1 i B A i i S F dr W W W =

∑∫

⋅ = + = = r r E E W W W W

• Si las fuerzas externas son no conservativas, el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es igual al cambio en la energía mecánica del sistema.

m int , p c ext , S int , S ext , S S = + ⇒ =Δ +Δ =ΔE

4.3. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA DE UN SISTEMA

• Ley de conservación de la energía mecánica: si las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas son conservativas, la energía mecánica del sistema permanece constante.

c S E W =Δ y W_S =−ΔE_p 0 E E E E E_c =−Δ _p ⇒ _m_f, = _m_i, ⇒ Δ _m = Δ

• Si sobre el sistema actúan fuerzas no conservativas, el trabajo realizado por estas fuerzas es igual a la variación de la energía mecánica total del sistema.

. cons no W m = E Δ 4.4. COLISIONES

• Colisión: interacción entre dos o más cuerpos que tiene lugar en un intervalo muy corto de tiempo y en un punto determinado del espacio.

¾ Se produce un intercambio de momento lineal y de energía.

(16)

• Sean dos masas m1 y m2, cuyas velocidades antes del

choque son u1 y u2 y después del choque son v1 y v2 , la

conservación de la energía total implica:

f, p f, +E c i, p i, c E E E + =

• Clasificación de los choques según los valores de Q: Q=Ecf, −Eci, =Epf, −Epi, a) Choque elástico: Q = 0

¾ Se cumple el principio de conservación del momento lineal:

2 2 1 1 2 2 1 1 u m u m v m v m ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

¾ Se cumple el principio de conservación de la energía: la energía cinética inicial es igual a la final: 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 v 2 1 v m 2 1 u m 2 1 u m 2 1 + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅m₂ ⋅

¾ Dadas u1 y u2 (velocidades de las partículas m1 y m2 antes del choque), se puede calcular las velocidades de las partículas v1 y v2 después del choque:

(

)

2 1 1 2 1 2 2 1 m m u m m u m 2 v + ⋅ − + ⋅ ⋅ =

(

)

2 1 2 1 2 1 1 2 m m u m m u m 2 v + ⋅ − + ⋅ ⋅ = b) Choque inelástico: Q ≠ 0

¾ Choque inelástico de primera clase o endoérgico: Q < 0. Disminuye la energía cinética y aumenta la energía potencial interna.

¾ Choque inelástico de segunda clase o exoérgico: Q > 0. Aumenta la energía cinética a expensas de la energía potencial interna.

• Cuando hay un choque siempre hay un intercambio de momento lineal entre los dos cuerpos pero no necesariamente un intercambio de energía cinética entre ellos.

• Caso particular de un choque inelástico: objetos que tienen la misma velocidad tras el choque. Ejemplo: sistema aislado formado por una bala y un objeto contra el que choca, de modo que la bala penetra en el objeto hasta que ambos adquieren la misma velocidad.

¾ El momento lineal se conserva.

(

)

f

(

)

cm

01 0 m M v m M v

v

m⋅ + = + ⋅ = + ⋅

¾ La energía cinética no se conserva. La variación de energía cinética es:

(

)

2 0 2 f i, c f, c c m v 2 1 v M m 2 1 E E E = − = + ⋅ − ⋅ ⋅ Δ Ec, f < Ec, i

(17)

•

• Si el choque es instantáneo se puede aplicar el principio de conservación del momento lineal (las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema se anulan).

• Si el choque tiene sea de duración finita, las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema de partículas no se anulan: no se puede aplicar el principio de conservación del momento lineal. • Ejemplo 7. Un cuerpo de 1 kg se mueve en un plano horizontal hacia la derecha a 2 m ⋅ s−1 _y

sufre un choque elástico con un cuerpo de 2 kg que se mueve hacia la izquierda a 2 m ⋅ s−1_.

Halla: a) las velocidades finales de ambos cuerpos; b) la energía cinética total final. a) Choque elástico: se conserva la cantidad de movimiento: pantes = pdespués

( )

2 i 1 v1 2 v2 2 v1 2v2 2 i 2 1⋅ r+ ⋅ − r = ⋅r + ⋅r ⇒− = + 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 m v 2 1 v m 2 1 u m 2 1 u m 2 1 _⋅ _⋅ ₊ _⋅ _⋅ ₌ _⋅ _⋅ ₊ _⋅ _⋅ _⇒

Choque elástico: se conserva la energía cinética:

( )

2 2 2 1 2 2 ₂ _v 2 1 v 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 2 2 2 1 v v 2 1 ⇒ ⇒ 6 = ⋅ + s / m 3 10 v ; s / m 3 2 v₂ =+ ₁ =−

( )

2 6J 2 2 1 2 1 2 1 u m 2 1 u m 2 1 E_c_,_antes = ⋅ ₁⋅ ₁2 + ⋅ ₁⋅ ₂2 = ⋅ ⋅ 2 + ⋅ ⋅ − 2 = b)

• Ejemplo 8. Un automóvil de masa 1500 kg que se desplaza a una velocidad de 108 km ⋅ h−1

colisiona frontalmente con un camión de masa 25000 kg que se desplaza a 90 km ⋅ h−1_;

quedando unidos después del choque. Calcula: a) La velocidad común después del choque; b) La pérdida de energía.

a) Choque inelástico: se conserva la cantidad de movimiento pero no se conserva la energía

cinética. v1 = 108 km ⋅ h−1 = 30 m ⋅ s−1⇒ v1 30i m/s r r = 2 v2 = 90 km ⋅ h−1 = 25 m ⋅ s−1⇒ vr =−25 irm/s

(

)

(

)

(

)

(

21,89i

)

m/s v v 25000 1500 i 25 25000 i 30 1500 v m m v m v m₁ ₁ ₂ ₂ ₁ ₂ r r r r r r r r − = ⇒ ⋅ + = − ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ + = ⋅ + ⋅ s / m 89 , 21 v = J 8487500 25 25000 2 1 30 1500 2 1 v m 2 1 v m 2 1 E_c_i,= ⋅ ⋅ ₁2 + ⋅ ⋅ ₂2 = ⋅ ⋅ 2 + ⋅ ⋅ 2 = b)

(

)

(

1500 25000

)

21,89 6349030,325J 2 1 v m m 2 1 E_c_,_f= ⋅ ₁+ ₂ ⋅ _f2 = ⋅ + ⋅ 2 = J 675 , 2138469 8487500 5 6349030,32 E E E_c= _c_,_f− _c_i,= − =− Δ

(18)

5. SISTEMAS EN ROTACIÓN. MOMENTO DE LA FUERZA RESULTANTE Y MOMENTO ANGULAR DEL SISTEMA DE PARTÍCULAS. RELACIÓN ENTRE AMBOS

5.1. MOMENTO DE LA FUERZA RESULTANTE • Ejemplo: La aplicación de la misma

fuerza, Fr, perpendicular al radio r y en la periferia de los tres objetos de la misma masa m produce un momento de fuerza, Mr , igual.

Aunque cada cuerpo gira con una aceleración angular diferente.

• Ecuación fundamental de la dinámica de rotación (2ª ley de Newton aplicada a la rotación): αr

r ⋅ = I

M

• I: Momento de inercia de una partícula respecto de un eje de giro: producto entre su masa

m por el cuadrado de la distancia al eje de giro r.

2 r m I = ⋅ ¾ Unidades (SI): kg ⋅ m2

¾ Magnitud que representa en el movimiento de rotación el mismo papel que la masa inerte, m, en el movimiento de traslación.

¾ Medida de la resistencia de un objeto a experimentar cambios en su movimiento de rotación respecto de un eje cuando se le aplica un momento de torsión de una fuerza.

¾ Su valor depende del eje de rotación escogido.

¾ Su valor depende de la distribución de la masa dentro del objeto respecto al eje de rotación.

¾ Esfera homogénea y maciza respecto de su diámetro como eje: I =₅2m⋅R2 ¾ Cilindro homogéneo y macizo (eje que pase por el centro de las bases): m R2

2 1 I = ⋅

¾ Anillo respecto de su eje central: I =m⋅R2

• Momento de inercia de un sólido rígido discreto:

∑

mi ⋅ri2

=

= N 1 i I

¾ Ecuación fundamental de la dinámica de rotación: r = ⋅αr =

∑

⋅ ⋅αr

= N 1 i 2 i i r m I M

• Momento de inercia de un sólido rígido continuo: I r dm M

2

∫

=

¾ Ecuación fundamental de la dinámica de rotación: Mr =I⋅αr =

∫

r dm⋅αr M

(19)

5.2. MOMENTO ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

r

• El momento angular, de un sistema discreto de particulas respecto de un sistema de referencia inercial O es la suma vectorial de los momentos angulares de todas las partículas del sistema respecto del observador O L

O L O i r . i i i i i O i r m v r p Lr = r × ⋅r = r × r

∑

= = = × = ⋅ × = = N 1 i i i N 1 i N 1 i i i i O i O L r m v r p Lr r r r r r

• Ejemplo: movimiento de rotación de un sólido rígido alrededor de un eje.

¾ Sólido rígido: sistema formado por partículas tales que las distancias entre ellas se mantienen constantes incluso bajo la acción de fuerzas.

... v m r v m r v m r L= 1 ⋅ 1⋅ 1+ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3⋅ 3 +

¾ Cada una de sus partículas describe un movimiento circular (v = ω⋅ r):

(

)

ω ω ω ω ω+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =m r m r m r ... m r m r m r ... I L ₁ ₁2 ₂ ₂2 ₃ ₃2 ₁ ₁2 ₂ ₂2 ₃ ₃2 ωr r ⋅ = I L

¾ Ecuación válida para sólidos rigidos discretos y continuos cuyo eje de giro sea un eje de simetría fijo o se mantenga paralelo a sí mismo.

5.3. TEOREMA DEL MOMENTO CINÉTICO

• Teorema del momento cinético: relación entre el momento angular de un sólido y el momento de las fuerzas aplicadas.

• La variación del momento angular respecto al tiempo de un sistema de particulas respecto

a un punto es igual al momento de las fuerzas exteriores respecto al mismo punto.

αr r r ⋅ = =M I dt L d ¾

∑

= = = = = = = × + × = × + × = × = ⋅ × = = N 1 i i i N 1 i i i N 1 i i i N 1 i i i N 1 i i i N 1 i N 1 i i i i iO O dt p d r p v dt p d r p dt r d p r dt d v m r dt d L dt d L dt d r r r r r r r r r r r r r r

¾

∑

N v p 0: v y tienen la misma dirección y su producto vectorial es 0. 1 i i i × = = r r r i pri αr r r r r r r r r r _× ₌

_∑

_× ₌

_∑

₌

_∑

₊

_∑

_⇒ ₌

_∑

₌ _⋅

∑

= = = I M dt L d M M M F r dt p d

r N _int _ext _ext

1 i i N 1 i i i N 1 i i i ¾

¾ Mr_i: momento resultante de todas las fuerzas que actúan sobre cada partícula del sistema respecto al origen de coordenadas, tanto fuerzas interiores como exteriores.

¾

∑

Mr_int =0: se anulan por parejas ya que cada fuerza interior y la reacción correspondiente dan origen a momentos opuestos cuya suma parcial es 0.

∑

= = N 1 i ext,i O M L dt d r r

(20)

6. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR

• Teorema de conservación del momento angular: Si el momento de las fuerzas exteriores

respecto a un punto es nulo, o el sistema está aislado (Fext = 0), el momento angular del

sistema respecto del mismo punto permanece constante en magnitud y direccion.

. cte L 0 M Si r = ⇒ r =

• Resultado válido si el origen de todos los momentos de las fuerzas coincide con el origen del momento angular o si todos los momentos de las fuerzas están referidos al mismo eje de simetría. • Situaciones en las que Mr =0:

a)

∑

Fext =0 r

.

b) Que exista alguna fuerza exterior pero que su momento sea 0 debido a:

¾ La fuerza pasa por el eje de giro: r = 0 ⇒ M = 0 (M = F ⋅ r ⋅ sen θ). Ejemplo: variación de la velocidad de giro de un patinador modificando la forma de su cuerpo.

¾ La fuerza es paralela a : θrr = 0º ⇒ sen θ= 0 ⇒ M = 0. Ejemplo: las fuerzas gravitatorias. • Si Mr =0 ⇒ Lr=cte. ⇔ I⋅ω =cte.

¾ Si el sólido es rígido y gira alrededor de un eje principal I = cte. Por lo que ω = cte. si sobre él no actúa ningún momento externo.

¾ Si el sólido es deformable (un patinador, un acróbata, I puede variar respecto al eje de giro. Por tanto, si I ⋅ ω = cte., se debe escribir:

I1⋅ω1 = I2⋅ω2

¾ En este caso, si el momento de las fuerzas exteriores es 0 y disminuye el momento de inercia del cuerpo, aumentará su velocidad angular y viceversa.

• Ejemplo 9: la resultante de las fuerzas de un patinador que gira sobre sí mismo con los brazos alejados de su cuerpo es nula. Por tanto, también es anula si recoge los brazos sobre su cuerpo disminuye su momento de inercia y el movimiento de rotación aumenta de velocidad angular. • Ejemplo 10. Si la Tierra es una esfera de masa 5,98 ⋅ 1024_{kg y}

6370 km de radio, calcula su momento angular debido al giro alrededor de su eje. Datos: I = 2/5 ⋅ (M ⋅ R2_).

I = 2/5 ⋅ M ⋅ R2_{= 2/5}_⋅_5,98_⋅₁₀24_⋅₍₆₃₇₀_⋅₁₀6₎2_{= 9,7}_⋅₁₀37_kg_⋅_m2 ω = (1 vuelta/24 h) ⋅ (2π rad/1 vuelta) ⋅ (1 h/3600 s) = 7,3 ⋅ 10−5 rad/s L = I ⋅ω = 9,7 ⋅ 1037 kg ⋅ m2⋅ 7,3 ⋅ 10−5 rad/s = 7,1 ⋅ 1033 kg ⋅ m2⋅ s−1 1 2 _s m ⋅ − 33 _k _kg 10 1 , 7 Lr = ⋅ r ⋅

(21)

• Ejemplo 11. Una mujer está de pie en el centro de una plataforma giratoria con los brazos extendidos horizontalmente con una pesa de 2 kg en cada mano. La mujer gira alrededor de un eje vertical, que pasa por el centro de la plataforma, con una velocidad de una vuelta cada 2 s. Las pesas que sostiene se encuentran a 1 m de distancia del eje de giro. Calcula la nueva velocidad angular si baja los brazos a ambos lados del cuerpo situándose las pesas a 20 cm del eje de giro. Datos: Imujer = 6 kg ⋅ m2.

Sistema aislado: Si Mr =0 ⇒ Lr =cte. ⇔ I⋅ω =cte. I0 = Imujer + Ipesas = 6 kg ⋅ m2 + 2 ⋅ (2 ⋅ 12) = 10 kg ⋅ m2 I = 6 kg ⋅ m2 + 2 ⋅ (2 ⋅ 0,22) = 6,16 kg ⋅ m2

ω0 = (1 vuelta/2 s) ⋅ (2π rad/1 vuelta) = π rad/s

I0⋅ω0 = I ⋅ω⇒ω = (I0⋅ω0)/ I = (10 kg ⋅ m2⋅π rad/s)/ 6,16 kg ⋅ m2 = 5,1 rad/s 7.-ENERGÍA CINÉTICA DE UN SÓLIDO EN ROTACIÓN

• Sólido rígido que gira alrededor de un eje fijo, equivalente a un sistema de partículas de masa m1, m2, m3, …, situadas a distancias r1, r2, r3, … del eje de giro.

• Energía cinética de cada partícula: 2 i i ci m v 2 1 E = ⋅ ⋅

• Energía cinética total de rotación:

¾ E 1_⋅ 2_⋅I 2 r m 2 1 r m 2 1 v m 2 1 N 1 i 2 i i 2 2 N 1 i 2 i i N 1 i 2 i i r , c =

∑

⋅ ⋅ =

∑

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

∑

⋅ = = = = ω ω ω

¾ I

∑

: momento de inercia del sólido alrededor del eje de giro. = ⋅ = N 1 i 2 i i r m 2 r , c I 2 1 E = ⋅ ⋅ω

¾ Ecuación análoga a la energía cinética de traslación: ct, m v2 2

1

E = ⋅ ⋅

• Energía cinética total del cuerpo si posee un movimiento de traslación y otro de rotación: 2 2 CM r , c t, c c I 2 1 v M 2 1 E E E = + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ω

(22)

• Ejemplo. Determina la energía cinética inicial y la energía cinética final del ejemplo 11 y compara los resultados obtenidos.

J 35 , 49 10 2 1 I 2 1 E_cr₀ = ⋅ ₀⋅ω₀2 = ⋅ ⋅π2 = J 11 , 80 1 , 5 16 , 6 2 1 I 2 1 E_cr = ⋅ ⋅ω2 = ⋅ ⋅ 2 =

• Ejemplo. Una bala de forma cilíndrica, de radio 1 cm y peso 25 g, se mueve con una velocidad de traslación de 10 m/s y gira sobre su eje principal con una velocidad de rotación de 360 rev/min. Si se empotra en una masa de hielo a una temperatura de 0 ºC. Si el 90 % de su energía se transforma en calor, calcula cuánto hielo se funde en el proceso. Datos: I = ½ ⋅ M ⋅ r2_;

Lf = 334,4 J/kg. J 25 , 1 70 , 37 10 25 , 1 2 1 10 025 , 0 2 1 I 2 1 E_c_,_r = ⋅ ⋅_ω2 = ⋅ ⋅ 2 + ⋅ ⋅ −6⋅ 2 = Q = 0,9 ⋅ EC = 1,13 J Q = m ⋅ Lf⇒ m = Q/Lf = 0,46 J/334,4 J/kg = 0,00337 kg = 3,4 g

(23)

PROBLEMAS DE LA UNIDAD 3. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

1. Calcula el centro de masas de tres partículas puntuales, de masas m, 2m y 3m alineadas a lo largo de una recta, tal que la distancia entre dos partículas contiguas es d.

Sol.: 4d/3

2. Halla las coordenadas del centro de masas formado por: una esfera homogénea de 1 kg cuyo centro coincide con el punto (0, 0, 0) y una varilla vertical de 2 kg cuyo centro está en el punto (0, 2, 2).

Sol.: (0, 4/3, 4/3)

3. Conociendo en todo momento el movimiento del centro de masas de un sistema de puntos materiales, ¿se conoce siempre el movimiento de todas y cada una de las partículas que lo componen?

4. Se dispara un proyectil con una velocidad de 30 m ⋅ s−1, formando un ángulo de 45º con la horizontal. En el curso de su vuelo el proyectil estalla, rompiéndose en dos partes, una de ellas de doble masa que la otra. Ambos fragmentos llegan simultáneamente al suelo. El fragmento más ligero aterriza a 25 m del punto de lanzamiento, en la misma dirección y sentido en que se disparó el proyectil. ¿Dónde caerá el otro fragmento?

Sol.: 122,5 m

5. Dos cuerpos de masas mA = 3 kg y mB = 5 kg, están moviéndose en sentido positivo a lo largo

de los ejes X e Y, respectivamente, con velocidades vA = 2 m s−1 y vB = 4 m s−1. En un instante

determinado, el cuerpo A se encuentra a 2 m del origen y el cuerpo B a 4 m. Determinar en ese instante: a) La posición del centro de masas; b) Su velocidad; c) La cantidad de movimiento total.

(

6i 20 j

)

kg m s pr_CM = r+ r ⋅ /

( )

j m s 2 5 i 4 3 t v_CM ⎟ / ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = r r r

( )

j m 2 5 i 4 3 t Sol.: a) r_CM ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = r r r _{; b)} _{; c)}

6. Un sistema está compuesto por tres partículas de masas m1 = 3 kg, m2 = 2 kg y m3 = 5 kg. La

primera partícula se desplaza paralelamente al eje Y, en dirección positiva con una velocidad de v1 = 6 m s−1. La segunda se mueve con una velocidad de v2 = 8 m s−1en una dirección que forma

un ángulo de 30º con la dirección positiva del eje X y 60º con la dirección positiva del eje Y. Determina: a) La velocidad que debe tener la tercera partícula para que el centro de masas permanezca en reposo; b) La cantidad de movimiento.

s m j 5 26 i 5 14 v₃ ⎟ / ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛₋ ₋ = r r r Sol.: a) ; b) 0

7. Tres masas puntuales se mueven a lo largo del eje de abcisas con las siguientes velocidades: una masa de 2 kg se mueve hacia la derecha a 6 m s−1; otra masa de 4 kg, se mueve hacia la izquierda con una velocidad de −1 m ⋅ s−1_{, y finalmente, una masa de 2 kg se mueve hacia la}

derecha a 2 m ⋅ s−1_{. Calcula: a) la velocidad del centro de masas; b) el momento lineal del sistema.}

Sol.: a) i m/s 2 3 r s / m kg i 12 pr_CM = r ⋅ vr_CM = ;b)